Les nombres premiers - La taverne de l`Irlandais.

Vestiges d'une terminale S spécialité – Les nombres premiers – Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com) Page 1 sur 2
A propos des nombres premiers
Lorsque l'on parle d'entier, il peut s'agir d'un entier naturel ou d'un relatif.
La définition d'un nombre premier lorsque l'on travaille dans l'ensemble des entiers
naturels , est la suivante :
Définition d'un entier naturel premier
Dire qu'un entier naturel non nul et distinct de 1 est premier dans  signifie que ses
seuls diviseurs dans  sont 1 et lui-même.
Ainsi, l'entier naturel 7 est premier dans  car ses seuls diviseurs sont 1 et 7.
Mais dans l'ensemble des entiers relatifs , 7 a quatre diviseurs :
7 ; 1 ; 1 et 7
− −
.
Car dans cet ensemble, nous avons :
(
)
(
)
7 1 7
= − × −
.
Si l'on veut définir la notion de nombre premier dans , il nous faut compléter la
définition précédente.
Définition d'un entier relatif premier
Dire qu'un entier relatif non nul distinct de
1
−
et 1 est premier dans  signifie que ses
seuls diviseurs dans  sont les inversibles
1
−
et 1, lui-même et son opposé.
Si un entier relatif est premier dans , il en va de même pour son opposé. Par exemple,
7
−
et 7.
Un entier naturel qui est premier dans  l'est donc aussi dans . Et réciproquement !
Les nombres premiers de  sont ceux de  et leurs opposés.
Note : on entend par "inversible de " tout entier relatif dont l'inverse est aussi un
entier relatif. Seuls
1
−
et 1 répondent à cette condition. Ces deux entiers relatifs ne sont
pas considérés comme des nombres premiers.
Dans la suite du document, nous travaillerons essentiellement dans l'ensemble .
Tous divisibles par un premier !
Théorème sur la divisibilité des entiers naturels par un premier
A l'exception de 0 et 1, tous les entiers naturels sont divisibles par un nombre premier.
Le théorème précédent s'applique dans . Cependant, il peut être étendu aux entiers
relatifs. En effet, tout entier négatif est le produit de
1
−
et d'un entier naturel.
Ce théorème paraîtra à beaucoup évident. Nous devons cependant le prouver car il faut
toujours se méfier des apparences et des idées humaines.
La preuve de ce théorème
Soit n un entier naturel différent de 0 et de 1. Là, deux cas sont possibles :
 Si n est premier alors comme il se divise lui-même, le théorème est établi.
 Si n n'est pas premier alors on appelle
D
n
l'ensemble des entiers naturels
supérieur ou égal à 2 qui divise n.
Comme n se divise lui-même, l'ensemble
D
n
contient au moins un élément.
Cet ensemble est non vide.
L'ensemble des entiers naturels  est totalement ordonné. 0 est son plus petit
élément.
Etant non vide, son sous-ensemble
D
n
possède aussi un plus petit élément.
Appelons le d. Nous allons établir que d est premier.
Soit p un entier naturel différent de 1 qui divise d.
Comme p divise d alors
≤
p d
.
De plus, comme p est un diviseur de d alors il divise aussi n.
Donc p appartient à l'ensemble
D
n
.
Or d est le plus petit élément de ce dernier. Cela implique:
≥
p d
.
Conclusion : p est à la fois plus grand et plus petit que d. Donc il lui est égal.
Ainsi les seuls diviseurs de d sont-ils 1 et d lui-même.
Par conséquent, le diviseur de n qu'est d est un nombre premier.
D'où le théorème.
Une infinité de nombres premiers chez les entiers naturels
L'ensemble des nombres premiers de  est souvent noté P.
S'il existait un nombre fini de nombres premiers dans , cela signifierait qu'à partir d'un
certain rang, tout entier naturel serait divisible par un entier inférieur. Autrement dit,
tout entier naturel assez grand serait factorisable en un produit d'entiers plus petits.
Heureusement pour les mathématiciens, il n'en est rien.
Théorème sur le nombre d'entiers naturels premiers
Il existe une infinité d'entiers naturels premiers dans .
Une des conséquences de ce théorème est qu'il existe aussi une infinité d'entiers relatifs
premiers dans . Nous pourrions dire le double...

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La preuve de ce théorème
Pour établir ce théorème, nous allons procéder par l'absurde, c'est-à-dire supposer ce que
nous présumons faux et essayer d'aboutir à une contradiction.
Supposons qu'il existe un nombre fini d'entiers naturels premiers. Disons qu'il en existe
n distincts. Nous décidons de les noter 1 2 n
Les n entiers naturels premiers
p , p , , p
…
 .
Intéressons-nous à l'entier naturel qu'est 1 2 n
Le produit des n entiers premiers
K p p p 1
= × × × +
…
 .
L'entier naturel K est strictement plus grand que 1.
D'après le théorème du second paragraphe, l'entier naturel K est divisible par au moins
l'un de nos n nombres premiers. Notons
K
p
l'un de ces entiers premiers qui divise K.
K
p
étant un entier naturel premier, il est strictement plus grand que 1.
Etant l'un de ses facteurs, l'entier
K
p
divise aussi le produit
1 2 n
Le produit des tous
les entiers premiers
p p p
× × ×
…
.
Par conséquent,
K
p
divise la différence 1 2 n
K p p p 1
− × × × =
…
 .
Sauf que les diviseurs naturels de 1 dans  ne sont pas nombreux : il n'y a guère que 1.
On en déduit : K
p 1
=
.
Ce qui est absurde car le premier
K
p
est nécessairement supérieur à 1.
Conclusion : la supposition faite au début de la démonstration est fausse. Il existe un
nombre infini d'entiers naturels premiers.
Note : la précédente démonstration fait partie des exigibles pour le baccalauréat
scientifique. Elle peut être demandée lors d'un exercice.
Décomposition d'un entier en facteurs premiers
Tout entier naturel ou relatif peut être écrit sous forme d'un produit de facteurs premiers
dans  ou . On parle alors de décomposition en facteurs premiers.
Théorème de la décomposition en facteurs premiers
Tout entier naturel n non nul et distinct de 1 peut être écrit sous la forme :
1 2 k
1 2 k
n p p p
α α α
= × × ×
…
où :
•
1 2 k
p , p , , p
…
sont des entiers naturels premiers deux à deux distincts.
•
1 2 k
, , ,
α α α
…
sont des entiers naturels non nuls.
La preuve de ce théorème
Pour établir ce théorème, nous allons procéder par récurrence.
 Le théorème est vrai pour
n 2
=
car
1
2 2
=
et car 2 est un nombre premier.
 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2
On suppose que le théorème est vrai pour tout entier q inférieur ou égal à n.
Autrement dit, nous supposons que chacun de ses entiers q peut s'écrire sous la
forme :
1 2 k
1 2 k
Produit de facteurs premiers
q p p p
α α α
= × × ×…
Nous allons établir qu'alors il en va de même pour l'entier naturel
n 1
+
.
Justement parlons de l'entier
n 1
+
. Il peut être de deux natures :
S'il est premier alors l'affaire est réglée comme pour 2.
Par contre, si
n 1
+
n'est pas premier alors nous savons qu'il possède au moins
un diviseur premier que nous appellerons d.
Comme d divise
n 1
+
, alors il existe un entier naturel q tel que
n 1 d q
+ = ×
.
Or cet entier naturel q est inférieur ou égal à n.
En effet, d est un nombre premier donc il est supérieur ou égal à 2.
De plus, si nous avions
q n
>
alors nous aurions
Impossible car n 1 q d
q d 2 n n 1
+ = ×
× > × ≥ +
.
L'entier q étant inférieur ou égal à n, le théorème lui est applicable. Nous
pouvons donc l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs premiers :
1 2 k
1 2 k
Un produit de facteurs premiers
q p p p
α α α
= × × ×…
Par suite, il vient :
1 2 k
1 2 k
Un nouveau produit de facteurs premiers
n 1 d q d p p p
α α α
+ = × = × × × ×…
Donc le théorème est aussi vrai pour l'entier
n 1
+
.
Conclusion : le théorème est vérifié pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2.
On admettra que la décomposition d'un entier naturel en un produit de facteurs premiers
est unique à l'ordre des facteurs près.