Trigonométrie

Trigonométrie
I Cercle trigonométrique, radians, angles orientés
1) Cercle trigonométrique.
Définition : Cercle trigonométrique
Soit (O;I,J) un repère orthonormé, on appelle cercle trigonométrique, le
cercle de centre O et de rayon 1.
Orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. (appelé sens
direct ou sens positif)
Le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens indirect ou sens
négatif.
2) Principe de l'enroulement de la droite des réels sur le cercle
trigonométrique:
La droite graduée (d) représente les réels, le zéro est le point I et
l'unité est donné par le segment [IU], le sens positif sur cette
droite étant le sens de I à U. On va choisir le sens direct pour
enrouler la demi droite
[IU) au tour du cercle trigonométrique. Le sens direct est le
sens inverse d'une montre (ou aussi le sens giratoire autour d'un
rond point;). On enroulera l'autre demi-droite dans le sens
indirect. Donc en enroulant la droite (d) au tour du cercle C à
tout nombre réel de la droite (d) on fait correspondre un point du
cercle. On fabrique ainsi une sorte de fonction f qui associe à
tous réel x, un point du cercle.
1) Activité 1 :Compléter la figure ci-contre avec des flèches pour
associer les nombres réels à leurs images sur le cercle
trigonométrique.
Procédé d'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique :
A tout réel x on associe un unique point M du cercle trigonométrique grâce à l'enroulement décrit précédemment.
Question : A tout point M du cercle trigonométrique est-il associé à un unique réel ?
Propriété : Si x et x ' désignent des nombres réels tels que …..................ou …....est un entier relatif,
alors x et x ' viennent s'appliquer sur un même point du cercle trigonométrique.
Propriété :
Si M est le point du cercle trigonométrique, associé à un réel x, alors M est aussi associé aux nombres
réels suivants:
;
;
…..........
;
;
…..........
et plus généralement de tous les nombres réels :
Comment passer des angles aux mesures des arcs de cercle : soit d la mesure des arcs de cercle et a l'angle en
degrés.
Exemples :
A un angle de 120 degré correspond …........
A une distance sur le cercle trigonométrique de
7 π /12 correspond un angle de …........
Définition : Mesure en radian d'un angle
Soit x un réel de l'intervalle [ 0 ; 2 π ] .Lorsque réel x sur la droite des
réels est associé au point unique M sur le cercle trigonométrique (par
enroulement de la droite (d) sur le cercle), on dit que : le réel x est la
mesure en radians de l'arc de cercle IM. On dit aussi que x est la mesure
IOM
en radians de l'angle ̂
1 radian correspond l'image de 1 sur le cercle unité.
Définition : Mesure d'un angle orienté de vecteurs
Soit x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x . On dit que x est une mesure en
radian de l'angle orienté ….............
Remarque l'angle orienté …..................... a plusieurs mesures : ….......................................
On dit que ….................... a pour mesure ….................
Exemple :
Principales correspondance entre radians et degrés :
Mesure en degrés
Mesure en radian
Définition : Mesure principale d'un angle
Soit un point M sur le cercle trigonométrique. Il existe une unique mesure en radians de l'angle orienté …............
⃗ , OM
⃗ )
dans l'intervalle ] −π ; π ]. Elles est appelée mesure principale de l'angle orienté ( OI
Exemple :
Soit l'angle de mesure
Soit l'angle de mesure
Soit l'angle de mesure
7π
la mesure principale est ….......
6
19 π
le mesure principale est …............
3
39 π
La mesure principale est …...............
4
II Cosinus et sinus d'un angle
Définition : cosinus et sinus d'un angle
Soit x une mesure de l'angle orienté , a ce réel est associé un point unique point sur le cercle
trigonométrique.
Le cosinus de x , noté cos ( x ) , est l'abscisse de M dans le repère (O;I,J)
Le sinus de x , noté sin( x) , est l'ordonnée de M dans le repère (O;I,J)
Propriété : Le point M du cercle trigonométrique associé au réel x à pour coordonnées
M (cos ( x ), sin( x)) dans le repère (O;I,J)
Propriété : Pour tout nombre réel x ,
1) −1⩽cos x ⩽1
2) −1⩽sin x⩽1
3) sin 2 x +cos 2 x=1
Valeurs remarquables des cosinus et des sinus
Mesure de l'angle
̂
IOM en degré
Mesure de l'angle
̂
IOM en radian
IOM
Cos ̂
=cos(x)
IOM
Sin ̂
=sin(x)
Propriété : Soit x un réel tel que −π⩽ x⩽π
cos( x)⩾0
si 0⩽x⩽ π alors
si π ⩽x⩽π alors
2
2
sin( x)⩾0
{
si − π ⩽x⩽0 alors
2
}
{
cos( x)⩾0
sin( x)⩽0
}
{
cos( x)⩽0
sin( x)⩾0
si −π⩽ x⩽− π alors
2
{
}
cos( x)⩽0
sin( x)⩽0
}
Cercle trigonométrique
III Angles associés
Formules
Figures
Explications
Soit M le point associé à l'angle x et
M' le point associé à -x
M et M' ont :
→
→
Soit M le point associé à l'angle x et
M' le point associé à π−x
M et M' ont :
→
→
Soit M le point associé à l'angle x et
M' le point associé à π+ x
M et M' ont :
→
→
Soit M le point associé à l'angle x et
π −x
M' le point associé à
2
M et M' ont :
→
→
Soit M le point associé à l'angle x et
π+x
M' le point associé à
2
M et M' ont :
→
→
Soit M le point associé à l'angle x et
M' le point associé à x +2 π
M et M' ont :
→
→
IV Équations trigonométriques
Théorème : a est un réel fixé est on cherche la valeur de x
•
cos ( x )=cos (a) alors ….................................
•
sin( x)=sin (a) alors
Exemples :
a)
cos ( x )=cos ( π )
3
b)
sin( x)=sin ( π )
6
V Fonctions sinus et cosinus
1) Définitions :
Définition : Fonction paire
Une fonction f est paire sur un ensemble D, si pour tout réel x appartenant à
D : f (−x)= f (x )
Exemple :
Définition : Fonction impaire
Une fonction f est impaire sur un ensemble D, si pour tout réel x appartenant
à D : f (−x)=− f ( x)
Exemple :
Définition : Fonction périodique
Une fonction f est dite périodique de période T sur un ensemble D si pour tout réel x appartenant à D :
f (x +T )= f ( x)
Exemple :
2) Fonction cosinus et sinus
Définition : Fonction cosinus
La fonction qui à x associe cos ( x )
est appelée fonction cosinus.
Voir représentation de la fonction sur feuille millimétrée
Propriétés : Soit un repère (O;I,J)
La fonction cosinus est définie sur ….................
La fonction cosinus est …................ et de période …....
La courbe C f associée à la fonction cosinus est invariable par translation de vecteur …......................
Définition : Fonction sinus
La fonction qui à x associe
sin( x) est appelée fonction cosinus.
Voir représentation de la fonction sur feuille millimétrée
Propriétés : Soit un repère (O;I,J)
La fonction sinus est définie sur ….................
La fonction sinus est …................ et de période …....
La courbe C f associée à la fonction sinus est invariable par translation de vecteur …......................
3) Sens de variation des fonctions circulaires.
Théorème :
La fonction cosinus est décroissante sur ….......
la fonction cosinus est croissante sur …..............
On peut donc tracer la fonction cosinus dans un repère orthonormé (O;I;J)
Théorème :
La fonction sinus est décroissante sur ….......
La fonction sinus est croissante sur …..............