Algèbre linéaire

Lycée Marcellin Berthelot BCPST 2C 2015-2016
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Algèbre linéaire
Ex 1
1 2
Soit un réel. On considère la matrice 1 et on note l'endomorp
2 2 1
A
α α
α α
α α α φ
α α
− − −
= − −
− +
3
hisme de dont la
matrice dans la base canonique est .
1) a) Montrer que pour tout réel, 1 est valeur propre de .
b) Déterminer, suivant les valeurs de , une base du sous espace propre de
A
α
α
α
α φ
α φ
ℝ
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 1 2
1 2 1
1
associé à 1.
2) On considère les vecteurs 1,1, 1 et 1,1, 2 et on pose , .
a) Montrer que , est une base de .
b) Montrer que l'image par de tout vecteur de est encor
f f F vect f f
f f F
F
α
φ
= − = − =
( )
1
1 2 1
3
3
e un vecteur de .
c) Donner la matrice, dans la base , de la restriction de à .
3) Montrer que pour tout réel , admet la valeur propre 1 et qu'on peut trouver un vecteur
de
F
f f F
f
α
α
φ
α φ α
−
ℝ
( )
3
1 2 3
, qui soit, pour tout , vecteur propre de associé à la valeur propre
1.
4) a) Montrer que , , est une base de et expliciter la matrice de dans cette base.
b
f f f
α
α
α α φ
α
φ
−
ne dépendant pas de
ℝ
( ) ( )
( )
3
) Pour quelle s valeur s de , est-il diagonalisable ?
Ex 2
5 2 2
Diagonaliser 2 5 2 dans une base orthonormée.
2 2 5
Ex 3
2 1 0
Soit la matrice 0 2 1 . Calculer 2 . est-elle diagonalis
1 0 2
S
M M I M
α
α φ
= 
= −
3
able ?
Ex 4
0 2 1
On considère la matrice 0 1 2 et on appelle l'endomorphisme de dont la matrice dans la
0 1 0
base canonique est .
On considère, pour tout nombre réel , la matrice carrée rée
J f
J
a
= − ℝ
2 1
lle : 0 1 2
0 1
a
a
M a
a
= −

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1
1) a) Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de .
b) Montrer que est diagonalisable. Déterminer une matrice diagonale et une matrice inversible
telles que .
J
J D P
J PDP
−
=
1
c) Montrer que où est une matrice diagonalisable que l'on explicitera.
d) Pour quels réels , la matrice est-elle inversible ?
2) Soient un réel et une matrice carrée 3 3 à c
a a a
a
M PD P D
a M
a X
−
=
×
2
3
oefficients réels telle que
a) Montrer que commute avec puis avec .
b) On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonoique est .
A l 'aide de a), montrer
a
a
X M
X M J
h X
=
ℝ
1 2
que tout vecteur propre de est aussi un vecteur propre de .
c) Etablir l'existence d'une matrice diagonale telle que et montrer que
En déduire que 2.
3) Soit 2. Mont
a
f h
X P P D
a
a
−
∆ = ∆ ∆ =
≥
≥
( )
( )
2
3
3
rer qu'il existe une matrice de telle que .
Ex 5
001
Soit la matrice 0 1 0 . On note l'ensemble
des matrices de vérifiant .
100
1) a) Montrer que est un un espace vecto
a
X M X M
K E M M KM MK M
E
=
= = =
ℝ
ℝ
riel.
b) Montrer qu'aucune matrice appartenant à n'est inversible.
2) Soit une matrice de .
a) Montrer que , , et et en déduire la forme générale des élémen
E
a b c
M d e f E
g h k
k g c a h b f d
= 
= = = = = ts de .
b) Retrouver alors le résultats 1) b).
c) Déterminer une base et la dimension de .
3) On considère l'ensemble des matrices de la forme avec , , réels.
a) Vér
E
E
x y x
F y z y x y z
x y x
ifier que est un sous espace vectoriel de et en donner une base.
b) Les matrices de sont-elles diagonalisables ?
c) Dans cette question, on appelle la matrice de obtenue avec 3, 2,
F E
F
U F x y = =
( )
,
4.
Trouver les valeurs propres de et exhiber pour chacune d'entre elles un vecteur propre.
4) On note L'application de dans qui à toute matrice de associe le nombre
i j
z
U
F A a F ϕ
=
= ℝ
( ) ( )
3 3
,
1 1
1
i j i j
i j
A a ϕ
+
= =
= −
∑∑

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a) Montrer que est une application linéaire de dans .
b) Déterminer Im . En déduire la dimension de ker
c) Déterminer une base de ker .
Ex 6
Soit 2
Soit l'application qui à tout pol
F
n
f
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
≥
ℝ
[ ]
( ) ( ) ( ) (
)
[ ]
[ ]
[ ]
ynôme de associe défini par 1 ' .
1) Montrer que est un endomorphisme de
2) Donner la matrice de dans la base canonique de .
3) est-il un automorphisme de ?
4) Quell
n
n
n
n
P X f P Q Q X P X XP X
f X
M f X
f X
= = + + ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
[ ] ( ) ( )
es sont les valeurs propres de ? L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
5) a) Montrer qu'il existe un polynôme non nul de tel que 1
b) Préciser le degré de .
c) En déduire q
n n n n
n
f f
P X f P n P
P
= + ℝ
( )
( )
[ ]
3
0
ue est une base de constituée de vecteurs propres de .
d) Donner la matrice de dans cette base.
Ex 7
L'espace est rapporté à un repère orthonormé et ainsi identifié à .
On désigne
k
n n
k n
P X f
f
≤ ≤
ℝ
ℝ
2 2 2
par l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation :
3 3 8 2 4 1
1) Etudier l'intersection de avec le plan d'équati
E
x y z yz zx xy
E
+ − − + − =
on 2 0 en la décrivant complètement.
2) Ecrire l'équation de sous la forme où et est une matrice symétrique qu'on explicitera.
3) Déterminer le noyau et l'image de l'endomorp
t
y z
x
E XAX X y A
z
+ =
= 
3
hisme de dont la matrice dans la base canonique est .
4) Déterminer les valeurs propres de . est-elle diagonalisable ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
5) Déterminer une base de vecteurs propres
A
A A
ℝ
( )
3,1
de constituée de vecteurs colonne de norme 1.
Montrer qu'on peut trouver une matrice diagonale et une matrice iversible telle que
'
6) Pour tout vecteur colonne de on pose
t
A
D P
A PD P
x
X M Y
=
= ℝ ' .
'
Que devient l'équation de dans ces nouvelles coordonnées ?
t
y PX
z
E
  =

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()( )
2 2
2
Ex 8
On considère l'espace vectoriel , on note l'endomorphisme identité de et l'endomorphisme nul.
On note , la base canonique de .
Le but de cet exercice est de trouver les couples , d
Id
B i j
u v
θ
=
ℝ ℝ
ℝ
()(){}
2
2
2
2
'endomorphismes de vérifiant les quatre
propréiés suivantes :
) ) ) et ) ker 0
1) Un exemple. Soient , les deux endomorphismes de don
i u Id ii v Id iii v Id iv u v Id
u v
θ = − − = + −
≠ ≠
ℝ
ℝ
( )
( )
t les matrices dans la base sont :
0 1 1 1
et
1 0 0 1
Montrer que , est un couple solution du problème posé.
On revient au cas général et on suppose que ,
B
U V
u v
u v
−
= =
1 1
est un couple solution
2) a) Montrer que et sont des automorphismes et préciser et en fonction de , et .
b) Pour tout entier naturel exprimer comme une combinaison linéaire de
n
u v u v u v Id
n v
− −
()()
()()
()
()()()
()
2 1 2
1 2
et .
3) a) Etablir que Im ker
b) En déduire que Im ker
4) Montrer par l'absurde que dim ker 1.
5) Soit une base de ker . On pose .
a) Montrer que , est u
v Id
v Id v Id
v Id v Id
u v Id
e u v Id e u e
e e
− ⊂ −
− = −
+ − =
+ − = −
2
ne base de .
b) Donner les matrices de et dans cette base.
6) Donner la conclusion de l'exercice.
Ex 9
Soit l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à , avec 2.
On considè
u v
E n n
≥
ℝ
()
()()()
1
0
re l'application qui à un élément de associe la fonction définie par :
,
1) Montrer que est un endomorphisme de .
2) Déterminer la matrice de
P E P
x P x P x t dt
E
ϕ ϕ
ϕ
ϕϕ
∀ ∈ = +
∫
ℝ
dans la base canonique de .
3) Montrer que est bijective et non diagonalisable.
E
ϕ