Algèbre linéaire

Lycée Marcellin Berthelot BCPST 2C 2015-2016
Algèbre linéaire
Ex 1
 −1 2 − α −α 


Soit α un réel. On considère la matrice Aα =  −α
1
−α  et on note φα l'endomorphisme de ℝ3 dont la
 2 α − 2 α + 1


matrice dans la base canonique est Aα .
1) a) Montrer que pour tout α réel, 1 est valeur propre de φα .
b) Déterminer, suivant les valeurs de α , une base du sous espace propre de φα associé à 1.
2) On considère les vecteurs f1 = (1,1, −1) et f 2 = (1,1, −2 ) et on pose F1 = vect ( f1 , f 2 ) .
a) Montrer que ( f1 , f 2 ) est une base de F1.
b) Montrer que l'image par φα de tout vecteur de F1 est encore un vecteur de F1.
c) Donner la matrice, dans la base ( f1 , f 2 ) de la restriction de φα à F1.
3) Montrer que pour tout réel α , φα admet la valeur propre α − 1 et qu'on peut trouver un vecteur f3
de ℝ3 ne dépendant pas de α , qui soit, pour tout α , vecteur propre de φα associé à la valeur propre
α − 1.
4) a) Montrer que ( f1 , f 2 , f3 ) est une base de ℝ3 et expliciter la matrice de φα dans cette base.
b) Pour quelle ( s ) valeur ( s ) de α , φα est-il diagonalisable ?
Ex 2
 5 2 2


Diagonaliser S =  2 5 2  dans une base orthonormée.
 2 2 5


Ex 3
2 1 0
3


Soit la matrice M =  0 2 1  . Calculer ( M − 2 I ) . M est-elle diagonalisable ?
1 0 2


Ex 4
0 2 1


On considère la matrice J =  0 −1 2  et on appelle f l'endomorphisme de ℝ 3 dont la matrice dans la
0 1 0


base canonique est J .
2
1
a


On considère, pour tout nombre réel a, la matrice carrée réelle : M a =  0 a − 1 2 
0
1
a 

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1) a) Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de J .
b) Montrer que J est diagonalisable. Déterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible P
telles que J = PDP −1.
c) Montrer que M a = PDa P −1 où Da est une matrice diagonalisable que l'on explicitera.
d) Pour quels réels a, la matrice M a est-elle inversible ?
2) Soient a un réel et X une matrice carrée 3 × 3 à coefficients réels telle que X 2 = M a
a) Montrer que X commute avec M a puis avec J .
b) On note h l'endomorphisme de ℝ3 dont la matrice dans la base canonoique est X .
A l 'aide de a), montrer que tout vecteur propre de f est aussi un vecteur propre de h.
c) Etablir l'existence d'une matrice diagonale ∆ telle que X = P∆P −1 et montrer que ∆ 2 = Da
En déduire que a ≥ 2.
3) Soit a ≥ 2. Montrer qu'il existe une matrice X de M 3 ( ℝ ) telle que X 2 = M a .
Ex 5
0 0 1


Soit la matrice K =  0 1 0  . On note E l'ensemble des matrices M de M 3 ( ℝ ) vérifiant KM = MK = M .
1 0 0


1) a) Montrer que E est un un espace vectoriel.
b) Montrer qu'aucune matrice appartenant à E n'est inversible.
a b

2) Soit M =  d e
g h

c

f  une matrice de E.
k 
a) Montrer que k = g = c = a, h = b, et f = d et en déduire la forme générale des éléments de E.
b) Retrouver alors le résultats 1) b).
c) Déterminer une base et la dimension de E.
 x y x


3) On considère l'ensemble F des matrices de la forme  y z y  avec x, y, z réels.
 x y x


a) Vérifier que F est un sous espace vectoriel de E et en donner une base.
b) Les matrices de F sont-elles diagonalisables ?
c) Dans cette question, on appelle U la matrice de F obtenue avec x = 3, y = 2, z = 4.
Trouver les valeurs propres de U et exhiber pour chacune d'entre elles un vecteur propre.
( )
4) On note ϕ L'application de F dans ℝ qui à toute matrice A = ai , j de F associe le nombre
ϕ ( A) =
3
3
∑∑ ( −1)
i+ j
ai , j
i =1 j =1
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a) Montrer que ϕ est une application linéaire de F dans ℝ.
b) Déterminer Im ϕ . En déduire la dimension de ker ϕ
c) Déterminer une base de kerϕ .
Ex 6
Soit n ≥ 2
Soit f l'application qui à tout polynôme P de ℝ n [ X ] associe f ( P ) = Q défini par Q ( X ) = P ( X + 1) + XP ' ( X ) .
1) Montrer que f est un endomorphisme de ℝ n [ X ]
2) Donner la matrice M de f dans la base canonique de ℝ n [ X ] .
3) f est-il un automorphisme de ℝ n [ X ] ?
4) Quelles sont les valeurs propres de f ? L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?
5) a) Montrer qu'il existe un polynôme Pn non nul de ℝ n [ X ] tel que f ( Pn ) = ( n + 1) Pn
b) Préciser le degré de Pn .
( )
k
c) En déduire que Pn( )
0≤k ≤n
est une base de ℝ n [ X ] constituée de vecteurs propres de f .
d) Donner la matrice de f dans cette base.
Ex 7
L'espace est rapporté à un repère orthonormé et ainsi identifié à ℝ 3 .
On désigne par E l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation :
x 2 + 3 y 2 − 3 z 2 − 8 yz + 2 zx − 4 xy = 1
1) Etudier l'intersection de E avec le plan d'équation y + 2 z = 0 en la décrivant complètement.
x
 
2) Ecrire l'équation de E sous la forme XAX où X =  y  et A est une matrice symétrique qu'on explicitera.
z
 
t
3) Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme de ℝ 3 dont la matrice dans la base canonique est A.
4) Déterminer les valeurs propres de A. A est-elle diagonalisable ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
5) Déterminer une base de vecteurs propres de A constituée de vecteurs colonne de norme 1.
Montrer qu'on peut trouver une matrice diagonale D et une matrice iversible P telle que
A = PD t P
 x'
 
6) Pour tout vecteur colonne X de M 3,1 ( ℝ ) on pose Y =  y '  = t PX .
 z'
 
Que devient l'équation de E dans ces nouvelles coordonnées ?
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Ex 8
On considère l'espace vectoriel ℝ 2 , on note Id l'endomorphisme identité de ℝ 2 et θ l'endomorphisme nul.
On note B = ( i, j ) la base canonique de ℝ 2 .
Le but de cet exercice est de trouver les couples ( u, v ) d'endomorphismes de ℝ 2 vérifiant les quatre
propréiés suivantes :
i ) u 2 = − Id
ii ) v ≠ Id
iii )
( v − Id )2 = θ
et
iv ) ker ( u + v − Id ) ≠ {0}
1) Un exemple. Soient u, v les deux endomorphismes de ℝ 2 dont les matrices dans la base B sont :
 0 −1 
 1 1
U =
 et V = 

1 0 
 0 1
Montrer que ( u, v ) est un couple solution du problème posé.
On revient au cas général et on suppose que ( u, v ) est un couple solution
2) a) Montrer que u et v sont des automorphismes et préciser u −1 et v −1 en fonction de u, v et Id.
b) Pour tout entier naturel n exprimer v n comme une combinaison linéaire de v et Id .
3) a) Etablir que Im ( v − Id ) ⊂ ker ( v − Id )
b) En déduire que Im ( v − Id ) = ker ( v − Id )
4) Montrer par l'absurde que dim ker ( u + v − Id ) = 1.
5) Soit ( e2 ) une base de ker ( u + v − Id ) . On pose e1 = −u ( e2 ) .
a) Montrer que ( e1 , e2 ) est une base de ℝ 2 .
b) Donner les matrices de u et v dans cette base.
6) Donner la conclusion de l'exercice.
Ex 9
Soit E l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, avec n ≥ 2.
On considère l'application ϕ qui à un élément P de E associe la fonction ϕ ( P ) définie par :
∀x ∈ ℝ , ϕ ( P )( x ) =
1
∫ P ( x + t ) dt
0
1) Montrer que ϕ est un endomorphisme de E.
2) Déterminer la matrice de ϕ dans la base canonique de E.
3) Montrer que ϕ est bijective et non diagonalisable.
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