Activité d`introduction aux fonctions exponentielles

Activité d’introduction aux fonctions exponentielles
1°) Une population de bactéries est placée dans un milieu favorable à son développement. Le
nombre de bactéries augmente de 60% toutes les heures. On considère la suite
n
u
égale au nombre
de bactéries, en milliers d’individus, présentes au bout de n heures.
a) Sachant que
1
0u
démontrer que pour tout entier naturel n :
n
n
u6,1
.
b) Représenter graphiquement la suite u par un nuage des points, pour n allant de 0 à 4.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4
c) Peut-on prévoir le nombre de bactéries présentes au bout de deux heures et trente minutes ? au
bout de deux heures et 45 minutes ?
2°) a) Calculer l’accroissement relatif du nombre de bactéries entre les instants 1 et 2. Entre les
instants 2 et 3. Que constatez-vous ?
b) Ainsi le nombre g de bactéries à l’instant 2,5 doit être tel que les accroissements relatifs entre les
instants 2 et 2,5 et entre les instants 2,5 et 3 soient égaux. Démontrer que
32 uug 
.
On dit alors que g est la moyenne géométrique des nombres
32 uetu
.
c) Quel est le nombre de bactéries présentes au bout de 2h30mn ?
d) De même à combien peut-on estimer le nombre de bactéries présentes à l’instant t = 2h45mn ?
3°) Placer sur le graphique le point de coordonnées
);5,2( g
. Puis placer entre les points
d’abscisses 2,5 et 3 du nuage le point dont l’abscisse est la moyenne arithmétique de leurs abscisses
et l’ordonnée la moyenne géométrique de leurs ordonnées.
4°) Poursuivre ce processus en construisant à chaque étape entre deux points le point dont
l’abscisse est la moyenne arithmétique des abscisses et l’ordonnée la moyenne géométrique des
ordonnées. Tracer une courbe passant par les points du nuage ainsi obtenu.
Abscisse
Ordonnée
2
2.560
3
4.096
=(A2+A3)/2
=RACINE(B2*B3)
5°) a) Faire un nouveau graphique en y plaçant les points de coordonnées
)6,1;( n n
pour les entiers
n allant de –3 à 3.
b) Construire entre les points successifs du nuage les points obtenus par le processus décrit dans la
question 4. Recommencer cela une deuxième fois, puis tracer une courbe représentative passant par
les points du nuage.