équations différentielles linéaires algébriques

Claude Sabbah
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
LINÉAIRES ALGÉBRIQUES
STRASBOURG, JANVIER-MARS 2010

C. Sabbah
UMR 7640 du CNRS, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz,
École polytechnique, F–91128 Palaiseau cedex, France.
E-mail : [email protected]
Url : http://www.math.polytechnique.fr/~sabbah

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
ALGÉBRIQUES
STRASBOURG, JANVIER-MARS 2010
Claude Sabbah

TABLE DES MATIÈRES
1. 8 janvier 2010.............................................................. 1
1.1. Introduction : équations différentielles linéaires et systèmes différentiels
linéaires.................................................................. 1
1.2. La singularité à l’infini................................................... 4
1.3. Changement de base (ou de jauge). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Théorie locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. 15 janvier 2010............................................................. 11
2.1. Théorie locale (bis) : équivalence méromorphe et équivalence holomorphe 11
2.2. La forme normale de Levelt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Théorie globale : le problème de Riemann-Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 janvier 2010................................................................ 17
Problème..................................................................... 17
3. 29 janvier 2010............................................................. 23
3.1. La droite projective et ses ouverts de Zariski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Fibrés vectoriels sur la droite projective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Noyau et image d’un homomorphisme de fibrés vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4. Sections globales d’un fibré vectoriel algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5. Fibrés en droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. 5 février 2010............................................................... 31
4.1. Sous-fibrés, fibrés quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Le théorème de classification de Birkhoff-Grothendieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. 19 février 2010............................................................. 37
5.0. Compléments : fibrés vectoriels sur un ouvert de Zariski de P1........... 37
5.1. Dérivations des sections d’un fibré vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2. Connexions rationnelles sur un fibré vectoriel algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3. Résidu d’une connexion relativement à un fibré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44