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Les nombres
Contenu
Articles
Nombre 1
Extensions 7
Entier naturel 7
Entier relatif 12
Nombre décimal 15
Nombre rationnel 16
Nombre réel 20
Nombre complexe 34
Ensembles usuels 45
Quaternion 45
Octonion 56
Sédénion 62
Nombre complexe fendu 64
Tessarine 69
Nombre bicomplexe 70
Nombre multicomplexe 71
Biquaternion 72
Coquaternion 74
Octonion fendu 77
Nombre hypercomplexe 80
Nombre p- adique 83
Nombre hyperréel 86
Nombre superréel 88
Nombre dual 89
Droite réelle achevée 90
Nombre cardinal 91
Nombre ordinal 96
Nombre surréel et pseudo- réel 105
Propriétés particulières 109
Parité (arithmétique) 109
Nombre premier 112
Nombre composé 124
Carré parfait 125
Nombre parfait 127
Nombre positif 130
Nombre négatif 131
Fraction dyadique 133
Nombre irrationnel 134
Nombre algébrique 138
Nombre transcendant 140
Nombre imaginaire pur 145
Nombre de Liouville 146
Nombre normal 149
Nombre univers 151
Nombre constructible 151
Nombre réel calculable 162
Nombre transfini 164
Infiniment petit 166
Infiniment grand 167
Exemples d'importance historique 168
Pi 168
Racine carrée de deux 183
Nombre d'or 200
Zéro 226
Unité imaginaire 231
E (nombre) 232
Aleph- zéro 238
Table de constantes mathématiques 238
Notions connexes 243
Chiffre 243
Numération 248
Fraction (mathématiques) 252
Opération (mathématiques) 260
Calcul (mathématiques) 261
Algèbre 264
Arithmétique 268
Suite d'entiers 271
Infini 272
Chiffre significatif 278
Références
Sources et contributeurs de l'article 281
Source des images, licences et contributeurs 285
Licence des articles
Licence 288
Nombre 1
Nombre
La notion de nombre en linguistique est traitée à larticle « Nombre grammatical ».
Un nombre est un concept permettant d€valuer et de comparer des quantit€s ou des rapports de grandeurs, mais
aussi dordonner des €l€ments par une num€rotation. Souvent €crits • laide dun ou plusieurs chiffres, les nombres
interagissent par le biais dop€rations qui sont r€sum€es par des r‚gles de calcul. Les propri€t€s de ces relations entre
les nombres sont lobjet d€tude de larithm€tique, qui se prolonge avec la th€orie des nombres.
En labsence dune d€finition g€n€rale satisfaisante de cette notion[1] , les math€matiques proposent plusieurs types
de nombres pour exprimer des mesures physiques ou g€om€triques, r€soudre des €quations, voire pour appr€hender
linfini.
En physique, les grandeurs sans dimension sont souvent appel€es ƒ nombres „, tels le nombre de Reynolds en
m€canique des fluides ou les nombres quantiques. En dehors de leur utilisation scientifique, plusieurs nombres ont
aussi acquis une charge symbolique forte dans les cultures populaires et religieuses.
Conception
Principe
Le concept de nombre trouve son origine dans lid€e dappariement, cest-•-dire de la mise en correspondance
densembles (par exemple des …tres humains dune part et des chevaux dautre part). Si lon tente de r€partir tous les
€l€ments en couples comprenant un €l€ment de chaque ensemble, il se peut quil reste des €l€ments dun ensemble en
trop, ou quil en manque, ou encore quil y en ait juste assez. Lexp€rience montre alors que la mani‚re de faire la
r€partition ne change pas le r€sultat, do† la notion de quantit€, caract‚re intrins‚que et qui peut …tre compar€.
Cette quantit€ nest pas encore un nombre mais est parfois d€sign€e comme un ƒ nombre-de „[2] . Le nombre en tant
que tel ne poss‚de pas dunit€ de mesure. Il est dapr‚s Euclide[3] ƒ un assemblage compos€ dunit€s „, o† ƒ lunit€ est
ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. „
Parall‚lement • la notion de quantit€, li€ • laspect ƒ cardinal „, le notion de rep€rage dans une liste m‚ne • la
d€finition du nombre ƒ ordinal „ : le premier nombre[4] est suivi dun deuxi‚me, lui-m…me suivi dun autre et ainsi de
suite ƒ jusqu• linfini „.
Extension progressive
Sans calcul, les nombres sont limit€s • la quantit€ de symboles utilisables. Par exemple, on ne peut compter sur ses
doigts au-del• de dix[5] . La d€couverte des op€rations num€riques €l€mentaires (addition et multiplication
notamment) va permettre aux math€matiques de faciliter la description des nombres beaucoup plus grands • laide de
divers syst‚mes de num€ration. La civilisation babylonienne d€couvre notamment la notation positionnelle d‚s le IIIe
mill€naire avant notre ‚re et pratique alors le calcul avec des nombres ayant une partie fractionnaire.
Les fractions sont con‡ues en ˆgypte antique sous formes de ƒ quanti‚mes „, cest-•-dire dinverses dentiers. Leur
manipulation est alors soumise • certaines contraintes qui ne seront surmont€es que par linterpr€tation g€om€trique
comme rapport de longueurs (enti‚res). Toutefois, ni les fractions ni les autres proportions g€om€triques telles que
pi, le nombre dor ou la diagonale du carr€ ne seront vraiment consid€r€es comme des nombres par les
math€maticiens de la Gr‚ce antique, pour qui les seuls nombres sont entiers.
M…me si le chiffre ƒ 0 „ est employ€ dans certains syst‚mes de num€ration positionnelle par plusieurs civilisations
antiques[6] , le nombre z€ro napparait en tant que tel quau VIIe si‚cle dans les math€matiques indiennes. Il est repris
par la civilisation de lIslam et import€ en Europe au Xe si‚cle. Sous le qualificatif dƒ absurdes „, les nombres
n€gatifs sont d€j• €tudi€s au XVIe si‚cle mais leurs propri€t€s arithm€tiques font encore pol€mique au d€but du XIXe
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