Les nombres

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Les nombres

Contenu
Articles
Nombre 1
Extensions 7
Entier naturel 7
Entier relatif 12
Nombre décimal 15
Nombre rationnel 16
Nombre réel 20
Nombre complexe 34
Ensembles usuels 45
Quaternion 45
Octonion 56
Sédénion 62
Nombre complexe fendu 64
Tessarine 69
Nombre bicomplexe 70
Nombre multicomplexe 71
Biquaternion 72
Coquaternion 74
Octonion fendu 77
Nombre hypercomplexe 80
Nombre p- adique 83
Nombre hyperréel 86
Nombre superréel 88
Nombre dual 89
Droite réelle achevée 90
Nombre cardinal 91
Nombre ordinal 96
Nombre surréel et pseudo- réel 105
Propriétés particulières 109
Parité (arithmétique) 109
Nombre premier 112

Nombre composé 124
Carré parfait 125
Nombre parfait 127
Nombre positif 130
Nombre négatif 131
Fraction dyadique 133
Nombre irrationnel 134
Nombre algébrique 138
Nombre transcendant 140
Nombre imaginaire pur 145
Nombre de Liouville 146
Nombre normal 149
Nombre univers 151
Nombre constructible 151
Nombre réel calculable 162
Nombre transfini 164
Infiniment petit 166
Infiniment grand 167
Exemples d'importance historique 168
Pi 168
Racine carrée de deux 183
Nombre d'or 200
Zéro 226
Unité imaginaire 231
E (nombre) 232
Aleph- zéro 238
Table de constantes mathématiques 238
Notions connexes 243
Chiffre 243
Numération 248
Fraction (mathématiques) 252
Opération (mathématiques) 260
Calcul (mathématiques) 261
Algèbre 264
Arithmétique 268
Suite d'entiers 271

Infini 272
Chiffre significatif 278
Références
Sources et contributeurs de l'article 281
Source des images, licences et contributeurs 285
Licence des articles
Licence 288

Nombre 1
Nombre
La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».
Un nombre est un concept permettant d’€valuer et de comparer des quantit€s ou des rapports de grandeurs, mais
aussi d’ordonner des €l€ments par une num€rotation. Souvent €crits • l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres
interagissent par le biais d’op€rations qui sont r€sum€es par des r‚gles de calcul. Les propri€t€s de ces relations entre
les nombres sont l’objet d’€tude de l’arithm€tique, qui se prolonge avec la th€orie des nombres.
En l’absence d’une d€finition g€n€rale satisfaisante de cette notion[1] , les math€matiques proposent plusieurs types
de nombres pour exprimer des mesures physiques ou g€om€triques, r€soudre des €quations, voire pour appr€hender
l’infini.
En physique, les grandeurs sans dimension sont souvent appel€es ƒ nombres „, tels le nombre de Reynolds en
m€canique des fluides ou les nombres quantiques. En dehors de leur utilisation scientifique, plusieurs nombres ont
aussi acquis une charge symbolique forte dans les cultures populaires et religieuses.
Conception
Principe
Le concept de nombre trouve son origine dans l’id€e d’appariement, c’est-•-dire de la mise en correspondance
d’ensembles (par exemple des …tres humains d’une part et des chevaux d’autre part). Si l’on tente de r€partir tous les
€l€ments en couples comprenant un €l€ment de chaque ensemble, il se peut qu’il reste des €l€ments d’un ensemble en
trop, ou qu’il en manque, ou encore qu’il y en ait juste assez. L’exp€rience montre alors que la mani‚re de faire la
r€partition ne change pas le r€sultat, d’o† la notion de quantit€, caract‚re intrins‚que et qui peut …tre compar€.
Cette quantit€ n’est pas encore un nombre mais est parfois d€sign€e comme un ƒ nombre-de „[2] . Le nombre en tant
que tel ne poss‚de pas d’unit€ de mesure. Il est d’apr‚s Euclide[3] ƒ un assemblage compos€ d’unit€s „, o† ƒ l’unit€ est
ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. „
Parall‚lement • la notion de quantit€, li€ • l’aspect ƒ cardinal „, le notion de rep€rage dans une liste m‚ne • la
d€finition du nombre ƒ ordinal „ : le premier nombre[4] est suivi d’un deuxi‚me, lui-m…me suivi d’un autre et ainsi de
suite ƒ jusqu’• l’infini „.
Extension progressive
Sans calcul, les nombres sont limit€s • la quantit€ de symboles utilisables. Par exemple, on ne peut compter sur ses
doigts au-del• de dix[5] . La d€couverte des op€rations num€riques €l€mentaires (addition et multiplication
notamment) va permettre aux math€matiques de faciliter la description des nombres beaucoup plus grands • l’aide de
divers syst‚mes de num€ration. La civilisation babylonienne d€couvre notamment la notation positionnelle d‚s le IIIe
mill€naire avant notre ‚re et pratique alors le calcul avec des nombres ayant une partie fractionnaire.
Les fractions sont con‡ues en ˆgypte antique sous formes de ƒ quanti‚mes „, c’est-•-dire d’inverses d’entiers. Leur
manipulation est alors soumise • certaines contraintes qui ne seront surmont€es que par l’interpr€tation g€om€trique
comme rapport de longueurs (enti‚res). Toutefois, ni les fractions ni les autres proportions g€om€triques telles que
pi, le nombre d’or ou la diagonale du carr€ ne seront vraiment consid€r€es comme des nombres par les
math€maticiens de la Gr‚ce antique, pour qui les seuls nombres sont entiers.
M…me si le chiffre ƒ 0 „ est employ€ dans certains syst‚mes de num€ration positionnelle par plusieurs civilisations
antiques[6] , le nombre z€ro n’apparait en tant que tel qu’au VIIe si‚cle dans les math€matiques indiennes. Il est repris
par la civilisation de l’Islam et import€ en Europe au Xe si‚cle. Sous le qualificatif d’ƒ absurdes „, les nombres
n€gatifs sont d€j• €tudi€s au XVIe si‚cle mais leurs propri€t€s arithm€tiques font encore pol€mique au d€but du XIXe