Les nombres

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Les nombres
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Contenu
Articles
Nombre
Extensions
1
7
Entier naturel
7
Entier relatif
12
Nombre décimal
15
Nombre rationnel
16
Nombre réel
20
Nombre complexe
34
Ensembles usuels
45
Quaternion
45
Octonion
56
Sédénion
62
Nombre complexe fendu
64
Tessarine
69
Nombre bicomplexe
70
Nombre multicomplexe
71
Biquaternion
72
Coquaternion
74
Octonion fendu
77
Nombre hypercomplexe
80
Nombre p-adique
83
Nombre hyperréel
86
Nombre superréel
88
Nombre dual
89
Droite réelle achevée
90
Nombre cardinal
91
Nombre ordinal
96
Nombre surréel et pseudo-réel
105
Propriétés particulières
109
Parité (arithmétique)
109
Nombre premier
112
Nombre composé
124
Carré parfait
125
Nombre parfait
127
Nombre positif
130
Nombre négatif
131
Fraction dyadique
133
Nombre irrationnel
134
Nombre algébrique
138
Nombre transcendant
140
Nombre imaginaire pur
145
Nombre de Liouville
146
Nombre normal
149
Nombre univers
151
Nombre constructible
151
Nombre réel calculable
162
Nombre transfini
164
Infiniment petit
166
Infiniment grand
167
Exemples d'importance historique
168
Pi
168
Racine carrée de deux
183
Nombre d'or
200
Zéro
226
Unité imaginaire
231
E (nombre)
232
Aleph-zéro
238
Table de constantes mathématiques
238
Notions connexes
243
Chiffre
243
Numération
248
Fraction (mathématiques)
252
Opération (mathématiques)
260
Calcul (mathématiques)
261
Algèbre
264
Arithmétique
268
Suite d'entiers
271
Infini
272
Chiffre significatif
278
Références
Sources et contributeurs de l'article
281
Source des images, licences et contributeurs
285
Licence des articles
Licence
288
Nombre
Nombre
La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».
Un nombre est un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais
aussi d’ordonner des éléments par une numérotation. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres
interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre
les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.
En l’absence d’une définition générale satisfaisante de cette notion[1] , les mathématiques proposent plusieurs types
de nombres pour exprimer des mesures physiques ou géométriques, résoudre des équations, voire pour appréhender
l’infini.
En physique, les grandeurs sans dimension sont souvent appelées « nombres », tels le nombre de Reynolds en
mécanique des fluides ou les nombres quantiques. En dehors de leur utilisation scientifique, plusieurs nombres ont
aussi acquis une charge symbolique forte dans les cultures populaires et religieuses.
Conception
Principe
Le concept de nombre trouve son origine dans l’idée d’appariement, c’est-à-dire de la mise en correspondance
d’ensembles (par exemple des êtres humains d’une part et des chevaux d’autre part). Si l’on tente de répartir tous les
éléments en couples comprenant un élément de chaque ensemble, il se peut qu’il reste des éléments d’un ensemble en
trop, ou qu’il en manque, ou encore qu’il y en ait juste assez. L’expérience montre alors que la manière de faire la
répartition ne change pas le résultat, d’où la notion de quantité, caractère intrinsèque et qui peut être comparé.
Cette quantité n’est pas encore un nombre mais est parfois désignée comme un « nombre-de »[2] . Le nombre en tant
que tel ne possède pas d’unité de mesure. Il est d’après Euclide[3] « un assemblage composé d’unités », où « l’unité est
ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. »
Parallèlement à la notion de quantité, lié à l’aspect « cardinal », le notion de repérage dans une liste mène à la
définition du nombre « ordinal » : le premier nombre[4] est suivi d’un deuxième, lui-même suivi d’un autre et ainsi de
suite « jusqu’à l’infini ».
Extension progressive
Sans calcul, les nombres sont limités à la quantité de symboles utilisables. Par exemple, on ne peut compter sur ses
doigts au-delà de dix[5] . La découverte des opérations numériques élémentaires (addition et multiplication
notamment) va permettre aux mathématiques de faciliter la description des nombres beaucoup plus grands à l’aide de
divers systèmes de numération. La civilisation babylonienne découvre notamment la notation positionnelle dès le IIIe
millénaire avant notre ère et pratique alors le calcul avec des nombres ayant une partie fractionnaire.
Les fractions sont conçues en Égypte antique sous formes de « quantièmes », c’est-à-dire d’inverses d’entiers. Leur
manipulation est alors soumise à certaines contraintes qui ne seront surmontées que par l’interprétation géométrique
comme rapport de longueurs (entières). Toutefois, ni les fractions ni les autres proportions géométriques telles que
pi, le nombre d’or ou la diagonale du carré ne seront vraiment considérées comme des nombres par les
mathématiciens de la Grèce antique, pour qui les seuls nombres sont entiers.
Même si le chiffre « 0 » est employé dans certains systèmes de numération positionnelle par plusieurs civilisations
antiques[6] , le nombre zéro n’apparait en tant que tel qu’au VIIe siècle dans les mathématiques indiennes. Il est repris
par la civilisation de l’Islam et importé en Europe au Xe siècle. Sous le qualificatif d’« absurdes », les nombres
négatifs sont déjà étudiés au XVIe siècle mais leurs propriétés arithmétiques font encore polémique au début du XIXe
1
Nombre
2
siècle.
Les nombres algébriques (réels positifs) sont étudiés avec le développement de l’algèbre par les mathématiciens
arabes. Ces derniers en calculent des valeurs approchées en notation décimale dès le XIIe siècle. Cette même algèbre
conduira certains mathématiciens italiens à inventer au XVIe siècle des nombres « imaginaires », première approche
des nombres complexes qui ne seront définis de manière satisfaisante qu’au XVIIIe siècle. Leur construction
géométrique sera d’ailleurs rapidement suivie de celle des quaternions puis d’autres nombres hypercomplexes
pendant le siècle suivant.
Paradoxalement, il faudra cependant attendre le XIXe siècle pour que soit reconnue l’existence de nombres
transcendants, juste avant que soit formalisée la notion de nombre réel indépendamment de la géométrie. La
procédure de complétion des nombres rationnels sera imitée au début du XXe siècle pour construire les nombres
p-adiques.
Les nombres transfinis sont introduits de diverses manières à partir de la fin du XIXe siècle, lorsque Georg Cantor
définit les ordinaux et cardinaux. Dans la seconde moitié du XXe siècle, l’analyse non standard fait usage de nombres
hyperréels puis superréels, tandis que Conway présente les nombres surréels et pseudo-réels.
Pédagogie
Diverses expériences explorent les capacités numériques chez l’enfant en bas âge. Dans l’éducation, l’apprentissage
du nombre débute avec l’acquisition de la « chaine numérique »[7] , notamment à l’aide de comptines[8] : « un, deux,
trois… » Cette liste sera progressivement prolongée pour permettre à l’enfant d’énumérer des objets qu’il manipule
afin de les dénombrer (en associant à cette quantité le dernier terme de l’énumération), mais aussi pour repérer une
position dans une série ordonnée.
Au cours de la scolarité, l’enfant est amené à considérer divers types de nombres rangés dans une suite croissante
d’ensembles :
• l’ensemble N des entiers naturels, qui peuvent s’écrire à l’aide des dix chiffres arabes ;
• l’ensemble Z des entiers relatifs, qui sont munis d’un signe positif ( ) ou négatif (
);
• l’ensemble D des nombres décimaux, qui admettent une partie entière et une partie décimale de longueur finie, en
général notées de part et d'autre d'une virgule[9] ;
• l’ensemble Q des nombres rationnels, qui sont représentés par des fractions avec un numérateur et un
dénominateur entiers (ou décimaux) ;
• l’ensemble R des nombres réels, qui repèrent tous les points d’un axe orienté continu ;
• l’ensemble C des nombres complexes, qui peuvent décrire tous les points d’un plan.
Numération
Numérations selon les cultures
Numération arabo-indienne
arabe
khmer
indienne
mongole
thaï
Numérations à l’origine chinoise
chinoise
japonaise
à bâtons
suzhou
Numérations alphabétiques
Nombre
3
arménienne
cyrillique
d'Âryabhata
éthiopienne
hébraïque
grecque
tchouvache
Autres systèmes
attique
brahmi
champs d'urnes
colombienne
égyptienne
étrusque
forestière
inuite
maya
mésopotamienne
romaine
Notations positionnelles par base
Décimal (10)
2, 4, 8, 16, 32, 64
1, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60, plus…
Origine
L’idée de quantité et sa codification visuelle sont vraisemblablement antérieures à l’apparition de l’écriture[10] .
Plusieurs procédés de comptage sont progressivement développés pour décrire la taille d’un troupeau et contrôler son
évolution, suivre un calendrier ou mesurer des récoltes[11] .
Au IVe millénaire avant notre ère, les civilisations mésopotamiennes utilisent ainsi des boules creuses d’argile
contenant des jetons, puis des tablettes d’argile munies de marques. Un système de notation (dit « système S ») est
employé pour la désignation des quantités discrètes, tandis que les surfaces et autres grandeurs sont représentées
chacune selon un système de notation propre[12] . Il faut attendre la fusion de ces systèmes, à la fin du IIIe millénaire
avant notre ère, pour voir se former véritablement le concept du nombre abstrait, indépendant de ses réalisations
concrètes[13] .
Du signe au chiffre
Dans les systèmes de numération additifs, certains symboles (variables selon les cultures) représentent des quantités
précises et sont juxtaposés pour désigner tous les nombres utiles[14] .
Les systèmes alphabétiques associent la liste des lettres de l’alphabet (employant en renfort des lettres inusitées,
désuètes ou inventées[15] ) aux neuf unités, neuf dizaines et neuf centaines pour écrire chaque nombre entre 1 et 999
en trois caractères maximum. Pour écrire des valeurs supérieures, un nouveau groupe de trois lettres maximum
désignant les milliers est placé à gauche, séparé par une apostrophe.
Ce système est proche de l’écriture positionnelle chiffrée, dans laquelle chaque position ne contient (au plus[16] )
qu’un seul chiffre.
Nombre
Arithmétique
Opérations
Dès lors que les quantités sont représentées par des symboles, la manipulation des quantités doit être traduite par des
opérations sur les nombres. Ainsi, la réunion de deux quantités définit l’opération d’addition et la répétition d’une
certaine quantité donne lieu à la multiplication. Ces deux opérations directes admettent des opérations réciproques :
la soustraction et la division, qui permettent de retrouver l’un des opérandes à partir du résultat et de l’autre opérande.
Chacune de ces opérations est réalisée selon diverses techniques de calcul. Mais contrairement aux opérations
directes qui sont définies sans restriction, les opérations réciproques n’aboutissent que sous certaines conditions.
Ainsi, avant l’utilisation des nombres négatifs, un nombre ne peut être soustrait qu’à un nombre plus grand[17] . De
même, la notion de divisibilité décrit la réalisabilité d’une division. Le processus de division euclidienne a cependant
l’avantage de fournir un résultat même sans l’hypothèse de divisibilité. Cette dernière s’exprime alors par l’absence
de reste.
À partir du moment où la multiplication apparaît comme une opération purement numérique, sa répétition définit les
puissances d’un nombre, dont les opérations réciproques sont appelées racines. D’autres opérations telles que la
factorielle sont développées dans le cadre de la combinatoire.
Multiple et diviseur
Dans ce paragraphe, tout nombre est sous-entendu entier et strictement positif.
Étant donné un nombre, l’ensemble de ses multiples est infini mais régulièrement réparti et facile à décrire par une
suite arithmétique. Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs
parmi tous les entiers.
Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un nombre est toujours fini et sa répartition n’a pas du tout le même genre de
régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre
ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans
une base donnée.
Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par
un autre. Dans un système de numération positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour
de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division
euclidienne qui permet de répondre à cette question.
Nombre premier
Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui
en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d’autres nombres
par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une
infinité et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition
permet entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.
4
Nombre
Vers la théorie des nombres
Les opérations définies sur les entiers s’étendent à d’autres objets mathématiques qui ne prendront que
progressivement le statut de nombre. Les nombres avec une partie fractionnaire, les fractions, puis zéro et les
nombres négatifs, les nombres algébriques et certains nombres d’abord qualifiés d’« imaginaires » sont l’objet d’étude
d’une arithmétique qui se développe jusqu’à prendre le nom de théorie des nombres.
Géométrie
Nombre figuré
L’évaluation d’une quantité d’objets se fait plus ou moins
rapidement selon la manière dont les objets sont rangés. Par
exemple, seize jetons se comptent bien plus facilement s’ils sont
disposés en carré que s’ils sont jetés en désordre sur une table. De
même, la tetraktys des pythagoriciens est le rangement de dix
points en triangle. D’autres formes sont étudiées sous cet angle
dans le plan (hexagones par exemple) ou dans l’espace par des
empilements de figures.
Cette vision des nombres comme des configurations géométriques
permet entre autres d’interpréter le produit de deux nombres
comme le rectangle dont les côtés sont décrits par ces deux
La tetraktys pythagoricienne
nombres, d’où la nécessaire commutativité de la multiplication,
c’est-à-dire que l’ordre dans lequel on effectue la multiplication n’a pas d’influence sur le résultat. D’autres propriétés
arithmétiques peuvent s’énoncer géométriquement. Ainsi, un nombre est pair s’il est représentable par un rectangle
sur deux lignes ; il est premier si la seule manière de le représenter sous forme de rectangle est une ligne de plusieurs
points.
Rapport de grandeur
Certains nombres proviennent de rapports géométriques comme pi, rapport de la circonférence du cercle à son
diamètre, ou le nombre d’or, né du problème de la division « en extrême et moyenne raison ».
Voir aussi
Bibliographie
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•
•
•
John H. Conway, Richard K. Guy, Le Livre des nombres, Paris, Eyrolles, 1998. ISBN 2-212-03638-8.
Heinz-Dieter Ebbinghaus, et al. , Numbers, New York, Springer, 1991. ISBN 0-387-97497-0.
Paul Benoît, Karine Chemla, Jim Ritter, Histoire des fractions, fractions d'histoire, Birkhäuser, 1992
G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4e éd., New York, Oxford University
Press, 1960. « Le plus grand classique sur la théorie des nombres » selon Douglas Hofstadter.
• Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Éditions Robert Laffont, collection « Bouquins ».
• Le Mystère des nombres, Hors-série de Science et Avenir, 2004.
5
Nombre
6
Articles connexes
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•
•
Numération ;
Construction du nombre chez l’enfant
Système de numération ;
Mathématiques ;
Fraction ;
Les dix premiers nombres entiers ou chiffres, qui servent à former tous les nombres dans la numérotation
décimale : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf ;
Nombre premier ;
Gogol ;
Nombres en français ;
Nom des grands nombres ;
Nombres dans le monde ;
Liste des nombres ;
Liste des grands nombres ;
Suite d’entiers ;
Les nombres ordinaux et cardinaux ;
• Table des diviseurs
• Nombre grammatical.
Liens externes
• Dossier sur l’histoire des chiffres [18] sur le site de Radio-Canada
• Jean-Pierre Dedieu, Les Mots des nombres [19], 7 février 2007. [pdf]
ckb:‫ ەرامژ‬mhr:Шотпал mwl:Númaro
Références
[1] Le Petit Robert de la langue française et le Trésor de la Langue Française Informatisé rapportent que « le nombre est une des notions
fondamentales de l’entendement […] qu’on ne peut définir. » Le Petit Larousse illustré soutient que le nombre « ne peut faire l’objet d’une
définition stricte ».
[2] Expression utilisée par Stella Baruk dans son Dictionnaire de mathématiques élémentaires.
[3] Éléments, livre VII.
[4] Le premier entier dit « naturel » est le nombre
avant la reconnaissance du zéro mais encore après dans le langage courant et encore
aujourd’hui dans les mathématiques anglo-saxonnes.
[5] Mais on peut calculer avec ses doigts en manipulant des nombres bien plus grands.
[6] On le trouve notamment dans la numération grecque à partir du IIe siècle avant notre ère et la numération maya au cours du Ier millénaire.
[7] Il s’agit de la suite des premiers nombres entiers, commençant généralement à 1, voir à ce sujet les nouveaux programmes de l’école primaire
en France (http:/ / www. education. gouv. fr/ cid21082/ les-nouveaux-programmes-ecole-primaire. html) p. 7.
[8] Le mot « comptine » dérive lui-même tardivement du verbe « compter » selon le dictionnaire historique de la langue française.
[9] En notation anglo-saxonne, la virgule est remplacée par un point (typographie).
[10] L’os d’Ishango est ainsi interprété comme un artefact antérieur à l’apparition de l’écriture et représentant des valeurs numériques.
[11] Georges Ifrah, introduction à l’Histoire universelle des chiffres.
[12] Catherine Goldstein, « La naissance du nombre en Mésopotamie », Histoire des nombres, éditions Tallandier, 2007.
[13] Christian Houzel, « Qu’est-ce qu’un nombre ? », Histoire des nombres, éditions Tallandier, 2007.
[14] Le système de numération de l’Égypte antique s’arrête ainsi au symbole du million, assimilé à l’infini.
[15] Voir par exemple la numération grecque.
[16] Le zéro de position est inventé d’abord pour indiquer l’absence de chiffre sur une position.
[17] Même en admettant l’usage des nombres négatifs, pour soustraire un nombre positif à un nombre positif plus petit, on effectue la
soustraction contraire et on change le signe du résultat.
[18] http:/ / www. radio-canada. ca/ tv/ decouverte/ 3_chif/
[19] http:/ / www. mip. ups-tlse. fr/ ~dedieu/ Book-20-04-04. pdf
7
Extensions
Entier naturel
En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul[1] )
permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant
chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie
de chiffres en notation décimale positionnelle, sans signe et sans partie
fractionnaire, c'est-à-dire sans chiffre « après la virgule ».
Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on commence à
énumérer avec la comptine numérique : un, deux, trois, quatre… Mais
la liste des entiers naturels est infinie, car chacun d'entre eux a un
successeur, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur.
L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations
d'addition et de multiplication notamment, constitue dès l'Antiquité
grecque une branche des mathématiques appelée « arithmétique ».
L'ensemble des entiers naturels[2] a été axiomatisé pour la première
fois par Peano et Dedekind au XIXe siècle. Il peut être construit de
Les entiers naturels permettent de compter (une
diverses manières, la plus classique étant la méthode de Von Neumann.
pomme, deux pommes, trois pommes...).
Cet ensemble est noté « N », lettre capitale grasse dans les textes
dactylographiés, le premier trait vertical étant doublé en écriture
manuscrite (notamment au tableau). Le choix pour la police d'écriture blackboard gras a été de doubler plutôt le trait
diagonal : ℕ. La notation « N* » désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.
Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs, aux nombres rationnels positifs pouvant s'écrire sous la
forme d'une fraction de dénominateur 1 et plus généralement aux réels positifs de partie fractionnaire nulle.
Conception
De l'énumération à l'abstraction
La notion d'entier naturel, occupant d'abord (et jusqu'au XVIIe siècle[3] ) toute l'idée[4] de nombre, est probablement
issue de la notion de collection. Certains objets ou animaux, tout en étant distincts les uns des autres, peuvent
admettre une désignation commune, du fait de leur ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur
rassemblement constitue une collection, tel un troupeau de vaches, un collier de perles, un tas de pierres.
Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler tous ses éléments, un
à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux énumérations simultanées (d'un troupeau vers
un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en même temps, soit toujours en
décalage. Le nombre est enfin représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer
une quantité.
Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de son représentant, c'est-à-dire lorsqu'il
ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vache. Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction : il est
fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité.
Entier naturel
8
Euclide donne au Livre VII des Éléments la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est
appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel) comme collection d'unités[5] ».
Représentation des premiers entiers naturels non nuls par des collections de points.
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1
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Définition par les cardinaux
Les entiers naturels peuvent aussi être définis par abstraction sans passer par la notion d'unité, comme l'a fait Frege
(Fondements de l'arithmétique, 1884). Une collection A (ou concept selon sa terminologie) et une collection B sont
dites équinumériques si on peut définir une correspondance biunivoque entre les objets de A et les objets de B,
c'est-à-dire une correspondance qui associe à tout objet de A un unique objet de B, et à tout objet de B un unique
objet de A. Un nombre est alors défini par abstraction des collections équinumériques entre elles, indépendamment
de la nature de ces collections.
Construction par les ordinaux
La méthode de Von Neumann propose de définir les entiers naturels comme des ordinaux, c'est-à-dire comme des
ensembles bien ordonnés tous comparables par inclusion.
Désignation
Énonciation
La désignation des entiers dans le langage n'est pas la même d'une langue à l'autre, même si elle se fonde en général
sur quelques méthodes simples.
Les premiers entiers ont un nom spécifique sans lien les uns avec les autres. En français, il s'agit des entiers de un à
dix (les noms des entiers de onze à seize sont en fait des déformations de noms composés). Certaines langues n'ont
pas de mot spécifique au-delà de deux.
L'accolement de deux noms peut désigner le résultat de l'addition (comme dans « dix-sept ») ou de la multiplication
(comme dans « quatre-vingts ») des entiers correspondants. D'autres procédés existent utilisant la soustraction, la
division ou la protraction.
Certains « grands » nombres reçoivent également un nom spécifique, en général certains puissances d'une base
particulière. La base dix est la plus répandue aujourd'hui, mais la désignation des entiers en français par exemple
conserve la trace d'un usage partiel de la base vingt. Des conventions internationales contradictoires proposent des
désignations standardisées pour les cent premières puissances de mille ou du million.
Au-delà des limites imposées par le vocabulaire, la langue ne peut que proposer des désignations par accolement : «
mille milliards de milliards… »
Entier naturel
Écriture chiffrée
Si l'écriture des entiers a beaucoup varié dans l'histoire des civilisations, elle est aujourd'hui presque partout fondée
sur un même système de notation décimale positionnelle, même si la graphie des chiffres peut subir des variations
plus ou moins importantes d'un pays à l'autre.
Chaque entier naturel se décompose de façon unique en une somme de multiples de puissances de dix, de façon à ce
que chaque coefficient multiplicateur soit strictement inférieur à dix, donc représenté par l'un des dix chiffres arabes
de 0 à 9. L'écriture de ce nombre se fait alors en accolant ces chiffres rangés par ordre décroissant des puissances de
dix correspondantes.
L'intérêt majeur de cette écriture est la simplicité conjointe des algorithmes de calcul pour les quatre opérations
arithmétiques élémentaires.
Codage
La pratique du calcul a pu s'appuyer sur la manipulation de cailloux[6] ou d'autres symboles concrets, d'abord pour
symboliser une unité par caillou, puis en différenciant la valeur des symboles (un coquillage dénotant par exemple
dix cailloux).
La notation positionnelle a permis de différencier les valeurs des symboles en fonction de leur position et non plus
leur nature, ce qui s'est traduit par le développement de l'abaque et du boulier. Ce principe est toujours en vigueur
dans les calculatrices et ordinateurs.
Arithmétique
Représentation des opérations
En représentant chaque entier par une collection d'objets (des cailloux ou des jetons par exemple), l'opération
d'addition est représentée par la réunion de deux collections, tandis que la soustraction revient à retirer une collection
d'une autre. Cette représentation montre bien l'impossibilité de soustraire (dans les entiers naturels[7] ) un nombre à
un autre strictement plus petit.
La multiplication de deux entiers naturels correspond au remplissage d'un rectangle dont deux côtés adjacents
représentent chacun l'un des facteurs.
La division euclidienne d'un entier (appelé dividende) par un autre (appelé diviseur et nécessairement non nul) est
illustrée par le rangement de la collection représentant le dividende en un rectangle dont un côté représente le
diviseur. Le nombre de rangées complètes représente alors le quotient tandis que l'éventuelle rangée incomplète
représente le reste, nécessairement inférieur strictement au diviseur.
Multiple et diviseur
Étant donné un entier naturel non nul, l’ensemble de ses multiples est infini mais régulièrement réparti et facile à
décrire par une suite arithmétique. Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les
nombres impairs parmi tous les entiers.
Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un entier non nul est toujours fini et sa répartition n’a pas du tout le même
genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se
situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du
nombre dans une base donnée.
Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par
un autre. Dans un système de numération positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour
de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division
euclidienne qui permet de répondre à cette question.
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Entier naturel
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Nombre premier
Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui
en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d’autres nombres
par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une
infinité et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition
permet entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.
Ensemble des entiers naturels
Notations
La notation historique de l'ensemble des entiers naturels en imprimerie est « N », lettre capitale grasse. En écriture
manuscrite (et particulièrement au tableau noir), ce caractère a été distingué du symbole de variable « » par le
doublement de la première barre verticale. Cette notation est rentrée dans l'usage dactylographique malgré les
oppositions de mathématiciens de renom. La police blackboard gras propose un doublement de la barre oblique.
N
Différentes notations pour l'ensemble des entiers, comprenant ou non zéro.
Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro comme entier naturel, l'ensemble est parfois noté « N0 ».
L'indice 1 dénote alors au contraire l'exclusion de zéro. Mais l'usage consacre plus souvent pour cette restriction
l'ajout d'un astérisque en exposant.
Dans le cadre de la théorie des ordinaux, l'ensemble des entiers naturels est un ordinal limite noté par la lettre
minuscule grecque ω (oméga), voire ω0 avec l'indice 0 comme pour le premier nombre cardinal infini ℵ0.
Propriétés
Les opérations d'addition et de multiplication étant associatives, commutatives, munies de neutres et satisfaisant une
propriété de distributivité, l'ensemble des entiers naturels est un semi-anneau.
Il est ordonné pour la relation d'ordre usuelle induite par l'addition, qui lui donne une structure de bon ordre,
c'est-à-dire que toute partie non vide admet un plus petit élément. Cette propriété est à la base du raisonnement par
récurrence.
L'ensemble est également muni de la relation de divisibilité qui est un ordre partiel.
Son cardinal est le plus petit nombre cardinal infini, noté ℵ0 (aleph zéro), définissant ainsi la notion de
dénombrabilité.
Axiomatique de Peano
Quelle que soit la façon d'introduire les entiers naturels, ceux-ci ont les mêmes propriétés fondamentales à partir
desquelles on développe l'arithmétique. Les axiomes de Peano sont un ensemble d'axiomes de second ordre proposés
par Giuseppe Peano pour définir l'arithmétique. Ils sont au nombre de cinq :
1. l'élément appelé zéro et noté:
2.
3.
4.
5.
, est un entier naturel.
Tout entier naturel a un unique successeur, noté
ou
.
Aucun entier naturel n'a pour successeur.
Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
Si un ensemble d'entiers naturels contient et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet
ensemble est égal à N.
Entier naturel
11
Le premier axiome permet de poser que l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide, le troisième qu'il possède un
premier élément et le cinquième qu'il vérifie le principe de récurrence.
Voir aussi
Articles connexes
•
•
•
•
Construction des entiers naturels
Liste des nombres
Raisonnement par récurrence
Axiomes de Peano
• Nombre premier | Nombre parfait | Nombre quasi parfait | Nombre abondant | Nombre amical | Nombre déficient |
Nombre sociable | Nombre amiable | Nombre chanceux | Nombre étrange | Nombre harmonique | Nombre
triangulaire | Nombre hexagonal | Nombre figuré | Nombre chromatique
Liens externes
• Nombres : curiosités, théorie et usages [8]
Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de
factorisation :
Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de
diviseurs :
Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre
hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre
pratique
Nombres de
diviseurs :
Nombre abondant · Nombre hautement abondant · Nombre superabondant · Nombre colossalement abondant ·
Nombre hautement composé
Autres :
Nombre déficient · Nombre étrange · Nombre amical · Nombre sociable · Nombre solitaire · Nombre
sublime · Nombre à moyenne harmonique entière · Nombre frugal · Nombre équidigital · Nombre extravagant
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Références
[1] La conception de zéro comme nombre positif et comme entier naturel est récente et dépend encore de conventions, contestées notamment
dans les pays anglo-saxons (cf (en) en:Natural number).
[2] Le zéro est initialement absent, mais sa prise en compte ne change pas fondamentalement l'axiomatisation.
[3] Christian Houzel, « Qu'est-ce qu'un nombre ? », Histoire des nombres, Tallandier 2007.
[4] Des nombres non entiers sont manipulés dès le IIIe millénaire avant notre ère dans la civilisation mésopotamienne, mais ils n'ont pas le statut
théorique de nombre.
[5] Cette définition peut rétrospectivement être appliquée au nombre zéro, une collection ne comprenant aucune unité.
[6] Le mot « calcul » est apparenté au mot « caillou ».
[7] La soustraction est toujours possible dans les entiers relatifs.
[8] http:/ / villemin. gerard. free. fr/ index. html
Entier relatif
12
Entier relatif
En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe positif ou négatif qui
indique sa position[1] par rapport à zéro sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux
entiers naturels : 0, 1, 2, 3… tandis que les entiers négatifs sont leur opposés : 0, −1, −2, −3… L'entier zéro
lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif[2] .
Un nombre réel est entier s'il est sans partie fractionnaire, c'est-à-dire si son écriture décimale ne comprend pas de
chiffre (autre que zéro) « après la virgule ».
Les entiers relatifs permettent d'exprimer un bilan de variation d'unités (positif pour un gain, négatif pour une perte)
ou une position sur un axe orienté discret, par rapport à un point origine. Ils donnent un sens à la différence de deux
entiers naturels quelconques.
L'ensemble des entiers relatifs est noté[3] « Z », lettre capitale grasse dans les textes dactylographiés, peu à peu
supplantée par la graphie manuscrite avec une double barre oblique : « ℤ ». La présence d'un astérisque en exposant
(« Z* ») désigne en général l'ensemble des entiers relatifs non nuls, même si cette notation est utilisée parfois[4] pour
l'ensemble des éléments inversibles, c'est-à-dire la paire d'entiers {−1; 1}. La notation « Z− » désigne l'ensemble des
entiers négatifs. Il est plus rare de trouver la notation « Z+ », remplacée par la notation « N » des entiers naturels par
identification.
Cet ensemble est (totalement) ordonné pour la relation de comparaison usuelle héritée des entiers naturels. Il est
aussi muni des opérations d'addition et de multiplication qui fondent la notion d'anneau en algèbre.
Les entiers relatifs sont parfois[5] appelés entiers rationnels, suivant la dénomination rational integer en anglais, et
comme cas particuliers d'entiers algébriques sur le corps de nombres des rationnels. On trouve cette appellation chez
Nicolas Bourbaki[6] et certains mathématiciens s'inscrivant dans le mouvement des mathématiques modernes, parmi
lesquels Georges Papy.
Motivation
La principale raison de l'introduction
des nombres négatifs est la possibilité
de résoudre toutes les équations de la
forme :
La droite des nombres permet de représenter les entiers relatifs
a + x = b, où x est l'inconnue et a et b sont des paramètres.
Dans l'ensemble des entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution.
5 + x = 8 si et seulement si x = 3
9 + x = 4 n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers naturels. Elle possède une solution dans l'ensemble
des entiers relatifs qui est -5.
Fragments d'histoire
La première allusion à des nombres négatifs apparaît dans des textes indiens comme l'Arybhatiya du mathématicien
indien Âryabhata (476 - 550) où sont définies les règles d'additions et de soustractions. Les nombres négatifs
apparaissent alors comme représentant des dettes et les nombres positifs comme des recettes. Quelques siècles plus
tard, dans les écrits du mathématicien perse Abu l-Wafa (940 - 998), on voit apparaïtre des produits de nombres
négatifs par des nombres positifs. Cependant le nombre reste encore attaché à des quantités physiques et le nombre
négatif n'a guère de statut légal. al Khuwarizmi (783 - 850) par exemple, dans son ouvrage la Transposition et la
réduction préfère traiter 6 types d'équations du second degré au lieu d'envisager des soustractions.
Entier relatif
En Europe les nombres relatifs apparaissent tardivement, on attribue en général à Simon Stevin (1548 - 1620) la
fameuse règle des signes pour le produit de deux entiers relatifs. D'Alembert (1717 - 1783) lui-même dans
l'encyclopédie envisage le nombre relatif comme une idée dangereuse.
« Il faut avouer qu'il n'est pas facile de fixer l'idée des quantités négatives, & que quelques habiles gens
ont même contribué à l'embrouiller par les notions peu exactes qu'ils en ont données. Dire que la
quantité négative est au-dessous du rien, c'est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir. Ceux qui
prétendent que 1 n'est pas comparable à - 1[7] , & que le rapport entre 1 & -1 est différent du rapport
entre - -1 & 1, sont dans une double erreur: 1(...) Il n'y a donc point réellement & absolument de
quantité négative isolée: - 3 pris abstraitement ne présente à l'esprit aucune idée. » (D'Alembert,
dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers)
Il faut attendre encore deux siècles et l'avènement du formalisme pour voir apparaître une construction formelle de
l'ensemble des entiers relatifs à partir de classes d'équivalence de couples d'entiers naturels
• Article détaillé : construction des entiers relatifs
C'est à Richard Dedekind (1831 - 1916) que l'on doit cette construction. Lui-même utilisait la lettre K pour désigner
l'ensemble des entiers relatifs. Plusieurs autres conventions ont eu cours, jusqu'à ce que Nicolas Bourbaki popularise
l'usage de la lettre , initiale de l'allemand Zahlen (nombre)[8]
Règles opératoires
Dans un nombre relatif, on distingue son signe (+ ou - ) et sa valeur absolue : - 3 a pour valeur absolue 3.
Addition
La somme de deux entiers de même signe s'obtient en additionnant les deux valeurs absolues et en conservant le
signe commun
(-3) + (-5) = -8 écriture que l'on abrège en -3 - 5 = - 8 supprimant le signe opératoire +
La somme de deux entiers relatifs de signe contraire s'obtient en calculant la différence entre les deux valeurs
absolue et en lui affectant le signe de l'entier ayant la plus grande valeur absolue
(+3) + (-5) = - 2 écriture que l'on abrège en 3 - 5 = - 2
Multiplication
Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit. Le produit de deux nombres relatifs de même signe est toujours
positif (+) et s'obtient en effectuant le produit des valeurs absolues:
(+3) × (+4) = +12 que l'on abrège en 3 × 4 = 12
(-3) × (-7)= + 21 = 21
(le + n'étant pas obligatoire si le produit n'est pas négatif)
Le produit de deux nombres relatifs de signes différents est toujours négatif (-) et s'obtient en effectuant le produit
des valeurs absolues
(+7) × (- 4) = - 28
Règle des signes
plus multiplié par plus, donne produit plus.
moins multiplié par moins, donne produit plus
moins multiplié par plus ou plus multiplié par moins donne produit moins
13
Entier relatif
14
Ensemble des entiers
Construction
L'ensemble Z des entiers relatifs peut être vu comme le symétrisé du semi-anneau N des entiers naturels.
Structure
L'ensemble des entiers relatifs, muni de ses lois d'addition et de
multiplication, est le prototype de la notion d'anneau. Il s'agit même
d'un anneau euclidien, en référence à la division euclidienne. Il est
donc également principal et factoriel.
Il peut être muni de la topologie discrète associée à la distance usuelle
induite par la valeur absolue de la différence, qui en fait un espace
métrique complet. Les seules autres distances compatibles avec la
structure d'anneau sont les distances -adiques, où est un nombre
Une représentation d'une construction des entiers
relatifs |upright=1.5
premier.
La structure de groupe additif (Z, +) est un groupe monogène sans torsion, c'est-à-dire un groupe abélien libre de
rang 1.
L'ensemble Z est totalement ordonné pour la relation d'ordre usuelle.
Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini.
Extensions
L'ensemble Z des entiers relatifs se plonge dans l'ensemble des nombres décimaux, noté D, qui lui même est une
partie de l'ensemble des nombres rationnels noté Q.
La notion d'entier est étendue par la définition des entiers algébriques, qui sont aux divers corps de nombres ce que
les entiers relatifs sont au corps des rationnels. Les entiers rationnels, c'est-à-dire les entiers algébriques du corps des
rationnels, sont donc exactement les entiers relatifs.
Pour chacune des distances
-adiques, le complété de Z est un anneau des entiers
corps de fraction est le corps des nombres
Voir aussi
•
•
•
•
Construction des entiers relatifs
Nombre négatif
Liste des nombres
Entier (informatique)
ckb:‫واوەت یەرامژ‬
-adiques, noté Q
et qui contient Q.
-adiques noté Z
, dont le
Entier relatif
15
Références
[1] De cette position relative à zéro vient l'adjectif « relatif » appliqué à ces entiers.
[2] Selon certaines conventions différentes, en vigueur notamment dans les pays anglo-saxons, l'entier zéro n'est ni positif ni négatif (cf (en)
Zero).
[3] De l'allemand Zahlen, « nombres ».
[4] La confusion est évitée avec l'usage de la croix de multiplication en exposant : « Z× ».
[5] Mais le programme officiel de l'agrégation de mathématiques (http:/ / agreg. org/ ProgAgregMath2009. pdf), et les sujets (http:/ / agreg. org/
sujets. html) correspondants, utilisent l'appellation plus courante en France "entiers relatifs".
[6] Cf par exemple Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre I, § 2, n°5 (p.28 d' une vieille version accessible en ligne (http:/ /
portail. mathdoc. fr/ archives-bourbaki/ PDF/ 033_iecnr_040. pdf)) ou R. Godement, Cours d'algèbre, § 5, n°8.
[7] paradoxe classique : si -1 < 1 alors les inverses de ces deux nombres seraient rangés dans l'ordre inverse : l'inverse de -1 est -1 et l'inverse de
1 est 1 donc -1 > 1. paradoxe qui provient de la phrase incomplète "les inverses de ces deux nombres seraient rangés dans l'ordre inverse ", il
faudrait préciser "les inverses de deux nombres de même signe sont rangés dans l'ordre inverse". Voir l'article fonction inverse pour plus
d'informations.
[8]
(en) Earliest Uses of Symbols of Number Theory (http://members.aol.com/jeff570/nth.html)
Nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme
(où a et p sont des entiers relatifs). Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre qui possède cependant
autant d'approximations décimales que l'on veut :
Caractérisation
Si a est un nombre rationnel, les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est
décimal :
• a admet un développement décimal limité (c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres différents de 0).
• Il existe
et
tels que :
.
• La fraction irréductible de a est de la forme
, où b est un entier relatif et m et p des entiers naturels.
• a possède deux développements décimaux distincts.
Remarques
• La première assertion prouve que 1,6666 est un nombre décimal et que 1,6666... (qui s'écrirait avec une infinité de
6) n'en est pas un.
• La deuxième assertion nous dit que
est un nombre décimal, mais elle ne peut pas être utilisée pour prouver
qu'un nombre n'est pas décimal.
• La troisième assertion nous donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de
déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son
dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 et 5.
• La quatrième assertion fait souvent figure de « curiosité ». Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999... (avec une
infinité de 9). Pour des détails, voir l'article Développement décimal de l'unité.
Nombre décimal
16
Structure algébrique
L'ensemble des décimaux est souvent noté
fractions étant
.
est un anneau intègre commutatif. Son corps des
.
Topologie
est dense dans
. Autrement dit, tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres décimaux. Ce théorème
est fréquemment utilisé lors de la recherche de valeurs approchées.
Voir aussi
• Développement décimal
• Nombre rationnel
• Système décimal
Nombre rationnel
Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers
relatifs. Les nombres rationnels non entiers (souvent appelés fractions) sont souvent notés a/b, où a et b sont deux
entiers relatifs (avec b non nul). On appelle a le numérateur et b le dénominateur.
Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manière différente, comme 1/2=2/4=3/6=etc. Mais il existe
une forme privilégiée, quand a et b n'ont pas de diviseurs communs autre que 1 (ils sont premiers entre eux). Tout
nombre rationnel non nul possède exactement une seule forme de ce type avec un dénominateur positif. On parle
alors de fraction irréductible.
Le développement décimal d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par
exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). Cela est vrai dans
n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins
une base, alors c'est un nombre rationnel.
Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L'ensemble des nombres rationnels est un corps, noté
,
que l'on peut noter formellement:
où
est l'anneau des entiers.
Développement décimal
Comme tous les réels, les rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le
développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique. C'est-à-dire qu'il existe un
suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant continuellement. Cette séquence est appelée : « période
du développement décimal illimité ».
Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de
finir par une séquence périodique composée de ’9’. En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente
se terminant par une période composée de ’0’, et mieux encore, un développement décimal limité équivalent.
Conventionnellement, lorsque nous écrivons un nombre avec les chiffres arabes dans le système décimal nous
traçons, s'il y a lieu, une barre horizontale au-dessous de la séquence périodique. Il est aussi possible de mettre un
point au-dessus de chaque chiffre de la période, mais cette notation est beaucoup moins utilisée.
Nombre rationnel
17
Lorsqu'une période est indiquée nous devons faire référence à un nombre rationnel et c'est pour cette raison que
d'une manière rigoureuse :
Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à
développement décimal périodique est toujours rationnel. Ce critère est néanmoins mal commode pour évaluer la
rationalité d'un nombre. Un deuxième critère est donnée par la fraction continue. Un nombre est rationnel si et
seulement si son développement en fraction continue est fini. Cette méthode est à l'origine des premières
démonstrations de l'irrationalité de e la base du logarithme népérien et de π.
Ainsi, le nombre
(où l'on a des séquences de ’2’ de plus en plus longues) est irrationnel
car il n'y a pas de période.
Arithmétique des rationnels
Deux nombres rationnels a/b et c/d sont égaux si et seulement si ad=bc.
L'addition est donnée par:
La multiplication par:
L'opposé et l'inverse par
On en déduit que le quotient est donné par:
Fraction égyptienne
Tout nombre rationnel positif peut s'exprimer comme somme d'inverses distincts d'entiers naturels. Par exemple, on
a:
Construction formelle
Nombre rationnel
18
On peut voir un nombre rationnel comme la classe
d'équivalence d'une paire ordonnée d'entiers, par la
relation d'équivalence suivante:
On note alors
, c'est-à-dire que l'ensemble des nombres rationnels est le quotient de
par la relation d'équivalence.
On peut ensuite injecter les entiers dans les rationnels, et définir des lois de composition interne pour se donner une
structure de corps.
Cette construction est valable à partir de n'importe quel anneau intègre, on parle alors de corps des fractions.
Propriétés
L'ensemble
, munis des lois d'addition et de
multiplication données plus haut, forme un corps, le corps
des fractions des entiers .
Les rationnels sont le plus petit corps de caractéristique
nulle. Tout autre corps de caractéristique nulle contient
une copie de
.
La clôture algébrique de
, c'est-à-dire le corps des
racines des polynômes à coefficients rationnels est
l'ensemble des nombres algébriques.
L'ensemble des rationnels est dénombrable. Or par
l'argument de la diagonale de Cantor, nous savons que le
corps des nombres réels ne l'est pas. On dit alors que les
nombres réels sont presque tous irrationnels, au sens de la
mesure de Lebesgue. On dit que
est un ensemble
La dénombrabilité des rationnels strictement positifs
négligeable.
La fonction f suivante, bijective de
dans
, donne
tous les nombres rationnels positifs ou nuls, avec le numérateur et le dénominateur toujours premiers entre eux par
construction. Elle est inspirée des suites de Farey :
Elle s'inverse par la fonction g suivante :
Nombre rationnel
19
Topologie
Muni de la valeur absolue, l'ensemble
est un espace métrique. Cet ensemble est dense dans l'ensemble des
nombres réels, c'est-à-dire que l'adhérence de
est
. Les nombres rationnels ne forment donc pas un espace
complet.
Nombre p-adique
On peut munir
d'une autre métrique.
Soit
un nombre premier et notons, pour tout entier non nul
où
est la plus grande puissance de
Arbitrairement, on pose
Alors
L'espace métrique
divisant
:
.
. Puis pour chaque nombre rationnel
, on pose :
.
définit un espace métrique.
n'est pas complet, et sa complétion est le corps des nombres p-adique
d'Ostrowski montre que toute valeur absolue non triviale sur
. Le théorème
est équivalente, soit à la valeur absolue usuelle, soit
à une valeur absolue p-adique.
Voir aussi
Liens externes
• Le logiciel PC Fraction [1] calcule des fractions égyptiennes, partielles, pythagoréennes, dyadiques (binaires) etc.
Références
[1] http:/ / www. wakkanet. fi/ %7Epahio/ fraction. html
Nombre réel
20
Nombre réel
Les nombres réels (dont l'ensemble est noté
) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme
tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu'ils soient positifs,
négatifs ou nuls, ayant une représentation décimale finie ou infinie. Autrement dit, ce sont les rationnels (qui peuvent
s'écrire sous forme de fraction) complétés par les nombres dont la représentation décimale est infinie non
périodique[1] , tels la racine carrée de 2 et π. Ces derniers sont appelés nombres irrationnels. Parmi les nombres réels
on distingue également les nombres algébriques et les nombres transcendants.
Le terme de nombre réel apparaît chez Georg Cantor en 1883 dans ses publications sur les fondements de la théorie
des ensembles. C'est un rétronyme, donné en réponse à la découverte des nombres imaginaires. Cependant, il est déjà
présent dans un livre de Prestet et Malebranche en 1689 [2] et peu après, en 1697, dans un livre de Thomas Fantet de
Lagny[3] . Selon le site Earliest Known Uses of some of the words in mathematics[4] , l'adjectif réel fut utilisé pour la
première fois en 1637 par René Descartes[5] , en opposition à racines imaginaires. D'autres sens apparaissent
également dans des traités de théologie/philosophie à la même époque[6] .
Les nombres réels sont au centre de la discipline mathématique de l'analyse réelle, à laquelle ils doivent une grande
part de leur histoire. La notation originale de l'ensemble des nombres réels est
. Cependant, les lettres grasses
étant difficiles à écrire sur un tableau ou une feuille, la notation
s'est imposée.
Dans la vie courante
Les nombres réels sont utilisés pour représenter
n'importe quelle mesure physique telle que : le prix
d'un produit, la durée entre deux événements,
l'altitude (positive ou négative) d'un site
Représentation de la droite des réels avec des exemples de constantes
géographique, la masse d'un atome ou la distance de
réelles
la galaxie la plus proche. Ces mesures dépendent du
choix d'une unité de mesure, et le résultat s'exprime
comme le produit d'un nombre réel par une unité. Les nombres réels sont utilisés tous les jours, par exemple en
économie, en informatique, en mathématique, en physique ou en ingénierie.
Le plus souvent, seuls certains sous-ensembles de réels sont utilisés :
•
•
•
•
•
les entiers naturels,
les entiers relatifs,
les nombres décimaux, qui sont les réels que l'on peut écrire exactement en base 10 ;
les nombres rationnels, exprimables sous forme de fractions à numérateurs et dénominateurs entiers,
les nombres algébriques, qui comprennent notamment tous les nombres que l'on peut écrire en utilisant les quatre
opérations élémentaires et les racines.
• les nombres calculables, qui comprennent la quasi-totalité des nombres utilisés en science et en ingénierie
(notamment e et π).
Bien que tous ces sous-ensembles des réels soient de cardinal infini, ils sont tous dénombrables et ne représentent
donc qu'une infime partie de l'ensemble des réels. Ils ont chacun des propriétés propres. Deux sont particulièrement
étudiés par les mathématiciens : les nombres rationnels et les nombres algébriques ; on appelle « irrationnels » les
réels qui ne sont pas rationnels et « transcendants » ceux qui ne sont pas algébriques.
Nombre réel
En science
La physique utilise les nombres réels dans l'expression des mesures pour deux raisons essentielles :
• Les résultats d'un calcul de physique utilisent fréquemment des nombres qui ne sont pas rationnels, sans que les
physiciens ne prennent en compte la nature de ces valeurs dans leurs raisonnements car elle n'a pas de sens
physique.
• La science utilise des concepts comme la vitesse instantanée ou l'accélération. Ces concepts sont issus de théories
mathématiques pour lesquelles l'ensemble des réels est une nécessité théorique. De plus, ces concepts disposent
de propriétés fortes et indispensables si l'ensemble des mesures est l'espace des nombres réels.
En revanche, le physicien ne peut réaliser des mesures de précision infinie. La représentation numérique du résultat
d'un calcul peut être approchée aussi précisément qu'il le souhaite par un nombre décimal. Dans l'état actuel de la
physique, il est même théoriquement impossible de réaliser des mesures de précision infinie. C'est pourquoi, aussi
bien pour des besoins expérimentaux que théoriques, si le physicien calcule les mesures dans
, il exprime les
résultats numériques sous forme de nombres décimaux.
Ainsi le physicien utilise les propriétés des nombres réels qui permettent de donner un sens aux mesures qu'il réalise
et offrent des théorèmes puissants pour démontrer ses théories. Pour les valeurs numériques, il se contente des
nombres décimaux. Quand il mesure la distance que parcourt un point matériel sur un cercle complet, il utilise la
valeur π sans se poser de question sur son existence, mais un nombre de décimales souvent petit lui suffit pour les
calculs.
Enfin, bien que les nombres réels puissent représenter n'importe quelle grandeur physique, les nombres réels ne sont
pas les mieux adaptés pour l'étude de très nombreux problèmes physiques. Des « sur-ensembles » construits autour
des réels ont été créés pour pouvoir manipuler certains espaces physiques. Par exemple :
• l'espace
, pour modéliser des espaces, par exemple de dimension 2, 3 (ou plus) ;
• l'ensemble des nombres complexes dont la structure possède des propriétés plus fortes que celle de l'ensemble des
nombres réels.
Considérations technologiques
Les nombres réels peuvent être représentés sous la forme d'un développement décimal infini. En théorie, n'importe
quelle grandeur peut donc être représentée de la sorte. En pratique, ces nombres à développement décimal infini ne
sont pas adaptés aux calculs et ne sont pas représentables sur des ordinateurs. Les économistes et les ingénieurs les
utilisent sous une forme arrondie, en tronquant ou en arrondissant le développement décimal infini. Légalement,
dans les pays de la zone euro par exemple, les commerçants font un arrondi à deux chiffres après la virgule pour
chaque paiement.
Les informaticiens, bien que disposant des types de données telles que la virgule flottante (float ou double en
pseudo-code anglais) et de la virgule fixe n'utilisent également que des approximations adaptées aux calculs
informatiques. Par exemple, pour représenter exactement les nombres irrationnels sur un ordinateur, il faudrait
disposer d'une mémoire infinie ou d'un processeur dédié aux calculs symboliques.
Autres remarques sur la notion de « développement décimal infini »
Tout nombre réel peut être représenté sous la forme de « nombre à développement décimal infini ». Cette définition
peut sembler plus simple que d'autres utilisées couramment par les mathématiciens, comme par exemple la limite
d'une suite convergente. Pourtant, elle apparaît rapidement comme peu adaptée et implique des définitions et des
démonstrations bien plus complexes. En effet les nombres réels sont intéressants pour la structure et les propriétés de
l'ensemble qu'ils forment : addition, multiplication, relation d'ordre, et les propriétés qui lient ces notions. Ces
propriétés sont mal reflétées par la définition « développement décimal infini » et des problèmes théoriques
apparaissent :
21
Nombre réel
22
• Certains nombres possèdent deux représentations.
Par exemple, le nombre x=0,9999... (les 9 se poursuivent à l'infini), vérifie l'équation 10x = 9+x. Le
nombre y=1,000000... (les 0 se poursuivent à l'infini) en est également solution [7] . Or l'existence et
l'unicité de solution à l'équation 10t = 9+t, d'inconnue t, sont deux propriétés essentielles pour une
définition univoque des réels. Pour remédier à cette situation, il devient nécessaire d'identifier les
représentations décimales qui sont solutions d'une même équation : la définition devient plus complexe.
• Utiliser un développement décimal fait jouer un rôle particulier à la base 10.
Cette difficulté n'est pas insurmontable. Elle est résolue par l'utilisation d'une base quelconque : on parle
alors de développements en base p. Il est alors possible de démontrer que les ensembles construits à
partir de ces bases sont isomorphes et que les propriétés des nombres réels sont valables dans toutes ces
bases. Cependant les démonstrations deviennent lourdes, et la définition perd de sa simplicité.
• Enfin les algorithmes naturels pour effectuer une addition ou une multiplication, trouvent leur limite du fait de la
double représentation des nombres décimaux.
En effet, les « retenues » se calculent de la droite vers la gauche, et un algorithme effectif demande de ne
traiter qu'un nombre fini de décimales (puisqu'il ne peut effecteur qu'un nombre fini d'opérations),
c'est-à-dire de tronquer les nombres sur lesquels on calcule : il se peut donc qu'en tronquant aussi loin
que l'on veut, on n'ait jamais la moindre décimale exacte, par exemple sur le calcul 0,33...+0,66...=1.
Surmonter cette difficulté demande de faire appel à des notions de convergence, qui amènent
naturellement vers d'autres modes de définition des réels.
Cependant, une fois établie la structure de l'ensemble des nombres réels, la notation par développement décimal
permet des calculs effectifs, en gardant à l'esprit que ce n'est pas tant les décimales exactes d'un nombre qui
comptent, que la position du nombre vis-à-vis des autres réels.
Nombre réel
23
Aspect historique
Origine des nombres
Mise en place des fractions
Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable — par exemple une longueur ou une durée — a
répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des fractions (quotient de deux entiers positifs). Cette
solution, mise en place très tôt chez les Sumériens et les Égyptiens, est finalement performante. Elle permet
d'approcher une longueur quelconque avec toute la précision souhaitée.
Correspondance avec des longueurs
La première formalisation construite en système que l'on connaisse est
le fruit du travail d'Euclide au IIIe siècle av. J.-C. Sa construction,
inscrite dans les Éléments d'Euclide, apporte deux grandes idées d'un
apport majeur dans l'histoire des mathématiques.
• Les mathématiques sont formalisées avec des axiomes, des
théorèmes et des démonstrations. On peut alors construire un
système, avec des théorèmes dont les démonstrations s'appuient sur
d'autres théorèmes. Les mathématiques sont classées en catégories,
la géométrie et l'arithmétique en sont les deux plus grandes. Parler
de construction prend alors tout son sens.
• Un pont est bâti entre les deux grandes catégories. Cette
démarche, permettant d'utiliser des résultats d'une des branches des
mathématiques pour éclairer une autre branche est des plus
fécondes. Les nombres sont alors mis en correspondance avec des
longueurs de segments.
Problèmes d'incomplétude
Euclide
Nombre réel
Irrationalité de la racine carrée de 2
L'approche d'Euclide met en évidence la
première contradiction entre la notion de
nombre de l'époque - les fractions - et le rôle
qui leur est attribué, la représentation d'une
grandeur mesurable.
• Une longueur dont le carré est égal à 2
existe. Un raisonnement géométrique,
déjà vieux à l'époque d'Euclide, montre
qu'il est possible de construire un carré B
de surface double de celle d'un carré
initial A que l'on choisit de côté égal à 1.
Si l'on note la longueur du côté du
carré B, qui est égale à la longueur de la
diagonale du carré A, l'égalité
est alors vérifiée.
• Une longueur dont le carré est égal à 2
n'existe pas sous forme de fraction.
Quelques résultats sont déjà connus en
Le carré bleu est de surface double de celle du carré gris
arithmétique, par exemple le lemme
d'Euclide. À partir de ce lemme on
montre qu'aucun nombre ne peut être la racine carrée de 2. Ici, nombre signifie fraction positive non nulle car
aucune autre formalisation n'est encore imaginable.
Les Éléments d'Euclide se fondent sur une axiomatique qui semble permettre de prouver à la fois qu'une proposition
est vraie et fausse. Plus de deux millénaires seront nécessaires aux mathématiciens pour résoudre cette apparente
contradiction, expliquer pourquoi les rationnels ne représentent qu'imparfaitement la droite réelle et trouver comment
bien les représenter.
Trois siècles avant Euclide, Pythagore connaissait probablement l'irrationalité de certaines racines. En revanche, la
première formalisation dans un véritable corpus mathématique construit nous vient d'Euclide.
Développement décimal illimité non périodique
Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins
comprendre que les opérations et particulièrement la division deviennent complexes si le système de numération
n'est pas adapté. Le problème est décrit par l'article fraction égyptienne qui propose quelques exemples concrets.
Il faut attendre le Ve siècle pour voir l'école indienne découvrir le concept du zéro et développer un système de
numération décimal et positionnel.
Un deuxième problème apparaît alors. Toutes les fractions possèdent un développement décimal dans la mesure où
ce développement est infini et périodique, c'est-à-dire que la suite des décimales ne s'arrête pas mais boucle sur un
nombre fini de valeurs. La question se pose alors de savoir quel sens donner à un objet caractérisé par une suite de
décimales non périodique. Par exemple, le nombre à développement décimal infini qui s'exprime comme
0,1010010001... où le nombre de 0 entre les chiffres 1 croît indéfiniment, correspond-il à une longueur ?
24
Nombre réel
25
Suites et séries
Dans la deuxième moitié du XVIIe siècle, on assiste à un extraordinaire épanouissement des mathématiques dans le
domaine du calcul des séries et des suites.
Nicolaus Mercator, les Bernoulli, James Gregory, Godfried Leibniz, et d'autres travaillent sur des séries qui semblent
converger mais dont la limite n'est pas rationnelle. C'est le cas par exemple :
• de la série de Mercator :
qui converge vers
• de la série de Gregory :
qui converge vers
Pire, Liouville en 1844, prouve l'existence de nombres transcendants c'est-à-dire non racine d'un polynôme à
coefficients entiers. Il ne suffit donc pas de compléter les rationnels en y ajoutant les nombres algébriques pour
obtenir l'ensemble de tous les nombres.
• des séries du type
représentant les nombres de Liouville, où
est une suite d'entiers compris entre 0 et 9.
Le calcul infinitésimal
Durant la deuxième partie du XVIIe siècle, Isaac Newton et Gottfried
Wilhelm von Leibniz inventent une toute nouvelle branche des
mathématiques. On l'appelle maintenant l'analyse, à l'époque elle était
connue sous le nom de calcul infinitésimal. Cette branche acquiert
presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une
toute nouvelle théorie physique universelle : la théorie de la gravité
newtonienne. Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une
vieille question, à savoir si la Terre tourne autour du Soleil ou l'inverse.
Or le calcul infinitésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans
l'ensemble des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont
exprimés dans un langage d'une grande complexité et les preuves
procèdent plus de l'intuition géométrique que d'une explicitation
rigoureuse au sens de notre époque.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
L'impossibilité de la construction de l'analyse dans l'ensemble des
fractions réside dans le fait que cette branche des mathématiques se fonde
sur l'analyse des infiniment petits. Or, on peut comparer les nombres rationnels à une infinité de petits grains de sable
(de taille infiniment petite) sur la droite réelle laissant infiniment plus de trous que de matière. L'analyse ne peut se
contenter d'un tel support. Elle demande pour support un espace complet. Le mot est ici utilisé dans un double sens,
le sens intuitif qui signifie que les petits trous en nombre infini doivent être bouchés et le sens que les
mathématiciens donnent aujourd'hui plus abstrait mais rigoureusement formalisé.
Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube du XXe siècle une large branche des mathématiques
appelée topologie.
Nombre réel
26
La droite réelle
Si l'existence des nombres négatifs apparaît très tôt dans l'histoire (mathématiques indiennes), il faut attendre 1770
pour qu'ils obtiennent grâce à Euler un vrai statut de nombre et perdent leur caractère d'artifice de calcul. Mais il faut
attendre encore un siècle pour voir l'ensemble des réels associé à l'ensemble des points d'une droite orientée, appelée
droite réelle.
On considère une droite D contenant un point O que l'on appellera, par convention, origine. Soit un point I distinct de
O appartenant à D que l'on identifie au nombre 1. Par convention, on dira que la distance de O à I est égale à 1 et que
l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et
I sont du même côté par rapport à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative.
Cette relation que la formalisation actuelle appelle bijection permet d'identifier un nombre réel à un point d'une
droite.
L'abscisse du point
et
est égale à
désignant les distances de
à
et de
,
à
respectivement
Après 2200 ans : la solution
Le développement de l'analyse au cours des XVIII et XIX siècles a conduit les mathématiciens français et allemands
à s'interroger sur la nature des nombres réels. Ces interrogations les ont conduit à dégager des propriétés
fondamentales (complétude, suites adjacentes, etc) sur lesquelles pouvaient se fonder les constructions possibles de
R, qui ont été formalisées autour de 1870 par Cantor, Méray et Dedekind.
La construction
Dans son cours d'Analyse à l'Ecole Polytechnique, Augustin Cauchy
propose la première définition rigoureuse d'une limite. Une séquence
de nombres réels indexée par les entiers naturels (appelé suite)
converge vers une limite (nécessairement unique) x lorsque la distance
|x-xn| devient aussi petite que souhaitée pour n suffisamment grand. Il
énonce un critère qui porte aujourd'hui son nom, le critère de Cauchy :
il faut et il suffit que les distances |xn-xm| soient aussi petites que
souhaitées pour n et m suffisamment grands. Par l'énoncé de ce critère,
Cauchy affirme la complétude du corps des nombres réels, propriété
sur laquelle peut être fondée sa définition. Cette approche est
formalisée par Méray[8] en 1869 puis par Cantor[9] en 1883 ou en 1872.
Cette idée, particulièrement adaptée à l'analyse, trouve des
prolongements dans les méthodes de complétion.
Une seconde construction est publiée par Richard Dedekind[10] en
1872. Elle découle de l'étude de la relation d'ordre sur les fractions.
Une coupure de Dedekind est un ensemble A de rationnels, tel que tout
rationnel de A est inférieur à tout rationnel du complémentaire de A.
Augustin Louis Cauchy
Nombre réel
27
Un réel est alors représenté par une coupure de Dedekind. Par exemple,
la racine carrée de 2 est représenté par l'ensemble des rationnels
négatifs et des rationnels positifs de carrés inférieurs à 2. Il existe des
variantes de la définition de coupure selon les auteurs.
Une troisième construction s'appuie sur la méthode des segments
emboités. Un emboitement est une suite décroissante d'intervalles
fermés de nombres rationnels dont la longueur tend vers 0. Un nombre
réel est alors défini comme une classe d'emboitements modulo une
relation d'équivalence. Selon Mainzer[11] , "la vérification des
propriétés de corps ordonnée est relativement pénible", ce qui explique
pourquoi cette approche apparait moins avantageuse que les deux
précédentes. Il existe aussi une autre méthode à partir des
développements décimaux, cependant l'addition puis la multiplication
ne sont pas des opérations simples à définir.
Richard Dedekind
En 1899, David Hilbert[12] donne la première définition axiomatique
du corps des nombre réels. Les méthodes précédentes construisent toutes le "même" ensemble, celui des nombres
réels.
La solution est plus riche que prévue
Le XIXe siècle montre que cette nouvelle structure, l'ensemble des
nombres réels, ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement
remplit ses promesses mais va au-delà.
Carl Friedrich Gauss
• Non seulement le paradoxe de la
est résolu, mais également un théorème puissant : le Théorème des valeurs
intermédiaires qui permet de construire toutes les fonctions réciproques nécessaires, aussi bien de la forme des
radicaux avec les fonctions de type
, que dans le cas des fonctions trigonométriques.
• Les développements décimaux infinis ont maintenant un sens. De plus, il devient possible de mieux comprendre
les nombres réels et de les classifier. Ainsi, en dehors des fractions rationnelles on découvre le corps des nombres
algébriques, c'est-à-dire des nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients entiers. Une nouvelle famille
de nombres est exhibée : les transcendants qui ne sont racines d'aucune équation polynomiale à coefficients
entiers. Les propriétés de ces nombres permettent la démonstration de vieilles conjectures comme la quadrature
du cercle.
Nombre réel
• Enfin, le Théorème de Rolle est généralisé et permet la démonstration d'un résultat essentiel pour l'analyse. Le
comportement infinitésimal d'une fonction, par exemple le fait que la dérivée soit toujours positive, permet de
déduire un comportement global. Cela signifie par exemple, que si un solide se déplace sur une droite avec une
vitesse instantanée toujours positive, alors le solide a avancé, c'est-à-dire qu'il s'est déplacé positivement (vers «
l'avant ») par rapport à l'origine. Cette question qui avait arrêté les Grecs, incapables de résoudre les paradoxes de
Zénon, est définitivement comprise. Ce résultat, que l'intuition déclare évident, a demandé des siècles d'efforts.
• Dans le développement du calcul infinitésimal, la manipulation des infiniment petits peut alors être abordée
différemment. L'ensemble des nombres réels ne pourra satisfaire tous les mathématiciens. Dans les années 1960,
Abraham Robinson met en place la notion de nombre hyperréel et permet le développement de l'analyse non
standard. Cette nouvelle théorie permet d'exprimer et de démontrer plus simplement certains résultats
fondamentaux comme le Théorème de Bolzano-Weierstrass.
Nature : mathématiques et philosophie
L'évolution des concepts de nombre réel et de continuité est tout aussi philosophique que mathématique. Que les
nombres réels forment une entité continue veut dire qu'il n'y a pas de « saut » ou de « bande interdite ». Intuitivement,
c'est tout comme la perception humaine de l'espace ou de l'écoulement du temps. Certains philosophes conçoivent
qu'il en est d'ailleurs exactement de même pour tous les phénomènes naturels. Ce concept est résumé par la devise du
mathématicien et philosophe Leibniz : natura non facit saltus, « la nature ne fait pas de sauts ».
De la Grèce antique au début des Temps modernes
L'histoire de la continuité débute en Grèce antique. Au Ve siècle av. J.-C., les atomistes ne croient pas seulement que
la nature est faite de « sauts », mais aussi qu'il existe des particules de base non divisibles, les atomes. Les
synéchistes quant à eux clament que tout est connecté, continu [13] . Démocrite est un tenant d'une nature faite
d'atomes intercalés de vide, tandis que Eudoxe le contredit, faisant de ses travaux certains des plus anciens
précurseurs de l'analyse. Ceux-ci évoluent plus tard en ce que l'on connaît sous le nom de géométrie euclidienne.
Encore au XVIIe siècle, des mathématiciens énonçaient qu'une fonction continue est en fait constituée de lignes
droites infiniment petites, c'est-à-dire infinitésimales. C'est ainsi que le concept d'infiniment petit, vu dans l'optique
atomiste, peut promouvoir cette façon de concevoir la nature. La question d'infini est donc centrale à la
compréhension de la continuité et des nombres réels.
Les paradoxes de Zénon illustrent la contre-intuitivité de la notion d'infini. L'un des plus connus est celui de la
flèche, dans lequel on imagine une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise et si
l'instant est trop court, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Les instants
suivants, elle reste immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut pas se déplacer : le
mouvement est impossible. Pour résoudre ce paradoxe, il faut additionner ces infiniment petits un nombre infini de
fois, par la méthode de la limite, découverte au cours de l'évolution de l'analyse.
28
Nombre réel
29
Histoire de l'analyse
Le concept de continuité des nombres réels est central en analyse, dès le début de son histoire. Une question
fondamentale est de déterminer si une fonction donnée est en fait une fonction continue. Au XVIIIe siècle, on
formulait cette question comme « est-ce qu'une variation infinitésimale dans son domaine engendre une variation
infinitésimale dans son image ? » Au XIXe siècle, cette formulation est abandonnée et remplacée par celle des
limites.
Dès le XVIIIe siècle, les infinitésimales tombent en disgrâce : elles sont dites d'utilité pratique, mais erronées, non
nécessaires et contradictoires. Les limites les remplacent tout à fait et à partir du début du XXe siècle, les
infinitésimales ne sont plus le soubassement de l'analyse. En mathématiques elles demeurent en quelque sorte des
non-concepts, jusqu'à ce qu'on les réintroduise à grands frais en géométrie différentielle, leur donnant le statut
mathématique de champ tensoriel.
Dans les sciences appliquées, en particulier en physique et en génie, on se sert toujours des infinitésimales. Ceci
cause évidemment des problèmes de communication entre ces sciences et les mathématiques.
Définitions axiomatiques de R et premières propriétés
Si l'on souhaite être bref, on peut caractériser l'ensemble des nombres réels, que l'on note en général
phrase de David Hilbert :
, par la
est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet. « Dernier » signifie que
tout corps commutatif archimédien est isomorphe à un sous-ensemble de
. Ici « isomorphe » signifie
intuitivement qu'il possède la même forme, ou se comporte exactement de la même manière, on peut donc, sans
grande difficulté, dire qu'ils sont les mêmes.
Approche axiomatique
Une approche axiomatique consiste à caractériser un concept par une
série de définitions. Ce point de vue, dont Hilbert est le précurseur
dans son formalisme moderne, s'est révélé extrêmement fécond au
XXe siècle. Des notions comme la topologie, la théorie de la mesure,
ou les probabilités se définissent maintenant par une axiomatique. Une
approche axiomatique suppose une compréhension parfaite de la
structure en question et permet une démonstration des théorèmes
uniquement à partir de ces définitions. C'est la raison pour laquelle de
bonnes définitions peuvent en mathématiques s'avérer si puissantes. La
définition axiomatique de
ne montre néanmoins pas qu'un tel
ensemble existe. Il apparaît alors nécessaire de construire cette
structure. Cette question est traitée dans l'article Construction des
nombres réels.
La définition axiomatique est essentiellement donnée en introduction.
est l'unique corps archimédien complet, un tel corps est
nécessairement commutatif. Mais on trouve aussi d'autres définitions
axiomatiques qui lui sont équivalentes. Ainsi :
David Hilbert
est l'unique corps totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure.
est l'unique corps totalement ordonné qui satisfait le lemme de Cousin.
L'unicité signifie ici que, si K est un corps totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieure, il existe
un unique isomorphisme strictement croissant de K dans
.
Nombre réel
•
est un corps.
30
a donc une structure algébrique pure, autrement dit toutes ses lois sont internes. En effet
l'addition (respectivement la multiplication) s'appliquent à deux nombres réels pour donner un troisième nombre
réel.
est un corps commutatif. Ses deux opérations, l'addition et la multiplication, possèdent donc toutes les
propriétés usuelles.
•
est un corps totalement ordonné . Cela signifie que tous les nombres peuvent être comparés entre eux (l'un est
soit plus grand, soit plus petit, soit égal à l'autre) et que cette relation respecte l'addition et la multiplication. En
langage mathématique on a:
;
• L'axiome de la borne supérieure s'exprime de la manière suivante : si un ensemble A est non vide et majoré,
autrement dit s'il existe un nombre donné plus grand ou égal à chaque élément de A; alors A admet une borne
supérieure, c'est le plus petit des majorants.
Ce dernier axiome différencie
de tous les autres corps. Il existe en effet une infinité de corps commutatifs
totalement ordonnés, mais un seul satisfait l'axiome de la borne supérieure.
•
est archimédien. Cela signifie que si l'on considère un nombre a strictement positif, par exemple 2 et que l'on
considère la suite a, 2a, 3a, ... C’est-à-dire dans notre exemple 2, 4, 6, ... alors on obtiendra dans la suite, des
nombres aussi grands que l'on veut. En langage mathématique, cela s'écrit :
•
est un corps complet. C'est-à-dire que toute suite de Cauchy réelle converge.
Premières propriétés
Cette section est essentiellement technique. Elle traite des
propriétés essentielles et élémentaires pour un travail analytique
sur
.
La propriété suivante provient du fait que
est archimédien.
• Entre deux réels distincts, il existe toujours un rationnel et un
irrationnel.
Les autres propriétés sont des conséquences de la propriété de la
borne supérieure.
• Tout ensemble non vide et minoré de
admet une borne
inférieure.
• Toute suite croissante et majorée dans
• Toute suite décroissante et minorée dans
est convergente.
est convergente.
• Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. On
appelle suites adjacentes deux suites, l'une croissante, l'autre
décroissante, dont la différence tend vers 0.
Clôture algébrique
Archimède, Domenico Fetti, 1620
Musée Alte Meister, Dresden, Allemagne
Il existe un ensemble de fonctions particulièrement intéressantes, les polynômes. Un polynôme peut parfois être
factorisé. C'est-à-dire qu'il s'exprime sous la forme de produit de polynômes non constants de degrés plus petits.
L'idéal étant que l'on puisse factoriser tout polynôme en facteurs de degré 1 (c'est-à-dire sous la forme
).
Nombre réel
31
Cette propriété dépend du corps sur lequel on construit ces polynômes. Par exemple sur le corps des rationnels, quel
que soit entier supérieur ou égal à deux, il existe des polynômes de degré irréductibles, c'est-à-dire que l'on ne peut
pas les exprimer sous forme de produit de polynômes de degrés plus petits. Pour les nombres réels, on démontre que
le plus grand degré d'un polynôme irréductible est égal à deux. En d'autres termes, si le polynôme ne se décompose
pas, c'est qu'il est de la forme
. Les corps qui n'ont comme polynômes irréductibles que les polynômes de degré 1
sont dit algébriquement clos.
Si
n'est pas algébriquement clos, on peut plonger ce corps dans un corps plus vaste. Il s'agit d'un nouveau corps,
le corps des nombres complexes. Cependant ce corps n'est pas globalement « meilleur ». Sa clôture algébrique est
une propriété fort intéressante, mais elle a un coût : le corps des complexes ne peut pas posséder de relation d'ordre
compatible avec ses deux opérations. En quelque sorte, ce qui est gagné d'un côté est perdu d'un autre.
Topologie
La raison d'être des nombres réels est d'offrir un ensemble de nombres avec les bonnes propriétés permettant la
construction de l'analyse. Deux approches utilisant deux concepts différents sont possibles.
• On peut utiliser la notion d'espace métrique qui sur
associe la distance usuelle. Cette distance, que l'on ici note
, était déjà utilisée par Euclide. Elle est définie de la manière suivante:
Ce concept est le plus intuitif et en général demande des démonstrations un peu plus naturelles. C'est souvent à
partir de ce concept que les propriétés analytiques de
sont développées et prouvées.
• On peut aussi utiliser la théorie de la topologie. Cette théorie est plus générale que celle associée à la distance.
Tout espace métrique est associé à un espace topologique. Mais la réciproque n'est pas vraie.
L'élégance favorise la base axiomatique la plus faible. Au XXe siècle un travail de reformulation générale des
mathématiques est entrepris par l'association Bourbaki et se traduit par la rédaction d'un ouvrage appelé Éléments de
mathématique. Cet ouvrage traite, de manière rigoureuse, d'une vaste partie des mathématiques actuelles. Pour cette
raison, les Éléments développent et démontrent les propriétés de l'ensemble des réels à partir de la topologie. C'est le
choix que nous suivrons ici.
Cardinalité
Combien y a-t-il de nombres réels ? Une infinité, mais laquelle ? Il existe plusieurs cardinaux infinis. Ici cardinal
peut se comprendre naïvement comme le nombre d'éléments que contient un ensemble. Dans le cas où les ensembles
ne sont pas finis, notre première intuition est trompeuse. Pour comprendre le piège, comparons le cardinal des
nombres entiers positifs et des nombres pairs positifs. Notre premier réflexe est de dire que le cardinal des entiers
positifs est plus grand car cet ensemble contient, non seulement les nombres pairs mais en plus les nombres impairs,
donc deux fois plus de nombres. Puis on peut se dire que l'application qui, à un nombre entier positif, associe le
double de ce nombre, montre une correspondance bijective, c'est-à-dire qui associe à chaque nombre de l'ensemble
de départ un et un unique élément dans l'ensemble d'arrivée. Notre premier réflexe n'est pas le bon et ne permet pas
de construire de théorie des cardinaux. Les deux cardinaux sont en fait égaux. En fait, l'ensemble des entiers positifs
et l'ensemble des entiers pairs positifs (ou impairs positifs) correspondent à un même cardinal dit dénombrable.
Autrement dit, il y a autant de nombres entiers positifs que de nombres pairs (ou impairs) positifs !
Qu'en est-il du cardinal des nombres rationnels ? Il semble infiniment plus grand que celui des entiers car entre deux
entiers il existe une infinité de fractions. Cependant, il est encore possible d'établir une bijection entre l'ensemble des
entiers et celui des fractions. La démonstration en est donnée dans l'article ensemble dénombrable.
Posons nous alors la même question pour l'ensemble
. Son cardinal n'est pas dénombrable, il est supérieur à celui
des nombres entiers. Le cardinal des nombres rationnels est noté
réels est noté
ou
et se prononce aleph-zéro . Celui des nombres
et il est appelé le cardinal du continu. D'où provient ce changement d'échelle de cardinal ?
Nombre réel
En fait, les rationnels et même les nombres algébriques ont toujours un cardinal dénombrable. L'ensemble des
nombres réels possède le cardinal du continu. Ils sont donc infiniment plus nombreux que les nombres algébriques et
donc que les nombres entiers. Georg Cantor, inventeur de l'argument de la diagonale, établit que tous les ensembles
infinis n'ont pas la même taille (ne sont pas tous équipotents) et se pose la question de l'existence d'un cardinal
strictement plus grand que celui des nombres rationnels et strictement plus petit que celui des nombres réels. Son
hypothèse, appelée hypothèse du continu, est qu'un tel cardinal n'existe pas. La question des cardinaux a été englobée
par Cantor dans une théorie plus vaste, la théorie des ensembles, qui sert maintenant de fondement à la majeur partie
des mathématiques. La réponse à la question de l'hypothèse du continu est réellement étrange, il a fallu attendre la
deuxième moitié du XXe siècle pour la trouver. Elle est indécidable dans la théorie des ensembles usuelle (ZFC).
Cela signifie qu'il est aussi impossible de démontrer l'existence d'un tel ensemble, que de montrer que cet ensemble
n'existe pas, si l'on ne modifie pas la base axiomatique utilisée.
Notes et références
Notes
[1] En effet, un nombre (réel) est rationnel si son développement décimal est périodique. Par exemple, 1/3=0,333333... est bien rationnel.
[2] Prestet & Malebranche,Nouveaux elemens des mathematiques, 1689 T2, p352, http:/ / books. google. fr/ books?lr=lang_fr& as_brr=1&
q=%22nombres+ r%C3%A9els%22& btnG=Chercher+ des+ livres& as_drrb_is=b& as_minm_is=1& as_miny_is=1600& as_maxm_is=1&
as_maxy_is=1700
[3] Thomas Fantet de Lagny, Nouveaux elements d'arithmetique et d'algebre, p121
[4] Entrée Real number (http:/ / jeff560. tripod. com/ r. html) dans Known Uses of some of the words in mathematics
[5] René Descartes, la Géométrie, 1637, p. 380, où il est écrit explicitement l'expression "variables réelles"
[6] La théologie payenne, par Armand Maichin,1657, p160-161, où il est opposé au nombre formel
[7] Voir aussi Démonstration de l'égalité entre 0,9999... et 1.
[8] Méray, Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir les limites à des variables données, Revue des sciences
savantes IV (1869)
[9] Cantor, Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. (?)
[10] Dedekind, Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Braunschweig 1872
[11] Mainzer, Les nombres réels, dans Les nombres : Leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles (ed. Vuibert)
1998
[12] Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899
(en) Continuity and Infinitesimals (http://plato.stanford.edu/entries/continuity/), de l'encyclopédie de philosophie Stanford, en ligne.
Références
[13]
Sources historiques
Annexes
Articles connexes
•
•
•
•
Construction des nombres réels
Relation d'ordre
Suite de Cauchy
Espace complet
Liens externes
• Histoire des nombres (http://www.math93.com/histoire-nombres.htm)
• Chronomath (http://www.chronomath.com/)
• Construction des nombres réels (http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/
sommaireconstructiondesréels.htm)
• [pdf] Une histoire des mathématiques (http://mathematiques.fauriel.org/histoire.pdf)
• J.J. O'Connor et E.F. Robertson, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews.
32
Nombre réel
33
• (en) Histoire des nombres réels, première partie (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/
Real_numbers_1.html) : de Pythagore à Stevin ;
• (en) Histoire des nombres réels, seconde partie (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/
Real_numbers_2.html) : de Stevin à Hilbert.
• (en) Étude plus approfondie (http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_3.
html).
• (histoire des sciences) L'article de 1874 de Cantor sur la non-dénombrabilité des réels en ligne et commenté sur le
site BibNum (http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/cantor-et-les-infinis).
Références
Histoire des mathématiques
•
•
•
•
Richard Mankiewicz Christian Jeanmougin Denis Guedj, Une histoire des mathématiques, Éditions Seuil
Denis Guedj, L'empire des nombres, Éditions Gallimard
J. Dhombres et al., Mathématiques au fil des âges
Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, Édition Masson
Livres historiques de mathématiques
• Euclide, Les Éléments Vol 4 Livre XI à XIII, Édition Puf
• Isaac Newton, préface de Voltaire et traduction d'Émilie du Châtelet, Principes mathématiques de la philosophie
naturelle, Édition Dunod
Références sur les nombres réels et l'analyse élémentaire
• Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique - Les structures fondamentales de l'analyse - Livre III - Topologie
générale
• Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique - Les structures fondamentales de l'analyse - Livre IV - Fonctions
d'une variable réelle (Théorie élémentaire)
• Roger Godement, Analyse mathématique
Cet article a été reconnu article de qualité le 4 avril 2006 ( réel comparer avec la version actuelle (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/
:Nombre)).
Toutefois, cette qualification est contestée. Vous pouvez vous prononcer à ce propos. Si vous avez apposé ce bandeau, n'oubliez pas de
suivre la procédure de retrait.
ckb:‫ەنیقەتساڕ یەرامژ‬
Nombre complexe
34
Nombre complexe
Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de
définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les nombres complexes furent
introduits au XVIe siècle par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana, dit
Tartaglia, et Ludovico Ferrari afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par
les formules de Cardan, en utilisant notamment des nombres de carré négatif, ainsi que les solutions des équations du
quatrième degré (méthode de Ferrari).
L'ensemble des sommes et produits de nombres réels et du nombre imaginaire
(les nombres de la forme
) satisfait les propriétés d'une structure de corps commutatif qui contient le corps des réels. Il est appelé corps des
nombres complexes et se note
. Il est muni de l'application module qui généralise la valeur absolue des nombres
réels mais ne peut pas être ordonné totalement de façon compatible avec sa structure de corps.
Ce n'est qu'à partir du XIXe siècle que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes, vus comme des
éléments ou des transformations du plan, sous l'impulsion de l'abbé Buée et de Jean-Robert Argand (plan d'Argand),
puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy.
En algèbre, le théorème de d'Alembert-Gauss identifie le degré d'un polynôme complexe non nul au nombre de ses
racines comptées avec leur ordre de multiplicité. Le corps des nombres complexes est donc algébriquement clos.
En analyse, l'exponentielle complexe permet de simplifier l'étude des séries de Fourier puis de définir la transformée
de Fourier. La branche de l'analyse complexe concerne l'étude des fonctions dérivables au sens complexe, appelées
fonctions holomorphes.
En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d'oscillateurs électriques ou les
phénomènes ondulatoires en électromagnétisme (Re(eiωt) représentant une onde).
L'ensemble de Mandelbrot (en noir), illustration d'un système dynamique sur le
plan complexe
Nombre complexe
35
Description
Représentation d'un nombre complexe dans
l'espace à deux dimensions [en rouge], sous
forme cartésienne [en bleu] (avec deux nombres
réels) et sous forme polaire [en vert] (avec une
longueur et un angle).
Notations des nombres complexes
Les nombres complexes, notés habituellement
, peuvent ainsi être présentés de plusieurs manières :
• forme cartésienne,
• algébrique :
• ou vectorielle :
• forme en coordonnées polaires :
• géométrique
• ou vectorielle :
• ou trigonométrique :
Forme cartésienne
Forme cartésienne d'un nombre complexe
Un nombre complexe se présente en général en coordonnées cartésiennes, comme une somme
, où a et b
sont des nombres réels quelconques et (l’unité imaginaire) est un nombre particulier tel que
.
Le réel a est appelé partie réelle de z et se note
ou
, le réel b est sa partie imaginaire et se note
ou
.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il
s'écrit sous la forme z = bi. Un nombre complexe dont la partie imaginaire vaut 0 est assimilé à un nombre réel.
Nombre complexe
36
Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur, mais la plupart des nombres complexes ne sont ni
réels ni imaginaires purs.
L'addition et la multiplication sur les nombres complexes ont les mêmes propriétés d'associativité, de commutativité
et de distributivité que sur les nombres réels. Les règles de calcul s'écrivent donc :
•
•
;
.
En particulier, cette formule permet d'obtenir l'égalité suivante :
2
.
2
Puisque la somme a +b de deux carrés de nombres réels est un nombre réel strictement positif (sauf si a = b = 0), il
existe un inverse à tout nombre complexe non nul avec l'égalité :
Cette fraction fait apparaître deux expressions importantes pour le nombre complexe
• son conjugué
:
est aussi un nombre complexe ;
• son module
est un nombre réel positif.
L'application de conjugaison est un automorphisme involutif :
,
et
.
L'application module est une valeur absolue car elle est strictement positive en dehors de 0, sous-additive
et multiplicative
.
Les réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leur conjugué. Les réels positifs sont les seuls
complexes égaux à leur module.
Le nombre 0 est le seul nombre complexe dont le module vaut 0.
Forme polaire
Plan complexe
Représentation géométrique d'un nombre
complexe
Dans un plan affine
muni d'un repère orthonormé
, l'image d'un nombre complexe
le point M de coordonnées (a,b), son image vectorielle est le vecteur
est
. Le nombre z est appelé affixe du point
M ou du vecteur
(affixe est féminin : une affixe).
Le module
est alors la longueur du segment
.
Si z est différent de 0, son image est distincte de l'origine O du repère. On appelle alors argument de z et on note
n'importe quelle mesure
de l'angle
, bien définie à un multiple de
près.
Nombre complexe
37
Par exemple, les réels strictement positifs ont un argument multiple de
argument un multiple impair de
, les réels strictement négatifs ont pour
.
Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru à
ou
modulo
, selon le signe de leur partie
imaginaire.
Le plan
, muni de son repère orthonormé et des actions des nombres complexes par addition et multiplication, est
appelé plan complexe. Puisque tous les plans complexes sont canoniquement isomorphes, on parle du plan
complexe sans préciser davantage.
Coordonnées polaires
Le module et l'argument d'un nombre complexe correspondent aux coordonnées polaires
de son image dans
le plan complexe. En écrivant les coordonnées cartésiennes à partir des coordonnées polaires, tout nombre complexe
non nul peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique
La formule d'Euler
avec
.
permet de compacter cette écriture sous une forme exponentielle
.
Le conjugué s'écrit alors simplement
.
Cette écriture est en outre adaptée au calcul du produit de deux nombres complexes du fait des propriétés
multiplicatives de la fonction exponentielle :
•
,
•
.
Interprétation géométrique des opérations
Soit z et z' deux nombres complexes d'images respectives
• L'image
de la somme
et
.
est définie par la relation
.
L'action d'un nombre complexe par addition s'interprète géométriquement comme une translation selon le vecteur
image.
• Soit un nombre réel, l'image
du produit
est défini par la relation
.
L'action du nombre réel
par multiplication scalaire s'interprète géométriquement comme une homothétie de
centre O et de rapport sur le plan complexe.
• Si z est de module 1 et d'argument , l'image
et d'angles
du produit
est définie par les relations de longueurs
.
L'action d'un nombre complexe de module 1 par multiplication s'interprète géométriquement comme une rotation
de centre l'origine et d'angle l'argument.
• Par composition d'une homothétie et d'une rotation, l'action d'un nombre complexe z non nul par multiplication
s'interprète géométriquement comme une similitude directe de centre l'origine, de rapport
et d'angle
.
• L'image du conjugué
• L'image de l'inverse
de
de
est le symétrique de
est l'image de
symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
par rapport à l'axe des abscisses.
par l'inversion par rapport au cercle unité, composée avec la
Nombre complexe
38
Construction
Il existe plusieurs manières courantes de construire le corps des nombres complexes à partir de l'ensemble des
nombres réels et de ses opérations arithmétiques élémentaires. Outre que les objets ainsi définis sont tous
isomorphes, les constructions présentées ci-après mettent en lumière trois caractéristiques importantes :
1. Le corps des réels est clairement identifié comme un sous-ensemble du corps des complexes et les opérations
d'addition et de multiplication sont préservées dans la nouvelle structure. Le nombre réel 1 reste neutre pour la
multiplication.
2. Il existe un nombre complexe canoniquement choisi dont le carré vaut
, bien que son opposé vérifie aussi
cette propriété.
3. Deux paramètres réels sont nécessaires et suffisants pour décrire tous les nombres complexes, ce qui souligne la
structure d'espace vectoriel réel de dimension 2 avec une base canonique.
Vecteur du plan euclidien
On peut définir un nombre complexe comme un vecteur du plan
muni de sa base canonique.
Chaque nombre complexe est donc représenté par un couple
de nombre réels.
L'addition correspond à celle des vecteurs, c'est-à-dire l'addition des coordonnées terme à terme :
.
La multiplication est définie « arbitrairement » par :
.
L'ensemble des réels s'identifie avec la droite
et l'élément est le deuxième vecteur de base
. Le
module d'un nombre complexe correspond enfin à la norme euclidienne du vecteur associé et l'argument est une
mesure de l'angle formé par le vecteur associé avec le premier vecteur de base.
Cette définition présente l'avantage de la simplicité, puisqu'elle exige peu de prérequis mathématiques. Elle est en
outre adaptée à la représentation géométrique des nombres complexes.
Matrice de similitude
Il est intéressant de définir un nombre complexe comme une matrice de similitude directe
à coefficients
réels, car les opérations matricielles induisent précisément la structure algébrique voulue. En outre, le module et
l'argument deviennent respectivement le rapport et une mesure de l'angle de la similitude.
Il faut cependant vérifier que l'ensemble de ces matrices est stable par produit :
ce qui justifie au passage la commutativité du produit et assure l'isomorphisme entre cette structure et celle définie
précédemment.
L'ensemble des réels s'identifie alors à l'ensemble des matrices diagonales de la forme
représentée par la matrice identité. L'élément désigne classiquement la matrice
, l'unité étant
.
Le déterminant correspond au carré du module, ce qui entraîne que toutes les éléments non nuls sont inversibles et la
méthode des cofacteurs démontre la stabilité par inverse.
Ce point de vue fournit une construction naturelle qui peut être adaptée pour obtenir l'algèbre réelle des quaternions.
Il donne en outre une interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes comme composition de
similitudes du plan. La conjugaison est enfin représentée par la transposition de matrices.
Nombre complexe
39
Classe d'équivalence de polynômes
Un nombre complexe peut enfin être vu comme un polynôme réel d'indéterminée
le polynôme constant de valeur
, donc avec les identifications
;
, où le carré
est identifié avec
…
Formellement, cela revient à assimiler l'ensemble des nombres complexes à l'espace quotient
,
dans lequel deux polynômes appartiennent à la même classe d'équivalence si et seulement s'ils ont le même reste de
division euclidienne par
.
Le caractère irréductible du polynôme
assure directement la structure de corps. Les réels sont représentés
par les polynômes constants et le degré 2 du polynôme diviseur est la dimension de l'ensemble comme espace
vectoriel réel.
Cette conception très sophistiquée en apparence est peut-être celle qui décrit le mieux l'invention des nombres
complexes, loin de la géométrie, à partir d'un seul générateur algébrique et d'une seule relation. Le formalisme (plus
récent) du quotient d'un anneau euclidien (ici l'anneau des polynômes réels à une indéterminée) par un de ses idéaux
irréductibles est à la base de la construction des extensions algébriques de corps.
Structure du corps des complexes
Les racines carrées d'un nombre complexe s'écrivent facilement lorsque celui-ci est sous forme trigonométrique :
celles de
sont
et
et sont opposées l'une de l'autre.
L'existence de deux racines carrées, dans le corps des nombres complexes, pour tout nombre complexe non nul (y
compris pour tout réel strictement négatif) est une propriété qui n'est pas vérifiée par restriction au corps des réels,
puisqu'aucun réel strictement négatif ne peut s'obtenir comme le carré d'un nombre réel. Plus généralement, tout
polynôme à coefficients complexes (donc, en particulier, tout polynôme à coefficients entiers ou rationnels), non
constant, admet au moins une racine (ce qui implique qu’il en admet autant que son degré, en les comptant avec leurs
multiplicités). On dit que le corps des complexes est algébriquement clos. Ce résultat est connu en France sous le
nom de Théorème de d'Alembert-Gauss, dans d'autres pays sous le nom de théorème fondamental de l'algèbre.
En fait, le corps des complexes est la clôture algébrique du corps des réels, c'est-à-dire le plus petit corps qui
contienne le corps des réels et qui soit algébriquement clos. Du point de vue de la théorie de Galois, on peut
considérer les automorphismes du corps des complexes : l'identité et la conjugaison sont ses seuls automorphismes
continus (on peut remplacer l'hypothèse « continu » par, au choix, « mesurable » ou « tel que l'image de tout réel est
un réel »). En supposant l'axiome du choix on peut construire des automorphismes « exotiques » de ce corps: voir
automorphismes de corps non continus de C.
Développements en mathématiques
Analyse complexe
Les nombres complexes ont initialement été conçus pour répondre à un problème algébrique. Cependant, étendre les
définitions de l'analyse au champ des nombres complexes s'avère tout aussi fécond. Par exemple la définition usuelle
de la dérivée :
(avec usage de la multiplication et de la soustraction complexes) permet
d'obtenir une nouvelle notion de fonction dérivable, de variable complexe à valeurs complexes appelée fonction
holomorphe. Cette notion s'avère plus restrictive que son pendant réel, notamment, toute fonction holomorphe voit
sa dérivée être holomorphe, et même, toute fonction holomorphe est analytique, c'est-à-dire admet un développement
en série entière en chacun des points de son domaine d'holomorphie.
En théorie de l'intégration, en utilisant la notion d'intégrale le long d'un chemin, on obtient le théorème intégral de
Cauchy, qui assure que l'intégrale d'une fonction holomorphe, sur un domaine vérifiant certaines propriétés
topologiques, le long d'un chemin fermé, est nulle. Cette propriété cruciale permet d'obtenir la notion de primitive
Nombre complexe
40
d'une fonction holomorphe, toujours sur un domaine adapté. Certaines de ces conditions topologiques peuvent être
abandonnées, grâce à la notion de point singulier, aboutissant au théorème des résidus.
Représentations graphiques
Longtemps réputées non représentables graphiquement, les fonctions holomorphes ou de manière plus générale les
fonctions complexes peuvent maintenant être représentées grâce aux découvertes récentes en informatique[1] .
Dynamique holomorphe
La dynamique holomorphe à une variable consiste en l'étude du comportement des itérés d'une fonction holomorphe
définie sur une surface de Riemann. On distingue deux types de points sur ces surfaces : ceux où la famille des
itérés est normale, en ces points la dynamique est assez simple (bassins d'attractions de cycles de points périodiques),
dont l'ensemble est appelé ensemble de Fatou de , puis ceux où le comportement est chaotique et dont l'ensemble
est appelé ensemble de Julia de .
Les propriétés de ces itérés sont particulièrement bien connues dans le cadre de la sphère de Riemann : classification
complète des composantes connexes de l'ensemble de Fatou selon les propriétés de , propriétés de l'ensemble de
Julia, étude des espaces à paramètres de polynômes...
On étudie aussi la dynamique holomorphe à plusieurs variables, par exemple dans les espaces projectifs complexes
où apparaissent de nouvelles difficultés par rapport à une variable telles que la présence d'ensembles de points où
n'est pas définie.
Équations différentielles dans le champ complexe
L'étude des équations différentielles holomorphes a les mêmes résultats de base que celle des équations sur des
fonctions de variable réelle, et notamment le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui donne l'existence et l'unicité d'une
solution à un problème de Cauchy ; ou les résultats d'algèbre linéaire sur les espaces de solutions des équations
différentielles linéaires.
Cependant, l'étude des équations aux points singuliers est nettement plus féconde que les simples études de raccord
du cas réel : la topologie du plan complexe au voisinage d'un point singulier fait qu'il y a une infinité de manière de
l'approcher, et l'étude des raccords des solutions obtenues avec toutes les méthodes d'approche amène à la notion de
monodromie. Cette notion est ensuite utilisée dans un cadre plus général : la théorie de Galois différentielle.
En topologie
• En identifiant l'espace vectoriel
avec l'espace vectoriel
, la multiplication par définit une application
sans point fixe sur les sphères de dimension impaire.
• L'adjonction d'un point « à l'infini » au plan complexe définit la sphère de Riemann homéomorphe à la sphère
usuelle S2, qui peut être vue comme le premier espace projectif complexe.
La projection de la sphère S3, vue comme sphère unité de l'espace
, sur la sphère de Riemann par quotient de
l'action du cercle unité S1 constitue alors la fibration de Hopf.
• Les espaces projectifs complexes de dimension paire engendrent rationnellement l'anneau de cobordisme
orienté[2] .
Nombre complexe
41
Emplois en physique et ingénierie
Représentation des phénomènes périodiques et analyse de Fourier
La forme trigonométrique a permis de simplifier la modélisation et l’écriture de nombreux phénomènes, par exemple
les phénomènes ondulatoires notamment à propos des ondes électromagnétiques, ou en électronique et plus
précisément dans le domaine de l'analyse électronique des circuits contenant des auto-inductances (selfs ou bobines)
notées L, des capacités notées C et des résistances notées R (exemples, R+jLw ou R-j/Cw). Dans le domaine de
l'électronique, le i représentant l'imaginaire en mathématiques, se note j. On peut tracer alors le diagramme de
Fresnel et ce, quelle que soit l'expression.
En fait, on se sert du fait que
contient
pour simplifier les écritures. En effet, si l’on doit écrire qu’un paramètre
vaut r cos(θ), il faut deux réels, r et θ. Mais avec des complexes, il suffit d’UN nombre, ce qui est bien plus simple.
En électromagnétisme toujours, mais dans un contexte différent, on peut écrire le champ électromagnétique comme
une combinaison complexe du champ électrique et du champ magnétique. Pur artifice de calcul, on peut associer l’un
ou l’autre de ces champs à la partie « imaginaire » du champ complexe obtenu : cela simplifie grandement les
opérations.
On utilise également les complexes pour l’analyse de Fourier, très utilisée dans de nombreux domaines, comme le
traitement du signal.
Mécanique des fluides dans le plan
En mécanique des fluides (hydro/aérodynamique), on fait apparaître des potentiels et des vitesses complexes. En
effet, pour un écoulement à deux dimensions, on peut décomposer la vitesse du fluide en vx et vy. Or, on montre que :
Satisfaire à ces conditions (conditions de Cauchy-Riemann) équivaut à dire qu’il existe une fonction analytique telle
que
où
Ceci permet encore d’écrire :
On appelle f(z) le potentiel complexe, et sa dérivée par rapport à z, la vitesse complexe. Grâce à cette fonction, on
obtient directement le module de la vitesse, et sa direction (en prenant la forme trigonométrique). Surtout, on peut
modéliser simplement un écoulement autour d’un obstacle, d’une manière simple et compacte. La fonction ψ doit
être constante le long du profil de cet obstacle, ce qui permet une résolution simple de f, grâce à des résultats simples
d’analyse complexe.
Mécanique quantique
Autre simplification pour physiciens : la mécanique quantique nécessite les nombres complexes. Les fonctions
d’ondes quantiques sont ainsi toutes complexes (voir Postulats de la mécanique quantique). Dans ce cas, toutefois, il
est possible (selon des théories non quantiques) que cela corresponde à la structure réelle de l’univers : non plus à 4
dimensions (espace-temps), mais de 5 et plus - dans certaines théories jusqu’à 11 - aux échelles quantiques (petites).
Malgré notre perception (adaptée aux échelles plus grandes), la dimension imaginaire pourrait donc fort bien
correspondre aussi à une « réalité physique » et non pas représenter seulement une commodité d’écriture.
Nombre complexe
42
Si tant est d’ailleurs qu’on ait lieu d’établir une différence, car on remarque que les notations efficaces pour engendrer
des objets le sont tout autant pour les décrire avec précision ensuite (voir Fractale, Complexité de Kolmogorov,
Compression, Entropie de Shannon et même Notation neumatique en musique).
Historique
Les nombres complexes apparaissent plus clairement au XVIe siècle, quand est établie une formule de calcul pour les
racines polynomiales des équations cubiques et quartiques polynomiales par les mathématiciens italiens Niccolo
Fontana Tartaglia et Gerolamo Cardano. On réalise très tôt que ces formules, même si l'on ne s'intéresse qu'aux
solutions réelles, nécessitent parfois de manipuler la racine carrée de nombres négatifs. Par exemple, la formule
cubique de Tartaglia donne la solution suivante à l'équation x³ − x = 0:
Le calcul formel avec les nombres complexes montre que l'équation z³ = i a pour solution −i,
. En substituant ces résultats dans
et
et en simplifiant, on obtient 0, 1 et −1 comme solutions de
x³ − x = 0.
Ces méthodes de calcul sont obtenues alors que la notion de nombre négatif n'est pas encore validée à l'époque.
L'appellation nombre imaginaire pour ces quantités est introduit, tant leur réalité est contestable, par René Descartes
en 1637. Une source de confusion supplémentaire réside dans le fait que l’équation
combinée avec l'identité algébrique
(valide avec des réels positifs a et b) aboutit au résultat
absurde
. L’utilisation incorrecte de cette identité (et de l’identité liée
) dans le cas où à la fois a et b sont négatifs tient notamment Leonhard Euler en échec. C’est cette
difficulté qui mène les mathématiciens de l’époque à convenir d’utiliser le symbole spécial i à la place de
pour se préserver de cette erreur.
Au XVIIIe siècle, en 1730, Abraham de Moivre énonce la formule bien connue qui porte son nom (formule de De
Moivre) :
Peu de temps après, en 1748, Euler donne, quant à lui, la formule suivante (formule d'Euler) :
Ce n'est qu'en 1799 que l'existence des nombres complexes est complètement admise avec l’interprétation
géométrique décrite par Caspar Wessel. Plusieurs années après, Carl Friedrich Gauss la redécouvre et la popularise et
c'est alors que cette théorie prend un essor considérable. Il a noté cependant que l’idée d’une représentation graphique
des nombres complexes est déjà mentionnée, en 1685, dans l’ouvrage de John Wallis De Algebra tractatus.
Un mémoire de Wessel, clair et complet, apparaît dans les minutes de l’Académie de Copenhague en 1799. Il y
reconsidère la sphère et fournit une théorie des quaternions à partir de laquelle il développe une théorie complète sur
la trigonométrie sphérique. Dans une publication de 1806, l’Abbé Buée reprend l’idée, suggérée par Wallis, que
pourrait représenter 1 et -1 sur une ligne perpendiculaire à l’axe réel ; Jean-Robert Argand publie sur le
même sujet au même moment. En 1831, Gauss établit une théorie relativement peu connue, et en 1832 publie son
mémoire principal sur le sujet. On peut aussi mentionner le petit traité de Mourey (1828), dans lequel les fondements
de la théorie des nombres directionnels sont posés. L’acceptation générale de la théorie doit aussi beaucoup aux
travaux de Augustin Louis Cauchy et Niels Henrik Abel, ce dernier étant spécialement connu comme le premier à
avoir fait, avec succès, un usage massif des nombres complexes.
Les plupart des termes communément utilisés dans la théorie sont dus aux fondateurs :
Nombre complexe
43
• Argand appele
• Cauchy (1828) appelle
le facteur direction, et
l'expression réduite ;
• Gauss utilise i pour
, introduit le terme nombre complexe pour
• Hankel (1867) appelle
coefficient directionnel ;
• Weierstrass, quant à lui, emploie valeur absolue pour module.
le module ;
et appelle
la norme ;
Après Cauchy et Gauss suivront nombre de contributeurs. Parmi ceux-ci :
•
•
•
•
•
•
•
•
Kummer (1844) ;
Kronecker (1845),
Scheffler (1845, 1851, 1880) ;
Bellavitis (1835, 1852) ;
Peacock (1845) ;
De Morgan (1849) ;
Möbius à qui l'on doit de nombreuses publications sur les applications géométriques des nombres complexes ;
Dirichlet pour avoir étendu la théorie des nombres complexes et y incluant les nombres premiers, la notion de
congruence, de réciprocité, etc., comme dans le cas des nombres réels.
Un anneau ou un corps est un ensemble de nombres stable par addition, soustraction et multiplication (et division
dans le cas d'un corps. Gauss étudie les nombres complexes de la forme
, où a et b sont entiers, ou
rationnels. Son élève, Ferdinand Eisenstein, étudie les nombres de la forme
complexe de
, où
. D’autres corps, dits cyclotomique, sont obtenus à partir des racines de l’unité
pour
entier positif quelconque. Cette généralisation est largement due à Kummer, qui invente aussi
les nombres idéaux.
Enfin, parmi les derniers contributeurs (après 1884) de la théorie générale :
•
•
•
•
•
•
•
•
Weierstrass ;
Schwarz ;
Dedekind ;
Hölder ;
l'abbé Berloty ;
Poincaré ;
Eduard Study ;
MacFarlane.
Une définition formelle correcte, utilisant des paires de nombres réels, a été donnée au XIXe siècle.
Voir aussi
Articles connexes
•
•
•
•
•
•
•
•
est une racine
Construction des nombres complexes
Analyse complexe
Fonction holomorphe
Racine de nombre complexe
Trigonométrie complexe
Nombres complexes fendus
Sphère de Riemann
Unité imaginaire
Nombre complexe
Liens externes
• Nombres complexes [3]
• (histoire des sciences) La représentation dans le plan des nombres complexes, par J.-R. Argand, article (1806) en
ligne et commenté sur le site BibNum [4].
• (en) Moebius Transformations Revealed [5], Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness, Université du Minnesota,
film de 2 min 34 (version Youtube [6])
Références
[1] Créer ou voir des représentations (http:/ / meak. free. fr/ reflex/ ) sur le site de présentation des Reflex par Mikaël Mayer de l'Ecole
Polytechnique.
[2] J. W. Milnor, J. D. Stasheff, Characteristic classes, Annals of Math. Studies 76, Priceton University Press (1974)
[3] http:/ / villemin. gerard. free. fr/ Wwwgvmm/ Type/ ImagComp. htm
[4] http:/ / www. bibnum. education. fr/ mathematiques/ essai-sur-une-maniere-de-representer-des-quantites-imaginaires-dans-les-constructions[5] http:/ / www. ima. umn. edu/ ~arnold/ moebius/ index. html
[6] http:/ / www. youtube. com/ watch?v=JX3VmDgiFnY
44
45
Ensembles usuels
Quaternion
Un quaternion est un type de nombre hypercomplexe. L'ensemble des
quaternions, noté
, constitue une extension de l'ensemble des
nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit de
l'ensemble des nombres réels
à celui des nombres complexes
.
Les quaternions furent mis en forme au XIXe siècle, par Hamilton qui
cherchait à construire un ensemble de nombres ayant, dans l'espace,
des propriétés analogues à celles que possèdent les nombres complexes
dans le plan. Il les présente comme des quadruplets de réels.
L'ensemble des quaternions peut être muni d'une addition et d'une
multiplication qui font de lui un des premiers exemples de corps non
commutatif.
La relation qui existe entre les quaternions et les rotations en
dimension 3 fait de l'ensemble des quaternions un outil utile pour le
traitement de l'espace comme en infographie ou en théorie de la
commande.
Plaque commémorative de la naissance des
quaternions sur le pont de Broom (Dublin).
« Ici, le 16 octobre 1843, alors qu'il se promenait,
Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un
éclair de génie la formule fondamentale sur la
multiplication des quaternions
i² = j² = k² = ijk = -1
et la grava sur une pierre du pont. »
Origines et principes
Histoire
Les quaternions furent « découverts » par William Rowan Hamilton en 1843 à partir des travaux de Leonhard Euler
et, au siècle suivant, Carl Friedrich Gauss. Il étudiait alors l'interprétation géométrique de l'arithmétique de nombres
complexes dans le plan et cherchait à obtenir des résultats analogues dans l'espace à trois dimensions.
Après des années de recherches sur la construction d'une algèbre avec des « triplets » de trois nombres réels, il butait
sur la multiplication, et en particulier la conservation des normes (Georg Ferdinand Frobenius a démontré en 1877
qu'une telle multiplication de triplets était impossible à définir).
Il eut alors l'idée d'utiliser des « quadruplets » en employant une dimension supplémentaire. Selon ses dires, il
marchait, le 16 octobre 1843, le long du canal royal, avec son épouse quand soudain lui vint à l'esprit la solution sous
la forme des relations : . Il grava alors promptement ces relations avec un couteau
dans une pierre du pont de Brougham (maintenant appelé Broom Bridge) à Dublin. Cette inscription,
malheureusement effacée par le temps, a été remplacée par une plaque à la mémoire de Sir William Rowan
Hamilton.
La théorie a été généralisée et d'autres ensembles comme les octonions ont été découverts par la suite. Un élément
d'un ensemble de cette nature fut qualifiée de nombre hypercomplexe jusqu'à la Première Guerre mondiale. Ces
ensembles sont maintenant considérés comme des exemples d'algèbres semi-simples. Le théorème
d'Artin-Wedderburn fournit une méthode de construction générique et se fonde sur la théorie des représentations d'un
groupe fini. La construction des quaternions est donnée dans l'article représentations du groupe des quaternions. Elle
correspond à l'unique algèbre simple fidèle de la représentation du groupe de quaternions sur le corps des nombres
Quaternion
46
réels.
Principe
Hamilton décrivit un quaternion comme un quadruplet de nombres réels, le premier élément étant un « scalaire », et
les trois éléments restants formant un « vecteur », ou « imaginaire pur ».
Il put ainsi définir une multiplication avec les bonnes propriétés. Celle-ci peut se résumer à cette table de
multiplication :
· 1
i
j
k
1 1
i
j
k
i i -1 k
-j
j j -k -1
i
k k
j
-i -1
Tout quaternion H peut être considéré comme une combinaison linéaire des quatre quaternions "unités" 1, i, j, et k :
(où a, b, c, d sont des nombres réels).
H peut également s'écrire: H = z + z'·j (avec z et z' des nombres complexes de la forme a + b·i)
Les nombres réels a, b, c et d sont caractéristiques de H : il n'existe qu'une seule façon d'écrire H sous cette forme, et
tout quaternion comportant ces mêmes 4 caractéristiques est nécessairement égal à H (la réciproque est vraie).
a s'appelle la composante réelle ou scalaire de H, tandis que b, c et d sont les composantes complexes de H. On dit
aussi que a est le scalaire de H et que le triplet {b, c, d} ou [
] est le vecteur de H (ou sa partie
vectorielle).
Cette découverte entraîna l'abandon de l'utilisation exclusive des lois commutatives, une avancée radicale pour
l'époque. Les vecteurs et les matrices faisaient encore partie du futur, mais Hamilton venait en quelque sorte
d'introduire le produit vectoriel et le produit scalaire des vecteurs.
Non-commutativité
L'algèbre des quaternions n'est plus commutative, mais partiellement anticommutative : 1 · i = i · 1 = i mais i · j = k
et j · i = -k.
Cette non commutativité est d'ailleurs tout à fait compatible avec une interprétation géométrique des quaternions,
par exemple les rotations vectorielles du plan sont commutatives, mais celles de l'espace ne le sont pas :
• On effectue une rotation autour de l'axe X suivie d'une rotation autour de l'axe Y:
Quaternion
47
• On effectue une rotation autour de l'axe Y suivie d'une rotation autour de l'axe X:
• Les deux cubes ont subi les mêmes rotations, mais dans un ordre différent. Le résultat final est différent, ce qui
exprime de façon graphique la non-commutativité des rotations.
Propriétés mathématiques
Classification algèbrique
Le théorème de Frobenius généralisé (1877) montre que les extensions du corps des réels sont peu nombreuses.
De fait, il n'en existe que quatre : le corps des réels , lui-même, celui des nombres des complexes , celui des
quaternions et celui des octonions . Le corps des quaternions n'est pas commutatif et celui des octonions n'est
pas associatif. Dans ce contexte, les quaternions peuvent être définis comme le plus petit corps non-commutatif
contenant .
Dans le même ordre d'idée, le théorème de Hurwitz (1898) montre que les algèbres de composition sur un corps K,
c'est-à-dire les algèbres munies d'une norme non-dégénérée, sont de dimensions 1, 2, 4 ou 8. Ces algèbres peuvent
être obtenues à partir de la construction de Cayley-Dickson. De plus
• les algèbres de composition de dimension 1 n'existent que lorsque char(K) ≠ 2.
• les algèbres de composition de dimension 1 et 2 sont commutatives et associatives.
• les algèbres de composition de dimension 2 sont ou bien des extensions quadratiques de K, ou bien isomorphes à
.
• les algèbres de composition de dimension 4 sont des algèbres de quaternions. Elles sont associatives mais pas
commutatives.
• les algèbres de composition de dimension 8 sont des algèbres d'octonions. Elles ne sont ni associatives, ni
commutatives.
Définition
L'espace vectoriel des quaternions H sur le corps des réels est un espace vectoriel réel de dimension quatre rapporté à
une base notée
. Tout quaternion
, s'écrit donc de manière unique
.
Scalaires et vecteurs
L'ensemble des quaternions de la forme
ou réels.
Les quaternions de la forme
, par identification des bases
abus de langage, vecteurs.
s'identifie aux nombres réels. Ils sont appelés scalaires
, forment un espace vectoriel tridimensionnel, identifié à
. On les appelle quaternions purs, quaternions vectoriels, ou par
Quaternion
Tout quaternion
48
se décompose en une somme d'un réel et d'un vecteur
scalaire (ou réelle) et partie vectorielle de
, appelées partie
. Cette décomposition est unique.
Addition
La somme de deux quaternions
et
, est définie composant par
composant par:
Cette addition fait de H un groupe abélien(commutatif) par transport de structure.
Son élement neutre est
et l'opposé d'un quaternion
s'obtient en
inversant les signes de ses composants.
Multiplication de Hamilton
Le produit de deux quaternions
et
produit formellement, puis en effectuant les réductions
, s'obtient en développant le
définies par la table de multiplication
donnée plus haut.
Tous calculs faits, on obtient
.
Dans cette dernière formule le désigne le produit scalaire et
des deux quaternions.
le produit vectoriel des composantes vectorielles
Cette multiplication fait de H un anneau associatif unitaire, la distributivité résultant de la bilinéarité des produits
scalaires et vectoriels.
Pour tout quaternion
, on a :
Non-commutativité
La multiplication n'est pas commutative. De fait, la formule précédente montre que pour que
suffit que
, il faut et il
, c'est-à-dire que leurs composantes vectorielles soient colinéaires.
En particulier, un quaternion commute à tous les quaternions si, et seulement si, sa partie vectorielle est nulle,
c'est-à-dire s'il est réel. Pour
, la formule
, définit alors
une multiplication externe qui munit H d'une structure d'espace vectoriel. Cette opération préserve le sous-espace des
scalaires R et des vecteurs R3. Sur ces sous-espaces, elle coïncide avec les multiplications habituelles.
En résumé:
•
•
colinéaires
Quaternion
49
Conjugaison, norme, inversion
Les quaternions sont munis d'une conjugaison, qui est un anti-morphisme involutif, qui permet de définir une norme,
puis l'inverse d'un quaternion. On vérifie alors que H est un corps.
Conjugaison
Le conjugué du quaternion
est le quaternion obtenu en conservant sa partie scalaire et en
prenant l'opposé de sa partie vectorielle
.
On remarquera que le conjugué d'un scalaire
est lui-même et que le conjugué d'un vecteur pur
est son opposé. Pour cette raison Hamilton se référait à la conjugaison comme inverse spatial.
La conjugaison est linéaire, i.e.
, et un anti-morphisme, inversant le sens du produit
C'est une involution, égale à son propre inverse
Les invariants, tels que
.
, sont les réels et les anti-invariants, tels que
, sont les quaternions purs.
La conjugaison permet de retrouver facilement la partie réelle et vectorielle d'un quaternion
:
•
•
Norme
Le produit d'un quaternion
par son conjugué
donne
qui est un nombre réel positif.
On appelle norme du quaternion
, le nombre réel positif
.
Cette norme dérive du produit scalaire canonique sur R4, défini par
. Elle coïncide
4
avec la norme euclidienne dans l'espace quadri-dimensionnel R , sa restriction aux scalaires avec la valeur-absolue
et sa restriction aux vecteurs avec la norme usuelle dans l'espace tridimensionnel standard.
On a :
•
•
•
•
•
Inverses et divisions
Si un quaternion
n'est pas nul, il possède un unique inverse
. Si
est l'inverse de a en tant que réel. Et si
est réel, son inverse
est un vecteur, son inverse
est le vecteur pointant dans la direction opposée à et de norme inverse.
La multiplication n'étant pas commutative, on peut définir la division du quaternion
de deux façons différentes :
• la division à gauche
• la division à droite
par le quaternion (non nul)
Quaternion
50
Conjugué d'un inverse, conjugué de la somme et du produit de deux quaternions
On montre aisément les égalités :
Quaternions unitaires et forme polaire
Quaternions unitaires
Les quaternions unitaires sont, par définition, les quaternions de norme 1. Leur ensemble est topologiquement
isomorphe à la sphère S3.
Un quaternion est unitaire si, et seulement si,
, de sorte que la restriction du produit de Hamilton aux
quaternions unitaires fait de la sphère unitaire un groupe multiplicatif. Nous verrons plus loin que ce groupe agit par
rotation sur l'espace tridimensionnel des quaternions purs.
Ils forment une sphère, et nous verrons ci-dessous qu'on peut établir une sorte de correspondance entre un
quaternion unitaire et une rotation vectorielle dans l'espace euclidien de dimension 3, et que cette particularité permet
une représentation simple du produit de deux rotations vectorielles.
Versors
Pour tout quaternion Q, le quaternion
est un quaternion unitaire, appelé versor (ou verseur) de Q.
Tout quaternion apparait donc comme le produit
On remarquera que
Par ailleurs,
et que
d'un nombre réel positif
par un quaternion unitaire.
.
, d'où on déduit que
.
Forme polaire
On peut poursuivre plus loin la décomposition précédente. En effet, de
, on tire l'existence d'un réel , tel que
Finalement, tout quaternion s'écrit sous la forme
et
, pour un quaternion unitaire
où est un vecteur unitaire de R3.
, où
est un réel positif et
quaternion unitaire de composante réelle nulle, représenté par , vecteur de la sphère
cette décomposition est unique, à
près pour
est un
3
R . Si Q est non réel,
; si Q est réel, le choix de est arbitraire.
Il est possible de définir (par la série usuelle) une fonction exponentielle dans les quaternions, et l'on montre qu'avec
les notations précédentes, on a
.
Quaternion
51
Sous-ensembles particuliers
Racines carrées
Le corps des quaternions n'étant pas commutatif, un polynôme peut avoir plus de racines distinctes que son degré.
Considérons par exemple, le polynôme
En écrivant
, où
dont les racines sont les racines carrées du nombre réel
, elle devient
, c'est-à-dire, soit
.
. La partie vectorielle de ce carré étant nulle, on doit avoir
, auquel cas
, soit
, auquel cas
, ce qui montre que les racines
3
carrées d'un nombre réel négatif sont situées sur une sphère dans l'espace R .
Pour trouver les racines d'un quaternion général
,
avec,
avec
, écrivons sa racine sous sa forme polaire
.
Un
calcul
immédiat
donne
. D'où on déduit successivement
près; puis de
,à
près; puis
, au signe
.
On est donc dans l'un des cas suivants:
• La racine carrée de
est 0 ;
• Les racines carrées d'un réel
négatif sont les vecteurs de la sphère d'équation
• Un quaternion qui n'est pas un réel négatif, possède deux racines carrées opposées.
;
Sous-algèbres
Pour un quaternion non réel
et, par récurrence,
avec
, on peut écrire
. Donc
. Ceci montre que la sous-algèbre engendrée par un quaternion q non réel est
. C'est aussi la sous-algèbre engendrée
. Or ce dernier élément est tel que
sous-algèbre est donc isomorphe au plan complexes C.
Si une sous-algèbre A contient deux quaternions
. Donc, si et
et
. La
, alors elle contient aussi le quaternion
ne sont pas colinéaires, A contient tout l'espace R3, et, par suite, A = H.
En résumé, les sous-algèbres de H sont
• Les sous-algèbres triviales R et H ;
• Une infinité de plans isomorphes au corps des complexe C, l'image de i pouvant être pris comme n'importe quel
élément arbitraire de la sphère S2 des quaternions unitaires purs.
La notation (a, V)
Le quaternion
réel
et du vecteur
On écrit :
peut être décomposé (et de façon unique) en un couple formé du
de
dont les coordonnées sont (b,c,d).
.
Cette notation permet de définir la somme et le produit de la façon suivante :
Elle permet aussi de re-définir ou définir les 3 notions suivantes :
• le conjugué
de
,
• le produit scalaire de deux quaternions :
d'où l'on déduit :
• la norme d'un quaternion :
Quaternion
52
nota : le produit scalaire défini ci-dessus est commutatif et il est donc bien sûr différent du produit de quaternions défini plus haut.
Soit à présent un quaternion
n'est pas nul, le réel
Or
quelconque ; notons
et
. Si le réel
positif
ne l'est pas non plus et l'on peut donc toujours écrire :
est un vecteur normé et l'on peut écrire :
, ou encore :
.
Il en résulte qu'il existe :
• un angle
(dont le cosinus et le sinus valent respectivement
et
) et
• un vecteur normé
qui sont tels que l'on puisse écrire le quaternion
(de vecteur
non nul) sous la forme :
Cette façon d'écrire un quaternion est importante : les termes du couple,
respectivement le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs
et
et
, sont en effet
orthogonaux à
, ces 2
vecteurs faisant entre eux un angle égal à
. Et cette écriture permet de construire la multiplication des quaternions
grâce à la composition des similitudes de
³ comme on peut le voir en cliquant ici [1]
Les similitudes de l'espace et les quaternions
Pour démystifier les quaternions, nous allons faire un petit détour instructif par la géométrie élémentaire et en
particulier par les similitudes dans l'espace. Une similitude dans
est entièrement définie par la triple donnée :
• d'un axe de rotation bien orienté (un vecteur unitaire U),
• d'un angle 2φ défini à 2kπ près et
• d'un rapport d'homothétie k, un réel strictement positif.
L'effet d'une similitude sur tous les vecteurs peut être considéré grossièrement comme un vissage avec expansion.
Voyage et trajets
Plus précisément, l'image du transformé d'un vecteur V (dont l'origine est supposée située sur l'axe U) est obtenue
d'abord par une multiplication (homothétie) de ce vecteur par k, suivi par une rotation d'angle 2φ autour de l'axe de
rotation (on pourrait aussi commencer par la rotation et la faire suivre de l'homothétie, mais il faudrait modifier un
peu les explications qui vont suivre...). Cette rotation fait tourner d'un angle 2φ l'extrémité du vecteur kV sur un
cercle (C) centré sur l'axe et situé dans un plan perpendiculaire à U. Or sur ce cercle, il y a deux façons d'effectuer le
trajet : soit en utilisant un arc, soit en utilisant son complémentaire, ces arcs ne pouvant pas malheureusement être
distingués par la seule mesure 2φ + 2kπ.
C'est précisément cette difficulté que permet de résoudre la notion de quaternion. Schématiquement, on peut dire
qu'un quaternion, c'est comme une similitude qui saurait distinguer les 2 trajets que peut emprunter la rotation
associée.
Dans la vie courante, si pour un voyage entre deux localités L1 et L2, vous avez a priori deux trajets possibles, la
distinction entre ces trajets peut être faite en désignant deux sites-étapes intermédiaires s1 et s2. Et en parlant du trajet
s1 et du trajet s2, vous sous-entendrez les localités de départ et d'arrivée L1 et L2.
En conservant cette analogie, il nous faut donc définir deux points intermédiaires sur les deux arcs du trajet.
À mi-chemin
Quaternion
53
Les points situés à mi-chemin sont parfaits pour cette mission. En effet, si je divise l'angle de vecteurs 2φ + 2kπ par
2, j'obtiens deux angles distincts φ + 2kπ et φ-π + 2kπ. Or, si j'utilise la rotation d'axe U et d'angle φ + 2kπ, je
définis un site-étape différent de celui que j'obtiens avec la rotation φ-π + 2kπ. Ainsi à la similitude sim(U, 2φ, k), il
correspond deux trajets distincts qui sont représentés par les deux quaternions distincts quat(U, φ, k) et quat(U,
−π+φ, k).
Le formalisme
Le triplet (U, φ, k) peut s'écrire de façon équivalente sous la forme du couple (kcos(φ), ksin(φ)∙U) de la notation (a,
V). Et en utilisant des vecteurs a et b orthogonaux à U convenables, il est facile de montrer que ce couple prend la
forme (a.b, a^b). Ainsi, nos sites-étapes nous permettent de revenir à des opérations très simples sur des vecteurs. Et
comme ces opérations sont riches de propriétés remarquables, on sait définir (comme on l'a vu ci-dessus) une
multiplication et une addition des quaternions. Vous pouvez « voir » ces deux opérations sur les quaternions ici :
http://www.alcys.com [1]
Une voie de recherche prometteuse peut être consultée sur le site [2]. On y définit justement la similitude dans
l'espace à trois dimensions par un bivecteur qui est au couple de vecteurs ce que le vecteur est au couple de points.
La loi de composition introduite dans ces bivecteurs est effectivement non commutative, et la restriction de cet
ensemble au plan est l'ensemble des complexes.
Double produit de quaternions
De même que l'on peut calculer un double produit vectoriel, il est possible de calculer un double produit de
quaternions.
Correspondance entre quaternion unitaire et rotation vectorielle
On peut démontrer que le transformé
dimension 3) dans la rotation
de tout vecteur
d'angle
et d'axe
(
quelconque (de l'espace euclidien de
étant un vecteur normé) peut être calculé
grâce au produit de quaternions suivants :
où
et
sont deux quaternions unitaires conjugués et où
et
sont des quaternions dont la composante scalaire est nulle.
On peut aussi écrire cette transformation avec la notation
autour d'un axe orienté selon le vecteur
quaternion associé vaut :
. Si la rotation est
de coordonnées (x, y,z) (le vecteur étant normé) et d'angle
, le
Quaternion
54
Composition de rotations vectorielles et produit de quaternions
La propriété précédente justifie le fait que l'on a coutume de dire, mais de façon peu rigoureuse, que le quaternion
représente la rotation
.
En utilisant le même langage approximatif, on peut dire que la composition de deux rotations successives
est une rotation
qui est représentée par le quaternion
représentants respectifs des rotations
Montrons-le :
En posant :
et
, puis
, les quaternions
et
puis
étant les
.
, la formule encadrée ci-dessus nous donne, écrite de façon
condensée, les 2 égalités :
et
, ce qui peut donc encore s'écrire :
ou, si l'on tient compte de l'associativité du produit de quaternions:
, ou encore :
, en tenant compte de la valeur du conjugué de deux quaternions.
Ce qui établit la propriété annoncée pour la composition de deux rotations et que nous écrirons :
Notations matricielles
De même qu'il est possible de mettre en correspondance le nombre complexe
, il est possible de faire correspondre le quaternion
avec la matrice :
avec la matrice complexe
suivante :
ou encore avec la matrice réelle suivante :
Il existe plusieurs représentations matricielles d'un quaternion. La matrice précédente en est une[3] . Celle qui suit est
plus souvent utilisée. Ainsi, la matrice réelle créée à partir d'un quaternion s'écrit de cette façon (en gardant
q=a+ib+jc+kd):
Si le quaternion unitaire représente une rotation depuis l'origine, on peut le représenter à l'aide d'une matrice 3x3
Avec ces équivalences, la somme et le produit de deux quaternions correspondent respectivement à la somme et au
produit des matrices qui leur correspondent.
Remarque :
Quaternion
55
La matrice complexe
où les 4 matrices :
peut encore s'écrire sous la forme :
,
,
et
sont les matrices
complexes qui correspondent aux quatre quaternions-unités 1, i, j et k évoquées dans la première définition des
quaternions.
Applications
Alors que cela est discutable en dimension 3, les quaternions ne peuvent pas être employés dans d'autres dimensions
(bien que des extensions comme celles des biquaternions et des algèbres de Clifford soient utilisables). De toute
façon, la notion de vecteur avait presque universellement remplacé celle des quaternions en science et en technologie
dans le milieu du XXe siècle.
Aujourd'hui, les quaternions trouvent leur place en infographie, en théorie de la commande, dans le traitement du
signal, dans la commande de mouvement et la mécanique orbitale, principalement pour représenter les rotations et
les orientations en dimension 3. Par exemple, il est fréquent que les systèmes de commande de déplacement d'un
vaisseau spatial soient régis en termes de quaternions. La raison est qu'effectuer beaucoup d'opérations sur les
quaternions est numériquement plus stable que d'effectuer beaucoup d'opérations sur les matrices.
Interpolation de rotations
Si l'on prend deux rotations de l'espace
et
rotation. Pour pouvoir interpoler, il faut soit
, l'interpolation linéaire de ces rotations n'est en général pas une
• utiliser les angles d'Euler,
• utiliser les quaternions.
Dans le dernier cas, les 2 rotations sont représentées par 2 quaternions
l'interpolation correspond à la géodésique entre ces 2 points
Voir aussi
Articles connexes
•
•
•
•
•
•
Quaternions et rotation dans l'espace
groupe de quaternions
biquaternion
matrice de Dirac
algèbre d'espace-temps
Adolf Hurwitz
et
sur la sphère unité
, et
Quaternion
56
Liens externes
• Définition [4]
• Sur les quaternions [1]
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
http:/ / www. alcys. com
http:/ / depuiseuclide. free. fr
P. Girard, Quaternions, algèbre de Clifford et physique relativiste, PPUR, 2004, ISBN 2-88074-606-X
http:/ / villemin. gerard. free. fr/ Wwwgvmm/ Type/ ImagQuat. htm
Octonion
En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non-associative des quaternions. Ils forment une
algèbre à 8 dimensions sur les réels. L’algèbre des octonions est généralement notée
.
En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions.
Malgré cela, les octonions gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie.
Historique
Les octonions ont été découverts en 1843 par John T. Graves, un ami de William Hamilton, qui les appela octaves.
Ils furent découverts indépendamment par Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en 1845. Ils sont
souvent appelés octaves de Cayley ou algèbre de Cayley.
Définition
Chaque
octonion
est
une
combinaison
linéaire
à
coefficients
réels
d’octonions
unitaires
.
Autrement dit, chaque octonion
•
,
avec des coefficients réels
isomorphe à
peut être écrit sous la forme
. L'ensemble de ces combinaisons linéaires est un espace vectoriel noté
,
.
Addition
L’addition des octonions se réalise en additionnant les coefficients correspondants, comme pour les nombres
complexes et les quaternions :
.
Octonion
57
Propriétés
L’addition des octonions est commutative :
•
,
associative :
•
,
et a un élément neutre, zéro, noté
•
:
.
Pour tout octonion
existe un octonion unique, noté
, tels que leur somme est nulle :
•
.
• Cet octonion, nommé opposé, s'obtient simplement en prenant l'opposé des coefficients réels de
.
Ainsi l'ensemble des octonions muni de l'addition et de l'opposé est un groupe commutatif.
Soustraction
La soustraction des octonions est alors l'opération simplement définie par :
•
.
Multiplication
La multiplication des octonions est alors complètement déterminée par la propriété de distributivité à droite et à
gauche :
•
•
où
sont des octonions quelconques, et zéro l’élément absortant, et par la table de multiplication des
octonions unitaires ci-dessous :
Dans la table ci-dessus, l’opérande de gauche est indiqué dans la première colonne, et l’opérande de droite est dans la
première rangée. Le tableau n'est pas symétrique, ce qui signifie que cette multiplication n'est pas commutative.
La table de multiplication peut être définie entièrement par l'identité remarquable :
•
.
Octonion
58
Plan mnémotechnique de Fano
Un moyen mnémotechnique pour se
rappeler les produits des octonions
unitaires est donné par le diagramme
ci-contre.
Ce diagramme à 7 points et 7 droites (le
cercle passant par , et est considéré
comme une droite) est appelé le plan de
Fano. Les droites sont orientées dans ce
diagramme. Les 7 points correspondent aux
7 éléments de base de
. Chaque couple
de points distincts se trouve sur une droite
unique et chaque droite traverse exactement
3 points.
Soit
un triplet ordonné de points
situé sur une droite donnée avec l’ordre
donné par la direction de la flèche. La
multiplication est donnée par :
Plan mnémotechnique de Fano
et
avec des permutations cycliques. Celles-ci opèrent de la manière suivante :
•
est l’élément neutre pour la multiplication,
•
pour chaque point
du diagramme définit complètement la structure algébrique des octonions.
Chacune des 7 droites génère une sous-algèbre de
isomorphe aux quaternions
.
Conjugué
Le conjugué d'un octonion
•
,
est donné par
•
.
La conjugaison est une involution de
et satisfait
•
(notons le changement dans l’ordre de succession).
Parties réelle et imaginaire
La partie réelle de l’octonion
est définie comme suit
•
et la partie imaginaire
•
de sorte que pour tout octonion
•
,
,
Octonion
59
•
•
,
.
L’ensemble de tous les octonions purement imaginaires (dont la partie réelle est nulle) forme une sous-espace à 7
dimensions sur les réels de
, notée
, isomorphe à
. Il n'est pas une sous-algèbre parce que la
multiplication d'octonions purement imaginaires peut être un réel.
L’ensemble de tous les octonions purement réels (dont la partie imaginaire est nulle) forme une sous-algèbre à 1
dimension de
, notée
, isomorphe à
.
Norme
La norme d’un octonion
est définie comme suit
•
Cette racine carrée est bien un nombre réel positif :
•
Cette norme correspond à la norme euclidienne sur
.
On a aussi:
•
,
•
,
•
(le carré de la partie imaginaire est un réel).
Inverse
L’existence d’une norme sur
L’inverse de tout
implique l’existence d’un inverse pour chaque élément distinct de zéro dans
.
différent de zéro est donné par
•
Cela satisfait
•
.
L'ensemble
des octonions non nuls, muni de la multiplication et de l'inverse, est un magma non-commutatif et
non-associatif.
Division
La division des octonions
et
est alors définie par l’égalité suivante :
•
, avec
différent de zéro.
Construction de Cayley-Dickson
A l’instar des quaternions assimilés aux couples de nombres complexes (et des nombres complexes assimilés aux
couples de nombres réels), les octonions peuvent être traités sous forme de couples de quaternions.
L’addition de couples de quaternions
et
est définie par :
•
La multiplication de 2 couples de quaternions
et
est définie comme suit :
•
où
est le conjugué du quaternion
La multiplication d'un nombre réel
•
.
par un couple de quaternions
, d’où
est définie par :
Octonion
60
•
On peut alors définir l’algèbre des couples de quaternions par l'ensemble
des combinaisons linéaires à
coefficients réels des couples de quaternions unitaires suivants :
•
•
.
Cet ensemble, muni des opérations ci-dessus forme une algèbre à 2 dimensions sur l'ensemble des quaternions, et à 8
dimensions sur l'ensemble des nombres réels.
Soit
l'opération inversible qui associe à tout quaternion de coordonnées réelles
mêmes coordonnées dans la sous-algèbre générée par les octonions unitaires
On montre facilement que l’opération
octonion de
.
suivante, qui associe tout couple de quaternions
de
à un
telle que :
•
Il s'ensuit que
l'octonion de
est bijective.
est isomorphe à
.
On démontre alors que les additions et multiplications d’octonions
opérations ci-dessus de couples de quaternions
et
et
dans
•
dans
sont équivalentes aux
:
,
•
•
•
,
,
.
Par suite, on pourra simplement définir les octonions au moyen de couples de quaternions, en incluant les
quaternions dans l'ensemble des octonions munis des opérations de la construction de Cayley-Dickinson et des
égalités suivantes :
•
•
(dans ce cas, l’isomorphisme
.
ci-dessus qui devient une simple identité.)
Propriétés
La multiplication des octonions n'est ni commutative :
•
ni associative :
•
.
Elle satisfait une forme plus faible que l’associativité : l’alternativité. Cela signifie que la sous-algèbre générée par 2
éléments quelconques
est associative :
•
.
On peut montrer que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques de
est isomorphe à
,
, ou
,
qui sont tous associatifs.
Les octonions partagent une propriété importante avec
,
, et
: la norme sur
qui satisfait
•
Cela implique que les octonions forment une [algèbre de division] normée non-associative. Les algèbres de plus
haute dimensions définies par la construction de Cayley-Dickson (par exemple les sédénions) ne satisfont pas cette
propriété : elles ont toutes des diviseurs de zéro et leurs multiplications ne satisfont plus la conservation des normes.
Octonion
61
Il s’avère que les seules algèbres de division normées sur les réels sont
,
,
et
. Ces 4 algèbres forment
aussi les seules algèbres de division alternatives, de dimension finie sur les réels.
La multiplication des octonions n’étant pas associative, les éléments de
distincts de zéro ne forment pas un
groupe algébrique, ni un corps ou un anneau. Ils forment un quasigroupe ou groupe additif.
Automorphismes
Un automorphisme
des octonions est une transformation linéaire inversible de
•
sur lui-même qui vérifie
.
L’ensemble des automorphismes de
forme un groupe noté
. Le groupe
est un groupe de Lie réel
simplement connexe et compact, de dimension 14. Ce groupe est le plus petit des 5 groupes de Lie exceptionnels.
Sous-algèbres particulières
On vérifie aisément que toutes les opérations dans la sous-algèbre des octonions dont la partie imaginaire est nulle
sont équivalentes aux opérations dans l’algèbre des réels. De même la sous-algèbre des octonions dont toutes les
dimensions réelles sauf les 2 premières sont nulles est équivalente à l’algèbre des complexes. De même la
sous-algèbre des octonions dont toutes les dimensions réelles sauf les 4 premières sont nulles est équivalente à
l’algèbre des quaternions.
Par conséquent on identifiera les nombres réels, complexes et quaternions comme des octonions particuliers, qu’on
notera de la même façon :
.
Voir aussi
• Adolf Hurwitz
• nombre hypercomplexe
• quaternions
• biquaternions
• sédénions
Liens externes et références
• The Octonions [1] - un article de John C. Baez
• Octonion Fractals [2] - fractales générées par l’utilisation des octonions
• Dictionnaire des nombres [3]
Références
[1] http:/ / math. ucr. edu/ home/ baez/ Octonions/ octonions. html
[2] http:/ / framy. free. fr/ galerie. php
[3] http:/ / villemin. gerard. free. fr/ Wwwgvmm/ Type/ ImagOcta. htm
Sédénion
62
Sédénion
En mathématiques, les sédénions, notés
, forment une algèbre à 16 dimensions sur les réels. Leur nom provient
du latin sedecim qui veut dire seize. Deux sortes sont actuellement connues :
1. Les sédénions obtenus par application de la construction de Cayley-Dickson
2. Les sédénions coniques (ou algèbre M).
Les sédénions de la construction de Cayley-Dickson
Arithmétique
À l'instar des octonions, la multiplication des sedénions n'est ni commutative ni associative. De plus, par rapport aux
octonions, les sédénions perdent la propriété d'être alternatifs.
Les sédénions ont un élément neutre multiplicatif 1 et des inverses pour la multiplication, mais ils ne forment pas
une algèbre de division. Cela parce qu'ils ont des diviseurs de zéro.
Chaque sedénion est une combinaison linéaire, à coefficients réels, des sédénions unités 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8,
e9, e10, e11, e12, e13, e14 et e15, qui forment la base de l'espace vectoriel des sédénions. La table de multiplication de
ces sédénions unitaires est établie comme suit :
×
1
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8
e9
e10
e11
e12
e13
e14
e15
e10
e11
e12
e13
e14
e15
1
1
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8
e9
e1
e1
-1
e3
-e2
e5
-e4
-e7
e6
e9
-e8 -e11 e10 -e13 e12
e2
e2
-e3
-1
e1
e6
e7
-e4
-e5 e10 e11
-e8
-e9 -e14 -e15 e12
e3
e3
e2
-e1
-1
e7
-e6
e5
-e4 e11 -e10
e9
-e8 -e15 e14 -e13 e12
e4
e4
-e5
-e6
-e7
-1
e1
e2
e3
e12 e13
e14
e15
-e8
-e9 -e10 -e11
e5
e5
e4
-e7
e6
-e1
-1
-e3
e2
e13 -e12 e15 -e14
e9
-e8
e6
e6
e7
e4
-e5
-e2
e3
-1
-e1 e14 -e15 -e12 e13
e7
e7
-e6
e5
e4
-e3
-e2
e1
-1
e8
e8
-e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1
e1
e2
e3
e9
e9
e8
-1
-e3
e3
-e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2
-e11 e10 -e13 e12
e9
e10
-e9
-e8
e4
e5
e6
e7
e2
-e5
e4
e7
-e6
-1
-e1
-e6
-e7
e4
e5
e1
-1
-e7
e6
-e5
e4
e5
e6
e7
-1
-e1
-e2
-e3
e11 -e10 -e5 -e4
e7
-e6
e1
-1
e3
-e2
e8
e9
-e6 -e7
-e4
e5
e2
-e3
-1
e1
-e9
e8
-e7
-e5
-e4
e3
e2
-e1
-1
e15 -e14 -e1
e8
-e9 -e14 -e15 e12
e11 e11 -e10
e9
e8
e12 e12 e13
e14
e15
e8
-e9 -e10 -e11 -e4
e13 e13 -e12 e15 -e14
e9
e8
e14 e14 -e15 -e12 e13
e10 -e11
e10
e13
e11 -e10
e10 -e11 -e8
e15 e14 -e13 -e12 e11
e10 e10 e11
e15 e15 e14 -e13 -e12 e11
e15 -e14
e13 -e2
e6
Sédénion
Les sédénions coniques / algèbre M à 16-dim.
Arithmétique
À la différence des sédénions issus de la construction de Cayley-Dickson, qui sont construits sur l'unité (1) et 15
racines de l'unité négative (-1), les sédénions coniques sont construits sur 8 racines carrées de l'unité positive et
négative. Ils partagent la non-commutativité et la non-associativité avec l'arithmétique des sédénions de
Cayley-Dickson ("sédénions circulaires"), néanmoins les sédénions coniques sont modulaires, alternatifs, flexibles
mais ne sont pas associatifs de puissances.
Les sédénions coniques contiennent à la fois les sous-algèbres des octonions circulaires, les octonion coniques et les
octonions hyperboliques. Les octonions hyperboliques sont de manière calculatoire équivalents aux octonions
fendus.
Les sédénions coniques contiennent des éléments idempotents, nilpotents et donc, des diviseurs de zéro. Avec
l'exception de leurs éléments nilpotents et zéro, l'arithmétique est close avec le respect des opérations de puissance et
de logarithme.
Bibliographie
• Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and
Computation 28:47-72 (1988)
• Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied
Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
• Imaeda, K., Imaeda, M.: Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88
(2000)
• Carmody, Kevin: Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Part III, Online at http://
www.kevincarmody.com/math/sedenions3.pdf (2006)
Articles connexes
• nombre hypercomplexe
• quaternions
• biquaternions
• octonions
63
Nombre complexe fendu
64
Nombre complexe fendu
En mathématiques, les nombres complexes fendus sont une extension des nombres réels définis de manière
analogue aux nombres complexes (usuels). La différence-clef entre les deux est que la multiplication des nombres
complexes (usuels) respecte la norme euclidienne standard (carrée) :
sur
alors que la multiplication des nombres complexes fendus, quant à elle, respecte la norme de Minkowski ou norme
lorentzienne (carrée)
Les nombres complexes fendus ont beaucoup d'autres noms, voir la section des synonymes ci-dessous.
Un espace vectoriel réel à deux dimensions muni du produit interne de Minkowski est appelé un espace de
Minkowski de dimension 1+1, souvent noté
. Tout comme la géométrie euclidienne du plan euclidien
peut
être décrite avec les nombres complexes, la géométrie lorentzienne du plan de Minkowski
peut être décrite
avec les nombres complexes fendus.
Le nom fendu provient du fait que les signatures de la forme (p,p) sont appelées signatures fendues. En d'autre mots,
les nombres complexes fendus sont similaires aux nombres complexes mais dans la signature fendue (1,1).
Définition
Un nombre complexe fendu est de la forme :
où x et y sont des nombres réels et la quantité j définie par (voir les Tessarines) :
L'ensemble de tous ces z est appelé le plan complexe fendu. L'addition et la multiplication des nombres complexes
fendus sont définies par
Cette multiplication est commutative, associative et distributive sur l'addition.
Conjugué, norme, et produit interne
Comme pour les nombres complexes, on peut définir la notion de conjugué complexe fendu. Si
,
le conjugué de z est défini par
.
Le conjugué satisfait les propriétés similaires du conjugué complexe usuel :
Ces trois propriétés impliquent que le conjugué complexe fendu est un automorphisme d'ordre 2.
La norme carrée (ou forme quadratique) d'un nombre complexe fendu
.
est donnée par
Nombre complexe fendu
65
Cette norme n'est pas définie positivement mais possède plutôt une métrique (1,1). Une propriété importante de cette
norme est qu'elle est préservée par la multiplication complexe fendue :
Le produit interne associé (1,1) est donné par
où
et
et
Les nombres complexes fendus z et w sont dits orthogonaux hyperboliques si <z, w> = 0.
Un nombre complexe fendu est inversible si et seulement si sa norme est différente de zéro (
). L'inverse
d'un tel élément est donné par
Les nombres complexes fendus qui ne sont pas inversibles sont appelés éléments nuls. Ceux-ci sont tous de la forme
pour un certain nombre réel a.
La base diagonale
Il existe deux éléments idempotents non-triviaux donnés par
et
et
(c'est-à-dire que
). Ces deux éléments sont nuls :
Il est souvent commode d'utiliser e et e* comme une base alternative pour le plan complexe fendu. Cette base est
appelée la base diagonale ou base nulle. Le nombre complexe fendu z peut être écrit dans la base nulle sous la forme
Si nous notons le nombre
pour les nombres réels a et b par (a,b) alors la multiplication complexe fendue est donnée par
.
Dans cette base, il devient clair que les nombres complexes fendus sont isomorphes à la somme directe
avec l'addition et la multiplication définie ci-dessus.
Le conjugué complexe fendu dans la base diagonale est donné par
et la norme par
Géométrie
L'ensemble des points z tels que
est une hyperbole pour tout a de
différent de zéro. L'hyperbole
est constitué d'une branche gauche et droite passant par a et - a. Le cas a = 1 est appelé l'hyperbole unité.
L'hyperbole conjuguée est donnée par
avec une branche supérieure et inférieure passant par ja et - ja. L'hyperbole et l'hyperbole conjuguée sont séparée par
deux asymptotes diagonales qui forment l'ensemble des éléments nuls :
Ces deux droites (parfois appelées le cône nul) sont perpendiculaires et ont des pentes de
L'analogue de la formule d'Euler pour les nombres complexes fendus est
.
Nombre complexe fendu
66
Ceci peut être déduit du développement en série de puissances utilisant le fait que cosh a seulement des puissances
paires tandis que sinh a des puissances impaires. Pour toutes les valeurs réelles de l'angle hyperbolique , le
nombre complexe fendu
Puisque
est de norme 1 et est lié à la branche droite de l'hyperbole unité.
est de norme 1, en multipliant tout nombre complexe fendu z par
, la norme de z est préservée et
représente une rotation hyperbolique (aussi appelée une transformation de Lorentz). En multipliant par
la
structure géométrique est préservée, prenant les hyperboles par elles-mêmes et le cône nul par lui-même.
L'ensemble de toutes les transformations du plan complexe fendu qui préserve la norme (ou de manière équivalente,
le produit interne) forme un groupe appelé le groupe orthogonal généralisé O(1,1). Ce groupe est constitué des
rotations hyperboliques - qui forme un sous-groupe noté
- combiné avec quatre réflexions discrètes
données par
et
.
L'application exponentielle
qui associe
à la rotation par
est un isomorphisme de groupe puisque la formule usuelle des exponentielles
s'applique :
Propriétés algébriques
En termes d'algèbre générale, les nombres complexes fendus peuvent être décrits comme le quotient de l'anneau
polynomial
par l'idéal généré par le polynôme formel
,
.
L'image de x dans l'ensemble-quotient est l'unité imaginaire j. Avec cette description, il est clair que les nombres
complexes fendus forment un anneau commutatif de caractéristique 0. De plus, si nous définissons une
multiplication scalaire de manière évidente, les nombres complexes fendus forment une algèbre associative et
commutative sur les nombres réels de dimension deux. L'algèbre n'est pas un corps puisque les éléments nuls ne sont
pas inversibles. En fait, tous les éléments nuls différents de zéro sont des diviseurs de zéro. Puisque l'addition et la
multiplication sont des opérations continues en respectant la topologie usuelle du plan, les nombres complexes
fendus forment un anneau topologique.
Les nombres complexes fendus ne forment pas une algèbre normée dans le sens usuel du mot puisque la « norme »
n'est pas définie positivement. Néanmoins, si on étend la définition pour inclure les normes de signature générale, ils
forment une telle algèbre. Ceci s'ensuit du fait suivant
Pour un exposé sur les algèbres normées de signatures générales, voir la référence par Harvey.
Les nombres complexes fendus sont un cas particulier d'une algèbre de Clifford. Nommément, ils forment une
algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une dimension avec une forme quadratique définie négativement.
Comparer ceci avec les nombres complexes qui forment une algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une
dimension avec une forme quadratique définie positivement. (NB : certains auteurs permutent les signes dans la
définition d'une algèbre de Clifford ce qui interchangera le sens de définie positivement et de définie négativement).
Nombre complexe fendu
67
Représentations matricielles
Comme dans le cas des nombres complexes (usuels), on peut facilement représenter les nombres complexes fendus
par les matrices. Le nombre complexe fendu
peut être représenté par la matrice
car
et
L'addition et la multiplication des nombres complexes fendus sont alors donnés par l'addition et la multiplication
matricielle. La norme de z est donnée par le déterminant de la matrice correspondante. La conjugaison complexe
fendue correspond à la multiplication des deux cotés par la matrice
La rotation hyperbolique par
correspond à la multiplication par la matrice
En travaillant dans la base diagonale, cela nous conduit à la représentation matricielle diagonale
Les rotations hyperboliques dans cette base correspond à la multiplication par
qui montre qu'elles sont des applications encadrantes.
Histoire
L'usage des nombres complexes fendus remonte à 1848 lorsque James Cockle exposa ses Tessarines. William
Kingdon Clifford utilisa les nombres complexes fendus pour représenter les sommes de spins en 1882. Clifford
appela les éléments « motors ».
Dans le vingtième siècle, les nombres complexes fendus devinrent une plateforme commune pour décrire les
transformations de Lorentz de la relativité restreinte, dans un espace-temps plat car un changement de vitesse entre
des cadres de référence est élégamment exprimé par une rotation hyperbolique.
En 1935, J.C. Vignaux et A. Duranona y Vedia développèrent l'algèbre et la théorie des fonctions géométriques
complexes fendues dans quatre articles dans Contribucion a las Ciencias Fisicas y Matematicas, Universidad
Nacional de La Plata, Republica Argentina (en espagnol).
Plus récemment, le plan des nombres complexes fendus a été exploité pour exprimer des idées mathématiques, des
requêtes et des fonctions. C'est un pont important entre une structure comme le plan complexe ordinaire et le
caractère exotique des créations modernes.
Nombre complexe fendu
Synonymes
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(Réel) Tessarines James Cockle 1848
(Algébrique) motors W.K. Clifford 1882
numeros complejos hiperbolicos J.C. Vignaux 1935
double nombres I.M. Yaglom 1965 et Hazewinkle 1990
anormal-complex Zahlen W. Benz 1973
nombres perplexes P. Fjelstad 1986
nombres de Lorentz F.R. Harvey 1990
nombres complexes hyperboliques G. Sobczyk 1995
nombres complexes fendus B. Rosenfeld 1997
Voir aussi
•
•
•
•
Espace de Minkowski
Groupe de Lorentz
Algèbre de Clifford
Coquaternion
Références et liens externes
• Benz, W. (1973)Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
• Cockle, James (1848) « A New Imaginary in Algebra », London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine (3)
33:345-9.
• Fjelstadt, P. (1986)"Extending Special Relativity with Perplex Numbers", American Journal of Physics 54:416.
• F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Contains a
description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
• Hazewinkle, M. (1990) editor Encyclopaedia of Mathematics Soviet/AMS/Kluyer, Dordrect.
• Literature review: The Motor Plane D [1]
• Rosenfeld, B. (1997) Geometry of Lie Groups Kluwer Academic Pub.
• Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane (PDF) [2]
• Clifford, W.K., Mathematical Works (1882) edited by A.W.Tucker, pp.392-4, « Further Notes on Biquaternions »
• Vignaux, J.(1935) « Sobre el número complejo hiperbólico y su relación con la geometría de Borel »,
Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad Nacional de la Plata, República
Argentina.
Références
[1] http:/ / ca. geocities. com/ cocklebio/ motorplaneD
[2] http:/ / mailweb. pue. udlap. mx/ ~sobczyk/ HYP2. PDF
68
Tessarine
69
Tessarine
En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les
nombres complexes ordinaires et les nombres complexes fendus. Une tessarine t peut être décrite comme une matrice
2x2
,
où w et z peuvent être des nombres complexes quelconques.
Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres
Nombres complexes
Lorsque z = 0, alors t correspond à un nombre complexe ordinaire, qui est w lui-même.
Nombres complexes fendus
Lorsque w et z sont tous deux des nombres réels, alors t correspond à un nombre complexe fendu, w + j z. La
tessarine particulière
possède la propriété suivante : Son produit matriciel au carré est la matrice identité. Cette propriété a conduit Cockle
à appeler la tessarine j un "nouvel imaginaire en algèbre". L'importance de l'anneau commutatif et associative de
toutes les tessarines semble avoir eu moins d'importance que cette tessarine particulière ainsi que le plan qu'elle crée
au-delà de la ligne réelle.
Quaternion / octonion / sédénion coniques, nombres bicomplexes
Lorsque w et z sont à la fois des nombres complexes
(a, b, c, d réels) alors l'algèbre t est isomorphe aux quaternions coniques
, de base
, avec les identités suivantes :
Ils sont aussi isomorphes aux nombres bicomplexes (à partir des nombres multicomplexes) de base
si une identité :
À noter que j dans les nombres bicomplexes est identifié avec le signe opposé de j à partir de ci-dessus.
Lorsque w et z sont à la fois des quaternions (de base
octonions coniques ; permettant les octonions pour w et z (de base
identique aux sédénions coniques.
[réf. nécessaire]
), alors l'algèbre t est isomorphe aux
), l'algèbre résultante est
Tessarine
70
Propriétés algébriques
Les tessarines, lorsque w et z sont des nombres complexes, forment un anneau quaternionique commutatif et
associatif (bien que les quaternions ne soient pas commutatifs). Ils permettent aussi les puissances, les racines et les
logarithmes de
, qui est une racine non réelle de 1. Ils ne forment pas un corps à cause des éléments
idempotents
a son déterminant / module 0 et par conséquent ne peut pas être inversé multiplicativement. De plus, l'arithmétique
contient des diviseurs de zéro
.
Les quaternions forment un anneau inversible sans diviseurs de zéro, et peut aussi être représenté par des matrices de
forme 2 x 2.
Références
• James Cockle dans le London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3
•
•
•
•
•
1848 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra, 33:435-9.
1849 On a New Imaginary in Algebra 34:37-47.
1849 On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines 34:406-10.
1850 On Impossible Équations, on Impossible Quantities and on Tessarines 37:281-3.
1850 On the True Amplitude of a Tessarine 38:290-2.
Nombre bicomplexe
En mathématiques, un nombre bicomplexe (voir l'article nombres multicomplexes) est un nombre écrit sous la
forme
, où , et sont des unités imaginaires. Basé sur les règles de la multiplication
des unités imaginaires, si
et
, alors le nombre bicomplexe peut être écrit
.
Les nombres bicomplexes sont similaires aux nombres complexes, mais les deux parties sont complexes plutôt
qu'une partie réelle. Les nombres bicomplexes se réduisent aux nombres complexes lorsque A et B sont des nombres
réels.
L'ensemble de tous les nombres bicomplexes forment un anneau commutatif avec l'identité ; donc, la multiplication
des nombres bicomplexes est à la fois commutative et associative et est distributive sur l'addition. Étant donné ceci et
les règles pour la multiplication des unités imaginaires, deux nombres bicomplexes quelconques peuvent être
multipliés. La multiplication des unités imaginaires est donnée par :
•
•
•
•
•
•
i1 · i1 = −1
i2 · i2 = −1
j·j=1
i1 · i2 = j
i1 · j = −i2
i2 · j = −i1
La division n'est pas définie pour certains nombres complexes, puisque certains sont diviseurs de zéro; autrement dit,
les bicomplexes ne forment pas un anneau intègre, et donc pas un anneau à division. Comme exemples de ceux-ci :
et
.
Nombre bicomplexe
71
Parmi les extensions des nombres complexes à des espaces vectoriels à quatre dimensions sur
, les bicomplexes
se distinguent des quaternions en « sacrifiant » l'existence des inverses et l'intégrité au profit de la commutativité de
la multiplication.
Références
• G. Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker Inc., New York, 1991
• Dominic Rochon, A Bloch Constant for Hyperholomorphic Functions1 [1] June, 2000
Références
[1] http:/ / www. 3dfractals. com/ bloch/ node2. html
Nombre multicomplexe
En mathématiques, les nombres multicomplexes forment un algèbre à n dimensions commutative générée par un
élément e qui satisfait
. Un nombre multicomplexe x peut être écrit sous la forme
avec
et
réel. Il est possible d'écrire tout nombre multicomplexe x (avec
) sous la forme
d'une représentation exponentielle
.
Un cas particulier des nombres multicomplexes sont les nombres bicomplexes.
Références
• G. Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker Inc., New York, 1991
Biquaternion
72
Biquaternion
En mathématiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un élément de l'algèbre des quaternions sur les
nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionné la première fois par William Rowan Hamilton au
dix-neuvième siècle. William Kingdon Clifford utilisa le même nom à propos d'une algèbre différente. .
Définition
Soit
, la base pour les quaternions (réels), et soient
des nombres complexes, alors
est un biquaternion. Les scalaires complexes sont supposés commuter avec les vecteurs de la base des quaternions
(c.a.d. vj = jv). En opérant judicieusement avec l'addition et la multiplication, en accord avec le groupe des
quaternions, cette collection forme une algèbre à 4 dimensions sur les nombres complexes. L'algèbre des
biquaternions est associative, mais pas commutative.
L'algèbre des biquaternions peut être considérée comme un produit tensoriel
nombres complexes et
où
est le corps des
est l'algèbre des quaternions réels.
Place dans la théorie des anneaux
Représentation linéaire
Notez que le produit matriciel
=
où chacune de ces matrices possède un carré égal au négatif de la matrice identité. Lorsque le produit matriciel est
interprété comme
, on obtient alors un sous-groupe du groupe des matrices qui est isomorphe au groupe de
quaternions. En conséquence,
représente le biquaternion q.
Étant donné une matrice complexe 2x2 quelconque, il existe des valeurs complexes u, v, w et x pour la tourner dans
cette forme, c’est-à-dire que l'anneau des matrices est isomorphe à l'anneau des biquaternions.
Plan complexe alternatif
Supposons que nous prenions w purement imaginaire,
, où
. (Ici, on utilise
à la place de i
pour l'imaginaire complexe pour le distinguer du quaternion i). Maintenant, lorsque r = w j, alors son carré est
.
En particulier, lorsque b = 1 ou - 1, alors
. Ce développement montre que les biquaternions sont une
source de "moteurs algébriques" comme r qui élevé au carre donne +1. Alors
sous-anneau des biquaternions isomorphe à l'anneau des nombres complexes fendus.
est un
Biquaternion
73
Application en physique relativiste
L'équation de Dirac permet une modélisation du changement de spin de l'électron et l'introduction du positron par
une nouvelle théorie du moment cinétique orbital
Présentation du groupe de Lorentz
Les biquaternions
,
et
ont été utilisés par Alexander MacFarlane et plus tard,
sous leur forme matricielle par Wolfgang Pauli. Elles ont été connues sous le nom de matrices de Pauli. Elles ont
chacune pour carré la matrice identité et par conséquent le sous-plan
engendré par l'une d'entre
elles dans l'anneau des biquaternions est isomorphe à l'anneau des nombres complexes fendus. Par conséquent, une
matrice de Pauli
engendre un groupe à un paramètre
dont les actions sur le
sous-plan sont des rotations hyperboliques. Le groupe de Lorentz est un groupe de Lie à six paramètres, trois
paramètres (c.a.d. les sous-groupes engendrés par les matrices de Pauli) sont associés avec les rotations
hyperboliques, quelquefois appelées "boosts". Les trois autres paramètres correspondent aux rotations ordinaires
dans l'espace, une structure des quaternions réels connue sous le nom quaternions et rotations spatiales. La vue
habituelle par une forme quadratique de cette présentation est que
est conservée par
le groupe orthogonal sur les biquaternions lorsqu'il est vu comme
imaginaires purs, alors on obtient le sous-espace
. Lorsque u est réel et v, w et x sont des
qui convient pour modéliser l'espace-temps.
Voir aussi
• Biquaternions de Clifford
Références
•
•
•
•
Cornelius Lanczos (1949) The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, pp. 304-12.
Silberstein, L. (mai 1912) Quaternionic form of relativity, Philosophy Magazine, series 6, 23:790-809.
Silberstein, L. (1914) The Theory of Relativity.
Synge, J.L. (1972) Quaternions, Lorentz transformations, and the Conway-Dirac-Eddington matrices
Communications of the Dublin Institute for Advanced Studies, series A, #21, 67 pages.
• Kilmister, C.W. (1994) Eddington's search for a fundamental theory, Cambridge University Press [ISBN
0-521-37165-1], pages 121, 122, 179, 180.
Coquaternion
74
Coquaternion
En mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849.
Comme les quaternions de Hamilton découvert en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions
muni d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir des
diviseurs de zéro, des éléments idempotents ou nilpotents.
L'ensemble
forme une base. Les produits de coquaternion de ces éléments sont
.
Avec ces produits l'ensemble
est isomorphe au groupe diédral d'un carré.
Un coquaternion
possède un conjugué
et un module multiplicatif :
.
Lorsque le module est différent de zéro, alors q possède un inverse multiplicatif.
est l'ensemble des unités. L'ensemble P de tous les coquaternions forme un anneau
unités
Soit
avec le groupe des
.
où u et v sont des nombres complexes ordinaires. Alors la matrice complexe
,
où
et
(conjugués complexes de u et v), représentent q dans l'anneau des matrices
dans le sens que la multiplication des coquaternions se comporte de la même manière que la multiplication
matricielle. Par exemple, le déterminant de cette matrice
; l'apparition de ce signe moins où se
trouve un plus dans
conduit au nom alternatif quaternion fendu pour un coquaternion. Historiquement, les
coquaternions ont précédé l'algèbre des matrices de Cayley; les coquaternions (dans le prolongement des quaternions
et des tessarines) évoquent une algèbre linéaire plus large.
Profil
Soit
(ici
est aussi fondamental que l'azimuth)
caténoïde
hyperboloïde à deux nappes
Maintenant, il est facile de vérifier que
Coquaternion
75
et que
.
Ces égalités d'ensembles signifient que lorsque
alors le plan
est un sous-anneau de P, c’est-à-dire isomorphe au plan des nombres complexes fendus lorsque v est dans I alors
est un sous-anneau planaire de P qui est isomorphe au plan complexe ordinaire C.
Pour chaque
,
c’est-à-dire que
et
sont nilpotents. Le plan
est un sous-anneau de P qui est isomorphe aux nombres duaux. Puisque chaque
coquaternion doit relié dans
, un
, ou un plan N, ces plans profilent P. Par exemple, la sphère unité
est formée des "cercles unités" dans les plans constitués de P. Dans
est une paire de droites parallèles, tandis que dans
, c'est une hyperbole, dans N le cercle unité
, c'est vraiment un cercle (bien qu'elle apparaisse elliptique en
raison de la compression par v).
Orthogonalité plane
Lorsque le coquaternion
, alors la partie réelle de q est w.
Définition : pour les coquaternions différents de zéro q et t, nous écrivons
est zéro.
• Pour chaque
, si
, alors
lorsque la partie réelle du produit
signifie que les demi-droites de 0 à q et t sont perpendiculaires.
• Pour chaque
, si
, alors
signifie que ces deux points sont orthogonaux hyperboliques.
• Pour chaque
et chaque
,
et
satisfont
.
• Si u est une unité dans l'anneau des coquaternions, alors
implique
.
Preuve :
découle de
, un fait basé sur l'anti-commutativité
des vecteurs.
Géométrie de la contre-sphère
Prenons
où
. Fixons theta (
) et supposons
.
Puisque les points sur la contre-sphère doivent se trouver sur un contre-cercle dans un certain plan
,m
peut être écrit, pour un certain
.
Soit
l'angle entre les hyperboles de r jusqu'à p et m. Cet angle peut être vu, dans le plan tangent à la contre-sphère
à r, par projection :
.
Comme b peut devenir grand, tanh b est proche de un. Alors
parallélisme dans un méridien
. Cette aspect de l'angle de
tend à faire voir la variété de la contre-sphère comme un espace métrique
où HP est le plan hyperbolique.
Coquaternion
76
Application à la cinématique
En utilisant les bases données ci-dessus, on peut montrer que l'application
est une rotation ordinaire ou hyperbolique suivant que
,
ou
,
.
Ces applications sont des projections dans la géométrie d'anneau inversible des coquaternions. La collection de ces
applications produit une certaine relation avec le groupe de Lorentz puisque il est aussi composé des rotations
ordinaires et hyperboliques. Parmi les particularités de cette approche par rapport à la cinématique relativiste, on
trouve le profil anisotropique, comparé aux quaternions hyperboliques.
Le frein à l'usage des coquaternions pour les modèles cinématiques peut s'expliquer par la signature de
l'espace-temps (2, 2) qui est présumé avoir comme signature (1, 3) ou (3, 1). Néanmoins, une cinématique relativiste
plus claire apparait lorsqu'un point de la contre-sphère est utilisé pour représenter un cadre d'inertie de référence. Si
, alors, il existe un
tel que
, et un
tel que
. Alors, si
et
, l'ensemble
est une base orthogonale issue de t, l'orthogonalité se poursuit à
travers les applications des rotations ordinaires ou hyperboliques.
Notes historiques et références
Les coquaternions ont été d'abord identifiés et nommés dans le London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine,
series 3, volume 35, pp. 434,5 en 1849 par James Cockle sous le titre "On Systems of Algebra involving more than
one Imaginary" (Des systèmes d'algèbre impliquant plus qu'un imaginaire). Lors de la rencontre à Paris en 1900 du
Congrès International des Mathématiciens Alexander MacFarlane appela l'algèbre, le système de quaternions
exsphéricaux comme il en a décrit l'aspect. MacFarlane examina un élément différentiel de la sous-variété {
:
} (la contre-sphère).
La sphère elle-même a été traitée en allemand par Hans Beck en 1910 (Transactions of the American Mathematical
Society, v. 28; e.g. le groupe dihédral apparaît à la page 419). En 1942 et 1947 sont parues deux mentions brèves sur
la structure des coquaternions dans les Annales de Mathématiques :
• A.A. Albert, "Quadratic Forms permitting Composition" 43, pp. 161-177
• V. Bargmann, "Representations of the Lorentz Group" 48, pp. 568-640
Voir aussi
•
•
•
•
Les nombres complexes fendus
Les octonions fendus
Les nombres hypercomplexes
Les quaternions hyperboliques
Octonion fendu
Octonion fendu
En mathématiques, les octonions fendus sont une extension non-associative des quaternions (ou des quaternions
fendus). Ils diffèrent des octonions par la signature de la forme quadratique : les octonions fendus ont une signature
de fente (4,4) où les octonions ont une signature définie positive (8,0).
Définition
La construction de Cayley-Dickson
Les octonions et les octonions fendus peuvent être obtenus par la construction de Cayley-Dickson en définissant une
multiplication sur les paires de quaternions. Nous introduisons une nouvelle unité imaginaire ℓ et nous écrivons une
paire de quaternions (a, b) sous la forme a + ℓb. Le produit est défini par la règle suivante :
où
Si
est choisi égal à - 1, nous obtenons les octonions. Si, à la place, il est choisi égal à + 1, nous obtenons les
octonions fendus. On peut aussi obtenir les octonions fendus via un doublement de Cayley-Dickson des quaternions
fendus. Ici, quel que soit le choix de (±1), cela donnera les octonions fendus. Voir aussi les nombres complexes
fendus en général.
La table de multiplication
Une base pour les octonions fendus est donnée par l'ensemble {1, i, j, k, ℓ, ℓi, ℓj, ℓk}. Chaque octonion fendu x peut
être écrit comme une combinaison linéaire des éléments de la base,
avec des coefficients réels xa. Par linéarité, la multiplication des octonions fendus est complètement déterminée par
la table de multiplication suivante :
77
Octonion fendu
78
Le conjugué, la norme et l'inverse
Le conjugué d'un octonion fendu x est donné par
comme pour les octonions. La forme quadratique (ou norme carrée) sur x est donnée par
Cette norme est la norme pseudo-euclidienne standard sur
. En raison de la signature de fente, la norme N est
isotropique, ce qui signifie qu'il existe des éléments x différents de zéro pour lesquels N(x) = 0. Un élément x possède
un inverse (à deux faces)
si et seulement si N(x) ≠ 0. Dans ce cas, l'inverse est donné par
.
Propriétés
Les octonions fendus, comme les octonions, ne sont pas commutatifs ni associatifs. Comme les octonions, aussi, ils
forment une algèbre de composition puisque la forme quadratique N est multiplicative. C’est-à-dire,
.
Les octonions fendus satisfont les identités de Moufang et ainsi forment une algèbre alternative. Par conséquent, par
le théorème d'Artin, la sous-algèbre générée par deux éléments quelconques est associative. L'ensemble de tous les
éléments inversibles (i.e. ces éléments pour lesquels N(x) ≠ 0) forment une boucle de Moufang.
Les octonions hyperboliques
Les octonions fendus sont de manière calculatoire, équivalents aux octonions hyperboliques.
Les octonions fendus en physiques
Les octonions fendus sont utilisés dans la description d'une loi physique, e.g. en théorie des cordes. L'équation de
Dirac en physique (l'équation de mouvement d'une particule de spin libre 1/2, comme un électron ou un proton) peut
être exprimée avec l'arithmétique des octonions fendus (voir les références ci-dessous).
Algèbre matricielle-vectorielle de Zorn
Puisque les octonions fendus ne sont pas associatifs, ils ne peuvent pas être représentés par les matrices ordinaires (la
multiplication matricielle est toujours associative). Zorn a trouvé une manière de les représenter sous la forme de
"matrices" contenant à la fois des scalaires et des vecteurs en utilisant une version modifiée de la multiplication
matricielle. Plus précisément, définissons qu'une matrice-vecteur est une matrice 2 x 2 de la forme
où a et b sont des nombres réels et v et w des vecteurs dans
. Définissons la multiplication de ces matrices par la
règle suivante
où . est le produit scalaire et x le produit vectoriel ordinaire de 3 vecteurs. Avec l'addition et la multiplication scalaire
définie comme d'habitude dans l'ensemble de toutes les matrices de cette sorte forme une algèbre à huit dimensions
non associative unitaire sur les réels, appelée algèbre matricielle-vectorielle de Zorn.
Définissons le "déterminant" d'un matrice vecteur par la règle
Octonion fendu
79
.
Ce déterminant est une forme quadratique de l'algèbre de Zorn qui satisfait la loi de composition :
.
L'algèbre matricielle-vectorielle de Zorn est, en fait, isomorphe à l'algèbre des octonions fendus. Ecrivons un
octonion x sous la forme
où a et b sont des nombres réels, a et b sont des quaternions purs qui sont vus comme des vecteurs dans
L'isomorphisme des octonions fendus vers l'algèbre de Zorn est donné par
.
Cet isomorphisme préserve la norme puisque
.
Références
Pour la physique sur l'arithmétique des octonions fendus, voir
• M. Gogberashvili, Octonionic Electrodynamics, J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 7099-7104.
doi:10.1088/0305-4470/39/22/020 [1]
• J. Köplinger, Dirac equation on hyperbolic octonions. Appl. Math. Computation (2006)
doi:10.1016/j.amc.2006.04.005 [2]
Références
[1] http:/ / dx. doi. org/ 10. 1088/ 0305-4470/ 39/ 22/ 020
[2] http:/ / dx. doi. org/ 10. 1016/ j. amc. 2006. 04. 005
.
Nombre hypercomplexe
80
Nombre hypercomplexe
En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont
étendues ou qui vont plus loin que l'arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un
grand nombre de partisans incluant Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard Study et Elie Cartan. L'étude des
systèmes hypercomplexes particuliers conduit à leur représentation avec l'algèbre linéaire. Cet article donne une vue
d'ensemble des différents systèmes, incluant certains types qui n'ont pas été considérés par les pionniers avant la
perception moderne issue de l'algèbre linéaire. Pour les détails, les références et les sources, suivre le lien associé au
nombre particulier.
Des nombres avec une dimensionnalité
L’usage le plus commun du terme nombre hypercomplexe fait référence sans doute aux systèmes algébriques avec
une dimensionnalité (axes), comme ceux contenus dans la liste suivante. Pour les autres (comme les nombres
transfinis, les nombres superréels, les nombres hyperréels, les nombres surréels), voir sous l'entrée nombre.
Malgré leurs différentes propriétés algébriques, aucune algèbre hypercomplexe n’a de structure de corps algébrique,
car elle formerait alors une extension algébrique du corps des complexes
, ce qui est absurde,
étant
algébriquement clos. Cette propriété transparaît dans l'absence de commutativité de ces algèbres.
Nombres distributifs avec un axe réels et n axes non-réels
Une définition accessible et moderne d'un nombre hypercomplexe est donnée par Kantor et Solodovnikov (voir la
référence complète ci-dessous). Ils sont éléments de systèmes de nombres unitaires et distributifs qui contiennent au
moins un axe non-réel et sont clos pour l’addition et pour la multiplication. Les axes sont générés par les coefficients
réels
de bases
(
). Les coefficients sont distributifs, associatifs et
commutatifs avec les bases réelles (
) et les bases non-réelles (
). Trois types de
sont possibles :
.
D’un point de vue géometrique, ces nombres forment des algèbres sur les nombres réels de dimension finie.
Les classifications suivantes obéissent à cette catégorie.
Quaternion, octonion et au-delà : la construction de Cayley-Dickson
Les nombres hypercomplexes sont obtenus en généralisant plus avant la construction des nombres complexes à
partir des nombres réels par la construction de Cayley-Dickson.
Celle-ci permet d’étendre les nombres complexes en systèmes de nombres de dimensionnalité
(
). Ceux-ci incluent le système à quatre dimensions : les quaternions, le système à huit
dimensions : les octonions et le système à 16 dimensions : les sédénions.
Augmenter la dimensionnalité introduit des complications algébriques : la multiplication des quaternions n’est plus
commutative, la multiplication des octonions est, de plus, non-associative et les sédénions sont non-normés.
Dans la définition de Kantor et Solodovnikov, ces nombres correspondent aux bases anti-commutatives de type
(avec
).
Puisque les quaternions et les octonions offrent une norme (multiplicative) similaire aux longueurs des espaces
vectoriels euclidiens de dimensions quatre et huit respectivement, ils peuvent être associés à des points dans certains
espaces euclidiens de dimensions plus élevées. Au-delà des octonions, par contre, cette analogie tombe puisque ces
constructions ne sont plus normées.
On peut créer une infinité d’algèbres du même type en appliquant la construction de Cayley-Dickson à l’algèbre de
rang inférieur. Quelques propriétés intéressantes sont à noter :
Nombre hypercomplexe
81
• À chaque rang, les dimensions des nombres sont doublées ;
• À chaque rang, une propriété supplémentaire est perdue.
n 2n
nom
limite
0 1
réels
-
1 2
complexes
perte de la comparaison
2 4
quaternions perte de la commutativité
3 8
octonions
perte de l'associativité
4 16 sédénions
perte de l'alternativité
Après les octonions, les algèbres contiennent des diviseurs de zéro (x · y = 0 n'implique plus x = 0 ou y = 0), ce qui
implique que leurs multiplications ne conservent plus les normes.
Nombre dual
Les nombres duaux sont de bases
avec l'élément nilpotent
.
Algèbre complexe fendue
Les nombres complexes fendus sont de bases
éléments idempotents
avec
et des diviseurs de zéro
une racine non-réelle de 1. Ils contiennent les
.
Une construction de Cayley-Dickson modifiée conduit aux coquaternions (quaternions fendus, c’est-à-dire de bases
avec
,
) et aux octonions fendus (c'est-à-dire de bases
avec
,
). Les coquaternions contiennent des éléments nilpotents et ont
une multiplication non-commutative. Les octonions fendus sont aussi non-associatifs.
Toutes les bases non-réelles d'algèbres complexes fendues sont anti-commutatives.
Algèbre de Clifford
Une algèbre de Clifford est une algèbre unitaire, associative sur les espaces vectoriels réels, complexes ou
quaternionique muni d'une forme quadratique. Alors que les constructions de Cayley-Dickson et complexes fendues
avec huit ou plus de dimensions ne sont plus associatives en respectant la multiplication, les algèbres de Clifford
conservent l’associativité pour toute dimensionnalité.
Tessarine, biquaternion et sédénion conique
Tandis que pour les constructions de Cayley-Dickson, l’algèbre complexe fendue et l’algèbre de Clifford, toutes de
bases non-réelles sont anti-commutative, l’utilisation d’une base imaginaire commutative conduit aux tessarines à
quatre dimensions et aux biquaternions à huit dimensions.
Les tessarines offrent une multiplication commutative et associative, les biquaternions sont associatifs mais non
commutatifs et les sédénions coniques sont non-associatifs et non-commutatifs. Ils contiennent tous des éléments
idempotents et des diviseurs de zéro, sont tous non-normés, mais offrent un module multiplicatif. Les biquaternions
contiennent des éléments nilpotents.
Compte tenu de l’exception de leurs éléments idempotents, des diviseurs de zéro et des éléments nilpotents,
l’arithmétique de ces nombres est close pour la multiplication, pour la division, pour l’exponentiation et pour les
logarithmes (voir les quaternions coniques, qui sont isomorphes aux tessarines).
Nombre hypercomplexe
Quaternion hyperbolique de A. MacFarlane
Les quaternions hyperboliques d’Alexander MacFarlane ont une multiplication non-associative et non-commutative.
Néanmoins, ils offrent une structure d’anneau plus riche que l’espace de Minkowski de la relativité restreinte. Toutes
les bases sont des racines de 1, c’est-à-dire
pour
.
Nombre multicomplexe
Les nombres multicomplexes sont une algèbre à n dimensions commutative générée par un élément qui satisfait
. Les nombres bicomplexes sont un cas particulier, ils sont isomorphes aux tessarines, aux quaternions
coniques et sont aussi contenus dans la définition des « nombres hypercomplexes » par Kantor et Solodovnikov.
Histoire
Les quaternions furent inventés par l'irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton recherchait des manières
d'étendre les nombres complexes (qui peuvent être assimilés à des points d'un plan) à des dimensions plus élevées de
l'espace euclidien (
). Il ne réussit pas à le faire pour la dimension trois, mais la dimension quatre produisit les
quaternions.
Cette découverte entraîna l'abandon de l'utilisation exclusive des lois commutatives, une avancée radicale pour
l'époque. Les vecteurs et les matrices faisaient encore partie du futur, mais Hamilton venait en quelque sorte
d'introduire le produit vectoriel et le produit scalaire des vecteurs.
Hamilton décrivit un quaternion comme quadruplet de nombres réels, le premier élément étant un « scalaire », et les
trois éléments restants formant un « vecteur », ou « imaginaire pur ».
À la fin de l'année 1843, John Graves et Arthur Cayley découvrent indépendamment une algèbre de dimension huit :
les octonions. Celle-ci n'est pas associative.
Références
• I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov, Hypercomplex Numbers : An Elementary Introduction to Algebras, c. 1989,
New York: Springer-Verlag, traduit en anglais par A. Shenitzer (original en russe).
82
Nombre p-adique
83
Nombre p-adique
En théorie des nombres, si
est un nombre premier, un nombre
concevoir comme une suite de chiffres en base
-adique est un objet mathématique qui peut se
, éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie
à droite de la virgule). Avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux
usuels, l'ensemble des nombres -adiques forme un corps noté
. Un nombre 2-adique est parfois appelé «
diadique » mais ne doit pas être confondu avec une fraction dyadique. Un nombre 3-adique est parfois appelé «
triadique ».
Chaque corps
des nombres
-adiques est construit par complétion du corps
des nombres rationnels lorsque
celui-ci est muni d'une "norme" particulière (au sens anglophone, c'est-à-dire ici d'une valeur absolue) nommée
norme
-adique. Cette construction s'apparente à celle du corps
des nombres réels par complétion du corps des
rationnels suivant la valeur absolue usuelle.
La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les
techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre.
De plus, la norme p-adique sur le corps
est une norme non-archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse
différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.
Construction
Approche analytique
Les nombres réels sont définis comme des classes d'équivalence des suites de Cauchy des nombres rationnels.
Cependant, cette définition repose sur la métrique choisie et, en en choisissant une autre, d'autres nombres que les
nombres réels peuvent être construits. La métrique utilisée pour les nombres réels est appelée métrique euclidienne.
Pour un nombre premier donné
, on définit la norme p-adique sur
comme suit :
on appelle valuation p-adique d'un entier a non nul (et l'on note
) l'exposant de p dans la décomposition
de a en produit de facteurs premiers.
on peut alors construire une valuation pour tout nombre rationnel non nul en posant :
.
On prouve aisément que cette définition est indépendante du représentant du rationnel choisi.
La norme p-adique
Si r est nul, on pose
d'un rationnel
non nul vaut
.
. Ce prolongement est compatible avec l'idée que 0 est divisible par
pour
toute valeur de k, donc que la valuation de 0 serait infinie.
En quelque sorte, plus est divisible par , plus sa norme p-adique est petite (c'est un cas particulier de valuation
discrète, un outil algébrique).
Par exemple, pour
:
Nombre p-adique
84
pour tout autre nombre premier.
On démontre que cette application a toutes les propriétés d'une norme. On peut montrer que toute norme
(non-triviale) sur
est équivalente soit à la norme euclidienne, soit à une norme p-adique (théorème d'Ostrowski).
Une norme p-adique définit une métrique
Le corps
sur
en posant :
des nombres p-adiques peut alors être défini comme la complétion de l'espace métrique (
,
).
Ses éléments sont les classes d'équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur
différence converge vers zéro. De cette façon, on obtient un espace métrique complet qui est aussi un corps et qui
contient
.
Cette construction permet de comprendre pourquoi
est un analogue arithmétique de
.
Approche algébrique
Dans cette approche algébrique, on commence par définir l'anneau des entiers p-adiques, puis par construction le
corps des fractions de cet anneau pour obtenir le corps des nombres p-adiques.
On définit l'anneau des entiers p-adiques
est alors une suite
Par exemple,
comme la limite projective des anneaux
telle que
et que, si
,
. Un entier p-adique
.
en tant que nombre 2-adique serait la suite
.
L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies, puisqu'elles commutent avec l'opérateur modulo
(voir arithmétique modulaire). De plus, toute suite
dont le premier élément n'est pas nul a un inverse.
L'anneau des entiers p-adiques ne possédant pas de diviseurs de zéro, il est possible de considérer son corps des
fractions pour obtenir le corps
des nombres p-adiques.
Décomposition canonique de Hensel
Soit
un nombre premier. Tout élément non nul
de
(et en particulier tout élément de
) s'écrit de manière
unique sous la forme :
où
et les
canonique de
sont des nombres entiers compris entre
et
. Cette écriture est la décomposition
comme nombre p-adique.
Cette série est convergente suivant la métrique p-adique.
On note
l'ensemble des éléments de
un sous-anneau de
tels que
et on l'appelle ensemble des entiers p-adiques.
. On peut représenter un entier p-adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en
base p, tandis que les autres éléments de
, eux, auront un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette
écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels.
Par exemple, avec
:
•
(le 2 en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique de 1)
•
: on peut vérifier que, puisque
, ajouter 1 à cette écriture conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0.
•
•
•
est
: en multipliant ce résultat par
représente un élément de
(et même de
) qui n'est pas dans
, on retrouve 1.
.
Nombre p-adique
85
• Le polynôme
se factorise dans
sous la forme
avec
et
ou
. On a
Un autre exemple, avec
:
2
carrée
n'a
pas
de
et
racine
, alors qu'il est irréductible dans
.
dans
mais
en
possède
deux
dans
et
,
son
à
savoir
opposé
:
:
Propriétés
Dénombrabilité
L'ensemble des entiers p-adiques n'est pas dénombrable.
Les nombres p-adiques contiennent les nombres rationnels et forment un corps de caractéristique nulle. Il n'est pas
possible d'en faire un corps ordonné.
Topologie
La topologie sur l'ensemble des entiers p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor; la topologie sur l'ensemble des
nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor privé d'un point (qui serait naturellement appelé infini). En
particulier, l'espace des entiers p-adiques est compact, tandis que l'espace des nombres p-adiques ne l'est que
localement. En tant qu'espaces métriques, les entiers et les nombres p-adiques sont complets.
Les nombres réels n'ont qu'une seule extension algébrique propre, les nombres complexes. En d'autres termes, cette
extension quadratique est algébriquement close. En revanche, la clôture algébrique des nombres p-adiques est de
degré infini : les corps
ont une infinité d'extensions algébriques non équivalentes. De plus, la clôture algébrique
d'un
n'est pas complète. Sa complétion métrique est appelée
Le corps
, aussi noté
, est abstraitement isomorphe au corps
et elle est algébriquement close.
des nombres complexes et il est possible de
considérer le premier comme le dernier, muni d'une métrique exotique. Cependant, l'existence d'un tel isomorphisme
est une conséquence de l'axiome du choix et il n'est pas possible d'en expliciter un.
Les nombres p-adiques contiennent le ne corps cyclotomique si et seulement si
er
e
e
e
e
e
1 , 2 , 3 , 4 , 6 et 12 corps cyclotomiques sont des sous-corps de
Le nombre e (défini par la série
série
divise
. Par exemple, les
.
) n'est élément d'aucun des corps p-adiques. Cependant,
) est un nombre p-adique (sauf si
, mais
(défini par la
est un nombre 2-adique), aussi
, défini
comme une racine p-ème de
, est un élément de la clôture algébrique de tous les corps p-adiques.
Sur les nombres réels, les seules fonctions dont les dérivées sont nulles sont les fonctions constantes. Ceci n'est pas
vrai sur les nombres p-adiques. Par exemple, la fonction
possède une dérivée nulle en tous points, mais n'est même pas constante localement en 0.
Si on se donne les éléments
possible de trouver une suite
soit
dans
.
respectivement membres de
de
telle que la limite des
dans
soit
, il est
et, pour tout
premier, elle
Nombre p-adique
86
Rationalité
Un nombre positif
est rationnel si, et seulement si, son développement p-adique est périodique à partir d'un
certain rang, c'est-à-dire, s'il existe 2 entiers
représentant le développement p-adique du nombre
et
tel que
(La suite
)
Liens internes
• Développement en série d'Engel
• Produit infini de Cantor
Nombre hyperréel
En mathématiques, les nombres hyperréels constituent une extension des nombres réels usuels, permettant de
donner un sens rigoureux aux notions de quantité infiniment petite ou infiniment grande.
Introduction : pourquoi les hyperréels ?
Les « infiniments petits » de l'analyse du XVIIe siècle avaient suscité de violentes critiques, assez semblables à celles
provoquées par l'introduction de « nombres imaginaires » de carré négatif. Les problèmes techniques correspondants
ne purent cependant pas être résolus, ce qui amena la disparition progressive des infinitésimaux et leur
remplacement, dû à Cauchy et Weierstrass, par les notions modernes de limite, de continuité, etc.
Cependant, on pouvait encore envisager d'adjoindre aux réels de nouveaux objets permettant de rendre rigoureux les
raisonnements utilisant les infiniment petits, et diverses tentatives furent faites dans ce sens (par exemple par
Hadamard et Du Bois-Raymond), mais cela sans grand succès, pour des raisons que seule la logique mathématique
devait rendre claires.
Les travaux de Skolem montraient cependant dès 1930 qu'une extension des réels, autorisant un véritable calcul
infinitésimal, était néanmoins possible. Il existe d'ailleurs en réalité plusieurs de ces extensions, mais le choix exact
de l'une d'entre elles n'a pas de grandes conséquences pratiques (bien qu'elles ne soient pas toutes isomorphes) ; on
appelle en général "nombres hyperréels" l'une quelconque d'entre elles.
Un nombre hyperréel (non réel) pourra représenter ainsi, par exemple une quantité « plus grande que tout entier »
(donc "infiniment grande") ou « plus petite que l'inverse de tout entier » (donc infinitésimale).
Historique
Les nombres hyperréels furent introduits par Abraham Robinson dans les années 1960 dans le cadre de ses travaux
sur l'analyse non standard. Robinson rejoignait les préoccupations d'Euler (et des autres analystes du XVIIIe siècle)
cherchant à donner un sens aux nombres infiniment grands et infiniment petits. La construction de Robinson utilisait
essentiellement la théorie des modèles. Une construction plus explicite à l'aide d'ultraproduits fut découverte
quelques années plus tard, et c'est celle qui va être exposée ici. Par la suite, une approche axiomatique plus générale
de l'analyse non standard, la théorie des ensembles internes (Internal Set Theory, ou IST), fut proposée par Nelson, :
elle se base sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel à laquelle sont ajoutés trois axiomes nouveaux ; la description
détaillée de ces axiomes et de leurs conséquences est donnée dans l'article : analyse non standard. Dans cette
approche (qui a d'ailleurs des applications beaucoup plus générales que la construction d'infinitésimaux), on ne crée
pas à proprement parler de nouveaux réels, mais on distingue parmi les réels une collection (qui n'est pas un
ensemble) de réels standards, les autres se comportant par rapport à ceux-ci comme des infiniment petits ou des
infiniment grands par exemple.
Nombre hyperréel
87
Construction
L'objectif est de contruire un surcorps
de
possédant des nombres infiniment grands et infiniment petits. Ce
surcorps devra rester totalement ordonné et vérifier que tout nombre x non infiniment grand s'écrit x*+ε avec x* un
nombre réel et ε un nombre infinitésimal.
Cette construction fait assez naturellement intervenir des suites de nombres réels ; ainsi la suite
s'interprète
comme un nombre infiniment petit et (n2) comme un infiniment grand. Les nombres réels sont préservés dans les
suites constantes. L'addition et la multiplication des suites fournissent de bonnes bases pour obtenir une structure de
corps. Malheureusement il manque l'ordre total : il n'est pas clair si le nombre hyperréel défini par la suite oscillante
(1, -1, 1, -1, ...) est strictement positif ou strictement négatif. On observe cela dit qu'étant donné 2 suites de réels, les
ensembles d'indices ou l'une est supérieure à l'autre sont complémentaires. Choisir un ordre total sur les nombres
hyperréels est donc équivalent à choisir une partie de N dans chaque couple de parties
. Ce dernier
choix amène directement à la notion d'ultrafiltre sur N, de laquelle découle toute la construction qui suit[1] .
La construction des hyperréels se fait à partir d'un ultrafiltre U sur N qui contient toutes les parties cofinies de N. On
ne peut malheureusement pas exhiber un tel ultrafiltre U, dont l'existence repose sur le raffinement du filtre des
parties cofinies de N par le lemme de Zorn.
On construit l'ensemble M des suites de réels
dont l'ensemble des indices n où
l'ultrafiltre. On peut écrire de manière condensée
idéal maximal de l'anneau commutatif des suites de réels
ordonné commutatif qui contient
.
[2]
est un élément de
. Un tel ensemble M est un
. Donc l'anneau quotient
est un corps
Cet ensemble (muni des lois induites par le quotient) est un surcorps de
totalement ordonné. Il contient par exemple l'infiniment petit (1,1/2,1/3,...,1/n,...) (ou plus précisément la classe
d'équivalence de cette suite). On perd par contre le théorème de la borne supérieure sur les nombres hyperréels.
On note que le cardinal de
est
et donc cet ensemble est équipotent à
; cependant, on peut montrer que
l'ensemble exact obtenu dépend de l'ultrafiltre choisi : tous les systèmes de nombres hyperréels construits ainsi ne
sont pas isomorphes entre eux.
Définitions
Un nombre hyperréel x est dit
• infinitésimal, si |x| est strictement inférieur à tout réel positif
• infiniment grand si 1/x est infinitésimal.
• appréciable s'il n'est ni infiniment petit, ni infiniment grand.
Pour tout x appréciable, il existe un réel unique, la partie standard (ou l'ombre) de x (noté x*) tel que x-x* soit
infinitésimal ; l'écriture en x*+ε de tout nombre hyperréel non infiniment grand provient d'une simple dichotomie
(dans R) autorisée par l'ordre total sur
. En effet un nombre hyperréel non infiniment grand est contenu dans un
segment à bornes réelles ; on coupe successivement ce segment en 2 pour encadrer le nombre hyperréel de plus en
plus précisément. Par le théorème des segments emboîtés, on obtient ainsi le nombre réel unique x*.
Nombre hyperréel
88
Un exemple d'utilisation
Avec les définitions précédentes, beaucoup de notions de l'analyse classique s'expriment de manière plus simple :
ainsi, si
est un infinitésimal non nul, la dérivée de f en a est l'ombre de l'hyperréel
: tout se
passe comme si on n'avait plus besoin de la notion de limite. On trouvera d'autres exemples (et des précisions sur la
validité de ces raisonnements) dans l'article analyse non standard.
Voir aussi
• Analyse non-standard
• Ultrafiltre
Références
[1] Il faut tout de même remarquer que des constructions beaucoup plus simples suffisent pour obtenir des extensions de R possédant des
infinitésimaux, par exemple le corps des fractions rationnelles R(X) ; mais ces extensions ne permettent pas une véritable analyse
non-standard ; ainsi, dans le corps précédent, on ne dispose pas d'une fonction exponentielle...
[2] Balade en analyse non-standard sur les traces de Robinson (http:/ / www. emis. de/ journals/ BBMS/ Bulletin/ sup961/ petry. pdf)
Nombre superréel
En mathématiques, les nombres superréels comprennent une catégorie plus inclusive que les nombres hyperréels.
Supposons que X soit un espace de Tychonoff, aussi appelé un espace
, et C(X) une algèbre des fonctions
continues à valeurs réelles sur X. Supposons que P soit un idéal premier dans C(X). Alors, l'anneau quotient A =
C(X)/P est par définition un domaine intégral qui est une algèbre réelle et qui peut être vue comme totalement
ordonnée. Le corps quotient F de A est un corps superréel si F contient strictement les nombres réels
,
c’est-à-dire que F n'est pas isomorphe à l'ordre de
, bien qu'ils peuvent être isomorphes en tant que corps.
Si l'idéal premier P est un idéal maximal, alors F est un corps de nombres hyperréels.
La terminologie est due à Dales et Woodin.
Références
• H. Garth Dales and W. Hugh Woodin : Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
• L. Gillman and M. Jerison : Rings of Continuous Functions, Van Nostrand, 1960.
Nombre dual
89
Nombre dual
En mathématiques et en algèbre abstraite, les nombres duaux sont une algèbre associative unitaire commutative à
deux dimensions sur les nombres réels, apparaissant à partir des réels par adjonction d'un nouvel élément avec la
propriété
(
est un élément nilpotent).
Chaque nombre dual est de la forme
avec a et b uniquement déterminé par des nombres réels. Le
plan de tous les nombres duaux est un "plan complexe alternatif" qui complète le plan des nombres complexes
ordinaire
et le plan des nombres complexes fendus. Le "cercle unité" des nombres duaux consiste aux cas a = 1
ou −1 puisque ceux-ci satisfont
Néanmoins,
où
.
, donc la fonction exponentielle appliquée sur l'axe des
couvre seulement à
moitié le "cercle".
Cette construction peut être étendue plus généralement : pour un anneau commutatif R, on peut définir les nombres
duaux sur R comme le quotient de l'anneau des polynômes
par l'idéal
: l'image de X alors possède des
carrés égaux à zéro et correspond à l'élément comme ci-dessus. L'anneau et ses généralisations joue un rôle
important dans la théorie algébrique des dérivations et des différentielles de Kähler (formes différentielles purement
algébriques).
Sur un anneau R quelconque, le nombre dual
est une unité (i.e. inversible multiplicativement) si et
seulement si a est une unité dans R. Dans ce cas, l'inverse de
est
. Comme conséquence,
nous voyons que les nombres duaux sur un corps quelconque (ou anneau local commutatif quelconque) forme un
anneau local.
Applications
Une application des nombres duaux est la dérivation algorithmique. Considérons les nombres duaux ci-dessus. Étant
donné un polynôme réel quelconque
, on peut étendre directement le
domaine de ce polynôme des réels vers les nombres duaux. Ainsi, nous avons ce résultat :
, où
est la dérivée de P. En calculant sur les nombres duaux, plutôt que sur
les réels, nous pouvons utiliser ceci pour calculer les dérivées des polynômes. Plus généralement, nous pouvons
définir la division sur les nombres duaux et ainsi, avoir accès à la définition des fonctions transcendantes des
nombres duaux, en définissant
.
En calculant les compositions de ces fonctions sur les nombres duaux et en examinant les coefficients de
résultat, nous voyons que nous avons automatiquement calculé la dérivée de la composition.
dans le
Applications en physiques
Les nombres duaux trouvent des applications en physique, où ils constituent un des plus simples exemples
non-triviaux d'un superespace. La direction le long d' s'appelle la direction "fermionique", et le composant réel est
appelé la direction "bosonique". La direction fermionique a gagné son nom à partir du fait que les fermions obéissent
au principe d'exclusion de Pauli : avec un échange de coordonnées, la fonction d'onde de mécanique quantique
change de signe, et ainsi disparaît si deux coordonnées sont mises ensembles; cette idée physique est contenue dans
la relation algébrique
.
Nombre dual
90
Voir aussi
• Nombre hypercomplexe
• Algèbre de Clifford
• Algèbre extérieure
Droite réelle achevée
En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux
éléments notés
et
(qui ne sont pas des nombres). On la note
( la barre symbolise ici le voisinage),
[−∞, +∞] ou
∪ {−∞, +∞}.
Cet ensemble est très utile en analyse, et particulièrement dans certaines théories de l'intégration.
Propriétés
+∞ et -∞ sont définis par les propriétés suivantes :
• pour tout réel x, x <
,
• pour tout réel x, x >
L'une des particularités notables de cet ensemble est que tout ensemble inclus dans la droite réelle achevée admet
une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide (noté ∅, et qui dans la droite réelle achevée
admet
en tant que borne inférieure, et
en tant que borne supérieure).
Opérations
L'addition et la multiplication définis sur l'ensemble des réels restent valables dans la droite achevée.
Addition
• Pour tout réel x,
•
•
•
•
x+(
x+(
(
(
)=(
)=(
)+(
)+(
)
)
)=(
)=(
)
)
Multiplication
• Pour tout réel strictement positif x (x > 0),
•
•
=(
=(
)
)
• Pour tout réel strictement négatif x (x < 0),
•
•
=(
=(
)
)
(
)=(
)
(
)=(
)
(
)=(
)
Droite réelle achevée
91
Opérations indéterminées
(
)+(
) n'est pas défini.
La division par zéro reste impossible, ne serait-ce que parce que comme tout réel non-nul divisé par +∞ ou -∞ donne
0, on ne peut pas choisir si un nombre divisé par 0 donne +∞ ou -∞. De même, les expressions
et
n'ont aucun sens.
Voir aussi
• Compactifié d'Alexandroff
Nombre cardinal
En mathématiques, les nombres cardinaux, ou simplement cardinaux, généralisent les nombres entiers naturels
pour pouvoir « compter » les éléments d'un ensemble, même infini. On parle du cardinal d'un ensemble, qui, dans
le cas des ensembles finis, est simplement son nombre d'éléments.
L'outil mathématique qui permet d'aborder la cardinalité est la bijection : deux ensembles ont même cardinal quand
on peut les mettre en bijection, et on dit alors qu'ils sont équipotents. Cette caractérisation est conforme à l'intuition
pour les ensembles finis, et se généralise de façon satisfaisante aux ensembles infinis. Le point de départ de la théorie
de la cardinalité pour les ensembles infinis fut un article de 1874 de Georg Cantor qui montrait que le continu,
l'ensemble des réels, ne pouvait être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels, et que donc il existait des
infinis différents du point de vue de la cardinalité.
Pour représenter un nombre cardinal en théorie des ensembles, on peut choisir un ensemble de référence parmi une
classe d'ensembles équipotents entre eux. Ainsi on appelle dénombrable un ensemble équipotent à l'ensemble des
entiers naturels. Pour un ensemble en bijection avec l'ensemble des réels, ont dit qu'il a la puissance du continu
(puissance était utilisé dans le sens du cardinal, et a donné également équipotent). Une première théorie de la
cardinalité peut se construire comme une théorie de la relation d'équipotence, sans définir ce qu'est vraiment un
nombre cardinal en toute généralité.
Il existe plusieurs options pour définir la notion de nombre cardinal en toute généralité. Dans la théorie des
ensembles ZFC (Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix) et ses extensions, on utilise une généralisation à l'infini
des nombres entiers en tant qu'ils permettent de numéroter dans un certain ordre, les nombres ordinaux, dont la
représentation en théorie des ensembles est due à von Neumann. Dans ce cadre, un nombre cardinal est alors défini
comme un nombre ordinal (de von Neumann) qui n'est équipotent à aucun ordinal qui lui soit strictement inférieur.
Tous les entiers naturels, qui sont aussi des ordinaux finis, sont des cardinaux en ce sens. Les autres cardinaux, qui
sont les cardinaux infinis, sont énumérés par la suite ordinale des alephs, mais on ne peut pas placer précisément la
puissance du continu sur cette échelle dans le seul cadre de la théorie ZFC : c'est l'indépendance de l'hypothèse du
continu.
En théorie des ensembles, les « grands cardinaux » permettent une extension naturelle de la théorie ZFC. L'étude de
la cardinalité en théorie des ensembles est toujours un sujet de recherche actif.
Nombre cardinal
92
Le concept
Les saisons, les points cardinaux, les fils Aymon, forment trois ensembles partageant une certaine qualité, qu'ils ne
partagent pas avec l'ensemble des doigts de la main : on peut mettre en évidence cette qualité en faisant correspondre
un à un les éléments respectifs de ces ensembles et dire qu'ils sont de cardinal « quatre »[1] . « Quatre » serait alors la
signature de la propriété en question.
De la même façon l'ensemble des doigts de la main peut être mis en correspondance, élément par élément, avec
l'ensemble des mots {« Amérique », « Afrique », « Antarctique », « Océanie », « Eurasie »} ; ces deux ensembles sont
en un certain sens équivalents.
Cependant, il n' y a aucun moyen de mettre en correspondance « un à un » chaque point cardinal avec chaque doigt
de la main; et donc là on n'a pas affaire à des ensembles équivalents.
Ce que l'on appelle « cardinal » sera en quelque sorte la mesure de la « puissance » d'un ensemble.
Ainsi donc, tant qu'on en reste au fini, les cardinaux apparaissent sous le double aspect de l' équivalence et de l' ordre
: chacun d'eux est la signature d'une équivalence entre ensembles, mais entre eux ils sont ordonnés par taille.
On verra plus bas que la situation se complique lorsque l'on a affaire à des cardinaux infinis, ainsi l'affirmation que
de deux cardinaux l'un doit être supérieur à l'autre, dépend de l'axiomatique choisie : c'est le problème de la
comparabilité cardinale.
Définition de Frege
La relation d'équipotence étant réflexive, symétrique et transitive sur la classe des ensembles, chaque classe
d'équivalence est appelée nombre cardinal ou simplement cardinal.
Cette définition qui paraît très naturelle se présente parfois dans les exposés élémentaires de la théorie des ensembles
; cependant son usage pose certains problèmes dans les théories usuelles, ainsi la classe des ensembles à un seul
élément, qui serait le nombre "un", n'est pas un ensemble et n'est élément d'aucune classe ; de même la classe des
ensembles à quatre éléments, etc, d'où l'impossibilité de même parler d'intervalles de nombres entiers naturels. Ces
difficultés s'apparentent au paradoxe de Russell, qui fut d'ailleurs découvert quand ce dernier adressa une lettre
critique à Frege. [2]
Définition classique
Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'adjonction de l'axiome du choix (donnant la théorie ZFC)
permet de définir le cardinal d'un ensemble comme le plus petit nombre ordinal qui lui est équipotent. Un nombre
cardinal est alors un ordinal qui n'est équipotent à aucun de ses éléments.
S'il existe une injection d'un ensemble A dans un ensemble B alors il existe une injection de n'importe quel ensemble
équipotent à A dans n'importe quel ensemble équipotent à B. Le théorème de Cantor-Bernstein permet de montrer
que deux cardinaux sont égaux s'il existe une injection de chacun d'eux dans l'autre. Cette relation est donc une
relation d'ordre (partiel) sur les cardinaux. L'affirmation que l'ordre est total équivaut à l'axiome du choix.
L'ensemble vide et les ensembles d'entiers de la forme
forment des ensembles de cardinaux deux à
deux différents.
Un ensemble est dit fini s'il est équipotent à l'un de ces ensembles, infini dans le cas contraire. Tout cardinal fini est
inférieur à tout cardinal infini.
Sans l'axiome du choix, on ne peut associer un tel cardinal qu'aux ensembles qui peuvent être munis d'un bon ordre.
On note
et
, de sorte que l'ordre sur les cardinaux prolonge l'ordre sur les
entiers naturels.
L'ensemble vide est le seul ensemble à n'être équipotent qu'à lui-même.
Nombre cardinal
93
Avec la définition des entiers de Von Neumann, qui est le cas particulier restreint au fini de la définition des
ordinaux, un entier naturel
est l'ensemble de ses prédécesseurs
, en particulier
.
La suite ordinale des alephs énumère tous les nombres cardinaux (en ce sens) infinis.
Propriétés générales
Si
est une fonction de
dans
, alors
.
Théorème fondamental
Il n'existe pas de surjection d'un ensemble E sur l'ensemble de ses parties
. Un ensemble n'est donc jamais
équipotent à l'ensemble de ses parties, bien qu'il s'injecte dedans par l'ensemble des singletons de ses éléments, ce
qui permet d'écrire :
.
C'est le théorème de Cantor.
Ce résultat justifie le fait qu'il existe des infinis de cardinaux différents. Il donne même un procédé de construction
d'une infinité d'entre eux par itération.
Les cardinaux infinis sont représentés au moyen de la lettre hébraïque aleph
. C'est le cardinal de l'ensemble
. Le plus petit cardinal infini est
des entiers naturels, qui est également désigné en tant que nombre ordinal par
. Le cardinal immédiatement supérieur est
, etc. D'une manière générale, un cardinal quelconque s'écrit
où
est un ordinal.
Cardinal fini
Le cardinal d'un ensemble fini correspond donc simplement au nombre d'éléments qu'il contient. Par exemple,
.
Toute partie d'un ensemble fini est finie.
Cardinal infini
Si
est infini alors
est noté
par analogie avec le cas fini.
Exemples
• Le cardinal de l'ensemble des nombres réels est le même que celui de l'ensemble des parties de
:
.
Ce cardinal étant égal à celui de
, on le note également , dit cardinal du continu.
• Cependant, l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des rationnels sont équipotents.
.
• De même que
s'injecte dans
est égal à , cardinal de
fait que
puis
pour tout entier
,
s'injecte dans
. Démonstration succincte : on montre que
par récurrence s'injecte dans
s'injecte dans
(d'où le
, l'existence d'une bijection provenant du théorème de
Cantor-Bernstein). Pour cela, il suffit d'écrire tout élément de
binaire). L'image d'un élément de
, par conséquent le cardinal de
comme suite de
et de
(développement
est formé en intercalant successivement chaque chiffre du
développement binaire du premier et second nombre. On vérifie facilement que c'est une application injective (en
prenant garde toutefois aux problèmes de non unicité du développement binaire). En utilisant un raisonnement
similaire, on montre que l'ensemble des suites de réels est de cardinal .
Nombre cardinal
94
• Le cardinal de l'ensemble des fonctions continues de
dans
est égal à , cardinal de
. Ceci découle de
la proposition précédente, car l'ensemble des fonctions réelles continues a au plus la puissance de
moins celle du continu).
• Le cardinal de l'ensemble des fonctions de
dans
est
(et au
.
Propriétés
•
•
•
•
•
Un ensemble A est infini si et seulement si
Si
est infini et si
désigne l'ensemble des parties finies de
Si
est infini et
non vide, alors
Si
est inclus dans
infini avec
, alors
Si
est infini, alors
• Si
est infini et si
des fonctions de
.
, alors
, alors
dans
.
.
.
où
désigne l'ensemble
.
Cardinal inaccessible
L'accessibilité est la possibilité d'atteindre un ordinal ou un cardinal donné à partir des ordinaux plus petits.
Un ordinal est dit cofinal avec un ordinal inférieur s'il existe une application strictement croissante de
dans
tel que
Par exemple,
soit la limite de
au sens suivant :
n'est cofinal avec aucun ordinal strictement plus petit, puisqu'un ordinal inférieur à
entier
et qu'une application strictement croissante définie sur
est un
est
bornée. Le cardinal
est dit alors régulier, c'est le cas de tous les cardinaux successeurs.
Par contre, le cardinal
est cofinal avec au moyen de l'application
.
Ce cardinal
En notant
est dit alors singulier.
le plus petit ordinal pour lequel
est cofinal, on obtient
.
Les cardinaux se classent alors comme suit :
• ceux de la forme
• ceux de la forme
• ceux de la forme
, indexés par un ordinal
successeur d'un ordinal
, indexés par un ordinal limite et qui sont singuliers ;
, indexés par un ordinal limite et qui sont réguliers.
;
Ce dernier type de cardinal est qualifié de faiblement inaccessibles car ils ne peuvent être construits à partir de
cardinaux plus petits. On distingue parmi eux les cardinaux fortement inaccessibles qui vérifient de plus
. L'existence de tels cardinaux ne peut se déduire des axiomes de la théorie
des ensembles ZFC.
Les deux premiers types de cardinaux sont qualifiés au contraire d'accessibles, car on peut les construire (dans ZFC)
à partir de cardinaux plus petits qu'eux.
Nombre cardinal
95
Hypothèse du continu
L'inégalité
montrée ci-dessus permet d'écrire
plus petit cardinal strictement supérieur à
L'hypothèse du continu affirme l'égalité
puisque
est le
.
. On montre que cette propriété est indécidable dans ZFC. Par
extension, l'hypothèse généralisée du continu énonce que, pour tout ordinal , on a
.
Les résultats suivants s'obtiennent en admettant comme axiome l'hypothèse généralisée du continu.
• Il y a équivalence entre les notions de cardinaux faiblement inaccessibles et fortement inaccessibles.
• En notant
•
l'ensemble des fonctions de
si
dans
, il vient
;
•
si
•
si
;
.
Une reformulation de l'hypothèse du continu est que R, l'ensemble des réels, est bien ordonnable de type ℵ1. C'est un
énoncé plus fort que le simple fait que R peut être bien ordonné, qui équivaut dans ZF à l'axiome du choix sur les
sous-ensembles des réels.
Une forme forte de l'hypothèse généralisée du continu, énoncée pour des ensembles infinis quelconques, a pour
conséquence l'axiome du choix (voir l'article Ordinal de Hartogs).
Voir aussi
•
•
•
•
•
•
•
Algèbre générale
Correspondance et relation
Nombre ordinal
Théorie des ensembles
Théorème de Cantor
Beth (nombre)
Aleph (nombre)
Références
[1] R. Maillard, G. Girard, A. Lentin, Mathématiques, classe de seconde, 1964
[2] Une solution, due à Dana S. Scott, consiste à utiliser l'ensemble des x de rang minimum contenus dans une telle classe, ce qui suppose
l'axiome de fondation.
Nombre ordinal
96
Nombre ordinal
En linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux
qui servent à préciser le rang d'un objet dans une collection ou l'ordre d'un événement dans une succession. Cette
notion se généralise en mathématiques pour qualifier le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, plutôt
que son « étendue » laquelle est mesurée par sa cardinalité : tous les cardinaux sont aussi des ordinaux mais la
réciproque n'est pas vraie. Un ordinal peut être fini ou bien infini. Ce concept a été inventé par Georg Cantor.
Introduction
Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts : décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément
dans une suite ordonnée. Dans le cas fini, ces notions correspondent respectivement aux adjectifs numéraux
cardinaux (un, deux, trois,...) et ordinaux (premier, deuxième, troisième, ...) et sont très semblables. Cependant, dans
le cas infini, on est amené à distinguer soigneusement nombre cardinal et nombre ordinal.
Si la notion de cardinal est associée à un ensemble sans structure particulière, les ordinaux sont intimement liés à un
ordre sur les éléments de cet ensemble, et plus particulièrement un bon ordre. Brièvement, un ensemble bien ordonné
est un ensemble dans lequel toute partie non vide admet un plus petit élément. Le plus petit élément de l'ensemble est
noté 0, le suivant 1, le suivant 2, mais dès que l'ensemble est infini une notation adaptée est nécessaire pour désigner
dans l'ordre tous les éléments de l'ensemble.
Considérons par exemple l'ensemble des entiers strictement positifs ordonné selon une variante de l'ordre de
Sarkovski (ce dernier n'est pas un bon ordre). Disposons d'abord les entiers impairs, puis les impairs multipliés par 2,
puis par 4, etc.
1, 3, 5, 7, etc. occupent respectivement les positions 0,
1, 2, 3, etc.
2 est le plus petit élément se trouvant après une
infinité d'éléments. Du point de vue ordinal, il occupe
une position notée .
2 × 3 est l'élément qui suit
, etc.
et occupe la place notée
Représentation graphique d'une variante de l'ordre de Sarkovski.
Chaque barre correspond à un ordinal de la forme ω·m+n où m et n
sont des entiers naturels.
4 est le plus petit élément se trouvant après une double infinité d'éléments. Il occupe la place
occupe la place
. Plus généralement
. Si on disposait des éléments supplémentaires à la suite des éléments précédents, ils se
trouveraient après une infinité d'infinis, donc occuperaient les positions
, et ainsi de suite.
Nombre ordinal
97
Définition
On définit un nombre ordinal par l'une des deux manières qui suivent. La deuxième traduit le fait qu'un ordinal est
défini par l'ensemble des ordinaux qui le précèdent :
• La première définition est basée sur les classes d'équivalence d'ensembles ordonnés. Un ordinal est un ensemble
bien ordonné, considéré à un isomorphisme d'ordre près (dans la catégorie des bons ordres où les morphismes
sont les applications croissantes et les isomorphismes les bijections croissantes). Ainsi, si on change les noms des
éléments d'un bon ordre, tant qu'on ne change pas la manière dont les éléments se comparent entre eux, on parle
toujours du même ordinal.
• La seconde définition est due à John von Neumann. Un ordinal
suivantes :
est un ensemble vérifiant les deux propriétés
(i) La relation d'appartenance ∈ est un bon ordre strict sur lui.
(ii) Il est transitif, ce qui signifie que :
.
C'est cette dernière définition que nous adopterons dans la suite de l'article. Usuellement, les ordinaux sont désignés
par des lettres grecques, les ensembles en général par des lettres latines.
En appliquant la définition précédente, les entiers naturels peuvent être construits de la façon suivante :
0 = {} (ensemble vide)
n+1 = n U {n}
Un entier positif est ainsi identifié à l'ensemble de ses prédécesseurs sur N. Exemples :
1 = {0} = { {} }
2 = {0,1} = { {}, { {} } }
3 = {0,1,2} =
4 = {0,1,2,3} = { {} , { {} }, { {}, { {} } } , } etc.
De cette manière, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné par la relation d'appartenance
des ensembles se traduit par un ordre sur les entiers naturels.
, et l'inclusion
L'existence des ordinaux infinis est assuré par l'axiome de l'infini. Le premier nombre ordinal transfini est noté
Il correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels
.
L'ordinal qui suit est
, noté
.
.
Pour définir une notation adaptée aux ordinaux suivants, nous aurons besoin de définir des opérations arithmétiques
sur les ordinaux.
Les ordinaux sont totalement ordonnés au sens large par l'inclusion ou au sens strict par l'appartenance, mais ne
forment pas un ensemble au sens des axiomes ZFC (la théorie des ensembles habituelle), mais une classe propre.
Ceci peut-être mis en évidence grâce au paradoxe de Burali-Forti : l'ensemble des ordinaux serait par définition un
ordinal ... mais qui serait strictement plus grand (aussi par définition) que tous les ordinaux. Et donc que lui-même,
ce qui est contradictoire.
Nombre ordinal
98
Propriétés
On montre que :
• Si deux ordinaux
et
sont donnés, alors ou bien
, ou bien
. On a l'équivalence entre
• Tous les éléments d'un ordinal sont des ordinaux.
• Si
, ce qu'on note également
et (
est un ensemble bien ordonné, il existe un unique ordinal
et
; en particulier si
et
ou
, ou bien
), ce qu'on note
.
et un unique isomorphisme d'ordre entre
sont deux ordinaux isomorphes alors
et l'isomorphisme est
l'identité.
• L'intersection de deux ordinaux est un ordinal, égal au plus petit des deux ordinaux.
• La réunion de deux ordinaux est un ordinal, égal au plus grand des deux ordinaux.
• Si
est un ordinal,
aussi. Ce dernier ordinal est noté
. Si
, alors
. Il
n'existe donc aucun ordinal entre et
, qu'on peut donc qualifier d'ordinal successeur de .
• Si
est un ensemble dont les éléments sont des ordinaux, alors
est un ordinal, borne supérieure de
pour la relation d'appartenance. (On note
• Si est un ordinal non vide, alors :
ou bien
possède un élément maximal
est maximal), donc
ou bien
la réunion des ordinaux éléments de
. Alors
).
, mais
(puisque
.
ne possède pas d'élément maximal. Alors
Dans ce dernier cas, on dit que
et on montre alors que
est un ordinal limite. Un exemple d'un tel ordinal est donné par
.
,
plus petit ordinal infini.
• On dit que l'ordinal est fini si
n'est pas un ordinal limite et ne contient aucun ordinal limite ; autrement dit
est infini s'il existe un ordinal limite
.
• Récurrence transfinie. Cette récurrence généralise le principe de récurrence qu'on applique sur les entiers à tous
les ordinaux. Si est une propriété portant sur les ordinaux, telle que, pour tout ordinal , l'implication
suivante soit vraie :
alors
ordinal
est vraie pour tous les ordinaux. Dans le cas contraire, il suffirait de considérer le plus petit
tel que
soit fausse pour obtenir une contradiction.
On utilise souvent une variante de ce principe pour définir une fonction
sur les ordinaux par
récurrence. Il suffit de donner trois cas ;
• Cas de base :
• Cas successeur :
• Cas limite :
où
est un ensemble donné ;
où est une fonction donnée ;
.
Les deux premiers cas sont les deux usuels de la récurrence sur les entiers, le troisième est nécessaire pour
étendre le schéma à tous les ordinaux.
Nombre ordinal
99
Opérations arithmétiques sur les ordinaux
On peut étendre les trois opérations arithmétiques de somme, produit et exponentiation à tous les ordinaux ; dans
chaque cas il y a deux manières de définir l'opération.
Méthode intrinsèque
On utilise les deux opérandes pour construire un ensemble ordonné dont on montre qu'il s'agit d'un bon ordre.
Il y a donc un unique ordinal isomorphe à cet ordre, qui est par définition le résultat de l'opération. Cette
méthode est plus constructive que la suivante mais moins aisée à utiliser en pratique.
Récurrence transfinie
L'opération est définie par récurrence sur l'un des deux opérandes. Les deux premiers cas de la récurrence (cas
de base et successeur) sont les mêmes que pour les entiers ce qui montre que l'opération est une extension de
sa version arithmétique. Cette méthode permet de facilement démontrer les propriétés élémentaires de
l'opération, par exemple l'associativité de la somme et du produit.
Addition
Pour définir la somme de deux ordinaux
éléments de
et
, on procède comme suit. En premier lieu on renomme les
de façon à ce qu'ils soient distincts de ceux de
sont écrits à gauche des éléments de
, ensuite, les éléments de l'ordinal
, de sorte qu'on définit un ordre sur
est strictement plus petit que tout élément de . Les ordinaux
Plus précisément on considère l'union disjointe
et
que l'on appelle
dans lequel tout élément de
conservent leur ordre initial.
de
et
, c'est-à-dire
que l'on ordonne lexicographiquement :
.
De cette façon, on définit un bon ordre sur
dans l'ordre
ssi
l'ensemble
ou
et
; cet ensemble bien ordonné est isomorphe à un unique ordinal
.
On peut également définir la somme par récurrence transfinie de la façon suivante :
•
•
• si
est un ordinal limite, alors
, ordinal limite (ou borne supérieure) des
pour
.
On vérifie facilement (par induction transfinie) que les deux définitions coïncident.
Donnons quelques exemples.
Si
et
sont des ordinaux finis, c'est-à-dire des entiers naturels, alors leur somme au sens ordinal est égale à leur
somme au sens arithmétique.
est le premier ordinal infini, correspondant à l'ensemble des entiers naturels. Essayons de visualiser
.
Deux copies de
sont placées l'une à la suite de l'autre. Si nous notons {0<1<2<...} la première copie et
{0'<1'<2',...} la deuxième copie, alors
ressemble à ceci :
0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...
Cet ordinal est différent de car, dans , 0 est le seul élément à ne pas avoir de prédécesseur direct, alors que
dans
, 0 et 0' n'ont pas de prédécesseurs directs.
Considérons maintenant
et
0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...
0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'
Après renommage, le premier est comparable à
lui-même, mais pas le deuxième. On a donc
. On peut voir également, en utilisant la définition formelle, que
est le successeur de
mais
Nombre ordinal
100
alors que
est un ordinal limite, à savoir l'ordinal limite réunion de
qui n'est autre que
Ainsi, l'addition n'est pas commutative, par contre, on peut montrer qu'elle est associative.
On a par exemple :
On peut également montrer que :
Il y a donc une simplification à gauche. Par contre, il n'y a pas de simplification à droite, puisque :
et
De même, on a :
mais la relation analogue avec
Pour tout ordinal
à droite est fausse. On a seulement :
inférieur ou égal à
s'appelle la différence de
par
. Si
, on montre qu'il existe un ordinal unique
est strictement supérieur à
tel que
.
, on convient que cette différence est nulle.
Multiplication
Pour multiplier deux ordinaux
et
, on écrit dans l'ordre les éléments de
différentes copies de la liste ordonnée des éléments de
.
Plus précisément on considère le produit cartésien
ssi
ou
et
, et on remplace chacun d'eux par
que l'on ordonne lexicographiquement par la droite :
.
On obtient un ensemble bien ordonné qui est isomorphe à un unique ordinal, noté
.
On peut également définir le produit par récurrence transfinie :
•
•
• si
est un ordinal limite,
, ordinal limite (ou borne supérieure) des
pour
.
Comme pour la somme on montre facilement par induction transfinie que les deux définitions coïncident. Lorsque on
les applique à des ordinaux finis on retrouve le produit usuel des entiers naturels.
Voici
:
00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ...
Et on voit que
Par contre,
.
ressemble à ceci :
00 < 10 < 01 < 11 < 02 < 12 < 03 < 13 < ...
et après renommage, on reconnaît
, de sorte que
. La multiplication des ordinaux n'est donc pas
commutative, par contre, on peut montrer qu'elle est associative.
Les principales propriétés du produit sont :
et
, mais si on change
Par exemple,
et
simplification à droite.
mais
de côté, l'inégalité stricte peut être mise en défaut.
. Par contre, on a :
(simplification à gauche). L'exemple ci-dessus montre qu'il n'y a pas de
lui-même.
Nombre ordinal
101
ou
(distributivité à gauche). Par contre, il n'y a pas de distributivité à droite.
En effet,
soit
et non
un ordinal et
. Alors il existe un unique ordinal
et un unique ordinal
tels que
. (C'est une sorte de division euclidienne.)
Exponentiation
Passons maintenant à l'exponentiation des
ordinaux.
Réprésentation graphique des ordinaux jusqu'à ωω. Chaque tour de la spirale
représente une puissance d'ω
Pour un exposant fini, on peut se ramener au produit. Par exemple,
. Mais on peut visualiser cet ordinal
comme l'ensemble des couples d'entiers, ordonné selon l'ordre lexicographique suivant, où l'ordre sur les entiers de
droite a plus de poids que l'ordre sur les entiers de gauche :
(0,0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ... < (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (0,2) < (1,2) < (2,2) < ...
et de même, pour un n fini,
peut-être vu comme l'ensemble des n-uplets d'entiers.
Si on tente d'étendre ce procédé à
, on obtient :
(0,0,0,...) < (1,0,0,0,...) < (2,0,0,0,...) < ... <
(0,1,0,0,0,...) < (1,1,0,0,0,...) < (2,1,0,0,0,...) < ... <
(0,2,0,0,0,...) < (1,2,0,0,0,...) < (2,2,0,0,0,...)
< ... <
(0,0,1,0,0,0,...) < (1,0,1,0,0,0,...) < (2,0,1,0,0,0,...)
< ...
Chaque élément du tableau est une suite infinie d'entiers, mais si on prend des suites quelconques, l'ordre ainsi défini
n'est pas un bon ordre. On obtient un tel bon ordre en se limitant aux suites d'entiers n'ayant qu'un nombre fini
d'éléments non nuls.
Nombre ordinal
102
Plus généralement étant donné deux ordinaux
et
dont le support est fini (le support de
deux telles fonctions et notons
est l'ensemble des
et
des fonctions de
tels que
dans
). Soient
et
leurs supports. Comme ces deux ensembles sont finis leur union
est finie aussi ; on pose
tel que
On vérifie que
, on considère l'ensemble
ssi
et
où
.
est alors bien ordonné, donc isomorphe à un unique ordinal noté
est le plus grand
. Dans le cas où
et
sont finis on voit immédiatement que cet ordinal est l'exponentielle des entiers naturels. Dans le cas où
l'ordre que l'on a construit sur
est connu sous le nom d'ordre multi-ensemble.
Comme pour la somme et le produit on peut également définir
par récurrence transfinie de la façon suivante :
•
•
• si
est un ordinal limite et
On trouve que
,
, alors
. Si
,
et
alors
.
.
Voici quelques propriétés de l'exponentiation :
si
alors
. On prendra garde que :
mais
et
si
il existe un unique ordinal
et
,
tel que
, alors il existe une décomposition unique
et les exposants
avec, pour tout
strictement croissants, ce qui donne une sorte de décomposition de
en base
Remarque : on prendra garde que l'exponentiation des ordinaux n'a que peu de rapport avec l'exponentiation des
cardinaux. Par exemple
est un ordinal dénombrable, alors que, dans les cardinaux,
désigne le cardinal
de
, ensemble des parties de
, et a la puissance du continu. L'ambiguïté est levée si on convient d'utiliser
les lettres grecques en calcul ordinal et la lettre pour les cardinaux.
La suite des ordinaux transfinis commence comme suit:
Il existe des nombres ordinaux transfinis qui ne peuvent pas être obtenus en effectuant un nombre fini d'opérations
arithmétiques n'utilisant que les nombres ordinaux finis et . Le plus petit d'entre eux est appelé et vaut
. C'est le plus petit ordinal solution de l'équation
deuxième solution de
On peut de même définir
,
.
, ...,
, ...,
. On peut ensuite définir
,
, etc. jusqu'à
, ...
Tous ces ordinaux, construits en utilisant les opérations successeur et limite d'ordinaux déjà construits, sont
dénombrables. On désigne par le plus petit ordinal non dénombrable. Il contient tous les ordinaux dénombrables.
Toute suite définie dans
admet un majorant dans
.
Nombre ordinal
103
Forme normale de Cantor
Pour manipuler les ordinaux, il est plus simple de recourir à une écriture unique. Pour les petits ordinaux, c'est
possible : soit ε0 le plus petit ordinal tel que
. Tout α<ε0 peut être écrit de façon unique
où
ordinaux (on autorise
Les
sont des entiers et
sont des
).
sont eux aussi exprimés sous forme normale, ce qui donne des ordinaux du type :
.
L'ensemble des ordinaux définissables sous l'une ou l'autre de ces formes est donc ε0.
Les opérations sur les ordinaux deviennent simples :
• l'addition ωβc + ωβ'c'=
• ωβ'c si β<β'
• irréductible si β>β'
• ωβ(c+c') si β=β'
• la multiplication reste ωβc.ωβ'c = ωβ+β'c.
On notera une variante de cette forme normale qui écrit :
en forçant
avec cette fois-ci des répétitions possibles :
.
Utilisation des ordinaux
En dehors d'utilisations spécifiques à la théorie des ensembles, les ordinaux se rencontrent dans les domaines
suivants :
En arithmétique
Le théorème de Goodstein est un théorème d'arithmétique dont la démonstration repose sur la théorie des ordinaux.
Ce théorème pose la question de savoir si une certaine suite à valeurs entières finit par prendre la valeur 0. On
associe à cette suite d'entiers une suite d'ordinaux strictement décroissante. Compte tenu du bon ordre des ordinaux,
une telle suite est effectivement finie. La suite possède une définition relativement simple, pourtant on peut
démontrer que le théorème de Goodstein n'est pas démontrable en utilisant uniquement les propriétés de
l'arithmétique usuelle et donc que l'utilisation des ordinaux infinis permet de démontrer des résultats arithmétiques
indécidables dans l'arithmétique.
En analyse
Les ordinaux ont été définis par Cantor à la suite de ses études sur la convergence des séries trigonométriques. Si une
telle série
est nulle sur
, alors tous les coefficients
et
sont nuls. Cantor
va chercher à affaiblir les hypothèses en réduisant le domaine sur lequel la série s'annule. Il montre que le résultat
reste vrai si la série est nulle sauf en un nombre fini de points. Puis il introduit la notion suivante. Si est une partie
d'un segment
, il définit l'ensemble dérivé de
. Pour tout entier
, il définit
trigonométrique est nulle sur
comme l'ensemble des points d'accumulation de
comme étant le dérivé de l'ensemble
en dehors d'un ensemble
coefficients sont nuls.
Cherchant à prolonger ce résultat si les
comme étant le dérivé de
, noté
. Il montre que, si la série
pour lequel l'un des
est vide, alors les
sont tous non vides. Il définit alors
. D'une manière générale, on définit, pour tout ordinal
, puis
l'ensemble
comme
Nombre ordinal
104
étant l'ensemble dérivé de
, et si
est un ordinal limite,
comme étant
.
René Baire reprendra cette démarche pour la convergence simple des suites de fonctions continues vers une fonction
discontinue. Il définit une partie réductible comme une partie pour laquelle il existe un ordinal tel que
soit vide. Baire montre ensuite que si
ensemble réductible, alors
est une fonction telle que l'ensemble des points où elle est discontinue est un
est limite simple d'une suite de fonctions continues.
Dans le cas contraire, la suite des
dénombrable. On montre que
se stabilise à l'ensemble
, où
désigne le premier ordinal non
est un ensemble parfait.
En topologie
Soit
un ordinal. Notons
l'ensemble des ordinaux inférieurs ou égaux à
. Cet ensemble peut être muni
d'une structure topologique, en prenant comme prébase d'ouverts les parties
tout ordinal
et
inférieurs ou égaux à
contre-exemples.
Ainsi, si on prend
, alors
compactifié de
Si on prend
.
converger vers
, bien que
muni de sa topologie discrète usuelle.
est un
premier ordinal non dénombrable, alors aucune suite strictement inférieure à
appartienne à l'adhérence de
, les points de la forme
sont des espaces topologiques normaux.
. En particulier,
mais pas parfaitement normal.
Voir aussi
Ensemble bien ordonné
Nombre cardinal
Nombre transfini
Nombre surréel et pseudo-réel
Topologie de l'ordre
En grammaire : Adjectif numéral ordinal
ne peut
n'admet pas de base
qui soit dans ce cas.
sont isolés.
est un espace compact.
et
est normal mais pas complètement normal.
est complètement régulier mais n'est pas normal.
•
•
•
•
•
•
pour
. Ces topologies sont sources de nombreux exemples et
est l'ensemble
dénombrable de voisinages et c'est le seul point de
Dans tout espace
et
est complètement normal,
est faiblement normal mais pas normal.
Nombre surréel et pseudo-réel
105
Nombre surréel et pseudo-réel
En mathématiques, les nombres surréels sont un corps qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux
transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif.
Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre
Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Les nombres
surréels : comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total)[1] .
Les nombres pseudo-réels, également introduits par Knuth, sont un sur-ensemble des nombres surréels, construit
avec des conditions plus faibles que ces derniers.
Nombres surréels
Présentation
La construction des nombres surréels est similaire à la construction des nombres réels via les coupures de Dedekind,
mais utilise le concept de récurrence transfinie. Elle repose sur la construction de nouveaux nombres représentés
grâce à deux ensembles de nombres déjà construits,
et
(pour left et right, gauche et droite), éventuellement
vides. Le nouveau nombre ainsi construit, noté
tout nombre de
sur
et
, sera plus grand que tout nombre de
et plus petit que
, selon un ordre qui sera défini plus loin. Pour que cela soit possible, on impose une restriction
: il faut que chaque nombre de
soit plus petit que chaque nombre de
.
Définition
Soient
et
deux ensembles de nombres surréels tels que :
• pour tout
et tout
•
et
sont bien fondés
Alors,
,
est un nombre surréel.
Étant donné un nombre surréel
droite de
Pour
, on appelle
et
l'ensemble de gauche et l'ensemble de
, respectivement.
éviter
l'inflation
d'accolades,
on
abrégera
en
,
en
et
en
On constate qu'il s'agit d'une définition récurrente ; ce point sera explicité plus tard.
.
Ordre
Pour que la définition ci-dessus ait un sens, il est nécessaire de définir une relation binaire (notée ≤) sur les nombres
surréels.
Soient deux nombres surréels
et
, on ne rencontre jamais
et si pour tout
Là encore, cette définition est récurrente.
.
si et seulement si pour tout
, on n'a jamais
Cette relation ne définit qu'un pré-ordre car elle n'est pas antisymétrique (on peut avoir
que
, c'est le cas par exemple avec
et
.
et
sans
). Pour contourner ce problème, on définit une
nouvelle relation sur les nombres surréels :
.
Il s'agit d'une relation d'équivalence et l'ordre induit par
sur les classes d'équivalences est un ordre total, une
classe d'équivalence pouvant alors être considérée comme un nombre unique.
Nombre surréel et pseudo-réel
106
Opérations
• On définit l'addition de deux nombres surréels par :
avec
et
.
• La négation :
avec
.
• Quant à la multiplication de deux nombres surréels :
avec
.
Il est possible de montrer que ces opérations sont bien définies sur les nombres surréels. On peut les généraliser sans
ambiguïté aux classes d'équivalence définie plus haut par :
• Si
•
et
, alors
,
et
•
.
Finalement, on peut montrer que ces opérations sur les classes d'équivalence définissent un corps ordonné, avec la
mention qu'elles ne forment pas un ensemble, mais une classe propre. Il est possible de montrer qu'il s'agit du plus
grand corps ordonné, c'est-à-dire que tout corps ordonné peut y être plongé.
À partir de maintenant, on ne fera plus la distinction entre un nombre surréel et sa classe d'équivalence et on
appellera directement cette dernière nombre surréel.
Construction
On l'a vu, les deux définitions précédentes utilisent le principe de récurrence. Il est possible d'utiliser la récurrence
ordinaire, mais il est plus intéressant de prendre en compte la récurrence transfinie.
Il est également nécessaire de créer un nombre surréel afin d'initier la récurrence ;
l'ensemble vide et répond à cette fonction.
Désignons par
, pour un ordinal , l'ensemble des nombres surréels créés à l'étape
prenant
. On appelle date de naissance d'un nombre surréel
peut être défini grâce à
de la récurrence, en
le plus petit ordinal
tel que
.
Les nombres surréels créés en un nombre fini d'étapes (par un raisonnement de récurrence ordinaire, donc) sont
assimilés aux rationnels dyadiques (c'est-à-dire les nombres
où p et n sont entiers).
Exemples
On définit de proche en proche :
• Les entiers :
et
et
.
• Les nombres dyadiques :
Nombre surréel et pseudo-réel
107
• Les autres nombres rationnels, comme coupures entre deux ensembles de nombres dyadiques, de la même façon
que les nombres irrationnels sont définis comme coupures entre rationnels.
• Les infiniments grands :
qui est plus grand que n'importe quel nombre entier
Mais aussi de nouveaux objets qui ne sont pas des ordinaux, comme
• Les infiniments petits :
qui est strictement positif mais inférieur à tout
On peut montrer que
, pour
entier positif.
.
Nombres pseudo-réels
On obtient les nombres pseudo-réels (pseudo-real numbers selon la terminologie de Knuth) au lieu des nombres
surréels si on enlève la condition qu'aucun élément de l'ensemble de droite ne peut être inférieur où égal à un élément
quelconque de l'ensemble de gauche. Les nombres surréels forment un sous-ensemble des nombres pseudo-réels.
Ces nombres pseudo-réels peuvent s'interpréter comme les valeurs de certains jeux. Ils sont à la base de la théorie
combinatoire des jeux initiée par John Conway.
Voir aussi
• Nombre
• Nombre ordinal
Liens externes
• (fr) Les nombres surréels [2] - traduction en français du livre de Donald Knuth (fichier PDF)
• (fr) Surréalisme mathématique [3] Revue Pour la Science N°372 - octobre 2008 .
Bibliographie
• Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total
Happiness : A Mathematical Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0201038129
• John Horton Conway, On Numbers And Games, deuxième édition, AK Peters (2001) - ISBN 1-56881-127-6.
Nombre surréel et pseudo-réel
Références
[1] Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : A Mathematical
Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0201038129
[2] http:/ / tex. loria. fr/ historique/ loeb-nombres-surreels. pdf
[3] http:/ / www. pourlascience. fr/ ewb_pages/ f/ fiche-article-surrealisme-mathematique-18461. php
108
109
Propriétés particulières
Parité (arithmétique)
En arithmétique modulaire, étudier la parité d'un entier, c'est déterminer si cet entier est ou non un multiple de deux.
Un entier multiple de deux est un entier pair, les autres sont les entiers impairs.
Histoire
L'opposition pair/impair apparaît chez Épicharme (vers 490 av. J.-C.) : "Si tu ajoutes un caillou à un nombre impair
de cailloux, ou si tu préfères à un nombre pair, ou si tu enlèves l'un de ceux qui sont déjà là, crois-tu que leur nombre
va rester le même ? Non, je ne le crois pas" (Diogène Laërce, III, 11).
Euclide dans ses Éléments (Livre VII et Livre IX - propositions 21 et suivantes) étudie les propriétés des nombres
pairs et impairs et définit aussi les nombres pairement pairs (double d'un nombre pair), pairement impairs (produit
d'un nombre pair et d'un nombre impair), impairement impair (produit de deux nombres impairs) mais exclut de son
étude le nombre 1 et le nombre 0.
Nombres pairs et impairs
En mathématiques, tout entier, naturel ou relatif est soit pair soit impair.
• S'il est multiple de deux, c'est un nombre pair. Par exemple, les nombres : -4, 8, et 60, sont pairs. Le nombre zéro
est pair, parce qu'il est égal à 2 multiplié par 0.
• Sinon, le nombre est impair. Par exemple -5, 3, et 71 sont impairs. Le nombre un est impair, c'est le plus petit
entier naturel impair.
L'ensemble des entiers naturels pairs peut être écrit comme ceci :
Entiers naturels pairs = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} =
et l'ensemble des entiers relatifs pairs peut s'écrire comme ceci :
Entiers relatifs pairs = {..., - 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} =
De même, les ensembles des entiers impairs naturels ou relatifs s'écrivent :
Entiers naturels impairs = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} =
Entiers relatifs impairs = {..., - 9, - 7, - 5 , - 3, - 1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} =
Tout entier naturel pair se décompose de manière unique en produit d'une puissance de deux et d'un entier naturel
impair.
18 se décompose en 2 × 9
504 = 8 × 63 = 23 × 63
Parité (arithmétique)
Arithmétique des nombres pairs et impairs
Les lois suivantes peuvent être vérifiées en utilisant les propriétés de la divisibilité. Elles sont un cas particulier de
règles dans l'arithmétique modulaire, et sont communément utilisées pour vérifier si une égalité semble correcte en
testant la parité de chaque coté :
Somme et différence
Les règles analogues à celles-ci pour la divisibilité par 9 sont utilisées dans la méthode de preuve par neuf.
• pair ± pair = pair ;
• pair ± impair = impair ;
• impair ± impair = pair.
De manière plus générale, une somme ou différence de plusieurs entiers pairs est toujours paire. Une somme ou
différence de plusieurs entiers impairs est
• paire quand le nombre d'entiers qui la compose est pair
• impaire quand le nombre d'entiers de la somme est impair.
Produit
Ces règles sont valables parce que 2 est un nombre premier; les règles analogues pour la divisibilité par un nombre
composé seraient plus complexes.
• pair × pair = pair ;
• pair × impair = pair ;
• impair × impair = impair.
Divisibilité et quotient
Un nombre pair ne peut jamais diviser un nombre impair. Un nombre impair peut diviser un nombre pair mais alors,
il divise aussi sa moitié.
Le quotient de deux nombres entiers n'est pas nécessairement un nombre entier. Par exemple, 1 divisé par 4 égale
1/4, qui n'est ni pair ni impair, les concepts pair et impair ne s'appliquant que sur les entiers. Mais lorsque le quotient
est un entier, c'est-à-dire quand l'un divise l'autre, on peut établir les règles suivantes
•
•
•
•
pair / impair = pair ;
impair / impair = impair ;
impair / pair n'est jamais un entier ;
pair / pair peut être pair ou impair.
Exposant
Si a est un réel strictement négatif, alors le signe de an dépend de la parité de n
• Si n est pair alors an est positf
• Si n est impair alors an est négatif
Si P est une fonction polynôme à valeur dans
• Si tous les exposants de x sont pairs, alors, pour tout réel x, P(- x) = P(x)
• Si tous les exposants de x sont impairs, alors, pour tout réel x, P(- x) = - P(x)
On dit que les polynômes du premier type sont pairs et les polynômes du deuxième type sont impairs.
Si P(x) = x4 + 7x2 - 5, alors P est pair
Si P(x) = x5 + 8x3 - 6x, alors P est impair
110
Parité (arithmétique)
C'est cette référence à la parité de l'exposant qui a donné leur nom aux fonctions paires et impaires
Résultats utilisant la parité
Écriture en base
Un nombre exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou
impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7
ou 9 alors le nombre est impair.
Le même système est utilisable dans n'importe quelle base paire. En particulier, un nombre exprimé en système de
numération binaire est impair si son dernier chiffre est 1 et pair si son dernier chiffre est 0.
Dans une base impaire, le nombre est pair si la somme de ses chiffres est paire, et est impair si la somme de ses
chiffres est impair.
Nombres premiers, nombres parfaits
Tous les nombres premiers sont impairs, avec une exception : le nombre premier 2.
La conjecture de Goldbach établit que chaque entier pair supérieur à 2 peut être représenté comme une somme de
deux nombres premiers. Les calculs modernes par ordinateur ont montré que cette conjecture est vraie pour les
entiers inférieurs à 4 × 1014, mais la démonstration générale n'a pas encore été trouvée.
Tous les nombres parfaits connus sont pairs ; nous ne savons toujours pas s'il existe un nombre parfait impair.
Structures
Les nombres pairs forment un idéal dans l'anneau des entiers, mais pas les nombres impairs. Un entier est pair s'il est
congru à 0 modulo cet idéal, en d'autres mots s'il est congru à 0 modulo 2, et impair s'il est congru à 1 modulo 2.
Le théorème de Feit-Thompson établit qu'un groupe fini est toujours résoluble si son ordre est un nombre impair.
Ceci est un exemple de nombres impairs jouant un rôle dans les théorèmes de mathématiques plus poussées où la
méthode d'application d'un simple hypothèse d'"ordre impair" est loin d'être évidente.
Musique
Avec les instruments à vent qui sont cylindriques et clos à une extrémité, comme la clarinette à bec, les harmoniques
produites sont des multiples impairs de la fréquence fondamentale.
Voir aussi
Articles connexes
• parité
• parité (mathématiques)
• Arithmétique modulaire
111
Nombre premier
112
Nombre premier
Un nombre premier est un entier naturel
qui admet exactement deux diviseurs
distincts entiers et positifs (qui sont alors 1
et lui-même). Cette définition exclut 1, qui
n'a qu'un seul diviseur entier positif. Par
opposition, un nombre non nul produit de
deux nombres entiers différents de 1 est dit
composé. Par exemple 12 = 2 × 6 est
composé, tout comme 21 = 3 × 7 ou 7 × 3,
mais 11 est premier car 1 et 11 sont les
seuls diviseurs de 11. Les nombres 0 et 1
ne sont ni premiers ni composés. Les
nombres premiers inférieurs à 100 sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
79, 83, 89 et 97.
De telles listes peuvent être obtenues grâce
à diverses méthodes de calcul. On sait
depuis l'Antiquité qu'il existe une infinité
7 est un nombre premier car il admet exactement deux diviseurs positifs.
de nombres premiers. Découvert en 2008,
le plus grand nombre premier connu est le nombre premier de Mersenne « 243112609-1 », qui comporte près de 13
millions de chiffres en écriture décimale[1] . La notion de nombre premier est une notion de base en arithmétique
élémentaire : le théorème fondamental de l'arithmétique assure qu'un nombre composé est factorisable en un produit
de nombres premiers, et cette factorisation est unique à l'ordre des facteurs près. Elle admet des généralisations
importantes dans des branches des mathématiques plus avancées, comme la théorie algébrique des nombres, qui
prennent ainsi à leur tour l'appellation d'arithmétique. Par ailleurs, de nombreuses applications industrielles de
l'arithmétique reposent sur la connaissance algorithmique des nombres premiers, et parfois plus précisément sur la
difficulté des problèmes algorithmiques qui leur sont liés ; par exemple certains systèmes cryptographiques et des
méthodes de transmission de l'information. Les nombres premiers sont aussi utilisés pour construire des tables de
hachage et pour constituer des générateurs de nombres pseudo-aléatoires.
Éléments historiques
Les entailles retrouvées sur l’os d'Ishango daté à plus de
20 000 ans avant notre ère, mis au jour par
l'archéologue Jean de Heinzelin de Braucourt[2] et
antérieur à l'apparition de l'écriture (antérieur à 3200
ans avant J.-C.), semblent isoler quatre nombres
premiers 11, 13, 17 et 19. Certains archéologues
l'interprètent comme la preuve de la connaissance des
nombres premiers. Toutefois, il existe trop peu de
découvertes permettant de cerner les connaissances
réelles de cette période ancienne[3] .
L'os d'Ishango
Nombre premier
Des tablettes d'argile séchées attribuées aux civilisations qui se sont succédé en Mésopotamie durant le IIemillénaire
av. J.-C. montrent la résolution de problèmes arithmétiques et attestent des premières connaissances de l'époque. Les
calculs nécessitaient de connaître des tables d'inverses d'entiers (les réciproques) dont certaines ont été retrouvées.
Dans le système sexagésimal utilisé par la civilisation babylonienne pour écrire les entiers, les réciproques des
diviseurs des puissances de 60 (nombres réguliers) se calculent facilement : par exemple, diviser par 24, c'est
multiplier par
et décaler de deux places le rang. Leur connaissance nécessitait une bonne
compréhension de la multiplication, de la division et de la factorisation d'entiers.
Dans les mathématiques égyptiennes, le calcul fractionnaire demandait des connaissances sur les opérations, les
divisions d’entiers et les factorisations. Les Égyptiens ne notaient que les inverses d’entiers (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...) ;
l’écriture des fractions se faisait en additionnant des inverses d'entiers, si possible sans répétition (1/2 + 1/6 au lieu de
1/3 + 1/3). Disposer d’une liste des premiers nombres premiers devait être nécessaire.
La première trace incontestable de la présentation des nombres premiers remonte à l'Antiquité (vers -300 av. J.-C.),
et se trouve dans les Éléments d’Euclide (tomes VII à IX). Euclide donne la définition des nombres premiers, la
preuve de leur infinité, la définition du plus grand commun diviseur (pgcd) et du plus petit commun multiple (ppcm),
et les algorithmes pour les déterminer, aujourd’hui appelés algorithmes d’Euclide. Les connaissances présentées lui
sont toutefois bien antérieures.
Structures algébriques, topologiques, et nombres premiers
La notion de nombre premier est liée à l'étude de la
structure multiplicative de l'anneau des entiers
relatifs.
Le
théorème
fondamental
de
l'arithmétique, basé sur le lemme d'Euclide, élucide
cette structure en assurant que tout entier se
factorise en un produit de nombres premiers, de
manière unique à l'ordre des facteurs près. Ce
théorème permet de déterminer des notions de
pgcd, ppcm, et de nombres premiers entre eux, qui
sont utiles pour la résolution de certaines équations
diophantiennes, notamment la caractérisation des
triplets pythagoriciens.
D'autres problèmes naturels sont envisagés, comme
la détermination de la proportion d'entiers premiers
12 n'est pas un nombre premier car il est l'aire d'un rectangle de côtés 3 et
à un entier fixé. L'introduction de structures
4.
algébriques plus avancées permet de résoudre ce
problème rapidement dans le cadre de
l'arithmétique modulaire. De nombreux théorèmes classiques de nature arithmétique peuvent être énoncés, comme le
petit théorème de Fermat, ou le théorème de Wilson ; ou des théorèmes de nature plus algébrique comme le
théorème des restes chinois.
Le théorème des restes chinois est un premier résultat dans l'étude des groupes abéliens finis[4] . Il est en fait
suffisant pour décrire entièrement la structure de ces groupes, qui est donc en partie liée à la décomposition en
produit de facteurs premiers de leurs cardinaux. Les choses sont plus compliquées pour les groupes non abéliens,
cependant, l'étude se base à nouveau sur la décomposition en facteurs premiers de leurs cardinaux, à travers la
théorie de Sylow.
Les nombres premiers interviennent aussi dans les structures topologiques. Le corps des nombres rationnels admet
une structure topologique habituelle, qui donne par complétion le corps des nombres réels. Pour chaque nombre
113
Nombre premier
114
premier p, une autre structure topologique peut être construite, à partir de la norme suivante : si
rationnel non nul sous forme irréductible et que
p-adique de x est
et
est un nombre
sont les plus grandes puissances de p divisant a et b, la norme
. En complétant le corps des rationnels suivant cette norme, on obtient le corps des nombres
p-adiques, introduit par Kurt Hensel au début du XXe siècle. Le théorème d'Ostrowski assure que ces normes
p-adiques et la norme habituelle sont les seules sur le corps des nombres rationnels, à équivalence près[5] .
Nombres premiers particuliers
Nombres premiers de Mersenne
Les nombres premiers de la forme :
où p est lui-même un nombre premier, sont appelés nombres premiers
de Mersenne. Les grands nombres premiers sont souvent recherchés
sous cette forme car il existe un test efficace, le test de primalité de
Lucas-Lehmer, pour déterminer si un tel nombre est premier ou non.
En 2009, le plus grand nombre premier connu est
M43112609=243112609-1, qui comporte 12978189 chiffres en écriture
décimale. Il s'agit (chronologiquement) du 45e nombre premier de
Mersenne connu et sa découverte a été annoncée le 23 août 2008 grâce
aux efforts du projet collaboratif de calcul distribué « Great Internet
Mersenne Prime Search ». Le 46e nombre premier de Mersenne,
237156667-1, qui est inférieur au précédent a été découvert deux
semaines plus tard ; le 12 avril 2009 était découvert, par le même
projet GIMPS, le 47e nombre premier de Mersenne, 242 643 801-1, lui
aussi "légèrement" inférieur au premier cité.
Marin Mersenne.
L'Electronic Frontier Foundation offre un prix de calcul coopératif d'un montant de 100000 USD pour la découverte
d'un nombre premier d'au moins 10 millions de chiffres décimaux, afin d'encourager les internautes à contribuer à la
résolution de problèmes scientifiques par le calcul distribué; ce prix devrait donc être attribué à GIMPS ; l'EFF offre
également des prix plus importants (de 150000 et 250000 USD respectivement) pour la découverte de nombres
premiers de 100 millions et 1 milliard de chiffres décimaux[6] .
Nombres premiers jumeaux
Deux nombres premiers sont dits jumeaux s'ils ne différent que de deux. Hormis pour la paire (2, 3), cette distance de
deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont
3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.
Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 × 2195000±1, qui possèdent
58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric Vautier dans le cadre des projets de calcul distribué
Twin Prime Search et PrimeGrid[7] .
Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.
Nombre premier
115
Nombres premiers et nombres de Fermat
Les nombres de la forme :
Pierre de Fermat.
sont appelés les nombres de Fermat. Pierre de Fermat avait conjecturé que tous ces nombres devaient être premiers.
Cependant, les seuls nombres de Fermat premiers connus sont
et
. Le calcul donne :
•
•
•
•
•
•
Le nombre de Fermat
n’est pas premier : il est divisible par 641.
Il s'agit du premier contre-exemple à cette conjecture de Fermat, découvert par Euler en 1732.
Nombre premier
116
Algorithmique : calcul des nombres premiers et tests de primalité
Crible d'Ératosthène et algorithme par essais de division
Les premiers algorithmes pour décider si
un nombre est premier (appelés tests de
primalité) consistent à essayer de le diviser
par tous les nombres inférieurs à sa racine
carrée : s'il est divisible par l'un d'entre
eux, il est composé, et sinon, il est premier.
Cependant, l'algorithme déduit de cette
formulation peut être rendu plus efficace :
il suggère beaucoup de divisions inutiles,
par exemple, si un nombre n'est pas
divisible par 2, il est inutile de tester s'il est
divisible par 4. En fait, il suffit de tester sa
divisibilité par tous les nombres premiers
inférieurs à sa racine carrée.
Le crible d'Ératosthène est une méthode,
reposant sur cette idée, qui fournit la liste
des nombres premiers inférieurs à une
valeur fixée n (n = 120 dans l'animation ci-contre) :
Le crible d'Ératosthène : nombres premiers inférieurs à 120.
• On forme la liste des entiers de 2 à n ;
• On retient comme « nombre premier » le premier nombre de la liste non encore barré (le premier dans ce cas est
2) ;
• On barre tous les entiers multiples du nombre retenu à l'étape précédente, en commençant par son carré (puisque
2*i, 3*i, ...(i-1)*i ont déjà été barrés en tant que multiples de 2, 3, ...) ;
• On répète les deux dernières opérations (c'est-à-dire : on retient le prochain nombre non barré et on barre ses
multiples) ;
• Dès qu'on en est à chercher les multiples des nombres excédant la racine carrée de n, on termine l'algorithme.
Ainsi les nombres premiers inférieurs à n sont les nombres qui restent non barrés à la fin du processus. Cet
algorithme est de complexité algorithmique exponentielle.
Le crible d'Ératosthène fournit donc plus d'information que la seule primalité de n. Si seule cette information est
souhaitée, une variante parfois plus efficace consiste à ne tester la divisibilité de n que par des petits nombres
premiers dans une liste fixée au préalable (par exemple 2, 3 et 5), puis par tous les nombres entiers inférieurs à la
racine carrée de n qui ne sont divisibles par aucun des petits nombres premiers choisis ; cela amène à tester la
divisibilité par des nombres non premiers (par exemple 49 si les petits premiers sont 2, 3 et 5 et que n excède 2500),
mais un choix d'un nombre suffisant de petits nombres premiers doit permettre de contrôler le nombre de tests
inutiles effectués[8] .
Autres algorithmes
Une variante du crible d'Ératosthène est le crible de Sundaram qui consiste à former les produits de nombres impairs.
Les nombres qui ne sont pas atteints par cette méthode sont les nombres premiers impairs, c'est-à-dire tous les
nombres premiers sauf 2. Par ailleurs, à partir du crible d'Ératosthène, la factorisation de l'entier n peut facilement
être trouvée. D'autres méthodes plus générales concernant ce problème plus difficile que simplement déterminer la
primalité sont aussi appelées méthodes de crible, la plus efficace étant actuellement le crible général des corps de
Nombre premier
117
nombres[9] .
Les algorithmes présentés précédemment ont une complexité trop importante pour pouvoir être menés à terme,
même avec les ordinateurs les plus puissants, quand n devient grand.
Une autre classe d'algorithme consiste à tester l'entier n pour une famille de propriétés vérifiées par les nombres
premiers : si une propriété de cette famille n'est pas vérifiée pour n, alors il est composé ; en revanche, le fait qu'une
des propriétés de la famille soit vérifiée pour n ne suffit pas à assurer la primalité. Toutefois, si cette famille est telle
qu'un nombre composé ne vérifie pas au moins la moitié des propriétés en jeu, alors l'utilisateur peut estimer qu'un
nombre n qui vérifie k propriétés de la famille est premier avec une probabilité supérieure à 1-2-k : il est déclaré
probablement premier à partir d'une valeur de k à choisir par l'utilisateur ; un nombre déclaré probablement premier,
mais qui n'est pas premier est appelé nombre pseudo-premier. Un test basé sur ce principe est appelé test probabiliste
de primalité. De tels tests reposent souvent sur le petit théorème de Fermat, amenant au test de primalité de Fermat,
et à ses raffinements : le test de primalité de Solovay-Strassen et celui de Miller-Rabin, qui sont des améliorations,
car ils admettent moins de nombres pseudo-premiers.[10]
L'algorithme AKS mis au point en 2002 permet de déterminer si un nombre donné N est premier en utilisant un temps
de calcul polynomial.
Des formules sur les nombres premiers
De nombreuses formules ont été cherchées pour générer les nombres premiers. Le plus haut niveau d'exigence serait
de trouver une formule qui à un entier n associe le ne nombre premier. De manière un peu plus souple, on peut se
contenter d'exiger une fonction f qui à tout entier n associe un nombre premier et telle que chaque valeur prise ne le
soit qu'une fois.
Enfin, on souhaite que la fonction soit calculable en pratique[11] . Par exemple, le théorème de Wilson assure que
est un nombre premier si et seulement si
vaut
. Il s'ensuit que la fonction
si
est un nombre premier et vaut
sinon. Cependant, le
calcul de la factorielle est rédhibitoire, et cette fonction a donc peu de valeur pour générer les nombres premiers.
Il est donc tentant de chercher des fonctions polynômes dont les valeurs sont des nombres premiers. Ceci a conduit
au résultat (négatif) suivant: un polynôme, à une ou plusieurs variables, dont les valeurs aux entiers naturels sont des
nombres premiers, est un polynôme constant[12] .
La recherche de polynômes vérifiant une propriété plus faible s'est développée à partir de la notion d'ensemble
diophantien de nombres entiers ; de tels ensembles peuvent être caractérisés comme les ensembles de valeurs
strictement positives prises par un polynôme (à plusieurs variables) dont les coefficients et les variables sont des
nombres entiers.
Un travail mené dans les années 1960 et 1970, notamment par Putnam, Matijasevic, Davis, Robinson, permet de
montrer que l'ensemble des nombres premiers est diophantien, conduisant à l'existence de polynômes à coefficients
et variables entières dont toutes les valeurs positives sont les nombres premiers. L'écriture de divers polynômes
explicites a ensuite été possible, avec différents nombres de variables, et divers degrés. Notamment, le polynôme
suivant, de degré 25 à 26 variables (de a à z), a été déterminé par Jones, Sato, Wada et Wiens en 1976 :
(1
− [ w.z + h + j − q ]2
− [ 2.n + p + q + z − e ]2
− [ a2.y2 − y2 + 1 − x2 ]2
− [ e3.(e + 2).(a + 1)2 + 1 − o2 ]2
− [ 16.(k + 1)3.(k + 2).(n + 1)2 + 1 − f2 ]2
− [ ((a + u2.(u2 − a))2 − 1).(n + 4.d.y)2 + 1 − (x + c.u)2 ]2
Nombre premier
− [ a.i + k + 1 − l − i ]2
− [ (g.k + 2.g + k + 1).(h + j) + h − z ]2
− [ 16.r2.y4.(a2 − 1) + 1 − u2 ]2
− [ p − m + l.(a − n − 1) + b.(2.a.n + 2.a − n2 − 2.n − 2) ]2
− [ z − p.m + p.l.a − p2l + t.(2.a.p − p2 − 1) ]2
− [ q − x + y.(a − p − 1) + s.(2.a.p + 2.a − p2 − 2.p − 2) ]2
− [ a2.l2 − l2 + 1 − m2 ]2
− [ n + l + v − y ]2
) . (k + 2)
De même que pour les formules à factorielles, l'exploitation de ce polynôme ne donne aucun résultat en pratique car
il ne donne pratiquement que des valeurs négatives quand on fait varier les variables a à z de 0 à l'infini.
La notion d'ensemble diophantien s'est plus généralement développée à partir des problèmes posés par le dixième
problème de Hilbert sur les équations diophantiennes[13] .
Répartition des nombres premiers
Infinité des nombres premiers
Euclide a démontré dans ses Éléments (proposition 20 du Livre IX) que les nombres premiers sont en plus grande
quantité que toute quantité proposée de nombres premiers. Autrement dit, il existe une infinité de nombres premiers.
La démonstration d'Euclide repose sur la constatation qu'une famille finie p1,...,pn de nombres premiers étant donnée,
tout nombre premier divisant le produit des éléments de cette famille augmenté de 1 est en dehors de cette famille (et
un tel diviseur existe, ce qui est aussi prouvé par Euclide)[14] .
D'autres démonstrations de l'infinité des nombres premiers ont été données. La preuve d'Euler[15] utilise l'identité :
Dans la formule précédente, le terme de gauche est la somme de la série harmonique, qui est divergente. Par
conséquent, le produit de droite doit contenir une infinité de facteurs.
Furstenberg fournit une preuve utilisant une argumentation topologique[16] .
118
Nombre premier
119
Les avancées du XIXe siècle
La distribution des nombres premiers de 1 à 76 800, de gauche à droite et de haut en
bas. Un pixel noir signifie que le nombre est premier alors qu'un blanc signifie qu'il
ne l'est pas.
Le résultat sur l'infinité des nombres premiers amène des questions plus précises concernant la fonction qui à un
nombre réel x associe
, le nombre de nombres premiers inférieurs à x, et qui tend donc vers l'infini [17] . Une
conjecture importante au XIXe siècle, formulée par Adrien-Marie Legendre et Carl Friedrich Gauss, était que cette
fonction de compte des nombres premiers est équivalente à la fonction
quand x tend vers l'infini,
c'est-à-dire que la proportion de nombres premiers parmi les nombres inférieurs à x (soit
vitesse de
) tend vers 0 à la
. Avant la démonstration de la conjecture à la fin du siècle, un résultat partiel[18] avait été démontré
par Pafnouti Tchebychev, l'existence de deux constantes explicites C et D telles qu'on ait l'encadrement, pour x assez
grand :
L'inégalité de Tchebychev permettait notamment de démontrer le postulat de Bertrand selon lequel dans tout
intervalle d'entiers naturels entre un entier et son double existe au moins un nombre premier[19] . Plus généralement,
les résultats sur la fonction de compte des nombres premiers permettent d'obtenir des résultats sur le ne nombre
premier ; par exemple les résultats d'Ishikawa de 1934 sont des conséquences directes des théorèmes de Tchebychev
: pn + pn + 1 > pn + 2 et pnpm > pn + m, où pn désigne le ne nombre premier (et donc p1=2) ; ou encore, d'après un
résultat de Felgner de 1990 : 0,91 n ln(n) < pn < 1,7 n ln(n)[20] .
La démonstration analytique d'Euler sur l'infinité des nombres premiers peut être vue comme un premier pas vers la
résolution de problèmes plus avancés. Elle consiste essentiellement à étudier le comportement de la fonction zêta de
Riemann en 1 au moyen de ce qu'il est convenu d'appeler un produit eulérien, et d'en déduire la divergence de la
série des inverses des nombres premiers. En reprenant cette étude, au moyen d'un outil appelé caractère de Dirichlet,
et en utilisant à la place de la fonction zêta de Riemann des fonctions analogues appelées fonction L de Dirichlet,
Dirichlet a été capable d'adapter la démonstration aux nombres premiers dans des progressions arithmétiques : si a et
b sont premiers entre eux, alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme aq+b. Plus précisément, les
nombres premiers sont équirépartis entre les différentes progressions arithmétiques de raison a (c'est-à-dire avec a
fixé, et b variant parmi les divers restes inversibles dans la division euclidienne par a)[21] .
Nombre premier
120
La conjecture de Legendre et Gauss a été démontrée indépendamment par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La
Vallée Poussin en 1896[22] , et porte le nom de théorème des nombres premiers. Ces démonstrations nécessitent des
outils puissants d'analyse complexe pour démontrer un énoncé d'arithmétique et d'analyse réelle. Une stratégie pour
ces démonstrations est l'étude de la fonction zêta de Riemann sur un domaine plus grand qu'un simple voisinage de 1
: il est nécessaire de la contrôler (c'est-à-dire majorer son module) au voisinage de la droite verticale des nombres de
partie réelle 1 dans le plan complexe[23] . En particulier, l'étude de la fonction zêta de Riemann devient un thème
central en théorie analytique des nombres, en particulier l'hypothèse de Riemann sur la localisation de ses zéros,
encore non démontrée, qui aurait des conséquences fortes sur l'étude de la fonction de compte des nombres premiers.
Ultérieurement, des démonstrations ont été proposées sans recours à l'analyse complexe (par Erdös et Selberg au
milieu du XXe siècle)[24] . Toutefois, la puissance des outils d'analyse complexe a conduit au développement d'une
branche entière des mathématiques : la théorie analytique des nombres.
Théorème de Green-Tao
Un théorème démontré en 2004 par Ben Joseph Green et Terence Tao généralise notamment le théorème de Dirichlet
en assurant que pour tout entier k, il existe une infinité de suites de k nombres premiers en progression arithmétique,
c'est-à-dire de la forme :
Le théorème de Green-Tao est en fait bien plus fort que cet énoncé seul : par exemple, ils sont en mesure d'affirmer
qu'une telle progression arithmétique existe, avec des entiers tous plus petits que :
Ils assurent aussi que pour tout entier k et tout réel
strictement positif, pour tout x suffisamment grand, si P est un
ensemble de nombre premiers inférieurs à x contenant au moins
[25]
progression arithmétique de nombres premiers comptant k termes
éléments, alors P contient au moins une
.
Conjecture de Bateman-Horn
De nombreux résultats et conjectures sur la répartition des nombres premiers sont contenus dans la conjecture
générale suivante. Soit f1,...,fk des polynômes de degré 1, irréductibles et vérifiant la propriété que pour tout nombre
premier p il y ait au moins un entier n parmi 0, ..., p-1 tel que p ne divise pas le produit des fi(n). On note
le
complémentaire à p du nombre de tels entiers. Un tel ensemble de polynômes est dit admissible ; on cherche à
connaître la proportion d'entiers en lesquels les polynômes prennent simultanément des valeurs premières, et se
limiter à des ensembles de polynômes admissibles permet d'éviter des cas triviaux comme f1(t)=t, et f2(t)=t+1. Il est
alors conjecturé[26] que le nombre d'entiers n plus petits qu'un réel x tels que les valeurs f1(n),...,fk(n) sont
simultanément premières, est, pour x assez grand, de l'ordre de :
Le théorème des nombres premiers correspond au cas k=1 et ft=t, le théorème de Dirichlet à k=1 et ft=at+b, et pour
k=2, f1(t)=t et f2(t)=t+2, on obtient une version quantitative (et donc plus générale) de la conjecture des nombres
premiers jumeaux.
Nombre premier
Applications
Les nombres premiers, et la théorie des nombres en particulier, ont longtemps été vus comme un sujet purement
mathématique, avec peu ou pas d'applications extérieures. Cela changea d'un seul coup dans les années 1970, quand
des nouveaux systèmes de cryptographie basés sur les propriétés des nombres premiers furent découverts.
Cryptographie à clé publique
Jusque dans les années 1970, les systèmes de chiffrement connus étaient basés sur le principe de la cryptographie
symétrique, où une même clé (secrète) est utilisée pour chiffrer et déchiffrer un message. En 1978, Ronald Rivest,
Adi Shamir et Leonard Adleman décrivent le premier système public de cryptographie asymétrique (nommé d'après
eux RSA), basé sur les propriétés des nombres premiers et de la factorisation[27] . Dans un tel système, deux clés sont
utilisées : l'une sert à chiffrer, l'autre à déchiffrer. La clé permettant de chiffrer est accompagnée d'un grand nombre
entier, le produit de deux grands nombres premiers gardés secrets (de l'ordre de 200 chiffres). Pour calculer la clé de
déchiffrement, la seule méthode connue nécessite de connaître les deux facteurs premiers. La sécurité du système est
basée sur le fait qu'il est facile de trouver deux grands nombres premiers (en utilisant des tests de primalité) et de les
multiplier entre eux, mais qu'il serait difficile pour un attaquant de retrouver ces deux nombres. Ce système permet
également de créer des signatures numériques, et a révolutionné le monde de la cryptographie.
Généralisations des nombres premiers
La notion de nombre premier s'est vue généralisée au cours du dix-neuvième siècle dans d'autres structures
algébriques que l'anneau des entiers relatifs. Pour résoudre des problèmes arithmétiques tels que le théorème des
deux carrés, le théorème des quatre carrés, ou encore la loi de réciprocité quadratique (dont la première preuve est
due à Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones Arithmeticae), les mathématiciens ont été amenés à mener des
raisonnements sur la divisibilité analogues à ceux qui impliquent les nombres entiers dans d'autres anneaux, par
exemple celui des entiers de Gauss ou celui des entiers d'Eisenstein.
Le point de vue moderne trouve sa source dans les travaux de Kummer, qui introduit la notion de « nombre premier
idéal », dans sa tentative de démontrer le grand théorème de Fermat. Cette notion est à l'origine de la théorie
moderne des anneaux d'entiers algébriques, suite aux travaux de Dedekind et Kronecker[28] : en termes modernes, on
dit que ces anneaux ont une structure d'anneaux de Dedekind ; notamment, le théorème sur la factorisation des
nombres premiers y est remplacé par un résultat de factorisation des idéaux de l'anneau (c'est-à-dire les sous-groupes
absorbants pour la multiplication, que Kummer appelait donc « nombres idéaux ») en produit d'idéaux premiers.
L'arithmétique dans ces anneaux a en général des liens profonds et difficiles avec l'arithmétique des nombres
premiers classiques : par exemple, dans ses travaux sur le théorème de Fermat, Kummer parvient à démontrer
l'impossibilité de trouver des solutions non triviales (c'est-à-dire avec x, y et z non nuls) à l'équation xp+yp=zp si p est
un nombre premier vérifiant une condition portant sur la nature de l'anneau des entiers algébriques engendré par une
racine primitive p-ème de l'unité ; c'est-à-dire si p est ce qu'on appelle un nombre premier régulier.
Questions ouvertes
Il y a beaucoup de questions ouvertes sur les nombres premiers. Par exemple :
• La conjecture de Goldbach : tout nombre pair strictement supérieur à 2 peut-il s'écrire comme somme de deux
nombres premiers ?
• La conjecture de De Polignac : tout entier naturel pair peut-il s'écrire comme différence de deux nombres
premiers consécutifs et cela d'une infinité de manières?
• Conjecture des nombres premiers jumeaux : un couple de nombres premiers jumeaux est une paire de nombres
premiers dont la différence est égale à 2, comme 11 et 13. Existe-t-il une infinité de jumeaux premiers ? (cas
particulier de la conjecture de De Polignac pour n=2)
121
Nombre premier
•
•
•
•
•
•
Toute suite de Fibonacci contient-elle une infinité de nombres premiers ?
Existe-t-il une infinité de nombres premiers de Fermat ou de Mersenne?
Y a-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n² + 1 ?
Y a-t-il une infinité de nombres premiers factoriels ?
Y a-t-il une infinité de nombres premiers primoriels ?
Soit la suite, dite d'Euclide-Mullin, de premier terme u1=2 et telle que le terme un soit le plus petit nombre
premier diviseur du produit des termes ui, pour i<n, augmenté de 1. Tous les nombres premiers apparaissent-ils
dans cette suite ? C'est une conjecture de Daniel Shanks.
• La conjecture de Legendre affirme qu'il existe toujours au moins un nombre premier entre n² et (n+1)². Cette
conjecture non démontrée est liée à l'hypothèse de Riemann et, comme cette dernière, non démontrée.
• L'hypothèse H de Schinzel, qui englobe la conjecture des nombres premiers jumeaux, dit que si on a une famille
finie de polynômes à coefficients entiers, alors il existe une infinité d'entiers n tels que tous les polynômes de la
famille donnent des nombres premiers quand on les évalue en n (à condition qu'il n'y ait pas d'obstruction
évidente pour ce soit le cas: par exemple, si un des polynôme est n(n+1) ou 2n, ce n'est clairement pas possible).
• La conjecture de Bateman-Horn qui précise l'hypothèse de Schinzel en donnant une valeur approchée du nombre
de n ayant cette propriété.
Références
Bibliographie
• (en) Henri Cohen, A course in computational algebraic number theory Référence moderne sur les méthodes
effectives en théorie des nombres.
• Pierre Colmez, Elements d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Editions de l'Ecole Polytechnique,
2009.
• Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers, Éditions Belin - Pour la Science, 2000 (ISBN 2701150175)
• Michel Demazure, Cours d'algèbre. Primalité, divisibilité, codes, Cassini, 1997. Ce livre contient de nombreux
algorithmes écrits en Caml Light.
• William John Ellison, en collaboration avec Michel Mendès France, Les nombres premiers Livre très clair,
comme introduction à la théorie analytique des nombres.
• (en) Fernando Gouvêa, p-adic Numbers : An Introduction Introduction aux nombres p-adiques à la portée d'un
large public, tournée vers des objectifs analytiques.
• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers Un grand classique d'introduction à
la théorie des nombres, qui couvre les sujets de base (congruences), introduit les méthodes algébriques par
l'exemple (entiers de Gauss, de Kronecker), et donne une démonstration du théorème des nombres premiers.
• (en) Paulo Ribenboim, The new book of big prime number records, Springer, 1996 (ISBN 0387944575)
• Gérald Tenenbaum et Michel Mendès-France, Les Nombres Premiers, Que sais-je ? n° 571, PUF, 2000 (ISBN
2130483992), 1ère éd. 1997.
Ce dernier ouvrage a fait l'objet de diverses éditions, historiquement:
• Émile Borel, Les Nombres Premiers, Que sais-je ? n° 571, PUF, 1ère éd. 1953
• Jean Itard, Les Nombres Premiers, Que sais-je ? n° 571, PUF, 1ère éd. 1969
122
Nombre premier
Voir aussi
•
•
•
•
•
Théorème des nombres premiers
Théorème de Wilson
Crible d'Ératosthène
Test de primalité
Liste de nombres premiers
Liens externes
• (en) Page d'Andrew Granville [29]. La partie « Expository lectures » a été en particulier utilisée.
• (en) [30] Page des nombres premiers sur l'encyclopédie électronique des suites entières.
• (fr) Une grande liste des nombres premiers (jusqu'à 1 000 000 000) [31]
pnb:Prime number
Références
[1] page principale du projet [[GIMPS (http:/ / mersenne. org/ default. php)]]. Consulté le 11 octobre 2009
[2] Voir Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers P.42
[3] Préhistoire de la géométrie : le problème des sources (http:/ / www. reunion. iufm. fr/ recherche/ irem/ telecharger/ Keller/ Keller3. pdf),
article d'Olivier Keller.
[4] Patrice Naudin, Claude Quitté Algorithmique algébrique , début du chapitre 3
[5] voir le livre (en) Fernando Gouvêa, p-adic Numbers : An Introduction
[6] Récompenses offertes par l'EFF (http:/ / www. eff. org/ awards/ coop) (en)
[7] (en) [pdf] Twin Prime Search, Communiqué officiel de la découverte du 15 janvier 2007 (http:/ / www. twinprimesearch. org/ official. pdf)
[8] Voir (en) Henri Cohen, A course in computational algebraic number theory , début du chapitre 8, notamment l'algorithme 8.1.1.
[9] Voir (en) Henri Cohen, A course in computational algebraic number theory , chapitre 10, plus particulièrement la section 5.
[10] voir Patrice Naudin, Claude Quitté Algorithmique algébrique , chapitre 4, section 6, ou (en) Henri Cohen, A course in computational
algebraic number theory , chapitre 8, section 2
[11] Introduction du chapitre 3 du livre de Ribenboim The new book of prime number records.
[12] Chapitre 3, section II du livre de Ribenboim The new book of prime number records.
[13] Chapitre 3 section III du livre de Ribenboim The new book of prime number records.
[14] (en) G. H. Hardy et E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers Section 2.1.
[15] (la) Léonard Euler, Variae observationes circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, (1744), 160-188, ou
Opera Omnia, Series 1, Volume 14, 217 - 244. Téléchargeable à (http:/ / www. math. dartmouth. edu/ ~euler/ docs/ originals/ E072. pdf).
L'identité y est le théorème 7, p. 172 et l'infinité des nombres premiers y est implicitement rappelée et analysée dans les corollaires qui
suivent.
[16] (en) Voir le livre de Ribenboim, The new book of prime number records, qui recense par ailleurs de nombreuses autres preuves
[17] (en) G. H. Hardy et E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers Section 2.1
[18] Livre de Ribenboim, chapitre 4, section I.
[19] (en) G. H. Hardy et E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers Chapitre 22, sections 1 à 4.
[20] Livre de Ribenboim, chapitre 4, section II, A.
[21] (en) G. H. Hardy et E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers Théorème 15. William John Ellison, en collaboration avec
Michel Mendès France, Les nombres premiers Chapitre 7.
[22] William John Ellison, en collaboration avec Michel Mendès France, Les nombres premiers Chapitre 2, section 1.2
[23] William John Ellison, en collaboration avec Michel Mendès France, Les nombres premiers Chapitre 2, théorème 2.4, puis section 4.
[24] William John Ellison, en collaboration avec Michel Mendès France, Les nombres premiers Chapitre 2, section 1.2
[25] (en) Document de vulgarisation (http:/ / www. dms. umontreal. ca/ ~andrew/ PDF/ PrimePattMonthly. pdf) dû à Andrew Granville, qui
contient de nombreuses autres conséquences amusantes du résultat de Green et Tao.
[26] (en) Document dû à Andrew Granville (http:/ / www. dms. umontreal. ca/ ~andrew/ PDF/ PrinceComp. pdf), page 13, item (15).
[27] (en) Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman, « A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems »,
dans Communications of the ACM, vol. 21, no 2, 1978, p. 120-126 [ texte intégral (http:/ / theory. lcs. mit. edu/ ~rivest/ rsapaper. pdf)]
[28] Eléments d'histoire des mathématiques. Nicolas Bourbaki. Chapitre Algèbre commutative. Théorie des nombres algébriques.
[29] http:/ / www. dms. umontreal. ca/ ~andrew/
[30] http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/ A000040
[31] http:/ / nombrespremiersliste. free. fr/
123
Nombre composé
124
Nombre composé
Un nombre composé est un nombre entier positif qui possède un diviseur positif autre que un ou lui-même. Par
définition, chaque entier plus grand que un est soit un nombre premier, soit un nombre composé. Les nombres zéro
et un ne sont considérés ni premiers ni composés.
Par exemple, l'entier 14 est un nombre composé parce qu'il a les nombres 1, 2, 7 et 14 pour diviseurs (quatre
diviseurs). Remarquons qu'un carré parfait a toujours un nombre impair de diviseurs (9 a comme diviseurs 1, 3, 9)
tandis qu'un entier qui n'est pas un carré parfait a toujours un nombre pair de diviseurs.
Tous les entiers naturels pairs, hormis zéro et deux, sont composés. La méthode permettant de lister tous les entiers
naturels impairs composés est appelée crible de Sundaram.
Propriétés
• Tous les nombres pairs plus grands que 2 sont composés.
• Le plus petit nombre composé est 4.
• Chaque nombre composé peut être écrit comme un produit de nombres premiers (non nécessairement distincts).
• En outre,
pour tous les nombres composés n > 5.
Généralisation aux entiers relatifs
Un entier relatif est dit composé, s'il est différent de zéro, un et moins un et s'il n'est pas premier.
Un entier relatif est composé si et seulement si sa valeur absolue est composé.
Ex: 8 est un nombre relatif car il a le diviseurs 4 et n'est pas un nomre premier
Sortes de nombres composés
Une manière de classer les nombres composés consiste à compter le nombre de facteurs premiers. Un nombre
composé avec deux facteurs premiers est un nombre semi-premier ou un nombre 2-presque premier (les facteurs
n'ont pas besoin d'être distincts, par conséquent, les carrés de nombres premiers sont inclus). Un nombre composé
avec trois facteurs premiers distincts est un nombre sphénique. Dans quelques applications, il est nécessaire de
différentier les nombres composés d'un nombre impair de facteurs premiers distincts de ceux composés d'un nombre
pair de facteurs premiers distincts. Pour ce dernier cas
(où
est la fonction de Möbius et x est la moitié du total des facteurs premiers), tandis que pour le cas précédent
À noter, néanmoins, que pour les nombres premiers, la fonction retourne aussi -1, et que
. Pour un
nombre n avec un ou plus de nombres premiers répétés,
.
Une autre manière de les classer consiste à compter le nombre de diviseurs. Tous les nombres composés ont au
moins trois diviseurs. Dans le cas des carrés de nombres premiers, ces diviseurs sont
. Un nombre n qui
possède plus de diviseurs qu'un x < n quelconque est un nombre hautement composé (bien que les deux premiers de
ces nombres sont 1 et 2).
Nombre composé
125
Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de
factorisation :
Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de
diviseurs :
Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre
hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre
pratique
Nombres de
diviseurs :
Nombre abondant · Nombre hautement abondant · Nombre superabondant · Nombre colossalement abondant ·
Nombre hautement composé
Autres :
Nombre déficient · Nombre étrange · Nombre amical · Nombre sociable · Nombre solitaire · Nombre
sublime · Nombre à moyenne harmonique entière · Nombre frugal · Nombre équidigital · Nombre extravagant
Carré parfait
En mathématiques, un entier
est un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) s'il existe un entier
tel que
; en d'autres termes, un carré parfait est le carré d'un entier. Par exemple, les entiers 0, 1, 4 ou encore 49
sont des carrés parfaits.
Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
En base douze, il serait obligatoirement 0, 1, 4 ou 9.
Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les carrés parfaits. La plus connue,
notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité
, qui débute l'étude des triplets
pythagoriciens.
Depuis 1995, grâce au théorème de Fermat-Wiles, il n'y a que les carrés qui peuvent faire une identité comme celle
des triplets pythagoriciens. En effet, il n'y a aucune solution à
avec a, b et c entiers.
La somme des premiers carrés parfaits est donnée par la formule remarquable suivante :
Liste des 10 premiers carrés parfaits
Puissances Résultats
0²
0
1²
1
2²
4
3²
9
4²
16
5²
25
6²
36
7²
49
8²
64
9²
81
Carré parfait
126
Nombre carré
En mathématiques, un nombre carré est un nombre entier strictement positif qui peut être représenté
géométriquement par un carré. Il est clair qu'un tel nombre peut s'écrire comme le carré d'un entier et est donc un
carré parfait. Par exemple, 9 est un nombre carré puisqu'il peut être représenté par un carré de 3 ×3 points. Par
convention, le premier nombre carré est égal à 1, bien que 0 soit un carré parfait (0×0=0). Remarquons que le produit
de deux nombres carrés, est un nombre carré.
Représentons les premiers nombres carrés :
1
4
9
16
25
Les 50 premiers nombres carrés sont:
1
4
9
16
25
121 144 169 196 225
441 484 529 576 625
961 1024 1089 1156 1225
1681 1764 1849 1936 2025
36
49
64
81 100
256 289 324 361 400
676 729 784 841 900
1296 1369 1444 1521 1600
2116 2209 2304 2401 2500
Le nombre carré de rang n est n 2. Il est égal à la somme des n premiers nombres impairs, comme cela apparaît sur
les graphiques précédents, où un carré s'obtient à partir du précédent en ajoutant un nombre impair de points
(marqués ). Par exemple, 5 2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Un nombre carré est également la somme de deux nombres triangulaires consécutifs.
Carré parfait
127
Voir aussi
•
•
•
•
•
•
•
•
Identité remarquable
Algèbre polynomiale
Décomposition en produit de facteurs premiers
Nombre triangulaire
Nombre polygonal
Nombre carré triangulaire
Nombre automorphe
Nombre carré centré
Lien externe
• Deux notions connexes [1]
Références
[1] http:/ / www. recreomath. qc. ca/ dict_parfait_carre. htm
Nombre parfait
Un nombre parfait est un nombre naturel n non nul qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit,
tel que
où
est la somme des diviseurs entiers positifs de n, n non compris.
Le premier nombre parfait est 6, car 1, 2, et 3 sont les diviseurs stricts de 6 et 1 + 2 + 3 = 6.
Nombres parfaits pairs
Dans le Livre IX de ses Éléments, le mathématicien Euclide, au IIIe siècle av. J.-C., a prouvé que si
est premier, alors
est parfait.
Ainsi :
•
•
•
•
• ...
Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par
Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres
premiers de la forme 2p-1).
Il est établi que tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.
En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base
deux [1] .
Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2n−1(2n − 1), ce sont des nombres triangulaires, et en tant que tels la
somme des nombres naturels jusqu'à un certain point, en l'occurrence 2n − 1. De plus tous les nombres parfaits pairs,
excepté le premier, sont la somme des 2(n−1)/2 premiers cubes impairs :
Nombre parfait
128
Le reste de la division d'un nombre parfait pair (à l'exception de 6) par 9 vaut 1. Ceci veut dire que le résidu d'un tel
nombre vaut 1. Par exemple, le résidu de 8128 vaut 1, puisque 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, et 1 + 0 = 1.
Nombres parfaits impairs
En 2009, les mathématiciens ignorent si des nombres parfaits impairs existent. Différents travaux ont été entrepris
mais aucun ne permet d'affirmer ou d'infirmer leur existence. Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui
suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe[2] .
Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes :
• N > 10300. Une recherche est en cours[3] pour prouver que N > 10500.
• N est de la forme
où :
• q, p1, …, pk sont des nombres premiers distincts (Euler) ;
• q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler) ;
• Le plus petit facteur premier de N est inférieur à (2k + 8) / 3 (Grün 1952) ;
• La relation ≡ ≡...≡
≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite (McDaniel 1970) ;
• qα > 1020 ou
•
• Si
> 1020 pour j quelconque (Cohen 1987) ;
(Nielsen 2003).
≤ 2 pour tout i :
• Le plus petit diviseur premier de N est au moins 739 (Cohen 1987) ;
• α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12) (McDaniel 1970).
• Le plus grand diviseur premier de N est supérieur à 108 (Takeshi Goto et Yasuo Ohno, 2006).
• Le second plus grand diviseur premier de N est supérieur à 104 et le troisième est plus grand que 100 (Iannucci
1999, 2000).
• N comporte au moins 75 diviseurs premiers et au moins 9 diviseurs premiers distincts. Si 3 n'est pas un diviseur
de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts (Nielsen 2006 ; Kevin Hare 2005).
Exemples
Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité. Depuis, le total est passé à 46 nombres parfaits
seulement (au 7 octobre 2008).
Les douze premiers nombres parfaits sont :
•
•
•
•
•
6=1+2+3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
33 550 336 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2 048 + 4 096 + 8 191 + 16 382 + 32 764
+ 65 528 + 131 056 + 262 112 + 524 224 + 1 048 448 + 2 096 896 + 4 193 792 + 8 387 584 + 16 775 168
• 8 589 869 056
• 137 438 691 328
• 2 305 843 008 139 952 128
• 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
• 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
Nombre parfait
• 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128
• 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128
Propriétés mineures
Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs
sont rares si tant est qu'ils existent. Il existe un certain nombre de propriétés simples à démontrer sur les nombres
parfaits :
• Un nombre parfait impair n'est pas divisible par 105 (Kühnel 1949).
• Un nombre parfait impair est de la forme 12m + 1 ou 324m + 81 ou 468m + 117 (Roberts 2008).
• Le seul nombre parfait pair de la forme
est 28 (Makowski 1962).
• Un nombre de Fermat ne peut être parfait (Luca 2000).
• La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait vaut 2:
• Pour 6,
;
• Pour 28,
• Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait (pair ou impair) est pair, puisque N ne peut être un carré
parfait)[réf. nécessaire].
• De ces deux résultats on déduit que tout nombre parfait est un nombre à moyenne harmonique entière.
Notions apparentées
Si la somme des diviseurs est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus
grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont
chacun est la somme des diviseurs de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier
positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit pratique.
Voir aussi
Articles connexes
•
•
•
•
•
•
Nombre abondant
Nombre amical
Nombre déficient
Nombre presque parfait
Nombre premier
Nombre sociable
Liens externes
• Géométrie des nombres premiers et des nombres parfaits [4]
• Liste détaillée de nombres parfaits [5]
129
Nombre parfait
130
Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de
factorisation :
Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de
diviseurs :
Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre
hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre
pratique
Nombres de
diviseurs :
Nombre abondant · Nombre hautement abondant · Nombre superabondant · Nombre colossalement abondant ·
Nombre hautement composé
Autres :
Nombre déficient · Nombre étrange · Nombre amical · Nombre sociable · Nombre solitaire · Nombre
sublime · Nombre à moyenne harmonique entière · Nombre frugal · Nombre équidigital · Nombre extravagant
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
(en)Douglas E. Iannucci The Kaprekar Numbers (http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/iann2a.html). Journal of Integer
Sequences 3, 2000, Article 00.1.2 .
Oddperfect.org (http:/ / oddperfect. org/ pomerance. html)
Oddperfect.org (http:/ / www. oddperfect. org)
http:/ / www. polprimos. com
http:/ / amicable. homepage. dk/ perfect. htm
Nombre positif
Un nombre positif est un nombre qui est supérieur (supérieur ou égal) à zéro, comme par exemple 3 ou e. Dans le
cadre des nombres complexes positif exige implicitement réel, mais pour plus de clarté nous préférons dire « nombre
réel positif ». Zéro est un nombre réel positif, et est un entier naturel. Lorsqu'un nombre est positif et non nul, il est
dit strictement positif.
Lorsque nous parlons de nombres positifs, l'adjectif positif doit être pris au sens large, c'est-à-dire que zéro n'est pas
exclu et zéro est donc un nombre (le seul) à la fois positif et négatif. Si nous considérons des nombres positifs mais
non nuls, alors nous devons préciser strictement positifs.
• Les entiers naturels sont tous positifs pour la relation d'ordre naturelle ⩽.
• l'ensemble des entiers relatifs positifs est habituellement noté
,
• l'ensemble des entiers relatifs strictement positifs est habituellement noté
• l'ensemble des nombres rationnels positifs est habituellement noté
,
,
• l'ensemble des nombres rationnels strictement positifs est habituellement noté
• l'ensemble des nombres réels positifs est habituellement noté
,
• l'ensemble des nombres réels strictement positifs est habituellement noté
,
,
Nombre positif
131
Propriétés
• La somme de deux nombres positifs est un nombre positif,
• la somme d'un nombre positif et d'un autre strictement positif est un nombre strictement positif.
En général, la différence de deux nombres positifs n'est pas positive. Par exemple 2-3=-1 et 5-2=3.
• Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif,
• le produit de deux nombres strictement positif est strictement positif.
Le produit d'un nombre positif et d'un nombre strictement positif n'est pas en général strictement positif, puisque le
premier nombre peut être nul.
• L'inverse d'un nombre strictement positif est un nombre strictement positif,
• le quotient d'un nombre positif et d'un nombre strictement positif est positif,
• le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif.
• Un nombre est inférieur (ou égal) à un autre si et seulement si la différence du second et du premier est positive,
• un nombre est strictement inférieur à un autre si et seulement si la différence du second et du premier est
strictement positive,
• En multipliant une inégalité par un nombre positif, le sens de l'inégalité ne change pas.
Voyez également
• Nombre négatif
Nombre négatif
Un nombre négatif est un nombre qui est inférieur (inférieur ou égal) à zéro, tel que −3 ou −π. Ceux-ci
comprennent les entiers négatifs, les nombres rationnels négatifs, les nombres irrationnels négatifs, les nombres réels
négatifs. Zéro compte comme un nombre négatif. Lorsqu'un nombre est négatif et non nul, il est dit strictement
négatif (cette terminologie diffère donc de la terminologie anglo-saxonne, pour laquelle un "positive number" est un
nombre strictement positif, zéro n'étant considéré ni comme un nombre positif, ni comme un nombre négatif).
Les entiers négatifs peuvent être regardés comme une extension des entiers naturels, telle que l'équation x − y = z ait
une solution significative pour toutes les valeurs de x et y ; l'ensemble des entiers positifs et négatifs s'appelle
l'ensemble des entiers relatifs. Les autres ensembles de nombres peuvent être alors construits, comme des extensions
progressivement plus élaborées ou comme des généralisations à partir des entiers.
Les nombres négatifs sont utiles pour décrire des valeurs sur une échelle qui descend au-dessous de zéro, telle que la
température, et aussi en comptabilité où ils peuvent être utilisés pour représenter des dettes ou des déficits. En
comptabilité, les dettes sont souvent représentées par des nombres écrits en rouge, ou par un nombre entre
parenthèses.
Lorsque nous parlons de nombres positifs ou négatifs, les adjectifs positif et négatif doivent être pris au sens large,
c'est-à-dire que zéro n'est pas exclu et zéro est donc un nombre (le seul) à la fois positif et négatif. Si nous
considérons des nombres positifs ou négatifs mais non nuls, alors nous devons préciser strictement positifs ou
strictement négatifs.
• L'ensemble des entiers relatifs négatifs est habituellement noté
,
• l'ensemble des entiers relatifs strictement négatifs est habituellement noté
• l'ensemble des nombres rationnels négatifs est habituellement noté
,
,
• l'ensemble des nombres rationnels strictement négatifs est habituellement noté
• l'ensemble des nombres réels négatifs est habituellement noté
,
• l'ensemble des nombres réels strictement négatifs est habituellement noté
,
,
Nombre négatif
Arithmétique impliquant les nombres négatifs
Addition et soustraction
Ajouter un nombre négatif revient à soustraire le nombre positif correspondant :
5 + (−3) = 5 − 3 = 2
−2 + (−5) = −2 − 5 = −7
Soustraire un nombre positif d'un plus petit nombre positif donne un résultat négatif :
4 − 6 = −2 (si vous avez en poche 4 € et que vous dépensez 6 €, alors vous avez une dette de 2 €).
Soustraire un nombre positif d'un nombre négatif donne un résultat négatif :
−3 − 6 = −9 (si vous avez une dette de 3 € et que vous dépensez encore 6 €, alors vous avez une dette de 9 €).
Soustraire un nombre négatif équivaut à ajouter le nombre positif correspondant:
5 − (−2) = 5 + 2 = 7 (si vous disposez d'une valeur nette de 5 € et que vous vous débarrassez d'une dette de 2
€, alors il vous reste une valeur 7 € en poche).
Aussi:
(−8) − (−3) = −5 (si vous avez une dette de 8 € et que vous vous débarrassez d'une dette de 3 €, alors vous
aurez encore une dette de 5 €).
Multiplication
Le produit d'un nombre négatif par un nombre positif donne un résultat négatif: (−2) · 3 = −6. La raison de cela est
que ce produit peut être interprété comme une addition répétée: (−2) · 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6. Nous pouvons
l'interpréter autrement, si vous avez une dette de 2 €, et si votre dette est triplée, alors vous terminez avec une dette
de 6 €.
La multiplication de deux nombres négatifs donne un résultat positif: (−3) · (−4) = 12. Cette situation ne peut pas
être interprétée comme une addition répétée, et l'analogie avec une dette n'aide pas non plus. La raison essentielle de
cette règle est que nous voulons que la multiplication soit distributive :
(3 + (−3)) · (−4) = 3 · (−4) + (−3) · (−4).
Le membre de gauche de cette relation est égal à 0 · (−4) = 0. Le côté droit est une somme de −12 + (−3) · (−4); pour
que les deux membres soient égaux, nous avons besoin que (−3) · (−4) = 12.
ckb:‫ناکەیینێرەنان و ناکەیینێرەن ەرامژ‬
132
Fraction dyadique
133
Fraction dyadique
En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui, lorsqu'il est écrit
sous forme de fraction, possède un dénominateur sous forme de puissance de deux. On peut le noter formellement
par
Par exemple, 1/2 ou 3/8 sont des fractions dyadiques, mais pas 1/3. Ce sont précisément les nombres qui ont un
développement de « décimales » binaire fini.
Le pouce est habituellement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales; de manière similaire, les
divisions habituelles du gallon en demi--gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient
aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec des dénominateurs allant jusqu'à 64.
L'ensemble de toutes les fractions dyadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels; un nombre réel
quelconque x peut être arbitrairement approché autant que l'on veut par des rationnels dyadiques de la forme
Comparé aux autres sous-ensembles de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble dense dans
un certain sens, plutôt « petit », c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations de topologie comme le
lemme d'Urysohn.
La somme, le produit ou la différence de deux fractions dyadiques quelconque est elle-même une autre fraction
dyadique :
Par contre, le résultat de la division d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, en général, une fraction dyadique.
Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau de l'ensemble des nombres rationnels
. Algébriquement,
ce sous-anneau est la localisation des entiers
par rapport à l'ensemble des puissances de deux.
Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les
fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis,
infinitésimaux et autres.
Solénoïde dyadique
En tant que groupe abélien additif, l'ensemble des rationnels dyadiques est la limite directe des sous-groupes
cycliques infinis
pour n = 0, 1, 2, ... . Dans l'esprit de la dualité Pontryagin, il existe un objet dual, nommément la limite inverse du
groupe du cercle unité sous l'application carrée répétée
Le groupe topologique résultant D est appelé le solénoïde dyadique.
Un élément du solénoïde dyadique peut être représenté comme une suite infinie de nombres complexes :
Fraction dyadique
134
, avec la propriété que chaque qi se place sur le cercle unité et que, pour tous les i > 0,
L'opération de groupe sur ces éléments multiplie deux suites quelconques convenablement.
En tant qu'espace topologique, c'est un continuum indécomposable.
Voir aussi
•
•
•
•
•
Pavel Samuilovich Urysohn
Nombre p-adique
Anneau local
Processus de Bernoulli
Théorème d'équidistribution
Nombre irrationnel
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme
d'une fraction
, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).
Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits,
entre autres
(voir la démonstration d'irrationalité). Plus généralement, on appelle nombres algébriques les
nombres qui sont racine d'un polynôme à coefficients rationnels ; cette catégorie facile à construire permet d'exhiber
de nombreux nombres irrationnels. Les nombres qui ne sont pas algébriques (c'est-à-dire qui ne sont racine d'aucun
polynôme à coefficients rationnels) sont appelés nombres transcendants ; ils sont tous irrationnels. π (pi) et e font
partie de cette seconde catégorie de nombres irrationnels.
Histoire
Comme le rapporte le Sulba Sutras, l'utilisation la plus ancienne des nombres irrationnels fut faite par les indiens
entre 800 et 500 avant J-C. Il était connu que la diagonale et l'un des côtés d'un carré sont incommensurables l'une à
l'autre[1] .
La première démonstration de l'incommensurabilité de la diagonale et de l'un des côtés d'un carré, ce qui est
équivalent à l'irrationalité de
, serait due à Hippase de Métaponte[2] , un pythagoricien. Cette découverte ouvrit
une crise profonde chez les mathématiciens grecs. L'histoire rapporte qu'Hippase un pythagoricien découvrit
l'irrationalité de nombres en essayant de représenter la racine carrée de deux sous forme d'une fraction. Cependant,
Pythagore croyait au caractère absolu des nombres et ne considérait avec ses disciples que des grandeurs
commensurables; il ne put réfuter l'existence de ces nombres irrationnels par la logique, et d'après la légende,
condamna Hippase à mourir noyé.
Théétète travailla sur des irrationalités quadratiques, mais sans succès jusqu'à ce qu'Eudoxe développe une théorie
des rapports irrationnels que les mathématiciens grecs acceptèrent comme des nombres irrationnels. Les
mathématiciens hellénistes montrèrent leur pleine capacité à travailler avec les nombres irrationnels. Le livre X des
éléments d'Euclide est consacré à une classification des grandeurs irrationnelles.
Au XVIe siècle, la communauté mathématique accueillit favorablement les nombres négatifs et les fractions. Au
XVIIe siècle, les mathématiciens employèrent de plus en plus fréquemment les fractions décimales et représentaient
déjà ces nombres avec la notation moderne.
Pendant les cent années suivantes furent introduits les nombres imaginaires qui devinrent un outil puissant forgé par
Abraham de Moivre, et plus particulièrement aiguisé par Leonhard Euler.
Nombre irrationnel
135
Au dix-neuvième siècle, la théorie des nombres complexes fut complétée, l'existence des nombres transcendants fut
montrée, ce qui amena à diviser les nombres irrationnels en deux catégories, celle des nombres algébriques et celle
des nombres transcendants et ainsi à effectuer une étude scientifique d'un sujet presque resté en léthargie depuis
Euclide, celui de la théorie des nombres irrationnels.
L'année 1872, vit la publication des théories de Karl Weierstrass (par son élève Kossak), de Heine (Crelle 74), de
George Cantor (Annalen 5), et de Richard Dedekind. Méray avait pris en 1869 les mêmes points de départ que
Heine, mais la naissance de cette théorie est généralement rattachée à l'année 1872.
La méthode de Weierstrass fut complètement déterminée par Pincherle (en 1880), et celle de Dedekind reçut une
importance supplémentaire par le travail ultérieur de l'auteur (en 1888) et par l'approbation plus récente de tannerie
de Paul (en 1894).
Weierstrass, Cantor, et Heine basèrent leurs théories sur les séries infinies, pendant que Dedekind fonda la sienne sur
l'idée d'une coupure (Schnitt) dans le système des nombres rationnels, partageant les nombres rationnels en deux
classes caractérisées par des propriétés différentes.
Ce travail fut complété plus tard par Weierstrass, Kronecker (Crelle 101), et Méray.
Les fractions continues, étroitement liées aux nombres irrationnels (dues à Cataldi en 1613), furent prises en
considération par Euler, et au début du dix-neuvième siècle, elles prirent de l'importance grâce aux écrits de Joseph
Louis Lagrange. Dirichlet aussi travailla sur cette théorie, ainsi que beaucoup d'autres mathématiciens qui
développèrent de multiples applications.
Lambert démontra en 1761 que
ne pouvait être rationnel, et que
est irrationnel si
est rationnel (sauf si
).
La démonstration de l'irrationalité de de Lambert, est considérée comme incomplète selon les critères actuels.
Mais les historiens des mathématiques l'acceptent satisfaisante et la jugent rigoureuse pour son époque. La méthode
consiste à approcher π par des rationnels, les propriétés de cette suite de nombres montrent que la limite est
nécessairement irrationnelle.
Legendre (en 1794), après avoir introduit les fonctions de Bessel-Clifford, fournit une démonstration de l'irrationalité
de
confirmant ainsi celle de .
L'existence de nombres transcendants a été établie pour la première fois par Liouville (entre 1844 et 1851). En 1873,
George Cantor montra leur existence par une méthode différente, en démontrant que tout intervalle ayant au moins
deux réels contient des nombres transcendants. Charles Hermite (en 1873) fut le premier à démontrer la
transcendance de , et Ferdinand von Lindemann (en 1882), montra à partir des conclusions d'Hermite, la
transcendance de . La démonstration de Lindemann fut largement simplifiée par Weierstrass (en 1885), et encore
davantage par David Hilbert (en 1893), pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert
Gordan.
Nombres irrationnels transcendants et algébriques
Presque tous les nombres irrationnels sont transcendants et tous les nombres transcendants sont irrationnels.
Donnons comme exemples de nombres transcendants les nombres
et
qui sont irrationnels si
est
rationnel;
est aussi irrationnel.
Un autre moyen de construire des nombres irrationnels considère les nombres algébriques irrationnels, c'est-à-dire
des racines de polynômes à coefficients entiers. Considérons une équation algébrique de la forme
où les coefficients
sont entiers.
Supposons qu'il existe un réel
tel que
d'après le théorème des valeurs intermédiaires).
(par exemple si
est impair et
est non nul, un tel
existe
Nombre irrationnel
136
Les seules racines rationnelles de cette équation algébrique sont de la forme
diviseur de
et
un diviseur de
d'une fraction irréductible où
est
; il y a seulement un nombre fini de valeurs possibles que l'on peut essayer à
la main. Si aucune de ces valeurs n'est racine de
alors
,
doit être irrationnel. Par exemple, si nous avons
et le polynôme
n'a pas de racine rationnelle (les
seules valeurs possibles étant
).
Parce que les nombres algébriques forment un corps, beaucoup de nombres irrationnels peuvent être construits en
combinant les nombres algébriques et les nombres transcendants. Par exemple
,
et
sont
irrationnels et même transcendants.
Développements décimaux
Le développement décimal d'un nombre irrationnel ne se répète jamais et ne se termine jamais. Le développement
décimal d'un nombre rationnel se finit ou se répète.
Pour le démontrer, soit un nombre rationnel c'est-à-dire supposons que l'on divise deux entiers par
(
étant
non nul); alors lorsque l'algorithme de division euclidienne enseigné à l'école primaire est utilisé pour diviser par
, il ne peut donner que
restes différents. Si 0 n'apparaît jamais comme reste, alors l'algorithme ne peut
effectuer plus de
étapes sans redonner un même reste. Après cela, si un reste réapparaît, alors le
développement décimal se répète!
Inversement, supposons qu'il y ait dans le développement d'un nombre des décimales récurrentes ; on peut alors
démontrer que le nombre est une fraction de deux entiers. Par exemple:
Dans ce développement, la longueur de la séquence de décimales répétées est égale à 3. Multiplions par
Remarquez que puisque nous avons multiplié par
:
la longueur de la période, nous avons décalé des chiffres vers
la gauche par rapport à la virgule d'autant de positions.
Nous remarquons alors que les décimales de 1000A et de A à partir d'une certaine position sont identiques. Ainsi
dans l'écriture décimale de 1000A et de A la séquence 162 se répète à partir d'un certain rang.
Par conséquent, lorsque nous soustrayons A à 1000A, les décimales de la différence deviennent nulles à partir de ce
rang.
Ainsi
qui est un quotient de nombres entiers et apparaît donc comme un nombre rationnel.
Nombre irrationnel
137
Problèmes ouverts
On ne sait pas si les nombres
nuls
et
et
sont ou non irrationnels. En fait, il n'existe pas de paire d'entiers non
pour laquelle il serait possible de dire si oui ou non le nombre
ne sait pas si l'ensemble
On ne sait pas non plus si
est algébriquement indépendant sur
,
,
ou le nombre gamma d'Euler
est irrationnel. De plus, on
.
sont irrationnels.
L'ensemble des irrationnels
L'ensemble des nombres irrationnels est indénombrable (puisque l'ensemble des rationnels est dénombrable et que
celui des nombres réels ne l'est pas). L'ensemble des nombres irrationnels algébriques, c'est-à-dire des irrationnels
non transcendants, est dénombrable. Avec la valeur absolue comme distance, l'ensemble des nombres irrationnels
devient un espace métrique qui n'est pas complet. Cependant, cet espace métrique est homéomorphe à l'espace
métrique complet de toutes les suites entières positives ; l'homéomorphisme est donné par le développement en
fraction continue. Ceci démontre que le théorème de catégorie de Baire s'applique aussi à l'espace des nombres
irrationnels. Alors que l'ensemble des nombres réels muni de sa topologie usuelle est connexe, cet espace de Baire,
devient un espace topologique comme celui des réels, à savoir avec la topologie de l'ordre, mais totalement non
connexe puisqu'il n'existe aucun chemin joignant deux irrationnels distincts restant sur la droite des irrationnels.
L'ensemble des irrationels, tout comme l'ensemble
des rationnels, est dense dans l'ensemble
des réels.
Voir aussi
• Coupure de Dedekind
• Démonstration de l'irrationalité de e
Liens externes
•
•
•
•
•
Nombre irrationnel [3] MathWorld (en)
Racine carrée de 2 est irrationnel [4] (en)
Théodore [5] sur MacTutor (en)
Eudoxe [6] sur MacTutor (en)
Théétète [7] sur MacTutor (en)
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
(en) Mark Siderits, J. Dervin O'Brien, Zeno and Nāgārjuna on Motion. Philosophy East and West, 1976
(en) Kurt Von Fritz, The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum. The Annals of Mathematics, 1945
http:/ / mathworld. wolfram. com/ IrrationalNumber. html
http:/ / www. cut-the-knot. org/ proofs/ sq_root. shtml
http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Theodorus. html
http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Eudoxus. html
http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Theaetetus. html
• Adrien-Marie Legendre, Éléments de Géométrie, Note IV, (1802), Paris. (fr)
• Rolf Wallisser, On Lambert's proof of the irrationality of , in Algebraic Number Theory and Diophantine
Analysis, Franz Halter-Koch and Robert F. Tichy, (2000), Walter de Gruyer. (en)
Nombre algébrique
138
Nombre algébrique
Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d'une équation algébrique (autrement dit
racine d'un polynôme différent de zéro) à coefficients entiers (ou de manière équivalente, à coefficients rationnels).
Sans plus de précision, on suppose qu'un nombre algébrique est un nombre complexe, mais on peut aussi considérer
les nombres algébriques dans d'autres corps, tel que le corps des nombres p-adiques. Les éléments d'un corps de
nombres sont (par définition) des nombres algébriques.
Le polynôme irréductible unitaire ayant un tel nombre pour racine est appelé polynôme minimal de ce nombre.
L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent est l'objet de la théorie de
Galois.
Exemples
• Tout nombre rationnel est algébrique, car le quotient
de deux entiers est racine de l'équation
• Un nombre irrationnel peut être ou non algébrique. Par exemple
solutions de
• Le nombre complexe
ou
.
sont algébriques, car ils sont les
et
, respectivement.
est algébrique, car il est racine de l'équation
.
Propriétés
Les nombres qui ne sont pas algébriques sont appelés nombres transcendants. Presque tous les nombres complexes
sont transcendants, parce que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable tandis que l'ensemble des
nombres complexes, et par conséquent aussi l'ensemble des nombres transcendants, ne l'est pas. Les exemples les
plus connus de nombres transcendants sont
et
. D'autres exemples sont fournis par le théorème de
Gelfond-Schneider.
Tous les nombres algébriques sont calculables et par conséquent sont définissables.
Si un nombre algébrique est racine d'une équation polynômiale de degré n, et s'il n'est racine d'aucune équation
polynômiale de degré strictement inférieur à n, on dit que c'est un nombre algébrique de degré n. Par exemple, les
nombres algébriques de degré 1 sont les rationnels ; et
sont algébriques de degré 2.
Le concept de nombre algébrique peut être généralisé à des extensions de corps arbitraires; les éléments dans de
telles extensions qui satisfont aux équations polynômiales sont appelés des éléments algébriques.
Le corps des nombres algébriques
La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres algébriques sont encore algébriques (ce résultat
n'est nullement évident ; la façon la plus simple de le démontrer passe par l'utilisation du résultant) ; par conséquent,
les nombres algébriques forment un corps, habituellement noté
; il est inclus dans
. On a
: en effet,
il est connu que l'ensemble
est dénombrable, alors que
ne l'est pas. Il en résulte l'existence de nombres qui ne
sont pas algébriques : on dit qu'ils sont transcendants. On peut montrer que chaque racine d'une équation
polynômiale dont les coefficients sont des nombres algébriques est encore algébrique. Ceci peut être reformulé en
disant que le corps des nombres algébriques est algébriquement clos. En fait, c'est le plus petit corps algébriquement
clos contenant les nombres rationnels, et il est par conséquent appelé clôture algébrique du corps
des rationnels.
Tous les énoncés ci-dessus sont très facilement démontrés dans le contexte général des éléments algébriques d'une
extension de corps.
Nombre algébrique
139
Nombres définis par des radicaux
Tous les nombres qui peuvent être obtenus à partir des entiers en utilisant un nombre fini d'additions, de
soustractions, de multiplications, de divisions et d'extractions de racines n-ièmes (où n est un nombre entier positif)
sont algébriques. La réciproque, néanmoins, n'est pas vraie : il existe des nombres algébriques qui ne peuvent pas
être obtenus de cette manière (c'est le théorème d'Abel–Ruffini); d'après la théorie de Galois, tous ces nombres sont
de degré supérieur ou égal à 5. Un exemple d'un tel nombre est l'unique racine réelle de
.
Entiers algébriques
Un nombre algébrique qui satisfait une équation polynômiale de degré n à coefficients ai appartenant à l'ensemble
des entiers, dont le premier coefficient
vaut 1 (c'est-à-dire qui est racine d'un polynôme monique), est appelé
un entier algébrique. Ainsi,
, racine de
et
des entiers algébriques ; il en est de même du nombre d'or
, racine de
, qui est racine de
, sont
; ce dernier
exemple montre que les "coefficients" d'un entier algébrique peuvent ne pas être entiers ; cette question est
développée dans l'article consacré aux entiers quadratiques.
La somme, la différence et le produit d'entiers algébriques sont encore des entiers algébriques, ce qui signifie que les
entiers algébriques forment un anneau. Le nom entier algébrique provient du fait que les seuls nombres rationnels
qui sont des entiers algébriques sont les entiers, et parce que les entiers algébriques dans tout corps de nombres sont
sous bien des aspects analogues aux entiers. Si
est un corps de nombres, son anneau d'entiers est le sous-anneau
des entiers algébriques dans
, et est fréquemment noté
. Ces anneaux sont les exemples les plus typiques
d'anneaux de Dedekind.
Généralisation
Plus généralement : soient
un corps, et
une extension de
est racine d'une équation polynomiale à coefficients dans
. Un élément de
est dit algébrique sur
, non tous nuls ; il est dit transcendant sur
s'il
dans le
cas contraire.
La définition donnée plus haut s'obtient dans le cas particulier où
corps
des nombres complexes.
Classes particulières de nombres algébriques
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Entier de Gauss
Entier d'Eisenstein
Entier de Dirichlet
Entier quadratique
Entier algébrique
Racine de l'unité
Période de Gauss
Nombre de Pisot-Vijayaraghavan
Nombre de Salem
est le corps
des rationnels et
est le
Nombre algébrique
140
Lien externe
• (histoire des sciences) L'article de 1874 de Cantor sur la dénombrabilité des nombres algébriques en ligne et
commenté sur le site BibNum [1].
Références
[1] http:/ / www. bibnum. education. fr/ mathematiques/ cantor-et-les-infinis
Nombre transcendant
En mathématiques, un nombre transcendant sur les rationnels est un nombre réel ou complexe qui n'est racine
d'aucune équation polynomiale :
où
et les coefficients
sont des nombres entiers (donc des rationnels), dont au moins l'un
est non nul.
Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique.
Les nombres transcendants ne sont donc jamais rationnels. Néanmoins, tous les nombres irrationnels ne sont pas
transcendants : la racine carrée de 2 est irrationnelle, mais est une solution de l'équation polynomiale
.
L'ensemble de tous les nombres transcendants est non dénombrable. La démonstration est simple : puisque les
polynômes à coefficients entiers sont dénombrables, et puisque chacun de ces polynômes possède un nombre fini de
zéros, l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable. Mais l'argument de la diagonale de Cantor établit que
les nombres réels (et par conséquent les nombres complexes aussi) sont non dénombrables, donc l'ensemble de tous
les nombres transcendants doit être non dénombrable. En d'autres termes, il y a beaucoup plus de nombres
transcendants que de nombres algébriques. Néanmoins, seules peu de classes de nombres transcendants sont connues
et prouver qu'un nombre donné est transcendant peut être extrêmement difficile.
Résultats : considérons l'ensemble A des nombres algébriques réels. Alors :
1. A est un sous-corps de
. En particulier, A est stable par addition et multiplication.
2. A est dénombrable, ce qui montre que A est différent de l'ensemble
(les nombres transcendants existent bien).
Histoire
Leibniz fut probablement la première personne à croire en l'existence des nombres qui ne satisfont pas les polynômes
à coefficients rationnels. Le nom « transcendants » vient de Leibniz dans sa publication de 1682 où il démontra que
sin(x) n'est pas une fonction algébrique de x. L'existence des nombres transcendants fut prouvée pour la première fois
en 1844 par Joseph Liouville, qui montra des exemples, incluant la constante de Liouville :
dans laquelle le n-ième chiffre après la virgule est 1 si n est une factorielle (l'un des nombres 1, 2, 6, 24, 120, 720,
etc.) et 0 sinon ; ce nombre est particulièrement bien approché par les nombres rationnels. Joseph Liouville montra
que les nombres ayant cette propriété (que nous nommons maintenant nombres de Liouville) sont tous transcendants
; on trouvera cette démonstration à l'article consacré à ces nombres.
Johann Heinrich Lambert, dans son article prouvant l'irrationalité de conjectura que et étaient des nombres
transcendants. Le premier nombre à avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement pour cela
fut e, par Charles Hermite en 1873. En 1874, Georg Cantor trouva l'argument décrit ci-dessus établissant l'ubiquité
des nombres transcendants.
Nombre transcendant
141
En 1882, Ferdinand von Lindemann publia une démonstration de la transcendance de
n'importe quelle puissance algébrique non nulle est transcendant, et puisque
d'Euler),
et par conséquent
. Il montra d'abord que à
est algébrique (voir identité
doit être transcendant. Cette approche fut généralisée par Karl Weierstrass avec le
théorème de Lindemann-Weierstrass. La transcendance de
a permis la démonstration de l'impossibilité de
résoudre plusieurs problèmes anciens de construction géométrique avec le compas et la règle, incluant le plus célèbre
d'entre eux, la quadrature du cercle.
En 1900, David Hilbert a posé une importante question à propos des nombres transcendants, connue sous le nom de
septième problème de Hilbert : « Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre
algébrique irrationnel, alors le nombre
est-il nécessairement transcendant ? » La réponse, affirmative, fut donnée
en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider. On peut obtenir facilement des nombres transcendants grâce à lui,
par exemple
.
Ce travail fut étendu par Alan Baker dans les années 1960.
Quelques nombres transcendants connus
• Par le théorème d'Hermite-Lindemann,
• le nombre e (base des logarithmes néperiens), et plus généralement
• les nombres ea pour tout nombre a algébrique non nul ;
• le nombre sin(1), et plus généralement
• les nombres cos(a) et sin(a), pour tout nombre a algébrique non nul.
• Par la contraposée de ce même théorème,
• Le nombre (voir l'article pi),
• les nombres log(a) si a est un réel algébrique strictement positif et différent de 1.
• Par le théorème de Gelfond-Schneider,
• le nombre
(constante de Gelfond-Schneider),
• le nombre réel
(constante de Gelfond),
• le nombre réel
(racine carrée de l'inverse du précédent),
• plus généralement les nombres ab où a est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et où b est algébrique
mais non rationnel.
• Par la contraposée de ce même théorème,
• des nombres tels que log(3)/log(2).
• Des nombres tels que xlog(2)+ylog(3)+zlog(5) avec x, y, z algébriques non tous nuls (voir le théorème de Baker).
•
,
et
, où Γ est la fonction gamma d'Euler.
• Le nombre de Champernowne 0,12345678910111213… obtenu en écrivant à la suite les entiers naturels en base
dix (théorème de Mahler, 1961)
•
où
•
est
la
partie
entière
de
.
Par
exemple,
si
,
ce
nombre
est
0,11010001000000010000000000000001000…
, constante de Chaitin, et plus généralement : chaque nombre non-calculable est transcendant (puisque tous les
nombres algébriques sont calculables).
• constante de Prouhet-Thue-Morse
Toute fonction algébrique non constante à une variable donne une valeur transcendante lorsqu'on lui applique une
valeur transcendante. Donc, par exemple, en sachant que est transcendant, nous pouvons immédiatement déduire
Nombre transcendant
que
,
142
,
et
sont aussi transcendants.
Néanmoins, une fonction algébrique à plusieurs variables peut donner un nombre algébrique lorsqu'elle est appliquée
aux nombres transcendants si ces nombres ne sont pas algébriquement indépendants. Par exemple, et
sont
tous les deux transcendants, mais
ne l'est évidemment pas. On ignore si
exemple est transcendant, mais au moins l'un des deux nombres
et
, par
doit être transcendant. Plus
généralement, pour deux nombres transcendants a et b, au moins l'un de a+b et ab doit être transcendant. Pour voir
cela, considérons le polynôme
; si (a+b) et a b étaient tous deux
algébriques, alors ce polynôme serait à coefficients algébriques. Comme les nombres algébriques forment un corps
algébriquement clos, ceci impliquerait que les racines du polynôme, a et b soient algébriques. Mais ceci est une
contradiction et ainsi, au moins un des deux coefficients est transcendant.
Problèmes ouverts
Les nombres dont on ignore s'ils sont transcendants ou non incluent :
•
,
,
,
• La constante d'Euler-Mascheroni
,
,
,
(dont on ignore même si elle est irrationnelle)
• La constante de Catalan (dont on ignore aussi si elle est irrationnelle)
• La constante d'Apéry
(dont on sait qu'elle est irrationnelle)
Tous les nombres de Liouville sont transcendants, néanmoins les nombres transcendants ne sont pas tous des
nombres de Liouville. Tout nombre de Liouville doit avoir des termes non bornés dans son développement en
fraction continue, donc en utilisant un argument de dénombrement, on peut montrer qu'il existe des nombres
transcendants qui ne sont pas des nombres de Liouville. En utilisant le développement explicite en fraction continue
de e, on peut montrer que e n'est pas un nombre de Liouville. Kurt Mahler montra en 1953 que n'est pas non plus
un nombre de Liouville. Il a été conjecturé que toutes les fractions continues à termes bornés qui ne sont pas
périodiques à partir d'un certain rang sont transcendantes (les fractions continues périodiques à partir d'un certain
rang correspondent aux irrationnels quadratiques).
La généralisation du septième problème de Hilbert qui serait de caractériser les transcendants parmi tous les nombres
lorsque
et
est algébrique, reste non résolue[réf. souhaitée]
. On sait que si
est rationnel alors
est algébrique, et (d'après le théorème de Gelfond-Schneider mentionné plus
haut) que si
est algébrique irrationnel alors
est transcendant, mais qu'en est-il si
arriver que
soit algébrique, comme dans l'exemple
,
est transcendant ? (Il peut
.)
Esquisse de démonstration de la transcendance de
La première démonstration que est transcendant date de 1873. Nous suivrons maintenant la stratégie de David
Hilbert (1862 - 1943) qui donna une simplification de la démonstration originale de Charles Hermite. L'idée est la
suivante :
Supposons, dans le but de trouver une contradiction, que
coefficients entiers
satisfaisant l'équation :
et
et
est algébrique. Alors, il existe un ensemble fini de
sont tous deux différents de zéro.
Dépendant de la valeur de n, nous précisons un entier positif suffisamment grand k (pour nos besoin ultérieurs) et
multiplions les deux cotés de l'équation ci-dessus par
, où la notation
sera utilisé dans cette démonstration
Nombre transcendant
143
comme abréviation de l'intégrale :
.
Nous arrivons à l'équation :
qui peut maintenant être écrite sous la forme
où
Le plan d'attaque maintenant est de montrer que pour un k suffisamment grand, les relations ci-dessus sont
impossible à satisfaire parce que
est un entier différent de zéro et
Le fait que
ne l'est pas.
soit un entier différent de zéro résulte de la relation
qui est valide pour tout entier positif j et peut être prouvé par récurrence au moyen d'une intégration par parties.
Pour montrer que
pour un k suffisamment grand
nous
noterons
d'abord
que
est
le
produit
des
fonctions
et
. En utilisant la borne supérieure pour
et
sur l'intervalle [0,n] et en employant
le fait que
pour chaque nombre réel G
est alors suffisant pour achever la démonstration.
Une stratégie similaire, différente de l'approche originale de Lindemann, peut être utilisée pour montrer que le
nombre est transcendant. En outre, la fonction gamma, certaines estimations pour et des faits à propos des
polynômes symétriques jouent un rôle vital dans la démonstration.
Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de transcendances de
les liens externes.
et
, voir les références et
Nombre transcendant
144
Voir aussi
• théorie de la transcendance, l'étude des questions relatives aux nombres transcendants
Références
• (de) David Hilbert, « Über die Transcendenz der Zahlen und », Mathematische Annalen 43:216–219
(1893).
• (en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975 (ISBN 0-521-39791-X).
Liens externes
• (fr) Article du 13 mai 1844 de Liouville sur les nombres transcendants (avec une analyse de M. Mendès-France,
mathématicien) (site BibNum [1])
• (fr) Démonstration d'Hermite de la transcendance de e (1873), présentée et analysée sur le site BibNum [2].
• (en) Démonstration que est transcendant [3]
• [pdf] (de) Démonstration que est transcendant [4]
• [pdf] (de) Démonstration que est transcendant [5]
• [pdf] (fr) Démonstration de la transcendance de e et [6]
• [pdf] (fr) Démonstration de la transcendance de e et
[7]
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
http:/ / www. bibnum. education. fr/ mathematiques/ propos-de-lexistence-des-nombres-transcendants
http:/ / www. bibnum. education. fr/ mathematiques/ la-demonstration-de-la-transcendance-de-e
http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ EIsTranscendental. html
http:/ / www. mathematik. uni-muenchen. de/ ~fritsch/ euler. pdf
http:/ / www. mathematik. uni-muenchen. de/ ~fritsch/ pi. pdf
http:/ / nombrejador. free. fr/ download/ e_pi_transcendant_ttj. pdf
http:/ / people. math. jussieu. fr/ ~alp/ e_et_pi_transcendants. pdf
Nombre imaginaire pur
Nombre imaginaire pur
Cet article est un complément de nombre complexe.
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel. Par exemple, i, -i et 0
sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires
purs est noté
ou .
Le carré d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif, et les racines carrées d'un nombre réel négatif sont
des imaginaires purs. Historiquement, les travaux de Cardan au XVIe siècle ont montré l'intérêt d'utiliser des racines
carrées de nombres négatifs dans les calculs. Considérés dans un premier temps comme "imaginaires" ou
"inconcevables", ces nombres ont commencé à prendre véritablement un sens autour de 1800.
Définition
L'unité imaginaire est la racine carrée canonique de -1, aujourd'hui le plus souvent notée i en mathématiques. Un
imaginaire ou imaginaire pur est un nombre de la forme z=ia où a est un réel. Ce réel est unique et défini par z
comme suit : a=-iz. Voici des définitions équivalentes :
• Le nombre iz est un réel,
• Son carré z2 est un nombre réel négatif.
Les racines carrées d'un nombre réel sont soit réels soit imaginaires purs. Les racines carrées d'un nombre réel
négatif
(avec a réel) sont les imaginaires purs
.
Tout nombre complexe z s'écrit comme somme d'un nombre réel a et d'un nombre imaginaire pur ib. L'écriture
est appelée l'écriture cartésienne du nombre complexe z. Les nombres a et b sont respectivement les
parties réelle et imaginaire de z. Un imaginaire pur est donc un nombre complexe de partie réelle nulle. Sous forme
polaire, un nombre complexe s'écrit
. Ce nombre est un imaginaire pur si et seulement si vaut π/2,
modulo π.
Axe des imaginaires purs
Le plan d'Argand est une représentation géométrique des nombres complexes par les points d'un plan euclidien. Il
comporte deux axes gradués orthogonaux. Le premier axe, horizontal, représente l'axe gradué des réels, et le second
axe, vertical, est l'axe des imaginaires purs. Sur ce deuxième axe, l'unité est i.
Un imaginaire pur z correspond alors à un point M de l'axe des imaginaires purs. Plus généralement, le nombre
complexe z=a+ib est l'affixe du point M de coordonnées (a,b). Si M et N sont les points d'affixe z et w, alors les
droites (OM) et (ON) sont orthogonales ssi le quotient z/w est un imaginaire pur.
Éléments d'histoire
Avant le XVIe siècle, des racines de nombres négatifs apparaissent occasionnellement sur des textes écrits. L'un des
plus connus est un calcul de volume réalisé par le mathématicien grec Héron d'Alexandrie, où apparait une racine
carrée d'une différence. Malheureusement, ce texte n'est connu que par ses traductions. Il est possible que ce soit une
erreur commise par un des traducteurs, hypothèse envisagée par Dominique Flament[1] . On crédite habituellement
les travaux de Cardan pour avoir réellement souligné l'importance que peuvent jouer les racines carrées des nombres
négatifs dans les calculs. Dans Ars Magma (1545), Jérôme Cardan recherche une méthode pour obtenir une racine
carrée réelle d'une équation polynomiale de degré 3. Elle est aujourd'hui connue sous le nom de méthode de Cardan
et fait intervenir des extractions de racines carrées de nombres réels, éventuellement négatifs.
Dans Algebra (1572), Raphaël Bombelli s'intéresse à ces racines de nombres négatifs. Les signes pia (plus) et meno
(moins) étaient utilisés pour les nombres réels. Bombelli introduit les signes pia di meno (ix...) et mino di mino
145
Nombre imaginaire pur
146
(-ix...) pour étudier les nombres imaginaires purs. De même qu'un nombre réel strictement positif possède deux
racines carrées réelles qui ont des signes opposés, Bombelli reconnaît alors qu'un nombre réel négatif possède deux
racines carrées (des nombres "imaginaires") qui viennent avec des signes opposés.
Cependant, il faut attendre le XVIIIe siècle (avec Leibniz, De Moivre et Euler) pour que des calculs plus avancés
soient réalisés sur ces nombres, qualifiés d'imaginaires, d'inconcevables ou encore d'inexplicables. Les nombres
imaginaires purs sont donc historiquement les premiers nombres complexes étudiés.
Références
[1] Dominique Flament, Histoire des nombres complexes
Nombre de Liouville
En théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x avec la propriété suivante : pour tout nombre
entier positif n, il existe des entiers p et q avec
et tels que
.
Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En
1844, Joseph Liouville montra que tous les nombres vérifiant l'inégalité ci-dessus sont transcendants, établissant
ainsi pour la première fois l'existence de tels nombres.
Irrationalité des nombres de Liouville
Remarquons d'abord que si x est un nombre de Liouville, pour tout nombre entier positif n, il existe alors un nombre
infini de paires d'entiers (p,q) obéissant à l'inégalité ci-dessus : il suffit en effet de prendre des couples (p,q) associés
à des entiers m égaux à kn , ils fournissent k couples
associés à n car
.
Il est relativement facile de démontrer que si x est un nombre de Liouville, alors x est un nombre irrationnel.
Supposons le contraire ; alors il existe des entiers c, d avec
Alors, il existerait deux entiers p et q tels que
.
La première partie de l'inégalité prouve que
ce qui contredit la définition .
, donc
. Soit n un entier positif tel que
.
Nombre de Liouville
147
Constante de Liouville
La constante de Liouville est le réel défini par
La constante de Liouville est un nombre de Liouville ; si nous définissons
et
comme suit :
alors, pour tous les entiers positifs n, nous avons
La constante de Liouville est le premier exemple de nombre réel dont on a prouvé la transcendance. La fraction
continue est l'outil auquel pense Liouville pour construire des nombres de Liouville et donc transcendants. L'article
associé présente un autre exemple de cette nature, illustrant la méthode préconisée par le mathématicien.
Mesure irrationnelle d'un réel
La mesure irrationnelle d'un nombre réel x mesure la manière d'approcher un nombre par des rationnels. À la place
de n'importe quel n permis pour la puissance de q, nous trouvons la borne supérieure de l'ensemble de nombres réels
tels que la propriété
soit satisfaite par un nombre infini de paires d'entiers (p, q) avec q > 0. Pour toute valeur
supérieure, l'ensemble de tous les rationnels
réciproquement, si
inférieure à cette borne
satisfaisant l'inégalité ci-dessus est une approximation fine de x;
est plus grand que la borne supérieure, alors il n'existe pas de telles suites qui convergent
finement vers x.
Les nombres de Liouville sont précisément les nombres ayant une mesure irrationnelle infinie.
Transcendance des nombres de Liouville
En 1844, Joseph Liouville montra que les nombres avec cette propriété ne sont pas seulement irrationnels, mais sont
toujours transcendants (voir la démonstration ci-dessous). Il utilisa ce résultat pour fournir le premier exemple
explicite de nombre transcendant: la constante de Liouville définie plus haut.
En revanche, bien que chaque nombre de Liouville soit transcendant, tout nombre transcendant n'est pas un nombre
de Liouville. Il a été démontré que est transcendant, mais pas un nombre de Liouville.
La démonstration procède en établissant premièrement la propriété des nombres algébriques irrationnels. Cette
propriété dit essentiellement que les nombres algébriques irrationnels ne peuvent pas être approchés correctement
par les nombres rationnels. Un nombre de Liouville est irrationnel mais n'a pas cette propriété, donc il ne peut pas
être algébrique et doit être transcendant. Le lemme suivant est connu habituellement comme le théorème de
Liouville (sur l'approximation diophantienne), il existe plusieurs résultats connus comme le théorème de
Liouville.
Lemme : Si est un nombre irrationnel qui est la racine d'un polynôme f de degré n > 0 à coefficients entiers, alors
il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour tous les entiers p, q, avec q > 0,
.
Nombre de Liouville
148
Démonstration du lemme
Soit M, la valeur maximale de
distinctes de f qui diffèrent de
sur l'intervalle
. Soit
. Prenons une certaine valeur
les racines
satisfaisant
Maintenant, supposons qu'il existe certains entiers p, q contredisant le lemme. Alors
Alors
est dans l'intervalle
irrationnel,
donc
; et
, et comme
est
n'est pas une racine de f.
Par le théorème des accroissements finis, il existe un
Puisque
n'est pas dans
est une racine de f mais
et
tel que
ne l'est pas, nous voyons que
Maintenant, f est de la forme
où chaque
la dernière inégalité reste valable parce que
Ainsi, nous avons
entre
. Puisque
et nous pouvons réordonner :
est un entier ; donc nous pouvons exprimer
comme
n'est pas une racine de f.
par la définition de M, et
par la définition
de A, nous avons
ce qui est une contradiction; par conséquent, aucun p, q n'existe; ce qui démontre le lemme.
Démonstration de l'assertion
Comme conséquence de ce lemme, soit x un nombre de Liouville ; comme noté dans le texte de l'article, x est alors
irrationnel. Si x est algébrique, alors par le lemme, il existe un certain entier n et un certain réel positif A tel que pour
tous les p, q
.
Soit r un entier positif tel que
. Soit m = r + n, alors, puisque x est un nombre de Liouville, il existe des
entiers a, b > 1 tel que
ce qui contredit le lemme ; par conséquent x n'est pas algébrique, et est ainsi transcendant.
Nombre de Liouville
149
Théorème d'Erdös
Paul Erdös a démontré
nombres de Liouville.
[1]
en 1962 que tout nombre réel pouvait s'écrire comme somme et comme produit de deux
Annexes
Lien externe
• Article du 13 mai 1844 de Liouville sur les nombres transcendants (accès à l'article et analyse de M.
Mendès-France, mathématicien) (site BibNum [1])
• Le commencement des nombres transcendants (en anglais) [2]
Références
[1] Une démonstration de ce théorème est accessible dans le projet Euclide ici (http:/ / projecteuclid. org/ DPubS?service=UI& version=1. 0&
verb=Display& handle=euclid. mmj/ 1028998621)
[2] http:/ / www. math. sc. edu/ ~filaseta/ gradcourses/ Math785/ Math785Notes5. pdf
Nombre normal
En mathématiques, un nombre normal est un nombre réel qui a ses chiffres équidistribués dans son développement
décimal.
Supposons B un ensemble fini de cardinal b>1 et x un nombre réel. Si s est une suite finie de chiffres en base B, nous
écrivons N(s,n) pour le nombre d'apparitions de la suite s parmi les n premiers chiffres de x. Le nombre x est appelé
normal en base B si
Le nombre x est dit nombre normal (ou quelquefois nombre absolument normal) s'il est normal dans toute base.
Le concept fut introduit par le mathématicien français Émile Borel en 1909. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli,
il démontra le théorème du nombre normal: presque tous les nombres réels sont normaux, dans le sens où
l'ensemble des nombres non-normaux possède une mesure de Lebesgue égale à zéro. Ce théorème établit l'existence
des nombres normaux, mais Waclaw Sierpinski fut le premier à donner un exemple de l'un d'eux.
L'ensemble des nombres non-normaux n'est pas dénombrable. En effet, il y a une quantité indénombrable de réels
qui ne contiennent pas le chiffre 5 dans leur expansion décimale, et aucun de ceux-ci n'est normal.
Le nombre de Champernowne
0,1234567891011121314151617...
qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels est normal en base 10,
mais il ne l'est pas dans certaines autres bases.
La constante de Copeland-Erdős
0,2357111317192329313741...
obtenue en concatenant les nombres premiers est connue comme étant un nombre normal en base 10.
Aucun nombre rationnel n'est normal dans aucune base, puisque la suite de chiffres dans le développement des
nombres rationnels est périodique à partir d'un certain rang. Waclaw Sierpinski a fourni la première construction
explicite d'un nombre normal en 1917. Un nombre normal calculable fut construit par Verónica Becher et Santiago
Figueira ; un exemple de nombre normal non-calculable est donné par la constante de Chaitin .
Nombre normal
Il est extrêmement difficile de démontrer la normalité de nombres pourtant simples. Par exemple, on ne sait pas si
√2, , ln(2) ou e sont normaux (mais tous sont conjecturés comme normaux, conformément aux expériences). Nous
ne savons même pas quels chiffres apparaissent infiniment souvent dans le développement décimal de ces
constantes. David H. Bailey et Richard E. Crandall ont conjecturé en 2001 que tout nombre algébrique irrationnel est
normal ; bien qu'aucun contre-exemple ne soit connu, on ne connait pas non plus de nombre algébrique qui soit
normal dans une base.
Références
• Bailey, D. H. and Crandall, R. E. « On the Random Character of Fundamental Constant Expansions. »
Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online version [1]
• Becher, V. and Figueira, S. « An example of a computable absolutely normal number », Theoretical Computer
Science, 270, pp. 947-958, 2002.
• Borel, E. « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. » Rend. Circ. Mat. Palermo 27,
247-271, 1909.
• Champernowne, D. G. « The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten. » Journal of the London
Mathematical Society 8, 254-260, 1933.
• Sierpinski, W. « Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolument normaux et
détermination effective d'un tel nombre. » Bull. Soc. Math. France 45, 125-144, 1917.
Voir aussi
En informatique, un nombre normal est un nombre qui est dans un intervalle normal de format en virgule flottante.
Tout nombre normal est nombre univers.
Références
[1] http:/ / www. nersc. gov/ ~dhbailey/ dhbpapers/ baicran. pdf
150
Nombre univers
151
Nombre univers
Un nombre univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de
longueur finie, pour une base donnée. Ainsi, si l'on se donne une manière de coder un livre selon une suite de
chiffres (ce qui est le cas dans un format informatique), on trouvera dans un nombre univers tous les livres déjà écrits
et à venir. Mais on ne peut bien sûr pas en tirer une quelconque information : ce serait aussi efficace que de générer
une succession aléatoire de lettres et de réessayer jusqu'à obtenir le livre que l'on cherche, et cela suppose de le
connaître déjà lettre par lettre.
La constante de Champernowne est un exemple de nombre univers en base 10. À l'heure actuelle, on ne sait pas si Pi
possède cette propriété.
Articles liés
• La Bibliothèque de Babel
• Paradoxe du singe savant
Nombre constructible
Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points
constructibles à la règle (non graduée) et au compas. Ainsi,
est un nombre constructible, mais ni
ni ne
le sont.
C'est du moins ainsi que le définissaient les mathématiciens grecs et tous ceux qui, à leur suite, ont cherché à
déterminer quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon.
Du temps de la mathématique grecque, on distinguait les problèmes dont les solutions ne faisaient intervenir que des
droites et des cercles dans le plan, de ceux faisant intervenir d'autres procédés (utilisation de courbes dites «
mécaniques » telles la spirale d'Archimède ou les conchoïdes, utilisation de coniques pour les problèmes dits
solides...). Cette distinction est à la source de problèmes célèbres comme la quadrature du cercle, la trisection de
l'angle et la duplication du cube.
Les mathématiciens, jusqu'au XVIIe siècle n'accordaient aucune réalité concrète aux nombres négatifs. Il est
cependant commode d'appliquer la définition, non seulement à des longueurs, mais également à des coordonnées de
points constructibles.
Définition d'un nombre constructible
On donne ici une définition mathématique précise de la notion de point constructible (sous-entendu, à la règle et au
compas). Remarquons que ni le vocabulaire intermédiaire introduit ni les notations ne sont classiques. On les a
introduits pour décomposer proprement ce concept mathématique.
Points constructibles
Points constructibles en 1 étape
Soit
un sous-ensemble du plan euclidien, qu'on assimile ici à
constructible en 1 étape à partir de
si, et seulement si,
. On dit qu'un point
est un point de
deux objets quelconques parmi :
• l'ensemble des droites qui passent par deux éléments distincts de
;
ou si
est
est dans l'intersection de
Nombre constructible
152
• l'ensemble des cercles centrés en un point de
et dont le rayon est la distance de deux quelconques points de
.
On note
l'ensemble des points constructibles en 1 étape à partir de
On peut remarquer que si
est fini, alors,
.
l'est aussi.
Points constructibles en n étapes
Partant des mêmes données, on définit, naturellement et par récurrence, l'ensemble
en
étapes à partir de
. Pour
des points constructibles
, c'est la construction précédente. Sinon, on pose :
.
Points constructibles
Enfin, comme on s'y attend, l'ensemble des points constructibles à partir de
(croissante) des
constructible en
, c'est-à-dire : un point
, qu'on note
est dit constructible à partir de
, est la réunion
s'il existe
tel que
soit
étapes.
Nombres constructibles
On se place dans le même cadre, c'est-à-dire le plan euclidien assimilé à
; on se donne
un sous-ensemble de
.
Un nombre
est dit constructible à partir de
s'il est l'abscisse d'un point constructible à partir de
Un nombre constructible est un nombre qui est constructible à partir de l'ensemble
.
.
Rappel sur quelques constructions possibles
A l'aide d'une règle et d'un compas, on peut construire des cercles et des droites, bien sûr, mais aussi des parallèles et
des perpendiculaires :
Parallèle à une droite (AB) passant par un point C.
Nombre constructible
On construit le quatrième point X du parallélogramme ABCX en :
• traçant un arc de cercle de centre C et de rayon BA ;
• et un arc de cercle de centre A et de rayon BC ;
Perpendiculaire à une droite (AB) passant par un point C extérieur à cette droite ; symétrique d'un point C par
rapport à une droite (AB).
On utilise les propriétés des symétries axiales en traçant :
• le cercle de centre A passant par C ;
153
Nombre constructible
• le cercle de centre B passant par C.
Ces cercles (si C n'appartient pas à la droite (AB)), ont deux points d'intersection : C et un autre point C' tel que la
droite (CC') est perpendiculaire à (AB). On peut remarquer que C' est le symétrique du point C par rapport à la droite
(AB).
Symétrique d'un point C par rapport à un point A.
Le cercle de centre A passant par C et la droite (AC) ont deux points d'intersection : C et C', tel que C' est le
symétrique de C par rapport à A.
Opération sur les nombres constructibles
Addition
Soustraction
À condition que x > y
Multiplication
Une simple utilisation du théorème de Thalès permet de dire que 1×z = x × y
154
Nombre constructible
Division
La même utilisation du théorème de Thalès permet de dire que
Ces observations permettent de dire que l'ensemble des nombres constructibles (si on accepte les distances négatives)
est un corps commutatif. Les Grecs ont ainsi pu établir que tous les nombres rationnels positifs étaient constructibles.
Mais leur première surprise est venue de la dernière opération.
Extraction de racine carrée
On utilise le fait que, dans un triangle rectangle en A, si H est le pied de la hauteur issue de A, on a
BH×BC = BA2
C'est une conséquence immédiate du fait que les triangles ABC et HAB sont semblables et de la propriété du triangle
rectangle inscrit dans un demi-cercle.
On trace donc la longueur x = BC, puis le cercle de diamètre BC, puis le point H tel que BH = 1, puis la
perpendiculaire à (BC) menée par H, puis le point A intersection de cette perpendiculaire avec le cercle. BA2 = 1×x
assure que
Les racines carrées sont donc constructibles.
155
Nombre constructible
Ensemble des nombres constructibles
Les opérations précédentes permettent donc de dire que tout rationnel est constructible, mais aussi que la racine
carrée d'un rationnel est constructible et même que l'on peut, avec de la patience, construire le nombre suivant:
L'intuition semble dire que les seuls nombres constructibles sont ceux pouvant s'écrire uniquement à l'aide des 5
opérations précédentes. Il faut attendre les travaux de Pierre-Laurent Wantzel, qui, grâce aux travaux de Gauss sur
les polygones constructibles, peut énoncer son théorème de Wantzel et affirmer que les seuls nombres constructibles
sont ceux de cette forme (plus exactement sont dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une...
d'une extension quadratique de Q). Une telle construction s'appelle une tour d'extension quadratique.
On peut exprimer ce résultat différemment : l'ensemble des nombres constructibles (à la règle et au compas) est le
plus petit corps stable par racine carrée.
Grâce à ce théorème, tombent deux des problèmes de l'antiquité : la trisection de l'angle et la duplication du cube, qui
reviennent à résoudre une équation de degré 3 (donc extension impaire). L'ensemble des nombres constructibles ne
regroupe donc qu'une petite partie de l'ensemble des nombres algébriques. L'article tour d'extension quadratique
propose une démonstration rigoureuse de ces résultats.
Le problème de la quadrature du cercle tombera un peu plus tard, quand Ferdinand von Lindemann aura prouvé en
1882 que π n'est pas algébrique, c’est-à-dire n'est solution d'aucune équation de degré n à coefficients dans Q. le
nombre π ne peut donc pas se trouver dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une... d'une
extension quadratique de Q.
Variantes de constructibilités et liens avec la constructibilité à la règle et au
compas
On obtient des variantes de nombres constructibles :
• soit en affaiblissant les outils utilisés (utilisation de la règle seule, utilisation du compas seul, utilisation de la
règle et du compas dont l'ouverture est bloquée, utilisation de la règle et du compas à pointes sèches permettant
seulement de reporter des longueurs, utilisation de la règle et de l'empan permettant seulement de reporter des
segments de longueur unité). On obtient des sous-ensembles des nombres constructibles, qui peuvent parfois être
égaux à l'ensemble des nombres constructibles.
• soit en renforçant les outils utilisés (utilisation du compas et de la règle graduée, utilisation de coniques ou
d'autres courbes auxiliaires). On obtient une extension des nombres constructibles.
• soit en utilisant d'autres procédés de construction (origami par exemple, ou miroir semi-réflechissant[1] ).
L'ensemble de nombres constructibles par origami dépend des règles que l'on s'autorise à employer.
Constructibilité uniquement à la règle
Des points de bases étant donnés, un point est constructible à la règle s'il est point d'intersection de deux droites,
chacune de ces deux droites passant par deux points qui sont des points de base ou des points déjà construits.
Les propriétés d'une figure constructible sont conservées par projection centrale. Ce n'est pas le cas pour les milieux,
les parallèles ou les symétries.
Il est démontré qu'il est impossible avec uniquement une règle de construire le milieu d'un segment, de mener par un
point une parallèle à une droite.
Cependant, le théorème de Poncelet-Steiner énonce que, si on se donne un cercle et son centre, alors il est possible
avec la règle seule de construire tout point constructible à la règle et au compas. Il en est de même si on se donne
156
Nombre constructible
deux cercles sécants sans leur centre, ou bien trois cercles non sécants. Ainsi, les centres de deux cercles sécants
peuvent être déterminés avec la règle seule.
Voir exemples de constructions à la règle seule.
Constructibilité à la règle et à l'empan
L'empan permet uniquement de reporter des segments de longueur unité sur une droite. Au moyen de la règle et de
l'empan, on est capable de mener une parallèle à une droite donnée, passant par un point P donné, ce qu'on ne peut
faire avec la règle seule[2] .
Soit A un point quelconque de la droite, [AB] et [BC] égaux à l'empan sur cette droite. Soit D un point de (AP). On
trace (DB) et (PC) qui se coupent en E. On trace (AE) et (DC) qui se coupent en F. (PF) est la parallèle cherchée.
Sachant tracer des parallèles, on sait également compléter un parallèlogramme à partir de trois de ces points et donc
reporter un segment de longueur quelconque sur une droite parallèle. Plus généralement, on sait reporter un segment
de longueur donnée sur une droite quelconque donnée.
157
Nombre constructible
158
Soit le segment [AB] à reporter sur la droite (AC). On trace D et E tels que AD et AE soient égaux à l'empan. On
trace la droite (DE) puis la parallèle (BC) à (DE) passant par B. Le segment [AC] est le report cherché.
Il en résulte que les constructions à la règle et à l'empan sont équivalentes aux constructions à la règle et au compas à
pointes sèches, traitées dans le paragraphe suivant.
Constructibilité à la règle et au compas à pointes sèches
Le compas à pointes sèches est un instrument permettant de reporter des longueurs sur des droites, mais non de
tracer des cercles. L'ensemble des nombres constructibles à la règle et au compas à pointes sèches est strictement
inclus dans l'ensemble des nombres constructibles à la règle et au compas[3] . Il s'agit du plus petit corps contenant
les rationnels et stable par la fonction
. Ses éléments sont les nombres constructibles à la règle et au
compas qui sont totalement réels[4] .
mais
et
sont constructibles à la règle et au compas à pointes sèches,
ne l'est pas, alors qu'il est constructible à la règle et au compas. Il en résulte que, si on peut
construire avec la règle et le compas à pointes sèches un triangle rectangle dont on donne les longueurs des deux
côtés de l'angle droit, on ne sait pas nécessairement construire un triangle rectangle dont on connaît la longueur d'un
côté et de l'hypothènuse. Autrement dit, la règle et le compas à pointes sèches permettent de construire la racine
carrée de la somme de deux carrés, mais pas la racine carrée de la différence de deux carrés.
Les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas le sont également à la règle et au compas à pointes
sèches.
Les nombres constructibles à la règle et au compas à pointes sèches sont également ceux que l'on peut construire
avec une règle et un bissecteur d'angle (y compris de l'angle plat), ou encore en utilisant les axiomes 1), 2), 3) et 4)
des origamis.
Voici quelques exemples de constructions.
Nombre constructible
Soit à tracer une bissectrice de (AB) et (AC). On porte les points D et E tels que AD = AE. On trace les parallèles à
(AB) et (AC) passant par D et E (ce qu'on sait faire). L'intersection de ces deux parallèles donne un point F tel que
(AF) est bissectrice.
Soit à construire une perpendiculaire à une droite donnée. On prend A, B et C sur cette droite de façon que AB = BC.
On trace également deux segments [BD] et [BE] de longueur égale à AB. Soit F l'intersection de (AD) et (CE). ADC
est rectangle en D, et AEC en E, de sorte que (AE) et (CD) sont deux hauteurs du triangle ACF. Si H est
l'intersection de (AE) et (CD), il suffit de tracer (FH) pour avoir la troisième hauteur. On peut alors, quitte à tracer
159
Nombre constructible
une parallèle à la perpendiculaire précédemment construite, tracer la perpendiculaire à la droite passant par un point
donné.
Constructibilité uniquement au compas
Le théorème de Mohr-Mascheroni, montré par Georg Mohr, puis par Lorenzo Mascheroni en 1797, affirme que si
une construction géométrique est possible à la règle et au compas, alors elle est possible au compas seul.
Voir aussi le problème de Napoléon qui consiste à construire au compas seul le centre d'un cercle donné, ainsi que la
construction du carré au compas seul.
Constructibilité par origami
Les constructions par origami sont les constructions géométriques par pliages de papier. Dans leur développement le
plus complet, ces constructions permettent de construire tous les nombres constructibles à la règle et au compas,
mais également de trisecter un angle ou de dupliquer un cube. Les constructions par origami sont équivalentes aux
constructions utilisant la règle et les coniques de foyer, de directrice et d'excentricité constructibles.
Constructibilité à la règle graduée et au compas
La règle graduée est une règle munie de deux graduations dont l'écart figure l'unité de longueur. Joint au compas, la
règle graduée est plus puissante que les méthodes utilisant les intersections de coniques utilisées par les Grecs
anciens pour résoudre les problèmes dits solides. Les deux instruments permettent de construire tous les points du
plan complexe obtenus à partir des rationnels en itérant résolution d'équation du deuxième ou du troisième degré, et
de résoudre certains problèmes faisant intervenir des équations du cinquième ou du sixième degré. Ils résolvent en
particulier les problèmes de la trisection de l'angle et de la duplication du cube et permettent par exemple la
construction de l'heptagone régulier, de l'ennéagone régulier et des polygones réguliers de 13, 19 ou 27 côtés. Ils ne
permettent pas de construire les polygones réguliers de 23, 29, 43 ou 47 côtés. La question reste ouverte pour les
polygones réguliers de 11, 25, 31, 41 ou 61 côtés[5] .
Voici par exemple comment on construit la racine cubique d'un nombre d inférieur à 1.
Soit OA = d, OF = 3d. On construit le triangle rectangle OAG de façon que AG soit égale à l'unité, longueur séparant
les deux graduations de la règle. On trace la parallèle (AH) à (FG) passant par A. Toutes ces constructions se font à
la règle et au compas. On utilise alors la règle graduée en la faisant passer par G, l'une des graduations devant être
sur (AH), l'autre graduation sur (OA). Une fois cette disposition atteinte, AB est égal à
.
160
Nombre constructible
161
La règle graduée permet des constructions par ajustement (ou neusis). On peut la faire passer par un point pendant
qu'une des graduations parcourt une courbe (droite ou cercle) donnée, jusqu'à ce que l'autre graduation atteigne une
autre courbe donnée. Cette deuxième graduation parcourt alors une conchoide de la première courbe, et l'utilisation
de la règle graduée revient à accepter comme constructibles les intersections de conchoïde et de cercle, ou de
conchoïde et de droite. Cependant, il n'y a pas de possibilité de tracer la conchoïde et la règle graduée ne permet pas
de construire l'intersection de deux conchoïdes.
Voici par exemple comment on peut construire un angle de
centre
et de rayon
que la première graduation A soit sur la droite
avec
[6]
. On construit à la règle et au compas le cercle de
. On dispose la règle de façon à ce qu'elle passe par l'origine O,
et la seconde B sur le cercle. La règle forme alors un angle de
.
Rajouter de nouvelles graduations à la règle par rapport aux deux existantes n'apporte aucun bénéfice.
Nombre constructible
162
À lire
• Jean Claude Carréga, Théorie des corps, la règle et le compas , Hermann 1981
• David Hilbert, Les fondements de la géométrie, rééd. Dunod (1971) ou Gabay (1997)
Voir aussi
• Construction à la règle et au compas sur la construction de polygones réguliers et une approche simplifiée du
problème.
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
John W. Emert, Kat I. Meeks, Roger B. Nelson, Reflections on a mira, Amer. Math. Monthly, 101, n°6 (juin-juillet 1994), 544-549
David Hilbert, Les fondements de la géométrie, rééd. Gabay (1995), p. 159-167
Roger C. Alperin, Trisections and totally real origamis, Amer. Math. Monthly, 112, n°3, mars 2005, 200-211
D. Auckly, J. Cleveland, Totally real origami and impossible paper folding, Amer. Math. Monthly, 102, n°3 (mars 1995), 215-226
Arthur Baragar, Constructions using a compass and twice-notched straightedge, Amer. Math. Monthly, 109, n°2, (février 2002), 151-164
Gérard Lavau, l'heptagone régulier, Feuille de Vigne, revue de l'IREM de Dijon, 86 (octobre 2002) 19-25
Nombre réel calculable
En informatique et algorithmique, un nombre réel calculable est un réel pour lequel il existe un algorithme ou une
machine de Turing permettant d'énumérer tous les chiffres de son développement décimal. Cette notion a été mise en
place et développée par Turing.
L'ensemble des réels calculables est un corps (les lois d'un corps étant calculables) dénombrable (un algorithme étant
une suite finie de lettres d'un alphabet fini, l'ensemble des algorithmes, et donc a fortiori des nombres calculables, est
dénombrable). Cet ensemble contient, par exemple, tous les nombres algébriques, ou des constantes célèbres comme
π ou γ. La plupart des réels sont donc non calculables (complémentaire d'un ensemble dénombrable), bien qu'il soit
généralement difficile de les définir (puisqu'on ne peut les calculer...). Quelques exemples remarquables existent
cependant, comme la constante Oméga de Chaitin ou les nombres définis par le castor affairé.
Construction de nombres calculables
Tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels ; ainsi s'il est possible d'expliciter un terme général
pour une telle suite, le nombre qui en est la limite est calculable.
On sait par exemple que:
Il est donc possible de déterminer des rationnels approchant π avec une précision arbitraire (la théorie sur les séries
alternées permet même de savoir pour quel entier m il faut calculer
pour avoir un nombre donné de
décimales exactes).
Mieux, tout nombre donné par une suite explicite à partir de nombres dont on a déjà montré qu'ils sont calculables
l'est également. Par exemple non seulement
est calculable car
mais
l'est également car
Nombre réel calculable
163
Donc pour toute fonction calculable, l'image d'un nombre calculable est un nombre calculable ; par exemple le
cosinus d'un rationnel donné est calculable.
En revanche, si on sait que
,
n'en est pas calculable pour autant puisque Ω ne l'est pas (d'ailleurs
n'est pas calculable sinon
le serait).
On pourrait être tenté de dire que, s'il y a un ensemble des nombres calculables, et s'il est dénombrable, l'application
du procédé diagonal de Cantor à cet ensemble fournirait bien un algorithme pour calculer un nouveau nombre, ce qui
conduirait à une contradiction.
La réponse de Turing est que l'on ignore comment attribuer un numéro à chaque nombre calculable, or ceci doit être
fait préalablement à la diagonalisation - voir le chapitre 8 de l'ouvrage de 1936 cité ci-dessous.
Nombre complexe calculable
Par extension, on appelle nombre complexe calculable un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont
simultanément calculables.
Bibliographie
• Alan Turing et Jean-Yves Girard, La machine de Turing, Editions du Seuil Paris, 1995
• On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proceedings of the London
Mathematical Society, series 2, 1936, vol 42, pp.230-265 (version en ligne [1])
• Klaus Weihrauch, Computable analysis: an introduction, Springer, Texts in theoretical computer science, ISBN
3-540-66817-9 (version en ligne [2])
Articles connexes
• Nombre définissable
• Analyse constructive
Liens externes
http://www.thocp.net/biographies/papers/turing_oncomputablenumbers_1936.pdf
Références
[1] http:/ / www. abelard. org/ turpap2/ tp2-ie. asp
[2] http:/ / eccc. hpi-web. de/ eccc-local/ ECCC-Books/ klaus_book_readme. html
Nombre transfini
Nombre transfini
Les nombres transfinis sont des nombres infinis découverts et explorés par le mathématicien Georg Cantor. Se
basant sur ses résultats, il a introduit une sorte de hiérarchie dans l'infini, en développant la théorie des ensembles.
Aspect épistémologique
Les travaux de Cantor sur la théorie des ensembles ont été à la source de nombreux paradoxes, et ont contribué à la
crise des fondements qu'ont connue les mathématiques, entre la fin du XIXe et le début du XXe siècle. Kronecker,
par exemple, a exprimé pourquoi il ne considérait pas comme mathématiquement valides les démonstrations de
Cantor faisant intervenir l'infini de deux façons différentes, en considérant l'un comme achevé et l'autre comme en
construction.
Une fameuse boutade de David Hilbert résume le choix de bon nombre de mathématiciens : « Cantor a créé pour les
mathématiciens un paradis dont ils ne se laisseront pas expulser ».
Les nombres transfinis ont peu d'applications en dehors des mathématiques à l'heure actuelle. Cela n'est pas
nécessairement significatif, ainsi que le montrent quelques exemples historiques (celui des nombres complexes, en
particulier). Toutefois, au cours du XXe siècle, les physiciens ne se sont pas montrés demandeurs de ce genre de
travaux.
Cette situation est à opposer à d'autres travaux mathématiques qui furent au contraire inspirés au départ par un souci
de formaliser et généraliser des procédés employés empiriquement en physique : le calcul opérationnel a été
formalisé par la transformée de Laplace, et les fonctions de Dirac par la théorie des distributions de Laurent
Schwartz.
Distinction importante
Un nombre entier naturel peut être utilisé pour décrire la taille d'un ensemble fini, ou pour désigner la position d'un
élément dans une suite. Ces deux utilisations correspondent aux notions de cardinal et d'ordinal respectivement. Bien
que semblables en apparence, ces deux concepts cantoriens doivent être distingués lorsque l'on s'intéresse à des
ensembles infinis.
Nombres ordinaux transfinis
En théorie des ensembles, les entiers naturels peuvent être construits avec des ensembles :
0 = {} (ensemble vide)
1 = {0} = { {} }
2 = {0,1} = { {}, { {} } }
3 = {0,1,2} =
4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, }
etc. De cette manière, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné, et l'inclusion des ensembles se traduit par un
ordre sur les entiers naturels. Cela nous conduit à la définition d'un nombre ordinal par John von Neumann : un
ensemble E est un ordinal si et seulement si E est totalement ordonné pour l'inclusion et tout élément de E est un
sous ensemble de E. Cette approche permet d'envisager les nombres ordinaux infinis, appelé aussi nombres ordinaux
transfinis.
L'existence des ordinaux infinis est assurée par l'axiome de l'infini.
Le premier nombre ordinal transfini est noté ω, dernière lettre de l'alphabet grec. Il correspond à l'ensemble des
nombres entiers naturels
.
164
Nombre transfini
Si
et
165
sont deux ordinaux, on dit que
si et seulement si
. On peut alors comparer deux
ordinaux quelconques.
Si
est un ordinal, on définit le successeur de
comme étant l'ordinal
, noté
. En itérant
l'opération, on montre qu'il existe une infinité d'ordinaux et on définit une addition entre ordinaux. Par exemple, on a
:
•
Cette addition est associative mais pas commutative. Ainsi
, mais
. On peut aussi
définir une multiplication et une exponentielle, ce qui donne lieu à une arithmétique sur les nombres ordinaux
transfinis.
•
Il existe des nombres ordinaux transfinis qui ne peuvent pas être obtenus en effectuant un nombre fini d'opérations
arithmétiques n'utilisant que les nombres ordinaux finis et . Le plus petit d'entre eux est appelé et vaut
.
Il est en outre solution de l'équation
.
Les ordinaux ne forment pas un ensemble, au sens des axiomes de la théorie des ensembles, mais une classe propre.
Cette propriété s'appelle le paradoxe de Burali-Forti, sa démonstration repose sur l'argument suivant: si l'ensemble
des ordinaux existait, il serait par définition un ordinal qui serait strictement plus grand (par définition) que tous les
ordinaux, ce qui est contradictoire.
Nombres cardinaux transfinis
Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix, à tout ensemble correspond un cardinal, à
savoir le plus petit nombre ordinal en bijection avec cet ensemble. Le cardinal d'un ensemble fini à n éléments est n.
Le cardinal de l'ensemble infini
des nombres entiers naturels est noté
(aleph-zéro), utilisant la première
lettre de l'alphabet hébreu.
est le plus petit nombre transfini cardinal. Il est plus grand que tout entier naturel.
Deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'ils sont en bijection. Ainsi, le cardinal de tout ensemble dénombrable
infini est aussi
, c'est le cas par exemple de l'ensemble des nombres algébriques. De manière plus générale, on
montre que les ensembles des types suivants sont infinis dénombrables
• l'union de
avec un ensemble fini
• l'union d'une suite finie d'ensembles infinis dénombrables
• le produit d'une suite finie d'ensembles infinis dénombrables
Ces propriétés se traduisent sur le nombre transfini
•
•
•
par les formules suivantes
pour tout entier naturel
pour tout entier naturel
pour tout entier naturel
Mais l'infini ne se résume pas à
. On montre à l'aide de l'argument diagonal de Cantor que l'ensemble
nombres réels n'est pas dénombrable. Si l'on note
le nombre cardinal transfini associé à
des
, on a donc
.
est parfois noté
par analogie avec les cardinaux finis car
. On a donc avec cette notation que
est en bijection avec l'ensemble des parties de
. De manière plus générale, on montre que le cardinal de
l'ensemble des parties d'un ensemble est toujours strictement plus gros que l'ensemble de départ. Ainsi,
Il existe donc une infinité de nombres cardinaux transfinis !
Se pose alors la question de savoir si
, le premier cardinal strictement plus grand que
est égal à
ou s'il
lui est strictement inférieur. Les travaux de Kurt Gödel et de Paul Cohen ont montré que cette question ne pouvait
pas recevoir de réponse dans l'axiomatique de la théorie des ensembles. cf. hypothèse du continu.
Nombre transfini
Voir aussi
•
•
•
•
•
•
•
Ensemble bien ordonné
Récurrence transfinie
Théorème de König
Théorème de Goodstein : théorème d'arithmétique dont la démonstration utilise les ordinaux
Hôtel de Hilbert
Beth (nombre)
Aleph (nombre)
Références externes
• P. Dehornoy, Cantor et les infinis, Gazette des Mathématiciens - n°121, pages 28-46, Juillet 2009 [1]
Références
[1] http:/ / smf. emath. fr/ Publications/ Gazette/ 2009/ 121/
Infiniment petit
Définition classique
En analyse, un infinitésimal est une quantité infiniment petite ou plus exactement le résultat d'une quantité discrète
ayant fait l'objet d'une subdivision à l'infini.
Définition non-standard
En analyse non standard, un réel infiniment petit (on dit aussi infinitésimal) est un nombre inférieur en valeur
absolue à tout réel standard strictement positif.
166
Infiniment grand
Infiniment grand
Infiniment grand Terme utilisé dans leurs recherches par plusieurs mathématiciens dont Blaise Pascal. L'idée serait
que l'infiniment petit tendrait vers ZERO et que l'infiniment grand tendrait vers l'infini. Ces notions sont
particulièrement utilisées pour les 'intégrales", qui visent à calculer les surfaces et volumes définis par ces formules
mathématiques. Ainsi, on parle d'intégrales de 1 à l'infini (ou 'l'infiniment grand')
Voir aussi
• Infini
167
168
Exemples d'importance historique
Pi
Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom
π (toujours en minuscule), est le rapport constant[1]
entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Il est
appelé aussi constante d’Archimède.
Le nombre π est aussi le rapport constant entre l’aire
d’un disque et le carré de son rayon.
Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.
Valeurs approchées courantes : 3,14 ; 3,1416 ; 22/7 ; 355/113
Mais π est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il n’est pas le rapport de deux nombres entiers. En fait, ce nombre
est transcendant[2] . Cela signifie qu’il n'existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.
La transcendance de π établit l’impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de
construire, à l’aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface
d’un disque donné.
π
≈
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068
Histoire
Premiers calculs
Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu’il existait un rapport constant entre le périmètre du
cercle et son diamètre, ainsi qu’entre l’aire du disque et le carré du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de 2000
ans avant J.-C. et découvertes en 1936[3] présentent des calculs d’aire conduisant à une valeur de π de 3+1/8. La
tablette propose un premier calcul qui utilise une valeur de π égale à 3. Ce calcul est suivi d’un autre présentant un
facteur correctif de 1/(57/60+36/3600).
Première approximation de π : 3
Seconde approximation :
Pi
169
Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers
l’an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d’un manuel de
problèmes pédagogique plus ancien encore. On y trouve une méthode
pour évaluer l’aire d’un disque en prenant le carré dont le côté est égal
au diamètre du disque diminué d’un neuvième. Cette méthode conduit
à une évaluation de π de 256⁄81. Dans l’illustration ci-contre, le disque a
pour diamètre 9. L’aire du disque est légèrement supérieure à l’aire de
l’octogone irrégulier obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet
octogone a pour aire 63, l’aire du disque est alors évaluée à 64 soit
l’aire d'un carré de côté 8.
Approximation de pi par Ahmès
Autre approximation :
Mais ni chez les Babyloniens, ni chez les Égyptiens, on ne décèle une volonté de mettre en évidence un nombre ni de
montrer que le rapport entre l’aire du disque et le carré du rayon est le même que le rapport entre la circonférence du
cercle et son diamètre.
Formule restant à prouver :
C’est chez Archimède, dans son traité De la mesure du cercle[4] que l’on peut lire une démonstration liant l’aire du
disque et l’aire du triangle ayant pour base le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon.
Aire du disque = circonférence × rayon =
C’est ainsi qu’il prouve que le même nombre s’utilise dans les deux formules. Dans ce même traité, Archimède
prouve que le rapport entre le périmètre du cercle et son diamètre est compris entre 3 + 10⁄71 et 3 + 1⁄7.
Encadrement de π : 3,1408 < π < 3,1429
Approximation de pi par Archimède
La première démonstration s’appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d’un
carré inscrit dans le cercle et d’un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés,
il prouve que l’aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.
Pi
170
Cercle et ses carrés inscrit et circonscrit
Cercle et ses octogones inscrit et circonscrit
Découpage du cercle en 8 portions de
camembert
Sa démonstration exploite l’idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout
à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des
triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon, la somme des bases correspond alors au
périmètre du cercle et l’aire est alors de 1⁄2 de la base multipliée par la hauteur, c’est-à-dire 1⁄2 du périmètre multiplié
par le rayon.
Déroulement des 8 portions
La seconde démonstration consiste à encadrer le périmètre du cercle par le périmètre de polygones réguliers inscrit et
circonscrit au cercle et possédant 96 côtés. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d’hexagones inscrit
et circonscrit et met en évidence les formules donnant le périmètre d’un polygone dont le nombre de côté a doublé.
Archimède s’arrête à 96 côtés car les calculs qu’il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs
pour l’époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui peut en théorie être
poursuivie indéfiniment.
Ce n’est cependant pas Archimède qui attribue à ce rapport la lettre grecque « π », première lettre des mots grecs
περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c'est-à-dire circonférence) mais William Jones en 1706. Cette
notation, reprise par Euler en 1736, est définitivement adoptée dès la fin du XVIIIe siècle[5] .
Pi
171
À la conquête des décimales
Si les calculs pratiques peuvent se satisfaire de la valeur 3,14 comme
bonne approximation de π, la curiosité des mathématiciens les pousse à
déterminer ce nombre avec plus de précision. Au IIIe siècle, en Chine,
Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport
entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe
des calculs proches de ceux d’Archimède mais plus performants et
fournit une approximation de π de 3,1416[6] . Le mathématicien
chinois Zu Chongzhi donna une approximation rationnelle encore plus
précise de π[7] : π ≈ 355/113 (dont les développement décimaux sont
identiques jusqu'à la 6ème décimale, π ≈ 3,1415926 et 355/113 ≈
3,1415929).
Encadrement de Liu Hui. Méthode développée
En Perse, en 1429, Al-Kashi calcule 14 décimales de π. En 1596,
dans en:Liu Hui's π algorithm.
toujours avec des méthodes géométriques, l’Allemand Ludolph van
Ceulen calcule 20 décimales, puis 34 en 1609. Il est si fier de son
exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu’il demande à ce que le nombre soit gravé sur sa tombe.
Ensuite, grâce au développement de l’analyse au XVIIe siècle, avec notamment les sommes et produits infinis, le
calcul des décimales de Pi s’accélère.
James Gregory (1638 - 1675) découvre la formule suivante[8] :
James Gregory(1638 - 1675)
qui permet en prenant une valeur adéquate pour x de calculer π. Cependant, il ne semble pas que ceci ait interessé
Gregory. Il souhaitait, par d'autres moyens, arriver à l'impossibilité de la quadrature du cercle en montrant la
transcendance de π, ce qui est exact mais sa méthode était erronée[9] .
En fait, la formule de développement en série de la fonction arctan avait déjà été proposée vers 1410 par le
mathématicien indien Madhava de Sangamagrama (1350-1425). Celui-ci précise les cas particuliers π/4=arctan(1) et
π/6=arctan(1/√3) :
Pi
172
La première série est remarquablement simple mais n'est guère utile pour calculer π. En effet, la précision du calcul
est de 1/(2n+1), c’est-à-dire qu’il est nécessaire de calculer 500 termes pour n’avoir une erreur que sur la troisième
décimale. La seconde, par contre, fournit une méthode de calcul plus efficace que celle d'Archimède. Elle permet à
Madhava de calculer 11 décimales de π[10] . En utilisant cette même série, Sharp en 1699 calcule 71 décimales de
π[11] .
Isaac Newton calcule 16 décimales en 1665, en utilisant le développement en série de π/6=arcsin 1/2[11] .
En 1706, John Machin utilise astucieusement le développement en série de Gregory, en établissant la formule qui
porte son nom :
et calcule 100 décimales de π[12] .
Vers 1760, Euler calcule 20 décimales en une heure (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van
Ceulen en plus de 10 ans de calcul). Le mathématicien slovène Jurij Vega calcule en 1789 les 140 premières
décimales π parmi lesquelles 137 sont correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliore la formule que John
Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui. Le mathématicien William Shanks
passe 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. En 1873, à l’aide de la formule de Machin, il présente 707
décimales de π, mais seules les 528 premières sont correctes. À l'occasion de l’exposition universelle de Paris de
1937, celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du Palais de la Découverte. L’erreur ne sera détectée
qu’en 1945, elle est corrigée depuis.
Le calcul des décimales de π s’emballe au XXe siècle avec l’apparition de l’informatique : 2037 décimales sont
calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10000 décimales sont obtenues en 1958, 100000 en 1961,
1000000 en 1973, 10000000 en 1982, 100000000 en 1989, puis 1000000000 la même année, plus de 1,24 billion en
2002 et 2,7 billions en 2010.
Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l’algorithme de Gauss-Legendre et
l’algorithme de Borwein.
L’algorithme de Salamin-Brent, donnant un très grand nombre de
décimales et inventé en 1976, s’appuie sur un vieux résultat pressenti
puis démontré par Gauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant
entre la moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2 (M(1,√2)), la
longueur de la lemniscate de Bernoulli et π. La longueur de la
lemniscate est
où r représente la distance OA entre le
centre et un sommet de la lemniscate et où
est la constante de la
lemniscate. Si on note G, la constante de Gauss, c’est-à-dire l’inverse
de M(1,√2) alors
Lemniscate de Bernoulli
L’Américain Eugène Salamin et l’Australien Richard Brent utilisent ce résultat pour un algorithme donnant les
décimales de π dont la convergence est quadratique, c’est-à-dire que le nombre de décimales justes double à chaque
étape. La conquête des décimales de π avance alors conjointement avec celle des décimales de √2[13] .
On peut voir 1000000 de décimales de π et de 1⁄π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes).
Le 6 décembre 2002 le record est battu, avec 1241100000000 de décimales, déterminées après 600 heures de calcul
en novembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 téraoctet de mémoire centrale, qui
pouvait effectuer 2000 milliards d’opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le
précédent record (206 milliards de décimales) ; les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela :
Pi
173
(K. Takano, 1982)
(F. C. W. Störmer, 1896)
Ces approximations sont tellement grandes qu’elles n’ont aucune utilisation pratique, si ce n’est tester les nouveaux
supercalculateurs.
D’autres méthodes et algorithmes sont actuellement à l’étude et mis en œuvre comme l’utilisation en parallèle
d’ordinateurs connectés sur le réseau Internet.
Parallèlement à ces recherches, d'autres algorithmes se mettent en place pour calculer directement la ne décimale de
π. En 1995, David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, découvre une nouvelle formule de
π, une série (souvent appelée formule BBP) :
Cette formule permet de calculer facilement la ne décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les
décimales précédentes. Le site de Bailey[14] en contient la dérivation et l’implémentation dans de nombreux langages
de programmation. Grâce à une formule dérivée de la formule BBP, le 4000000000000000e chiffre de π en base 2 a
été obtenu en 2001.
Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la ne décimale de π, mais cette
fois-ci en décimal[15] . Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de déterminer en base 10 un chiffre
précis et isolé de π est moins rapide que celui qui consiste à calculer tous les chiffres décimaux précédents.
En août 2009 un super ordinateur de l’université de Tsukuba au Japon trouvé 2 576 980 370 000 chiffres après la
virgule en 29 heures[16] .
Fabrice Bellard a annoncé le 31 décembre 2009[17] avoir trouvé plus de 2 699 999 990 000 chiffres après la virgules
à l’aide de son ordinateur personnel, soit 123 milliards de plus que le record précédent. Les calculs ont pris 131
jours[18] .
De la nature de π
Dès l’époque grecque, la question de la quadrature du cercle est posée :
« Peut-on, uniquement avec une règle non graduée et un compas, construire un carré dont l’aire a même
surface que celle d’un disque donné ? »
Le fait que certaines lunules soient quarables a laissé l’espoir aux mathématiciens qu’une telle construction était
possible. Réaliser la quadrature du cercle, c’est trouver une méthode permettant, lorsqu'une longueur r est donnée, de
construire à la règle et au compas la longueur r√π. Derrière la question de la quadrature du cercle, se pose la question
de la nature du nombre π . Les Grecs savaient construire toute longueur en rapport rationnel (rapport de deux entiers)
avec une autre, et même la racine carrée de celle-ci. Si π avait été rationnel, le problème aurait été terminé. Mais les
Grecs étaient incapables de statuer sur la rationalité ou l’irrationalité de π. De plus, l’irrationalité de π n’aurait prouvé
aucune impossibilité pour la construction. En effet, Euclide avait déjà prouvé que √2 était irrationnel ce qui
n’empêchait nullement la duplication du carré. Cependant, très rapidement, on pressent qu’un nombre qui ne serait
pas solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers, c’est-à-dire un nombre transcendant, a peu de chance
d’être constructible. Ce pressentiment ne deviendra une certitude que lorsque Pierre-Laurent Wantzel énoncera, en
1837, son théorème sur les nombres constructibles. Une des conséquences de son théorème permet d’affirmer qu’une
longueur constructible est toujours un nombre algébrique.
Pi
174
La question à laquelle les mathématiciens doivent répondre est donc
double :
• le nombre π est-il rationnel ?
• le nombre π est-il transcendant?
Le développement de π selon la série
Jean Henri Lambert (1728-1777)
laisse soupçonner que π n’est pas rationnel mais sans démonstration rigoureuse à l’appui. Les fractions continues
généralisées vont fournir la réponse à la question.
En 1761, dans son Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et
logarithmiques, Jean Henri Lambert étudie le développement en fraction continue de tan(x) et montre que, lorsque x
est rationnel, le développement en fraction continue de tan(m/n) est
[19]
Par conséquent, lorsque x est rationnel, le développement en fraction continue de tan(x) est illimité. Or on sait qu’un
développement illimité conduit à un nombre irrationnel. Bref, quand x est rationnel, tan(x) est irrationnel. Or
tan(π/4) vaut 1, c’est un rationnel. Par contraposée, on peut affirmer que π/4 n’est pas rationnel.
En 1873, Charles Hermite prouve que la base du logarithme népérien
le nombre e est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann
généralise son raisonnement en un théorème (Théorème
d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique, alors ex est
transcendant. Or eiπ = -1 donc eiπ n’est pas transcendant. Par
contraposée, iπ n’est pas algébrique et π est transcendant.
Mais de nombreuses questions se posent encore : π et e sont deux
nombres transcendants mais sont-ils algébriquement indépendant ou
bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à
coefficients entiers dont le couple (π, e) soit solution ? La question est
encore en suspens. En 1929, Alexandre Gelfond prouve que eπ est
transcendant [20] et en 1996, Yuri Nesterenko prouve que π et eπ sont
algébriquement indépendants.
Par ailleurs, le développement décimal de π ouvre le champ à d’autres
questions
Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939)
• Existe-t-il un nombre infini de 0 ? de 1 ? de 2 ? etc. dans le développement décimal ?
Pi
175
• Les 10 chiffres de l’écriture décimales sont-ils équirépartis ?
• π est-il un nombre univers ? C’est-à-dire, peut-on trouver dans le développement décimal de π n’importe quelle
séquence de chiffres ?
• π est-il un nombre normal ? Les séquences de n chiffres sont-elles équiprobables ?
À ce jour[21] , il n'existe pas de réponse à ces questions[22] .
π grandeur physique ?
La définition de π comme le rapport constant entre la longueur d’un cercle et son diamètre pourrait laisser penser que
cette grandeur est une grandeur physique et qu’il suffirait, pour en déterminer une valeur précise, de prendre un
cercle assez grand et d’effectuer les deux mesures correspondantes. On peut, par une expérience de l’esprit, imaginer
qu’un Chinois, ou un Babylonien, convaincu de cette méthode, se soit rendu sur une surface suffisamment vaste et
plane pour effectuer ces mesures. On peut imaginer qu’il ait poursuivi l’expérience en agrandissant fortement le
rayon du cercle. Il aurait alors eu la surprise de constater que ce rapport n’était plus constant mais variable, que ce
rapport, proche de 3,14 pour un petit cercle, tendait à diminuer quand le rayon du cercle augmentait de façon
significative. En effet, les mesures qu’il aurait effectuées sont des mesures effectuées sur la terre, c’est-à-dire sur une
sphère. En géométrie sphérique, le rapport circonférence/diamètre n’est pas constant. Le résultat énoncé
précédemment n’est valable qu’en géométrie euclidienne. Les physiciens émettent l’hypothèse que notre univers
puisse ne pas être euclidien. Dans ce cas, la circonférence d’un cercle physique ne vaudrait pas π multiplié par le
diamètre. Mais, quelle que soit la nature globale de notre univers, la théorie de la relativité indique que les masses
déforment localement notre espace. La valeur de π × d comme circonférence d’un cercle physique n’est donc qu’une
approximation qui ne nécessite pas tous les efforts de précision sur les décimales. Le nombre π n’est donc qu’une
constante mathématique utile dans un espace mathématique euclidien. Cette observation a poussé certains
mathématiciens à rechercher une définition de π moins concrète.
Formules incluant π
Les formules intéressantes contenant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des
mathématiques et des sciences. Une des plus célèbres après celles relevant de la définition géométrique de π est
l’identité d'Euler. Cette formule a été décrite comme la formule la « plus remarquable » pour sa particularité de faire
intervenir 1, 0, e, i et, bien sûr, π, qui sont parmi les nombres les plus « remarquables » des mathématiques.
Géométrie
Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères
Forme géométrique
Circonférence d’un cercle de rayon r et de diamètre d
Aire d’un disque de rayon r
Aire d’une ellipse de demi-axes a et b
Volume d’une boule de rayon r
Aire surfacique d’une sphère de rayon r
Volume d’un cylindre de hauteur h et de rayon r
Aire surfacique d’un cylindre de hauteur h et de rayon r
Volume d’un cône de hauteur h et de rayon r
Formule
Pi
176
Aire surfacique d’un cône de hauteur h et de rayon r
La surface d’un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).
π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure
d’angle 180° (en degrés) est égale à π radians.
En géométrie non euclidienne, la somme des angles d’un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport
de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π.
Définitions alternatives
La définition historique et usuelle du nombre π (le rapport de la circonférence d’un cercle et de son diamètre) est
parfois gênante pour dégager les propriétés du nombre π, qui dépassent largement le cadre de la géométrie
euclidienne. À l’instar des fonctions cosinus et sinus qui sont définies de manière intuitive grâce au cercle
trigonométrique mais de manière rigoureuse grâce aux séries entières, nous pouvons introduire une définition
analytique de π, ce qui facilite grandement l’étude de ce nombre grâce aux outils de l’analyse.
Les propriétés exp(z+w)=exp(z)exp(w) et exp(0)=1 qui découlent de la définition analytique de l’exponentielle font
que l’application
est un morphisme de groupes continu du groupe
vers le groupe
(où est
l’ensemble des complexes de module égal à 1). On démontre alors que l’ensemble des nombres réels t tels que exp(it)
= 1 est de la forme
où a est un réel strictement positif. On pose alors
. Le calcul intégral permet
ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.
Le groupe Bourbaki propose une définition alternative très voisine en démontrant l’existence d’un morphisme de
groupe f continu de
vers
tel que f(1/4) = i. Il démontre que ce morphisme est périodique de période 1,
dérivable et qu’il existe un réel a tel que, pour tout réel x, f'(x) = 2iaf(x). Il définit π comme le réel ainsi trouvé.
Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à rectifier le cercle soit avec la fonction
soit avec la
fonction
Mais on peut aussi définir π grâce au calcul intégral en posant :
ce qui revient à calculer l’aire d’un quart de disque
Ou bien à l’aide du dénombrement, en appelant
, le nombre de couples d’entiers naturels (k, p) tels que
et en définissant :
ce qui est une autre méthode de quarrer le quart de cercle.
Ou bien encore, si la fonction cosinus a été définie formellement soit par sa série entière soit par l’unique solution de
l’équation différentielle
vérifiant
et
, le nombre π peut être défini comme le plus
petit réel positif a tel que cos(a)= - 1.
Enfin, toutes les suites établies dans la section suivante fournissent une définition alternative de π.
Pi
177
Suites et séries
De nombreuses suites ou séries convergent vers π ou un multiple rationnel de π et sont même à l’origine de calculs
de valeurs approchées de ce nombre.
Méthode d’Archimède
.
Les deux suites définies par
, et
, n ≥ 3, représentent les demi-périmètres des polygones
réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour sn, exinscrit pour tn. On les exploite par des suites
extraites dont l’indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir π par passage à la
limite d’expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée. Ainsi on peut s’inspirer de
la méthode utilisée par Archimède — voir historique du calcul de π — pour donner une définition par récurrence des
suites extraites de termes
et
ou encore
et
, à l’aide des identités trigonométriques usuelles :
En utilisant les identités trigonométriques,
et
(x ∈ [0,π]), on peut
exprimer s2k+1 et s3.2k (k≥1) par emboîtements successifs de racines carrées. On obtient les formules qui suivent
pour π.
π peut alors s’exprimer sous la forme d’une formule où s'emboîtent des racines carrées :
(k est le nombre de racines carrées
emboitées)
ou encore :
Une autre expression de s2k+1, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par
√(2+√…)), conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593).
Sommes et produits infinis
•
(formule de Leibniz, James Gregory et
Madhava de Sangamagrama[8] ,[10] )
•
•
(produit de Wallis)
(formule due à Ramanujan)
Pi
178
•
(formule due à David et Gregory Chudnovsky)
Suites récursives
Suite inspirée de la formule de Brent-Salamin (1975) :
Soient trois suites
,
et
se définissant mutuellement :
on a :
A noter que le nombre de décimales correctes (en base 10) double presque à chaque itération.
Fonction zêta de Riemann
•
(Euler)
•
,
et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de π2n pour un entier positif n.
Fonction Gamma d’Euler
•
(fonction gamma d'Euler)
Fraction continue
π peut s’écrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables :
(William Brouncker)
Les démonstrations ainsi que d’autres représentations sont données dans l’article Fraction continue.
Pi
179
Théorie des nombres
La fréquence d’apparition de paires d’entiers naturels premiers entre eux parmi les paires d’entiers comprises entre 0
et N tend vers 6/π² quand N tend vers l’infini.
Le nombre moyen de façons d’écrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de
deux carrés parfaits, en tenant compte de l’ordre, tend vers π/4 quand N tend vers l’infini.
où
est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey).
Probabilité
L’aiguille de Buffon est une expérience de probabilité proposée par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et
consistant à calculer la probabilité qu’une aiguille de longueur a, lancée sur une parquet fait de lattes de largeur l, soit
à cheval sur deux lattes, cette probabilité p est :
Évaluation de π par la méthode de Monte Carlo
La méthode de Monte Carlo est une autre expérience probabiliste consiste à prendre au hasard un point dans un
carré de côté 1, la probablité que ce point soit dans le quart de disque de rayon 1 est de π/4. Les deux formules
suivantes, tirées de l’analyse trouvent des applications pratique en probabilité. L’une permet de montrer la
convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l’autre permet de calculer la densité d’une loi de Gauss.
•
•
(formule de factorielle de Stirling)
Pi
180
Voir aussi
presque sûrement, lorsque les xi sont les itérés de la fonction logistique de paramètre
appliquée à un réel x0 choisi dans l'intervalle [0, 1] (c’est-à-dire qu’on définit, pour tout i > 0,
).
Autour de π
Retenir π
Un moyen mnémotechnique est ce poème[23] où le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale,
hormis un mot de 10 lettres codé « 0 » :
Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste, ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l’espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l’orbe calculée[24] approchera ;
Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle
En 2005, un Japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83431 décimales de π en 13 heures. Il
réitéra son record un an plus tard (2006) en mémorisant et récitant publiquement 100000 décimales pendant
16 heures. Cet exploit a été homologué par le Livre Guinness des records.
Pi
181
Hommages à π
Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fête l’anniversaire de π dans certains départements mathématiques des
universités le 14 mars. Le 14 mars qui est noté « 3/14 » en notation anglo-saxonne, est donc appelé la journée de
pi[25] . On y mange des tartes (pie en anglais).
De même, le 22 juillet, noté « 22/7 », est l'occasion de fêter une approximation de π.
Le système logiciel de composition de documents TeX a choisi, en hommage à π, de nommer ses versions du nom
des approximations décimales successives de pi. La version actuelle est donc la version 3.1415926
π et culture populaire
Si π est un nombre univers, il est normal, quoique parfois surprenant, de trouver dans les décimales de π, n’importe
quelle séquence de nombres. Jean-Paul Delahaye[22] signale par exemple que la somme des 20 premières décimales
de π donne 100 ; Robert Gold, amateur de guématrie, affirme avoir trouvé, à l’aide de calculs compliqués, que les
mots clefs de la Bible étaient dans π[26] .
Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre π dans les pyramides et, plus précisément,
que π est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides[27] . Il est vrai que la
pyramide de Khéops possède une pente de 14/11, et que, par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de
22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de π , le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur
de la pyramide de Khéops est bien voisin de π . Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins
sûr[28] puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les régions et les époques, l’on trouve des
pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale) qui conduisent à un
rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné de π.
Annexes
Articles connexes
• Journée de π
• La bibliothèque de Babel
• PiHex
Bibliographie
• Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - (ISBN 2-9029-1825-9)
• Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, Paris, 1999 - (ISBN 2705614435)
• Jörg Arndt & Christoph Haenel : À la poursuite de π, Éditions Vuibert, 2006 - (ISBN 2-7117-7170-9)
Liens externes
•
•
•
•
(fr) La preuve par Lambert de l’irrationalité de π (1761), commentée sur le site BibNum [29]
(fr) Nombreuses informations historiques et mathématiques sur pi dans pi314.net [30]
(en) Site permettant une recherche de chiffres dans les 200000000 premières décimales [31]
(en) Le site Wolfram Mathematics [32] compile de nombreuses formules pour π
pcd:Pi
Pi
182
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
dans un plan euclidien
Ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882 : Lindemann, F. « Über die Zahl π », Mathematische Annalen 20 (1882), p. 213-225.
Tablettes de Suse - voir par exemple ici (http:/ / cer1se. free. fr/ principia/ index. php/ pi-et-racine-de-2-chez-les-babyloniens/ )
Voir une traduction du texte original (http:/ / www. mathkang. org/ maths/ txtarchimede. html)
Florian Cajori, A History of Mathematical Notations , volume 2, p. 9 nos 396 - 398
Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition critique. , p. 144-147
(en) D’après sa biographie sur le site de Mac Tutor (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Zu_Chongzhi.html),
dans son texte Zhui shu.
[8] attribuée souvent à Leibniz, mais découverte probablement antérieurement par Gregory, voir (en) Pi_through_the_ages.html (http:/ /
www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ HistTopics/ Pi_through_the_ages. html) sur le site de l’université de Saint Andrews. Cette formule avait
également été trouvée vers 1400 par le mathématicien indien Madhava, mais cette découverte resta inconnue du monde occidental.
[9] Voir (en) Squaring the circle (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ HistTopics/ Squaring_the_circle. html#s81), et la (en)
biographie de Gregory (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Gregory. html) sur le site de l’université de Saint Andrews
[10] (en) Biographie de Madhava (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Madhava. html) sur le site de l’université de
Saint-Andrew
[11] http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ HistTopics/ Pi_chronology. html
[12] 26 décimales suffisent pour estimer la taille de l’univers avec une précision égale à la taille d’un atome.
[13] La recherche, no 392, Décembre 2005, L’indispensable nombre π
[7]
[14] (en) site de bailey (http:/ / www. nersc. gov/ ~dhbailey/ )
[15] Voir (en) page de Simon Plouffe (http:/ / www. lacim. uqam. ca/ ~plouffe/ Simon/ articlepi. html)
[16] (en) Précédent record du 17 août 2009, détenu par Daisuke Takahashi (http:/ / www. hpcs. is. tsukuba. ac. jp/ ~daisuke/ pi. html)
[17] Site de Fabrice Bellard (http:/ / bellard. org/ pi/ pi2700e9/ announce. html) – Annonce du record
[18] (en) Fabrice Bellard, Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer (http:/ / bellard. org/ pi/ pi2700e9/
pipcrecord. pdf) [pdf], 6 janvier 2010, 11 p.
[19] Pour plus de détail voir Fraction continue et approximation diophantienne#Nombre de Pythagore
[20] La recherche, no 392, Décembre 2005, L'indispensable nombre π
[21] octobre 2008
[22] Conférence de Jean-Paul Delahaye, le nombre pi est-il simple ou compliqué consultable ici (http:/ / www. cite-sciences. fr/ francais/ ala_cite/
college/ v2/ html/ 2006_2007/ conferences/ conference_237. htm)
[23] Publié pour la première fois par the academy, d'après la Revue scientifique, 1905 (http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k215143t). Les
quatre premiers vers sont connus en 1846, dans Le livre des singularites, Gabriel Peignot, G. P. Philomneste (http:/ / books. google. com/
books?id=Xi8JAAAAQAAJ& pg=PA137& dq="Que+ j'aime+ Ã + faire+ apprendre+ un+ nombre+ utile+ aux+ sages"& hl=fr)
[24] Le mot orbe est du masculin mais ce ne fut pas toujours le cas, ceci induit à présent une faute d’accord à « calculée » que l’on peut remplacer
par « escompté », par exemple, pour conserver le bon nombre de lettres.
[25] (en) Site (http:/ / www. piday. org/ ) « officiel » de la journée de pi.
[26] Robert Gold, Dieu et le nombre pi, Éditions O. Bène Kénane, ISBN 9652227277
[27] Voir par exemple Le secret de la grande pyramide" de George Barbarin
[28] Selon The journal of the Society for the study of Egyptian Antiquities, ISSN 0383-9753, 1978, vol 8, n4, « la valeur de π apparaissant dans la
relation entre la hauteur et la longueur de la pyramide est vraisemblablement co-accidentelle »
[29] http:/ / www. bibnum. education. fr/ mathematiques/ lambert-et-l%E2%80%99irrationalite-de-p-1761
[30] http:/ / www. pi314. net/
[31] http:/ / www. angio. net/ pi/ piquery
[32] http:/ / mathworld. wolfram. com/ PiFormulas. html
Racine carrée de deux
183
Racine carrée de deux
La racine carrée de deux, notée √2, √2 ou 21/2, est définie comme le
seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne
le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C'est un nombre irrationnel,
dont une valeur approchée est
1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671
875 376 948 073 176 679 737 990 732 478
Le calcul d'une valeur approchante de √2 a été un problème
mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de
perfectionner les algorithmes de calculs d'extraction de racines carrées.
En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d'optimiser
ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de
mémoire[1] .
L'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de
côté 1 vaut √2
La longueur √2 peut être construite géométriquement de plusieurs
manières ; par exemple, par le théorème de Pythagore, l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côté 1 vaut √2.
Il est vraisemblable que √2 ait été le premier nombre reconnu comme irrationnel, c'est-à-dire ne pouvant être
exprimé comme une fraction de nombres entiers. La découverte des nombres irrationnels est généralement attribuée
à l'école de Pythagore, dont l'un des membres aurait produit la toute première démonstration d'irrationalité. Sans
pouvoir affirmer avec certitude que celle-ci concernait √2, le fait que les propriétés de ce nombre soient connues et
étudiées depuis très longtemps, et aussi qu'il est particulièrement simple d'en démontrer l'irrationalité, est un
argument pour faire de √2 « le premier irrationnel ».
Le nombre intervient dans des applications de la vie courante :
• les feuilles de papier au format international (ISO 216) ont une proportion longueur/largeur égale à √2 ;
• en musique, le rapport des fréquences de la quarte augmentée de la gamme tempérée vaut √2 ;
• en électricité, la tension maximale du courant alternatif domestique vaut √2 de la tension efficace indiquée
(généralement 110 ou 220 V) ;
• en photographie, la suite des valeurs d'ouverture du diaphragme sont les valeurs approchées d'une suite
géométrique de raison √2.
Étymologie
L'expression « racine carrée » est issue de la notation géométrique européenne qui prévalait avant la notation
algébrique, et plus particulièrement de l'une des constructions de √2 présentée au paragraphe précédent. L'expression
« radical de deux » était aussi utilisée.
Les problèmes mathématiques ont souvent été présentés sous forme géométrique avant d'être ramenés à des
expressions algébriques.
Racine carrée de deux
184
√2 dans la vie courante
Format de papier
Les formats de papier A, B et C de la norme ISO 216, d'emploi courant
hors de l'Amérique du Nord, ont été conçus pour vérifier une propriété
remarquable : une feuille coupée en deux parties égales par la largeur,
produit deux feuilles semblables à l'original ; c'est-à-dire avec le même
rapport longueur/largeur. L'aire étant diminuée d'un facteur 2, ceci n'est
possible que si ce rapport vaut √2 ; dans la pratique, les dimensions
sont arrondies.
Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à
A5 en fonction de √2.
Le rapport longueur/largeur d'une feuille de
format A est une bonne approximation de √2
Valeurs approximatives des dimensions des formats A0 à A5 exprimées en fonction de √2.
Dans la pratique, les dimensions sont arrondies.
format longueur (m) largeur (m) aire
(m²)
A0
√√2
√√2/√2
1
A1
√√2/√2
√√2/2
1/2
A2
√√2/2
√√2/(2√2)
1/4
A3
√√2/(2√2)
√√2/4
1/8
A4
√√2/4
√√2/(4√2)
1/16
Les séries B et C diffèrent de la série A respectivement d'un facteur √√2 (~ 1,19) et √√√2 (~ 1,09).
Les facteurs d'agrandissement de 200%, 141%, 71%, 50% proposés par les photocopieuses sont des approximations
de (√2)n qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou
par impression de 2n pages par feuille.
Racine carrée de deux
185
Musique
La gamme du tempérament égal se construit ainsi : le rapport de fréquences entre les notes extrêmes de l'octave est 2
; et la gamme est divisée en douze-demi tons de rapports de fréquence égaux f. Le rapport de fréquences entre la note
la plus haute et la plus basse est donc
, qui vaut, comme indiqué précédemment, 2. Le demi-ton a ainsi un
rapport f = 21/12.
Rapports de fréquences des notes de la gamme tempérée par rapport à la note la plus basse.
do do#
1
ré
ré# mi
fa
fa# sol
sol# la
la# si
do
21/12 21/6 21/4 21/3 25/12 √2 27/12 22/3 23/4 25/6 211/12 2
Dans ce système, la quarte augmentée (do–fa#) et la quinte diminuée (do-sol♭) sont égales et valent six demi-tons ;
elles ont un rapport de fréquences de √2. Le chant grégorien utilise cet intervalle, le triton, mais à la fin du Moyen
Âge celui-ci est systématiquement évité car jugé trop dissonant. Il reçoit alors le surnom de « Diabolus in Musica ».
Électricité
En électricité, la tension efficace Ueff d'un courant alternatif sinusoïdal
— par exemple les 110 V ou 220 V du courant domestique — est
reliée à l'amplitude de la tension Umax par
Umax = Ueff√2, noté aussi Û=U√2,
soit, dans la plupart des applications courantes :
Ueff ≅ 0,7 Umax.
Cela est valable plus généralement pour la valeur efficace des
grandeurs linéaires d'une onde sinusoïdale. On remarquera aussi que 20
log (U/√2) = 20 log U - 20 log √2 = 20 log U - log ((√2)^20) = 20 log
U - log 1024 ~ 20 log U - 3 On parle de bande passante à -3 décibels
Tension sinusoïdale : valeur efficace
Photographie
Les ouvertures des appareils photographiques suivent la séquence
normalisée f/1,4, f/2 f/2,8 f/4 f/5,6 f/8 f/11 f/16 f/22, f/32, etc. Le
rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de
√2, qui a été choisie de sorte à ce que le rapport de flux lumineux soit
dans un rapport 2 (flux = diamètre²). En diminuant d'un « cran »
l'ouverture on double le temps de pose nécessaire ou diminue d'un
facteur 2 la sensibilité de la pellicule requise.[2]
Diaphragme contrôlant l'ouverture d'un appareil
photo
Dans la pratique, l'ouverture indiquée est un arrondi ; l'ouverture réelle peut coller au plus proche de
existe des subdivisions sur les appareils modernes, souvent dans des rapports
ou
.
[3]
. Il
Racine carrée de deux
186
Lien entre ouverture, diamètre du diaphragme et flux lumineux reçu à pose et sensibilités
fixés.
Ouverture f/1,4
f/2
f/2,8
f/4
f/5,6
Diamètre
d
d/√2
d/2
d/2√2
d/4
Flux
I
I/2
I/4
I/8
I/16
f/8
f/11
f/16
f/22
f/32
d/4√2 d/8 d/8√2 d/16 d/16√2
I/32
I/64 I/128 I/256
I/512
Histoire
Babylone
La première représentation connue de ce nombre date du début du
IIe millénaire av. J.-C.. Il apparaît sur la tablette babylonienne YBC
7289 datant de -1700 ± 100. Il s'agit du tracé d'un carré avec ses
diagonales, avec les mesures des segments et accompagné d'une valeur
approchée de √2 écrite en système sexagésimal cunéiforme :
,
ce qui signifie très probablement 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ —
l'absence de zéro et de virgule dans la numération babylonienne rend la
notation positionnelle ambiguë — soit environ 1,41421296. Il s'agit
d'une valeur approchée au six dix-millionièmes de
, ce qui
indique qu'elle avait été obtenue de manière algorithmique, car une
telle précision de mesure leur était hors de portée.
Schéma de la tablette YBC 7289
On sait d'ailleurs que les Babyloniens savaient extraire des racines
carrées d'entiers non carrés en exploitant des formules du type de la méthode de Héron[4] (ces formules sont un cas
particulier de la méthode de Newton).
Grèce antique
Les pythagoriciens attribuèrent une grande importance à la notion de grandeurs commensurables et s'y tinrent
longtemps comme à un principe philosophique. Ils ne pouvaient concevoir qu'un nombre ne soit pas un rapport
d'entiers, le rapportant le plus souvent à des figures géométriques. Mais d'après Aristote (IVe siècle av. J.-C.), ce sont
les pythagoriciens eux-mêmes qui démontrèrent pour la première fois que
est irrationnel, à la fin du Ve siècle
av. J.-C., à savoir qu'il ne peut s'écrire comme le rapport de deux grandeurs commensurables. Cette démonstration de
l'incommensurabilité de
, supposée pour une grande part géométrique, est souvent attribuée à Pythagore, mais
elle aurait en fait été rédigée par l'un de ses disciples. Une légende rapporte que, parce que contraire aux pensées de
Pythagore sur le caractère absolu des nombres, la découverte d'un nombre irrationnel jeta un trouble au sein de
l'école et la démonstration fut dissimulée. Une autre légende mise en doute par Proclus raconte qu'Hippase de
Métaponte fut jeté à la mer et mourut noyé pour avoir révélé l'existence de cette démonstration. Beaucoup de doutes
subsistent sur ces récits. D'ailleurs certains émettent l'hypothèse qu'il ne s'agissait pas de
mais plutôt du nombre
d'or
. Platon rapporte dans son Théétète, que Théodore utilisait une méthode générale pour démontrer
l'incommensurabilité à un des racines carrées de 3, 5… 17 mais sans nous la révéler. Ainsi l'incommensurabilité de
à 1, pourrait bien avoir tout de même été établie par les pythagoriciens. La plus ancienne preuve de
l'incommensurabilité de
avec 1 qui ait traversé le temps, figure dans les textes d'Aristote (Aristote, Analytiques
Postérieurs I), qui affirme que si la diagonale du carré était commensurable avec le côté, alors un même nombre
serait pair et impair. Une autre démonstration se trouve dans le livre 10 des Éléments d'Euclide et repose sur la
méthode d'anthyphérèse, aussi appelée méthode de soustraction réciproque.
Racine carrée de deux
187
On suppose que l'algorithme de Théon de Smyrne, inspiré de la méthode d'antiphérèse, aurait été utilisé à l'époque
pour calculer des valeurs approchées de
. Il permet, en considérant les rapports de termes des deux suites
introduites par Théon et en utilisant le principe de l'encadrement, d'obtenir des valeurs approchées de
3/2, 7/5, ou 17/12.
Précisons qu'il faudra attendre Diophante pour que
comme
et les autres irrationnels, ainsi que les rationnels soient
considérés comme des nombres à part entière, algébriquement parlant.
Monde indien
On peut trouver dans le Śulbasutra de Baudhayana une approximation de
antérieure au Ve siècle av. J.-C.[5] .
Monde arabo-musulman
L'irrationalité √2 est connue du monde arabo-islamique, au moins par traduction des textes grecs. Dans ses travaux,
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (un mathématicien persan) résout des équations du second ordre par des
méthodes tant algébriques que géométriques[6] . Un de ses successeurs, Abu Kamil systématise la manipulation des
irrationnels. Ces deux mathématiciens développent et perfectionnent les algorithmes d'approximation des
irrationnels, dont √2.
Géométrie
Quelques constructions classiques de √2.
1. Le théorème de Pythagore énonce que dans un triangle ABC rectangle en C, AB²=AC²+BC². Si ce triangle est un
carré coupé en diagonale, la mesure de ses côtés peut être ramenée à l'unité, AC=BC=1, d'où AB²=1+1=2. Par
conséquent AB=√2.
2. Dans un carré, la diagonale est multiple de √2 par rapport aux côtés.
3. On peut construire un carré de surface 2. L'aire d'un carré est égale au produit de ses côtés (c × c = c²). La racine
de sa surface du carré est son côté et par construction, celui-ci est égal à √2. c² = 2 donne c = √2 ~ 1,4142. Cette
construction est à l'origine de l'expression racine carrée.
4. La duplication du carré est une construction géométrique qui vérifie l'existence du nombre √2.
Duplication du carré
intervient dans la duplication du carré. C’est-à-dire la résolution
du problème :
un carré étant donné, comment construire un carré dont la
surface est double ?
Ce problème, dont la résolution géométrique est relativement simple,
offre un double intérêt historique : d'une part, il a servi de base à une
démarche pédagogique célèbre racontée dans le Ménon de Platon (vers
400 av. J.-C.). D'autre part, il a poussé les mathématiciens à s'intéresser
à un problème qui semblait similaire mais qui se révéla insoluble dans
le cadre de la construction à la règle et au compas : la duplication du
cube.
Dans le Ménon de Platon, Socrate cherche à prouver à Ménon que la
vertu ne s'enseigne pas mais est intrinsèque. Il pose à un esclave le
problème de la duplication du carré et va l'amener à trouver « seul » la
En rouge le carré initial
En pointillé, les tracés de Socrate
En bleu, la réponse de l'esclave
Racine carrée de deux
188
solution du problème. La démarche de l'esclave suit une voie assez classique. Il propose de multiplier le côté par
deux. Socrate l'amène à trouver qu'alors l'aire est multipliée par 4. L'esclave propose ensuite de considérer un carré
dont le côté est la moyenne arithmétique du côté initial et de son double. Socrate l'amène à trouver que l'aire vaut
alors les 9/4 de l'aire initiale. L'esclave arrive à une impasse : il ne peut trouver un nombre solution du problème.
Socrate le guide alors vers la voie géométrique, il reproduit 3 carrés semblables au premier et trace une diagonale.
L'esclave poursuit le raisonnement et construit enfin la solution au problème. D'après Socrate, l'esclave a retrouvé en
lui une vérité qu'il possédait ; la démarche employée procède de la maïeutique.
On peut donc affirmer :
Le rapport entre le côté et la diagonale d'un carré est
Autrement dit, si d est la longueur de la diagonale et c celle du côté
Triangle rectangle isocèle
Dans un triangle rectangle, si les deux côtés adjacents à l'angle droit
ont une longueur égale à l'unité, l'hypoténuse a pour longueur de √2.
Ce résultat est un cas particulier du théorème de Pythagore.
La théorème de Pythagore affirme en effet que dans un triangle
rectangle, le carré de l'hypoténuse — côté opposé à l'angle droit — est
égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l'angle droit. Sur la
figure ci-contre, cela se traduit par
Sur le triangle ci-contre cela donne ainsi
.
Cela veut dire que le carré de l'hypoténuse
vaut 2. On en déduit que
Triangle rectangle isocèle de côté 1
l'hypoténuse elle-même est de longueur
.
Trigonométrie
La moitié de √2 est une quantité commune en géométrie et en
trigonométrie, car le vecteur unitaire qui fait un angle de 45° avec l'axe
des abscisses, dans un repère orthonormé, a pour coordonnées :
√2/2 = sin 45° = cos 45°
Racine carrée de deux
189
Ce nombre satisfait cette relation :
√2/2 = 1/√2 = cos 45° = sin 45°
Construction de √2 à la règle et au compas
Comme toutes les racines carrées de nombre entier,
est
constructible à la règle et au compas ; a contrario, ce n'est pas le cas de
la racine cubique de 2, par exemple.
Étant donné un segment AB de longueur unité, voici les différentes
étapes pour construire un segment de longueur
avec une règle
non graduée et un compas :
1. Tracer le symétrique B' de B par rapport à A
• Tracer le cercle C1 de centre A et de rayon AB, il coupe la
demi-droite ]BA) en B'
Construction à la règle et au compas
2. Tracer la médiatrice (AH) de [BB']
• Tracer le cercle C2 de centre B et de rayon r > AB
• Tracer le cercle C3 de centre B' et de rayon r, il coupe C2 en deux points, H et H'
• Tracer le segment [AH] il intersecte C1 en un point C.
À cette étape le segment [BC] de longueur
est construit.
Construction de √2 au compas seul
Comme tout nombre constructible à la règle et au compas,
est
constructible au compas seul. Les étapes d'une construction possible
sont :
1. Tracer quatre sommets consécutifs B, G, H, I de l'hexagone régulier
de centre A et de sommet B ; ceci permet de construire √3, l'unité
étant la longueur AB.
• Tracer le cercle C1 de centre A et de rayon AB ;
• Tracer le cercle C2 de centre B et de rayon AB, il coupe C1 en
deux points, soit G l'un d'entre eux ;
Construction au compas seul
• Tracer le cercle C3 de centre G et de rayon AB, il coupe C1 en B
et H ;
• Tracer le cercle C4 de centre H et de rayon AB, il coupe C1 en G et I ;
2. Construire un triangle rectangle ABC d'hypoténuse AC = √3 (AB = 1) ; C est l'un des deux points tel que IC = IG
et BC = BH (sachant que IG = BH = √3 > IB/2 = 1).
• Tracer le cercle C5 de centre I et de rayon IG ;
• Tracer le cercle C6 de centre B et de rayon BH (= IG), il coupe C5 en C.
À cette étape le segment [AC] de longueur
est construit.
Éléments de démonstration : IC = IG = √3, car d'après le théorème de Pythagore, les hauteurs en I et G des triangles équilatéraux de côté 1, IHA et
HAG, qui sont portées par la médiatrice de (H, A), ont pour longueur √3/2. Par construction (A et C sur la médiatrice de BI) (AC) est
perpendiculaire à (AI) et le théorème de Pythagore dans IAC donne AC² = 2..
Racine carrée de deux
190
Propriétés mathématiques principales
Irrationalité
est un nombre irrationnel : il n'est pas possible de l'écrire
de deux nombres entiers p et q.
Anciennement, on parlait d'incommensurabilité de
, c'est-à-dire sous la forme d'une fraction
et 1 : il n'existe pas d'unité u permettant de mesurer à la fois
le côté d'un carré et sa diagonale ; ce qui se traduit mathématiquement par la proposition suivante : il n'existe pas p et
q entiers tels que :
.
Ces deux formulations sont équivalentes.
Il existe de multiples démonstrations de l'irrationalité ; de par leur simplicité elles sont souvent utilisées à des fins
pédagogiques comme introduction à la théorie des nombres. Elles procèdent le plus souvent par l'absurde.
L'incohérence typique est l'existence d'une descente infinie d'entiers naturels ou la simplification d'une fraction
irréductible. La forme de la preuve peut utiliser des arguments purement arithmétiques ou utiliser une représentation
géométrique.
Démonstration géométrique
La démonstration qui suit est une variante
particulièrement simple de la démonstration
géométrique des anciens grecs[7] . Elle fournit
quasiment une évidence géométrique de
l'irrationalité de √2 : étant donné un triangle
isocèle rectangle dont l'hypoténuse a pour
longueur un multiple entier de la longueur des
deux autres côtés, on peut alors construire un
triangle isocèle rectangle de dimensions
strictement inférieures ayant la même propriété, ce
qui montre par descente infinie qu'un tel triangle
ne peut exister.
Si le triangle isocèle rectangle ABC avait ses côtés dans un rapport entier,
le triangle plus petit A'B'C, également isocèle rectangle, aurait aussi ses
côtés dans un rapport entier : √2 ne peut être rationnel par descente infinie.
Racine carrée de deux
191
En effet supposons
avec p et q entiers. Soit alors un triangle ABC rectangle isocèle en B de côté BA = BC
= q, son hypoténuse est ainsi AC = BA × √2= p.
Le cercle de centre A et de rayon AB intersecte l'hypoténuse [AC] en B'. Le cercle de centre A et de rayon AC
intersecte le côté [AB) en D. Le point A' est à l'intersection des droites (BC) et (B'D).
• Les triangles ABC et AB'D, ayant un angle commun et deux côtés deux à deux de même longueur, sont
isométriques. L'angle
est donc droit. Comme
est un demi-angle droit, A'B'C est isocèle
rectangle en B'. Pour des raisons analogues A'BD est isocèle rectangle en B.
• Les longueurs des côtés de ces deux triangles, sont entières, en effet :
•
•
•
•
B'C = AC - AB = p - q,
BD = AC - AB = p - q,
BA' = BD = p - q (car A'BD est isocèle rectangle en B).
A'C = BC - BA' = q - (p - q) = 2q - p.
Le triangle A'B'C est rectangle isocèle en B' de côté p - q et d'hypoténuse 2q - p, tous les deux entiers.
En continuant ainsi, on obtient une descente infinie de triangles à côtés entiers ABC, A'B'C, etc. ce qui est absurde.
On a bien montré que
ne peut pas s'écrire avec p et q entiers.
Démonstration arithmétique
On suppose par l'absurde que la racine carrée de 2 est rationnelle. Dans ce cas on pourrait écrire √2 sous forme de
fraction irréductible, c'est-à-dire que p et q n'auraient pas de facteurs premiers communs. Il en serait donc de même
pour p² et q², ce qui signifierait que p²/q² serait une fraction sous sa forme irréductible. Une telle forme étant unique,
l'égalité p²/q² = 2/1 entraînerait p² = 2 et q² = 1. La première de ces deux égalités est impossible pour p entier ; on a
donc abouti à une contradiction.
Il existe différentes variantes de cette preuve. Sous cette forme, elle demande quelques connaissances arithmétiques,
en particulier le lemme de Gauss (ou lemme d'Euclide) pour l'unicité de la forme irréductible d'une fraction. Elle se
généralise directement pour montrer l'irrationalité de la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait.
Si on s'intéresse seulement à l'irrationalité de √2, on peut en ramener l'argumentation à des considérations
élémentaires de parité comme suit : si √2 était rationnel, il pourrait s'écrire sous forme d'une fraction p/q telle qu'au
moins l'un des deux entiers p et q soit impair. Il suffit de simplifier par 2 jusqu’à que ce ne soit plus possible
(argument de descente infinie). On remarque que le carré d'un nombre impair, c'est-à-dire de la forme 2k+1, est
impair : (2k+1)² = 2(2k² + 2k)+1. Comme tout nombre est pair (de la forme 2k) ou impair, on en déduit que, si le
carré d'un nombre est pair, ce nombre ne peut être que pair. L'identité p² = 2q² impliquerait que p² et donc aussi p
seraient pairs. Il s'en suivrait que p² serait divisible par 4, donc q² par 2. À nouveau q² et donc q seraient pairs. Mais
p et q seraient tous les deux pairs, d'où contradiction.
Ces deux démonstrations se trouvent dans le livre X des Éléments d'Euclide. La deuxième est très ancienne car
Aristote y fait allusion, comme un fait bien connu.
Racine carrée de deux
192
Normalité
La normalité est un concept se basant sur la distribution des chiffres du développement décimal d'un nombre
irrationnel, à savoir si tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent dans ce développement et avec la même fréquence. En
ce qui concerne √2, on ignore s'il est normal dans le système décimal ou dans toute autre base de numération.
Degré algébrique et degré d'irrationalité
est un nombre algébrique de degré 2, dit entier quadratique, car solution de l'équation polynômiale du second
degré à coefficients entiers x² − 2 = 0 et de monôme dominant de coefficient égal à un, mais d'aucune de degré 1 de
par son irrationalité. On sait ainsi qu'il est difficilement approchable par une suite rationnelle pn/qn ; l'erreur est en
mieux en
|√2 − pn/qn| ~ 1/qn².
Comme pour tout nombre algébrique irrationnel, son degré d'irrationalité est 2.
Proportion d'argent
La proportion d'argent est une constante mathématique obtenue à partir de
:
Elle peut aussi être écrite comme une fraction continue :
= [2; 2, 2, 2, …]
On peut écrire les puissances de la proportion d'argent ainsi :
où la suite (un) est définie par récurrence :
Note : il y a une ressemblance avec les propriétés de la proportion dorée, dont les puissances successives s'expriment en fonction de φ et 1/φ et
d'une suite récurrente double.
Développement en fraction continue
√2 est relié à un certain nombre de développements en fractions continues périodiques, par propriété des entiers
quadratiques.
√2 est relié au développement en fraction continue suivant
pour 2a² − b² = 1, (a, b) entiers strictement positifs. On notera ce développement de manière plus concise :
a√2 − b = [0; 2b, 2b, 2b, …]
On en tire les valeurs suivantes de √2 :
√2 = [1; 2, 2, 2, …].
√2 = 1/5 × [7; 14, 14, 14, …]
√2 = 1/29 × [41; 82, 82, 82, …]
Plus généralement,
se relie à la fraction continue généralisée suivante :
notée sous forme plus concise
Racine carrée de deux
193
a√2 − b = [0; k, 2b; k, 2b; k, 2b; …]
avec k = 2a² − b², et (a, b) entiers strictement positifs. On en déduit les quelques développements de
suivants :
√2 = 1/2 × [3; -1, 6; -1, 6; -1, 6; …]
√2 = 1/12 × [17; -1, 34; -1, 34, -1, 34; …]
√2 = 1/70 × [90; -1, 180; -1, 180, -1, 180; …]
Éléments de démonstration : soit la suite (un) définie par la relation de récurrence un + 1 = −k/(2b + un) et εn = |un −
(a√2 − b)|. Alors on peut montrer que εn + 1 < Kεn, avec 1/|1 + 2b/(a√2 − b)| < K < 1 dans un voisinage de a√2 − b.
Développements en série et produit infini
Produits infinis
L'identité cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2 et la représentation en produit infini du sinus et du cosinus mènent aux
développements suivants
Le dernier produit peut s'écrire de manière équivalente :
Séries
Le nombre peut aussi être évalué sous forme de série par le développement de Taylor d'une fonction trigonométrique
en
:
On peut aussi utiliser la fonction
en 1:
La convergence de la dernière série peut être accélérée par le biais d'une transformation d'Euler pour donner :
Racine carrée de deux
194
Méthodes numériques d'approximation
√2 vaut approximativement 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679
737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 7
Le calcul d'une valeur approchante de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont
permis de perfectionner les algorithmes de calculs d'extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se
sont poursuivies afin d'optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire[8] .
Les méthodes numériques d'approximation présentées ci-dessous sont destinées au calcul d'un nombre important de
décimales. Elles se basent généralement sur une suite convergente de nombres rationnels ; ainsi l'itération s'affranchit
du coût de calcul sur des nombres à virgule flottante — dont il faudrait en plus connaître la précision a priori. Les
meilleures approximations par une suite rationnelle pn/qn donnent une erreur en 1/qn², une propriété de
l'approximation diophantienne des entiers quadratiques.
Méthodes à convergence linéaire
Méthode de Théon de Smyrne
On doit à Théon de Smyrne ces deux suites (pn) et (qn) définies par récurrence :
pn + 1 = pn + 2qn, p0 = 1 ;
qn + 1 = pn + qn, q0 = 1.
Ces suites sont à valeur entière strictement positive, donc strictement croissantes par récurrence, et vérifient
pn² − 2qn² = (−1)n(p0² − 2q0²)
de sorte que pn/qn tend vers √2.
On ne sait pas si l'intention de Théon de Smyrne était de calculer une valeur approchée de √2.
Solutions de l'équation diophantienne a²− 2b² = k
Les solutions entières de l'équation a² − 2b² = k sont générées par récurrence
am + 1 = 3am + 4bm
bm + 1 = 2am + 3bm
à partir des valeurs initiales (a0, b0) = (1, 1) pour k = −1 et (3, 2) pour k = 1.
Cette méthode est déduite de celle de Théon : chaque itération de la présente correspond à deux itérations de celle-là.
Ainsi, an/bn tend linéairement vers √2.
Les premières solutions sont :
• k = −1 : (1, 1), (7, 5), (41, 29), (239, 169), (1393,985),
• k = 1 : (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378).
Les deux approximations mises en gras furent utilisées en pratique par les arpenteurs anciens :
• 28 : 20 avec l'erreur relative de – 1,0051 %, brièvement au début du IIIe millénaire av. J.-C. par les Égyptiens
Anciens (cf. le remen de construction) et
• 99 : 70 avec l'erreur relative de + 0,0051 %, tout au long de l'histoire et dans beaucoup de pays dans la
triangulation rationnelle du carré selon les arpenteurs.
Racine carrée de deux
195
Méthode de Théon généralisée
On se donne (a, b), obtenues par la méthode de Théon, qui sont donc solutions de l'une des deux équations
diophantiennes précédente 2b² = a² - k = K, avec k = ±1 et K> 1. On peut alors écrire
√2 = a/b √[K/(K + k)]
Les suites pn et qn définies par
pn + 1 = (2K + k)pn + 2Kqn, p0 = 1 ;
qn + 1 = (2K + 2k)pn + (2K + k)qn, q0 = 1.
vérifient
(K + k)pn + 12 - K qn + 12 = (K + k)pn2 - K qn2 = … = k,
et donc, de la même façon que ci-dessus, la suite pn/qn converge vers √[K/(K + k)]. De plus, si k = 1, cette suite est
croissante donc approche cette valeur par défaut, et si k = -1, elle est décroissante donc approche cette valeur par
excès.
On peut utiliser cette relation pour estimer l'erreur :
εn + 1 ≈ εn (4K + 3k)−2
et c'est une majoration si k= 1. La convergence est donc linéaire : elle fait gagner un nombre à peu près constant de
décimales à chaque itération.
Cette méthode correspond à une généralisation de la méthode du paragraphe précédent au radical √[K/(K + k)]. Pour
K plus grand, la suite qn croit plus rapidement, donc la convergence est accélérée.
Premières approximations de √2 = 17/12 √(288/289) par approximation linéaire de √(288/289).
Les paramètres sont a = 17, b = 12, K = 288, k = 1. On a
εn + 1 < 7,5 × 10-7εn (avant approximation décimale des quotients).
itération
valeur fractionnaire
décimales exactes
0
1
1
1
19601/13860
1,41421356
2
22619537/15994428
1,41421356237309
3
26102926097/18457556052
1,41421356237309504880
4
30122754096401/21300003689580 1,41421356237309504880168872
Développement en fraction continue
Une autre méthode consiste à approcher a√2 − b par sa fraction continue généralisée pour (a, b) solutions de
l'équation diophantienne 2a² = b² + k, avec k = ± 1 :
a√2 − b = [0; k, 2b; k, 2b; k, 2k, …].
m√2 − n est approximé à l'aide de la suite (pn/qn) déterminée par la relation de récurrence
pn + 1 = qn
qn + 1 = 2bqn + kpn
L'erreur vérifie asymptotiquement
εn + 1 < |a√2 − b|/(2b − 1) εn
Racine carrée de deux
196
Premières approximations de √2 par approximation linéaire de 169√2 − 239. Les paramètres
sont a = 169, b = 239, k = 1, εn + 1 ~ 4 × 10−6 εn.
itération
valeur fractionnaire
décimales exactes
0
1
1
1
114243/80782
1,414213562
2
54608393/38613965
1,41421356237309
3
26102926097/18457556052
1,41421356237309504880
4
12477253282759/8822750406821 1,4142135623730950488016887
Développement de Taylor
On se donne (a, b) solutions de l'équation diophantienne 2a² = b² + k = K, avec k = ±1. On peut alors écrire le
développement de Taylor de √[K/(K − k)]
et utiliser √2 = b/a √[K/(K − k)]
Dans le cas √2 = 7/5 √(50/49), ce développement se simplifie de façon remarquable comme l'a fait remarquer
Leonhard Euler en 1755 :
Approximation √2 = 239/169 √(57122/57121) par le développement de Taylor du radical
fractionnaire. Les paramètres sont a = 239, b = 169, K = 57122, k = 1.
itération
valeur fractionnaire
décimales exactes
0
1
1
1
239/169
1,4142
2
6238763163557/4411471739168
1.41421356237309
3
712741258857407103/503984177369508992
1.414213562373095048
4
325705649507622468308893/230308673437608741128192 1.414213562373095048801688
Dichotomie
Il est possible d'approcher √2 par bissection. Cette méthode est de convergence linéaire lente : on gagne trois
décimales à chaque dizaine d'itérations.
Méthode à convergence quadratique
La méthode de Newton appliquée à la fonction racine carrée permet de calculer une valeur approchée de √2 de
manière itérative avec une convergence quadratique, c'est-à-dire doublant le nombre de décimales à chaque itération.
La récurrence a la forme
un + 1 = un/2 + 1/un
Cet algorithme s'appelle méthode de Héron ou méthode babylonienne car il semble que ce soit celle utilisée par les
babyloniens pour trouver des valeurs approchées de racines carrées.
Racine carrée de deux
197
Si l'on s'intéresse aux fractions successives à partir d'une valeur initiale p0 et q0, la récurrence sur le numérateur et le
dénominateur sont
pn + 1 = pn² + 2qn²
qn + 1 = 2pnqn
Premières approximations de √2 données par la méthode de Newton.
itération
valeur fractionnaire
décimales exactes
0
1
1
1
3/2
1
2
17/12
1,41
3
577/408
1,41421
4
665857/470832
1,41421356237
5
886731088897/627013566048 1,41421356237309504880168
Méthodes cubiques
Méthode de Halley
Un exemple de méthode cubique s'obtient par l'itération de Halley. Elle cherche le zéro de f(x) = x² − 2 en utilisant
les deux premières dérivées. La solution itérative est
xn + 1 = xn × (xn² + 6)/(3xn² + 2)
soit en posant xn = pn/qn :
pn + 1 = pn(pn² + 6qn²)
qn + 1 = qn(3pn² + 2qn²)
Cette méthode est de convergence cubique : le nombre de décimales exactes triple à chaque itération.
Premières approximations de √2 données par la méthode cubique.
itération
valeur fractionnaire
décimales exactes
0
1
1
1
7/5
1,4
2
1393/985
1,414213
3
10812186007/7645370045 1,414213562373095048
4
—
1,4142135623730950488
016887242096980785696
718753769480731766797
Racine carrée de deux
198
Méthode de Householder
L'itération de Householder appliquée à f(x) = 1/x² − 1/√2 donne une suite convergeant vers 1/√2 :
xn + 1 = xn + xn/8 × (2xn² − 1)(6xn² − 7)
Méthodes d'ordre supérieur
On utilise une méthode de Newton modifiée[9] pour trouver le zéro de f(x) = 1/x² − 1/2. Cela donne la suite
récurrente :
xn + 1 = xn + xn/16 × (8hn + 6hn² + 5hn³)
avec
hn = 1 − xn²/2
Cette méthode est de convergence quartique, i.e. d'ordre 4 : le nombre de décimales exactes quadruple à chaque
itération.
Premières approximations de √2 données par la méthode quartique.
itération
valeur fractionnaire
décimales exactes
0
3/2
1
1
23169/214
1,414
2
57367317478181003155381859082363/2105 1,41421356237309
3
—
1,41421356237309
5048801688724209
6980785696718753
76948073176679737
Il existe des méthodes d'ordre supérieur[10] , notamment parmi les méthodes de Householder.
Bibliographie
•
•
•
•
Benoît Rittaud, Le Fabuleux Destin de √2, Le Pommier, 2006, (ISBN 2746502755)
Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, Hermann, 1974, (ISBN 978-2705657789)
Bertrand Hauchecorne et Daniel Suratteau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipses, (ISBN 978-2729846831)
Denis Daumas, « Sur la démonstration de l'irrationalité chez les grecs », in La démonstration mathématique dans
l'histoire, IREM de Lyon
• (en) David Henderson Square Roots in the Sulbasutra, Geometry at Work: Papers in Applied Geometry (editor,
C. A. Gorini), MAA Notes Number 53, pp. 39-45, 2000, en ligne [11] sur le site de l'auteur
• (en) Eleanor Robson & David Fowler, « Square root approximations in Old Babylonian mathematics : YBC 7289
in context », Historia Mathematica, 25, pp. 366-378, 1998 [pdf]
Racine carrée de deux
Voir aussi
Articles connexes
•
•
•
•
Racine carrée
Livre X des Éléments d'Euclide
Nombre irrationnel
Nombre algébrique
Liens externes
• (fr) Racine de 2 [12], Benoît Rittaud (ressources en ligne autour du livre Le Fabuleux Destin de √2, consulté le 24
août 2006)
• (en) Square root of 2 is irrational [4], Alexander Bogomolny (9 démonstrations de l'irrationalité de √2, consulté le
23 août 2006)
• (en) Pythagoras' Constant √2 [13], Xavier Goudon et Pierre Sebah (diverses approximations rationnelles de 2,
visité le 23 août 2006)
• (en) Pythagoras's Constant on Math World [14] (consulté le 23 août 2006)
• Ludmila Duchêne et Agnès Leblanc, Exercice de styles (démonstrations de l'irrationalité de racine de 2), 2009
[pdf]
La version du 19 avril 2007 de cet article a été reconnue comme « bon article », c'est-à-dire qu'elle répond à des critères de qualité
concernant le style, la clarté, la pertinence, la citation des sources et l'illustration.
Références
[1] La plupart des logiciels mathématiques, sur ordinateurs ou sur machines à calculer, utilisent des approximations pré-établies de cette
constante - au moins jusqu’à un certain rang.
[2]
[3]
[4]
(en) A Tedious Explanation of the f/stop (http://www.uscoles.com/fstop.htm), Matthew Cole, 2005 (visité le 29 août 2006)
(en) f/Calc Manual (http://tangentsoft.net/fcalc/help/)
(en) Square root approximations in Old Babylonian mathematics : YBC 7289 in context (http://www.hps.cam.ac.uk/dept/
robson-fowler-square. pdf) - Eleanor Robson & David Fowler, Historia Mathematica, 25, pp. 366-378, 1998 [pdf]
[5] Voir (fr) Quelques aspects arithmétiques du commentaire de Dvarakanatha sur la géométrie du Sulbasutra, Jean-Michel Delire,
Oriens-Occidens, n°4 (2002) ; (en) Square Roots in the Sulbasutra (http:/ / www. math. cornell. edu/ ~dwh/ papers/ sulba/ sulba. html),
David W. Henderson ; (fr) La Diagonale du carré (http:/ / www. enseignement. be/ download. php?do_id=3020& do_check=), 5.2 [pdf]
[6] (en) Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ history/ Mathematicians/ Al-Khwarizmi.
html)
[7] présentée par Tom Apostol, in Apostol Tom M. (November 2000). "Irrationality of The Square Root of Two — A Geometric Proof". The
American Mathematical Monthly 107 (9): 841–842, accès en ligne restreint (http:/ / www. jstor. org/ stable/ 2695741)
[8] La plupart des logiciels mathématiques, sur ordinateurs ou sur machines à calculer, utilisent des approximations pré-établies de cette
constante - au moins jusqu’à un certain rang.
(en) Newton's iteration (http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/newton.html), Xavier Gourdon & Pascal Sebah,
2001, visité le 24 août 2006
[10] (en) Pythagoras' Constant √2 (http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ Sqrt2/ sqrt2. html), Xavier Gourdon & Pascal Sebah,
2001, visité le 24 août 2006
[11] http:/ / www. math. cornell. edu/ ~dwh/ papers/ sulba/ sulba. html
[12] http:/ / www. math. univ-paris13. fr/ ~rittaud/ RacineDeDeux
[13] http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ Sqrt2/ sqrt2. html
[14] http:/ / mathworld. wolfram. com/ PythagorassConstant. html
[9]
199
Nombre d'or
200
Nombre d'or
Le nombre d'or est la proportion, définie initialement
en géométrie, comme l'unique rapport entre deux
longueurs telles que le rapport de la somme des deux
longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui
de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est à dire
lorsque (a+b)/a = a/b. Le découpage d'un segment en
deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par
Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le
nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre
φ (phi) en l'honneur du sculpteur Phidias qui l'aurait
utilisé pour concevoir le Parthénon.
La proportion définie par a et b est dite d'extrême et de moyenne
raison lorsque a est à b ce que a + b est à a - Soit lorsque (a+b)/a =
a/b. Le rapport a / b est alors égal au nombre d'or.
Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x2 = x + 1. Il vaut exactement :
soit approximativement 1,618 033989. Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle d'or.
Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et permettent de définir une arithmétique du nombre d'or
source de nombreuses démonstrations.
L'histoire de cette proportion commence à une période reculée de l'antiquité grecque. À la Renaissance, Luca Pacioli,
un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme divine proportion
en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique,
principalement au cours des XIXe et XXe siècles où naissent les termes de section dorée et de nombre d'or.
Le nombre d'or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les étamines du tournesol ou
dans certains monuments à l'exemple de ceux conçus par Le Corbusier. Il est aussi étudié comme une clé explicative
du monde, particulièrement pour la beauté. Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre
scientifique ou mystique : omniprésence dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou
dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique.
Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie plus ou moins vaste de
cette vision, soutenue par des livres très populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature
et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et
des hypothèses inexactes.
Nombre d'or
201
Géométrie
Proportion
Figure 1Les triangles OAB et OCA sont semblables si et seulement
si les longueurs a et b respectent la proportion d'or.
Le nombre d'or possède une première définition d'origine géométrique, fondée sur la notion de proportion :
Définition de la proportion d'or — Deux longueurs strictement positives a et b respectent la proportion d'or si et
seulement si, le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a :
Il existe une interprétation graphique de cette définition, conséquence des propriétés des triangles semblables
illustrée par la figure 1. Les segments bleus sont de longueur a et le rouge de longueur b. Dire que la proportion
définie par a et b est d'or revient à dire que les triangles OAB et OCA sont semblables. Euclide exprime la proportion
d'or, qu'il appelle extrême et moyenne raison, de la manière suivante : Une droite est dite coupée en extrême et
moyenne raison lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit.
Si a et b sont en proportion d'extrême et de moyenne raison, alors le rapport a / b est constant, ce qui donne une
nouvelle définition du nombre d'or :
Définition du nombre d'or — Le nombre d'or est le nombre réel positif, noté φ, égal à la fraction a / b si a et b sont
deux nombres en proportion d'extrême et de moyenne raison. Il est donné par la formule :
La proportion (1), définissant la proportion d'or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliant
l'égalité par a / b :
Ce qui revient à dire que φ est solution d'une équation du second degré. Cette propriété donne lieu à une troisième
définition :
Définition alternative du nombre d'or — Le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du second
degré suivante :
Cette équation est équivalente à celle indiquant que l'inverse de l'inconnue x est égal à x - 1 ou encore que le
développement décimal de 1/x est le même que celui de x, auquel on a retranché sa partie entière.
Il existe deux modes de définition du nombre d'or, celle géométrique qui s'exprime en termes de proportion et celle
algébrique qui définit le nombre comme l'unique racine positive d'une équation. Cette double approche permet de
Nombre d'or
202
résoudre un problème d'algèbre, en l'occurrence une équation du second degré, à l'aide de méthode géométrique, on
parle d'algèbre géométrique.
Rectangle et spirale d'or
Les calculs précédents permettent, à l'aide d'une règle et d'un compas
de dessiner une proportion d'extrême et de moyenne raison. La
méthode est illustrée sur la figure de gauche. On dessine un cercle de
centre C et de rayon 1 (en orange). Puis, de l'extrémité du rayon, on
élève un segment (en vert) perpendiculaire au rayon, de longueur 1/2,
et on trace le cercle de centre C' et de rayon 1/2. Le segment bleu qui a
pour extrémités C et le point du cercle C' dans le prolongement de C C'
est de longueur φ.
Cette méthode permet aussi de construire un rectangle
d'or, c'est-à-dire un rectangle de longueur a et de
largeur b tel que a et b soient en proportion d'extrême
et de moyenne raison. En d'autres termes, un rectangle
est dit d'or si le rapport entre la longueur et la largeur
est égal au nombre d'or.
Pour tracer un rectangle d'or de longueur a et de largeur
b, le plus simple est de dessiner un carré de côté b. En
prenant le milieu de la base comme centre, on trace un
cercle passant par les deux sommets opposés.
L'intersection de la droite prolongeant la base du carré
Rectangles d'or et divine proportion
et du cercle détermine l'extrémité de la base du
rectangle d'or. Il apparait comme construit par
l'adjonction à un carré de côté de longueur b, d'un rectangle de côtés de longueur b et a - b, comme le montre la
figure de droite. Un rapide calcul montre que ce rectangle est encore d'or :
Il est possible de réitérer le processus précédent et d'intégrer un
carré de côté a - b dans le rectangle d'or de côté b, a - b, comme
indiqué sur la figure de gauche. Cette méthode peut être prolongée
indéfiniment. Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercle
d'extrémités deux côtés du carré, comme sur la figure, on obtient
une spirale. Ce graphique est une bonne approximation d'une
spirale d'or, d'équation polaire :
Cette spirale est un cas particulier de spirale logarithmique. Comme toute spirale de cette famille, elle possède une
propriété caractéristique, si A est un point de la spirale, l'angle entre la droite passant par le centre de la spirale et A
Nombre d'or
203
fait un angle constant avec la tangente à la spirale en A. Une telle spirale est dite équiangle.
D'autres figures se dessinent à l'aide du nombre d'or à l'instar de l'oeuf d'or[1] .
Pentagone et pentagramme
Un pentagone se construit à l'aide de la proportion
d'extrême et moyenne raison. Soit un cercle de
diamètre OP1 et de rayon a, illustré sur la figure de
gauche. Si b est le nombre réel plus petit que a tel que a
et b soit en proportion d'or, et P2, P3, P4 et P5 les
intersections du cercle de diamètre OP1 avec les deux
cercles de centre O et de rayon a + b et b, alors les cinq
points Pi définissent un pentagone.
Figure 3 : Une fois la proportion d'extrême et de moyenne raison
construite, il est simple de dessiner un pentagone.
Le pentagramme associé, c'est-à-dire la figure
composée des cinq diagonales du pentagone (cf figure
de droite), contient aussi de multiples proportions
d'extrêmes et moyennes raisons. Elles s'expriment
simplement à l'aide de triangles isocèles dont les
longueurs des côtés sont en proportion d'or. De tels
triangles sont appelés triangles d'or. Il en existe de
deux types différents, les jaunes ayant une base
proportionnelle à a et deux côtés à b et les orange ayant
une base proportionnelle à b et deux côtés à a. Les
triangles foncés sont semblables aux plus clairs de
même couleur, la proportion entre clair et foncé est
encore d'or.
Les triangles jaunes possèdent deux angles de 36°, soit
le cinquième d'un angle plat et un de 108°, soit les trois cinquièmes d'un angle plat. Un tel triangle est parfois appelé
triangle d'argent. Les triangles orange possèdent deux angles de 72°, soit les deux cinquièmes d'un angle plat et un
angle de 36°. Avec des triangles d'or et d'argent dont les côtés sont toujours a et b, il est possible de paver
intégralement un plan euclidien de manière non périodique. Un tel pavage est dit de Penrose.
Nombre d'or
Trigonométrie
L'analyse des mesures des triangles d'argent et d'or
permettent de déterminer les valeurs trigonométriques
associées au pentagone. Considérons un triangle
d'argent de base φ et donc de côtés adjacents de
longueur 1. Ce triangle, coupé en son milieu, comme
sur la figure de droite, est un triangle rectangle
d'hypoténuse de longueur 1. Sa base est de longueur
φ/2 car elle correspond à la demi-base du rectangle
d'argent. On en déduit que le cosinus de 36° est égal à
φ/2. Un raisonnement analogue s'applique au triangle
d'or. Les côtés ont toujours une longueur 1, la base est en proportion d'or donc de longueur φ - 1. On en déduit que le
cosinus de 72° est égal à (φ - 1)/2. À partir de ces valeurs et de différentes formules, il est possible de calculer les
images par les fonctions trigonométriques des multiples ainsi que les moitiés de l'angle 36°.
Une autre manière de déterminer les différentes valeurs caractéristiques d'un pentagone consiste à utiliser le plan
complexe. Les sommets sont les racines du polynôme cyclotomique X5 - 1. Sa résolution est particulièrement aisée
car 5 est un nombre premier de Fermat, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que 5 est égal à 2n + 1. Si p est un
nombre premier, le polynôme régulier à p côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si, p est un
nombre de Fermat. Dans ce cas, l'extraction des racines du polynôme cyclotomique s'obtient à l'aide de résolution
d'équations du second degré. Ce cas est traité dans l'article Polynôme cyclotomique.
Arithmétique
Un autre chemin que celui de la géométrie permet de mieux comprendre les propriétés du nombre d'or,
l'arithmétique. Elle met en évidence ses propriétés algébriques ainsi que les profondes relations entre des sujets
apparemment aussi différents que la suite de Fibonacci ou sa relation avec de difficiles équations diophantiennes.
Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont entiers et dont les solutions recherchées sont
entières. Pour citer un exemple célèbre, celui-ci correspond à un cas particulier du dernier théorème de Fermat :
Il fut résolu[2] par Dirichlet (1805 - 1859) en 1825, ce qui lui valut une célébrité immédiate. Carl Friedrich Gauss (1777 e
1855), un mathématicien du XIX siècle disait des problèmes de cette nature : « Leurs charmes particuliers vient de la
simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. »[3]
À l'aide d'outils un peu ésotériques, comme la fraction continue ou l'entier algébrique, une arithmétique du nombre
d'or, plus communément appelé arithmétique de Dirichlet, se dessine. Les repères sont modifiés par rapport à ceux
des entiers naturels. Le nombre d'or est considéré comme un entier à cause de son analogie avec la situation plus
classique. On ajoute en général le terme algébrique ou quadratique pour marquer la différence. Dans cet univers, 19
n'est pas un nombre premier, au sens de Dirichlet.
204
Nombre d'or
Fraction continue
La fraction continue est une manière d'approcher un nombre réel, dans le cas du nombre d'or, elle est simple. On peut
l'approcher par les valeurs 1 ou 1 + 1/1. La fraction suivante est plus précise :
Le prolongement à l'infini de cette méthode donne exactement le nombre d'or :
Le fait que la fraction ne s'arrête jamais montre que le nombre d'or n'est pas un nombre rationnel. Une démonstration
est proposée dans l'article détaillé. On reconnaît, sous la première barre de fraction l'expression du nombre d'or. On
en déduit plusieurs expressions algébriques de φ :
La dernière formule donne une nouvelle expression du nombre d'or :
Cette propriété possède des conséquences remarquables si φ est utilisé comme base d'un système de nombre (voir
base d'or).
La fraction continue approximant le nombre d'or possède systématiquement la plus petite valeur possible pour
chacun de ses coefficients, à savoir 1. En conséquence, il est le nombre irrationnel qui s'approxime le plus mal par
des rationnels. On dit de lui qu'il est le plus irrationnel des nombres réels[4] (cf. Théorème d'Hurwitz).
Suite de Fibonacci
Le calcul des couples de numérateurs et dénominateurs obtenus par la fraction continue donne les valeurs suivantes
(1,1), (2,1), (3,2), (5,3) ... le dénominateur correspond au numérateur de la fraction précédente. Il est aussi égal au
nième terme de la suite de Fibonacci (un). Elle est définie par récurrence :
Les deux premiers termes sont égaux à 1 et les autres à la somme des deux précédents. Pour obtenir une bonne
approximation du nombre d'or, il suffit de choisir une valeur de n suffisamment élevée et considérer la fraction
un+1/un. En terme mathématiques, cela s'exprime sous la forme suivante :
La vitesse de convergence est grande, la différence entre un+1/un et φ est, en valeur absolue, inférieure au carré de un.
Si la suite de Fibonacci permet de déterminer une approximation du nombre d'or, la réciproque est vraie. Plus
exactement, on dispose de la formule suivante :
La valeur |1-φ|n ne fait que diminuer lorsque n s'accroît, elle est toujours suffisamment petite pour pouvoir être
négligée, il suffit de prendre l'entier le plus proche de l'expression précédente en négligeant le terme en (1 - φ)n, on
obtient :
205
Nombre d'or
Cette propriété est vérifiée pour toute suite définie par la relation de récurrence un+2 = un+1 + un, indépendamment
des valeurs prises par u1 et u2.
Équation diophantienne
La fraction continue offre des rationnels b/a offrant presque des solutions à l'équation qui s'écrit sous les formes
suivantes :
L'égalité stricte à zéro est impossible, elle n'autorise que les solutions triviales. En effet, aucun nombre rationnel ne
vérifie la proportion d'or, ce qui justifie l'équation diophantienne suivante :
L'école mathématique indienne s'intéresse aux équations de cette nature. Brahmagupta développe une méthode, dite
chakravala qui permet l'étude de telles équations. Il utilise une identité, qui dans le cas présent prend la forme
suivante :
Cette identité est liée à l'équation (1) précédente et donc au nombre d'or. Si (a, b) et (c, d) forment deux couples,
solutions de l'équation (1), la partie de gauche de l'identité est égale à plus ou moins un. La partie de droite de
l'identité décrit donc une solution (e, f) si e = ac + bd et f = ad + bc + bd. La découverte d'une multiplication
particulière *, permet de construire autant de solutions que désiré, à partir d'une unique si elle n'est pas triviale :
En combinant une solution (a, b) avec elle-même on en obtient une nouvelle (a2 + b2, 2a.b + b2). Le couple (1, 1) est
solution de l'équation (1), donc le couple (2, 3) l'est aussi. Elle est d'ailleurs déjà obtenue avec la méthode
précédente. Avec la solution (2, 3) on obtient (13, 21) et avec la solution (13, 21) on obtient (610, 987). On vérifie
que le couple (610, 987) est bien une solution de l'équation :
On en déduit que la fraction 987/610 est une excellente approximation du nombre d'or. En effet, 987/610 =
1,6180327... une précision proche du millionième.
Entier de Dirichlet
Dans cette vision du nombre d'or, il existe une multiplication naturelle. L'adjonction de l'addition usuelle des couples
d'entiers relatifs, définit par l'égalité suivante, confère à l'ensemble des couples (a, b) une structure équipée d'une
addition et d'une multiplication appelé, en terme contemporain, un anneau.
Si cet anneau est construit à partir d'une équation diophantienne connexe au nombre d'or, sa relation avec φ peut être
vue plus directement. Il se conçoit simplement en considèrant les nombres réels de la forme a + φ.b, où a et b
désignent deux nombres entiers. L'identité de Brahmagupta, définissant la multiplication se lit :
Ainsi les puissances de φ sont tous de la forme a + φ.b, plus précisément φn = un-1 + un.φ, où (un) désigne la suite de
Fibonacci.
Ces deux anneaux possèdent des structures copie l'une de l'autre, le terme consacré pour décrire cette situation est
celui d'isomorphisme. Un nombre réel de la forme a + φ.b est appelé un entier de Dirichlet. L'anneau des entiers de
Dirichlet est le cadre naturel sous-jacent à toute l'arithmétique du nombre d'or. À certains égards, il est analogue à Z,
l'ensemble des entiers naturels. Il est commutatif, et intègre. Le terme intègre signifie que si la multiplication de deux
éléments α.β donne 0 alors soit α soit β est nul. La ressemblance est plus profonde, cet anneau est euclidien,
206
Nombre d'or
207
c'est-à-dire qu'il dispose d'une division euclidienne semblable à celle de l'arithmétique des entiers classiques. Les
outils de l'arithmétique usuelle sur Z, comme le théorème de Bachet-Bézout, le lemme d'Euclide, le théorème
fondamental de l'arithmétique ou en plus sophistiqué le petit théorème de Fermat sont tous des conséquences de la
division euclidienne. Elle offre des propriétés analogues pour l'arithmétique du nombre d'or. Cette analogie profonde
pousse les arithméticiens à parler d'entiers pour décrire les éléments de cet ensemble. La compréhension de
l'arithmétique de Z passe souvent par celles des nombres premiers. L'arithmétique du nombre d'or dispose aussi de
ses nombres premiers de Dirichlet. Un nombre premier de Z n'est pas toujours premier dans l'arithmétique du
nombre d'or, comme le montre le contre-exemple 19 :
Cette différence engendre des modifications dans l'application des théorèmes classiques. Par exemple si p est un
nombre premier différent de 5 tel que le reste de sa division euclidienne par 5 soit un carré parfait, donc égal à 1 ou à
4, le petit théorème de Fermat indique que φp-1 - 1 est un multiple de p. Ceci montre que up-1 est un multiple de p
ainsi que up-2 - 1, en effet, φp-1 - 1 = up-2 - 1 + up-1.φ. Les démonstrations sont proposées dans l'article détaillé.
Fragments d'histoire
Antiquité
Les historiens[5] considèrent que l'histoire du nombre d'or commence lorsque cette
valeur est l'objet d'une étude spécifique. Pour d'autres, la détermination d'une figure
géométrique contenant au moins une proportion se calculant à l'aide du nombre
d'or suffit. La pyramide de Khéops (vers 2520 av. J.-C.) devient, selon cette
convention, un bon candidat pour l'origine[6] . D'autres encore, se contentent des
restes d'un monument dont des dimensions permettent d'approximer le nombre
d'or. Selon ce critère, un amas de pierres sous la mer des Bahamas est une origine
plus ancienne[7] . Ces vestiges, dont l'origine humaine et la datation sont
incertaines[8] sont dénommés temple d'Andros.
Le premier texte mathématique indiscutable[9] est celui des Éléments d'Euclide
(vers 300 av. J.-C.). Le nombre d'or est défini comme une proportion géométrique
« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est
tout entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement
au plus petit[10] » Sa relation avec le pentagone, l'icosaèdre et le dodécaèdre est
mise en évidence.
Pour Thomas L. Heath, Platon est
le premier grec à oser étudier les
propriétés d'un nombre scandaleux
car irrationnel, celui maintenant
appelé nombre d'or.
Les historiens s'accordent tous sur l'existence d'une origine plus ancienne, mais
l'absence de document d'époque définitif interdit une connaissance indiscutable de l'origine[11] . Dans ce cadre,
l'hypothèse est parfois émise que le nombre d'or a son origine chez les pythagoriciens [12] : ils auraient connu et
construit empiriquement le dodécaèdre. L'historien des sciences Thomas L. Heath attribue la paternité de la
découverte à Platon : « L'idée que Platon commença l'étude (du nombre d'or) comme sujet intrinsèque n'est pas sans
consistance... »[13] .
Heath précise néanmoins dans la même source que les pythagoriciens connaissaient déjà une construction du
pentagone à l'aide de triangles isocèles. À cette époque, l'étude du nombre d'or est essentiellement géométrique,
Hypsicles, un mathématicien grec du IIe siècle av. J.-C., en fait usage pour la mesure de polyèdres réguliers[14] . Elle
revient chaque fois qu'un pentagone est présent.
L'approche arithmétique est initialement bloquée par le préjugé pythagoricien qui voudrait que, à la différence du
nombre d'or, tout nombre soit rationnel. Paul Tannery précise : « les Pythagoriciens sont partis de l’idée, naturelle à
tout homme non instruit, que toute longueur est nécessairement commensurable à l’unité[15] ». Platon évoque cette
Nombre d'or
difficulté[16] , les premières preuves du caractère irrationnel de certaines diagonales de polygones réguliers
remontent probablement[17] au Ve siècle av. J.-C.. Platon cite les travaux de son précepteur, Théodore de Cyrène, qui
montre l'irrationalité de √5[18] et par voie de conséquence, celle du nombre d'or. Dès cette époque, les
mathématiciens grecs découvrent des algorithmes d'approximation des nombres diagonaux et latéraux[19] . Bien plus
tard, Héron d'Alexandrie, un mathématicien du Ier siècle pousse plus loin cette démarche à l'aide des tables
trigonométriques de Ptolémée[20] .
Moyen Âge
Les mathématiques arabes apportent un nouveau regard sur ce nombre, plus tard
qualifié d'or. Ce n'est pas tant ses propriétés géométriques qui représentent pour
eux son intérêt, mais le fait qu'il soit solution d'équations du second degré.
Al-Khawarizmi, un mathématicien perse du VIIIe siècle, propose plusieurs
problèmes consistant à diviser une longueur de dix unités en deux parties. L'un
d'eux possède comme solution la taille initiale divisée par le nombre d'or. Abu
Kamil propose d'autres questions de même nature dont deux sont associées au
nombre d'or. En revanche, ni pour Al-Khawarizmi ni pour Abu Kamil, la relation
avec la proportion d'extrême et moyenne raison n'est mise en évidence. Il devient
ainsi difficile de savoir si la relation avec le nombre d'or était claire pour eux[21] .
Leonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fibonacci, introduit en Europe les
Leonardo Pisano, plus connu sous
le nom de Fibonacci, établit la
équations d'Abu Kamil. Dans son livre Liber Abaci, on trouve non seulement la
relation entre des équations du
longueur des deux segments d'une ligne de 10 unités mais aussi, clairement
second degré et le nombre d'or.
indiquée la relation entre ces nombres et la proportion d'Euclide[22] . Son livre
introduit la suite qui porte maintenant son nom, connue aux Indes depuis[23] le
VIe siècle. En revanche la relation avec le nombre d'or n'est pas perçue par l'auteur. Un élément de cette suite est la
somme des deux précédents.
Le quine, un système de mesure utilisé par les bâtisseurs de l'Art roman, se fonde sur un principe analogue. Il se
compose de cinq unités de mesure, toutes commensurables : la paume égale à 34 lignes, la palme qui en vaut 55,
l'empan 89, le pied de Charlemagne 144 et la coudée royale 233. Ces unités correspondent à des nombres consécutifs
de la suite de Fibonacci. Une paume plus une palme est ainsi égale à un empan, une palme et un empan à un pied de
Charlemagne, enfin un empan et un pied de Charlemagne à une coudée royale. Le rapport entre deux termes
consécutifs vérifie de plus en plus précisément la proportion en extrême et moyenne raison[24] . Si au Moyen Âge le
nombre d'or est connu des tailleurs de pierre, sa géométrie est considérée comme assez secondaire et ne prend de
l'importance uniquement à la Renaissance[25] .
208
Nombre d'or
209
Renaissance
L'homme de Vitruve de Léonard de Vinci
respecte les proportions explicitées par Vitruve,
le nombre d'or n'intervient pas.
Trois siècles plus tard, Luca Pacioli rédige un livre dénommé La divine
proportion[26] , illustré par Léonard de Vinci. Si l'aspect mathématique
n'est pas nouveau, le traitement de la question du nombre d'or est
inédit. L'intérêt du nombre ne réside pas tant dans ses propriétés
mathématiques que mystiques, elles « concordent avec les attributs qui
appartiennent à Dieu...[26] ». Pacioli cite les dix raisons qui l'ont
convaincu. L'incommensurabilité prend, sous la plume de l'auteur, la
forme suivante « De même que Dieu ne peut se définir en termes
propres et que les paroles ne peuvent nous le faire comprendre, ainsi
notre proportion ne se peut jamais déterminer par un nombre que l'on
puisse connaître, ni exprimer par quelque quantité rationnelle, mais est
toujours mystérieuse et secrète, et qualifiée par les mathématiciens
d'irrationnelle[26] ».
Pacioli rédige ainsi l'envoi de son livre : « une œuvre nécessaire à tous
les esprits perspicaces et curieux, où chacun de ceux qui aiment à étudier la philosophie, la perspective, la peinture ,
la sculpture, l'architecture, la musique et les autres disciplines mathématiques, trouvera une très délicate, subtile et
admirable doctrine et se délectera de diverses questions touchant à une très secrète science.[26] », il est en revanche
discret sur la manière dont s'applique cette proportion. Dans son traité d'architecture[27] , l'auteur se limite aux
proportions[28] de Vitruve, un architecte de la Rome antique. Elles correspondent à des fractions d'entiers, choisies à
l'image du corps humain[29] . S'il cite comme exemple une statue du grec Phidias, ce n'est que pour y voir le nombre
d'or dans un dodécaèdre, une figure associée au pentagone symbole de la quintessence, une représentation du
divin[30] . Les architectes de la Renaissance n'utilisent pas le nombre d'or[31] [32]
Les mathématiciens de l'époque ne sont pas en reste. Les spécialistes des équations polynomiales que sont Gerolamo
Cardano et Raphaël Bombelli indiquent comment calculer le nombre d'or à l'aide d'équations de second degré[33] .
Un résultat plus surprenant est anonyme. Une note manuscrite, datant du début du XVIe siècle et écrite dans la
traduction de Pacioli des éléments d'Euclide de 1509, montre la connaissance de la relation entre la suite de
Fibonacci et le nombre d'or. Si l'on divise un terme de la suite par son précédent, on trouve une approximation du
nombre d'or. Plus le terme est élevé, plus l'approximation est bonne et elle peut devenir aussi précise que
souhaitée[34] . Ce résultat est, plus tard, retrouvé par Johannes Kepler puis par Albert Girard[35] . Kepler est fasciné
par le nombre d'or, il dit de lui « La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le théorème de Pythagore ;
l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrême raison. Le premier peut être comparé à une règle d’or ; le
second à un joyau précieux[36] »
Nombre d'or
210
XIXe siècle : Naissance d'un mythe
Adolf Zeising appuie sa théorie sur des exemples
naturels incontestables. Un Tournesol présente
une figure où apparaît la suite de Fibonacci, ainsi
que la spirale d'or.
Sur le front des mathématiques, l'intérêt diminue. Au XVIIIe siècle, le
nombre d'or ainsi que les polyèdres réguliers sont considérés « avec
assez de justice, comme une branche inutile de la géométrie[37] ». On
lui prête encore un peu d'attention au siècle suivant, Jacques Binet
retrouve en 1843 un résultat oublié, démontré initialement par
Leonhard Euler en 1765[38] . Si la lettre φ désigne le nombre d'or, le
énième terme de la suite de Fibonacci est donné par la formule 1/√5(φn
+ (1 - φ)n). Ce résultat est maintenant connu sous le nom de Formule
de Binet. L'essentiel des travaux se reporte sur la suite de Fibonacci.
Édouard Lucas trouve des propriétés subtiles associées à cette suite,
auquel il donne pour la première fois le nom de Fibonacci[39] . Son
résultat le plus important porte le nom de Loi d'apparition des nombres
premiers au sein de la suite Fibonacci[40] [41]
C'est durant ce siècle que les termes de section dorée, puis nombre d'or
apparaissent. On la trouve dans une réédition d'un livre de
mathématiques élémentaires écrit par Martin Ohm. L'expression est
citée dans une note de bas de page :« Certains ont l'habitude d'appeler
la division en deux telles parties une section d'or[42] » Cette réédition
fait surface dans une période située entre 1826 et 1835, en revanche
son origine est un mystère.
L'intérêt resurgit au milieu du siècle, avec les travaux du philosophe
D'autres sont plus polémiques. Pour retrouver le
allemand Adolf Zeising. Le nombre d'or devient avec lui, un véritable
nombre d'or dans le Parthénon, il est nécessaire
d'user de conventions spécifiques.
système, une clé pour la compréhension de nombreux domaines, tant
artistiques comme l'architecture, la peinture, la musique, que
scientifiques avec la biologie et l'anatomie[43] . Une dizaine d'années plus tard, il publie un article[44] sur le
pentagramme « manifestation la plus évidente et la plus exemplaire de cette proportion ». Une relecture de la
métaphysique pythagoricienne lui permet de conclure à l'existence d'une loi universelle fondée sur le pentagramme
et donc, le nombre d'or. Malgré une approche scientifique douteuse[45] [46] , la théorie de Zeising obtient un franc
succès.
La France n'est pas en reste, pouvoir codifier de manière scientifique la beauté est une idée qui séduit. Les
dimensions du Louvre, de l'Arc de triomphe sont mesurées avec attention, des délégations sont chargées de mesurer
précisément la taille des pyramides égyptiennes ainsi que du Parthénon. Les cathédrales ne sont pas en reste. La
France trouve son champion en Charles Henry, un peintre qui s'inscrit dans l'esprit positiviste de son temps. Dans un
texte fondateur[47] , à l'origine du mouvement pointilliste, il associe au nombre d'or, une théorie de la couleur et des
lignes. Son influence auprès de peintres comme Seurat ou Pissaro n'est pas négligeable. Son attachement au nombre
d'or n'est pas aussi profond que son collègue allemand. Il finit, en 1895, par abandonner définitivement l'idée de
quantifier le beau[48]
Nombre d'or
211
XXe siècle : Le paroxysme
Toute spirale n'est pas d'or. Celle du nautile n'a
[49]
rien à voir avec la divine proportion
.
Loin de s'éteindre avec le déclin du positivisme, la popularité du
nombre d'or ne fait que croître durant la première partie du siècle. Le
prince roumain Matila Ghyka en devient l'incontestable chantre. Il
reprend les thèses du siècle précédent et les généralise. Tout comme
Zeising, il s'appuie tout d'abord sur les exemples issus de la nature,
comme les coquillages ou les plantes. Il applique cette universalité à
l'architecture avec des règles plus souples que son prédécesseur. Le
succès de cette théorie finit par influencer les notations. Le nombre d'or
est souvent noté φ, en référence à l'architecte Phidias, concepteur du
parthénon[50] .
La dimension mystique n'est pas absente chez Ghyka[51] et trouve ses
origines dans la philosophie pythagoricienne. L'absence de trace écrite sur le nombre d'or chez les pythagoriciens
s'expliquerait par le culte du secret. Cette idée est largement reprise et généralisée[52] par les mouvements de pensées
ésotériques au XXe siècle. Le nombre d'or serait une trace d'un savoir perdu, nommé Tradition Primordiale ou
Connaissance Occulte chez les Rose-Croix ou des mouvements connexes[53] . On le retrouve chez les passionnés de
l'Atlantide, qui voient dans la pyramide de Khéops ou le temple d'Andros la preuve d'un savoir mathématique
oublié[54] . Ce mouvement de pensée reprend des idées développées en Allemagne au XIXe siècle par Franz
Liharzik, pour qui la présence du nombre d'or, de π et de carrés magiques est la preuve incontestable[55] d'un groupe
restreint d'initiés possédant la science mathématique absolue[56] .
En 1929, une époque troublée par des idées d'un autre âge, Ghyka n'hésite pas à tirer comme conclusion de son étude
sur le nombre d'or, la suprématie de ce qu'il considère comme sa race : « le point de vue géométrique a caractérisé le
développement mental (...) de toute la civilisation occidentale (...) ce sont la géométrie grecque et le sens
géométrique (... ) qui donnèrent à la race blanche sa suprématie technique et politique[57] . » Si le prince n'insiste que
très médiocrement sur cet aspect du nombre d'or, d'autres n'ont pas ses scrupules. Ils usent de l'adéquation de la
morphologie d'une population avec les différentes proportions divines pour en déduire une supériorité qualifiée de
raciale. Ce critère permet de fustiger certaines populations, sans d'ailleurs la moindre analyse[58] . Le nombre d'or
est, encore maintenant, sujet à de prétendues preuves de supériorité culturelle, sociale ou ethnique[59] .
Sans cautionner ces idées extrêmes, certains intellectuels ou artistes éprouvent une authentique fascination pour le
nombre d'or ou son mythe. Le compositeur Iannis Xenakis utilise ses propriétés mathématiques pour certaines
compositions[60] . L'architecte Le Corbusier reprend l'idée consistant à établir les dimensions d'un bâtiment en
fonction de la morphologie humaine et utilise pour cela le nombre d'or. Paul Valéry un poète et intellectuel écrit à ce
sujet des vers dans son Cantique des colonnes :
« Filles des nombres d'or
Fortes des lois du ciel
Sur nous tombe et s'endort
Un dieu couleur de miel. »
Le peintre Salvador Dali fait référence au nombre d'or et sa mythologie dans sa peinture, par exemple dans un
tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène.
Sur le plan mathématique, le nombre d'or suit une trajectoire inverse, son aura ne fait que diminuer et il quitte le
domaine de la recherche pure. Il existe néanmoins une exception, une revue sur la suite de Fibonacci[61] , dont l'objet
est plus ludique qu'associé à la recherche. En revanche, le nombre d'or apparaît comme la clé de quelques sujets
scientifiques. La question de phyllotaxie, se rapportant à la spirale que l'on trouve dans certains végétaux comme les
écailles de la pomme de pin est-elle vraiment liée à la proportion d'Euclide ? Cette question fait couler beaucoup
d'encre dès le siècle précédent. Wilhelm Friedrich Benedict Hofmeister suppose que cette spirale est la conséquence
Nombre d'or
212
d'une règle simple[62] . Pour le botaniste allemand Julius Sachs, ce n'est qu'un orgueilleux jeu mathématique,
purement subjectif[63] . En 1952, un scientifique, père fondateur de l'informatique, Alan Turing propose un
mécanisme qui donnerait raison à Hofmeister[64] . Deux physiciens, Douady et Couder, finissent par trouver
l'expérience qui permet de conclure cette longue histoire[65] . Hofmeister et Turing avaient raison, la présence du
nombre d'or dans le monde végétal n'est ni fortuite ni subjective[66] .
Nature
Omniprésence
La thèse de l'omniprésence du nombre d'or est souvent reprise[67] . Si un avis
définitif sur ce phénomène est difficile à propos de l'œuvre des hommes, il est
plus aisé de comprendre la différence d'opinion que soulève cette question pour
les sciences de la nature. Elle provient de l'usage des critères utilisés pour lier
ou non le nombre d'or avec un phénomène.
Dans le monde végétal, les écailles des pommes de pins engendrent des
spirales particulières, dites logarithmiques. Ces spirales se construisent à l'aide
d'un nombre réel non nul quelconque. S'il est égal au nombre d'or, les
proportions correspondent à la moyenne et extrême proportion d'Euclide et la
suite de Fibonacci apparaît. Ce phénomène se produit sur les étamines d'une
fleur de tournesol. La présence du nombre d'or n'est pas controversée dans ce
cas[68] .
L'absence de nombre d'or dans la
spirale logarithmique décrivant la
forme d'une galaxie rend l'astronome
sceptique sur l'usage de cette proportion
dans ce contexte.
En revanche, le fait qu'une telle spirale puisse aussi se construire avec
le nombre d'or est une raison insuffisante pour l'associer à n'importe
quelle spirale logarithmique, comme celles que forment la coquille du
mollusque le nautilus[67] , les yeux sur les plumes d'un paon[69] ou
encore à certaines galaxies[70] . Pour un spécialiste, l'absence de
nombre d'or dans une spirale rend le concept caduc. Ni proportion d'or,
ni suite de Fibonacci ne sont présents. Le nombre d'or n'offre aucune
information sur son sujet d'étude[71] ,[72] .
En minéralogie, il existe des cristaux dont les atomes s'organisent selon
un schéma pentagonal. Les proportions entre les côtés et les diagonales
Une organisation autour d'un schéma pentagonal
du pentagone font intervenir le nombre d'or. Il est aussi présent dans
des atomes d'un cristal de quartz explique l'usage
du nombre d'or pour l'étude d'un tel minéral.
des structures dites quasi cristallines. Les atomes dessinent des
triangles d'or qui remplissent l'espace sans pour autant présenter de
périodicité, on obtient un pavage de Penrose. Pour la même raison que précédemment, le nombre d'or est présent et
l'on retrouve la suite de Fibonacci[73] . Le pentagone n'est pas présent dans tous les cristaux. La structure cubique à
faces centrées d'un diamant ne fait pas intervenir le nombre d'or.
Ainsi, selon l'axe d'analyse, la réponse sur l'omniprésence du nombre d'or est différente. Pour un scientifique,
spécialiste dans un domaine, l'usage du nombre d'or est finalement plutôt rare, limité à quelques sujets comme la
phyllotaxie du tournesol ou la cristallographie du quartz. S'il recherche des concepts explicatifs pour mieux
comprendre son domaine, la proportion d'Euclide est rarement de ceux-là. D'autres[67] utilisent l'analogie ainsi que
Nombre d'or
213
l'esthétique comme critère. La divine proportion est pour eux présente dans les cieux, la vie animale et végétale, les
minéraux et finalement dans toute la nature.
Phyllotaxie
En biologie, l'ordonnancement des écailles d'une pomme de
pin ou de l'écorce d'un ananas induit des spirales ordonnées
par des nombres entiers, souvent associés au nombre d'or. Sur
la figure de gauche, on observe 8 spirales, chacune formée de
13 écailles dans un sens et 13 spirales formées de 8 écailles
dans l'autre sens. Les proportions de ces spirales ne sont pas
très éloignées de celles d'une spirale d'or. Les nombres 8 et 13
sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et leur
rapport est proche du nombre d'or. Un phénomène analogue se
produit avec les étamines des tournesols, cette fois avec les
couples d'entiers (21,34), (34,55) et (55, 89). Chacun de ces
couples correspond à deux entiers consécutifs de la suite de
Fibonacci.
Une pomme de pin illustre par ses écailles un phénomène de
phyllotaxie. On trouve des spirales dont la proportion est
proche de celle d'Euclide. Le nombre d'écailles dans une
spirale ainsi que le nombre de spirales correspond à deux
nombres consécutifs dans la suite de Fibonacci.
La phyllotaxie ne suit pas toujours les lois du nombre d'or. À
droite, on voit un mécanisme analogue sur des feuilles, les
deux spirales sont toujours logarithmiques mais ne suivent
plus la proportion d'or. Les nombres de spirales dans un sens
et dans l'autre sont égaux.
Ce mécanisme est régi par la règle dite de Hofmeister : Le
primordium apparaît périodiquement dans le plus grand
espace disponible. Un primordium correspond à un embryon
de partie de plante : écaille, feuille, d'étamine, etc. Ce
mécanisme est contrôlé par la production d'une substance
inhibitrice, appelée morphogène, émise par les primordia.
Ainsi une nouvelle pousse ne peut naître que le plus loin
possible des précédentes.
Le mécanisme ne fait pas toujours apparaître le nombre d'or.
Pour l'Achimenes erecta, on remarque ici trois jeux de trois
feuilles. Chaque jeu est pivoté d'un sixième de tour par
rapport à la génération précédente. On obtient encore deux
jeux de spirales, mais qui n'ont plus rien à voir avec le
nombre d'or.
Dans le cas de l'Achimenes erecta, la tige pousse rapidement
par rapport à la feuille, la deuxième feuille naît dans la
direction opposée, le rapport entre la croissance de la tige et le
temps d'apparition d'un nouveau primordium fait que la
troisième position la meilleure est à un angle d'un tiers de tour
par rapport à la première feuille et deux tiers par rapport à la
deuxième. Finalement on obtient l'apparition de trois feuilles,
décalées d'un tiers de tour l'une par rapport à l'autre, puis d'un
nouveau jeu de trois feuilles, décalé d'un sixième de tour par
rapport au jeu précédent.
La pomme de pin suit la même règle pour le primordium de
l'écaille. La croissance de la tige entre deux primordia est
beaucoup plus modérée. Le troisième primordium naît en conséquence entre les deux premiers, avec un angle
légèrement plus faible du côté du premier primordium, la tige ayant un peu grandi. Douady et Couder ont montré
qu'un tel mécanisme produit deux jeux de spirales d'or de directions opposées dont les nombres de spirales par jeu
Nombre d'or
214
correspondent à deux éléments consécutifs de la suite de Fibonacci. Plus la croissance entre l'apparition de deux
primordia est petite, plus élevés sont les deux éléments consécutifs de la suite.[68]
Corps humain
Le corps humain est un enjeu souvent corrélé à celui du nombre d'or. Il comporte
différentes facettes. Tout d'abord scientifique, la question mainte fois posée est de
savoir si le corps, à l'image de la fleur de tournesol, possède une relation plus ou moins
directe avec le nombre d'or. En terme artistique, la divine proportion est-elle utilisable
pour représenter le corps ? Il existe enfin un enjeu esthétique. Si le nombre d'or,
comme le pense[60] le compositeur Xenakis, est relié à notre corps, son usage peut être
une technique pour obtenir de l'harmonie.
Le squelette de Zeising ne
respecte pas précisément les
proportions du corps humain,
le crâne est par exemple
irréaliste.
La première corrélation recherchée est dans les dimensions du corps
humain. Elle débouche sur la tentative d'un système de mesure
construit à l'aide du seul nombre d'or. Zeising fonde toute une
anatomie[75] sur cette arithmétique. Après un vif effet de mode, cette
approche est finalement abandonnée. Ses proportions sont à la fois trop
imprécises et ne correspondent que trop mal à l'anatomie du corps
humain. Les proportions du crâne, par exemple, ne sont pas réalistes[76]
. D'autres raisons, plus profondes encore, sont la cause de l'abandon
d'une démarche de cette nature. L'anatomie médicale n'est pas à la
recherche d'une proportion particulière, mais des limites qui, si elles
sont dépassées deviennent pathologiques. Elle utilise des fractions
simples ainsi que des plages de longueur, mais jamais le nombre
d'or[77] . Là où certains voient une divine proportion, comme dans le
rapport de la longueur de l'avant-bras sur celui de la main, l'anatomiste
scientifique calcule le rapport entre la longueur de la main et celle de
l'avant bras, il voit 2/3. La différence entre les deux approches,
inférieure à 8 %, ne lui paraît pas justifier une telle complexité, au vu
des variations observées entre les individus.
Albrecht Dürer développe un module dans le
même esprit que l'homme de Vitruve de Léonard
de Vinci. Le sien utilise un système de division
[74]
par 10
.
Nombre d'or
215
Une autre raison est fournie par S. J. Gould, un paléontologue[78] . Les dimensions d'un être humain sont en
constante évolution. En un siècle, le Français moyen a gagné 11 centimètres[79] , et cette croissance n'est pas
uniforme. Le jeu des proportions d'un corps humain est essentiellement dynamique, cet aspect rend difficile
d'imaginer une proportion unique, clé universelle de l'anatomie humaine. Une approche de cette nature, trop
normative et intemporelle, n'a pas beaucoup de sens scientifique en anatomie[80] . Si cet axe de recherche n'est plus
d'actualité, cela ne signifie pas l'abandon de la quête du nombre d'or dans le corps humain. Le cerveau est maintenant
source d'attention[81] . Cette théorie reste minoritaire et controversée.
Les contraintes artistiques sont de natures différentes. Les artistes, attentifs au travail des médecins, ont imaginé des
modules ou systèmes de proportions, propres au corps humain. Le désir de le représenter impose une démarche de
cette nature. Un très ancien module est celui des égyptiens[82] , la classique proportion du rapport de la taille
complète à la hauteur du nombril est estimé à 19/11, relativement loin du nombre d'or. Les modules sont, en général,
purement fractionnaires. Tel est le cas de celui inventé par les égyptiens, par Polyclète, qui nous est rapporté par
Vitruve, de celui de Cousin, de Vinci ou de Dürer . Il est néanmoins difficile d'en déduire que Dürer croyait en un
canon universel. Il initie une conception fondée sur la pluralité des types de beauté[83] , ayant chacune ses
proportions propres.
Œuvre de l'homme
Peinture
L'idée que le nombre d'or possède une qualité visuelle intrinsèque est largement citée[84] . Un argument est la
présence de la divine proportion dans de nombreux chefs d'œuvres. Le canon de la figure humaine de Dürer le
contient explicitement. Cependant les commentaires précis sont rares, ce qui amène à rechercher le rapport d'Euclide,
sans information directe de la part de l'auteur. L'existence d'une forme géométrique ayant des concordances avec le
tableau est pour certains, un élément de preuve. Pour d'autres[85] une démarche de cette nature est peu convaincante.
Les dimensions de La Naissance de Vénus de Sandro
Botticelli respectent assez précisément la divine proportion.
Il est pourtant très peu probable que cela indique une
quelconque volonté de l'auteur.
Un exemple est celui de La Naissance de Vénus de Sandro
Botticelli[86] . Ses dimensions, 172,5 × 278.5 cm respectent
précisément la proportion. Le carré, associé au rectangle d'or,
correspond à un rythme du tableau, enfin la diagonale du
rectangle restant, ainsi que celle symétrique, sont des lignes de
forces. Ce raisonnement n'a pas convaincu certains
spécialistes. Le tableau semble faire partie d'un diptyque avec
Le Printemps, un autre tableau du maître. L'aile d'un des
Dieux, nommé Aura est étrangement coupé. Pour en avoir le
cœur net, une analyse finit par être faite. Le verdict est sans
appel, Botticelli avait choisi une taille analogue à celle du
Printemps[87] , le haut du tableau est amputé de 32.5 cm et
avait, à sa conception la taille de son alter ego. Dans ce cas, le
choix de la divine proportion ne correspond pas à celui de son
créateur.
Nombre d'or
Pour certains, il existe un fondement scientifique à la beauté : « ... la nature,
ministre de la divinité, lorsqu'elle façonna l'homme, en disposa la tête avec toutes
les proportions voulues ...[26] ». Cette idée n'est pas une invention de Pacioli, le
traité de peinture[88] de Leon Battista Alberti, établissant les premières règles de la
perspective, était déjà l'illustration d'une philosophie analogue. La découverte de
lois scientifiques, modifie la peinture et permet d'incarner un nouvel idéal. Si
l'approche mathématique d'Alberti obtient un large consensus, peu d'éléments
laissent penser à un succès analogue pour la loi de la divine proportion.
Un exemple est le cas Vinci. Pacioli est un de ses amis proches[89] , Vinci connaît
suffisamment ses théories pour illustrer son livre. À travers ses codex[90] , son
De nombreuses indications
traité[91] et les multiples analyses de ses sources[92] , la pensée de Vinci sur la
laissent penser que ce n'est pas du
proportion en peinture nous est connue. Si, pour le maître, la peinture s'apparente à
côté de la divine proportion qu'il
une science[93] , ses thèses sont forts éloignées de celle de son ami. Sa première
faut chercher à comprendre les
source est l'observation et l'expérience, et non les mathématiques : « ... l'expérience
rythmes du Saint-Jérôme de
Léonard de Vinci.
ayant été la maîtresse de ceux qui écrivent bien, je la choisis pour maîtresse et, en
[94]
tout cas ferai appel à elle
». Cette attitude se traduit, par exemple pour le choix
des proportions humaines. À travers de multiples dissections, il mesure systématiquement les rapports entre les
dimensions des différents os et muscles. Ses planches médicales l'amènent à une conception de l'anatomie dont les
rapports sont de même nature que celle de la médecine moderne : ils sont fort nombreux et s'expriment à l'aide de
fractions composées de petits facteurs entiers[95] . La science de Vinci s'applique aussi sur des sujets déjà traités
comme la perspective. Une fois encore, sa logique est plus proche de l'observation que de la rigidité mathématique.
Les lois qu'il ajoute à celles d'Alberti traitent de la couleur : une chose éloignée voit sa couleur tirer vers le bleu,
ainsi que de la netteté « comment les choses qui s'éloignent doivent être moins nettes proportionnellement à leur
distance[96] ». Les règles régissant la proportion chez Vinci sont subtiles et en opposition avec des articulations
albertiennes, trop claires à ses yeux[97] , comme l'application directe d'une proportion sans lien avec ses
observations.
À l'instar du Saint Jérôme à droite, beaucoup d'exemples de rectangle d'or trouvés chez un peintre[98] supposent une
approche de la proportion sans justification de la part du peintre ou, comme ici, contraire aux règles établies par son
auteur. Ni Arasse dans son volumineux ouvrage sur Vinci, ni Marani dans le sien[99] ne font référence à une
explication de cette nature.
Le nombre d'or a aussi influencé les peintres du groupe de Puteaux, appelé aussi « Section d'or », groupe qui se crée
autour de Jacques Villon en 1911. Leur emploi du nombre d'or en peinture est cependant davantage intuitif que
purement mathématique.
216
Nombre d'or
217
Archéologie
L'archéologie est un sujet de controverse. Pour le prince
Ghyka, elle est la preuve de l'universalité du canon de beauté
qu'est le nombre d'or. L'argument principal est le caractère
vaste du nombre d'exemples. Le prince reprend les travaux de
son prédécesseur Zeising et l'enrichit considérablement. Le
théâtre d'Épidaure possède deux séries de gradins l'une de 21
et l'autre de 34 marches, deux éléments consécutifs de la suite
de Fibonacci.
Le théâtre d'Épidaure contient deux séries de gradins, l'une
de 21, l'autre de 34, deux nombres connexes de la suite de
Fibonacci dont le rapport est proche du nombre d'or.
Les plus convaincus citent le temple d'Andros et celui de Salomon comme exemple
d'utilisation du nombre d'or. Pour le temple d'Andros, sa forme actuelle est un
losange dont deux côtés ont un rapport approximativement égal à 5/3, une valeur
proche du nombre d'or. L'origine de ces vestiges, qui daterait de 10000 ans, n'est
pas avérée. Ce site, non reconnu par les archéologues officiels[100] est pour ses
partisans une preuve de l'existence de l'Atlantide[101] . Le temple de Salomon aurait
une dimension d'un rapport 2/1, certains[102] remarquent que ce sont deux termes
consécutifs de la suite de Fibonacci, un élément suffisant à leurs yeux pour voir la
trace du nombre d'or.
La pyramide de Kheops convainc un public plus vaste. Cet exemple est cité depuis
le milieu de XIXe siècle, une époque où la méconnaissance presque totale de
l'égyptologie donne naissance à d'innombrables mythes[103] . La coïncidence entre
les dimensions de la pyramide et le nombre d'or est ici excellente. Le rapport entre
la longueur de la plus grande pente d'une des faces et la demi-longueur d'un côté
correspond au nombre d'or avec une précision de moins de 1 %. Le scepticisme des
professionnels est la conséquence de la connaissance actuelle de la civilisation
égyptienne[104] . Les outils mathématiques nécessaires pour une détermination du
nombre d'or, n'apparaissent que 700 ans plus tard, grâce à un apport
babylonien[105] . On ne trouve pas non plus la moindre trace religieuse ou
esthétique qui justifie un choix de cette nature. Cette faiblesse pousse Taylor, à
l'origine de cette hypothèse, à créer de toute pièce une citation de Hérodote : « Le
carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des
faces triangulaires »[106] .
Si l'on en croit les canons de la
beauté de Polyclète le sculpteur à
qui l'on attribue l’éphèbe
Westmacott les proportions du
corps humains sont des fractions
d'entiers et non le nombre d'or.
Le cas grec est encore plus populaire et très largement étayé. Mais l'écart entre la culture grecque et le nombre d'or
laisse perplexe les spécialistes[107] . Ces proportions incommensurables, que sont la diagonale d'un carré ou celle
d'Euclide, sont vécues comme un scandale[108] , une trahison[109] des dieux à l'époque de Pythagore. Un grec
n'imagine pas qu'un nombre puisse être autre chose qu'une fraction d'entiers. L'existence de proportions, comme celle
d'Euclide, qui ne sont pas des nombres est une source de chaos intellectuel, à l'opposé des valeurs philosophiques et
mystiques des pythagoriciens[110] . On raconte que Hippase de Métaponte aurait été exclu de la confrérie des
pythagoriciens pour avoir dévoilé le scandale de l'incommensurabilité d'une diagonale d'un dodécaèdre, une autre
Nombre d'or
indique qu'il aurait péri noyé[111] , conséquence de son impiété. Qu'une proportion aussi négative soit utilisée pour
les monuments apparaît étonnant. Les textes d'architecture grecs confirment l'usage des nombres rationnels pour
définir les proportions des bâtiments. Les proportions harmonieuses sont longuement relatées par Vitruve un
architecte, auteur du célèbre traité De Architectura en dix volumes[112] . Pour se faire il utilise largement, au volume
IX, les mathématiques de Platon, Pythagore ou d'autres mathématiciens. Les proportions proviennent du module de
Polyclète un sculpteur grec contemporain de Phidias. Le traité de Vitruve ne contient aucune trace de proportion
irrationnelle à l'exception de la diagonale du carré[113] .
Enfin, les exemples choisis par le prince sont controversés. Retrouver la divine proportion dans la façade du
Parthénon demande des conventions spécifiques, comme d'inclure trois des quatre marches du fronton[114] ou de
tronquer le toit[115] . L'usage de valeurs non spécifiques donne des résultats trop éloignés de l'objectif[116] . Pour
expliquer la présence du nombre d'or dans les proportions des monuments grecs, Ghyka n'hésite pas à utiliser des
fractions comme 1/φ4, bien difficile à différencier de 1/4, ou d'une racine quatrième de φ. Les techniques
hellénistiques sont pourtant incapables de réaliser un tel calcul[117] .
Architecture
Le Corbusier est l'architecte qui théorise l'usage du nombre d'or dans son métier. S'il reprend l'idée de Vitruve,
consistant à proportionner un bâtiment aux dimensions d'un corps humain, il y associe d'autres éléments justifiant
l'usage de la proportion d'Euclide.
Le nombre d'or permet de créer un curieux système de numération. Les mathématiques nous apprennent qu'il est
possible de construire une numération positionnelle, non seulement avec dix, comme celle des humains, ou avec
deux, pour les ordinateurs, mais avec n'importe quel nombre réel strictement positif et différent de un. Celui construit
avec le nombre d'or, appelé base d'or, lui semble le plus adapté à l'architecture. Au premier contact, il est un peu
étrange. Par exemple dans ce monde 100 est égal à 10 + 1, ce qu'un mathématicien lit φ2 = φ + 1. Cette loi est la
réincarnation du vieux quine des tailleurs de pierre du Moyen Âge, une paume plus une palme est égal à un empan.
Cette échelle harmonique pour reprendre son expression[118] permet de réconcilier les atouts du système métrique
décimal, pratique et abstrait, avec ceux du système anglais des pouces et des pieds, naturel mais peu pratique. En
calant les différentes dizaines, c'est-à-dire ici les puissances du nombre d'or, sur les dimensions humaines, Le
Corbusier cherche à obtenir un système alliant les deux avantages. La deuxième unité correspond à la taille d'un
avant-bras, la troisième à la distance entre le nombril et le sommet de la tête, la quatrième à celle entre le sol et le
nombril d'un homme debout et la cinquième à la taille d'un adulte.
En termes d'architecture, cette démarche offre un moyen naturel pour incarner l'idéal de Vitruve. Chaque dizaine
correspond à une proportion humaine et les différentes proportions se répondent entre elles. En termes d'urbanisme,
Le Corbusier cherche à trouver un moyen de normalisation. En 1950, date de parution du premier tome sur le
Modulor, nom qu'il donne à ce système, les besoins de reconstruction sont vastes et la rationalisation de la
production, un impératif. L'auteur parle de machine à habiter. Cette démarche, vise aussi un objectif esthétique. La
normalisation dispose d'un avantage, elle permet plus d'harmonie. Le tracé régulateur, c'est-à-dire l'échelle construite
sur la suite de Fibonacci y joue un rôle : « Le tracé régulateur n'apporte pas d'idée poétique ou lyrique ; il n'inspire
nullement le thème ; il n'est pas créateur ; il est équilibreur. Problème de pure plasticité[119] »
À partir des années 1950, Le Corbusier utilise systématiquement le modulor pour concevoir son œuvre
architecturale. La Cité radieuse de Marseille ou la Chapelle Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp sont deux exemples
célèbres.
218
Nombre d'or
Musique
En musique, le nombre d'or est recherché à la fois dans l'harmonie et dans le rythme.
Le terme d'harmonie désigne ici une technique permettant de choisir les différentes notes jouées simultanément.
Durant une période qui s'étend du XVIe siècle au début du XXe siècle, elle est essentiellement tonale, à l'image de la
musique de Bach ou Mozart. Aucune série de deux notes ne définit une proportion d'or. L'approximation la plus
proche étant la quinte obtenue par deux sons dont les fréquences définissent un rapport de 3/2. Pour cette raison, le
nombre d'or est souvent recherché dans la musique du XXe siècle. De nouvelles gammes sont explorées, comme la
gamme décatonique ou 10-TET[120] (ten-ton équal temperament). Dans celle-ci, l'octave est partagé en 10 parties
égales. Chaque degré représente alors un écart de 21/10. Pour cette gamme, le nombre d'or est proche du rapport
défini par deux notes séparées de 7 degrés. La présence du nombre d'or ici est néanmoins un peu fortuite. Un écart
entre 7 degrés donne une proportion de 27/10 approximativement égal à 1,624.
Le rythme est plus largement associé au nombre d'or et sur une période musicale plus vaste. Son traitement par Bach
est l'objet d'une thèse de doctorat[121] , sur l'analogie entre les rythmes de Suite en do mineur pour luth (BWV 997)
et la Passion selon saint Matthieu (BWV 244). Roy Howat montre que Debussy était associé à des revues
symbolistes auxquelles il participait et qui analysaient les proportions et le nombre d'or. Il montre aussi comment on
retrouve cette approche à travers des œuvres comme La mer ou Reflets dans l'eau[122] . Des études montrent des
résultats analogues pour Erik Satie[123] , Béla Bartók[124] ou encore Karlheinz Stockhausen[125] .
À l'exception de compositeurs comme Xenakis où l'usage du nombre d'or est explicité par l'auteur[60] , l'absence de
preuve définitive empêche le consensus[126] . La polémique est néanmoins de nature différente de celle qui sévit, par
exemple en archéologie. Ici la position favorable à l'existence d'un usage large du nombre d'or est défendue par des
institutions professionnelles comme l'Ircam[127] ou une thèse d'Université comme celle de Montréal[128] .
Esthétique mathématique
Une question récurrente est celle de l'existence ou non d'une réalité scientifique de l'idée de beauté associée au
nombre d'or. Elle s'inscrit dans le cadre général d'une théorie scientifique de l'esthétique. Certains artistes, comme
Xenakis en sont persuadés : « Or, les durées musicales sont créées par des décharges musculaires qui actionnent les
membres humains. Il est évident que les mouvements de ces membres ont tendance à se produire en des temps
proportionnels aux dimensions de ces nombres. D’où la conséquence : les durées qui sont en rapport du nombre d’or
sont plus naturelles pour les mouvements du corps humain[60] ». Charles Henry, dans le domaine des arts picturaux,
inscrit le nombre d'or dans une vaste théorie de cette nature, traitant non seulement des proportions, mais aussi de la
couleur et des constrastes[47] .
Préfigurant une démarche de nature sociologique comme celle d'Émile Durkheim, le philosophe allemand Gustav
Fechner tente des expériences statistiques pour valider scientifiquement une association humaine entre le beau et le
rectangle d'or[129] . Des formes sont présentées à un public qui évalue les proportions les plus esthétiques. Si les
résultats vont dans le sens de l'existence d'un canon de beauté construit à l'aide de la divine proportion, le protocole
choisi ne correspond pas aux critères actuels de rigueur[130] . Une deuxième expérience, plus objective[130] met en
évidence une préférence pour un format proche du 16/9 de la télévision. Une fois encore, et malgré son caractère
plus rigoureux, le caractère universel d'un tel format n'est pas établi.
Si l'intuition d'artistes comme Xenakis, Valéry ou Le Corbusier, laisse penser à l'existence d'une transcendance
esthétique du nombre d'or, aucune approche scientifique ne permet d'affirmer la pertinence d'une telle hypothèse.
219
Nombre d'or
Annexes
Bibliographie
• M. Neveux, Nombre d'or - radiographie d'un mythe, Seuil/Points, 1995 (ISBN 2020259168)Ce livre est la référence
sur l'analyse critique de l'usage du nombre d'or dans les différents domaines artistiques.
• M. Ghyka Le nombre d’or Gallimard, 1931, réédité en 1976 (ISBN 2070292983)Cet ouvrage est à l'origine du mythe
moderne du nombre d'or. Ce livre a séduit de nombreux penseurs comme Valéry ou Le Corbusier.
• Le Corbusier LE MODULOR, essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à
l'Architecture et à la mécanique, Éditions de l'Architecture d'Aujourd'hui, collection ASCORAL, 1949 Réédition
1983 (ISBN 2904833013)Ce livre est le premier d'une série de 2 avec LE MODULOR, La parole est aux usagers. Il
explicite et théorise les raisons qui amènent Le Corbusier à utiliser le nombre d'or en architecture.
• G. Marchand Bach ou la passion selon Jean-Sébastien de Luther au nombre d'or L'Harmattan 2003 (ISBN
2747546519)Ce livre est tiré d'une thèse de doctorat. Il présente une analyse technique des rythmes de la musique de
Bach et particulièrement de la Passion selon Saint Matthieu à l'aide du nombre d'or.
• R. Herz-Fischler A Mathematical History of the Golden Number Dover Publications 1998 (ISBN 0486400077)Ce
texte relate l'histoire mathématique du nombre d'or.
• Marius Cleyet-Michaud, Le nombre d'or, P.U.F., coll. Que sais-je ?, 12e édition, 2002 (ISBN 2130527736)Ce livre
suppose un niveau mathématique un peu technique, il traite avec une orientation scientifique les différents aspects
culturels du nombre d'or.
• R. Vincent Géométrie du nombre d'or Chalagam Édition 2004 (ISBN 2951960700)Ce petit traité de 128 pages
illustre, sans nécessité de connaissance mathématique, différentes constructions géométriques à l'aide du nombre
d'or.
• C. Hakenholz Nombre d'or et mathématique Chalagam 2001 (ISBN 2950800165)Ce petit livre de 63 pages traite
spécifiquement de l'aspect géométrique du nombre d'or. Il ne nécessite pas de connaissance mathématiques
préalables.
Voir aussi
Articles connexes
•
•
•
•
•
•
•
•
Construction du pentagone régulier à la règle et au compas
Entier de Dirichlet
Suite de Fibonacci
Base d'or
Angle d'or
Notion de module
Nombre d'argent
Nombre plastique
220
Nombre d'or
221
Liens externes
•
Nombre d'or [131] sur Commons
• (fr) P. Arnoux Les merveilles du nombre d'or [132] Cité des sciences Une présentation mathématiques du nombre
d'or sous forme de visio conférence. Didactique, riche et remarquablement clair.
• (fr) K. Drapel C. Jaquier Le nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses ? [133]Une analyse critique du
mythe, solidement documenté.
• (en) G. Markowsky, Misconceptions about the Golden Ratio [134], in The College Mathematicals Journal (1992,
23-1 p. 2-19) Une liste précise d'arguments démontrant l'inexactitude d'une série de faits associés au nombre d'or.
• (fr) M. Cariou et A. Jatteau Le nombre d'or dans l'architecture grecque : mythe ou réalité ? [135] Archéologie en
chantier Une analyse du rôle du nombre d'or dans l'architecture grecque, par deux élèves de l'Ecole Normale
Supérieure.
• (fr) J.-P. Krivine Le mythe du nombre d’or [136] Association française pour l'information scientifique Un site très
critique sur le mythe du nombre d'or, bien documenté et amusant.
• (fr) M. Gardes La Divine Proportion de luca Pacioli [137] Académie de Poitiers Analyse de la divine proportion
de Luca Pacioli.
• (fr) Louis-Claude de Saint-Martin Les templiers et le nombre d'or [138] Rosa Mystica Une interprétation mystique
du nombre d'or véritable petit nirvana arithmétique, une voie privilégiée de communication avec l’au-delà.
La version du 26 juillet 2008 de cet article a été reconnue comme « bon article », c'est-à-dire qu'elle répond à des critères de qualité
concernant le style, la clarté, la pertinence, la citation des sources et l'illustration.
Références
[1] Voir par exemple le tracé utilisé pour la construction d'une cuve à vin (http:/ / www. cuves-a-vin. com/ cuve_oeuf. html) en forme d'oeuf
[2] Dirichlet Démonstration du théorème de Fermat et de Wilson (compte-rendu par Cournot de quelques mémoires d'Abel, Jacobi et
Lejeune-Dirichlet, au Journ. der Mathemat., de M. Crelle, t. 3, cah. 4). 1829, t. 11, p. 153-157
[3] C. Goldstein Fermat et son Théorème Orsay Info 57 1999 Lire (http:/ / www. ufr-mi. u-bordeaux. fr/ ~belabas/ Orsay-info/ fermat. html)
[4] The most irrational number (http:/ / www. ams. org/ featurecolumn/ archive/ irrational4. html) par l'American mathematical society
[5] C'est le choix, par exemple de : R. Herz-Fischler A Mathematical History of Division in Extreme and Mean Ratio Wilfrid Laurier Univ Pr
1987 (ISBN 0889201528) ou encore de T. Heath A History of Greek Mathematics, Vol. 1 Dover Publications retirage 1981 (ISBN
0486240738)
[6] L'harmonie du nombre d'or (http:/ / www. cyberstrat. net/ ~tpe/ / kheops. html) un site Web parmi d'autres indique : Le nombre d'or, supposé
apparaître en pleine Grèce antique était, en réalité, déjà présent dans la grande pyramide égyptienne : la pyramide de Khéops.
[7] L. R. Cedric, Quest for Atlantis Manor Books Inc., New York, 1979
[8] Valentine, J. Manson, Archaeological Enigmas of Florida and the Western Bahamas Muse News, Miami Museum of Science, Vol. 1, No. 2,
June 1969
[9] Euclide Éléments d'Euclide Livre II théorème 11
[10] Euclide Éléments d'Euclide livre VI, 3ème définition.)
[11] Voir à ce sujet, par exemple le site The golden ratio (http:/ / www. groups. dcs. stand. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Golden_ratio. html) par
J. J. O'Connor and E. F. Robertson de l'Université de St Andrew
[12] Heath, A History of Greek Mathematics, t. I : From Thales to Euclid, Oxford University Press, 1921, p. 160 sq. ; The Thirteen Books of
Euclid's Elements, Cambridge University Press, 1926, t. II, p. 97 sq.
[13] Euclide The Thirteen Books of Euclid’s Elements Édition de Thomas L. Heath, Dover, New York, 1956, t. II, p. 97 sq.
[14] Thomas L. Heath A History of Greek Mathematics, I : From Thales to Euclid, Oxford University Press, 1921.
[15] P. Tannery Mémoires scientifiques. Paris-Toulouse : E. Privat 1912 I p 268
[16] On en trouve trace dans : Platon La République Livre VIII 546c, où il parle de diagonales rationnelles et irrationnelles
[17] Jean-Luc Périllié La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini (http:/ / www. cndp. fr/ RevueCPhil/ 91/ 00902911. pdf)
Transcription d’une conférence qui a eu lieu le 16 mai 2001 à Grenoble p 18
[18] Platon Théétète (Platon) 147d
[19] Jean-Luc Périllié La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini (http:/ / www. cndp. fr/ RevueCPhil/ 91/ 00902911. pdf) p 19
[20] R. Herz-Fischler Hero of Alexandria’s Numerical Treatment of Division in Extreme and Mean Ratio and its Implications Phoenix 35 (1981),
pp. 129-133
Nombre d'or
[21] Ces deux exemples proviennent du site The Golden Ratio (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Golden_ratio.
html) par J. J. O'Connor and E. F. Robertson de l'Université de St Andrew
[22] Fibonacci Liber abaci 1202 ce texte est traduit par L. E. Sigler en anglais éditeur Springer-Verlag 2002 (ISBN 0387954198)
[23] P. Singh The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.
[24] La mesure du monde (http:/ / www. britannica. fr/ Lettre4/ HistoireMesure. html) dossier mensuel de Britanica France
[25] « Un autre reproche qu’il nous faut aussi, en préambule, adresser à un grand nombre de ceux qui se sont occupés de cette question, c’est que,
convaincus à priori du caractère totalement « secret » de cette géométrie et, de ce fait, de la quasi inexistence de la documentation, ils se sont
laissés aller à échafauder ce qui apparaît comme étant davantage des rêveries que des hypothèses, la plupart d’entre elles étant exclusivement
centrées sur le fameux « Nombre d’Or », un aspect en réalité assez « secondaire » de la question et dont l’émergence au premier plan des
préoccupations des bâtisseurs, ou, plus exactement, au premier plan de la littérature traitant du sujet, ne date en fait que de la Renaissance » P.
Vela El mas noble y cabal fundamenta de la canteria Letra y espiritu n° 18 nov. 2003
[26] Luca Pacioli De Divina Proportione traduction française par G. Duschesne et M. Giraud, Librairie du Compagnonnage, 1980
[27] Luca Pacioli Tractato de l’architectura 1509
[28] Vitruve De Architectura lire (http:/ / gallica. bnf. fr/ scripts/ catalog. php?Mod=i& Titre=& FondsTout=on& FondsTxt=on&
FondsImp=on& FondsPer=on& FondsImg=on& FondsAud=on& FondsMan=on& Auteur=Vitruve& Sujet=& RPT=)
[29] M-C. Hellmann L’Architecture Grecque T1 Les manuels d’Art et d’Archéologie Antiques 2002 (ISBN 270840606X)
[30] Luca Pacioli Tractato de l’architectura 1509 ch. I 5
[31] Il est probablement exact de dire que ni Palladio ni aucun autre architecte de la Renaissance n'a usé des proportions irrationnelles Rudolf
Wittkower, Les principes de l'architecture à la Renaissance, éditions de la Passion, Traduction française de 1996 (ISBN 2-906229-30-X)
[32] Ce paragraphe s'inspire de l'article : Marcus Frings The Golden Section in Architectural Theory Nexus Network Journal Birkhäuser Basel
Vol 4 N°1 2002 pp 9-32 Lire le pdf (http:/ / www. springerlink. com/ content/ n54g745j4u7202w6/ fulltext. pdf)
[33] Ces informations proviennent du site The Golden Ratio (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Golden_ratio. html)
par J. J. O'Connor and E. F. Robertson de l'Université de St Andrew
[34] L Curchin and R Herz-Fischler De quand date le premier rapprochement entre la suite de Fibonacci et la division en extrême et moyenne
raison? Centaurus 28 (2) 1985 p 129-138
[35] Ce résultat est publié deux ans après sa mort dans un livre intitulé Les œuvres mathématiques de Simon Stévin, augmentées par Albert Girad
1634
[36] A. Ross Extrême et moyenne raison (http:/ / newton. mat. ulaval. ca/ amq/ bulletins/ mai05/ Extreme. pdf) Association mathématique du
Quebec
[37] E. Montucla Histoire des Mathématiques 1758
[38] Cette information provient du site when de counting gets tough, the tough count on mathematics (http:/ / www. cut-the-knot. org/ arithmetic/
Fibonacci. shtml) de W. A. McWorter Jr
[39] earliest known uses of some of the words of mathematics (http:/ / members. aol. com/ jeff570/ f. html)
[40] Édouard Lucas Sur la recherche des grands nombre premiers AFAS Congrès 1876 5 p 61-68
[41] Une analyse détaillée du travail d'Édouard Lucas est disponible sur Thèse de A. M. Decaillot-Laulagnet (http:/ / www. univ-lille1. fr/
bustl-grisemine/ pdf/ extheses/ 50416-1999-Decaillot-Laulagnet. pdf)
[42] Site de l'Université de St Andrew (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Golden_ratio. html) par J. J. O'Connor et
E. F. Robertson
[43] Voir par exemple l'introduction de : Adolf Zeising Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers Weigel 1854
[44] Adolf Zeising Das Pentagramm Weigel, 1865
[45] Un exemple est donnée par la pyramide de Khéops. Cette idée provient à l'origine d'un livre de John Taylor Why was it built and who built
it? Longman, Green, Longman, and Roberts 1859. Elle se fonde sur une citation de Hérodote : « Le carré construit sur la hauteur verticale
égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires ». La citation est inexacte, en revanche, Hérodote parle bien de la pyramide de
Khéops mais propose des dimensions relativement fantaisistes, 238 mètres de large et autant de haut (cf édition de la pléade, Enquète II
(123)).
[46] La taille d'un homme est égale à l'espace compris entre ses deux bras étendus.
De la naissance des cheveux au bas du menton, il y a un dixième d'une hauteur d'homme ; du bas du menton au
sommet de la tête, il y a un huitième de sa hauteur ; du haut de la poitrine au sommet de la tête, il y a un sixième. Du
haut de la poitrine à la naissance des cheveux, il y a un septième de hauteur d'homme. Des mamelons au sommet de
la tête, il y a un quart. La plus large mesure d'une épaule à l'autre représente un quart de la taille de l'homme. Du
coude à la pointe du majeur, il y a un cinquième ; et du coude à l'angle de l'épaule, il y a un huitième d'une hauteur
d'homme. La main tout entière constitue un dixième ; la naissance de la verge est le milieu du corps. Le pied est la
septième partie de l'homme. De la plante du pied au point juste en dessous du genou, il y a un quart d'une hauteur
d'homme. De ce point à la naissance de la verge, il y a un quart. La distance entre le début du menton et le nez et
entre la naissance des cheveux et les sourcils est la même et, comme l'oreille, représente un tiers de la face. » Lire
(http://www.lalyreduquebec.com/Da_Vinci_humain/figure_humaine.htm)
222
Nombre d'or
[47] Charles Henry l'introduction à une esthétique scientifique 1885
[48] Une large partie de ce paragraphe tire ses idées et les faits notoires de l'article Le nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ /
ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/ article_drapel_. jaquier. pdf) de C. Jaquier et K. Drapel
[49] En règle générale, la spirale logarithmique d'une coquille de mollusque est bien loin de celle de la proportion d'or, pour un nautile la
proportion se situe autour de 1,3 : La coquille des mollusques (http:/ / hypo. ge. ch/ www/ math/ html/ node66. html)
[50] Archéologie en chantier (http:/ / www. diffusion. ens. fr/ archeo/ rech/ folder. 2006-11-21. 2131063934/ nombredor/
view?searchterm=hellmann) par M. Cariou et A. Jatteau
[51] C. M. César Matila Ghyka : La mesure mathématique dans l'art Filosofia oggi 1996 Vol 19 N° 1-2 pp 69-72
[52] Dominique Coquelle Les volumes d'or Trajectoire 2002 (ISBN 2841972178), le livre commence par « Depuis le début de son histoire, la
race humaine a traversé des périodes fabuleuses, dignes d'une légende ou d'un conte ... »
[53] On trouve une présentation de cette nature sur le site Les templiers et le nombre d'or (http:/ / rosamystica. oldiblog. com/ ?page=articles&
rub=420229)
[54] Pour R. Cedric Leonard l'existence d'une proportion proche de celle du nombre d'or dans ce temple permet de déduire que : « Ceci est
clairement un édifice d'importance construit par une civilisation aux mathématiques sophistiquées » The Bahama Island Underwater Ruins
(http:/ / www. atlantisquest. com/ Bahama. html). Comme indiqué dans le sous-titre du site, cette hypothèse sur la signification de cet amas de
pierres est, selon son auteur : « ignorée par le courant archéologique principal »
[55] F. P. Liharzik Das Quadrat Wien 1865
[56] Cette information provient du site Nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/
article_drapel_. jaquier. pdf) C. Jaquier K Drapel p 6
[57] Ce point de vue de Matila Ghyka est unanimement condamné par la communauté scientifique, voir à ce sujet : Marguerite Neveux , H.E.
Huntley Le nombre d'or Le Seuil 1995 (ISBN 2020259168) ou encore le site Historique du nombre d'or (http:/ / membres. lycos. fr/ morvillier/
hist. htm) par L. Morvillier J. Rey et G. Rigault
[58] On trouve par exemple : « s’il existe une race dont le nombril est trop bas pour la grande majorité des individus, cette race n’a pas encore
atteint sa maturité » D. Neroman Le nombre d'Or, clé du monde vivant Dervy (ISBN 2844540899)
[59] Dans une étude sur le cerveau, le nombre d'or est prétexte à condamner une minorité : « au contact d’immigrés attirés par une vie plus facile
[… qui] rêvent de nous soumettre à leur culture, sinon de réduire et d’altérer la nôtre »L. Israël Cerveau droit, cerveau gauche, cultures et
civilisations Plon 1995 (ISBN 2259028012). Tout un chapitre cherche à démontrer un accord entre le cerveau et le nombre d'or.
[60] Makis Solomos Les Anastenaria de Xenakis. Continuité et discontinuité historique (http:/ / www. iannis-xenakis. org/ fxe/ actus/ solom2.
pdf) Université Montpellier 3, Institut Universitaire de France 2003
[61] Cette revue porte le nom de Fibonacci quarterly Publication officielle de l'association Fibonacci (http:/ / www. engineering. sdstate. edu/
~fib/ )
[62] W. F. B. Hofmeister Handbuch der Physiologischen Botanik W. Engelmann, Leipzig 1868
[63] Julius Sachs Vorlesungen uber Pflanzenphysiologie 1882
[64] P. De Kepper Morphogenèse chimique : les réactions créatrices des rythmes et de formes (http:/ / cerimes. cines. fr/ 3517/ load/ documents/
utls/ download/ pdf/ 240800. pdf) 237e conférence de l’Université de tous les savoirs donnée le 24 août 2000
[65] S. Douady, Y. Couder Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process (Part I, II, III), J. Theor. Biol. 139, pp 178 312 1996
[66] S. Boissière Dynamique de la Phyllotaxie (http:/ / math. unice. fr/ ~sb/ Phyllotaxie. pdf) Laboratoire J. A. Dieudonné Université de Nice
[67] Robert Chalavoux Nombre d'or, nature et œuvre humaine Chalagam 2001 (ISBN 2950800173)
[68] Une explication simple est donnée dans le site Physique des spirales végétales : la Phyllotaxie (http:/ / den35. club. fr/ index. html). Une
explication plus technique est donnée dans l'article détaillé. L'article ayant convaincu la communauté scientifique est : S. Douady Y Couder
Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process (Part I, II, III) J. Theor. Biol. 139 pp 178-312 1996
[69] iFrance et le nombre d'or (http:/ / jmbreux. ifrance. com/ nombre_d_or. html)
[70] Nombre d'or (http:/ / www. lavf. com/ guide-bourse/ lexique/ Nombre_d_or-404. html) dans La vie financière
[71] La coquille des mollusques (http:/ / hypo. ge. ch/ www/ math/ html/ node66. html)
[72] Astrofiles galaxie (http:/ / www. astrofiles. net/ astronomie-les-galaxies-histoire-et-classification-49. html)
[73] Kitaev Levitov Al_0.86 Mn_0.14: a six-dimensional crystal JETP Lett. 41 p 145 1985
[74] L'essentiel des informations sur l'anatomie du point de vue artistique est détaillé dans le site L'anatomie (http:/ / www. cosmovisions. com/
anatomieartistique. htm) Imago Mundi par Serge Jodra
[75] Adolf Zeising Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers Weigel 1854.
[76] Nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/ article_drapel_. jaquier. pdf) C. Jaquier K
Drapel p 18
[77] Une description anatomique est disponible sur le site Cours d'anatomie de la faculté de Médecine de Rouen (http:/ / www. cours-anatomie.
info/ ), on peut aussi consulter le livre K. L. Moore A. F. Dalley Anatomie médicale Groupe de Boek 2007 (ISBN 274450114X)
[78] Cet argument provient du site Nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/ article_drapel_.
jaquier. pdf) C. Jaquier K Drapel p 19
[79] Les références sont donnés dans l'article Stature
[80] S. J. Gould La mal-mesure de l'homme 1997 (ISBN 2738105084)
[81] L'esthétique et le nombre d'or (http:/ / cerveaudroit. ouvaton. org/ article. php3?id_article=21)
223
Nombre d'or
[82] Ce module est retrouvé par Karl Richard Lepsius en 1852, cf L'anatomie (http:/ / www. cosmovisions. com/ anatomieartistique. htm) Imago
Mundi par Serge Jodra
[83] L'idéal classique et la figure humaine (http:/ / museefabre. montpellier-agglo. com/ pdf. php/ ?filePath=var/ storage/ original/ application/
55f805117cf1d839bbee6dca8fec094d) p 2 par le musée Fabre 2006
[84] Par exemple « certains artistes n’ont eu de cesse de réutiliser et de creuser cette veine ... on retrouve cette quête de perfection dans le partage
et la proportion (celle d'Euclide) qui intéressait déjà les anciens » Lire (http:/ / www. crdp-montpellier. fr/ petiteshistoires/ communs/ docpp/
PP-MAT-1- Le nombre d'or et les arts. pdf) À la recherche de l’harmonie M. Bourget IUFM de Montpellier
[85] Marguerite Neveux H.E. Huntley Le nombre d'or Le Seuil 1995 (ISBN 2020259168)
[86] Une analyse de même nature que celle proposée ici est disponible sur le site La Naissance de Vénus (http:/ / www. lenombredor. free. fr/
naissvenus. htm) on trouve une analyse très proche sur le site d' iFrance (http:/ / expo. ifrance. com/ lenombre/ ven_gril. htm)
[87] Par exemple : La Naissance de Vénus - Le Printemps (http:/ / www. bergerfoundation. ch/ Sandro/ 44venusprintemps. html)
[88] Leon Battista Alberti De pictura 1425
[89] Voir par exemple sa biographie Luca Pacioli (http:/ / www-groups. dcs. st-andrews. ac. uk/ ~history/ Biographies/ Pacioli. html) par J. J.
O'Connor E. F. Robertson dans le Site de l'Université de St Andrew
[90] Léonard de Vinci Carnets de Léonard de Vinci : Projet Gutenberg édition 1939 (http:/ / digital. library. upenn. edu/ webbin/ gutbook/
lookup?num=5000)
[91] Léonard de Vinci Traité de la peinture Version de 1490-1517 (http:/ / www. comunitarismo. it/ [ebook - ita - ARTE] Da Vinci Leonardo 1436 - Trattato della pittura - Einaudi 1924. pdf)
[92] par exemple : Daniel Arasse Léonard de Vinci Hazan 2002 (ISBN 2850258253)
[93] « ... il (Vinci) s'intéresse semble-t-il davantage aux fondements scientifique et au contrôle rationnel (de la peinture) ... » Daniel Arasse
Léonard de Vinci Hazan 2002 (ISBN 2850258253) p 266
[94] Léonard de Vinci Codex Atlanticus 119 v-a
[95] Une analyse de cette nature est accessible sur le site Proportions of the head and face (http:/ / www. fromoldbooks. org/
Richter-NotebooksOfLeonardo/ section-7/ item-315. html) par Léonard de Vinci
[96] texte de Léonard de Vinci tiré de Daniel Arasse Léonard de Vinci Hazan 2002 (ISBN 2850258253) p 303
[97] Daniel Arasse Léonard de Vinci Hazan 2002 (ISBN 2850258253) p. 349
[98] On trouve celui là par exemple sur le site Nombre d'or 2003 Léonard de Vinci (http:/ / membres. lycos. fr/ nombredor2003/ ?page=devinci)
[99] P. C. Marani Léonard Actes Sud Traduction A. Guglielmetti 2003 (ISBN 2742744274)
[100] Cette assertion provient de son ardent défenseur, me site est « ignoré par le courant archéologique principal » The Bahama Island
Underwater Ruins (http:/ / www. atlantisquest. com/ Bahama. html)
[101] L. R. Cedric, Quest for Atlantis Manor Books Inc., New York, 1979
[102] par exemple le site : Le nombre d'or ou la divine proportion (http:/ / angelsplace. club. fr/ Nombred'Or. htm)
[103] Celui-ci date de 1859 : John Taylor Why was it built and who built it? Longman, Green, Longman, and Roberts 1859
[104] Eric Temple Bell The Magic of Numbers Dover Publications 1992 (ISBN 0486267881)
[105] Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. Berlin and New York: Springer-Verlag. 542 pages. p. 86
[106] Une analyse détaillée par George Markowsky est disponible Misconceptions about the golden ratio (http:/ / www. cs. umaine. edu/
~markov/ GoldenRatio. pdf)
[107] On trouve une analyse de cette perplexité chez Marguerite Neveux H.E. Huntley Le nombre d'or Le Seuil 1995 ((ISBN 2020259168) ou
encore sur le site : Archéologie en chantier (http:/ / www. diffusion. ens. fr/ archeo/ rech/ folder. 2006-11-21. 2131063934/ nombredor/
view?searchterm=hellmann) par M. Cariou et A. Jatteau
[108] Le terme est utilisé par P. Tannery : Mémoires scientifiques Paris-Toulouse : E. Privat 1912 I p 268. Platon et Aristote utilise le terme
moins fort : θαυηάζειν que l'on pourrait traduire par frappé par le tonnerre : Platon Lois Livre VII 819 d6 ou encore Aristote Métaphysique A,
983 a 15
[109] « Quelques rares témoignages platoniciens et présocratiques montrent en tout cas que la prise de conscience de l’incommensurabilité, loin
d’avoir été vécue sous le mode de la jubilation archimédienne, aurait bien plutôt fait l’objet d’un scandale, d’une trahison, plongeant
momentanément la conscience grecque dans l’absurdité, voire l’obscurité. » La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini (http:/
/ www. cndp. fr/ RevueCPhil/ 91/ 00902911. pdf) par Jean-Luc Périllié
[110] Simone Jacquemard Trois mystiques grecs : Orphée, Pythagore, Empédocle Albin Michel 1997 (ISBN 2226089462)
[111] Jamblique De Vita Pythagorica § 88 p 246 247
[112] Ce traité est disponible sur Gallica sous trois traductions distinctes : lire (http:/ / gallica. bnf. fr/ scripts/ catalog. php?Mod=i& Titre=&
FondsTout=on& FondsTxt=on& FondsImp=on& FondsPer=on& FondsImg=on& FondsAud=on& FondsMan=on& Auteur=Vitruve&
Sujet=& RPT=)
[113] M-C. Hellmann L’Architecture Grecque T1 Les manuels d’Art et d’Archéologie Antiques 2002 (ISBN 270840606X)
[114] Cette technique est utilisée par Huntley : Nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/
article_drapel_. jaquier. pdf) C. Jaquier K Drapel p 9
[115] C'est la solution adoptée par Matila Ghyka :Le nombre d’or Gallimard, 1931, réédité en 1976 (ISBN 2070292983).
[116] M. Trachtenberg I. Hyman Architecture, from Prehistory to Post-Modernism Prentice Hall (ISBN 0131833650) p 118. Pour le Parthénon,
par exemple on trouve une largeur de 30.78 m pour une hauteur de 13.71 m, soit une proportion de 2,25 : M. Trachtenberg and I. Hyman.
Architecture, from Prehistory to Post-Modernism New York: Harry N. Abrams, 1986 (ISBN 0810910772)
224
Nombre d'or
[117] Matila Ghyka Le nombre d’or Gallimard, 1931, réédité en 1976 (ISBN 2070292983)
[118] Cette expression est tirée du titre de son premier livre sur le sujet : Le Corbusier Le Modulor : Essai sur une mesure harmonique à l'échelle
humaine applicable universellement à l'architecture et à la mécanique Paris : Architecture d'Aujourd'hui, Réédition 1983 (ISBN 2904833013)
[119] Le Corbusier Le modulor : Essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'architecture et à la
mécanique Paris : Architecture d'Aujourd'hui, Réédition 1983 (ISBN 2904833013) p 34
[120] A Music Theory for 10-tet, in Tuning, Timbre, Spectrum, Scale by William A. Sethares
[121] Cette thèse a donné lieu à un livre : Guy Marchand Bach ou la Passion selon Jean-Sébastien : de Luther au nombre d'or, L'Harmattan,
ISBN 2747546519
[122] Roy Howat, Debussy in Proportion : a musical analysis Cambridge 1986 (ISBN 0521311454)
[123] M. Gillmor, Erik satie, 1988 ou Robert Orledge, Satie the composer
[124] Ernö Lendvai Bartók's Music and Golden Section
[125] Gérard Assayag et Jean-Pierre Cholleton, Musique, nombre et Ordinateurs (http:/ / recherche. ircam. fr/ equipes/ repmus/ RMPapers/
Assayag95c/ )
[126] Par exemple pour Satie : Courtney S. Adams dans Erik Satie and Golden Section Analysis, Music & Letters, Vol. 77, No. 2 (May, 1996),
pp. 242-252 ou pour Bartok : J-B CondatReply to Ernö Lendvai: Bartók's Music and Golden Section Leonardo Vol. 21 N° 3 1988 p 340
[127] Voir à ce sujet le site : Musique, Nombre et Ordinateur (http:/ / recherche. ircam. fr/ equipes/ repmus/ RMPapers/ Assayag95c/ ) par G.
Assayag et J. P. Cholleton 1995
[128] Comme par exemple celle de Guy Marchand Forum de l'Université de Montréal (http:/ / www. iforum. umontreal. ca/ Forum/
ArchivesForum/ 2003-2004/ 031208/ article3016. htm)
[129] Gustav Fechner Zür experimentalen Aesthetik S.Hirzel 1871
[130] Le biais provient d'un nombre trop faible de figures présentées, une dizaine. George Markowsky Misconceptions about the golden ratio
(http:/ / www. cs. umaine. edu/ ~markov/ GoldenRatio. pdf) trouve une « proportion universelle » plus proche de 1,83.
[131]
[132]
[133]
[134]
[135]
[136]
[137]
[138]
http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Commons%3Acategory%3Agolden_ratio
http:/ / www. cite-sciences. fr/ francais/ ala_cite/ college/ v2/ html/ 2006_2007/ conferences/ conference_239. htm
http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/ article_drapel_. jaquier. pdf
http:/ / www. umcs. maine. edu/ ~markov/ GoldenRatio. pdf
http:/ / www. diffusion. ens. fr/ archeo/ rech/ folder. 2006-11-21. 2131063934/ nombredor/ view?searchterm=hellmann
http:/ / www. pseudo-sciences. org/ spip. php?article796
http:/ / ww3. ac-poitiers. fr/ arts_p/ [email protected]/ pageshtm/ page_4. htm
http:/ / rosamystica. oldiblog. com/ ?page=articles& rub=420229
225
Zéro
226
Zéro
Le chiffre zéro est un symbole marquant une position vide dans l'écriture des nombres en notation positionnelle.
Le nombre zéro est un objet mathématique permettant d'exprimer une absence comme une quantité (nulle),
constituant ainsi le cardinal de l'ensemble vide. Il est conçu comme le plus petit des entiers naturels. Ses propriétés
arithmétiques particulières, en particulier l'impossibilité de la division par zéro, impliquent parfois de traiter son cas
à part. Il sépare les nombres réels en positifs et négatifs, tient lieu d'origine pour repérer des points sur la droite
réelle.
Plus généralement, zéro désigne l'élément neutre pour l'addition dans la plupart des groupes abéliens et en particulier
dans les anneaux, corps, espaces vectoriels et algèbres, parfois sous le nom d'élément nul.
Les Babyloniens ont utilisé les premiers, un peu plus de 200 ans avant J.C, une forme de zéro à l'intérieur d'un
nombre (ex 304) mais jamais à droite du nombre, ni à gauche. C'est l'Inde qui, en reprenant l'héritage culturel des
grecs, perfectionne la numération. Elle n'utilise pas seulement le zéro comme notation à la manière babylonienne,
mais aussi comme un nombre avec lequel opérer. Notion et notation indiennes du zéro sont ensuite empruntées par
les mathématiciens arabes[1] puis par les Européens.
0
Cardinal
Zéro
Ordinal
zéroième
[2]
nullième
e
0
Préfixe grec
oudén
Préfixe latin
nihil
Adverbe
zéroièmement
Propriétés
Facteurs premiers
Aucune
Autres numérotations
Numération romaine (inexistant)
Système binaire
0
Système octal
0
Système duodécimal
0
Système hexadécimal 0
Histoire
Zéro en tant que chiffre
Il est apparu trois fois dans l’histoire des systèmes de numération élaborés par différents peuples et civilisations.
La première apparition du zéro en Mésopotamie semble remonter au IIIe siècle av. J.-C., à l'époque des Séleucides. Il
n'était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d'une position vide dans le
système de numération babylonienne)[3] ; bien qu'ignoré par les Romains, il fut repris et mieux utilisé encore par les
astronomes grecs.
Zéro
227
Il a été ensuite redécouvert par les Chinois, qui n’ont pas su en revanche introduire le zéro. Les inscriptions sur os et
écailles (jiaguwen) découvertes dans la région de Anyang, dans l'actuelle province du Henan, à la fin du XIXe siècle,
nous apprennent que, dès les XIVe‑XIe siècles av. J.-C., les Chinois utilisaient une numération décimale de type «
hybride », combinant dix signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les
dizaines, centaines, milliers et myriades.
Il est également utilisé par les Mayas durant le Ier millénaire, comme chiffre dans leur système de numération de
position, comme nombre et comme ordinal dans le calendrier, où il correspond à l'introduction des mois. (voir
numération maya)
En tant que nombre
Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est héritée de l'invention indienne des chiffres nagari
vers le Ve siècle. Le mot indien désignant le zéro était śūnya (çûnya), qui signifie « vide » « espace » ou « vacant ».
Le mathématicien et astronome indien Brahmagupta est le premier à définir le zéro dans son ouvrage Brâhma
Siddhânta. Ce mot, traduit de l'arabe en « ṣifr » (Sifr ‫)صِفْر‬, ce qui signifie « vide » et « grain », est la racine des mots
chiffre et zéro (vient de ce que Fibonacci a traduit l'arabe Sifr par l'italien zephiro, à partir duquel il a formé zevero
qui est devenu zero). La graphie du zéro, d'abord un cercle, est inspirée de la représentation de la voûte céleste.
Comme l'indique l'étymologie, son introduction en Occident est consécutive à la traduction des travaux des
mathématiciens musulmans, notamment ceux d'al-Khwārizmī, vers le VIIIe siècle. Les chiffres arabes sont importés
d'Espagne en Europe chrétienne aux environs de l'an mil par Gerbert d'Aurillac, devenu le pape Sylvestre II. Le zéro
ne se généralise pas pour autant dans la vie courante, les chiffres dits arabes servant surtout... à marquer les jetons
d'abaque de 1 à 9 !
Ce n'est qu'avec le retour du commerce intensif consécutif aux Croisades que les Européens généralisent, au
XIIe siècle, l'usage du zéro. Une curiosité pour les œuvres des auteurs grecs et musulmans prend en même temps
naissance.
Léonard de Pise, dit Fibonacci, a une influence déterminante. Il reste plusieurs années en Afrique du Nord en Algérie
et exactement à Béjaïa ou Bougie et étudie auprès d'un professeur local. Il voyage également en Grèce, Égypte,
Proche-Orient et confirme l'avis de Sylvestre II sur les avantages de la numération de position. En 1202, il publie le
Liber Abaci, recueil qui rassemble pratiquement toutes les connaissances mathématiques de l'époque, et malgré son
nom, apprend à calculer sans abaque.
Graphies actuelles
La graphie « 0 » n'est pas la seule utilisée dans le monde ; un certain nombre d'alphabets — particulièrement ceux
des langues du sous-continent indien et du sud-est asiatique — utilisent des graphies différentes.
Alphabet
Chiffre
Alphabet
Chiffre
Alphabet
Chiffre Alphabet Chiffre
፨
०
Arabe Oriental
٠
Bengalî
০
Birman
Arabe
Occidental
0
Gurmukhî
੦
Kannara
Khmer
໐
Gujarati
૦
Malayalam
൦
Oriya
Tamoul
௦
Télougou
౦
Thaï
๐
Tibétain
Amharique
Dévanagari
Sinogramme
零/〇
၀
೦
୦
༠
Zéro
228
Utilisations
Il est aujourd'hui à la base de notre système de mesure de la température :
• 0 °C : température du passage de l'eau de l'état solide (glace) à l'état liquide, à une pression ambiante de 1013 hPa
;
• 0 K : zéro absolu, température la plus basse possible (-273,15 °C), pour laquelle l'énergie rovibrationnelle et
cinétique des molécules est nulle.
Il n'y a pas d'année zéro dans le calendrier grégorien. En effet, l'usage du nombre 0 en Europe est postérieur à la
création de l'anno Domini par Dionysius Exiguus au VIe siècle. Cependant pour simplifier les calculs d'éphémérides,
les astronomes définissent une année 0 qui correspond à l'année -1 des historiens, l'an -1 des astronomes
correspondant à l'an -2 des historiens et ainsi de suite...
C'est ainsi que le IIIe millénaire et le XXIe siècle ont commencé le 1er janvier 2001.
Minuit peut se noter 00:00.
Les informaticiens ont l'habitude de compter à partir de 0 et non de 1. La raison en est que la numérotation
d'éléments stockés de façon continue dans une zone de stockage (disque, mémoire, etc) se fait par décalage par
rapport à une adresse de début : le premier élément est celui au début de la zone (+ 0), le second élément est le
suivant (+ 1), etc. Ce double standard des numérations à partir de 0 et de 1 (chaque système ayant ses avantages et
inconvénients) est la source de nombreuses erreurs de programmation.
Le zéro comme notation des bases 2, 8, 10, 16...
Dans la base dix que l'on utilise, le chiffre le plus à droite indique les unités, le deuxième chiffre indique les dizaines,
le troisième les centaines, le quatrième les milliers...
Le zéro joue donc un rôle particulier dans le système arithmétique positionnel, quel qu'il soit du reste.
Rappelons que l'usage de la base 10, en provenance de l'Inde, s'est imposé par rapport à d'autres bases, comme par
exemple 12 et 60 qui étaient utilisées dans certaines civilisations.
Lorsqu'il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre des unités (2) permet de
comprendre que l'autre chiffre (3) indique les dizaines.
Si l'on a un nombre entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n'y a pas d'unité résiduelle. Il faut donc
un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c'est ainsi que l'on
comprend que « 30 » signifie « trois dizaines ».
On aurait pu utiliser n'importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait « 2.3 ».
L'utilisation d'un caractère « bouche-trou » remonte à la numération babylonienne, comme indiqué ci-dessus, mais il
ne s'agit pas du concept d'« absence de quantité », il s'agit juste d'une commodité de notation. Dans la numération
romaine, cet artifice n'est pas utile puisque les unités (I, V), les dizaines (X, L), les centaines (C, D) et les milliers
(M) sont notés avec des caractères différents. En contrepartie, la notation de nombres supérieurs à 8999 devient
problématique et les reconnaissances de structures pour le calcul mental rapide bien plus pénibles.
Il pourrait être bon de rappeler que les Mayas utilisèrent aussi un autre zéro, spécialisé pour la notation du premier
jour d'un mois de l'année solaire (le ha'ab de 365 jours). Chez eux, le premier janvier était un « 0 Pop ».
Zéro
229
Le zéro comme absence de quantité
Le fait d'exprimer l'absence de quantité par un nombre n'est pas une évidence en soi. L'absence d'un objet s'exprime
par la phrase « il n'y en a pas » (ou « plus »).
Les nombres sont déjà une abstraction : on ne s'intéresse pas à la qualité d'un objet, mais juste à sa quantité, la
dénombrabilité (le fait que des objets soient similaires mais distincts). Avec le zéro, on va jusqu'à nier la quantité.
Lorsque l'on additionne ou multiplie deux nombres, on a derrière l'image de regrouper deux tas d'objets semblables,
deux troupeaux. Cette image ne tient plus lorsque l'on manipule le zéro.
L'invention du zéro a permis l'invention des nombres négatifs.
Propriétés arithmétiques et algébriques
Pour tout nombre réel (ou complexe)
•
•
:
(0 est élément neutre pour l'addition)
(0 est élément absorbant pour la multiplication)
• si
alors
•
n'est pas défini (c'est une forme indéterminée du calcul des limites), mais il est souvent « pratique », dans
certains cadres formels, de considérer que
.
• par extension de la factorielle à l'aide de la fonction Gamma,
•
•
non défini (voir article division par zéro)
•
non défini, en remarquant toutefois que le calcul
lorsque les deux valeurs tendent vers zéro est la base
du calcul différentiel.
Usage étendu de zéro en mathématiques
• Zéro est l'élément neutre dans un groupe abélien muni de la loi
ou l'élément neutre pour l'addition dans un
anneau.
• Un zéro d'une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l'image par la fonction est
zéro ; aussi appelé racine, surtout dans le cas d'une fonction polynôme. Voir zéro (analyse complexe).
• En géométrie, la dimension d'un point est 0.
• En topologie, la dimension topologique de l'ensemble de Cantor est 0, quoiqu'il ait une dimension de Hausdorff
non nulle.
• En géométrie analytique, 0 a pour nom l'origine, notée aussi O (un cas où l'ambiguïté est bénigne).
• Le concept de « presque » impossible en probabilité. Plus généralement, le concept de presque nulle part en
théorie de la mesure.
• Une fonction zéro est une fonction avec 0 comme seule valeur de sortie possible. Une fonction zéro particulière
est le morphisme zéro. Une fonction zéro est l'identité dans le groupe additif des fonctions.
• Zéro est l'une des trois valeurs de retour possibles de la fonction de Möbius. Si on entre un entier
fonction de Möbius retournera zéro.
• C'est un nombre de Pell.
ou
, la
Zéro
230
Voir aussi
Numération grecque / Le zéro chez les Grecs
Articles connexes
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Lokavibhâga
Notation positionnelle
Écriture décimale positionnelle
Base (arithmétique)
Système décimal
Système décimal sans zéro
Chiffre arabe
Nombre
Mathématiques
Axiomes de Peano
Brahmagupta
Alphabet morse dans lequel le chiffre 0 vaut « — — — — — »
Zéro barré
• Théorème des zéros de Hilbert
Bibliographie
• Histoire universelle des chiffres, l'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul. Georges Ifrah.
Robert Laffont, collection Bouquins. (ISBN 2-22190-100-2). Tome 1, 1042 pages, tome 2, 1010 pages. Janvier 1994.
(illustrations en couleur)
• Zéro, la biographie d'une idée dangereuse, Charles Seife, éd. Hachette, (ISBN 2-01279-192-1)
Liens externes
• Almanach et dictionnaire des nombres [4] (site de Gérard Villemin)
Liste des nombres
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Références
[1] Pierre Germa, Depuis quand ?, dictionnaire des inventions. Berger-Levrault, Paris.(1979).p.382 (ISBN 270130329X).
[2] http:/ / www. alain. be/ Boece/ noms_de_nombre. html
[3] Otto Neugebauer, Les Sciences exactes dans l'Antiquité, 1969, chapitre 1. p.20-27 consultable ici (http:/ / books. google. fr/
books?id=JVhTtVA2zr8C& printsec=frontcover& dq=The+ Exact+ Sciences+ in+ Antiquity& source=bl& ots=l1puf_2zxq&
sig=lr68GI07DfqzHuo4xBK4vvzF3zk& hl=fr& ei=UvdiS7_5LNHPjAe3uP2tBw& sa=X& oi=book_result& ct=result& resnum=1&
ved=0CAkQ6AEwAA#v=onepage& q=zero& f=false)
[4] http:/ / perso. wanadoo. fr/ yoda. guillaume/ Zero. htm
Unité imaginaire
231
Unité imaginaire
En mathématiques, l’unité imaginaire est un nombre complexe, noté
, dont le carré vaut
. Ses multiples par
des nombres réels constituent les nombres imaginaires purs.
Constructions
Puisque tous les nombres réels ont un carré positif, l'unité imaginaire ne peut être considérée comme un point de la
droite réelle. Il existe plusieurs façons de la définir.
Sa première apparition était sous la forme de
, écriture qui n'a pas de sens dans les nombres réels (et qui n'est
d'ailleurs pas utilisée non plus dans les nombres complexes), mais qui traduisait sa propriété fondamentale. Une
formalisation acceptable de cette construction n'est apparue que beaucoup plus tard, dans un quotient de l'anneau
des polynômes réels par l'idéal engendré par le polynôme
:
• Si on prend
réel,
n'admet pas de solution.
• Si on imagine un nombre
possède deux solutions :
les réels
tel que
,
et
a été étendue à un plan
l'expression
, et qu'on exprime
x
,
, alors l'équation
. Autrement dit, la droite d'abscisses représentant
(appelé plan complexe
correspondante s'annule pour les points
) contenant les points
et
, et
. Par convention, on choisit le
point
comme représentation de l'unité imaginaire (l'autre point étant son opposé, d'affixe
).
(Une représentation graphique complète de
dans le domaine complexe nécessiterait 4 dimensions : 2 pour
et 2 pour la valeur complexe de l'expression de
Le nombre imaginaire
.)
est donc un outil mathématique pour apporter des solutions supplémentaires à certaines
équations, en ajoutant une dimension aux nombres réels (remplacement d'une droite par un plan) ; les nombres
comportant un multiple de cette unité imaginaire sont appelés nombres complexes.
Propriétés de i
Son opposé est à la fois son inverse et son conjugué :
. Son module est égal à 1. Il vérifie aussi
l'égalité
, mais le choix de l'unité imaginaire est lié à l'orientation du plan complexe.
Ses images par les fonctions trigonométriques s'écrivent :
•
•
•
i est une racine de l'unité d'ordre 4, donc ses puissances sont
De plus, on peut se demander : pourquoi avoir noté cette unité i ?
Si on avait laissé la notion de
•
Mais aussi :
, on aurait dû appliquer toutes les lois s'appliquant à la racine carrée :
Unité imaginaire
232
•
Et donc
, ce qui pose réellement problème. Ainsi, c'est presque deux siècles après l'apparition de l'unité
imaginaire qu'Euler réforme l'écriture de ce nombre en posant :
i et la formule d'Euler
La formule d'Euler donne :
Où x est un nombre réel. La formule peut alors être analytiquement étendue pour un complexe z :
remplaçons x par
et on obtient donc l'identité d'Euler :
C'est une équation remarquablement simple mettant en scène cinq nombres mathématiques très importants (0, 1,
et ) reliés uniquement par des additions, multiplications et exponentiations.
E (nombre)
Article d'une série sur
la constante mathématique e
Logarithme naturel
Applications
Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle / Décroissance exponentielle
Définitions
Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème de Lindemann-Weierstrass
Personnes
John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler
,
E (nombre)
233
Conjecture de Schanuel
En mathématiques, e est une constante dont l'expression décimale commence par 2,718 281 828 459 045 235 360
287 4…. Il s'agit de la base des logarithmes naturels.
Appellation :
•
est parfois appelée constante de Néper, du nom du mathématicien écossais John Napier (ou Neper) qui
introduisit les logarithmes.
•
fut appelé nombre exponentiel par Euler en 1761.
Considérations historiques
Le nombre est probablement la constante réelle la plus importante des mathématiques après π : on la retrouve en
effet dans la normalisation des fonctions exponentielles. Il est cependant difficile de dater avec exactitude son
apparition dans la littérature. En effet, si Neper introduit les logarithmes comme artifice de calcul pour simplifier les
calculs du sinus, du cosinus, du produit et du quotient, il ne précise pas de base particulière pour ces logarithmes et
les logarithmes les plus courants à cette époque sont ceux en base 10.
Les logarithmes naturels apparaissent pour la première fois en 1618 en appendice d'un traité de Napier probablement
rédigé par William Oughtred.
En 1624, Briggs donne l'approximation du logarithme décimal d'un nombre qu'il n'identifie pas avec précision, mais
qui se révèle être .
En 1647, Grégoire de Saint-Vincent calcule l'aire sous l'hyperbole,
mais ne met pas en évidence le nombre .
En 1661, Huygens est capable de faire le rapprochement entre
l'aire sous l'hyperbole et les fonctions logarithmes. Comme est
le réel tel que l'aire sous l'hyperbole entre 1 et vaille 1, il est
probable que ce nombre fut remarqué à cette époque sans toutefois
que l'on parle pour lui de la base du logarithme naturel.
L'aire sous l'hyperbole est égale à 1 sur l'intervalle
[1;e].
La première apparition de comme nombre remarquable date de 1683, époque à laquelle Bernoulli s'intéresse aux
calculs d'intérêt. Ce qui l'amène à étudier la limite de la suite
. Mais personne à ce moment ne fait le
rapprochement entre ce nombre et les logarithmes naturels. Pourtant c'est durant cette période que l'on commence à
entrevoir que la fonction logarithme de base est la réciproque de la fonction exponentielle de base . La
communauté scientifique est alors mûre pour découvrir . C'est dans une lettre de Leibniz à Huygens que ce
nombre est enfin identifié comme la base du logarithme naturel, mais Leibniz lui donne le nom de .
On doit la notation pour cette constante à Euler dans une lettre que celui-ci adresse à Goldbach en 1731. Le choix
de a donné lieu a de nombreuses conjectures : pour Euler ? pour exponentielle ? ou tout simplement
comme première voyelle disponible dans le travail d'Euler.
E (nombre)
234
C'est aussi Euler qui donne le développement de
en série
et en fraction continue :
Puisque possède un développement en fraction continue infini, il est irrationnel. Les différents approximants de
Padé permettent d'offrir de nombreuses expressions de e sous forme de fractions continues généralisées (cf. l'article
Approximant de Padé de la fonction exponentielle). Elles permettent à Charles Hermite de démontrer la
transcendance de ce nombre en 1873.
Décimales connues
Le nombre de décimales connues de la constante e a augmenté de façon spectaculaire au cours des dernières
décennies. Cette précision est due à l'augmentation des performances des ordinateurs ainsi qu'au perfectionnement
des algorithmes[1] ,[2] .
Nombre de décimales connues de la constante e
Date
1748
Décimales connues
Performance due à
18 Leonhard Euler[3]
1853
137 William Shanks
1871
205 William Shanks
1884
346 J. Marcus Boorman
1946
808 ?
1949
2 010 John von Neumann (avec l'ENIAC)
1961
100 265 Daniel Shanks & John W. Wrench
1981
116 000 Stephen Gary Wozniak (avec l'Apple II[4]
)
1994
10 000 000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997
18 199 978 Patrick Demichel
Août 1997
20 000 000 Birger Seifert
Septembre 1997
50 000 817 Patrick Demichel
Février 1999
200 000 579 Sebastian Wedeniwski
Octobre 1999
869 894 101 Sebastian Wedeniwski
21 novembre 1999
1 250 000 000 Xavier Gourdon
10 juillet 2000
2 147 483 648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 juillet 2000
3 221 225 472 Colin Martin & Xavier Gourdon
2 août 2000
6 442 450 944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 août 2000
12 884 901 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21 août 2003
25 100 000 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
E (nombre)
235
18 septembre
2003
50 100 000 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27 avril 2007
100 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Définitions et propriétés
Définitions de e
Les considérations précédentes montrent que
•
•
est le réel tel que
peut être défini de plusieurs façons différentes
lorsqu'on définit la fonction
comme la primitive de la fonction
qui
s'annule en 1. C'est pourquoi cette constante est aussi appelée la base des logarithmes naturels
est le réel tel que
lorsqu'on définit la fonction
comme l'unique fonction vérifiant
et
•
.
est la limite de la suite
•
est égal à la somme de la série infinie
.
(avec la convention
).
L'équivalence de ces quatre définitions provient des relations qui lient la fonction exponentielle, la fonction
logarithme et les limites de suites.
Théorie des nombres
La constante de Néper apparaît largement dans la théorie des nombres.
Les mathématiciens se sont très tôt intéressés à la nature du nombre
. L'irrationalité de
fut démontrée par Euler[5] en 1737 et
l'irrationalité de ses puissances entières par Lambert en 1761[6] . La
démonstration peut se faire grâce à son développement en série (voir la
démonstration de l'irrationalité de e, ci-dessous) soit par son
développement en fraction continue.
La preuve de la transcendance de fut établie par Hermite en 1873.
On en déduit que, pour tout rationnel non nul (ce qui inclut les
entiers naturels),
est aussi transcendant, mais on ne sait pas encore
(2007) si
est transcendant ou non.
Les propriétés de ce nombre sont à la base du théorème de
Lindemann-Weierstrass.
Il a été conjecturé que
était un nombre normal.
Leonhard Euler
E (nombre)
236
Fonction exponentielle et équation différentielle
Pour tout réel
,
où
est l'unique fonction
vérifiant l'équation différentielle
. Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base
et
.
Elle permet de donner toutes les solutions de l'équation différentielle
qui sont les fonctions définies par
.
La fonction exponentielle admet le développement en série suivant :
Fonction trigonométrique
La recherche de l'unique solution complexe à l'équation différentielle
et
conduit à la fonction
et à l'identité d'Euler :
qui selon Richard Feynman est « la formule la plus remarquable du monde »[7] (e représentant l'analyse, i l'algèbre,
la géométrie, 1 l'arithmétique et le nombre 0 les mathématiques). Euler lui-même aurait également été émerveillé
de cette relation rassemblant cinq nombres fondamentaux : 0, 1, , , .
Démonstration de l'irrationalité de e
Le nombre
est égal à la somme de la série de l'exponentielle de 1 :
Ce développement peut être employé pour montrer qu'il est irrationnel.
Démonstration, par l'absurde. Supposons qu'il existe deux entiers
positif et
et
tels que
, où
est strictement
strictement supérieur à 1. Considérons le nombre
Nous allons démontrer que
est un nombre entier strictement positif et strictement inférieur à 1, et cette
contradiction établira l'irrationalité de .
• Pour voir que
Or,
est un nombre entier, remarquons que
divise
et, pour tout entier
compris entre 0 et
,
divise
, les quantités
donc entières, est donc entier comme somme et différence d'entiers.
• Pour voir que est un nombre strictement positif et strictement inférieur à 1, remarquons que
et ainsi
et
sont
E (nombre)
237
Ici, la dernière somme est une série géométrique de raison
.
Puisqu'il n'existe aucun nombre entier strictement positif et strictement inférieur à 1, nous avons obtenu une
contradiction, et ainsi doit être irrationnel. ∎CQFD
Une autre démonstration consiste à établir le développement en fraction continue du nombre e. Si la preuve est plus
complexe, elle offre aussi plus de possibilités de généralisation. Elle permet de montrer que si x est un nombre
rationnel non nul, alors ex est irrationnel. Elle permet aussi d'établir que e n'est pas un irrationnel quadratique,
c'est-à-dire n'est solution d'aucune équation du second degré à coefficients rationnels (cf. Fraction continue et
approximation diophantienne). En revanche, pour aller plus loin, c'est-à-dire que pour montrer que e n'est solution
d'aucune équation du troisième degré à coefficients rationnels, puis qu'il est transcendant, ce qui signifie qu'il n'est
solution d'aucune équation polynomiale à coefficients rationnels, de nouvelles idées sont nécessaires.
Voir aussi
Articles connexes
• Exponentielle
Liens externes
• Démonstration de Fourier de l'irrationalité de e, présentée et analysée sur le site BibNum [8]
• Démonstration d'Hermite de la transcendance de e (1873), présentée et analysée sur le site BibNum [2]
• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, The number e [9], MacTutor History of Mathematics archive.
Références
[1] Sebah, P. and Gourdon, X.; (en)The constant e and its computation (http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ E/ e. html)
[2] Gourdon, X.; (en)Reported large computations with PiFast (http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ PiProgram/ computations.
html)
[3] (en)New Scientist 21st July 2007 p. 40
[4] (en)Byte Magazine vol. 6, Issue 6 (June 1981) p. 392) "The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer"
[5] Ed Sandifer, How Euler did it (http:/ / www. maa. org/ editorial/ euler/ How Euler Did It 28 e is irrational. pdf).
[6] Alain Juhel, Lambert et l'irrationalité de Pi (1761) (http:/ / www. bibnum. education. fr/ mathematiques/
lambert-et-l’irrationalite-de-p-1761#).
[7] Equations as icons (http:/ / physicsworld. com/ cws/ article/ print/ 27160)
[8] http:/ / bibnum. education. fr/ mathematiques/ melange-danalyse-algebrique-et-de-geometrie
[9] http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ history/ HistTopics/ e. html
Aleph-zéro
Aleph-zéro
Le cardinal de l'ensemble des entiers naturels, et donc par équipotence, le cardinal de n'importe quel ensemble
dénombrable, est noté
et se lit Aleph-zéro, c'est le premier dans la suite indexée par les ordinaux des alephs, une
suite d'ordinaux définie par Georg Cantor pour représenter tous les cardinaux infinis.
Table de constantes mathématiques
Cet article donne une liste de certaines constantes mathématiques. Typiquement, une constante en mathématique
est un élément du corps des nombres réels ou des nombres complexes. À la différence des constantes physiques, les
constantes mathématiques sont définies indépendamment de toute mesure physique et apparaissent dans divers
contextes.
Liste
Notes
• Les constantes mathématiques considérées ici sont des nombres définissables (et aussi presque toujours
calculables).
• Les abréviations suivantes sont utilisées pour déterminer le ou les domaines d'application des constantes :
•
•
•
•
•
•
An : analyse
C : combinatoire
G : général (dans tous les domaines)
TCh : théorie du chaos
TI : théorie de l'information
TN : théorie des nombres
• Les abréviations suivantes sont utilisées pour préciser la nature des constantes :
•
•
•
•
•
•
A : nombre algébrique
C : nombre complexe
I : nombre irrationnel
R : nombre rationnel
T : nombre transcendant
? : inconnue
Intervalle [0,1]
Constantes réelles comprises entre 0 et 1.
238
Table de constantes mathématiques
Symbole
0
239
Valeur approchée
Nom
Domaine Nature
0
Zéro
G
0,26149 72128 47642 78375 54268
38608 69585…
Constante de Meissel-Mertens
β
0,2801 69499 0…
λ
Nombre de
chiffres connus
Vers le IIIe siècle
av. J.-C.
—
TN
1866
8010
Constante de Bernstein
An
1913
0,30366 30029…
Constante de
Gauss-Kuzmin-Wirsing
C
1974
σ
0,35323 63719…
Constante de
Hafner-Sarnak-McCurley
TN
1993
B
0,4…
1re constante de Landau
An
1
L
0,5…
2e constante de Landau
An
1
Ω
0,56714 32904… [1]
Constante oméga
An
γ
0,57721 56649 01532 86060 65120
90082 40243…
Constante d'Euler-Mascheroni
G, TN
1735
0,62432 99885
Constante de Golomb-Dickman
C, TN
1930, 1964
M1
λ, μ
[2]
0,643410546288338...
Constante de Cahen
0,66016 18158 46869 57392 78121
10014 55577…
Constante des premiers jumeaux
0,661707 182267 ...
Constante de Robbins
0,66274 34193
Constante de Laplace
β*
0,70258…
Constante d'Embree-Trefethen
TN
K
0,76422 36535 89220 66…
Constante de Landau-Ramanujan
TN
0,80939 40205…
Constante d'Alladi-Grinstead
TN
G
0,83462 6842…
Constante de Gauss
B4
0,87058 83800…
Constante de Brun pour les
quadruplets premiers
TN
K
0,91596 55941 77219 01505 46035
14932 38411…
Constante de Catalan
C
1
1
Un
G
C2
Intervalle [1,2]
Constantes réelles comprises entre 1 et 2.
R
Découverte
385
T
T
1891
TN
108000000
4000
5020
I?
T
30010
30 mai 1799
5000000000
R
—
—
Table de constantes mathématiques
Symbole
1
240
Valeur approchée
Nom
Domaine Nature
1
Un
G
1,08366…
Constante de Legendre
TN
Λ
1,09868 58055…
Constante de Lengyel
C
K
1,13198 824…
Constante de Viswanath
TN
1,18656 91104…
Constante de Khinchin-Lévy
TN
1,20205 69031 5959…
Constante d'Apéry
θ
1,30637 78838 6308…
Constante de Mills
ψ
1,32471 79572 44746 02596
09088 54…
√2
μ
B’L
Découverte
Nombre de chiffres
connus
R
—
—
1992
8
I
1979
TN
?
1947
Nombre plastique
G
A
1928
1,41421 356237 309504 88016
887242 09698 07…
Constante de Pythagore, racine
carrée de deux
G
A
Avant 800 av. J.-C.
1,45136 92348 83381 05028
39684 85892 027…
Constante de Ramanujan-Soldner
TN
1,45607 49485 8269…
Constante de Backhouse
1,46707 80794…
Constante de Porter
TN
1,53960 07178…
Constante de Lieb square ice
C
A
EB
1,60669 51524 15291 763…
Constante d'Erdős-Borwein
TN
I
φ
1,61803 39887 49894 84820
45868 34365 63811…
Nombre d'or
G
A
1,70521 11401 0537…
Constante de Niven
TN
√3
1,73205 08075 68877 29352
74463 41505…
Constante de Théodore, Racine
carrée de trois
G
B2
1,90216 05823…
Constante de Brun pour les
jumeaux premiers
TN
2
2
Deux
G
1000000000
137438953444
75500
1975
1967
Avant le IIIe siècle
av. J.-C.
16180340000
1969
A
Avant 800 av. J.-C.
1919
10
—
—
R
Intervalle [2,+∞[
Constantes réelles supérieures à 2.
Symbole
Valeur approchée
Nom
Domaine Nature
2
2
Deux
G
α
2,50290 78750 95892 82228
39028 73218 21578…
2e constante de Feigenbaum
TCh
2,58498 17596…
Constante de Sierpinski
[2]
R
2,62205 75543...
Constante de la Lemniscate
An
T
2,68545 2001…
Constante de Khinchin
TN
?
e
2,71828 18284 59045 23536
02874 71352 66249…
Constante de Neper, base des
logarithmes naturels
G, An
T
F
2,80777 0242…
Constante de Fransén-Robinson
An
Découverte
Nombre de chiffres
connus
—
—
1934
7350
50100000000
Table de constantes mathématiques
241
π
3,14159 26535 89793 23846
26433 83279 50288…
Pi, constante d'Archimède, nombre
de Ludoph
G, An
ψ
3,35988 56662 43177 55317
20113…
Constante des inverses de Fibonacci
δ
4,66920 16091 02990 67185
32038 20466 20161…
1e constante de Feigenbaum
T
Avant 2000 av.
J.-C.
1241100000000
I
TCh
1975
Autres constantes
Symbole
Valeur approchée
Nom
Domaine Nature
-1
-1
moins un
G
Λ
Supérieure à –2,7×10-9.
Négative ou nulle si l'hypothèse de
Riemann est vérifiée.
Constante de De
Bruijn-Newman
TN
Ω
Constante de Chaitin
TI
T
i
Unité imaginaire
G
C, A
Découverte
Vers le IIIe siècle en
Chine
Nombre de chiffres
connus
—
Vers 1950
XVIe siècle
—
Remarques :
[1] http:/ / pi. lacim. uqam. ca/ piDATA/ omega. txt
[2] Voir page de discussion
Voir aussi
Liens internes
•
•
•
•
•
Constantes mathématiques (représentées en fraction continuée)
Constantes physiques
Fonction constante
Nombre remarquable
Table des constantes astrophysiques
Liens externes
• L' inverseur de Simon Plouffe (http://pi.lacim.uqam.ca/fra/)
• Le Calculateur symbolique inverse (Inverse Symbolic Calculator ISC) peut vous dire comment un nombre donné
peut être construit à partir de constantes mathématiques (en anglais) (http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/)
• La page des constantes mathématiques de Steven Finch (en anglais) (http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/
constant/constant.html)
• Une autre table de constantes de Steven Finch (en anglais) (http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/table.
html)
• La page de Xavier Gourdon et de Pascal Sebah sur les nombres, les constantes mathématiques et les algorithmes
(en anglais) (http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html)
Table de constantes mathématiques
Bibliographie
• Les nombres remarquables, F. Le Lionnais, Hermann, 1983 puis 1999 (ISBN 2-7056-1407-9)
242
243
Notions connexes
Chiffre
En tant qu’utilisateurs des chiffres dits “arabes”, nous en attribuons souvent la création aux mathématiciens arabes.
Bien avant, les Indiens connaissaient et utilisaient déjà le système décimal tel que nous le connaissons. Ce n’est que
bien plus tard, à la suite de conquêtes militaires en Asie, que les mathématiciens arabes découvrirent ce système.
L’idée reçue attribuant la paternité du zéro aux Arabes est également une erreur : le zéro était déja présent dans la
numérotation indienne que les Arabes ont rapporté de leurs conquêtes.
La numération indienne de position
Les chiffres de 1 à 9 ont été inventés en Inde. Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au 3e siècle
av.J.-C. La numération de position avec un zéro (un simple point à l’origine), a été développée au cours du 5e siècle.
Dans un traité de cosmologie en sanscrit de 458, on voit apparaître le nombre 14 236 713 écrit en toute lettres. On y
trouve aussi le mot “sunya” (le vide), qui représente le zéro. C’est à ce jour le document le plus ancien faisant
référence à cette numération.
En 773 arriva à Bagdad une ambassade indienne. Ils avaient un présent pour le calife Bidule : le calcul et les chiffres.
Ce n’est qu’au 9e siècle que le savant Truc écrit le premier ouvrage en arabe présentant la numération indienne dans
son “Livre de l’addition et de la soustraction d’après le calcul des Indiens“. C’est par cet ouvrage que le calcul
indien pénétra dans l’Occident chrétien. Sa célébrité fût telle que ce calcul fut nommé algorisme, d’Algorismus,
latinisation d’al-Khuwârizmi.
Au Xe siècle, le moine français Gerbert d’Aurillac apprit la nouvelle numération et, grâce aux chaires qu’il occupait
dans les établissement religieux d’Europe, put introduire le nouveau système en Occident. En 999, il fut élu pape
sous le nom de Sylvestre II, ce qui lui conféra l’autorité nécessaire pour implanter la numération indo-arabe.
Chiffre "arabe"
Un chiffre est un symbole employé
pour représenter des nombres. Le mot
« chiffre » vient de l'arabe sifr
(‫ أَلصِّفْر‬ʾaṣ-ṣifr), utilisé pour « zéro »
Les dix chiffres en écriture décimale positionnelle
et signifiant « le vide » ainsi que « le
secret ». On y retrouve l'origine sanscrit du mot “sunya” utilisé en Inde. Les chiffres arabes font partie des écritures
de type logographique. C'est-à-dire le symbole « 1 » se prononce de façon différente dans chaque langue, mais
représente le même élément abstrait et reste donc compréhensible sous sa forme écrite.
Dans un système de numération donné, si la base est un nombre entier, le nombre de chiffres requis est toujours égal
à la valeur absolue de la base.
Il arrive parfois qu'on confonde chiffre et nombre. Pour bien comprendre la différence entre les deux, on peut faire
l'analogie avec l'écriture d'une langue en affirmant que les chiffres sont des lettres et que les nombres sont des mots.
Ainsi, 13 (treize) est un nombre qui s'écrit avec les chiffres « 1 » et « 3 ». Comme un mot peut être constitué d'une
seule lettre, tel que le mot « a » (le verbe « avoir » conjugué à la troisième personne de l'indicatif présent), un chiffre
est également un nombre (le nombre 4 (quatre) s'écrit avec seulement le chiffre « 4 »).
En système décimal, les dix chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9
Chiffre
244
Numérations selon les cultures
Numération arabo-indienne
arabe
khmer
indienne
mongole
thaï
Numérations à l’origine chinoise
chinoise
japonaise
à bâtons
suzhou
Numérations alphabétiques
arménienne
cyrillique
d'Âryabhata
éthiopienne
hébraïque
grecque
tchouvache
Autres systèmes
attique
brahmi
champs d'urnes
colombienne
égyptienne
étrusque
forestière
inuite
maya
mésopotamienne
romaine
Notations positionnelles par base
Décimal (10)
2, 4, 8, 16, 32, 64
1, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60, plus…
Vue d'ensemble
Dans un système numérique de base, un nombre s'écrit comme une séquence de chiffres qui peut être de différentes
longueurs. Chaque position dans la séquence a une valeur, tout comme chaque chiffre. La valeur totale du chiffre est
calculée en multipliant chaque chiffre dans la séquence par la valeur sa position, et en additionnant les résultats.
Par exemple, dans le nombre 153, le chiffre 3 occupe la première position, qui a pour valeur 1. Le chiffre 5 est en
deuxième place, qui a pour valeur 101 = 10 (car nous sommes en base 10). Et le chiffre 1 occupe la troisième
position, qui a pour valeur 102 = 100.
153 vaut donc
Valeurs numériques
Chaque chiffre dans un système de numération représente un nombre entier. Par exemple, dans le système de
numération indo-arabe, le chiffre 1 représente le nombre un, et dans le système hexadécimal, le chiffre A représente
le nombre dix. Un système de numération utilisant la notation positionnelle doit avoir un chiffre qui représente
chaque entier de zéro jusqu'à la base du système de numération, celle-ci étant exclue. Par exemple, en base 10, le
nombre 10 n'est pas un chiffre.
Chiffre
245
Mathématiques
En mathématiques, on utilise ordinairement les dix chiffres arabo-indiens, dits « arabes », pour représenter les
nombres, comme les entiers naturels ou les nombres réels. Pour une base n, on utilise usuellement n chiffres. Si n est
inférieur à dix, on utilise les n premiers chiffres, à partir de 0. Si n est strictement supérieur à 10, on utilise les
chiffres de 0 à 9, et on poursuit généralement avec les n-10 lettres de l'alphabet latin à partir de A.
• Le système décimal est le système par défaut, pour lequel les dix chiffres suivants sont employés :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Dans le système binaire, il n'existe que deux chiffres, qui sont représentés par les caractères 0 et 1.
Le système binaire est souvent utilisé pour représenter des valeurs telles que « vrai » et « faux », « tout » et «
rien », « marche » et « arrêt ». Il convient notamment pour représenter le fonctionnement de l'électronique
numérique utilisée dans les ordinateurs, d'où son usage en informatique.
• Les chiffres du système hexadécimal sont
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
et valent respectivement, dans le système décimal, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
• Les chiffres romains sont les lettres I(=1), V (=5), X(=10), L(=50), C(=100), D(=500), M(=1000), exemple type
de système où les nombres de 0 à 9 ne sont pas représenté par un unique chiffre.
Cependant, il existe aussi des systèmes balancés, employant des chiffres signés.
• Le système trinaire balancé utilise les chiffres 1, 0, 1.
Il est adapté pour représenter les booléens dont les valeurs sont « vrai », « faux » et « indéterminé », et est
pratique pour l'informatique, car il évite l'ajout d'un chiffre supplémentaire pour indiquer le signe d'un nombre.
Dans un tel système, les nombres positifs et négatifs bénéficient de la même représentation.
Musique
En musique, les chiffres servent au chiffrage de la mesure. Ils composent le nombre indicateur, qui indique la
mesure. C'est la fraction placée au début d'un morceau dans une partition musicale. Son numérateur indique le
nombre de temps de la mesure, et son dénominateur, la valeur de la note. Par exemple, 2/4 signifie « une mesure à
deux noires » ; 3/2, « une mesure à trois blanches » ; 6/8, « une mesure à six croches », etc.
On parle aussi de chiffrage. Il y a deux possibilités :
1. Une note avec un chiffre (ou deux selon les règles du chiffrage) écrit en dessous, donne l'accord qui doit être
construit à partir de cette note. Cela s'appelle une basse chiffrée. Ce sont souvent les clavecinistes et les organistes
qui utilisent ce système dans la musique baroque. Les élèves qui apprennent l'harmonie, se servent aussi de basses
chiffrées pour apprendre à composer un texte musical à partir de ces données, et selon certaines règles très
précises.
Ainsi, un « 5 » indique un accord de quinte. Un « 7 » indique un accord de septième. Un « 6 » au-dessus d'un « 4 »
indique un accord de quarte et sixte. Un « 7 » barré d'une barre oblique, indique une septième diminuée. Seule la
tierce n'est pas représentée par un « 3 » car elle est sous-entendue.
2. En analyse musicale, on chiffre les accords pour faciliter la construction d'une œuvre.
Ce système s'apprend en cours de solfège, maintenant rebaptisé formation musicale.
Les chiffres servent aussi à doigter les notes d'une partition, c'est-à-dire que le chiffre placé au-dessus d'une note
indique le doigt utilisé pour réaliser la note. Ainsi, au violon le « 1 » représente l'index, le « 2 » le majeur, le «3»
l'annulaire et le «4» l'auriculaire. Au piano, le « 1 » représente le pouce, le « 2 » l'index, ainsi de suite.
Chiffre
246
Annexes
Blocs de caractères Unicode contenant des chiffres ou nombres
•
•
•
•
•
•
•
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•
•
•
•
Table des caractères Unicode - commandes C0 et latin de base
Table des caractères Unicode - commandes C1 et supplément latin-1
Table des caractères Unicode - arabe
Table des caractères Unicode - n’ko
Table des caractères Unicode - dévanâgarî
Table des caractères Unicode - bengalî
Table des caractères Unicode - gourmoukhî
Table des caractères Unicode - goudjarâtî
Table des caractères Unicode - oriyâ
Table des caractères Unicode - tamoul
Table des caractères Unicode - télougou
Table des caractères Unicode - kannara
Table des caractères Unicode - malayâlam
Table des caractères Unicode - thaï
•
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•
Table des caractères Unicode - laotien
Table des caractères Unicode - tibétain
Table des caractères Unicode - birman
Table des caractères Unicode - éthiopien
Table des caractères Unicode - khmer
Table des caractères Unicode - mongol
Table des caractères Unicode - limbou
Table des caractères Unicode - nouveau taï-lü
Table des caractères Unicode - symboles khmers
Table des caractères Unicode - balinais
Table des caractères Unicode - exposants et indices
Table des caractères Unicode - formes numérales
Table des caractères Unicode - alphanumériques entourés
Table des caractères Unicode - casseau
Table des caractères Unicode - ponctuation CJC
Table des caractères Unicode - kanboun
Table des caractères Unicode - lettres et mois CJC entourés
Table des caractères Unicode - compatibilité CJC
Table des caractères Unicode - formes de demie ou pleine chasse
Table des caractères Unicode - phénicien
Chiffre
247
Articles connexes
•
•
•
•
•
•
•
•
Nombre
Système de numération
Chiffre significatif
Chiffre arabo-indien
Chiffres japonais
Chiffres romains
Chiffres grecs
Symbolique des chiffres
Liens externes
• Découverte des chiffres et des nombres [1].
Références
[1] http:/ / perso. orange. fr/ yoda. guillaume/ Debutant/ Facette. htm
Numération
248
Numération
Numérations selon les cultures
Numération arabo-indienne
arabe
khmer
indienne
mongole
thaï
Numérations à l’origine chinoise
chinoise
japonaise
à bâtons
suzhou
Numérations alphabétiques
arménienne
cyrillique
d'Âryabhata
éthiopienne
hébraïque
grecque
tchouvache
Autres systèmes
attique
brahmi
champs d'urnes
colombienne
égyptienne
étrusque
forestière
inuite
maya
mésopotamienne
romaine
Notations positionnelles par base
Décimal (10)
2, 4, 8, 16, 32, 64
1, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60, plus…
La numération désigne le mode de représentation des nombres. Aussi, elle concerne les mots, les gestes et les signes
qui ont permis aux différents peuples d'énoncer, de mimer et d'écrire ces nombres.
Représentation d'une quantité
Quantité témoin
Une technique ancienne permet de représenter une quantité sans l'intervention de l'écriture ni du langage. En
symbolisant chaque élément par un caillou ou un jeton, cela permet d'enregistrer une quantité à l'aide d'une quantité
équivalente. De cette manière, par comparaison des quantités, élément par élément, il est possible de déterminer si un
troupeau est complet, ou si le nombre de bêtes qu'il comprend accroit, décroit ou reste stable.
Symbolisation
Les nombres peuvent être représentés par des signes, par des mots ou par des gestes. Un ensemble de règles
d'utilisation des signes, des mots ou des gestes représentant les nombres définit un système de numération.
Numération
Caractéristiques
Type de numération
La numération cardinale, ou arithmétique, correspond à la représentation des quantités, des proportions ou des
grandeurs. La numération ordinale correspond à la représentation du rang d'éléments d'ensembles d'éléments.
Caractère d'une numération
Pour compter, on ajoute successivement des unités, et on les groupe par paquets chaque fois qu'on atteint une
certaine valeur. De même, au bout d'un certain nombre de paquets, on groupe ces paquets en paquets plus grands, et
ainsi de suite. Idéalement, le nombre d'éléments de chaque paquet, qui donne le caractère de la numération, est
identique. Dans la pratique, ce n'est pas toujours le cas. Ainsi, la numération maya, de caractère vigésimale, afin
d'approcher le calendrier, est irrégulière, la numération babylonienne, de caractère sexagésimal, se présente comme
une combinaison de systèmes, et reste ainsi accessible.
De nombreux systèmes ont été utilisés par des peuples et à des époques variés.
• Un système binaire (base 2) utilisé dans des langues d'Amérique du Sud et d'Océanie.
• Un système quinaire (base 5) était utilisé parmi les premières civilisations, et jusqu'au XXe siècle par des peuples
africains, mais aussi, partiellement, dans les numérations romaine et maya.
• Un système sénaire (base 6 )
• Un système octal (base 8) est utilisé en pame du nord (northern pame), au Mexique, et en yuki, en Californie.
• Un système décimal (base 10) a été utilisé par de nombreuses civilisations, comme les Chinois dès les premiers
temps, et, probablement, les Proto-indo-européens. Aujourd'hui, il est de loin le plus répandu.
• Un système duodécimal (base 12) est utilisé au Népal par le peuple chepang. On le retrouve, à cause de ses
avantages en matière de divisibilité (par 2, 3, 4, 6), pour un certain nombre de monnaies et d'unités de compte
courantes en Europe au Moyen Âge, partiellement dans les pays anglo-saxons dans le système d'unité impérial, et
dans le commerce. Il sert aussi pour compter en mois ainsi que pour compter les heures.
• Un système vigésimal (ou vicésimal, base 20) existe au Bhoutan en langue dzongkha, et était en usage chez les
Aztèques et, quoiqu'irrégulier, pour la numération maya. Certains pensent qu'il a aussi été utilisé par les Gaulois
ou par les Basques dans les premiers temps, mais on ignore en réalité si leur numération avait un caractère
décimal ou vigésimal.
• Un système sexagésimal (base 60) était utilisé pour la numération babylonienne, ainsi que par les Indiens et les
Arabes en trigonométrie. Il sert actuellement dans la mesure du temps et des angles.
Communément, on parle souvent de base au lieu de caractère. Ces notions sont proches, mais, de manière
rigoureuse, la base ne s'applique qu'à une notation strictement et exclusivement positionnelle. Certaines bases de
numération sont utilisées dans des domaines scientifiques, notamment en électronique numérique et en informatique.
Consulter l'article Base (arithmétique) pour plus de détails.
249
Numération
Anthropologie de la numération
Parmi les différentes cultures humaines, de nombreux systèmes de numération traditionnels reposent sur les nombres
5, 10 ou 20. Cela peut s'expliquer par le fait que dans beaucoup de cultures on utilise le comptage sur les 5 doigts de
la main, sur les 10 doigts deux mains ou les 20 doigts des mains et orteils des pieds. Ainsi en shuar, le nombre 10 se
dit « deux mains »[1] . De là proviennent les chiffres romains V pour 5 (une main) et X pour 10 (deux mains jointes).
Toutefois, certains systèmes de numération peuvent être beaucoup plus limités. Ainsi, en munduruku, il n'existe pas
de symbole linguistique pour représenter des cardinaux supérieurs à 5.
Applications
Numéroter
Numéroter consiste à attribuer un numéro à chacun des éléments d'un ensemble d'éléments. Bien que les numéros
soient généralement des nombres, ils ne représentent pas une quantité. Cependant, ces nombres peuvent permettre
une relation ordonnée des éléments numérotés. En ce sens, la numérotation s'apparente alors à une numération
ordinale.
Nombrer
Nombrer consiste à nommer la quantité d'éléments d'un ensemble d'éléments.
Compter
Compter consiste à réciter une suite ordonnée de mots, appelés nombres. Compter des éléments consiste à mettre des
éléments d'un ensemble d'éléments un à un en correspondance avec les nombres successifs. Il s'agit en quelque sorte
d'une numérotation ordonnée. Compter des éléments nécessite à la fois de savoir réciter les entiers naturels dans
l'ordre, de savoir pointer (de la main, du regard, …) des éléments, et de savoir coordonner la motricité, l'activité
sensitive (visuelle ou tactile) et le langage.
Dénombrer
Dénombrer consiste à déterminer la quantité d'éléments d'un ensemble d'éléments par le biais du comptage.
Dénombrer un ensemble d'éléments revient donc à les compter et à les nombrer. Ainsi, un enfant, par exemple, sait
dénombrer lorsque la technique du comptage est acquise et qu'il sait que le dernier mot employé représente la
quantité des éléments comptés.
Mesurer
Mesurer consiste à déterminer une quantité, une dimension ou une intensité, généralement à l'aide d'un instrument de
mesure, ce dernier, le plus souvent, définissant ou étant lié à une unité de mesure, pouvant elle-même être fixée par
un étalon.
250
Numération
Calculer
Calculer consiste à effectuer des opérations.
Comptabiliser
Comptabiliser consiste à s'intéresser à une quantité ou à ses fluctuations, par le biais d'un compte ou d'une
comptabilité, en considérant les arrivées et les départs, les entrées et les sorties, les gains et les pertes, les recettes et
les dépenses, etc.
Anecdotes
Plusieurs numérations fictionnelles ont été imaginées :
• la numération Bibi de Boby Lapointe ;
• la numération D'ni de la saga Myst, de base 25, utilisée par la civilisation D'ni ;
• la numération Shadok, quaternaire, utilisant les chiffres Ga, Bu, Zo et Meu.
Voir aussi
•
•
•
•
•
•
•
•
Chiffre
Nombre
Système de numération
Construction du nombre chez l'enfant
Base (arithmétique)
Compte
Mesure physique
Calcul (mathématiques)
Références
[1]
(en) Native numerals (http://www.history.org/Foundation/journal/Autumn07/math.cfm)
251
Fraction (mathématiques)
252
Fraction (mathématiques)
Une fraction, en mathématiques, est de manière naïve un certain
nombre de parts considérés après la division d'un nombre entier en
parts égales. Par exemple, la fraction
désigne le quotient de 56 par
8. Elle est égale à 7 car 7×8 = 56. Dans cette fraction, 56 est appelé le
numérateur et 8 le dénominateur.
Les nombres que l'on peut représenter par des fractions de nombres
entiers sont appelés nombres rationnels. L'ensemble des rationnels est
noté
.
Il existe une définition plus générale et plus abstraite des fractions. Si
(A, +, .) est un anneau commutatif unitaire intègre, on peut créer le
corps des fractions de A. Ses éléments se notent (par analogie aux
fractions d'entiers relatifs)
les fractions de
Un gâteau coupé en quatre dont une part a été
retirée. Les trois autres parts apparaissant à
l'image.
et possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification, ...) que
.
Sens usuel de la fraction
Définition de la fraction
Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs n et d
. Elle est représentée
comme suit :
n/d ou n⁄d ou
• Le nombre du haut s'appelle le numérateur............ n
• Le nombre du bas s'appelle le dénominateur......... d
• Le trait ou barre de fraction signifie que l'on divise le numérateur par le dénominateur.
Exemple :
signifie que l'on divise 3 par 7; on prononce cette fraction « trois septièmes » et c'est pour cela que 3
est le numérateur parce qu'il indique un nombre de trois unités (les septièmes) alors que 7 est le dénominateur parce
qu'il dénomme l'unité (le septième) avec laquelle on travaille.Si on mange les 3/7 d'une tarte, le numérateur 3
indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7 indique le nombre total de parts, donc l'unité considérée...
On trouve aussi parfois la notation
n:d
ou encore
n÷d
les deux points remplaçant la barre de fraction (cette notation est à éviter)[réf. nécessaire]. deux points (:) signifie que le
resultat de la fraction sera un nombre entier,:- signifie qu'il sera décimal[réf. nécessaire]
Fraction (mathématiques)
253
Modélisation d'une fraction
Pour comprendre et établir les règles de maniements des fractions, il existe deux méthodes différentes. La première
consiste à faire usage de la géométrie. La fraction représente une portion d'aire d'une figure géométrique ou d'une
longueur d'un coté d'un polygone, souvent un triangle. Démontrer les lois régissant les fractions revient à faire de la
géométrie et à mesurer des aires ou des longueurs. Cette démarche est décrite dans l'article Algèbre géométrique.
Une autre démarche est de nature purement algébrique. Les nombres rationnels sont construits de manière abstraite à
partir de classes d'équivalence d'entiers. L'addition et la multiplication issues des nombres entiers sont compatibles
avec la classe d'équivalence, ce qui équipe l'ensemble des fractions d'une addition et d'une multiplication naturelle.
Cette construction permet d'établir les lois régissant le comportement des fractions.
La démarche choisie ici correspond à la première décrite et est purement géométrique. Les méthodes utilisées
s'appliquent pour les fractions d'entiers. La géométrie offre une autre méthode, permettant de généraliser les résultats
au cas de fractions de deux nombres réels positifs. Elle est décrite dans l'article Algèbre géométrique.
Dessiner une fraction
Fractions dont n < d
La fraction peut être représentée par un dessin. Bien souvent une forme géométrique que l'on divise en plusieurs
parties.
1° Le dénominateur d indique le nombre de parties égales à dessiner dans la forme géométrique.
2° Le numérateur n indique le nombre de parties égales utilisées.
Exemple :
Choisissons un rectangle comme forme géométrique et la fraction 3⁄4
Le dénominateur est 4 donc le rectangle sera divisé en 4 parties égales
Le numérateur est 3 donc seules 3 parties égales seront utilisées.
Autre
possibilité
:
Fraction (mathématiques)
254
Fractions dont n > d
Cette fraction sera équivalente au quotient de n/d, (qui représentera le nombre d'unité) suivi d'une fraction constituée
par le reste de la division pour numérateur et d pour dénominateur.
Exemple : pour la fraction 7/3, la division entière donne 2, il reste 1.
Le quotient est 2 donc 2 unités, le reste 1 donc 2 1/3.
Il est impossible de représenter ce genre de fraction par un schéma unique, nous utiliserons dès lors plusieurs formes
géométrique
similaires:
Prendre une fraction d'une quantité
Pour prendre les 2⁄3 de 750, on divise 750 par 3, puis on multiplie le résultat par 2:
750÷3 = 250 ; 250 × 2 = 500. Donc 2⁄3 de 750 = 500
Prendre a⁄b de c revient à diviser c par b et à multiplier le tout par a. Ou plus simplement, quand on connaît les règles
de calcul sur les fractions, Prendre a⁄b de c revient à multiplier a⁄b par c. Plus généralement, on constate que le "de"
est remplacé par une multiplication. Il en est de même quand on calcul 75% de c, on doit juste calculer 75%
multiplié par c. En effet, 75% est une fraction : 75% = 75⁄100 = 0,75.
Fractions équivalentes
Si on multiplie, ou divise, le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une
fraction équivalente.
Exemple
(on a multiplié 2/3 par 2/2)
De manière générale, les fractions n⁄d et n'⁄d' sont équivalentes dès que n × d' = d × n'.
:
Fraction (mathématiques)
255
Exemple
:
car
(on appelle ces deux produits les produits en croix).
Certaines fractions peuvent être simplifiées, c'est-à-dire que n et d peuvent être divisés par un même nombre mais le
plus grand possible. Ce nombre s'appelle le PGCD (plus grand commun diviseur) de n et d. Après réduction, la
fraction est dite irréductible.
Pour effectuer certaines opérations entre fractions, tous les dénominateurs des fractions doivent être égaux. Pour ce
faire, il faut remplacer chaque fraction par une fraction équivalente, en s'arrangeant pour que tous les dénominateurs
soient identiques. Ce dénominateur sera le plus petit nombre possible qui soit divisible par chaque dénominateur. Ce
nombre s'appelle le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. L'opération s'appelle réduire au même
dénominateur
Exemple :
Comparaison de fractions
• Pour un même numérateur, plus le dénominateur est petit plus la fraction est grande.
Exemple
Le numérateur 2 est le même pour chaque fraction.
La comparaison des dénominateurs donne 3 < 5
:
Fraction (mathématiques)
256
• Pour un même dénominateur, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande :
Exemple
:
Le dénominateur 7 est le même pour chaque fraction.
La comparaison des numérateurs donne 2 < 5
• Si les numérateurs et les dénominateurs sont différents, on peut toujours réduire les fractions au même
dénominateur et comparer alors les numérateurs : Comparaison de 1/4 et 2/5
1/4 =5/20 et 2/5 = 8/20. Or 5 < 8 donc 5/20 < 8/20 donc 1/4 < 2/5
Remarque : on peut aussi utiliser l'écriture décimale comme par exemple 1/4 = 0,25 et 2/5 = 0,4, 0,25 < 0,4 donc 1⁄4
< 2⁄5.
Écriture décimale, écriture fractionnaire
Toute fraction possède un développement décimal fini ou illimité périodique qui s'obtient en posant la division de n
par d.
1/4 = 0,25
2/3 = 0,666...(période 6)
17/7 = 2,428571428571...(période 428571)
Inversement, tout nombre décimal ou possédant un développement décimal périodique peut s'écrire sous forme de
fraction.
Cas du nombre décimal
Il suffit de prendre comme numérateur le nombre décimal privé de sa virgule et comme dénominateur 10n où n est le
nombre de chiffres après la virgule:
Fraction (mathématiques)
Cas du développement décimal illimité
On commence par se débarrasser de la partie entière: 3,4545... = 3 + 0,4545...
cas du développement décimal périodique simple
Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période commence immédiatement après la
virgule.
0,666 ou 0,4545 ou 0,108108
Comme numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de
chiffres composant la période.
Exemple : 0,4545
Période 45 donc numérateur = 45
Période composée de deux chiffres donc dénominateur = 99
Fraction = 45/99 ou 5/11 par conséquent: 3,4545... = 3 + 5/11 = 38/11
Sinon : Posons x pour 0,4545454545...
100x=45,4545454545 donc 99x=45 donc x = 45/99
Cas du développement décimal périodique mixte
Un nombre décimal périodique mixte est un nombre décimal dans lequel la période ne commence pas
immédiatement après la virgule.
0,8333 ou 0,14666
Pour trouver le numérateur de la fraction, il faut soustraire la valeur mixte de la valeur mixte suivie de la première
période. Exemple : 0,36981981...
valeur mixte : 36
Valeur mixte suivie de la première période : 36981
Numérateur = 36981 - 36 = 36945
Quant au dénominateur, il sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période, suivis d'autant de
zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composant la valeur mixte.
Exemple 1 : dans la valeur 0,36981981, la période 981 est constituée de 3 chiffres donc le dénominateur sera
constitué d'une série de trois 9 suivis de deux zéros puisque la valeur mixte 36 est composée de deux chiffres.
Finalement nous aurons :
0,36981981 = 36945/99900 ou 821/2220
Exemple 2 :
257
Fraction (mathématiques)
Opérations sur les fractions
Addition et soustraction
Pour un dénominateur commun
Il suffit d'additionner ou de soustraire le numérateur de chaque fraction et de conserver le dénominateur commun.
Exemple d'une somme :
Exemple d'une différence :
Pour un dénominateur différent
Avant d'effectuer l'opération, chaque fraction doit être transformée en une fraction équivalente dont le dénominateur
leur soit commun.
Exemple
:
258
Fraction (mathématiques)
259
Multiplication
La multiplication de deux fractions est simple à effectuer mais il n'est pas simple de comprendre pourquoi elle
fonctionne ainsi.
En voici une explication, basée sur une compréhension intuitive des fractions.
On peut comprendre sept onzièmes comme sept fois un onzième (voir les représentations graphiques ci-dessus) soit
comme
. Ainsi multiplier
par
revient à effectuer
.
Mais multiplier par un onzième revient à diviser par 11, c'est-à-dire à multiplier le dénominateur par 11 (les parts
sont 11 fois plus petites), soit :
.
Autres fractions
• fraction irréductible : fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
• fraction unitaire : fraction dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier positif.
• fraction égyptienne : fraction qui est la somme de fractions unitaires, toutes distinctes.
• fraction décimale : fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
• fraction composée : fraction dont le numérateur et le dénominateur sont eux-mêmes des fractions :
• fraction continue : fraction constituée à partir d'une suite d'entiers naturels
de la
manière suivante
• fraction rationnelle : fraction constituée à partir de l'anneau des polynômes à coefficients dans
.
• fonction rationnelle : quotient de deux fonctions polynômes
• Corps des fractions : corps construit à partir d'un anneau commutatif unitaire intègre et dans lequel on pourra
effectuer des divisions.
Usage
Alors que les Français utilisent volontiers les chiffres à virgule, les Anglo-saxons préfèrent souvent exprimer les
parties non entières par des fractions — sans doute en raison de la différence culturelle (songer par exemple à la
popularité du système métrique et du système impérial dans les deux cultures). Par exemple, ils diront d'une
personne qu'elle mesure 5 pieds ⅔ et non pas 5,67 pieds.
Problèmes historiques
1. J’ai trouvé une pierre mais je ne l’ai pas pesée. Après lui avoir ajouté un septième de son poids et avoir ajouté un
onzième du résultat, j’ai pesé le tout et j’ai trouvé : 1 ma-na [unité de masse]. Quel était à l’origine le poids de la
pierre? (problème babylonien, tablette YBC 4652, problème 7)
2. Un nombre augmenté de son septième donne 19. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 24)
3. Un nombre augmenté de son quart donne 15. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 26)
4. Supposons que l’on ait 9 tiges d’or jaune et 11 tiges d’argent blanc qui, à la pesée, ont des poids tout justes égaux.
Si l’on échange entre elles une de leurs tiges, l’or devient plus léger de 13 liang [unité de masse]. On demande
combien pèsent respectivement une tige d’or et une tige d’argent. (les Les neuf chapitres sur l'art mathématique,
problème 7.17)
Fraction (mathématiques)
5. Une lance a la moitié et le tiers dans l’eau et neuf paumes à l’extérieur. Je te demande combien elle a de long.
(problème médiéval)
Opération (mathématiques)
Les quatre opérations arithmétiques élémentaires
effectuées avec les mêmes opérandes : 6 et 2.
En mathématiques, une opération est un processus visant à obtenir un résultat à partir d'un ou plusieurs objets
appelés opérandes. L'écriture d'une opération implique en général l'utilisation d'un symbole spécifique appelé
opérateur.
Exemples
• En arithmétique, les opérations élémentaires sont suivies par le carré, le cube et plus généralement les opérations
puissance, la racine carrée, l'exponentiation, la factorielle… Plus généralement, beaucoup de fonctions peuvent
être vues comme des opérations élémentaires, telles que la valeur absolue, la prise du logarithme ou de
l'exponentielle, les fonctions trigonométriques…
• En théorie des ensembles, les opérations ensemblistes usuelles sont la réunion, l'intersection, la différence
symétrique et la complémentation. Elles ne doivent pas être confondues avec les opérations sur les ensembles
telles que le produit cartésien, la somme disjointe ou l'exponentiation ensembliste.
• En analyse, les fonctions peuvent subir des opérations de dérivation, intégration, convolution…
• En logique, les opérations booléennes usuelles rassemblent une opération unaire (la négation) et cinq opérations
binaires (la conjonction, la disjonction inclusive, la disjonction exclusive, l'implication et l'équivalence). Il est
même possible de définir des opérations pour chacun des 22n connecteurs logiques n-aires.
• En géométrie euclidienne, les opérations de symétrie, translation et rotation sont appelées des transformations.
Formalisme
Une opération peut correspondre à une loi de composition interne sur un ensemble, mais elle n'est pas
nécessairement toujours définie (telle la division) pour tout choix d'éléments dans cet ensemble. Ainsi, selon les
contextes, on parlera plutôt de loi de composition interne ou externe, de fonction de deux variables ou fonction de
plusieurs variables, d'action voire de foncteur ou de bifoncteur.
ckb:‫)یراکریب( رادرک‬
260
Calcul (mathématiques)
Calcul (mathématiques)
En mathématiques, un calcul est une opération ou un ensemble d'opérations effectuées sur des grandeurs[1] .
Initialement ces grandeurs étaient des nombres mais le développement des outils mathématiques et de l'abstraction
permet maintenant d'effectuer des calculs sur des objets plus complexes (fonctions, vecteurs, propositions). Par la
suite, l'informatique a permis de faire couramment des calculs sur des donnés formelle variées et le calcul est devenu
un objet d'étude dans la théorie de la calculabilité.
L'addition est un exemple de calcul.
Étymologie
Le mot « calcul » vient du mot d'origine latine calculus qui signifie « petit caillou ». Selon Georges Ifrah, les bergers
comptabilisaient leurs moutons avec des cailloux dans un pot à l'entrée et à la sortie de la bergerie[2] . Ces petits
cailloux sont à l'origine d'un des plus anciens systèmes comptables découvert à nos jours[3] . L'usage de cailloux pour
symboliser des personnes, des animaux ou des mesures de grains et pour y effectuer des additions et des
soustractions est fondamental dans l'évolution du calcul mathématique. Premier outil de calcul silencieux et
symbolique, il est le précurseur de toute une famille d'aide au calcul que sont les abaques.
Les objets du calcul
Les premiers calculs ont porté sur des nombres entiers (nombre d'animaux dans un troupeau, nombre de soldats dans
une armée, nombre de jours dans un calendrier, prix à payer lors d'une transaction ou un impôt). Le développement
des systèmes de numération permet d'effectuer ensuite des calculs sur des nombres fractionnaires (représentant des
longueurs ou des durées) comme à Sumer à la fin du IVe millénaire ou plus tard en Égypte[4] .
Dans l'Antiquité, les Grecs semblent avoir eu des préoccupations moins immédiates. Le calcul sera par exemple
orienté dans le but de « mesurer la terre », travail de géométrie avec le sens philosophique qui lui est attaché : « Que
nul n'entre ici s'il n'est géomètre », proclame l'épigraphe du fronton de l'Académie de Platon. D'un outil de
numération à l'usage des pâtres et des comptables, le calcul a donc progressivement évolué vers l'abstraction. Les
mathématiciens grecs travaillent sur des longueurs et étudient la notion de commensurabilité (existe-t-il une unité qui
permette de mesurer deux longueurs ?) qui est à rapprocher de la notion actuelle de nombre rationnel. En cherchant à
calculer la diagonale du carré de côté 1, c'est-à-dire racine carrée de deux, ils découvrent l'existence de nombres
incommensurables[5] , (on dirait de nos jours nombres irrationnels) et inventent la notion de longueur constructible.
Pendant plusieurs siècles, les calculs s'effectuent sur ces types de nombres.
La recherche de solutions des équations du second degré mène à des calculs sur des nombres négatifs ou complexes,
que d'Alembert dans son encyclopédie, qualifie respectivement de racines fausses et de racines imaginaires et ne les
accepte pas comme résultat d'un calcul final[6] . Quant à l'ensemble des nombres réels, il faut attendre la fin du
XIXe siècle pour qu'il soit clairement défini[7] .
Parallèlement aux calculs sur des nombres (calcul numérique), se développent, chez les mathématiciens de langue
arabe (Ibn al-Banna, Al Khwarizmi), précurseurs du calcul algébrique des calculs sur des polynômes[8] .
Les notations symboliques développées par François Viète et René Descartes introduisent ce type de calcul en
Europe. Les notations symboliques libèrent les calculs du champ des nombres et on effectue en Europe des calculs
sur des objets aussi divers que des fonctions ( XVIIe siècle) , ou des vecteurs (XIXe siècle). Vers la fin du
XIXe siècle, l'école allemande crée les ensembles (corps, anneaux sur lesquels se définissent des opérations qui n'ont
qu'un lointain rapport avec l'addition et la multiplication classique, bien que la même notation leur soit attribuée (+ et
×). C'est la naissance des structures algébriques.
261
Calcul (mathématiques)
Au XIXe et XXe siècles, le développement de la logique mathématique offre un nouveau champ d'application : les
propositions logiques. C'est le domaine du calcul des propositions.
Les opérations
On retrouve dans le domaine des opérations une évolution similaire. Les quatre premières opérations sont, par ordre
de complexité, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Des règles de calculs sont établies pour ces
quatre opérations qui vont des tables d'addition, ou de multiplication aux algorithmes de la multiplication ou de la
division.
L'extraction de racine (racine carrée, racine cubique, etc.) est d'un niveau de complexité supérieur. Le livre chinois
Les Neufs Chapitres, commentés par Liu Hui (263), présente des algorithmes d'extractions de racines carrées qui
s'apparentent à l'algorithme de division, l'opération s'y nomme d'ailleurs le plus souvent « diviser par extraction de
racine carrée ».
L'exponentiation (calcul de ab), classique pour b entier, est plus tardive pour b rationnel ou réel.
Au fur et à mesure que les objet de calcul se diversifient, les opérations en font autant. À côté des opérations
classiques d'addition, de soustraction et de multiplication par un réel, on trouve alors le produit matriciel, du produit
vectoriel ou scalaire sur des vecteurs. On peut aussi faire le produit de polynômes, en faire une division euclidienne
mais aussi les dériver. On peut aussi calculer la dérivée d'une fonction dérivable, intégrer une fonction intégrable,
faire le produit de fonctions numériques ou composer des applications.
Le calcul en mathématique regroupe alors toutes les branches des mathématiques, du calcul statistique (moyenne,
variance, estimateur) au calcul intégral, au calcul infinitésimal ou au calcul formel.
Sur les propositions logiques, les opérations sont les opérateurs logiques (et, ou, négation, etc.).
Calcul exact et calcul approché
Un calcul est exact quand le résultat fourni ne diffère en rien du résultat cherché. Le calcul d'une somme, d'une
différence ou d'un produit peut être effectué de manière exacte si les valeurs de départ sont exactes et si la taille du
nombre n'excède pas la capacité de calcul. En revanche, il est fréquent que le calcul d'un quotient ou d'une racine ne
puisse mener qu'à une valeur approchée. On parle alors de calcul approché. On cherche souvent à fournir, avec le
résultat approché, une majoration de l'erreur commise. Par exemple, 7/3 est environ égal à 2,33 avec une erreur par
défaut inférieure à 0,01, ou bien encore π est environ égal à 256/81. Ce calcul approché de π était connu des
Égyptiens dès le XVIIe siècle av. J.-C. [9] . Certains calculs d'aire et de volume ne peuvent s'effectuer qu'en valeur
approchée.
Le calcul approché apparaît très tôt dans l'histoire du calcul. Il est à l'origine de la création de tables numériques de
valeurs approchées : table des sinus en Inde[10] et chez les mathématiciens de langue arabe[11] , tables de logarithmes
en Europe au XVIIe siècle[12] . Il est un objet d'étude en Europe dès le XVIIe siècle avec le développement des
fonctions en séries entières, et les recherches de valeurs approchées de zéro d'une fonction. Il reste très actuel et lié
aux capacités de calcul des ordinateurs.
Outils d'aide au calcul
Longtemps, le calcul demandait des opérateurs humains, même si ces derniers étaient assistés d'auxiliaires
mécaniques tels que le boulier ou l'abaque. Les méthodes de calculs complexes sont décrites très tôt à l'aide
d'algorithmes qui libèrent l'utilisateur de la démarche de recherche pour ne lui laisser que les étapes du calcul à
effectuer. C'est le cas par exemple des algorithmes figurant dans les mathématiques babyloniennes[13] ou dans les
Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique en Chine (263).
Les choses ont changé avec l'apparition du calcul automatique.
262
Calcul (mathématiques)
L'évolution des règles du calcul en mathématiques a permis la découverte de nouveaux algorithmes, qui
décomposent simplement les instructions. Ces nouvelles méthodes sont fondamentales en informatique et en
robotique, et sont très utilisées par les autres sciences telles que la physique ou la chimie.
Annexes
Bibliographie
• Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, éditions Seghers, 1981
• Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition
critique.
• Ahmed Djebbar, Une Histoire de la science arabe, éditions du seuil, 2001
• Commission inter IREM, La démonstration mathématique dans l'histoire, édition Irem de Lyon, 1990
Liens internes
• Calcul algébrique
• Algorithme
• Calcul binaire
•
•
•
•
•
•
•
Calcul différentiel, infinitésimal ou intégral
Calcul matriciel
Techniques de calcul mental
Calcul des propositions
Calcul stochastique
le calcul symbolique[évasif]
Calcul vectoriel en géométrie euclidienne
Références
[1] Dictionnaire, Le petit Robert
[2] George Ifrah, Histoire universelle des chiffres, II chap 5
[3] Lors de fouilles organisée en 1977 à Suse, on a pu exhiber des bourses en terre cuite scellées contenant des billes en terre crue de forme
diverses associées aux diverses unités d'un système de numération et datant de 3300 av JC. Elles servait d'archives pour des comptables
sumériens lors de transactions (voir George Ifrah, Histoire universelle des chiffres, chap 10)
[4] Paul Benoît, Karine Chemla, Jim Ritter, Histoire des fractions, fractions d'histoire, Birkhäuser, 1992
[5] Voir par exemple Aristote (-384, -322) parlant de l'irrationalité de 2 comme d'une chose acquise, Aristote, Organon, Premiers Analytiques,
E3r en (http:/ / etext. lib. virginia. edu/ etcbin/ toccer-new2?id=AriPrio. xml& images=images/ modeng& data=/ texts/ english/ modeng/
parsed& tag=public& part=1& division=div2)
[6] Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, art. EQUATION
[7] Le terme de nombre réel apparait pour la première fois chez Georg Cantor en 1883
[8] Ahmed Djebbar, Une Histoire de la science arabe, chap. 5, les mathématiques
[9] Papyrus Rhind
[10] Table des sinus des Siddhanta au VIIe siècle
[11] Tables hakémites de Ibn Yunus au Xe siècle
[12] Arithmética logarithmica, Henry Briggs, (Londres 1624)
[13] Tablettes de la dynastie Hamourabi (XVIIe siècle av. J.-C.), voir Pierre Lescanne, Comment calculait-on il y a 4000 ans ? (http:/ / perso.
ens-lyon. fr/ pierre. lescanne/ PUBLICATIONS/ histoire_algo_babylone. pdf)
263
Algèbre
264
Algèbre
L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (‫)الجبر‬, est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les
structures algébriques.
L'étude des structures algébriques peut être faite de manière unifiée dans la cadre de l'algèbre universelle.
L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin.
Pour la « structure d'algèbre », voir l'article : Algèbre sur un corps.
Histoire
Antiquité
Les anciens Babyloniens et Égyptiens savaient déjà résoudre des problèmes qui peuvent être traduits en équations du
premier ou second degré.
Par exemple, le Papyrus Rhind (conservé au British Museum de Londres, il date de -1650, ère chrétienne) comporte
l'énoncé suivant :
On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un
gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?
Cependant, ils ne faisaient pas de l'algèbre, car ils n'effectuaient pas de calcul sur une inconnue (mathématiques).
Diophante, au IIIe siècle de l'ère chrétienne, fut le premier à pratiquer l'algèbre en introduisant le concept d'inconnue
en tant que nombre,[1] et à ce titre peut être considéré comme "le père" de l'algèbre.
Monde arabo-musulman
Le mot « algèbre » vient de l'arabe al-jabr (‫)الجبر‬, qui est devenu algebra en latin et
qui signifie « la réunion » (des morceaux), « la reconstruction » ou « la connexion »
(en espagnol le mot algebrista désigne celui qui pratique le calcul algébrique mais
aussi le rebouteux, celui qui sait réduire les fractures osseuses[2] ).
C'est un des premiers mots du titre en arabe d'un ouvrage du mathématicien d'origine
persane Al-Khawarizmi qui reprend, dans la première partie du IXe siècle, les
travaux de Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle). Ce dernier avait imaginé de
représenter une inconnue par un symbole nommé arithme. Le titre de cet ouvrage
(Al-jabr wa'l-muqabalah) qui s'inscrivait dans l'époque d'essor des sciences et
techniques islamiques (la culture de l'époque voulait que tout savoir soit traduit en
arabe et disséminé dans tout l'Empire), a donné le mot moderne « algèbre ». Une
large proportion des méthodes utilisées sont issues de résultats élémentaires de
géométrie. Pour cette raison, on classe souvent ces premiers résultats dans la
branche de l'algèbre géométrique.
Page d'Algebra d'al-Khwarizmi
Après un voyage dans le nord de l'Afrique, Léonard de Pise dit Fibonacci fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire
les chiffres (différente des chiffres romains) et par le système décimal. Dès son retour au pays, il est parmi les
premiers à populariser les chiffres arabes et le système décimal en Europe et travaille sur sa fameuse suite.
Algèbre
265
XVIe siècle : Europe
Le pape Gerbert d'Aurillac avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le zéro, invention
indienne que les mathématiciens Al-Khawarizmi et Abu Kamil avaient eux-mêmes
fait connaître dans tout l'Empire, et aussi à Cordoue.
Cette numération de position lance une ère de calcul algébrique, d'abord au moyen
des algorithmes nommés ainsi en hommage à Al-Kawarizmi, qui remplacent peu à
peu l'usage de l'abaque. Les mathématiciens italiens du XVIe siècle (del Ferro,
Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3e degré (ou équation cubique). Ferrari,
élève de Cardan, résout l'équation du 4e degré (ou équation quartique), et la méthode
est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viète découvre que les
fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation
polynomiale.
Jusqu'au XVIIe siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou
François Viète
le début des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste
principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations
symboliques permettant cette résolution. C'est à François Viète (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les
inconnues à l'aide de lettres .
Au XVIIe siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « imaginaires », tels que l'une des racines
carrées de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres
réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et
démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) :
Théorème — Toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (en comptant
chacune avec son éventuelle multiplicité).
Sous sa forme moderne, le théorème s'énonce :
Théorème — Le corps
des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication est algébriquement clos.
e
Le XIX siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par
des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien
Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une
équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, introduit pour la première fois la notion de
groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de
la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.
Une étape décisive était franchie avec l'écriture des exposants fractionnaires. Celle-ci permettra à Euler d'énoncer sa
célèbre formule
.
Algèbre
266
Algèbre moderne
Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui
porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais
Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire,
longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3
inconnues, prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (« Toute matrice
carrée à coefficients dans
ou
annule son polynôme caractéristique »).
S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la
trigonalisation des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XXe siècle,
la programmation des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures
galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux
(déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands
théorèmes d'arithmétique. L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire et
algèbre tensorielle.
Ernst Kummer
Au début du XXe siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens
s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano
axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et la structure d'algèbre sont
approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que ou et des opérateurs toujours plus abstraits.
On doit aussi à Artin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps
de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la
généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels.
L'école française « Nicolas Bourbaki », emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble
des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des
ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques.
Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle à travers le monde, alors
qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques
n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.
Notations européennes modernes
• Les symboles + et - apparaissent en 1489 dans l'ouvrage Arithmétique de John Widmann (Leipzig)
• Le signe = apparaît en 1557 chez Robert Recorde "parce que deux choses ne sauraient être plus égales que deux
lignes parallèles".
• Les signes < et > apparaissent en 1610 chez Thomas Harriot (1560-1621).
• William Oughtred (1574-1660) introduit le signe de la multiplication × dans son Clavis Mathematica (1631). Il
introduit aussi les termes de sinus, cosinus et tangente.
• Le signe de la division / est utilisé par Johann Heinrich Rahn en 1659 et introduit en Angleterre par John Pell en
1668.
Algèbre
Articles connexes
• Difficulté mathématique
Voir aussi
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Algèbre générale
Structure algébrique
Algèbre universelle
Algèbre linéaire
Algèbre matricielle
Algèbre multilinéaire
Algèbre tensorielle
Algèbre sur un corps
Algèbre sur un anneau
Algèbre de Boole
Tribu (mathématiques)
Algèbre de Clifford
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Algèbre de Jordan
Algèbre de Lie
Algèbre relationnelle
Calcul algébrique
Clôture algébrique
Courbe algébrique
Élément algébrique
Entier algébrique
Équation
Équation algébrique
Équation polynomiale
Extension algébrique
Géométrie algébrique
Mesure algébrique
Nombre algébrique
Surface algébrique
Topologie algébrique
267
Algèbre
268
Bibliographie
• Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles, Ed. VRIN, Paris - 1976
Liens externes
• Sur Al-Khwarizmi, mathématicien (en anglais) [3]
• Les mathématiques.net [4] : références et cours en ligne
mwl:Álgebra
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
Diophante et l'algèbre pré-symbolique (http:/ / irem. u-strasbg. fr/ php/ articles/ 68_Radford. pdf), Luis RADFORD .
Diccionario de la lengua española (http:/ / www. rae. es/ ) de la Real Academia Española
http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ history/ Mathematicians/ Al-Khwarizmi. html
http:/ / www. les-mathematiques. net/
Arithmétique
L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des
méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science des
nombres ». Son étymologie provient du mot grec « αριθμός » qui signifie « nombre ».
Autrefois, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs, et des nombres
rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opérations sur ces nombres.
Les opérations arithmétiques traditionnelles sont l'addition, la division, la multiplication, et la soustraction.
Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de
développement décimal illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'exponentiation ou la racine carrée.
Histoire
Dans l'école pythagoricienne (Pythagore de Samos), à la deuxième moitié du VIe siècle avant J.-C., l'arithmétique
était, avec la géométrie, l'astronomie et la musique, une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques
(Mathemata). Celles-ci furent regroupées au sein des sept arts libéraux par Martianus Capella (Ve siècle), et plus
précisément désignées sous le nom de quadrivium par Boèce. Les trois autres disciplines étaient littéraires
(grammaire, rhétorique, dialectique) et firent l'objet des travaux de Cassiodore et, plus tard, Alcuin qui leur donna le
nom de trivium.
Différentes arithmétiques
Arithmétique élémentaire
L'expression arithmétique élémentaire désigne parfois la forme la plus basique des mathématiques, apprise à
l’école élémentaire. Il s’agit essentiellement de l’étude des nombres, et des opérations élémentaires (soustraction,
addition, division, multiplication).
Ce terme désigne aussi les rudiments des techniques de l'arithmétique. Les outils utilisés sont la division euclidienne,
le lemme d'Euclide, le théorème de Bachet-Bézout ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique. Il permet de
démontrer des théorèmes comme celui de Wilson ou encore le petit théorème de Fermat.
Cette deuxième acception du terme est traité dans l'article détaillé.
Arithmétique
269
Arithmétique modulaire
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) étudie l'ensemble des congruences sur les entiers, c'est-à-dire celui composé des
restes de la division euclidienne par un nombre entier donné. Cet ensemble est naturellement muni d'une addition et
d'une multiplication.
L'étude de cette structure porte le nom d'arithmétique modulaire. Elle permet de généraliser les résultats de
l'arithmétique élémentaire. Le théorème d'Euler, correspondant à un résultat plus fort que celui du petit théorème de
Fermat, illustre une généralisation.
L'arithmétique modulaire est utilisé en cryptologie ou pour la construction de codes correcteurs en informatique.
Théorie algébrique des nombres
De nombreuses questions ne trouvent pas de réponse, même avec les techniques de l'arithmétique modulaire. Des
exemples proviennent d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations dont les coefficients sont entiers et dont
les solutions recherchées sont entières. Une méthode consiste à élargir l'ensemble des entiers à une nouvelle
structure qualifiée d'anneau d'entiers algébriques, comme ceux des entiers de Gauss, d'Eisenstein ou ceux associés
aux nombres de la forme a + b.√5 définissant une arithmétique du nombre d'or.
L'étude de cette structure, plus générale que celle de l'arithmétique modulaire qui se limite aux anneaux euclidiens,
constitue le premier chapitre de la théorie algébrique des nombres.
Arithmétique des polynômes
L'étude de l'arithmétique, au sens des nombres entiers, suppose d'établir des théorèmes. Ces théorèmes se démontrent
à l'aide de techniques qui ne se limitent pas aux nombres entiers. Il est possible de faire usage de la même démarche
sur d'autres structures, comme par exemple celle des polynômes. A travers l'étude des polynômes cyclotomique,
Gauss parvient à trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas, de 17 cotés.
Sa démarche est de nature arithmétique, pour cette raison, on parle d'arithmétique des polynômes.
Ensembles utilisés en arithmétique
La totalité des nombres ont été regroupés dans des ensembles. Les plus connus sont :
•
•
•
: l'ensemble des entiers naturels (
)
: l'ensemble des entiers relatifs (
)
: l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme d'un quotient d'un nombre entier
relatif et d'une puissance positive de 10, c'est-à-dire,
naturel
•
où x est un nombre entier relatif et n un nombre entier
.
: l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire comme un quotient (résultat
d'une division) de deux nombres entiers relatifs. En posant la division, il peut y avoir une infinité de chiffres après
la virgule dans le résultat, mais ces chiffres finiront par se répéter; dans ce cas on dit que l'écriture décimale est
illimitée périodique.
•
.
: l'ensemble des nombres réels, musurant toutes les distances entre deux points d'une droite, peuvent se voir
comme limite de nombres rationnels, peuvent s'écrire avec des chiffres après la virgule mais les chiffres ne se
répètent plus nécessairement ( , le nombre d'or,
)
•
: nombres complexes de la forme
où x et y sont réels et
imaginaire tel que
.
Certains de ces ensembles sont des sous-ensembles des autres ; Tous les éléments de
appartiennent aussi à
par exemple. Mais à l'inverse, un élément de
. On peut représenter ces
n'est pas forcément élément de
ensembles par des cercles concentriques: le plus petit est
, puis viennent
,
,
,
et
.
,
Arithmétique
270
Il est possible de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on notera
. De même on notera
(il s'agit de
l'ensemble
« privé de »
l'ensemble des nombres positifs de
privé de 0. On remarque entre autres que
et que
.)
Propriétés
De nombreux nombres entiers ont des propriétés particulières. Ces propriétés font l'objet d'une théorie appelée
Théorie des nombres. Parmi ces nombres particuliers les nombres premiers sont sans doute les plus importants.
Nombres premiers
C'est le cas des nombres dits premiers. Ce sont des éléments de
possédant uniquement deux diviseurs positifs
distincts, à savoir 1 et eux-mêmes. Les premiers nombres premiers sont 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 etc. 1 n'est
pas premier car il n'a pas 2 diviseurs distincts, mais un seul. Il existe une infinité de nombres premiers. En
complétant une grille de taille 10
10 avec les 100 premiers entiers non nuls, et en rayant ceux qui ne sont pas
premiers, on obtient les nombres premiers appartenant à
par un procédé appelé un crible
d'Eratosthène, du nom du savant grec qui l'inventa.
Nombres pairs et impairs
Les entiers naturels sont divisés en deux catégories bien connues des joueurs de roulette: les pairs et les impairs.
Un entier
pair est un multiple de 2 et peut être noté
multiple de 2 et se note
, avec
, avec
Un nombre
impair n'est pas
.
On montre que tout entier est soit pair soit impair, et au moins l'un des deux, et ce pour un unique
Les premiers entiers pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10 ... Les premiers entiers impairs sont 1, 3, 5, 7, 9, 11 ...
Voir aussi
•
•
•
•
•
•
•
•
Addition des entiers naturels
Associativité
Commutativité
Distributivité
Transitivité
Ordre des opérations
Arithmétique saturée
Nombre premier
ckb:‫ ەرێمژ‬mwl:Aritmética
: on note
Suite d'entiers
Suite d'entiers
En mathématiques, une suite d'entiers peut être précisée explicitement en donnant une formule pour ses n-ièmes
termes, ou implicitement en donnant une relation entre ses termes. Par exemple, la suite 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (la
suite de Fibonacci) est formée en commençant avec 0 et 1, puis en additionnant deux termes consécutifs pour obtenir
le suivant : c'est une définition implicite. La suite 0, 3, 8, 15, ... est formée en se basant sur la formule
pour
le n-ième terme : c'est une définition explicite.
Des suites d'entiers qui ont leurs propres noms sont :
•
•
•
•
•
•
•
Les nombres de Catalan
Les nombres d'Euler
Les nombres de Fibonacci
Les nombres figurés
Les nombres de Lucas
Les nombres pratiques
Les nombres premiers de Mersenne
Une suite d'entiers est une suite calculable, s'il existe un algorithme qui, pour un n donné, calcule an, pour tout n > 0.
Une suite d'entiers est une suite définissable, s'il existe un certain énoncé P(x) qui est vrai pour cette suite d'entiers x
et faux pour toutes les autres suites d'entiers. L'ensembles des suites d'entiers calculables et définissables est
dénombrable, avec les suites calculables d'un sous-ensemble propre des suites définissables. L'ensemble de toutes les
suites d'entiers est non-dénombrable ; ainsi, la plupart de toutes les suites d'entiers ne sont pas dénombrables et ne
peuvent pas être définies.
Voir aussi
Liens internes
• Encyclopédie électronique des suites entières
Lien externe
• Journal des suites d'entiers (en anglais) [1]. Les articles sont disponibles librement en ligne.
Références
[1] http:/ / www. math. uwaterloo. ca/ JIS/ index. html
271
Infini
272
Infini
L'infini (du latin finitus, « limité », noté habituellement ∞) est un
concept qui s'attache à quelque chose qui n'a pas de limite en nombre
ou en taille.
En mathématiques
L'infini joue un rôle important dans les mathématiques et il n'est pas
étonnant de le rencontrer dans plusieurs de ses branches, sous le double
Le symbole infini
aspect du nombre par la théorie des cardinaux et de l' espace par la
théorie de la mesure. Ces deux aspects ne se recouvrent pas
nécessairement, ainsi un segment ou un disque ont une infinité de points mais une mesure finie.
En théorie des ensembles
Un ensemble E est infini si, et seulement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de
, ou de façon
équivalente, s'il existe au moins une famille non vide de sous-ensembles de E qui n'a pas d'élément minimal pour
l'inclusion. [1] ,[2] ,[3]
Si l'on admet l'axiome du choix, et seulement à cette condition, [4] tout ensemble E est en correspondance biunivoque
avec un ordinal ; le plus petit ordinal auquel E est équipotent est alors par définition le cardinal de E.
La notion de nombre cardinal, qui modélise la « taille » des ensembles, s'applique aussi bien aux ensembles finis
qu'aux ensembles infinis. Le cardinal (on parle aussi de puissance) des ensembles infinis dénombrables est noté
(« aleph-zéro »).
Ensembles infinis dénombrables
Un ensemble infini est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une bijection entre lui et
. Intuitivement, un
ensemble infini est dénombrable si, et seulement si, on peut « énumérer » ses éléments: le « premier » élément, le «
deuxième » élément, le « troisième » élément, et ainsi de suite sans s'arrêter.
Par exemple, nous pouvons montrer que
L'ensemble
=
est dénombrable, voir la méthode.
des couples d'entiers naturels est lui aussi dénombrable, car à tout couple
, on
peut associer le nombre :
, [5] et on vérifiera aisément que la fonction ainsi définie est injective.
Dans l'exemple ci-dessus l'énumération des couples est « effective » : le procédé d'énumération est un procédé
calculatoire, un algorithme. Mais on peut très bien avoir montré qu'un ensemble est infini dénombrable, par exemple
en montrant qu'il est sous-ensemble des entiers et ne peut être fini[6] , sans être capable de donner un procédé effectif
d'énumération. Cette dernière notion est étudiée dans l'article ensemble récursivement énumérable.
Le cardinal d'un ensemble fini est un nombre entier naturel. En revanche, le cardinal d'un ensemble infini
dénombrable est dit « transfini ».
Infini
273
Ensembles infinis non dénombrables
Un ensemble infini non dénombrable ne peut pas être mis en bijection avec
. On ne peut pas établir une liste de
ses éléments.
Ainsi en est-il de l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels forment un corps commutatif totalement ordonné
, archimédien et tel que toute partie majorée admette une borne supérieure ;
est l'unique corps, à
l'isomorphisme près, à satisfaire ces propriétés ; c'est le sur-corps minimal de
à satisfaire le critère de Cauchy.
L'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est déjà non dénombrable : la démonstration s'appuie sur l'argument de la
diagonale de Cantor.
On dit que
de
a la puissance du continu, sa puissance (ou son cardinal) est
). L'argument diagonal de Cantor montre du même coup que
inférieur ou égal à
(le cardinal de l'ensemble des parties
, le plus petit cardinal non dénombrable, est
(dans ZFC). L'égalité de ces deux cardinaux, que l'on appelle l'hypothèse du continu, est
indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC.
En géométrie
Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation du réel qui soit fidèle à notre perception, abordèrent
(sans le savoir) la question de l'infini lorsqu'ils développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes
horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point sur le tableau; ce point du tableau ainsi
que la ligne d'horizon du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D).
La géométrie projective consiste à rajouter à l'espace affine usuel des points dits « à l'infini » dans chaque direction.
Le but est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles, ces dernières ayant un point
commun à l'infini. C'est un outil de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe
qu'un seul type de coniques au lieu de trois.
En optique géométrique
L'infini est un concept simplificateur en optique:
• Un objet situé à l'infini est une source émettant des rayons lumineux parallèles,
• Une image se forme à l'infini quand les rayons lumineux qui la forment sont parallèles.
Un œil normal (emmétrope) ou corrigé doit voir nettement une image à l'infini (Punctum remotum).
En topologie
compactification
L'ajout d'un élément ∞ à un espace topologique localement compact permet de rendre cet espace compact. Il s'agit de
la compactification d'Alexandroff.
Soit
un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace
est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans
compacts de
.
On peut alors définir les « voisinages de l'infini » : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U' \ U.
, où
des
Infini
274
complétion
On peut compléter le corps des nombres réels, en sacrifiant sa propriété de corps, usuellement de deux manières
possibles :
• soit en le complétant du point de vue algébrique par l'ajout d'un élément ∞, qui devient formellement un inverse
de 0. C'est un point fixe de l'addition et du produit en ce sens que (∀ x∈ ℝ) x ≠ 0 ⇒ ∞ + x = ∞ ∧ ∞ × x = ∞. Par
contre, le produit ∞ × 0 n'est pas défini.
On obtient ainsi l'espace projectif à 1 dimension. Dans cette complétion, le corps des réels perd son caractère
ordonné, puisque l'on peut considérer ∞ aussi bien comme supérieur à tous les réels finis, que comme inférieur
à tous. On peut lui assigner la topologie de compactification d'Alexandroff des réels, par la méthode
précédente, ce qui lui confère la même structure topologique que la circonférence.
• par l'ajout de deux éléments +∞ (on omet le signe + si on ne risque pas de confusion avec ce qui précède) et -∞.
On considère que ∞ est plus grand que tous les nombres réels et que -∞, et que -∞ est plus petit que les autres
éléments y compris ∞. L'ensemble ainsi obtenu est totalement ordonné, mais perd sa structure de corps, ainsi que
ses propriétés algébriques. Du point de vue topologique, c'est un espace compact, pour une topologie respectant sa
structure d'ordre. Cela lui confère la même topologie qu'un intervalle fermé, par exemple [-1,1].
En physique
Le fait que ce concept fasse intrusion dans une théorie est le signe que celle-ci est incomplète, comme le montre la
crise majeure que la physique a subie au début du XXe siècle[7] . À cette époque la physique se trouvait dans
l'incapacité d'expliquer divers phénomènes, dont le fait qu'un corps noir à l'équilibre thermodynamique est censé
rayonner un flux infini (voir catastrophe ultraviolette). Ce problème fut résolu par l'introduction des quanta par
Planck, ce qui forme la base de la physique quantique.
Cette situation se renouvelle avec le concept du Big Bang puisque, dans le cadre de la relativité générale cette notion
conduit, dans son interprétation naïve, à l'apparition d'infinis (on parle aussi de singularités) à l'origine des temps,
apportant ainsi la preuve que nos connaissances physiques actuelles ne sont pas capables de décrire cette époque
lointaine de l'histoire de l'Univers.
Dans plusieurs branches de la physique, comme la théorie quantique des champs ou la physique statistique, les
chercheurs ont pu éliminer les divergences indésirables de la théorie à l'aide de techniques mathématiques de
renormalisation. Ces techniques n'ont pu être appliquées pour l'instant à la théorie de la gravitation.
En théologie
Les religions monothéistes induisent généralement la notion d'infini (ou plus précisément les notions d'éternité et de
transcendance), même si elle est moins formalisée que la notion mathématique correspondante.
Une des premières manifestations de cette notion remonte à l'Égypte ancienne, au temps d'Akhénaton, autour du
culte du dieu Aton[8] .
Dès l'antiquité, le concept d'infini est présent en Inde[9] , dans la religion jaïniste, qui considérait le monde comme
infini.
La Tour de Babel cherchant à atteindre le ciel a été interprétée par des auteurs modernes comme une forme de
recherche d'infini[10] . Depuis les années cinquante les toitures de certaines églises modernes sont en forme de
paraboloïde hyperbolique dont la surface mathématique asymptotique semble monter vers l'infini. C'est le cas de
l'église Saint-Thibaut au Pecq[11] . Dans la plaquette éditée par "l'association des Amis de Saint Thibaut" en mai
1965 un chapitre s'intitule: "Que tout s'élève vers l'infini" il y est écrit: "...L'arêtier-poursuit l'exposé du parti-est une
hyperbole et nous avons déterminé cette courbe de sorte que l'assemblée ne puisse en voir l'extrémité. Nous pensons
que cette particularité contribuera à suggérer l'élan vers l'infini. Telles étaient les idées des architectes" et on lit en
Infini
275
légende du tracé schématique de la toiture: "Tracé schématique de la forme de l'église, montrant comment on a pu
construire les paraboloïdes hyperboliques à partir d'éléments rectilignes. Les quatre voiles de bois se rejoignent à
leur pointe, déterminant une convergence vers l'infini...[12] .
Dans les exemples qui précèdent, l'idée de transcendance est associée à une notion d'espace ou de temps infini. A
l'époque moderne Cantor l'associa aussi, semble-t-il, à l'infinité numérique, considérant que ses travaux sur les
nombres cardinaux et ordinaux avaient des implications théologiques.[13]
Histoire
Usage et opérabilité du concept
L'infini potentiel chez les anciens
Les mathématiciens ont de tout temps utilisé l'appartenance et l'inclusion mais ont eu les plus grandes difficultés à
associer à ces concepts ceux de nombre et de grandeur. Ils se contentaient alors de la possibilité d'augmenter toute
grandeur donnée, ou de la diminuer s'il s'agit d'une grandeur continue [14] .
C'est ainsi qu'Euclide, au lieu de dire « l'ensemble des nombres premiers est infini », dit « pour toute quantité donnée
de nombres premiers, il y en a un plus grand ». De même, Aristote se refuse à considérer qu'une ligne droite est «
composée de points ».
Galilée remarque qu'il y a une correspondance biunivoque entre les nombres et leurs carrés, d'où il déduit que
l'assertion commune « le tout est plus grand que la partie » ne se vérifie pas lorsqu'on parle de quantités infinies [15] .
Cependant, loin d'y trouver une motivation pour l'étude des ensembles infinis, il y voit la preuve du caractère non
opérationnel de l'infini, position approuvée plus de deux siècles plus tard par Cauchy. [16] Ainsi donc, jusqu'assez
avant dans l'époque moderne, les mathématiciens s'interdisaient d' utiliser directement les ensembles infinis et
préféraient raisonner « en compréhension » sur les propriétés de leurs éléments. Ceci n'empêcha pas la naissance du
calcul infinitésimal, donc, ainsi que le reconnaît Bourbaki, [17] cette position avait permis des développements
importants tout en posant des garde-fous.[18]
L'infini potentiel chez les constructivistes modernes
Issu de la « crise des fondements » du début du XXe siècle, le courant intuitionniste promu par Brouwer, rejette les
méthodes de la logique classique, censée ne pas s'appliquer en tout cas aux objets infinis.[19] Aujourd'hui ce terme
d'intuitionniste s'applique à une axiomatisation bien précise de la logique sans tiers exclu. Une forme de philosophie
mathématique qui se revendique volontiers de celle de Brouwer est celle du courant constructiviste, dont un
représentant notoire, Roger Apéry a ainsi exposé la conception de l'infini :
S'il extrapole la réalité, le mathématicien constructif refuse les hypothèses fantastiques des platoniciens
; en effet (......) il constate que la mathématique se déroule dans le temps. (.......) son immortalité lui
permet d'atteindre des nombres aussi grands qu'il veut, mais pas de définir tous les nombres ; il croit à
l'infini potentiel, pas à l'infini actuel.[20]
C'est l'incursion du temps qui en effet pour les constructivistes distingue l'infini potentiel, dont les parties sont
construites successivement, de l'infini actuel, dont les parties sont données simultanément ; or pour eux il s'agit bien
d'une activité humaine ; « il n'y a pas de mathématiques sans mathématicien » dit Apéry.
Infini
276
L'infini actuel et le temps
Au Moyen Âge, saint Bonaventure avait affirmé que d'un pur point de vue logique — indépendamment de ce que
disait la Bible — il était impossible que le monde ait toujours existé ; Thomas d'Aquin réfuta cette assertion par un
raisonnement formel, rien en l'absence d'information ne permettant d'exclure a priori une éternité actuellement
achevée[21] .
Un sophisme célèbre, imaginé par le créationniste américain W.L. Craig d'après une parabole de Bertrand Russell
dont le but était autre, prétend démontrer l'impossibilité d'une durée infinie achevée, et donc prouver que le monde a
eu un commencement, par l'histoire de Tristram Shandy, lequel écrit son autobiographie au rythme d'un an d'écriture
par journée vécue, et a fait cela toutes les années du passé. Si donc le temps n'a jamais commencé, quel jour de sa vie
Tristram Shandy est-il en train de commenter cette année ? Aucun jour du passé ne conviendrait, donc il est
impossible que le temps n'ait pas une origine. [22]
La supercherie est évidente pour qui connaît les coordonnées cartésiennes : le scénario comporte une contradiction ;
Tristram Shandy qui écrit 365,25 fois moins vite que l'horloge a nécessairement commencé son autobiographie
quelque jour, ce qui en aucune manière ne prouve la nécessité logique d'un début du temps.
Les très grands nombres
Dans l'expression populaire, l'adjectif « infinies » est parfois employé pour qualifier de très vastes étendues ou de très
grandes quantités. Remarquons que même finis, les très grands nombres peuvent être difficiles à concevoir. Ainsi les
suites de Goodstein sont des suites définies très simplement qui donnent lieu à des nombres qui dépassent
l'entendement, bien qu'ils soient encore considérablement plus petits que ceux engendrés par le castor affairé.
Les notations
Le symbole actuel de l'infini a été employé pour la première fois en 1655 par John Wallis, dans son ouvrage De
sectionibus conicis, puis peu après dans l'Arithmetica Infinitorum :
esto enim ∞ nota numeri infiniti.[23]
Trois hypothèses existent quant à l'origine de ce choix. La plus communément admise est qu'il s'agit d'une évolution
du chiffre désignant '1000' dans la numération romaine : successivement Ⓧ, puis CIƆ, avant de devenir M.
L'évolution graphique du deuxième symbole aurait donné
. Parallèlement on note l'emploi du mot latin mille au
pluriel pour désigner un nombre arbitrairement grand et inconnu[réf. nécessaire]. On notera l’expression française
encore utilisée aujourd’hui « des mille et des cents » rappelant cet usage. Le symbole actuel serait donc simplement
l’évolution de la ligature minuscule cıɔ en écriture manuscrite onciale.
Une hypothèse concurrente est que le symbole serait issu de la lettre grecque ω, dernière lettre de l'alphabet grec, et
métaphore courante pour désigner l'extrémité finale (comme dans l'expression l'alpha et l'oméga). Depuis Georg
Cantor on utilise d'ailleurs des lettres grecques pour désigner les nombres ordinaux infinis. Le plus petit ordinal
infini, qui correspond au bon ordre usuel sur les entiers naturels, est noté ω.
Enfin, Georges Ifrah, dans son encyclopédie « L'histoire universelle des chiffres », explique que la graphie de l'infini
remonte à la civilisation indienne, et plus particulièrement à la mythologie indienne. L'Ananta, (terme sanskrit qui
signifie infini) le « serpent infini » du dieu Vishnu, est représenté enroulé sur lui-même à la manière d'un « huit
renversé ».
Infini
277
Voir aussi
Articles connexes
•
•
•
•
•
Nombre cardinal
Nombre ordinal
Nombre transfini
Hôtel de Hilbert
L'Infini est une revue littéraire crée par Philippe Sollers.
ckb:‫ییاتۆکێب‬
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Alfred Tarski Sur les ensembles finis 1924 Fund. Math. t.6 p.45, p.95
Patrick Suppes Axiomatic set theory Van Nostrand 265 p.
Roland Fraïssé Logique mathématique, t.1 Gauthier-Villars Paris 1971, p. 12-13-14
Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F. Paris 1972 p. 38
J. Garsoud, Analyse mathématique, Dunod Paris 1968 p.29
Par exemple l'ensemble des entiers qui codent une machine de Turing ne s'arrêtant pas sur son propre code, est évidemment dénombrable,
mais ne peut être énuméré effectivement voir problème de l'arrêt.
[7] Voir (en) C. W. Misner, Kip Thorne & John Wheeler : Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), chapitre 44.
[8] (1939) Sigmund Freud Der Mann Moses und die monotheistische Religion, Éd. Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main - 1964
Traduit de l’Allemand Par Anne Berman sous le titre Moïse et le monothéisme et consultable en ligne (http:/ / classiques. uqac. ca/ classiques/
freud_sigmund/ moise_et_le_monotheisme/ moise_et_monotheisme. html) sur la bibliothèque numérique Les Classiques des sciences sociales
(http:/ / classiques. uqac. ca/ ) de l'Université du Québec à Chicoutimi.
[9] Jaina mathematics (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Jaina_mathematics. html), J J O'Connor et E F Robertson.
[10] Stefan Zweig "La tour de Babel" essai tome 3: "Leurs sages s’aperçurent qu’une science pratiquée par un peuple seul ne pouvait atteindre
l’infini"
[11] Eglise saint-Thibaut (http:/ / www. iledefrance. fr/ lactualite/ culture/ musique-danse/ leglise-de-saint-thibault-retrouve-des-orgues-neuves/ )
[12] Plaquette intitulée: L'église Saint-Thibaut Marly-le-roi -Le-Pecq éditée par "les amis de Saint Thibaut - 17 bis rue de Saint Cyr - 78160
MARLY LE ROI"
[13] §3.2, Ignacio Jané, « The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set », dans Erkenntnis, vol. 42, no 3, May 1995, p. 375-402 [
lien DOI (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1007/ BF01129011)]
[14] Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV pp.57-58
[15] Galileo Galilei Opere, Ristampa della Edizione Nazionale, Barbara Firenze 129-39, t. 8 pp.78-80
[16] Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p.58
[17] Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p.58
[18] Ibid. Bourbaki y voit néanmoins « une certaine dose d'hypocrisie ».
[19] Brouwer semble cependant ne pas rejeter l'infini actuel. Dans sa Dissertation de 1907, p. 97, il écrit : Quant à l’infini actuel des cantoriens,
il existe bien, pourvu que nous le confinions à ce qui peut être intuitivement construit, et que nous nous abstenions de l’étendre par des
combinaisons logiques qui ne peuvent pas être réalisées - Cité par Michel Bourdeau La critique de la théorie des ensembles dans la
dissertation de Brouwer Math. & Sci. hum. / Mathematics and Social Sciences (41e année, n° 164, 2003, p. 29-43) texte en ligne (http:/ /
www. ehess. fr/ revue-msh/ pdf/ N164R892. pdf)
[20] Ouvrage collectif « Penser les mathématiques », séminaire de l'ENS, Editions du Seuil 1982 p.63 ISBN 2 02 006061 2 exposé en ligne (http:/
/ peccatte. karefil. com/ PhiMathsTextes/ MathsConstructives. html)
[21] Texte en ligne d' Ezio Vailati, South Illinois University - voir Aquinas en fin de page (http:/ / www. siue. edu/ ~evailat/ ml2. html)
[22] Robin Small The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 37, No. 2 (Jun., 1986), pp. 213-216 résumé de la critique (http:/ / www.
jstor. org/ pss/ 686980)
[23]
(en) Earliest uses of symbols of calculus (http://members.aol.com/jeff570/calculus.html)
Chiffre significatif
Chiffre significatif
Dans une mesure physique, le nombre de chiffres significatifs détermine la précision de la mesure. Il s'agit des
chiffres connus avec certitude plus le premier chiffre incertain.
Par exemple: 1234 a 4 chiffres significatifs. Le premier chiffre incertain est le 4.
Cas du 0
• Lorsque le 0 est placé à gauche, il n'est pas significatif:
0,8 a 1 chiffre significatif
0,0052 a 2 chiffres significatifs
031 a 2 chiffres significatifs
• Lorsque 0 est placé entre deux chiffres significatifs non nuls, il est significatif:
1203 a 4 chiffres significatifs
12,03 a 4 chiffres significatifs
120,4 a 4 chiffres significatifs
• Lorsque le 0 est placé à droite, mais après la virgule, il est significatif:
1,200 a 4 chiffres significatifs
0,0520 a 3 chiffres significatifs
• Le cas des nombres entiers tels: 400, 1000, 10... est ambigu.
Par exemple 400 peut s'écrire de diverses façons:
400 avec 3 chiffres significatifs
avec 3 chiffres significatifs
avec 2 chiffres significatifs
avec 1 seul chiffre significatif
Selon la façon dont il est écrit, le nombre de chiffres significatifs varie. Il est donc préférable d'écrire de tels nombres
en notation scientifique.
En notation scientifique, tous les chiffres de la mantisse sont significatifs.
Convention
On rencontre fréquemment dans les tables des valeurs telles:
12,43
Avec 4 chiffres significatifs.
Par convention il s'agit d'une valeur abrégée pour:
12,43 +/- 0,01
278
Chiffre significatif
279
Chiffres significatifs et opérations
Lors d'un calcul, les données sont parfois fournies avec des nombres de chiffres significatifs différents. Le résultat du
calcul doit alors être exprimé avec le nombre de chiffres significatifs de la donnée qui en possède le moins.
Addition et soustraction
Après une addition ou une soustraction, le résultat ne doit pas avoir plus de décimales que le nombre qui en
comporte le moins.
Exemple 1
On calcule la masse molaire du thiosulfate de sodium pentahydraté Na2S2O3 , 5H2O :
M(Na) = 23,0 g.mol−1
M(O) = 16,0 g.mol−1
M(S) = 32,05 g.mol−1
M(H) = 1,008 g.mol−1
M(Na2S2O3 , 5H2O) = 248,2 g.mol−1 (M(Na) et M(O) n'ont qu'une décimale)
Exemple 2
Simplifier : Périmètre du rectangle: L= 143 cm (donc 3 chiffres significatifs et pas de décimale) et l= 5,7 cm (donc 2
chiffres significatifs et une décimale)
P= 2x(5,7+143) P= 2x148.7 P= 297.4
Mais 143 n'ayant pas de décimale, le périmètre ne doit pas en avoir non plus donc: P= 297 cm
Multiplication et division
Après une multiplication ou une division, le résultat ne doit pas avoir plus de chiffres significatifs que la valeur la
moins précise.
Exemple
On dissout une masse m = 6,17 g de thiosulfate de sodium pentahydraté M = 248,2 g.mol−1 dans un volume V =
150,0 mL de solution, la concentration molaire apportée est :
résultat brut, incorrect.
résultat correct avec 3 chiffres significatifs
les logarithmes
Les logarithmes ont le même nombre de chiffres significatifs que leur argument. Cette règle amène à des subtilités
avec le logarithme décimal.
les nombres: 4,2 102 et 4,2 103 sont tous deux donnés avec 2 chiffres significatifs.
Leurs logarithmes décimaux donnent respectivement:
2,6232.... 3,6232...
On constate donc que le nombre avant la virgule n'est que la valeur de l'exposant. Cette valeur ne servant qu'à
positionner la virgule, elle n'est pas elle-même un chiffre significatif. Par conséquent le logarithme de nos deux
nombres avec 2 chiffres significatifs doit s'écrire:
2,62
Chiffre significatif
Articles connexes
• Précision arithmétique
280
Sources et contributeurs de l'article
Sources et contributeurs de l'article
Nombre Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48604900 Contributeurs: (anonyme), (anonyme1), (anonyme2), A2, Aldoo, Ambigraphe, Antoinetav, Aoineko, Archibald, Baleer,
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FrViPofm, Félix Potuit, H2O, HB, Hexasoft, Jango, Jean Gomel, Jef-Infojef, Jim2k, Jmtrivial, Jérome Bru, Kelson, Korrigan, Lavsson, Litlok, Marc Mongenet, Masiko, Michel BUZE, Michelet,
Mm, Moipaulochon, Nefbor Udofix, Nono64, Olrick, Orthank, Orthogaffe, PIerre.Lescanne, Pabix, Panoramix, Phe, Renouve, Rogerv, Sanao, Sebjarod, Sherbrooke, Ske, Snark, Tarquin,
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Wuyouyuan, Xmlizer, Xofc, Yves30, Zandr4, 71 modifications anonymes
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Archibald, Arrakis, BRUGIER, BahaFura, Barmyb 99, Berducat, Biajojo, COLETTE, Cantons-de-l'Est, Cdang, Celui, Cham, Claudeh5, ColdEel, CreatixEA, Cœur, DSCH, Darkoneko,
David.Monniaux, Deep silence, Dfeldmann, Dirac, Djiboun, Domsau2, Effco, El Caro, Ellisllk, Emirix, Erasmus, Esprit Fugace, Fab97, Faflo, Ffa, FiLiPoOo, Florentriv, Flyingsquirrel, Former
user 1, François-Dominique, FvdP, GL, Gede, Gem, Givet, HB, Hashar, Herr Satz, HotRabbit, Jean-Christophe BENOIST, Jean-Luc W, JihemD, Jim2k, Kelemvor, Kilom691, Korg, Lac, Laurent
MAYER, Leag, Lilian, LimoWreck, Looxix, Lregnier, Ludovic89, MaCRoEco, Maurilbert, Med, Moonyloony, Moumousse13, Moyg, Mû, Natmaka, Nefbor Udofix, Nicolas Ray, Nicostella,
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Quasar-Hfo4, RM77, Raph, Salle, Sam Hocevar, Sbrunner, Schnouki, Sebsd, Sherbrooke, Snark, Spoirier, SuperHeron, Sémhur, Tarap, Tariqhada, Tarquin, Tex, Thedreamstree, Theon,
Tu'imalila, VHF, Vargenau, Vianney34, Vivarés, Wadzar, Webkid, Xic667, Xillimiandus, Xmlizer, Yann, Yukito, Yves, Zandr4, script de conversion, ~Pyb, 128 modifications anonymes
Quaternion Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49355984 Contributeurs: (anonyme), (anonyme1), A2, Alain r, Alain.Debecker, Aldoo, Alno, Ambigraphe, Archibald, Barraki,
Boblenain, BrightRaven, COLETTE, Carmen Anchel, Cham, Chirosophe, Cwalther, Cœur, David Latapie, Dfeldmann, Dhatier, El Jj, Ellisllk, Emiaille, Fab97, Fagairolles 34, FvdP, HB, Herman,
Ico, Jean-Luc W, Jean-Paul Wenger, Jmtrivial, Juliencc, Jyp, Kelemvor, Lac, Lavau, Linan, Lmaltier, Med, Miniwark, Noky, NucleoS, Orthogaffe, Papy77, Peps, Phe, Raph, Remram44, Ro8269,
Romainbrasselet, Romdumdum, Salle, Sam Hocevar, Sbrunner, Sherbrooke, Ske, SpICE, Super babouin, T13b0, Tados, Thedreamstree, ThinkerR, TomT0m, Vargenau, Verdy p, Vivarés,
Webfractales, Wiz, Xic667, Xmlizer, Yn1, Zertrin, Zy26, 177 modifications anonymes
Octonion Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47134760 Contributeurs: (anonyme), Aadri, Ambigraphe, Anarkman, Archibald, Bap, Barraki, Briling, CommeCeci, Cœur, David
Berardan, Dromygolo, Grossbaff, Immortel, Iznogood, Jean-Luc W, Jpm2112, Jyp, Kelemvor, Kilom691, Leag, LittleSmall, Lmaltier, Markadet, Med, Phe, Pixeltoo, Pld, Sbrunner, Seb35,
Sherbrooke, Sublimo69, Thedreamstree, Verdy p, Vev, Winnie 007, Xmlizer, Zetud, 20 modifications anonymes
Sédénion Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48894813 Contributeurs: (anonyme), Ambigraphe, Anarkman, Badmood, Barraki, Cantons-de-l'Est, Claudeh5, Cœur, Dreamsnet68,
FvdP, Jim2k, Kelemvor, MasterMatt, Med, Michel421, Mikefuhr, Pixeltoo, Thedreamstree, Titi2, Xmlizer, 3 modifications anonymes
Nombre complexe fendu Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48536101 Contributeurs: Ambigraphe, Badmood, Dfeldmann, Ektoplastor, GaMip, Jean-Luc W, Jim2k, Kelemvor,
Litlok, Mathieu Perrin, Oxyde, Phe, Pixeltoo, RM77, Rhadamante, Sabbut, Sakharov, Sherbrooke, Theon, Valvino, Zetud, 85 modifications anonymes
Tessarine Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47136892 Contributeurs: Alonso Quichano, Cœur, Grigg Skjellerup, Gz260, Jim2k, Michel421, Pixeltoo, Seb35, 2 modifications
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Nombre bicomplexe Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42877398 Contributeurs: Alchemica, Barraki, Daniel*D, El Caro, Jef-Infojef, Jim2k, Kelemvor, Pixeltoo
Nombre multicomplexe Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=29682351 Contributeurs: Ambigraphe, Jim2k, Kelemvor, Mu, Nosfrat, Pamputt
Biquaternion Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45286386 Contributeurs: Barraki, Cœur, Edhral, Jef-Infojef, Jim2k, Kelemvor, Kropotkine 113, Pixeltoo, Pld, Romanc19s,
Salle, Touriste, 10 modifications anonymes
Coquaternion Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47202914 Contributeurs: Bob08, Charles Dyon, Crouchineki, Cœur, Edhral, Jim2k, Kilom691, Michel421, Pixeltoo, Poulos,
Sebleouf, Sherbrooke
Octonion fendu Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39975077 Contributeurs: Chaoborus, Charles Dyon, Jim2k, Michel421
Nombre hypercomplexe Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46806800 Contributeurs: (anonyme), (anonyme1), (anonyme2), .melusin, Aldoo, Alno, Ambigraphe, Archimëa,
Aschheim, Carmen Anchel, Claudeh5, Céréales Killer, Cœur, Dromygolo, FvdP, Gede, Hégésippe Cormier, Jean-Luc W, Jim2k, Jyp, Kelemvor, Korg, Lac, Malta, Michel421, Piku, Pixeltoo,
Ripounet, Seb35, Sherbrooke, Ske, Symac, Tavernier, Thedreamstree, Titi2, Touriste, Verdy p, Wiz, Xmlizer, 23 modifications anonymes
Nombre p- adique Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48012000 Contributeurs: Aldoo, Aldébaran, Ambigraphe, Anne Bauval, Archibald, Baleer, Bob08, Cgolds, Clatourre,
Delph, Dfeldmann, Ethaniel, FvdP, Genius, HB, Ico, Jean-Luc W, Looxix, Lyoa, MinnieRae, Noky, Orthogaffe, Panoramix, Pixeltoo, Poulpy, Sam Hocevar, Sherbrooke, Snark, SniperMaské,
Sylvie Martin, Thedreamstree, Theon, Titi2, V8, Valvino, Vivarés, Zetud, 18 modifications anonymes
Nombre hyperréel Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48169899 Contributeurs: Aldoo, Alphatwo, Ambigraphe, Anarkman, Aquabon, ChtiTux, Cœur, Daniel*D, Dfeldmann, El
Caro, FvdP, Hashar, Kelemvor, Looxix, Macassar, Malosse, Moipaulochon, Necrid Master, Orthogaffe, Pixeltoo, Thedreamstree, Titi2, VIKI-2000, Valvino, Vargenau, Xerbias, 17 modifications
anonymes
Nombre superréel Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=44333122 Contributeurs: Ambigraphe, Charles Dyon, Cœur, JSDX, Jim2k, Kelemvor, Moipaulochon, Pixeltoo
Nombre dual Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39906648 Contributeurs: Cœur, El Caro, Jef-Infojef, Jim2k, Pixeltoo, Seb35, Sherbrooke, 2 modifications anonymes
Droite réelle achevée Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48052877 Contributeurs: Archibald, Badmood, Barraki, Cœur, El Caro, Matpib, MicroCitron, Peps, Pixeltoo, Poulpy,
SGC.Alex, TouristeCatégorisant, 1 modifications anonymes
281
Sources et contributeurs de l'article
Nombre cardinal Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49403062 Contributeurs: (anonyme), A3 nm, Aldoo, Ambigraphe, Anne97432, Boréal, Cayzere, Chassain, ChtiTux, Cœur,
Dfeldmann, Entouane1, Epsilon0, Ethaniel, GaMip, Gronico, Kelemvor, Korg, Korrigan, Lac, Lerichard, Malosse, Martereau, Michel421, Oxyde, Ph.lalanne, Pierre Fiala, Pld, Proz, Sherbrooke,
Thedreamstree, Theon, Twindruff, Vargenau, Vivarés, Xmlizer, Yann, 64 modifications anonymes
Nombre ordinal Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48696574 Contributeurs: (anonyme), Aldoo, Ambigraphe, Arnaud.Serander, Badmood, Bap, Chtfn, ChtiTux, Clarus, Coyau,
Cphil, Cœur, Dfeldmann, Dmharvey, DocteurCosmos, Epsilon0, Erasoft24, FR, Jérôme, Korg, Lac, Laubrau, Lregnier, Marc Mongenet, Michel421, Ninho, PIerre.Lescanne, Palustris, Pld, Serge
boisse, Sherbrooke, Thedreamstree, Theon, Vargenau, Yann, 39 modifications anonymes
Nombre surréel et pseudo- réel Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46125941 Contributeurs: Aldoo, Ambigraphe, Arglanir, CD, ChtiTux, Cœur, Dfeldmann, EDUCA33E,
Epsilon0, Fractalux, FvdP, Kelemvor, Med, MetalGearLiquid, Mû, Piquart, Pixeltoo, Poulpy, Raphael Dubois, Rémih, Salle, Sam Hocevar, Thedreamstree, Theon, Titi2, Wiz, 8 modifications
anonymes
Parité (arithmétique) Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48322714 Contributeurs: Ambigraphe, Apokrif, Archibald, Baleer, Bignole, Charles Dyon, Cœur, David Berardan,
Ektoplastor, El Caro, Ellisllk, Fafnir, Grecha, HB, Jean-Luc W, Jef-Infojef, Jim2k, Johira, Jérome Bru, Kelson, Loïc, Med, Neuceu, Olivierb, Oxyde, Peps, Piku, Pld, Ploum's, QuoiNonne, Salle,
Woww, Wuyouyuan, Xario, Zejames, Zetud, 20 modifications anonymes
Nombre premier Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49407188 Contributeurs: Ab r, Actorstudio, Almak, Alvaro, Ambigraphe, Anne Bauval, Archibald, Arnaud.Serander,
Aschheim, Ash Crow, Badmood, BahaFura, Bap, Baronnet, Barraki, Buzz, COLETTE, CastorFumble, Cb6611, Cgolds, Cham, Charlier8, ChevalierOrange, ChtiTux, Chtit draco, Ckems128,
Claudeh5, Claudius, Commentquiva, Creasy, Cœur, DSCH, DainDwarf, David Berardan, Delomba, Delph, Dfeldmann, Didier Misson, Dilbert, DocteurCosmos, DrShiva, Dysprosia, Ektoplastor,
El Caro, Ellisllk, Emirix, Epsilon0, Evpok, Exocet, Fabrice Dury, Flav, Franz Liszt, François-Dominique, Freewol, Fv, FvdP, Gede, GillesC, Goliadkine, Guillemant, Gutenberg1, HB,
Hadeslimourable, Hashar, HeisSpiter, Hemmer, Hégésippe Cormier, IAlex, Iafss, JLDonne-Pessac, JLM, Jastrow, Jean-Christophe BENOIST, Jean-Luc W, Jeanmichel, Jef-Infojef, Jelib78,
Jerome.Abela, Jim2k, Jmc, Jyp, K2, Kelemvor, Kelson, Korrigan, Lazaremoine, Leag, Lithium57, Looxix, Loxofatim, Ludo29, MIRROR, Madamedekeravel, Mathieuw, Maurilbert, Med, Michel
d'Auge, Michel421, MicroCitron, Moez, Mononoke Hime, Monsieurcoat, Mschlindwein, N'importe lequel, Nakor, Nbeaudet, Neuceu, Nico92, Nicolae Coman, Nicolas Ray, Noky, Nonobst4nt,
NucleoS, Nutsy, Oblic, Olimat, Ollamh, Orthogaffe, PM, Padawane, Pallas4, Peps, Peyo64, Phe, Phido, PieRRoMaN, Pld, Popolito, Ptitlaby, Punawa, RM77, Raph, Raude, Rocatrices,
Rominandreu, Ryo, Sabbut, Salle, Sam Hocevar, Sanao, Sardur, Schutz, Sebleouf, Sherbrooke, Soekarno, Solensean, Spicalioth, Spooky, Tarap, Tcharvin, Thekiing, Theocrite, Theon, Thesaurus,
Thierry Gagnebin, TiChou, Tom, Toufic27, Touriste, Tpa2067, Trou, Tu'imalila, Urhixidur, Us, Utopiste, V1nz, VHF, Valkyr, Valvino, Vargenau, Verdy p, Vivarés, Woww, Xavier Combelle,
Xmlizer, Xofc, Yann, Yann Dirson, Yannvag, Zandr4, Zelda, ZeroJanvier, Zetud, Zne, Zubro, 318 modifications anonymes
Nombre composé Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45887386 Contributeurs: Ambigraphe, COLETTE, Cham, Cœur, El Caro, Jim2k, Kelemvor, Linguiste, Moipaulochon,
Pichasso, Poulpy, Regiment Westland, Shawn, VIGNERON, Woww, Xmlizer, 6 modifications anonymes
Carré parfait Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46826107 Contributeurs: Aldoo, Ambigraphe, Archibald, Arno., Badmood, Baleer, Ben Siesta, BernardM, Bob08, CD,
COLETTE, Cham, Cœur, Grecha, Jean-Luc W, Jerome66, Jim2k, Min's, Moipaulochon, MrTout, Okki, Olrick, Peps, Phe, R, Ryo, Sherbrooke, Valvino, Vyk, WydD, Zetud, 18 modifications
anonymes
Nombre parfait Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47848391 Contributeurs: A3 nm, Abracadabra, Aldoo, Alexandre-ct, Alo, Ambigraphe, Anarkman, Ash Crow, C.J.S.F,
Cantons-de-l'Est, Cbyd, Cgolds, Cham, Charlier8, Cœur, Edhral, Elaum, En passant, Fafnir, Ffx, Francois Trazzi, FvdP, Garfieldairlines, Greguar, HB, Hexasoft, Ico, JLM, Jean-Luc W, Jyp,
Kelemvor, Kelson, Laddo, Laurent75005, Loicwood, Loulouxiv, LycéeGaspardMonge, MIRROR, Marvoir, Mbcmf217, Moipaulochon, Mutatis mutandis, Nakor, Olmec, Orthogaffe, Overkilled,
Oxyde, Peter17, PieRRoMaN, Poulpy, Pso, Robert FERREOL, Roby, Rogilbert, Sam Hocevar, Schutz, Shakki, ShreCk, Stéphane33, Theocrite, Theon, Urhixidur, VHF, Vargenau, Xavier
Combelle, Xmlizer, 61 modifications anonymes
Nombre positif Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39906368 Contributeurs: Ambigraphe, Badmood, COLETTE, Cœur, DSCH, Kelemvor, Oxyde, 7 modifications anonymes
Nombre négatif Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48703004 Contributeurs: Ambigraphe, Badmood, Boréal, COLETTE, Cœur, Dfeldmann, Geralix, Hemmer, Jaimie Ann
Handson, Kelemvor, Kelson, Lilyu, Nicolas Ray, Orthogaffe, Oxyde, Pixeltoo, Sam Hocevar, Sherbrooke, Steff, Xmlizer, 12 modifications anonymes
Fraction dyadique Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46723722 Contributeurs: Aldoo, Ambigraphe, Archibald, Bouette, CD, Cgolds, Cœur, Drazzib, Jerome66, Jim2k, Leag,
Med, Moipaulochon, Nakor, Poulpy, Valvino, Vincnet, 7 modifications anonymes
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CheepnisAroma, Cœur, Dhatier, Ektoplastor, Fagairolles 34, GLec, Goliadkine, Greteck, IAlex, Jaimie Ann Handson, Jean-Luc W, Jef-Infojef, Jill-Jênn, Joker-x, Kelemvor, Laurent Nguyen,
Man vyi, Maxulyss, Mschlindwein, Numbo3, Okno, Orthogaffe, Oxyde, Panoramix, Pixeltoo, Pld, Proz, Rogilbert, Romanm, Samsa, Schutz, Sebletoulousain, SharedX, Sherbrooke, Sir Pidjey,
Stéphane33, Theon, Vargenau, Vivarés, Xmlizer, 25 modifications anonymes
Nombre algébrique Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47529501 Contributeurs: (anonyme1), A3 nm, Aldoo, Ambigraphe, Antoinetav, Arrakis, C-cube, ChtiTux, Colas,
Céréales Killer, Cœur, David.Monniaux, Dfeldmann, Fractalux, FvdP, HB, Jean-Jacques MILAN, Jean-Luc W, Jerome66, Jim2k, Karl1263, Kelemvor, Lac, Michel421, Orthogaffe, Phe,
Pixeltoo, Rar, Salle, Tarquin, Thedreamstree, Titiou, Van Rijn, Vargenau, Vivarés, Xmlizer, Yann, 12 modifications anonymes
Nombre transcendant Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49139815 Contributeurs: 08pb80, A3 nm, Aldoo, Ambigraphe, Anarkman, Anne Bauval, Archibald, Archimëa,
Arnaud.Serander, Arrakis, ArséniureDeGallium, Barraki, Chenxlee, ChtiTux, Claudius, Cœur, DainDwarf, Dfeldmann, El Caro, Epsilon0, Fafnir, Francois Trazzi, FvdP, Holomorphe, Jean-Luc
W, Jef-Infojef, Jim2k, Louis-garden, Maksim, Med, Michel421, Mschlindwein, Mstempin, Necrid Master, Pixeltoo, Pld, Prokofiev, Raude, Sam Hocevar, Seb35, Sharky, Thedreamstree, Theon,
VHF, Van Rijn, Vargenau, Vivarés, Xavier Combelle, Xmlizer, Youssefsan, Yvescatorc, 30 modifications anonymes
Nombre imaginaire pur Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49007320 Contributeurs: Aldoo, Ambigraphe, Asheka, Bjankuloski06fr, Cdang, Cœur, Diligent, El Caro, Ellisllk,
JLM, Kelemvor, Ludovic89, MaCRoEco, Med, Melkor73, Mschlindwein, Nefbor Udofix, Nutsy, Pixeltoo, Pld, Schnouki, Verdy p, Xmlizer, 18 modifications anonymes
Nombre de Liouville Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48096551 Contributeurs: Ambigraphe, Archibald, Arrakis, Claudeh5, Cœur, Dfeldmann, HB, Jean-Luc W, Jef-Infojef,
Jim2k, Kelemvor, Kilom691, Okki, Salle, Vargenau, 6 modifications anonymes
Nombre normal Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46715506 Contributeurs: Ambigraphe, ArséniureDeGallium, Barraki, Cœur, DYLAN LENNON, Dhatier, Ektoplastor,
Elwwod, Globmax, HB, HERMAPHRODITE, Hzenilc, Jim2k, Kelemvor, Ludovic89, Michel421, Mschlindwein, Phe, Proz, Ryo, Salle, Sam Hocevar, Sherbrooke, Thedreamstree, Verbex,
Vivarés, 8 modifications anonymes
Nombre univers Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39906749 Contributeurs: Ambigraphe, Bokken, Cœur, DanJee, HERMAPHRODITE, Jef-Infojef, Kelemvor, Michel421,
Speedspid, Trimégiste, Trou, 5 modifications anonymes
Nombre constructible Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48477529 Contributeurs: Aldoo, Ambigraphe, Antoinetav, Chaps the idol, ChtiTux, Colas, Cœur, EDUCA33E, El
Caro, Encolpe, Godix, Grecha, HB, Holycharly, Hégésippe Cormier, Jean-Luc W, Kelemvor, Lmaltier, Nezumi, Nicolas F, Nicolas Ray, Oxyde, Pad, Padawane, Pallas4, Pdebart, Peps, Poulos,
Pymouss, Sam Hocevar, Thedreamstree, Theon, Vazkor, Xmlizer, Zelda, 27 modifications anonymes
Nombre réel calculable Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48348029 Contributeurs: Ambigraphe, Anierin, Barraki, Cœur, David.Monniaux, Epsilon0, HB, Jean-Christophe
BENOIST, Levochik, Michel421, Mmenal, Moipaulochon, PIerre.Lescanne, Sherbrooke, Speedspid, Thedreamstree, Theon, Valvino, Winnie 007, Wiz, 4 modifications anonymes
Nombre transfini Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48746788 Contributeurs: (anonyme), Aboumael, Aither, Aldoo, Ambigraphe, Archibald, Ayadho, Badmood, Blup200200,
CB, CD, Cœur, Dfeldmann, Dmharvey, Emmanuel legrand, Epsilon0, Exol, Fafnir, François-Dominique, FvdP, Kelemvor, Lac, Lregnier, Med, Michel421, PIerre.Lescanne, Pfrappe, Phe,
Pixeltoo, Poulpy, Proz, Sandrine L, Sherbrooke, Thedreamstree, Theon, Vivarés, 22 modifications anonymes
Infiniment petit Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=44172538 Contributeurs: Ambigraphe, Boeb'is, ChtiTux, Cœur, El Caro, Gene.arboit, Herr Satz, Jastrow, Korg, Moyg,
Parishkoder, Pseudomoi, Shakki, Thedreamstree, Zetud, Ziel, 5 modifications anonymes
Infiniment grand Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42531476 Contributeurs: Herr Satz, KoS, Macassar, 2 modifications anonymes
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Anarkman, Andre Engels, Antoinetav, Archibald, Archibald Tuttle, Arnaud.Serander, Arrakis, Athor, Avatar, BTH, Badmood, BahaFura, Baleer, Balougador, Balrog8, Bayo, Bdescham,
Beingamedia, Ben D, Benjamin, Bestter, Boism, Bono, Boris Christ, Bradipus, Captain T, Cdang, Chdelfosse, Claudius, Cortomaltais, Coyau, Céréales Killer, Cœur, DIG, DSCH, DainDwarf,
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Sources et contributeurs de l'article
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Gronico, Grum, Gérard GOSSENT, HB, Hashar, Herman, Howard Drake, IAlex, Ico, JLM, JPD, Jastrow, Jean-Luc W, Jean-Yves BOULAY, Jerome66, Jsman, Julien06200, Jusjih, K90, Kelson,
Kentinus78610, Kernitou, Kolossus, Korg, Kropotkine 113, Kuarcha, Kuxu, Kyle the hacker, LBrunswic, Lachaume, Le gorille, Le sotré, LeonardoRob0t, Lerichard, Letoff, Lgd, Like tears in
rain, Linkin, Lvhc, MagnetiK, Makunouchi, Manuguf, Marc Mongenet, Mastonin, Mazeppa, Med, Meodudlye, MetalGearLiquid, Michel421, Mickaël Delahaye, MicroCitron, Mirgolth, Mixoupe,
Miya, Moa18e, Moez, Mschlindwein, Mutatis mutandis, Mv0091000, Mû, Narlou, Nebula38, Nico92, NicoV, Numbo3, Nykozoft, Okno, Olivier Mengué, Orthogaffe, Padawane, Palica,
Panoramix, Patatosaure, Patros le Patros, Penjo, Peps, Phe, Piku, Pirouette1963, Pixeltoo, Pld, Poil, Pok148, Poulos, Proz, Pruneau, Punx, Reelax, Richardbl, Ripounet, STyx, Sam Hocevar,
Sarex, Satanfu, Sbrunner, Scorp0311, Scorpius59, Sebb, Sebjarod, Seymour, Sherbrooke, Siantoine, Stanlekub, Stef48, Stéphane33, Sylfred1977, Tabl-trai, Taguelmoust, Tarap, Tarquin, Tatoute,
Tejgad, Theoliane, Theon, Thibault Taillandier, Tom, Touriste, Urhixidur, VIGNERON, Valvino, Vargenau, Vazkor, Vinz1789, Vityx, W'rkncacnter, Wadzar, Wku2m5rr, Xavier Combelle,
Xmlizer, Xofc, YSidlo, Yann, Yelkrokoyade, Zelda, ZeroJanvier, Zetud, Ziron, Ziwi, 341 modifications anonymes
Racine carrée de deux Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49057733 Contributeurs: A2, Alecs.y, Amaury59, Ambigraphe, Anne Bauval, Archimëa, Badmood, Bemerit, Benoit
Rittaud, Bob08, Cantons-de-l'Est, Cdang, Claude Valette, Claudius, Cœur, David Berardan, Dereckson, Derkleinebaueraufdemriesigenschachbrett, DocteurCosmos, EDUCA33E, Ektoplastor, El
Caro, El Jj, Enro, Evpok, Fabos, Frédéric Glorieux, George369, HB, HERMAPHRODITE, Harrieta171, Haypo, IAlex, Ico, Jean-François Clet, Jean-Luc 2007, Jean-Luc W, Jef-Infojef, Jim2k,
Kokin, Lachaume, Le gorille, Leag, Lechatjaune, Loicwood, MaCRoEco, Marc Mongenet, Maurilbert, Michel Volle, Michel ouiki, MicroCitron, Mirmillon, Nguyenld, Nono64, Okno, Opax,
Oxyde, Pako-, Penjo, Peps, Pitchorneirda, Podeste, Proz, Quark67, R, Ricciffar, Robert FERREOL, Rogilbert, Rémih, Salle, Sam Hocevar, Schutz, Seyhan, Sharayanan, Sonusfaber, Stanlekub,
Steff, Tavernier, Theon, Tognopop, Ton1, Totodu74, Uriak, VIGNERON, Vajrallan, Vatekor, Vivarés, Wikig, Yelkrokoyade, Zetud, 47 modifications anonymes
Nombre d'or Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49215054 Contributeurs: Abracadabra, Acer11, Aeleftherios, Al1, Alain r, Alband85, Alfosse, Alipho, Ambigraphe, Anarkman,
Ancalagon, Archaeodontosaurus, Arnaud.Serander, Arrakis, Arthur Laisis, Astirmays, Aérol, Badmood, Benjamin, Benjism89, Benoît Malbranque, Bnjclerc, Boréal, Bouette, COLETTE,
Camico, Cantons-de-l'Est, CaptainCap, Cedric.h, Chalamar, Cham, Chaps the idol, Cherche-Fautes, Chphe, Ci-gît le sage, Claudeh5, Claudius, Clicsouris, CommonsDelinker, Coyau, Creasy,
Crestian, Crob, Cypris, Céréales Killer, Cœur, DC2, Dake, Dalandiel, David Berardan, Dikay, Diligent, DocteurCosmos, Duloup, Dumontierc, Dévilès, EDUCA33E, Eden2004, Effco,
Ektoplastor, El Caro, Eleventh, Ellisllk, Epierre, Ericdec, Escaladix, EyOne, Ffx, Fikafika, Franckyboy, Fv, FvdP, Gede, Gemini1980, Glax, Gonioul, Grum, Guerinsylvie, HB,
HERMAPHRODITE, Harlock59, Henry Salomé, Hégésippe Cormier, IAlex, Isaac Sanolnacov, JLM, Jaimie Ann Handson, Jean-Luc W, Jean-Yves BOULAY, Jeangagnon, Jerome.zf, Jérome
Bru, Jérôme6210, Kelam, Kelson, Kingmike, Kyro, Laurent75005, Le sotré, Leag, LeonardoRob0t, Lerichard, Liccia, Lo-Olivier, Looxix, Lorenzo, Louperivois, Love Sun and Dreams, LyricV,
Maloq, Manuguf, Marc Mongenet, Mari6s, Mathieu.Sebulke, Mathieuw, Maurilbert, Meduz, MetalGearLiquid, Michel ouiki, Michelbailly, Michelet, Micohiba, Moipaulochon, Mork,
Moumousse13, Mro, Mutatis mutandis, Neizham, Nicobn, Nicolas Ray, Nono64, Noritaka666, NucleoS, Nucleos, Numbo3, Nykozoft, Orthogaffe, Oxyde, Peps, Phe, Pixeltoo, Pld, Plouffe, Pol,
Polarman, Poleta33, Polletfa, Ponsfrilus, Poulos, Pseudomoi, Ptyx, Remy-bailly, Rhizome, Rogilbert, Romanc19s, Romary, Ryo, Salle, Sanao, Sardur, Schutz, Schwa, Serged, Simon49,
Simos213, Smily, So Leblanc, SophieLemarentRoss, Speedspid, Sphaze, Stanlekub, Surréalatino, Tarquin, Tejgad, Tex, The RedBurn, Theon, Thielleux, Touriste, Troover, VIGNERON, Vazkor,
Verdy p, ViZiT, Vzierno2, Wiz, Xmlizer, Yelkrokoyade, Zakke, Zelda, Zetud, Ziron, 269 modifications anonymes
Zéro Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49385961 Contributeurs: ACYZT, Ae-a, Aldoo, Alphos, Alvaro, Ambigraphe, Amstramgrampikepikecolegram, Andre315, Aoineko,
Arnauldvm, ArséniureDeGallium, Ash Crow, Badmood, Baleer, Barbe-sauvage, Barbetorte, Barraki, BernardM, Boundor, Bub's, CD, COLETTE, Cdang, Cham, Chamblyen, Céréales Killer,
Cœur, David Berardan, Dfeldmann, Diligent, DrFO.Jr.Tn, Droop, Ektoplastor, El Caro, Ellisllk, Encolpe, Epsilon0, Fagairolles 34, Ffx, Francis.sourd, François-Dominique, FvdP, Grecha,
Gribeco, Grumpfou, HB, Hashar, Hbour, Hcanon, Icosaed, JB, Jeanmichel, Jeanot, Jef-Infojef, Jerome66, Jim2k, KMerlin, Kelson, Korrigan, Kyro, L'Oursonne, L'amateur d'aéroplanes, L'œuf,
Laddo, Lakamira, Last Universal Common Ancestor, Leag, Livajo, M.A.D.company, Marc Mongenet, Mbenoist, Mc78400, Med, Michel BUZE, Michelet, Min's, Mir, MrTout, Nataraja,
Nguyenld, Noky, Nono64, Oblic, Orthogaffe, Pabix, Pankkake, Panoramix, Pautard, Phe, Philippe Noroy, Pik, Popo le Chien, Poulpy, Proz, Pulsar, Revas, Romary, Roymail, Sam Hocevar,
Sbrunner, Sebleouf, Shagtag, Sherbrooke, Ske, Slawojar, Spooky, Ssire, Stanlekub, Stefp, Sublimo69, Tael, Theon, Toutoune25, Valvino, Van Kanzaki, Vargenau, Vivi-1, Wars, Xmlizer, Yann,
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Paul Ruet, Pggj, Pixeltoo, Poulpy, Quark67, R, Sardon, Selenite, Serged, Sherbrooke, Suisui, Tagar95, UKe-CH, Valvino, Vargenau, Verbex, Vivarés, Zetud, 39 modifications anonymes
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Leag, Litlok, Nefbor Udofix, Olmec, Orel'jan, Roymail, Vincent Ramos, Vitani, 17 modifications anonymes
Fraction (mathématiques) Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49443752 Contributeurs: Alain Bachellier, Ambigraphe, Anne Bauval, Clément Théry, Crochet.david, Cœur,
DocteurCosmos, Ellisllk, Guérin Nicolas, HB, Jean-Luc W, Jef-Infojef, Jplm, Ludo29, Marc Mongenet, Maurilbert, Messire Hephgé, Olmec, Patdjom, Peps, Pixeltoo, Sherbrooke, Speculos,
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Opération (mathématiques) Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46548692 Contributeurs: Ambigraphe, Ektoplastor, Epsilon0, Godix, Michel421, Proz
Calcul (mathématiques) Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47813939 Contributeurs: Alkarex, Arcane17, Brunodesacacias, Chaillous, Dodoïste, Ektoplastor, Elfix, Epsilon0,
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Bellet, CD, Carton Martin, Clatourre, CommonsDelinker, Costock, Davidd4, Didup, Diegofra, Ektoplastor, El Caro, Ellisllk, Esprit Fugace, Et caetera, Fafnir, Fendeke, François-Dominique,
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