Introduction à la théorie du calcul des probabilités

Université Mentouri Constantine
Département de Mathématiques
Laboratoire MMS
Ecole Doctorale de Mathématique
Introduction à la Théorie
du
Calcul des Probabilités
Dr. Meghlaoui Dakhmouche

Table des matières
I Introduction aux modèles de probabilité 2
1 Dé…nitions de base et rappels 3
1.1 Probabilité discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Moyenne ou espérance mathématique des distributions
discrètes.......................... 4
1.2 Probabilité continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Moyenne ou espérance mathématique . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Quelques rappels utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Transformation en coordonnées polaires (d= 2) : . . . 8
1.2.4 Transformation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5 Quelques remarques utiles . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Probabilités et espérances mathématiques 10
2.1 Propriétés des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Ensembles négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Propriétés......................... 10
2.2 Propriétés des espérances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Cas d’égalité des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Egalité sur les pavés fermés (1er cas).......... 12
2.3.2 Egalité sur les fonctions à support compact 2eme cas13
2.3.3 Egalité sur les transformées de Fourier 3eme cas. . . 14
2.3.4 Propriétés......................... 14
2.4 Propriété fondamentale de la transformée de Fourier . . . . . . 15
2.4.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Variables aléatoires 17
3.1 Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1

3.2 Variables aléatoires vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Moyenne et dispersion d’un vecteur aléatoire . . . . . . 25
3.2.2 Notations ......................... 26
3.2.3 Critères d’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.4 Exemple d’application de la proposition (69) ...... 27
4 Modèles de probabilité 30
4.1 Introduction............................ 30
4.1.1 Exemple1: ........................ 30
4.1.2 Exemple2: ........................ 32
4.2 Dé…nition d’un modèle produit . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1 Propriétés......................... 33
4.2.2 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Calcul de loi dans les modèles produits 35
5.1 Loi d’une fonction de deux v.a. indépendantes . . . . . . . . . 35
5.2 Loi de la somme de deux v.a. indépendantes . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Modèle de suite de variables aléatoires indépendantes . . . . . 37
II Les distributions de probabilité remarquables 39
6 Distribution de Laplace-Gauss 40
6.1 Loi de Gauss à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.1.1 Propriété ......................... 41
6.1.2 Moments particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.1.3 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2 Loi normale quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3 Loi de Gauss bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3.1 Loi de Gauss bidimensionnelle centrée . . . . . . . . . 44
6.3.2 Propriétés d’un couple gaussien (X1; X2)........ 47
6.3.3 Loi de Gauss bidimensionnelle centrée et réduite . . . . 50
6.3.4 Lois de Gauss conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3.5 Loi de Gauss bidimensionnelle quelconque . . . . . . . 53
6.4 Loi de Gauss de dimension p................... 53
6.4.1 Casgénéral ........................ 54
2

7 Les distributions d’échantillonnage 60
7.1 Distribution Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.1.1 Propriétés de la loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 Distribution Bêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2.1 Propriétés de la distribution Béta . . . . . . . . . . . . 63
7.3 Distribution du 2........................ 66
7.3.1 Propriétés de la distribution d’un 2
(n).......... 67
7.4 Distribution de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4.1 Propriétés de la distribution de Student . . . . . . 72
7.5 Distribution de Fisher-Snédécor ou distribution F....... 74
7.5.1 Propriétés de la distribution de Fisher . . . . . . . . . 76
3

Première partie
Introduction aux modèles de
probabilité
4