ESIM 2002 - MP Maths 1 Les définitions d`idéal `a droite et `a

ESIM 2002 - MP Maths 1
Les d´efinitions d’id´eal `a droite et `a gauche ont ´et´e invers´ees, `a la fois par rapport
`a ce qui suit (parties IV et V) et aux d´efinitions traditionnelles (Bourbaki,
Alg`ebre I, 8, 6).
Cela est sans incidence sur les parties I, II, III, gˆenant pour trois questions sur
cinq de la partie IV, et deux questions sur quatre de la partie V.
Partie I
1. Question de cours (premi`ere ann´ee).
2. Soit ∆ la matrice Diag(Ir, O). Par permutation des vecteurs de base, ∆
est semblable `a D; a fortiori, Aest ´equivalente `a Dpar transitivit´e.
Partie II
1. On a pour toute A,f(A) = f(A)f(I), donc f(I)6= 0. Alors f(I) =
f(I)f(I) entraˆıne f(I) = 1, puis, si Aest inversible, f(A)f(A−1) = 1,
donc f(A)6= 0.
2. a) Soit Aidiagonale, dont les r+ 1 premiers ´el´ements diagonaux valent 1,
`a l’exception du i-i`eme, nul, ainsi que tous les autres ´el´ements diagonaux
(ceci a du sens car r < n). D’apr`es I.2, Aiest semblable `a A; par ailleurs,
A1×... ×Ar+1 = 0.
b) On observe que f(0) = f(A)f(0) pour toute A; comme f6= 1, cela
force f(0) = 0. Puis, 0 = f(A1)...f(Ar+1), l’un des f(Ai) est nul. Enfin,
A=P AiQ, ce qui donne f(A) = 0.
c) Ainsi, fest nulle sur les matrices non inversibles, et par ailleurs induit
un morphisme de groupe de GLn(R) vers R∗. Exemple: le d´eterminant
(qu’on peut composer avec un morphisme de R∗dans lui-mˆeme, par ex-
emple x7→ xk, k ∈Z...)
Partie III
1. Pour A∈Mn(R), on a A=AI ∈J.
2. Soit U∈Jinversible; alors I=U U −1∈J, puis J=Mn(R) par 1.
3. a) Soient P, Q inversibles telles que ∆ = Diag(Ir, O) = P AQ: comme
A∈J, on a aussi ∆ ∈J.
b) Soit Aila matrice diagonale, dont les n−rderniers ´el´ements diagonaux
sont nuls, `a l’exception du (r−1 + i)-i`eme, qui vaut 1, ainsi que les r−1
premiers ´el´ements diagonaux: Ai= Diag(1, ..., 1,0,0, ..., 0,1,0, ..., 0) (1
isol´e en r−1 + i-i`eme place). Chaque matrice est ´equivalente `a A, la
somme est diagonale, d’´el´ements tous non nuls, donc inversible.
4. L’id´eal nul est bilat`ere. Si Jest un id´eal bilat`ere non nul, on prend A
de rang rcomme au 3., puis les Aiconstruites: on a Ai=PiAQi, donc
chaque Aiest dans J, puis leur somme aussi: alors, par 2., J=Mn(R).
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Partie IV
On d´etermine en fait ici ce que les notations et d´efinitions ont appel´e id´eaux `a
gauche, mais qui sont bien les id´eaux `a droite. Cette confusion est gˆenante pour
les questions 1, 4.b), 5.
1. D’une part, JEest un sous-espace vectoriel de Mn(R), a fortiori un sous-
groupe additif. D’autre part, si M∈Mn(R) et A∈JE, soit B=AM : on
a Im(B)⊂Im(A), donc B∈JE.
2. Premier ´enonc´e de factorisation; il aurait gagn´e `a ˆetre (comme le second,
au V) r´edig´e plutˆot avec des applications lin´eaires...
a) C’est le ”th´eor`eme noyau-image”.
b) Chaque bi=Beiest dans Im(B)⊂Im(A): l’unique ´el´ements εicon-
venable est donc φ−1(bi).
c) La matrice Ca bien la taille que l’´enonc´e lui donne. D’autre part, pour
tout i∈ {1, ..., q}, on a Bei=Aεi=A(Cei) = (AC)ei, et ainsi B=AC.
3. a) L’image d’une matrice est l’espace vectoriel engendr´e par ses colonnes.
Si on note ici Cila i-i`eme colonne d’une matrice C, on a Im(D) =
Vect(D1, ..., Dn, Dn+1, ..., D2n) = Vect(A1, ..., An, B1, ..., Bn) = Vect(A1, ..., An)+
Vect(B1, ..., Bn) = Im(A) + Im(B).
b) Le 2. s’applique.
c) On ´ecrit Wen blocs: W=U
V, on obtient avec un produit par blocs
C=AU +BV .
4. a) L’ensemble des rangs des ´el´ements de Jest une partie non vide de N,
major´ee par n, donc admet un plus grand ´el´ement r; on a `a la fois ∀M∈J,
rang(M)≤ret l’existence de M0∈Jde rang r.
b) Soit F= Im(M) + Im(M0), et Cla matrice du projecteur sur Fdans
la direction d’un quelconque suppl´ementaire. On a Im(C) = Im(M) +
Im(M0), donc l’existence de U, V ∈Mn(R) telles que C=M U +M0V.
Alors, par stabilit´e d’id´eal convenable, C∈J. Or le rang de Cest la
dimension de Fstrictement plus grande que r.
c) Pour un quelconque ´el´ement de J, on doit donc avoir Im(M)⊂Im(M0).
5. R´eciproquement, si A∈JIm(M0), on a Im A⊂Im(M0). D’apr`es 2, il existe
Ctelle que A=M0C, et donc A∈J. On conclut: J=JIm(M0).
Partie V
On d´etermine en fait ici ce que les notations et d´efinitions ont appel´e id´eaux `a
droite, mais qui sont bien les id´eaux `a gauche. Cette confusion est gˆenante pour
les questions 1. et 4.
Il n’´etait sans doute pas heureux de reprendre la mˆeme notation JEqu’au IV.
1. Soient A∈JE,M∈Mn(R), et B=M A. Alors Ker(A)⊂Ker(B). Ainsi,
Ker(B)⊃Eet B∈JE.
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2. a) On peut reprendre dans ce contexte la construction du I.1. : (er+1, ..., en)
une base de Ker u, compl´et´ee avec e1, ..., er; on note fi=u(ei) pour
1≤i≤r, compl´et´ee avec fr+1, ..., fp, pour donner une base de Rp. On
d´efinit wpar : si 1 ≤i≤r, w(fi) = v(ei); si i > r, w(fi) = 0. On a
si i≤r,v(ei) = w(u(ei)); et si i > r,v(ei) = 0 = w(u(ei)), on a bien
v=w◦u.
b) C’est la traduction matricielle de a) (que faut-il r´ediger pour avoir les
points?).
3. On prend cette fois D=A
B; on a pour X∈Mn,1(R), DX =AX
BX,
de sorte que Ker D= Ker A∩Ker B. Ainsi, Ker D⊃Ker C, on trouve
W= (U V )∈Mn,2n(R) telle que C=W D, et ainsi C=U A +V B.
4. Si un id´eal `a gauche Jest non nul, soit d= dim Ker M0la plus petite
dimension du noyau d’un ´el´ement de J. Si, pour un Mde J, on n’a pas
Ker M⊃Ker M0, soit C∈Mn(R) de noyau Ker M∩Ker M0(une matrice
de projecteur...); par 3., on trouve U, V telles que C=U M +V M0, et
donc C∈J; or la dimension de son noyau est strictement plus petite que
d, absurde. C’est donc que pour tout Mde J, Ker M⊃Ker M0.
R´eciproquement, si Ker M⊃Ker M0, par 2.b) on trouve Ctelle que
M=CM0, donc M∈J. On a montr´e que J=JKer(M0).
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