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Electrostatique
Introduction
Les phénomènes d’électrisation par frottement sont connus depuis longtemps.
L’électrostatique (étude des charges électriques fixes et de leurs interactions) devint
une partie de la physique moderne après la découverte de Newton sur la gravitation
universelle et grâce { l’inspiration fournie par analogie avec cette dernière. En effet,
Newton a montré que la pesanteur, les mouvements des planètes et d’autres
phénomènes (marées, etc…), s’expliquent par la force d’attraction qui s’exerce entre
deux corps. Pour deux corps de dimensions négligeables (masses ponctuelles), de
masses m et m’, situés { la distance r, la norme de cette force est donnée par :
𝐹 =𝐺
𝑚𝑚′
𝑟2
Où G est la constante de gravitation.
Quant aux forces électrostatiques, elles dépendent de la charge électrique des
corps et non de leurs masses. Entre deux charges ponctuelles q et q’, situées { la
distance r, s’exerce une force de norme :
𝐹 =
1 𝑞𝑞′
4𝜋𝜀0 𝑟 2
Où le facteur 1/4πε0 est une constante physique qu’on détaillera plus loin.
Remarque :
-
Les masses sont toujours positives. Les charges peuvent être positives ou
négatives.
-
La force de gravitation est toujours attractive, tandis que la force
électrostatique peut être répulsive (entre charges de même signe) ou
attractive (entre charges de signes opposés).
La charge électrique
Expérience
Elle utilise un pendule constitué d’une petite balle
en plastique, suspendue à un fil (en textile) qui est lui-
potence
fil
même accroché à une potence. Nous remarquons que ces
matériaux sont des isolants (ils évitent en effet
l’écoulement libre des charges électriques).
Balle
On frotte un bâton de
verre avec un chiffon de laine
Bâton de verre
(frotté)
bien sec puis on approche ce
bâton
à
la
balle.
Nous
remarquons que celle-ci se
déplace
et
oblique.
le
Ce
fil
devient
phénomène
s’interprète par l’électrisation du bâton { cause du frottement (les charges présentes
sur le bâton exercent une force sur la balle). Si l’on remplace le bâton de verre par un
bâton de résine, nous constatons un éloignement de la balle.
Conclusion :
Deux corps électrisés par des électricités de même nature se repoussent. Deux
corps électrisés différemment s’attirent.
La loi de Coulomb
Les expériences décrites auparavant ont montré que deux corps chargés
exercent des forces l’un sur l’autre. Nous allons étudier par la suite étudier ces forces
en considérant des objets de très petite dimensions (afin de négliger leur dimension
par rapport aux distance qui les sépare). Ainsi les objets étudiés seront considérés
comme des charges ponctuelles.
Ceci nous ramène donc { l’expérience de Priestley en 1767 qui avait trouvé, par
déduction, que ces forces varient en 1/r2. C’est seulement en 1785 que Coulomb établit
cette loi d’une façon expérimentale, grâce { la balance de torsion, instrument qu’il a
inventé et qui sert à mesurer des forces très petites.
Soit
deux
charges
(qq’>0)
ponctuelles q et q’ placées en
A et O respectivement. Les
forces
électrostatiques
𝑢
𝐹′
qui
A
O
s’exercent sur ces charges
𝐹
(qq’<0)
sont des vecteurs opposés
𝐹′
𝑢
𝐹
𝐹′ = −𝐹 , portés à la droite
OA. Soit 𝑢 le vecteur unitaire
O
A
porté par 𝑂𝐴 c'est-à-dire :
𝑢 =
𝑂𝐴
𝑂𝐴
. On a alors :
𝐹 =
1 𝑞𝑞′
𝑢
4𝜋𝜀0 𝑟 2
Où r désigne la distance 𝑂𝐴 . La constante ε0 est une constante universelle qui vaut
environ :
ε0  8,85.10-12 F.m-1
ou bien :
1
4𝜋𝜀 0
 9.109 m.F-1
Le champ électrique
Définition (champ créé par des charges ponctuelles)
La loi de Coulomb donne l’expression des forces qui s’exercent entre deux
charges ponctuelles. Dans les situations réelles, ou presque, on a plus de deux charges
ponctuelles, ou des charges non ponctuelles (distribution dense de charges qu’on
étudiera plus loin).
Pour
étudier
situation,
nous
supposer
un
cette
O1
(r1)
allons
système
composé de (n+1) charges
A (q’ > 0)
(q1 > 0)
ponctuelles qui sont placées
𝐹
(r2)
aux points O1 ,O2 ,… , On et
A. (la figure ci-contre décrit
(q2 < 0)
le cas n=2). La force qui
s’applique sur la charge q se
O2
trouvant au point A est la somme des n forces exercées par les n charges q1, …, qn. Ainsi
on posant ui
=
Oi A
Oi A
et ri = Oi A , on a pour la force appliquée sur la charge q
placée en A :
1
𝐹 =
4𝜋𝜀0
Qu’on peut exprimer aussi par :
𝑛
𝑖=1
𝑞 ′ 𝑞𝑖
𝑢
𝑟𝑖2 𝑖
1
𝐹 = 𝑞′.
4𝜋𝜀0
𝑛
𝑖=1
𝑞𝑖
𝑢
𝑟𝑖2 𝑖
Cette expression signifie que la force exercée sur la charge q’ par un système de
charges quelconque, est le produit du nombre q par un vecteur, qui dépend du point A
où est placée la charge q et indépendant de cette dernière. D’où nous définissons la
notion du champ électrique.
Champ électrique : la force électrostatique que subit une charge q’ placée en un point
A peut s’écrire :
𝐹 = 𝑞′𝐸 (𝐴)
Où 𝐸 (𝐴) désigne un vecteur appelé champ électrique qui dépend du point A.
Champ électrique :
Le champ électrique créé par une charge q placée en un point O est donnée par :
𝐸 (𝐴)=
1 𝑞
𝑢
4𝜋𝜀0 𝑟 2
Additivité
Le champ 𝐸 créé par n charges est la somme des champs créés par chacune de ces
charges. En notant 𝐸𝑖 le champ créé par une charge qi, on a :
𝑛
𝐸 (𝐴) =
𝐸𝑖 (𝐴)
𝑖=1
Champ créé par une répartition de charges sur des lignes, des
surfaces ou des volumes
Dans la plupart des cas physiques réelles, les formules précédentes sont très peu
utilisées car les charges sont en général distribuées sur des formes géométriques
(surface d’un conducteur, le long d’un fil électrique, gaz, matière chargée, …).
Dans ce cas la charge globale qui crée le champ électrique est exprimée par une
densité appelée densité de charges. Cette densité dépend de la forme géométrique est
peut prendre 3 formes :
-
Densité linéique (),
-
Densité surfacique (),
-
Densité volumique ().
Cas de la densité linéique
Considérons une courbe (AB) sur laquelle sont réparties des charges selon le schéma
suivant :
M
A
B
dl
Prenons un élément très petit (dl) en un point M de la courbe (AB). Cette élément
représente une charge élémentaire dq tel que :
𝑑𝑞 = (𝑀) 𝑑𝑙
Ainsi la charge globale de la courbe (AB) est :
𝐵
𝑞 𝐴𝐵 =
(𝑀) 𝑑𝑙
𝐴
Cas de la densité superficielle
Soit (S) une surface présentant des charges réparties suivant une densité surfacique .
(S)
M dS
Prenons un élément de surface assez petit dS autour d’un point M. Ce dernier possède
une charge dq qui s’exprime par :
𝑑𝑞 = (𝑀) 𝑑𝑆
Ainsi la charge totale de la surface est :
 𝑀 𝑑𝑆
𝑞 𝑆 =
𝑆
Cas de la densité volumique
Soit V un volume chargé avec une densité 
(V)
M dV
Un élément dV en un point M possède une charge dq tel que
𝑑𝑞 = 𝜌(𝑀) 𝑑𝑉
Ainsi la charge globale du volume sera :
𝑞=
𝜌 𝑀 𝑑𝑉
𝑉
Calcul de champ électrique créé par une un segment de longueur L.
Calcul de champ électrique créé par un disque de Rayon R.
Soit un disque de rayon R chargé en surface avec une densité surfacique  uniforme.
Calculer le champ électrique en un point de son axe de révolution z.
z

O
R
Proposition : soit dS un élément de surface de ce disque. Cet élément possède une
charge dq tel que : dq = dS (car la densité surfacique représente le rapport entre la
charge et la surface 𝜍 =
𝑄
𝑆
)
Cet élément va créer un champ électrique qui s’exprime par :
𝑑𝐸 (𝑧)=
1 𝑑𝑞
𝑢
4𝜋𝜀0 𝑟 2
𝑑𝐸 (𝑧)=
𝜍 𝑑𝑆
𝑢
4𝜋𝜀0 𝑟 2
Ou bien
𝑑𝐸 (𝑧)
z
r
O

l
dS
L’élément dS fait partie d’un disque, il serait donc préférable voire obligatoire de le
calculer en coordonnées polaires.
L’élément dS aura la forme suivante :
A
dS
B
d
l
O
Nous avons donc dS = A.B
A représente un arc dont la longueur s’exprime par :
A = l.d
Et
B = dl
D’où
dS = l.dl. d
donc
𝑑𝐸 (𝑧)=
𝜍 𝑙. 𝑑𝑙. 𝑑𝜃
𝑢
4𝜋𝜀0 𝑟 2
Remarquons que par effet de symétrie (chaque élément dS a son symétrique par
rapport { O, le champ s’exprime par sa composante suivant l’axe z (flèche épaisse)

𝑑𝐸 (𝑧)
r
z

O
l
dS
Le champ alors sera exprimé par
𝑑𝐸 (𝑧)=
𝜍 𝑙. 𝑑𝑙. 𝑑𝜃
cos() 𝑘
4𝜋𝜀0 𝑟 2
(car la composante suivant l’axe des z, représente la projection de 𝑑𝐸 (𝑧) sur cet axe)
Donc le champ total sera :
𝐸 (𝑧)=
𝜍
4𝜋𝜀0
𝑙. 𝑑𝑙. 𝑑𝜃
cos() 𝑘
𝑟2
Calcul de l’intégrale
Cette intégrale de surface représente 4 variables dépendantes qu’il va falloir
transformer pour continuer le calcul. Remarquons que la variable  est indépendante
car elle représente la rotation dans le disque.
Donc
𝜍
𝐸 (𝑧)=
4𝜋𝜀0
2𝜋
𝑑𝜃
0
𝑙. 𝑑𝑙
cos() 𝑘
𝑟2
ou
𝐸 (𝑧)=
𝜍
2𝜀0
𝑙. 𝑑𝑙
cos() 𝑘
𝑟2
La nouvelle intégrale représente 3 variables { traiter pour qu’elles deviennent qu’une
seule. Nous devons aussi exprimer le champ en fonction de z uniquement.
Nous avons pour cela :
𝑐𝑜𝑠 𝜑 =
𝑧
𝑟
𝑡𝑎𝑛 𝜑 =
𝑙
𝑧
Et
Donc
𝑑𝑙 =
𝑧
𝑑𝜑
𝑐𝑜𝑠 2 (𝜑)
Ainsi nous avons :
𝐸 (𝑧)=
𝜍
2𝜀0
sin⁡
(φ) 𝑘
 varie entre 0 et MAX (angle maximale jusqu’au bord du disque)
Donc nous avons
𝐸 (𝑧)=
𝐸 (𝑧)=
𝜍
−cos⁡
(𝜑)
2𝜀0
MAX
0
𝑘
𝜍
1 − cos⁡
(𝜑𝑀𝐴𝑋 ) 𝑘
2𝜀0
Or
cos 𝜑𝑀𝐴𝑋 =
𝑧
𝑅2 + 𝑧 2
D’où
𝐸 (𝑧)=
𝜍
𝑧
1−
𝑘
2𝜀0
𝑅2 + 𝑧 2