Chapitre 15 Partie Algèbre Arithmétiques des entiers

Chapitre 15
Partie Algèbre
Arithmétiques des entiers
vv Objectifs vv
L’objectif de ce chapitre est d’étudier les propriétés de la divisibilité des entiers
et celles des congruences ; il développe l’arithmétique des entiers. L’algorithme
d’Euclide (division euclidienne) y joue un rôle central : il fournis des démons-
trations alternatives constructives :
ûDéfinir la notion de congruence.
ûRecherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide.
ûNotion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses consé-
quences.
ûNotion de Pgcd et de Ppcm. Notion d’éléments premiers (ou irréduc-
tibles), décomposition en facteurs premiers...........
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017

1 - Divisibilité dans Z.
Soit ade Zet bde N∗. Il existe un unique couple (q,r)de Z×Ntel que : a=bq +r
06r<b
Proposition 1.1. Division euclidienne dans Z
Division euclidienne - Sup 4
1def div_naive (a ,b) :
2q , r =0 , a
3while r>=b :
4q , r=q+1 , r−b
5return (q , r )
Division euclidienne - Sup 4
1def val_absol (n) :
2while n<0:
3n=−n
4return n
5def div_euclidienne(a ,b) :
6
7
8a=val_absol ( a )
9b=val_absol ( b)
10 r=a
11 q=0
12 while r>=b :
13 r=r−b
14 q=q+1
15 return q , r
Soient aet bde Z. On dit que adivise b(ou que aest un diviseur de bou que best un multiple de a) s’il
existe kde Ztel que : b=k.a. Cette relation se note : a/b.
Définition 1.1. Relation de divisibilité dans Z
Notation : Soit αde Z, on note par :
(i) Dαl’ensemble des diviseurs de α. Il est non vide et est fini.
(ii) αZl’ensemble des multiples de α. Il est non vide et est infini.
→La relation ”a/b” est une relation reflexive et transitive dans Z.
→ ∀a,b∈Z, : (a/bet b/a) =⇒ |a|=|b|.
→ ∀a,b,c,n,m∈Z, : (a/bet a/c) =⇒a/(nb +mc).
→ ∀a,b,c∈Z, : a/b=⇒ac/cb et a/bc et ak/bk,∀k∈N.
Proposition 1.2.
Soient nde N∗et a,bde Z. On dit que aest congru à bmodulo nsi ndivise b−a. On note a≡b[n].
a≡b[n]⇐⇒ ∃k∈Z:a=b+kn
Définition 1.2. Relation de congruence
Cours-s- Mr. Faress , Lok 2 MPSI 2016-2017

Remarque : C’est la relation d’équivalence définie pour montrer le théorème de Lagrange avec ici (G, .) =
(Z,+) et H=nZ- voir T.D structure algébrique-.
Soit nun entier (n∈Z).
1. Montrer que n2≡0[8]ou n2≡4[8]si nest pair, n2≡1[8]si nest impair.
2. Montrer que si nest impair, n4≡1[8].
Exercice .1. Vu en terminale
Soit m∈N∗et (ri)ila suite d’entiers définie par r0=1 et ri+1est le reste de la division euclidienne de 10ri
par m.
1. Démontrer que, pour tout entier naturel a=an. . . a0en écriture décimale, on a
a≡
n
∑
i=0
airi[m]
2. En déduire des critères simples permettant de reconnaître sur l’écriture décimale d’un entier s’il est ou
non divisible par 3, par 9, par 10, par 11.
Exercice .2. Théorème de Pascal
→La relation ”a≡b[n]” est une relation d’équivalence dans Z.
→Pour n,p∈N∗et a,b,c,d∈Z,ona:
(i)a≡b[n]
c≡d[n]=⇒a+c≡b+d[n]
ac ≡bd[n](∗)
(ii)a≡b[n] =⇒
a+c≡b+c[n]
ac ≡bc[n]
ap≡bp[n]
→a≡r[n]
06r<n⇐⇒ rest le reste de la division euclidienne de apar n.
→a≡0[n]⇐⇒ n/a.
Proposition 1.3. Propriétés de la congruence
Rappel : Si Rest une relation d’équivalence sur un ensemble Enon vide. On note par xla classe d’un élément
xde Emodulo R. Soit Pla partie de Eformée en choisissant de chaque classe un et un seul représentant.
x=y⇐⇒ xRyet x∩y=∅ ⇐⇒ x6 Ryet (x)x∈P est une partition de E.
◦On note par Z/nZl’ensemble des classes d’équivalence modulo n,ona:Z/nZ={x/x∈Z}.
◦D’après (∗)on dit que la relation ”a≡b[n]” est compatible avec les lois ” +” et ” ×” de Z. On définir,
alors, sur Z/nZles lois suivantes :
∀x,y∈Z/nZ:x+y=x+y,x.y=x.y
Définition 1.3. L’anneau (Z/nZ,+,×)
Cours-s- Mr. Faress , Lok 3 MPSI 2016-2017

→Z/nZ=0, 1, 2, ..., n−1.
→(Z/nZ,+,×)est un anneau commutatif non intègre en général.
Proposition 1.4.
2 - Diviseurs et multiples communs.
Une partie Hde Zest un idéal de (Z,+,×)si et seulement si il existe un unique entier n
positif tel que H=nZ
Rappel
Soient aet bde Z∗.
→ ∃!d∈N∗:aZ+bZ=dZavec aZ+bZ={ap +bq /p,q∈Z}.
→Da∩Db=Ddet d=max(Da∩Db).
dest le plus grand diviseur commun de aet b, on le note : d=a∧b.
Proposition 2.1. Plus grand diviseur commun
→ ∀a∈Zon a : Da=D−a=D|a|, d’où a∧b=|a|∧ b=a∧|b|=|a|∧|b|.
→Soient aet bde N∗et rle reste de la division euclidienne de apar b, alors :
a∧b=b∧ret a∧b=a⇐⇒ a/b.
→Algorithme d’Euclide :
a b
r0q0
b r0
r1q1
.
.
.
rn−1rn
rn+1qn+1
rnrn+1
0qn+2
=⇒a∧b=rn+1dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide.
Determination de a∧b
PGCD - Sup 4
1from math import sqrt
2def pgcd (A, B) :
3while B! = 0 :
4t=A
5A=B
6B=t%B
7return abs (A)
PGCD - Sup 4
1def euclide ( a , b ) :
2while a%b ! = 0 :
3a , b=b , a%b
4return abs (b )
PGCD - Sup 4
1def val_absol (n) :
2while n<0:
3n=−n
4return n
5def PGCD( a , b ) :
6a=val_absol ( a )
7b=val_absol ( b)
8r=a%b
9i f a<b :
10 ( a , b ) =(b , a )
11 else :
12 ( a , b ) =(a , b)
13 while r ! = 0 :
14 ( a , b , r ) =(b , r , a%b)
15 return b
Cours-s- Mr. Faress , Lok 4 MPSI 2016-2017

Pour a,bet cde Z∗on a :
•a∧b=|a|∧b=a∧ |b|=|a|∧|b|.
•a∧b=b∧a,(a∧b)∧c=a∧(b∧c).
•a/b⇐⇒ a∧b=|a|.
•d=a∧b=⇒ ∃u,v∈Z:d=au +bv, le
couple (u,v)n’est pas unique obtenu à l’aide
de l’algorithme d’Euclide.
•(ac)∧(bc) = |c|(a∧b).
•d=a∧bsi et seulement s’il existe α,β∈Z
tels que a=dα,b=dβet α∧β=1
Proposition 2.2. Propriétés de a∧b
Soient aet bde Z∗.
→ ∃!m∈N∗:aZ∩bZ=mZ
→mest le plus petit multiple commun strictement positif de aet b, on le note : m=a∨b.
Proposition 2.3. Plus petit multiple commun
Pour a,bet cde Z∗on a :
•a∨b=|a|∨b=a∨ |b|=|a|∨|b|.
•a∨b=b∨a,(a∨b)∨c=a∨(b∨c).
•a/b⇐⇒ a∨b=|b|.
•m=a∨b=⇒(a/met b/m)
•(a/m0et b/m0) =⇒m/m0.
•m=a∨bsi et seulement s’il existe α,β∈Z
tels que m=aα,m=bβet α∧β=1
•(ac)∨(bc) = |c|(a∨b).
•(a∧b).(a∨b) = |a.b|.
Proposition 2.4.
On dit que deux entiers aet bsont premiers entre eux si a∧b=1.
Définition 2.1. Nombres premiers entre eux
Soit aet bde Z, alors : a∧b=1⇐⇒ ∃u,v∈Z/au +bv =1
Théorème 2.1. Théorème de Bezout
Remarques : (i) uet vsont détérminés à partir de l’algorithme d’Euclide.
(ii) Si a,b∈N∗on a : a∧b=1⇐⇒ ∃u,v∈N/au −bv =1
Euclide étendu aux coefficients de Bezout - Sup 4
1def pgcder ( a , b) :
2permute=(b>a )
3i f ( permute ) :
4a , b=b , a
5i f (b==0) :
6return a , 1 , 0
7else :
8q , r=a /b , a%b
9d , u1 , v1=pgcder (b , r )
10 u , v=v1 , u1−q∗v1
11 i f permute :
12 u , v=v , u
13 return d , u , v
Cours-s- Mr. Faress , Lok 5 MPSI 2016-2017