Chapitre 15 Partie Algèbre Arithmétiques des entiers

Chapitre
15
Partie Algèbre
Arithmétiques des entiers
vv Objectifs vv
L’objectif de ce chapitre est d’étudier les propriétés de la divisibilité des entiers
et celles des congruences ; il développe l’arithmétique des entiers. L’algorithme
d’Euclide (division euclidienne) y joue un rôle central : il fournis des démonstrations alternatives constructives :
û Définir la notion de congruence.
û Recherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide.
û Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences.
û Notion de Pgcd et de Ppcm. Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers...........
Mr. Moussa Faress
Pr. Mathématiques Supérieures
CPGE de Meknès
Année Scolaire : 2016-2017
1 - Divisibilité dans Z.
Proposition 1.1. Division euclidienne dans Z
∗
Soit a de Z et b de N . Il existe un unique couple (q, r) de Z × N tel que :
a = bq + r
06r<b
Division euclidienne - Sup 4
Division euclidienne - Sup 4
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def div_naive ( a , b ) :
q , r =0 , a
while r >=b :
q , r =q+1 , r −b
return (q , r )
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def v a l _ a b s o l ( n ) :
while n < 0 :
n=−n
return n
def d iv _ e u c li d i e nn e ( a , b ) :
# a,b : dividende et diviseur a >=0 et 0<b<=a
#q,r : quotient et reste de la division
euclidienne
a= v a l _ a b s o l ( a )
b= v a l _ a b s o l ( b )
r =a
q=0
while r >=b :
r =r −b
q=q+1
return q , r
Définition 1.1. Relation de divisibilité dans Z
Soient a et b de Z. On dit que a divise b (ou que a est un diviseur de b ou que b est un multiple de a) s’il
existe k de Z tel que : b = k.a. Cette relation se note : a/b.
Notation : Soit α de Z, on note par :
(i) Dα l’ensemble des diviseurs de α. Il est non vide et est fini.
(ii) α Z l’ensemble des multiples de α. Il est non vide et est infini.
Proposition 1.2.
→
→
→
→
La relation ”a/b” est une relation reflexive et transitive dans Z.
∀ a, b ∈ Z, : ( a/b et b/ a) =⇒ | a| = |b|.
∀ a, b, c, n, m ∈ Z, : ( a/b et a/c) =⇒ a/(nb + mc).
∀ a, b, c ∈ Z, : a/b =⇒ ac/cb et a/bc et ak /bk , ∀k ∈ N.
Définition 1.2. Relation de congruence
Soient n de N∗ et a, b de Z. On dit que a est congru à b modulo n si n divise b − a. On note a ≡ b[n].
a ≡ b[n] ⇐⇒ ∃k ∈ Z : a = b + kn
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Remarque : C’est la relation d’équivalence définie pour montrer le théorème de Lagrange avec ici (G, .) =
(Z, +) et H = nZ - voir T.D structure algébrique-.
Exercice .1. Vu en terminale
Soit n un entier (n ∈ Z).
1. Montrer que n2 ≡ 0 [8] ou n2 ≡ 4 [8] si n est pair, n2 ≡ 1[8] si n est impair.
2. Montrer que si n est impair, n4 ≡ 1 [8].
Exercice .2. Théorème de Pascal
Soit m ∈ N∗ et (ri )i la suite d’entiers définie par r0 = 1 et ri+1 est le reste de la division euclidienne de 10ri
par m.
1. Démontrer que, pour tout entier naturel a = an . . . a0 en écriture décimale, on a
n
a≡
∑ ai ri [ m ]
i =0
2. En déduire des critères simples permettant de reconnaître sur l’écriture décimale d’un entier s’il est ou
non divisible par 3, par 9, par 10, par 11.
Proposition 1.3. Propriétés de la congruence
→ La relation ”a ≡ b[n]” est une relation d’équivalence dans Z.
→ Pour n, p ∈ N∗ et a, b, c, d ∈ Z, on a :
(i ) a ≡ b [ n ]
a + c ≡ b + d[n]
=⇒
(∗)
ac ≡ bd[n]
c ≡ d[n]

 a + c ≡ b + c[n]
ac ≡ bc[n]
(ii) a ≡ b[n] =⇒
 p
a ≡ b p [n]
a ≡ r[n]
→
⇐⇒ r est le reste de la division euclidienne de a par n.
06r<n
→ a ≡ 0[n] ⇐⇒ n/ a.
Rappel : Si R est une relation d’équivalence sur un ensemble E non vide. On note par x la classe d’un élément
x de E modulo R. Soit P la partie de E formée en choisissant de chaque classe un et un seul représentant.
x = y ⇐⇒ xR y et x ∩ y = ∅ ⇐⇒ x 6 R y et ( x) x∈P est une partition de E.
Définition 1.3. L’anneau (Z/nZ, +, ×)
◦ On note par Z/nZ l’ensemble des classes d’équivalence modulo n, on a : Z/nZ = { x / x ∈ Z}.
◦ D’après (∗) on dit que la relation ”a ≡ b[n]” est compatible avec les lois ” + ” et ” × ” de Z. On définir,
alors, sur Z/nZ les lois suivantes :
∀ x, y ∈ Z/nZ : x + y = x + y, x.y = x.y
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Proposition 1.4.
→ Z/nZ = 0, 1, 2, ..., n − 1 .
→ (Z/nZ, +, ×) est un anneau commutatif non intègre en général.
2 - Diviseurs et multiples communs.
Rappel
Une partie H de Z est un idéal de (Z, +, ×) si et seulement si il existe un unique entier n
positif tel que H = nZ
Proposition 2.1. Plus grand diviseur commun
Soient a et b de Z∗ .
→ ∃!d ∈ N∗ : aZ + bZ = dZ avec aZ + bZ = { ap + bq / p, q ∈ Z}.
→ Da ∩ Db = Dd et d = max( Da ∩ Db ).
d est le plus grand diviseur commun de a et b , on le note : d = a ∧ b.
Determination de a ∧ b
= D|a| , d’où a ∧ b = | a| ∧ b = a ∧ |b| = | a| ∧ |b|.
→ ∀ a ∈ Z on a : Da = D−a
→ Soient a et b de N∗ et r le reste de la division euclidienne de a par b, alors :
a ∧ b = b ∧ r et a ∧ b = a ⇐⇒ a/b.
→ Algorithme d’Euclide :

a b




r0 q0








b r0




r1 q1


..
=⇒ a ∧ b = rn+1 dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide.
.



rn−1
rn




rn+1 qn+1 








rn rn+1


0 qn+2
PGCD - Sup 4
PGCD - Sup 4
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from math import s q r t
def pgcd (A, B ) :
while B ! = 0 :
t =A
A=B
B= t%B
r e t u r n abs (A)
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PGCD - Sup 4
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def e u c l i d e ( a , b ) :
while a%b ! = 0 :
a , b=b , a%b
r e t u r n abs ( b )
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def v a l _ a b s o l ( n ) :
while n < 0 :
n=−n
return n
def PGCD( a , b ) :
a= v a l _ a b s o l ( a )
b= v a l _ a b s o l ( b )
r =a%b
i f a<b :
( a , b ) =(b , a )
else :
( a , b ) =( a , b )
while r ! = 0 :
( a , b , r ) =(b , r , a%b )
return b
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Proposition 2.2. Propriétés de a ∧ b
Pour a, b et c de Z∗ on a :
•
•
•
•
a ∧ b = | a| ∧ b = a ∧ |b| = | a| ∧ |b|.
a ∧ b = b ∧ a, ( a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c).
a/b ⇐⇒ a ∧ b = | a|.
d = a ∧ b =⇒ ∃u, v ∈ Z : d = au + bv, le
couple (u, v) n’est pas unique obtenu à l’aide
de l’algorithme d’Euclide.
• ( ac) ∧ (bc) = |c|( a ∧ b).
• d = a ∧ b si et seulement s’il existe α, β ∈ Z
tels que a = dα , b = dβ et α ∧ β = 1
Proposition 2.3. Plus petit multiple commun
Soient a et b de Z∗ .
→ ∃!m ∈ N∗ : aZ ∩ bZ = mZ
→ m est le plus petit multiple commun strictement positif de a et b , on le note : m = a ∨ b.
Proposition 2.4.
Pour a, b et c de Z∗ on a :
•
•
•
•
•
a ∨ b = | a| ∨ b = a ∨ |b| = | a| ∨ |b|.
a ∨ b = b ∨ a, ( a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c).
a/b ⇐⇒ a ∨ b = |b|.
m = a ∨ b =⇒ ( a/m et b/m)
( a/m0 et b/m0 ) =⇒ m/m0 .
• m = a ∨ b si et seulement s’il existe α, β ∈ Z
tels que m = aα , m = bβ et α ∧ β = 1
• ( ac) ∨ (bc) = |c|( a ∨ b).
• ( a ∧ b).( a ∨ b) = | a.b|.
Définition 2.1. Nombres premiers entre eux
On dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux si a ∧ b = 1.
Théorème 2.1. Théorème de Bezout
Soit a et b de Z, alors : a ∧ b = 1 ⇐⇒ ∃u, v ∈ Z / au + bv = 1
Remarques : (i) u et v sont détérminés à partir de l’algorithme d’Euclide.
(ii) Si a, b ∈ N∗ on a : a ∧ b = 1 ⇐⇒ ∃u, v ∈ N / au − bv = 1
Euclide étendu aux coefficients de Bezout - Sup 4
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def pgcder ( a , b ) : # PGCD étendu récursif avec entrées positives
permute =(b>a )
i f ( permute ) : # mettre en ordre croissant
a , b=b , a
i f ( b==0) : # sortie de récursion
return a , 1 , 0
else :
q , r =a / b , a%b # division euclidienne
d , u1 , v1=pgcder ( b , r ) # appel récursif
u , v=v1 , u1−q∗v1
i f permute :
u , v=v , u
return d , u , v
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Théorème 2.2. Théorème de Gauss
Soit a, b et c de Z, alors : a/(bc) et a ∧ b = 1 =⇒ a/c. .
Application : Soit a, b et c de Zet n, m de N∗ , alors :
a/c

a∧b = 1
b/c
=⇒ ab/c,
=⇒ a ∧ (bc) = 1,
a∧c = 1

a∧b = 1
a ∧ b = 1 ⇐⇒ an ∧ bm = 1
Exercice .3.
Soit a, b et c de Z et n, m de N tels que n ∧ m = 1.
1. Résoudre : L’équation diophancienne : ax + by = c.
x ≡ a[n]
2. Résoudre : Le système (Reste Chinois) :
.
x ≡ b[m]
ca ≡ cb[n]
3. Montrer que :
=⇒ a ≡ b[n].
c∧n = 1
Proposition 2.5. Eléments inversibles de Z/nZ
Soit n ∈ N tel que n > 2 et k de Z.
→ k est inversible dans (Z/nZ, +, ×) si et seulement si k ∧ n = 1.
n
o
→ U(Z/nZ) = k / k ∈ {0, 1, ..., n − 1} et k ∧ n = 1 .
→ (Z/nZ, +, ×) est un corps si et seulement si n est premier.
3 - Les nombres premiers.
Définition 3.1.
On dit qu’un entier p est premier si : p 6= 1 et p 6= −1 et D p = {− p, −1, 1, p} .
Remarques : 1. Soit p ∈ Z. p est premier si et seulement si | p| est premier.
2. On note par P l’ensemble des nombres premiers positifs.
(a) ∀ p ∈ P on a : p = 2 ou p est impair.
√
(b) Soit N un entier. Si (∀ p ∈ P, p 6 N et p ne divise pas N) alors N ∈ P. Cette méthode
est dite le crible d’Erathostène.
Crible d’Ératosthène - Sup 4
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Crible d’Ératosthène - Sup 4
def p r e m i e r _ r a c i ne ( nb ) :
i f nb == 1 :
return False
i f nb == 2 :
r e t u r n True
e l i f nb%2 == 0 :
return False
f o r i in range ( 3 , i n t ( nb ∗ ∗ 0 . 5 ) +1 , 2 ) :
i f nb%i == 0 :
return False
r e t u r n True
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def e r a t h o s t e n e ( n ) :
l i s t e = [ k f o r k in range ( 2 , n+1) ]
f o r i in range ( n − 1) :
i f l i s t e [ i ] != 0 :
k=2
while k∗ l i s t e [ i ] <= n :
l i s t e [ i +(k − 1)∗ l i s t e [ i ] ] = 0
k += 1
r e t u r n [ p f o r p in l i s t e i f p ! = 0 ]
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Proposition 3.1.
→
→
→
→
Tout entier N différent de 1 et de −1 possède un diviseur premier.
L’ensemble P est infini.(Théorème d’ Euclide)
Pour tout a ∈ Z et p ∈ P, on a : p/ a ou p ∧ a = 1.
Pour tout a, b ∈ Z, n ∈ N∗ et p ∈ P, on a :
p/( ab) =⇒ ( p/ a ou p/b) et p/ a ⇐⇒ p/( an ).
→ Pour tous a, b, c ∈ P, on a : a/(bc) =⇒ a = b ou a = c
.
Primalité d’un entier - Sup 4
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def premier ( n ) :
i f n<7:
i f n in ( 2 , 3 , 5 ) :
r e t u r n True
else :
return False
i f ( n%5==0 and n>5) or ( n%2==0 and n>2) or n==1:
return False
else :
i =1
e= i n t ( s q r t ( n ) ) +1
while pgcd ( i , n ) ==1 and i <=e + 1 :
i +=2
i f pgcd ( i , n ) ! = 1 :
return False
r e t u r n True
Primalité d’un entier - Sup 4
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def e u c l i d e ( a , b ) :
while a%b ! = 0 :
a , b=b , a%b
return b
def premier_euclide ( n ) :
f o r i in range ( 1 , n ) :
i f euclide (n , i ) ! = 1 :
return False
r e t u r n True
Remarques : 1) Soit p ∈ N∗ . p est premier ⇐⇒ ∀k ∈ {1, 2, ..., p − 1} : p ∧ k = 1
2) Soit p ∈ P. x2 = 1 dans Z/ pZ ⇐⇒ x = 1 ou x = −1.
3) Soit n ∈ N∗ . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
→ (Z/nZ, +, ×) est un corps commutatif.
→ (Z/nZ, +, ×) est un anneau intègre
→ n est premier.
Théorème 3.1. Théorème de Fermat
p
• Pour p ∈ P et k ∈ {1, 2, ..., p − 1} on a p divise
.
k
• Pour p ∈ P et a ∈ Z on a : a p ≡ a[ p].
• Pour p ∈ P et a ∈ Z on a : a ∧ p = 1 =⇒ a p−1 ≡ 1[ p].
Théorème 3.2. Produit de facteurs premiers
Tout entier relatif N (différent de 1 et −1) s’écrit et de manière unique - à une permutation près- sous la
forme :
N = εP1n1 P2n2 ...Prnr avec ε = ±1 et P1 , P2 , ..., Pr ∈ P, n1 , n2 , ..., nr ∈ N∗ .
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Décomposition primaire - Sup 4
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Décomposition primaire - Sup 4
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def Decomposition (N) :
F = []
i f premier (N) or N in ( 0 , 1 ) :
r e t u r n [ ( N, 1 ) ]
else :
( i , s , B) = ( 2 , 1 ,N)
while s ! =N:
i f premier ( i ) and B%i ==0:
c t r =1
n=B / i
while n%i ==0:
c t r +=1
n=n / i
F . append ( ( i , c t r ) )
B=n
s=s ∗ ( i ∗∗ c t r )
i +=1
return F
from math import s q r t
def dcmposition ( n ) :
F = []
i f n==1:
return F
while n>=2:
x , r = divmod ( n , 2 )
if r !=0:
break
F . append ( 2 )
n = x
i =3
rn = s q r t ( n ) +1
while i <=n :
i f i >rn :
F . append ( n )
break
x , r = divmod ( n , i )
i f r ==0:
F . append ( i )
n=x
rn = s q r t ( n ) +1
else :
i += 2
return F
Décomposition en produit de nombres premiers - Sup 4
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import math import sys
def count ( s t a r t = 0 , s t e p = 1 ) :
n = start
while True :
yield n
n += s t e p
def i f a c t o r ( n ) :
l s F a c t o r , lim = [ ] , math . s q r t ( n ) + 1
while not ( n % 2 ) :
l s F a c t o r += [ 2 ]
n //= 2
f o r i in count ( 3 , 2 ) :
i f n <= 1 :
break
i f i > lim : r e t u r n l s F a c t o r + [ ( n , 1 ) ]
while not ( n % i ) :
l s F a c t o r . append ( i )
n //= i
r e t u r n s o r t e d ( [ ( n , l s F a c t o r . count ( n ) ) f o r n in s e t ( l s F a c t o r ) ] , key = lambda x : x
[0])
Applications : 1. Si a = P1n1 P2n2 ...Prnr et b = εP1m1 P2m2 ...Prmr alors : a ∨ b = P1`1 P2`2 ...Pr`r , a ∧ b = P1u1 P2u2 ...Prur
avec `i = min(ni , mi ) et ui = max(ni , mi )
q q
q
2. Si N = εP1n1 P2n2 ...Prnr alors tout diviseur de N est de la forme d = εP1 1 P2 2 ...Pr r avec
0 6 qi 6 ni .et que le nombre de diviseurs de N est alors égal à (1 + n1 )(1 + n2 )...(1 + nr ).
v Système de chiffrement R.S.A
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1. Soient x et n deux entiers naturels tels que : n ≡ 1[28]. Prouver que : xn ≡ x[29].
2. Résoudre dans Z2 l’équation diophancienne : 17x − 28y = 1.
On pose A = {0, 1, ..., 28} et pour x ∈ A , on note f ( x) le reste de la division euclidienne de x17 par 29 et g( x)
le reste de la division euclidienne x5 par 29.
3. Prouver que pour tout x ∈ A. on a :
f ( x) ∈ A, g( x) ∈ A, x17 ≡ f ( x)[29], x5 ≡ g( x)[29], g( f ( x)) = x
4. On attribue à chaque lettre de l’alphabet et deux symboles ” + ” et ” − ”, l’entier donné par le tableau cidessous :
a
1
o
15
b
2
p
16
c
3
q
17
d
4
r
18
e
5
s
19
f
6
t
20
g
7
u
21
h
8
v
22
i
9
w
23
j
10
x
24
k
11
y
25
l
12
z
26
m
13
+
27
n
14
28
(a) MONA code le mot "GAUSS" à l’aide de la fonction f et envoie le message codé à FATI. Voici le codage
des deux premiers lettres "G" et "A".
Message initial
Entier associé
Codage par f
Message codé
G
7
24
X
A
1
1
A
Compléter son message.
(b) FATI reçoit le message suivant codé par MONA à l’aide de f :
J
I
L
L
R
Décrypter ce message à la place de FATI.
5. Soit p et q deux entiers naturels premiers distincts et n = pq.
On considère un entier naturel c tel que ( p − 1)(q − 1) ∧ c = 1 et u et v de Z tels que uc + vn = 1. Montrer
que :
(a) ∃(k, d) ∈ Z × N∗ tel que : u = nk + d.
(b) cd ≡ 1[( p − 1)(q − 1)].
(c) ∀t ∈ Z : tcd ≡ t[n].
(d) ϕ : Z/nZ −→ Z/nZ est une bijection et donner sa réciproque.
c
t
7−→
t
4 - Système de numération.
Théorème 4.1. Représentation d’un entier en une base
Soit b ∈ N tel que b > 2. Pour
tout entiern N de N, nil−1existe des entiers a0 , a1 , ..., an tels que :
+ ... + a1 b + a0 (?)
 N = an b + an−1 b
.
an 6= 0,

a0 , a1 , ..., an ∈ {0, 1, ..., (b − 1)} .
+ Preuve :
Voir l’exercice ci-dessous
Terminologie :
• (∗) est dite l’écriture de N dans la base b, on note : N = an an−1 ...a1 a0 (b) .
• Les a0 , a1 , ..., an sont appelés les chiffres de N dans la base b.
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MPSI 2016-2017
.
• Si b = 2 on parle de la base diadique,
Si b = 8 on parle de la base octale,
Si b = 16 on parle de la base hexadécimale.
Remarque : Les opérations algébriques dans une base sont analogues a celle vues dans la base 10 : Voir les
exercices.
Sujet 1 :
Soit b un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note E l’ensemble des suites à valeurs dans
l’ensemble {0, . . . , b − 1} et nulles à partir d’un certain rang. On souhaite montrer que l’application :
ψ:
E
−→
N
+∞
( ak )k 7−→
∑ ak bk
k=0
est bijective.
1. On se donne N ∈ N et on définit les suites (qn )n et (rn )n de la manière suivante :
I q0 et r0 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de N par b ;
I pour tout n ∈ N, qn+1 et rn+1 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de qn par
b.
a) Montrer que la suite (qn ) est nulle à partir d’un certain rang. En déduire que c’est également le cas pour
(r n ).
n
b) Montrer que pour tout n ∈ N, N =
∑ rk bk + bn+1 qn . En déduire la surjectivité de ψ .
k=0
2. Soient ( ak )k et (ck )k deux suites de E telles que ψ (( ak )k ) = ψ ((ck )k ).
(a) On suppose que les suites ( ak )k et (ck )k sont distinctes. Justifier l’existence d’un plus grand entier naturel
p tel que a p 6= c p .
p−1
k
(b) Justifier que ∑ ( ak − ck )b 6 b p − 1.
k=0
(c) Aboutir à une contradiction et en déduire l’injectivité de ψ .
Soit n et m de N∗ , Un désigne l’ensemble des racines nièmes de l’unité.
Montrer que (Un , ×) est un groupe commutatif.
(a) Montrer que Um ∩ Un = Um∧n .
(b) On note Um Un = { z1 z2 / z1 ∈ Um , z2 ∈ Un }. Montrer que Um Un = Um∨n .
On pose pour ( z1 , z2 ) ∈ Um × Un et ( z01 , z02 ) ∈ Um × Un : ( z1 , z2 ) ∗ ( z01 , z02 ) = ( z1 z01 , z2 z02 ) Montrer que (Um ×
Un , ∗) est un groupe commutatif dont on précisera l’élément neutre.
On définit f : Unm −→ Um × Un
z
7−→ ( zn , zm )
Sujet 2 :
1.
2.
3.
4.
(a)
(b)
(c)
(d)
Vérifier que f est un morphisme de groupes de (Umn , ×) dans (Um × Un , ∗).
Quel est le noyau de f ?
Démontrer que f est injectif si et seulement si m et n sont premiers entre eux.
En déduire que f est un isomorphisme si et seulement si m et n sont premiers entre eux.
5. On définit g : Um × Un −→ Umn
( z1 , z2 ) 7−→ z1 .z2
(a) Vérifier que g est un morphisme de groupes de (Um × Un , ∗) dans (Umn , ×).
(b) Quelle est l’image de g ?
(c) Démontrer que g est surjectif si et seulement si m et n sont premiers entre eux.
(d) En déduire que g est un isomorphisme si et seulement si m et n sont premiers entre eux.
Sujet 3 :
Soit x un nombre réel. On définit deux suites (dn )n et (εn )n de la manière suivante :
I On pose d0 = E( x) et ε0 = x − E( x) où E( x) désigne la partie entière de x.
I Pour tout n ∈ N, on pose dn+1 = E(10εn ) et εn+1 = 10εn − E(10εn ).
Cours-s- Mr. Faress , Lok
10
MPSI 2016-2017
1. Dans cette question uniquement, on suppose x = 123, 456. Calculer d0 , d1 , d2 , d3 et ε0 , ε1 , ε2 , ε3 . Que valent dn
et εn pour n > 4 ?
2. On revient au cas général.
(a) Montrer que pour tout n ∈ N , εn ∈ [0, 1[.
(b) En déduire que pour tout n ∈ N∗ , dn ∈ {0, . . . , 9}.
n
εn
(c) On pose Sn = ∑ dk 10k pour tout n ∈ N. Montrer que x = Sn + n pour tout n ∈ N.
10
k=0
(d) En déduire que ( Sn )n converge vers x.
3. Soient T ∈ N∗ et N ∈ N. On suppose que la suite (dn )n est T-périodique à partir du rang N.
(a) Pour n ∈ N, on pose un = 10 N +T Sn+ N +T − 10 N Sn+ N . Montrer que la suite (un )n est constante.
(b) En déduire qu’il existe p ∈ Z tel que pour tout n ∈ N , 10 N +T Sn+ N +T − 10 N Sn+ N = p.
(c) En déduire que x est rationnel.
4. Soit α le nombre dont l’écriture décimale est 0, 123456456456456 . . .. Montrer que α est rationnel et l’écrire
sous la forme d’une fraction de deux entiers.
a
5. On suppose que x est rationnel. Il existe donc a ∈ Z et b ∈ N∗ tel que x = . On définit deux suites (qn )n et
b
(rn )n de la manière suivante.
I q0 et r0 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
I Pour tout n ∈ N , qn+1 et rn+1 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de 10rn
par b.
(a)
(b)
(c)
(d)
Justifier qu’il existe deux entiers naturels N et M distincts tels que r N = r M .
En déduire que (rn )n est périodique à partir d’un certain rang.
En déduire que (qn )n est également périodique à partir d’un certain rang.
Montrer que pour tout n ∈ N , rn = bεn et qn = dn . On a donc prouvé que la suite (dn )n était périodique
à partir d’un certain rang.
13
. Déterminer N ∈ N et T ∈ N∗ tels que la suite (dn )n soit
35
T-périodique à partir du rang N.
6. On suppose que x =
F ii n
n