Cours et exercices (du cned)

6
Séquence 4 – MA20
Probabilités
N
ot
i
on
d
e
p
ro
b
a
bili
té
Ce que veut
d
ire : «
l
a pro
b
a
b
i
l
ité
d’
o
b
tenir PILE en
l
ançant une pièce non truquée est 1
2»
;
à
savoir : si on
l
ance une
p
ièce non tru
q
uée, on a 1 c
h
ance sur 2
q
u
’
e
ll
e tom
b
e sur PILE.
Ce
q
ue veut dire : « la
p
robabilité d’obtenir un DEUX en lan
ç
ant un dé non tru
q
ué est 1
6 »
;
à
savoir : si on lance un dé non truqué, on a 1 chance sur 6 qu’il tombe sur un DEUX.
Se souvenir
BB
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Séquence 4 – MA20
Activités
I
n
t
r
oductio
n
E
n ph
y
sique, en chimie, en biolo
g
ie ou dans d’autres domaines, lorsque l’on réa-
l
ise une expérience connue
d
ans
d
es con
d
itions
b
ien précises, en généra
l
, on sait
p
ar avance
l
e résu
l
tat
q
ue
l’
on va o
b
tenir : si
l’
on sus
p
en
d
une masse connue à un
r
essort connu, on peut prévoir l’allon
g
ement de ce ressort ; si l’on verse de l’acide
sur du calcaire
,
on obtient une effervescence … etc.
O
n dit
q
ue ces ex
p
ériences sont
déte
rmini
stes
.
M
ais, dans certains cas, même si l’on connaît par
f
aitement les éléments de l’ex-
p
érience, on ne peut néanmoins pas en prévoir
l
e résu
l
tat : si on
l
ance en
l’
air une
p
ièce de monnaie
p
ar
f
aitement connue, on ne sait
p
as si elle va tomber sur
p
ile
ou sur
f
ace ; si on
f
ait rouler sur la table un dé par
f
aitement connu et équilibré,
on ne peut savoir sur que
l
numéro i
l
va s
’
arrêter … etc.
O
n
p
ar
l
e a
l
ors
d’
ex
p
ériences
aléatoi
r
es
.
D
ans ce cas nous pourrons quand même prévoir quels sont les
r
ésultats pos
-
s
ibl
es
(
Pile ou Face pour la pièce, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pour le dé
)
, et essa
y
er de
p
révoir
q
ue
ll
e «
cha
n
ce
» (ou ris
q
ue) on a
q
ue ce soit un résultat
p
lutôt
q
u’un
autre qui se produise.
Vo
y
ons sur deux activités comment on peut procéder, puis nous passerons au
cours
p
our formaliser et a
pp
rofondir.
 Un dé classi
q
ue,
p
arfaitement é
q
uilibr
é
O
n s’apprête à lancer un dé classique, cubique, parfaitement équilibré, où les six
faces sont numérotées de 1 à 6.
 Quels résultats
p
eut-on avoir de ce lancer ?
 Peut-on prévoir avec quelle « chance » chacun d’entre eux pourrait arriver ?
Réponses
 Bien entendu, les résultats
p
ossibles de ce lancer sont les numéros 1, 2, 3, 4,
5
ou
6
.
O
n pourrait aussi imaginer comme résultat le fait que le dé s’arrête en équilibre
sur une
d
e ses arêtes : on
d
it a
l
ors
q
u
’
i
l
est « cassé ».
P
our simpli
f
ier l’exemple, nous supposerons qu’il est ri
g
oureusement impossible
que le dé s’arrête autrement que sur l’une de ses faces.
AA
3Notion de probabilité
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Séquence 4 – MA20
Nous n
’
avons
d
onc
q
ue six résu
l
tats
p
ossi
bl
es : n°1, n°2, n°3, n°4, n°5 ou n°6.
Dans cet exem
p
le, le
f
ait de lancer le dé est une ex
p
ér
i
ence a
l
éato
i
r
e
(
p
uis
q
ue
s
on résultat n’est pas prévisible
)
qui n’a pas encore eu lieu.
Les résultats possibles
(
n°1, n°2, n°3, n°4, n°5 ou n°6
)
sont appelés les
é
véne-
m
e
n
ts
élé
m
e
n
tai
r
es
d
e cette ex
p
érience ou
issues
.
Puisque le dé est parfaitement équilibré et que l’on n’a aucun autre rensei
g
ne-
ment, on peut penser que c
h
aque numéro a
l
a même « c
h
ance »
d’
arriver.
Comme i
l
y en a 6, on pourra
d
ire qu
’
i
l
y a 1 c
h
ance sur 6 que
l
e
d
é tom
b
e sur
l
e
n°1, qu’il
y
a 1 chance sur 6 que le dé tombe sur le n°2, … etc.
On pourrait aussi
d
ire qu
’
i
l
y a 10 c
h
ances sur 60 que
l
e
d
é tom
b
e sur
l
e n°1, ou
5
cha
n
ces
su
r
30.
L’idée, intuitive, est
q
ue les 6 numéros se ré
p
artiraient é
q
uitablement si l’on
f
ai-
s
ait 6 fois l’expérience, ou 60 fois, ou 30 fois … etc.
On va traduire ce « nombre de chances »
p
ar une fraction.
Le
f
ait
q
ue le dé tombe sur le n°1 « ris
q
ue » de se
p
roduire dans 1/6
è
m
e
d
es cas
,
ou dans 10/60
è
me des cas, ce qui est compatible avec le fait que :
1 6 10 60 5 30 ///. ==
Le
f
ait
q
ue le dé tombe sur le n°2 « ris
q
ue » de se
p
roduire dans 1/6
è
m
e
des cas,
…
etc
.
Ce nombre, qui évalue la « chance »
(
ou le risque
)
qu’un résultat
(
un
é
véne-
m
e
n
t
élé
m
e
n
tai
r
e
) se
p
roduise est a
pp
elé la
p
ro
b
a
bili
t
é
de
cet
é
v
è
n
e
m
e
n
t
.
On dira
q
ue la
p
robabilité
de
l
’
é
v
é
n
e
m
e
n
t
é
l
é
m
e
n
ta
ir
e
« n°1 »
est
1
6.
U
n dé ori
g
inal, très déséquilibré
On s
’
apprête maintenant à
l
ancer un
d
é
b
eaucoup moins c
l
assique, tétraé
d
rique
(c’est à dire à quatre
f
aces triangulaires) et très déséquilibré (on a particulière-
ment alourdi certains sommets du dé pour qu’il tombe plus souvent sur certains
numéros).
S
es
q
uatre
f
aces sont numérotées de 1 à 4.
Quels résultats peut-on avoir de ce lancer ?
Peut-on prévoir avec que
ll
e « c
h
ance » c
h
acun
d’
entre eux pourrait arriver ?
Réponses
Bien entendu, les résultats
p
ossibles de ce lancer sont les numéros 1, 2, 3 ou 4
.
On pourrait, là encore, ima
g
iner comme résultat le fait que le dé s’arrête en équi-
l
i
b
re sur une
d
e ses arêtes,
q
u
’
i
l
soit « cassé ».
Pour simpli
f
ier l’exemple, nous supposerons encore qu’il est ri
g
oureusement
impossible que le dé s’arrête autrement que sur l’une de ses faces.
Nous n
’
avons
d
onc que quatre résu
l
tats possi
bl
es : n°1, n°2, n°3 ou n°4
.
CommentaireCommentaire
CommentaireCommentaire
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Séquence 4 – MA20
D
ans cet exem
p
le, le fait de lancer le dé est une
e
x
p
ér
i
ence a
l
éato
i
re (
p
uis
q
ue
son résultat n’est
p
as
p
révisible)
q
ui n’a
p
as encore eu lieu.
L
es résultats possibles
(
n°1, n°2, n°3 ou n°4
)
sont les
é
vénements élémentai-
r
e
s
d
e cette expérience ou
i
ssues
.
 Puis
q
ue le dé n’est
p
as
p
ar
f
aitement é
q
uilibré, on n’a
p
as de raison de
p
enser
que chaque numéro a la même « chance » d’arriver.
N’
ayant pas
d’
autre renseignement, on ne peut pas
d
éterminer
l
a « c
h
ance »
d’arriver de cha
q
ue numéro
.
Information complémentaire pour pouvoir répondre
O
n su
pp
ose maintenant
q
ue notre dé a été testé avant d’être vendu et
q
ue le test
su
r
5
000
l
a
n
ce
r
s
a
do
nn
é
l
es
r
ésu
l
tats
su
iv
a
n
ts
:
I
ssues
n
°
1
n
°
2
n
°
3
n
°
4
N
o
m
b
r
e
de
f
o
i
s
où
o
n l’
a
obte
n
ue
4
95
505
1
0
1
0
2
990
Suite de la réponse
O
n peut donc supposer, vu le grand nombre de lancers e
ff
ectués lors de ce test,
que l’on « risque » d’obtenir, lorsqu’on lancera nous-mêmes le dé, les di
ff
érents
r
ésultats avec la même « fréquence » que celle observée dans le tableau.
O
n peut ainsi dire qu’il y a 495 chances sur 5 000 que le dé tombe sur le n°1, 505
chances sur 5 000 que le dé tombe sur le n°2, 1 010 chances sur 5 000 que le dé
tom
b
e sur
l
e n°3 et 2 990 c
h
ances sur 5 000
q
ue
l
e
d
é tom
b
e sur
l
e n°4.
L’
i
d
ée, intuitive, est
q
ue
l
es 4 numéros se ré
p
artiraient comme
d
ans
l
e ta
bl
eau si
l
’on re
f
aisait 5 000
f
ois l’expérience.
O
n va traduire ce « nombre de chances » par une fraction.
L
e
f
ait
q
ue le dé tombe sur le n°1 « ris
q
ue » de se
p
roduire dans 495/5000 cas.
L
e
f
ait
q
ue le dé tombe sur le n°2 « ris
q
ue » de se
p
roduire dans 505/5000 cas.
L
e fait que le dé tombe sur le n°3 « risque » de se produire dans 1010/5000 cas
.
L
e fait
q
ue le dé tombe sur le n°4 « ris
q
ue » de se
p
roduire dans 2990/5000 cas
.
O
n
d
ira
q
ue la
p
robabilité de l’événement élémentaire « n°1 » est 495
5000 ,
ce
ll
e
d
e
l’
événement é
l
émentaire « n°2 » est 505
5000 ,ce
ll
e
d
e
l’
événement é
l
émentaire
« n°
3
»
est
1010
5000 ,
et
ce
ll
e
de
l’
é
v
é
n
e
m
e
n
t
é
l
é
m
e
n
ta
ir
e
« n°4 »
est
2990
5000.
C
ette idée intuitive que l’observation d’un
g
rand nombre de cas permet de
« deviner » la probabilité qu’un événement se produise est aussi sous-
j
acente
dans le
p
remier exem
p
le (dé cubi
q
ue bien é
q
uilibré).
P
o
ur a
ff
irmer le
f
ait
q
ue cha
q
ue événement élémentaire a une
p
robabilité de 1
6,
o
n s’ima
g
ine ce qui se passerait si l’on lançait le dé un très
g
rand nombre de
f
ois
CommentaireCommentaire
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38
Séquence 4 – MA20
(par exemple 6 000 fois) ; on aurait à peu près autant de fois chaque issue (ici
e
nviron 1 000
f
ois).
Car on sait très bien que si on lance ce dé 6
f
ois exactement, il
y
a très peu de
c
hances que l’on obtienne exactement une fois chaque issue
.
Ce
p
endant ces deux exem
p
les sont assez différents dans leur fa
ç
on d’obtenir les
p
robabilités de cha
q
ue issue :
–
pour le premier dé, équilibré, un raisonnement sur l’é
g
alité des chances permet
d
e conclure (même si on
p
eut avoir en tête ce
q
ui se
p
asserait si l’on testait ce dé
e
n le lançant un
g
rand nombre de
f
ois),
–
pour le deuxième dé, déséquilibré, aucun raisonnement ne suffit pour détermi-
ner
l
es pro
b
a
b
i
l
ités
d
e c
h
aque issue ; seu
l
l
e ta
bl
eau statistique
d
u test permet
de
l
es
déte
rmin
e
r.
Ce sont les deux principales façons de définir des probabilités :
–
un raisonnement sur
l’
expérience a
l
éatoire en question,
–
une utilisation des
f
ré
q
uences obtenues dans un tableau statisti
q
ue
.
D
ans
l
es
d
eux exemp
l
es ci-
d
essus, nous pouvons remarquer
d
eux c
h
oses
:
–
les probabilités calculées sous forme de fractions sont tou
j
ours des nombres infé-
r
ieurs à 1 (on n’ima
g
ine pas qu’un résultat puisse avoir 7 chances sur 6 de se pro
-
d
uire, donc une
p
robabilité de 7
6!
)
–
en a
j
outant les probabilités de toutes les issues possibles, on obtient exactement 1
,
p
our le dé cubi
q
ue, on a 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6;+++++=1
495
5000
505
5000
1010
5000
2990
5000 1+++=
.
Remarque
Cours
 Le
l
angage
d
es pro
b
a
bili
tés
a) Expérience aléatoire, événements élémentaires, univers
D
é
fini
t
i
on
U
n
e
e
x
p
érience aléatoir
e
est une ex
p
érience
p
our la
q
uelle
p
lusieurs
i
ssues sont possibles, sans que l’on puisse prévoir celle qui se produira.
Les
i
ssues sont aussi a
pp
e
l
ées
l
es événements é
l
émenta
i
re
s
,
ou
l
es
é
v
e
n
tua
li
tés
.
BB
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