Polynômes et fractions rationnelles en MPSI

Polynômes et fractions rationnelles
Kdésigne Rou C.
II - Algèbre K[X]
K
N
désigne l’ensemble des suites à valeurs dans K,K
(N)
l’ensemble des suites à valeurs dans Kà support
fini (i.e. nulles à partir d’un certain rang, dites aussi presque nulles).
Définition : on appelle polynôme à coefficients dans K, toute suite à valeurs dans Kà support fini.
Notations : pour n∈N, on désigne par e
n
la suite (δ
n,k
)
k∈N
(dont tous les termes sont nuls sauf le
n-ième qui vaut 1).
La suite (a
n
)
n∈N
à support dans [[0, p]] s’écrit
p
n=0
a
n
e
n
, ou encore
+∞
n=0
a
n
e
n
(étant entendu
qu’il s’agit en fait d’une somme finie).
Produit de deux polynômes :
Si P=
p
i=0
a
i
e
i
et Q=
q
j=0
b
j
e
j
, alors P×Qest le polynôme
p+q
k=0
c
k
e
k
où :
pour 0≤k≤p+q, c
k
=
i+j=k
a
i
b
j
=
k
i=0
a
i
b
k−i
=
k
j=0
a
k−j
b
j
.
Notation définitive : on vérifie qu’en posant X=e
1
on a :
∀n∈N, X
n
=e
n
.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans Kest noté K[X].
La suite P= (a
n
)
n∈N
à support dans [[0, p]] s’écrit alors P=
p
n=0
a
n
X
n
=
+∞
n=0
a
n
X
n
.
Théorème : (K[X],+, . , ×)est une K-algèbre commutative.
IIII - Degré, valuation
1) Degré
Définition : soit P=
+∞
n=0
a
n
X
n
∈K[X].
Si P= 0, on appelle degré de Pl’entier naturel max {n∈N/ a
n
= 0}, noté deg P.
Soit p= deg P,a
p
est appelé le coefficient dominant de P.
On dit que Pest normalisé ou unitaire si et seulement si a
p
= 1.
Si P= 0, on pose deg P=−∞.
Propriétés : soient Pet Qdeux polynômes à coefficients dans K.
1) deg (P+Q)≤max (deg P, deg Q).
2) Si deg P= deg Q, alors deg(P+Q) = max (deg P, deg Q).
3) deg (P Q) = deg P+ deg Q(addition dans N∪ {−∞} ).
Conséquence : un produit de polynômes est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul
((K[X],+,×)est un anneau intègre).
Théorème : pour tout p∈N, on pose K
p
[X] = {P∈K[X]/deg P≤p}= Vect 1, X, X
2
, . . . , X
p
;
K
p
[X]est un sous-espace vectoriel de dimension p+ 1 de K[X](mais n’est pas stable
pour la multiplication, dès que p≥1!).

Polynômes et fractions rationnelles Page 2
2) Valuation (hors programme)
Définition : soit P∈K[X], P =
+∞
n=0
a
n
X
n
.
Si P= 0, on pose val P= min {n∈N/ a
n
= 0}.
Si P= 0 on pose val P= +∞.
IIIIII - Division euclidienne
Théorème et définition : soient Aet Bdeux éléments de K[X]tels que B= 0.
Il existe un unique couple (Q, R)de (K[X])
2
tel que
A=BQ +Ret deg R < deg B.
Qet Rsont appelés respectivement quotient et reste dans la
division euclidienne de Apar B.
Définition : soient Aet Bdeux éléments de K[X]; on dit que Aest divisible par B(ou que Bdivise
A)si et seulement s’il existe Qdans K[X]tel que A=BQ.
Propriété : si B= 0,Aest divisible par Bsi et seulement si le reste de la division euclidienne de A
par Best nul (le quotient est alors dit quotient exact, noté A/B).
IVIV - Fonctions polynomiales et notion de racine
1) Fonction polynomiale
Définition : la fonction polynomiale associée à P=
p
n=0
a
n
X
n
est l’application ˜ P:K→K
x→
p
n=0
a
n
x
n
.
2) Racines d’un polynôme
Définition : soient P∈K[X]et α∈K.
On dit que αest racine (ou zéro) de Psi et seulement si ˜ P(α) = 0.
Théorème : soit P∈K[X];˜ P(α)est le reste de la division euclidienne de Ppar X−α;
αest racine de Psi et seulement si Pest divisible par X−α.
Conséquences : 1) Soit Pun élément de K[X]et α
1
, . . . , α
n
nscalaires distincts deux à deux ;
α
1
, . . . , α
n
sont racines de Psi et seulement si Pest divisible par
n
k=1
(X−α
k
).
2) Soient Pun élément de K[X]et n∈N; si deg P≤net Pa au moins n+ 1 racines
distinctes, alors Pest le polynôme nul.
Si Padmet une infinité de racines, alors Pest le polynôme nul.
Kétant un corps infini, l’application P→ ˜ Pdéfinit un isomorphisme de K-algèbres de K[X]sur
l’ensemble des fonctions polynomiales ; on identifie souvent Pet ˜ P.
3) Algorithme de Horner
Soient P=
p
n=0
a
n
X
n
et α∈K. On pose : b
p
=a
p
et pour k=p−1,...,0b
k
=αb
k+1
+a
k
.
Alors b
0
=P(α), ce qui permet de calculer P(α)au prix de padditions et pmultiplications seulement !
De plus, Q=
p−1
n=0
b
n+1
X
n
est le quotient de la division euclidienne de Ppar X−α.

Polynômes et fractions rationnelles Page 3
4) Ordre de multiplicité d’une racine
Définition : soient P∈K[X],α∈Ket k∈N
∗
; on dit que αest une racine de multiplicité (ou
d’ordre)kde Psi et seulement si (X−α)
k
divise Pet (X−α)
k+1
ne divise pas P;
autrement dit k= max j∈N/(X−α)
j
divise P.
5) Dérivation formelle
Définition : on appelle dérivation dans K[X]l’unique endomorphisme Dde K[X]tel que :
D(1) = 0 et ∀n∈N
∗
D(X
n
) = nX
n−1
.
Pour Pdans K[X],D(P)est aussi noté P
′
, et, si k∈N,D
k
(P)est noté P
(k)
(dérivation
à l’ordre k).
NB : sur R, la fonction polynomiale associée à P
′
coïncide bien avec la dérivée de la fonction polyno-
miale associée à P!
Propriétés : 1) Dest surjectif, non injectif ; Ker D=K(ensemble des polynômes constants).
2) ∀(P, Q)∈K[X]
2
(P Q)
′
=P
′
Q+P Q
′
.
3) Formule de Leibniz :
∀(P, Q)∈K[X]
2
∀n∈N(P Q)
(n)
=
n
k=0
n
k
.P
(n−k)
Q
(k)
.
4) Soit P=
p
n=0
a
n
X
n
, de degré p; si k > p, alors P
(k)
= 0 ; si k≤deg P, alors
deg P
(k)
=p−ket plus précisément :
P
(k)
=
p
n=k
n!
(n−k)!a
n
X
n−k
=
p−k
n=0
(n+k)!
n!a
n+k
X
n
.
Formule de Mac-Laurin pour les polynômes : si Pest un polynôme de degré p, alors
P=
p
n=0
P
(n)
(0)
n!X
n
=
+∞
n=0
P
(n)
(0)
n!X
n
.
Formule de Taylor pour les polynômes : soient P∈K[X]et α∈K,
P(X) =
+∞
n=0
P
(n)
(α)
n!(X−α)
n
et P(α+X) =
+∞
n=0
P
(n)
(α)
n!X
n
.
Conséquence : pour tout pde Net tout αde K,((X−α)
n
)
0≤n≤p
est une base de K
p
[X].
6) Caractérisation des racines multiples d’un polynôme
Théorème : soient P∈K[X],α∈Ket k∈N
∗
.
1) αest racine d’ordre kde Psi et seulement si :
∀j∈ {0,1, . . . , k −1}P
(j)
(α) = 0et P
(k)
(α)= 0.
2) Si αest racine d’ordre kde P, alors, pour ℓ≤k−1,αest racine d’ordre k−ℓde P
(ℓ)
.
VV - Polynômes scindés
1) Définitions
Un polynôme Pde K[X]est dit scindé sur Ksi et seulement si Pest constant ou admet des racines
dans Kdont la somme des multiplicités vaut p= deg P.

Polynômes et fractions rationnelles Page 4
Tout polynôme scindé non constant s’écrit sous la forme
P=λ
m
j=1
(X−α
j
)
k
j
,
avec λdans C
∗
, les α
j
dans C, distincts deux à deux, les k
j
dans N
∗
.{α
1
, . . . , α
m
}est l’ensemble des
racines de P,mest le nombre de racines de P(deg P=
m
j=1
k
j
).
On peut aussi écrire
P=λ
p
i=1
(X−r
i
).
On dit que (r
1
, . . . , r
p
)est un système de racines de P: parmi les r
i
, qui ne sont pas nécessairement
distincts, on retrouve chacun des α
j
, répété autant de fois que son ordre de multiplicité (deg P=p).
2) Relations entre coefficients et racines d’un polynôme scindé
a) Fonctions symétriques élémentaires
Soit (r
1
, . . . , r
p
)∈K
p
; les fonctions symétriques élémentaires de r
1
, . . . , r
p
sont les
σ
k
=
1≤i
1
<i
2
<···<i
k
≤p
r
i
1
r
i
2
. . . r
i
k
,1≤k≤p.
En particulier,
σ
1
=
p
i=1
r
i
, σ
p
=r
1
r
2
. . . r
p
=
p
i=1
r
i
.
b) Relations entre coefficients et racines
Théorème : soient p≥1,P=
p
n=0
a
n
X
n
dans K[X], de degré p(a
p
= 0), et (r
1
, . . . , r
p
)dans K
p
.
(r
1
, . . . , r
p
)est un système de racines de Psi et seulement si
∀k∈N
p
σ
k
= (−1)
k
a
p−k
a
p
.
Lorsque c’est le cas, on a
P=a
p
p
i=1
(X−r
i
) = a
p
X
p
+
p
k=1
(−1)
k
σ
k
X
p−k
=a
p
X
p
−σ
1
X
p−1
+· · · + (−1)
p
σ
p
.
c) Cas p= 2
Pour r
1
, r
2
dans K, on a :
(X−r
1
) (X−r
2
) = X
2
−σ
1
X+σ
2
où σ
1
=r
1
+r
2
et σ
2
=r
1
r
2
Il en résulte que, si l’on cherche deux nombres connaissant leur somme Set leur produit P, ces nombres
forment nécessairement un système de racines du polynôme X
2
−SX +P. Il existent toujours lorsque
K=C. Lorsque K=R, ils existent si et seulement si S
2
−4P≥0.
VIVI - Polynômes irréductibles dans C[X] , dans R[X]
1) Définition
Un polynôme Pde K[X]est dit irréductible dans K[X]si et seulement si Pest non constant et admet
pour seuls diviseurs dans K[X]les λet les λP ,λ∈K
∗
.
Caractérisation : P, non constant, est irréductible dans K[X]si et seulement si Pne peut pas s’écrire
sous la forme du produit de deux polynômes non constants.
Exemples : les polynômes de degré 1 sont irréductibles ; X
2
+ 1 est irréductible dans R[X], mais pas
dans C[X](où X
2
+ 1 = (X−i)(X+i)).

Polynômes et fractions rationnelles Page 5
2) Irréductibilité dans C[X]
a) Théorème de d’Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant de C[X]admet au moins une racine dans C.
b) Conséquences
1) Tout polynôme de C[X]est scindé sur C.
2) Les polynômes irréductibles de C[X]sont les polynômes de degré 1.
3) Tout polynôme non constant Pde C[X]se décompose en produit de facteurs irréductibles dans
C[X]sous la forme
P=λ
m
j=1
(X−α
j
)
k
j
,
avec λdans C
∗
, les α
j
dans C, les k
j
dans N
∗
.
c) Exemple fondamental
Soit n∈N
∗
; les racines du polynôme X
n
−1sont les racines n-ièmes de l’unité :
X
n
−1 =
n−1
k=0
X−e
2ikπ/n
.
3) Irréductibilité dans R[X]
Propriétés : soient P∈R[X],α∈C.
1) P(α) = P(α).
2) Si αest racine de P, alors αest racine de Pavec la même multiplicité.
Conséquences : 1) Les polynômes irréductibles de R[X]sont les polynômes de degré 1 et les polynômes
de degré 2 à discriminant strictement négatif.
2) Tout polynôme non constant Pde R[X]se décompose en produit de facteurs
irréductibles dans R[X]sous la forme
P=λ
m
i=1
(X−α
i
)
k
i
n
j=1
(X
2
+b
j
X+c
j
)
ℓ
j
,
avec λdans R
∗
, les α
i
, b
j
, c
j
dans R, tels que : ∀j∈N
n
b
2
j
−4c
j
<0et les k
i
, ℓ
j
dans N
∗
(on peut avoir mou nnul, le produit correspondant valant alors 1).
VIIVII - Corps K(X) des fractions rationnelles
1) Présentation
On pose E=K[X]×(K[X]\ {0}). Étant donné un couple (A, B)de E, la fraction rationnelle Fde
représentant (A, B)est l’ensemble des couples (P, Q)de Etels que AQ =BP (ces couples sont les
représentants de F). On convient, si (P, Q)est l’un de ces couples, d’écrire
F=A
B=P Q.
L’ensemble de ces fractions rationnelles, dites à coefficients dans K, est noté K(X).
Étant donnés F, G dans K(X)et (A, B),(C, D)dans Etels que F=A
Bet G=C D, on vérifie que les
fractions rationnelles AD +BC
BD et AC BD restent inchangées si l’on remplace (A, B),(C, D)par d’autres
représentants de F, G respectivement. On peut donc poser
F+G=AD +BC
BD et F×G=AC BD .