Le problème de Cauchy. Résultats fondamentaux.

chapitre 1
1
Le problème de Cauchy. Résultats fondamentaux.
1. Notion de solution maximale. Problème de Cauchy.
1.1 Forme normale d’une équation différentielle y’ = f(x ,y).
On étudie ici les équations différentielles (ou systèmes d’équations) de la
forme: y’ = f(x,y) (E) (forme normale) où f est une fonction continue sur un
ouvert U⊂r x rn , à valeurs dans rn et y une fonction de classe C1 sur un
intervalle de r à valeurs dans rn .
• Exercice: Vérifier que si f est de classe Cp, toute solution de y’ = f(x,y) est de
classe Cp+1. Exprimer les dérivées y(k), pour k≤p+1 en fonction des dérivées
partielles de f et de y.
Forme normale des équations et des systèmes d’ordre supérieur:
Une équation d’ordre n : y(n) = F(t, y(t), y’(t), .... y(n-1)) où y est une fonction de
classe Cn à valeurs dans rp se ramène à un système d’ordre 1.
Pour cela on associe Y =
[]
yy yn ,',,()−1 à la fonction y, ce qui définit une
fonction à valeurs dans rnp qui est solution d’un système Y’ = G(t, Y) ssi y
vérifie le système d’ordre n précédent.
Exemple: Considérons l’équation x x x x"(²)'+=µ −1 (V) (équation de Van der
Pol). Associons à toute fonction x(t) deux fois dérivable, la fonction
vectorielle X(t) = (x(t), x’(t)).
Il est immédiat que x(t) est une solution de (V) ssi X(t) vérifie le système du
premier ordre:
Xt
Xt
Xt
Xt xX t
'()
'()
()
() ( ²). ()
1
2
2
12
1
=
=− −µ −
1.2 Solutions maximales et solutions globales.
définitions: on dit qu’une solution de (E), définie sur un intervalle I est une
solution maximale de (E) si elle n’admet pas de prolongement à un intervalle
contenant strictement I .
Dans le cas où l’ouvert de définition de f est de la forme J x U’ où J est un
intervalle ouvert de r et U’ est un ouvert de rn , on dit qu’une solution est une
solution globale si elle est définie sur l’intervalle J.

chapitre 1
2
illustrations: y’ = 1 + y² n’a pas de solution globale... alors que toute solution
maximale d'une équation linéaire y’ = a(x)y + b(x) est une solution globale (ie:
définie sur Da ∩ Db).
Théorème:
Toute solution de (E) se prolonge en une solution maximale au moins.
dém: [Dem] ou [Schwartz]. C’est une conséquence facile du lemme de Zorn.
Sous les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz nous montrerons ce
résultat plus directement.
1.3 Equation fonctionnelle associée à un problème de Cauchy.
La remarque qui suit est essentielle.
Soit U un ouvert de r x rm et f: U → rm, une fonction continue.
Une fonction y(t) de classe C1, définie sur un intervalle contenant t0 est solution
du problème de Cauchy (E0) yfty
yt y
'(,)
()
=
=
00
, ssi y t y f u y u du
t
t
() (,())=+
∫
0
0
.
2. Notion de cylindre de sécurité.
Soient C = [t0 - T, t0 + T] x B
_
(y0, R) un voisinage compact de (t0, y0) contenu
dans U, M un majorant de f sur C et y(t) une fonction continue, définie sur
l’intervalle I = [t0 - T, t0 + T] et à valeurs dans la boule fermée B
_
(y0, R).
Posons T(f)(t) = y f u y u du
t
t
0
0
+∫(,()) .
Comme Tf t y Mt t()()−≤−
00
il suffit que l’on ait MT ≤ R pour que T(f)
soit définie sur l’intervalle I et que son graphe soit contenu dans C.
Cette remarque nous conduit introduire la notion très utile de cylindre (ou
tonneau ou...) de sécurité
On dit que C est un cylindre de sécurité pour le problème de Cauchy (E0) si la
condition T≤R
Mest remplie , M étant un majorant de f sur C.

chapitre 1
3
• Pour toute fonction f continue définie sur un voisinage de (t0, y0), il existe des
cylindres de sécurité pour le problème (E0).
Il suffit en effet de prendre un cylindre [t0-T0, t0+T0] x B
_
(y0, R) contenu
dans U, sur lequel f est bornée par M et de choisir T = inf(T0, R/M). Le
cylindre C ainsi obtenu est un cylindre de sécurité pour (E0).
• Si C est un cylindre de sécurité pour (E0), l'opérateur T transforme toute
fonction continue sur I = [t0-T, t0+T], dont le graphe est contenu dans C, en
une fonction continue sur I dont le graphe est aussi contenu dans C.
• En particulier toute solution de (E0) définie sur I (qui est donc invariante par
T) a son graphe contenu dans C.
• Lorsque ϕ0(t) est définie sur I, la relation ϕn+1(t) = y f u u du
n
t
t
0
0
+∫(, ())ϕ
permet de construire une suite de fonctions qui sont toutes définies sur I, ce
qui apparaîtra essentiel dans la démonstration du théorème de Cauchy-
Lipschitz.

chapitre 1
4
3. Le théorème de Cauchy-Lipschitz.
On dit que f est k-lipschitzienne en y ssi fty ftz ky z(, ) (, )−≤− pour (t,y),
(t,z) dans U. On dit que f est localement lipschitzienne en y, si tout point de U
admet un voisinage sur lequel f est lipschitzienne en y.
Cette propriété de la fonction f, supposée par ailleurs continue, assure
l’existence et l’unicité d’une solution maximale du problème de Cauchy. Nous
verrons (chapitre 2) que sous la seule hypothèse de continuité de f, l’existence
d’une solution maximale est assurée, sans qu’il n'y ait nécessairement unicité.
Remarquons qu’il existe des classes d’équations différentielles y’ = F(t, y), pour
lesquelles chaque problème de Cauchy admet une solution et une seule sans que
F ne soit nécessairement localement lip en y. C’est le cas par exemple des
équations à variables séparables (de la forme y’ = f(t)g(y) = F(t, y), f et g
continues).
3.1 Etude locale.
Gardons les notations du paragraphe précédent.
Théorème 3.1: (de Cauchy - Lipschitz, existence et unicité locales)
Si f est lipschitzienne en y, si C est un cylindre de sécurité pour le problème
(E0), il existe une solution de (E0) définie sur I = [t0 - T, t0 + T] ,et une seule.
démonstration: prouvons d’un même jet le théorème 3.1 et le théorème
d’existence et de continuité en fonction des paramètres...
problème avec paramètre: Soit f : (t,y, λ) ∈ U x Λ ⊂ r x rn x Λ → f(t, y,
λ) ∈ rn continue, K-lipchitzienne en y (K indépendant de t et λ)), Λ étant
localement compact.
Notons (Eλ) le problème de Cauchy yt ftyt
yt y
'( ) ( , ( ), )
()
=
=
λ
00
, λ∈ Λ.
Théorème 3.2: continuité de la solution dépendant d’un paramètre.
• Il existe un compact [to-T,to+T] x B
_
(yo, r) x Λ0 , tel que pour tout λ ∈Λ0, le
cylindre C = [to-T,to+T] x B
_
(yo, r) soit un cylindre de sécurité pour (Eλ).
• la fonction (t, λ)→ yλ(t) , où yλ est la solution du problème (Eλ) sur I, est une
fonction continue sur C.

chapitre 1
5
•
démonstration:
1.La méthode du point fixe de Picard: [Schwartz] ,[Dem] [Z & Q] etc...
• (t0, y0, λ0) admet un voisinage compact [to-T’,to+T’] x B
_
(yo, r) x Λ0 sur lequel
f est bornée. En choisissant T= inf(T’, r/M), C est un cylindre de sécurité pour
tous les problèmes (Eλ).
• Posons: Φλ(y) (t) = y f u y u du
t
t
0
0
+∫(,(), )λ, ce qui définit un opérateur
fonctionnel de l’espace E des fonctions continues de I dans rm dans lui-
même.
• Φλ admet une itérée contractante pour la norme uniforme.
Φλ(y) (t) - Φλ(z) (t) = f u y u f u z u du
t
t
(,(), ) (,(), )λλ−
∫
0
φφ
λλ
() ()
( )() ()()
22
yt zt−≤Kyuzudu
t
t
φφ
λλ
()() ()()−
∫
0
≤−
∫∫
Kyszsdsdu
t
u
t
t
²()()
00
≤−
Kyt zt ²() ()
2.
Une récurrence facile montre que: φφ
λλ
() ()
( )() ( )()
nn
yt zt−≤
K
nyt zt
n
!() ()−
• On en déduit, puisque E est un espace de Banach pour la norme uniforme, que
pour tout λ∈Λ, Φλ admet un point fixe unique yλ et que l’application λ
→yλ, est continue sur Λ0.
• Pour en déduire la continuité de (t, λ)→ y
λ(t) sur I x Λ0, écrivons:
yt yu yt yu yu yu
λµ λλ λ µ
() () () () () ()−≤−+− et le résultat devient
évident puisque le second terme est majoré indépendamment de u par
yy
λµ
−∞.
2. Nous donnerons une autre démonstration du théorème de Cauchy Lipschitz
faisant intervenir les fonctions d’Euler dans le chapitre 2.