espaces vectoriels

1
2 Structure d'espace vectoriel
3
1. Structure d'espace vectoriel
1
ESPACES VECTORIELS
2
Elsa Pagnoud
2014-2015
3
Structure d'espace vectoriel
Dénition
Exemples
Règles de calcul
Sous - espaces vectoriels
Dénition
Intersection de sous-espaces
vectoriels
Sous-espace vectoriel
engendré par une famille de
vecteurs
Familles de vecteurs particulières
Famille libre, liée
Famille génératrice
4
5
Base d'un espace vectoriel
Espace vectoriel de dimension
nie
Notion de dimension,
existence de bases
Dimension d'un sous-espace
vectoriel
Rang d'une famille de
vecteurs
Familles échelonnées
Somme de sous-espaces
vectoriels
Somme et somme directe
Supplémentaire
En dimension nie
4 Structure d'espace vectoriel
Structure d'espace vectoriel
Et :
Dénition 1 (Suite)
Une loi externe (entre un vecteur de E et un scalaire de K),
notée •, vériant : ∀~u , ~v , w~ ∈ E , ∀λ, µ ∈ K,
1 λ•~
u∈E
2 λ • (µ • ~
u ) = (λ × µ) • ~u (associativité des scalaires)
3 (λ + µ) • ~
u = λ • ~u ⊕ µ • ~u (distributivité des vecteurs pour •)
4 λ • (~
u ⊕ ~v ) = λ • ~u ⊕ λ • ~v (distributivité des scalaires pour •)
5 1•~
u = ~u (1 est élément neutre pour •)
5 Structure d'espace vectoriel
1.2. Exemples
Exemples : les ev usuels
1 L'ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace,
2 (Rn , +, ·) : le R-ev des vecteurs à n coordonnées réelles,
3 (R[X ], +, ×) les polynômes à coecients réels forment un
R-ev,
4 (C[X ], +, ×) les polynômes à coecients complexes forment
un R-ev ou un C-ev,
5 F(I , K) = {f : I → K application} est un K-ev pour les lois +
et · .
7 Sous - espaces vectoriels
Sous - espaces vectoriels
∀~u , ~v ∈ F ,
~u + ~v ∈ F
∀~u ∈ F , ∀λ ∈ K,
λ~u ∈ F
Remarque
Cela fait de (F , +, ·) un espace vectoriel (tous les points de la
dénition 1 sont vériés car vrais dans E ).
En pratique
Pour montrer qu'un ensemble (F , +, ·) est un espace vectoriel, on
montre que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel déjà
connu :
F
⊂E
sev de E
⇐⇒
(
0E
∈ F (ou bien, F
∀λ ∈ K, ∀~u , ~v ∈ F ,
est non vide)
λ~u + ~v ∈ F
6
1.3. Règles de calcul
Dans la suite on note λ · ~u au lieu de λ • ~u , et + au lieu de ⊕.
Propriété 1
Soit (E , +, ·) un K-ev. Alors ∀~u ∈ E , ∀λ, µ ∈ K,
1 0·~
u = 0E
2 λ · 0E = 0E
3 (−1) · ~
u = −~u
4 (λ − µ) · ~
u = λ · ~u − µ · ~u
5 λ·~
u = 0E ⇐⇒ λ = 0 ou ~u = 0E
8 Sous - espaces vectoriels
2. Sous - espaces vectoriels
2.1. Dénition
Dénition 2
Soit (E , +, ·) un K-ev, et F une partie non vide de E .
F est un sous-espace vectoriel de E si F est stable par addition et
multiplication externe :
1.1. Dénition
Dénition 1
On appelle K-espace vectoriel (ou espace vectoriel sur K) tout
ensemble E muni de deux lois ou opérations :
Une loi interne (entre deux vecteurs de E ), notée ⊕, vériant :
~ ∈ E,
∀~u , ~v , w
1 ~
u ⊕ ~v ∈ E (loi interne)
2 (~
u ⊕ ~v ) ⊕ w~ = ~u ⊕ (~v ⊕ w~ ) (loi associative)
3 ~
u ⊕ ~v = ~v ⊕ ~u (loi commutative)
4 E a un élément neutre noté 0E ou ~
0 : ∀~u ∈ E , ~u ⊕ 0E = ~u
5 tout élément possède un opposé qu'on note −~
u:
∀~u ∈ E , ~u ⊕ (−~u ) = 0E = ~0
Exemple 1
1 Kn [X ] = {P ∈ K[X ], deg(P ) ≤ n } est un sev de K[X ].
2 Par contre An = {P ∈ K[X ], deg(P ) = n } n'est pas un espace
vectoriel : sinon ce serait un sev de K[X ].
Mais X n ∈ An , −X n − 1 ∈ An et X n + (−X n + 1) = 1 ∈/ An
(ou alors : il ne contient pas 0).
3 C 0 (R, R) (fonctions continues) est un sev de F(R, R).
4 Le plan vectoriel P = {(x , y , z ) ∈ R3 , x + y + 2z = 0} est un
sev de R3 .
5 Soit ~
u ∈ E.
K · ~u = {k · ~u , k ∈ K} est appelée droite vectorielle engendrée
par ~u , c'est un sev de E . C'est l'ensemble des vecteurs
colinéaires à ~u .
9
10 Sous - espaces vectoriels
Sous - espaces vectoriels
2.3. Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vec-
2.2. Intersection de sous-espaces vectoriels
teurs
Propriété 2
Si F et G sont deux sev d'un K-espace vectoriel E , alors F ∩ G est
un sev de E .
Remarque
En itérant le procédé, l'intersection d'une famille nie
n
T
(Fi )i =1..n de sev de E est un sev de E . On note
Fi .
i =1
En général,la réunion
de deux
sev n'est pas un sev.
Exemple : R · ~i ∪ R · ~j ne contient pas ~i + ~j .
L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à p
équations et n inconnues peut être interprété comme
l'intersection de p sev de Rn , c'est donc un sev de Rn .
Familles de vecteurs particulières
3. Familles de vecteurs particulières
3.1. Famille libre, liée
Dans la suite, on ne notera plus les vecteurs avec des èches.
Dénition 5
Soient E un K-ev et V = {v1 , v2 , . . . , vn } une famille de n vecteurs
de E . On dit que V est libre si :
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn = 0E ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
Une famille non libre est dite liée.
Remarque
V est liée signie qu'il existe des scalaires λ1 , . . . , λn non tous nuls
tels que λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn = 0E .
Propriété 4
V est liée si et seulement si l'un des vecteurs de V est CL des
autres vecteurs de V .
Familles de vecteurs particulières
6
Dans F(R, R), {ch, sh, exp} est une famille liée car
ch + sh = exp.
Remarque
Une famille de deux vecteurs est libre si et seulement si ces vecteurs
ne sont pas colinéaires, c'est faux à partir de 3 vecteurs.
Propriété 5
Toute famille extraite d'une famille libre est libre,
Toute famille contenant une famille liée est liée.
On peut le reformuler en :
Toute sous-famille d'une famille libre est libre,
Toute sur-famille d'un famille liée est liée.
On se place dans un K-ev E .
Dénition 3
Si {~v1 , ~v2 · · · , ~vn } est une famille de n vecteurs d'un K-ev E , et
λ1 , λ2 , · · · , λn sont n scalaires de K, alors le vecteur
λ1~v1 + λ2~v2 + · · · + λn~vn s'appelle une combinaison linéaire (CL)
des vecteurs ~v1 , · · · , ~vn .
Dénition 4
Soit V = {~v1 , ~v2 · · · , ~vn } une famille de vecteurs. L'ensemble des
combinaisons linéaires des vecteurs de cette famille est un
sous-espace vectoriel de E , appelé sev engendré par V et noté
Vect(V).
Vect(V) =
( n
X
k =1
λi ~vi ,
λi ∈ K,
)
i ∈ {1, · · · , n}
13 Familles de vecteurs particulières
2
Remarque
Dans le cas où A est une partie non vide de E (peut-être innie),
on dénit Vect(A) comme étant le plus petit sev contenant A.
Exemple 2
1 La droite vectorielle : si ~
u 6= ~0, K · ~u = Vect(~u ) est le sev
engendré par un seul vecteur ~u .
2 Le plan vectoriel : si ~
u et ~v ne sont pas colinéaires, alors
Vect(~u , ~v ) est un plan vectoriel.
Vect(~u , ~v ) = {λ~u + µ~v , λ ∈ K, µ ∈ K}.
3 Dans K[X ], l'ensemble des polynôme de degré ≤ 2 est
engendré par 1, X et X 2 :
Vect({1, X , X 2 }) = {a + bX + cX 2 , a, b, c ∈ K} = K2 [X ].
3
Dans R3 , on pose ~u1 = (1, 0, 2), ~u2 = (0, 1, −1) et
~u3 = (2, 0, 3). Pour savoir si la famille {~u1 , ~u2 , ~u3 } est libre, il
faut résoudre :


α + 2γ = 0
α~u1 + β~u2 + γ~u3 = ~0 ⇐⇒ β = 0


2α − β + 3γ = 0
Ce système a pour unique solution α = β = γ = 0 donc la
famille est libre.
16 Familles de vecteurs particulières
3.2. Famille génératrice
Dénition 6
Soit E un K-ev. Une famille {v1 , . . . , vn } de vecteurs de E est
génératrice de E si E = Vect(v1 , . . . , vn ).
Autrement dit, tout élément de E est une combinaison linéaire des
vecteurs v1 , . . . , vn :
∀v ∈ E ,
15
Dans R3 , la famille {(|1, −{z2, 3}), (−
5, 8, −1), (1, −1, −4)}
| {z } | {z }
v1
on pose ~i = (1, 0) et ~j = (0, 1). La famille {~i ,~j } est libre car :
λ~i + µ~j = ~0 ⇒ (λ, µ) = (0, 0) ⇒ λ = µ = 0.
on pose ~u = (3, 6) et ~v = (1, 2). La famille {~u , ~v } est liée car
~u = 3~v donc ~u − 3~v = ~0 : il existe une combinaison linéaire
nulle à coecients non tous nuls.
2
12
Propriété 3
Vect(V) est le plus petit sev de E contenant V .
Si A est une partie d'un sev F , alors Vect(A) ⊂ F .
14 Familles de vecteurs particulières
Exemple 3
1 Dans R2 :
1
11 Sous - espaces vectoriels
∃λ1 , . . . , λn ∈ K,
v = λ1 v1 + . . . + λn vn .
Exemple 4
{~i ,~j , ~k } est une famille génératrice de R3 car si (x , y , z ) ∈ R3 ,
(x , y , z ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) = x~i + y~j + z ~k .
{1, X , X 2 , . . . , X n } est génératrice de Rn [X ]
(P (X ) = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + an X n ).
Mais {1, X , 2X , X 2 , . . . , X n } aussi !
(P (X ) = a0 + a1 X + 0 × 2X + a2 X 2 + . . . + an X n ).
2X semble "de trop" → famille génératrice minimale ?
4
5
v2
v3
est-elle
 libre ?  
   
1
−5
1
0




a −2 + b 8 + c −1 = 0 ⇐⇒
3
−1
−4
0

(

=0
a − 5b + c
a = 3b
−2a + 8b − c = 0 ⇐⇒ · · · ⇐⇒

c = 2b

3a − b − 4c = 0
Par exemple pour b = 1, 3v1 + v2 + 2v3 = ~0 : famille liée.
Que dire d'une famille d'un K-ev E contenant deux fois le
même vecteur ? d'une famille contenant 0E ?
Dans F(R, R), {cos, sin} est une famille libre car :
λ cos +µ sin = 0̃ ⇐⇒ ∀x ∈ R, λ cos(x ) + µ sin(x ) = 0.
On peut donc choisir les x qui nous arrangent : x = 0 donne
λ = 0, puis x = π2 donne µ = 0.
17 Familles de vecteurs particulières
18
3.3. Base d'un espace vectoriel
Dénition 7
Une famille de vecteurs d'un K-espace vectoriel E est une base de
E si elle est libre et génératrice de E .
Exemple 5
1
2
Dans Rn , la famille
   
0

 1


  

0 1
  
B = 0 0 , · · ·

 ..   .. 


. .



 
0 

0

 

0
, 
 .. 

 . 



est une
0 0
1
base. On l'appelle base canonique de Rn . Elle comporte n
éléments.
La famille {1, X , X 2 , X 3 , . . . , X n } est la base canonique de
Rn [X ]. Elle comporte n + 1 éléments.
19 Familles de vecteurs particulières
Familles de vecteurs particulières
Théorème 1
B = {e1 , . . . , en } est une base de E si et seulement si tout élément
de E s'écrit de manière unique CL des vecteurs e1 , . . . , en :
∀v ∈ E , ∃!(α1 , . . . , αn ) ∈ Kn ,
v=
n
X
k =1
αk ek .
Les scalaires α1 ,
...,α
n sont les coordonnées de v dans la base B .
α1
.
On note [v ]B = 
 .. .
αn
Exemple 6
1
Dans R2 [X ], P = 2X 2 − 1 s'écrit
canonique B = {1, X , X 2 }.
2
Dans R2 : pour montrer que B0 = {(1, 1), (−1, 2)} est une
base, on peut chercher les coordonnées d'un vecteur
quelconque
dans cette
base : (
x = a 1 + b −1 ⇐⇒ x = a − b
⇐⇒
y
1
2
y = a + 2b
(
a = 2x3+y
.
· · · ⇐⇒
b = y −3 x
Il y a bien unicité
ce qui prouve que B0 est
2x +y des coordonnées,
x
3
une base : y
= y−
x
B0


−1
[P ]B =  0 
2
20 Espace vectoriel de dimension nie
3
Remarque
dans la base
Espace vectoriel de dimension nie
Théorème 2
Soit E 6= {0E } un K-ev de dimension nie. Alors :
1 de toute famille génératrice de E on peut extraire une base de
E
2 (Théorème de la base incomplète) Toute famille libre de E
peut être complétée en une base de E .
Propriété 6 (Corollaire)
Tout espace vectoriel de dimension nie, non nul, admet une base.
Théorème 3
Soit E un K-ev. S'il existe une base de E ayant n éléments, alors
toutes les bases de E ont le même nombre d'éléments n.
Dans ce cas, E est de dimension nie et la dimension de E est
dim(E ) = n, le nombre d'élément de n'importe quelle base de E .
Par convention, dim({0E }) = 0.
Espace vectoriel de dimension nie
Un espace vectoriel peut avoir une innité de base. Ont-elles
quelque chose en commun ?
22 Espace vectoriel de dimension nie
Exemple 8
1 dim R2 = 2, dim R3 = 3, plus généralement dim Rn = n .
2 Rn [X ] est de dimension n + 1.
Propriété 7 (Corollaires)
Dans un ev de dimension nie n :
1 toute famille libre a au plus n vecteurs,
2 toute famille génératrice a au moins n vecteurs,
3 toute famille libre de n éléments est une base,
4 toute famille génératrice de n éléments est une base,
5 toute famille ayant au moins n + 1 éléments est liée.
Application :
si la dimension d'un ev E est connue et vaut n, pour montrer
qu'une famille comportant n éléments est une base de E , il sut de
montrer qu'elle est libre OU génératrice.
25 Espace vectoriel de dimension nie
4.2. Dimension d'un sous-espace vectoriel
Propriété 8
Soit F un sous-espace vectoriel d'un K-espace vectoriel E . Alors :
dim(F ) ≤ dim(E ),
si dim(F ) = dim(E ) alors F = E ,
si F est de dimension 1 alors c'est une droite vectorielle,
si F est de dimension 2 alors c'est un plan vectoriel.
Propriété 9 (Corollaire)
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E . Alors :
si F ⊂ G alors dim F ≤ dim G
si F ⊂ G et dim F = dim G alors F = G .
Exemple 9
Listons tous les sev de R3 :
dim = 0 : {(0, 0, 0)}
dim = 1 : les droites vectorielles Vect(~u ), ~u 6= ~0
dim = 2 : les plans vectoriels Vect(~u , ~v ), ~u et ~v non colinéaires
dim = 3 : R3 tout entier
... c'est tout !
21
4. Espace vectoriel de dimension nie
4.1. Notion de dimension, existence de bases
Dénition 8 (Dimension nie)
Un K-espace vectoriel E est de dimension nie s'il possède une
famille génératrice nie. Sinon, il est dit de dimension innie.
Exemple 7
Rn , Rn [X ] (l'ensemble des polynômes de degré ≤ n) sont de
dimension nie.
R[X ], C[X ], F(R, R) sont de dimension innie.
23 Espace vectoriel de dimension nie
24
Exercices :
1
2
3
4
Montrer que B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} est une base de
R3 , et déterminer les coordonnées de (3, −2, 5) dans cette
base.
Montrer que B = {1, (X − 1), (X − 1)2 , (X − 1)3 } est une
base de R3 [X ].
Montrer que
F = {(x , y , z , t ) ∈ R4 , x + y + z + t = 0 et x + 3y − t = 0}
est un sev de R4 , en déterminer une base et sa dimension.
Dans E = C ∞ (R, R), montrer que
F = {f ∈ E , f + f 0 + f 00 = 0} es de dimension nie.
Déterminer une base de F .
26 Espace vectoriel de dimension nie
4.3. Rang d'une famille de vecteurs
Dénition 9
Soit F = {v1 , . . . , vn } une famille de vecteurs d'un K-ev E . Le rang
de F , noté rg(F ), est la dimension de Vect(F).
rg(F) = dim(Vect(F))
Propriété 10
rg ({v1 , . . . , vp }) = p
⇐⇒ {v1 , . . . , vp }
est libre.
Propriété 11
Soit F = {v1 , . . . , vn } une famille de vecteurs de E . Alors Vect(F)
(donc rg(F)) reste inchangé si on eectue sur la famille F l'une
des trois opérations élémentaires suivantes :
1 changer l'ordre des éléments,
2 multiplier un élément par un scalaire non nul,
3 ajouter à un élément une combinaison linéaire des autres.
27
Espace vectoriel de dimension nie
Remarque
Ce sont les opérations permises par la méthode du pivot de Gauss.
Exemple 10
Donner le rang des familles suivantes :
1 Dans R3 , F = {(2, 1, 0), (1, 1, 0), (0, −1, 1)}.
2 Dans R[X ], P = {−2, X 2 , 3X + 1, X 2 − 1}.
28 Espace vectoriel de dimension nie
4.4. Familles échelonnées
Dénition 10
Soit E un K-ev de dimension nie n, et B = {e1 , . . . , en } une base
de E . Une famille {v1 , . . . , vn } est dite échelonnée relativement à la
base B si les coordonnées des vecteurs v1 , . . . , vn dans la base B
sont de la forme :
v1
v2 . . . vm 
vm+1 . . . vp
   
 
0.
0
?.
?.
?.
.
 ... 
 ..  
 ...   ... 
.




.
. .
?  . 
 ... 
   .. 
 ..   . 
 .. 
 ..  ?
0  .. 

    . . .  .   .  . . .  .. 

? 0
 ..   .. 
 ... 
 ..   .. 
   .. 
 .. 
0  . 
. .
.
 ..   .. 
 ..   .. 
 .. 
.
.
.
.
0
0
0
0
0
représente un réel quelconque ; on passe d'un vecteur au suivant
en augmentant le nombre de 0 situé en bout de ses coordonnées.
?
Somme de sous-espaces vectoriels
5. Somme de sous-espaces vectoriels
5.1. Somme et somme directe
Dénition 11 (Somme et somme directe de deux sev de E )
Soient F et G deux sev d'un ev E .
L'ensemble H = {uF + uG , xF ∈ F , xG ∈ G } est un sev de
E , contenant F et G , et noté H = F + G . On dit que c'est le
sous-espace somme de F et G .
La somme F + G est dite directe lorsque F ∩ G = {0E }.
On note F ⊕ G .
Propriété 13
F + G = Vect(F ∪ G ), donc F + G est le plus petit sev engendré
par les parties F et G .
Somme de sous-espaces vectoriels
5.2. Supplémentaire
Dénition 12
Soit E un K-ev.
Deux sev F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si
E = F ⊕ G.
(c'est-à-dire, F + G = E et F ∩ G = {0E }).
Remarque
Un sev a une innité de supplémentaires donc
F ⊕ G = F ⊕ H ; G = H.
31 Somme de sous-espaces vectoriels
Théorème 4
Si F et G sont deux sev d'un ev E , la somme F + G est directe si
et seulement si tout élément de F + G s'écrit de façon unique
comme somme d'un élément de F et d'un élément de G .
29 Espace vectoriel de dimension nie
30
Propriété 12
Les vecteurs non nuls d'une famille échelonnée forment une famille
libre .
Méthode des zéros échelonnés :
Pour obtenir le rang d'une famille de vecteurs F , on échelonne la
famille par des opérations élémentaires qui conservent le rang.
Le nombre de vecteurs non nuls de la famille échelonnée donne le
rang de F , de plus ces vecteurs fournissent une base de Vect(F).
Exemple 11
1 Dans R4 , donner rg({(1, 1, 0, −1), (−1, 1, 1, 0), (0, 2, 1, −1)}
et une base de Vect(F).
2 Dans R3 [X ], si P1 = X 3 + X 2 − X + 1, P2 = 3X 2 − 2X + 2,
P3 = 2X 3 + X 2 + X − 1 et P4 = 2X 2 + 3X − 3, donner
rg(P1 , P2 , P3 , P4 ) et une base de Vect(P1 , P2 , P3 , P4 ).
32 Somme de sous-espaces vectoriels
33
Dans R3 , les deux plans vectoriels bleus ne sont pas en somme
directe car le vecteur bleu se décompose de deux manières
diérentes selon cette somme (en rouge, ou en violet).
Exemple 12
1
2
3
R2 = R~i ⊕ R~j = Vect((1, 0)) ⊕ Vect((0, 1)).
Dans R3 , si
P1 = {(x , y , z ) ∈ R3 , z = 0} = {(x , y , 0), x ∈ R, y ∈ R} et
P2 = {(x , y , z ) ∈ R3 , x = 0} = {(0, y , z ), y ∈ R, z ∈ R},
alors R3 = P1 + P2 mais la somme n'est pas directe.
Dans E = F(R, R), P = {f : R → R, f paire} et
I = {f : R → R, f impaire} vérient E = P ⊕ I .
Pour l'exemple 2, voir illustration diapo suivante.
34 Somme de sous-espaces vectoriels
5.3. En dimension nie
Théorème 5 (Formule de Grassman)
Soit E un K-ev de dimension nie, F et G deux sev de E . Alors
dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G ).
En particulier, si F et G sont en somme directe alors
35 Somme de sous-espaces vectoriels
Propriété 15 (Existence de supplémentaires)
Dans un ev de dimension nie, tout sev F admet des
supplémentaires. De plus si dim(F ) = p alors tout supplémentaire
de F est de dimension n − p.
Exercices :
dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).
1
Propriété 14 (Corollaire)
Si BF est une base de F , BG une base de G et F et G sont en
somme directe, alors BF ∪ BG est une base de F ⊕ G .
Si BF ∪ BG est une base de E alors F ⊕ G = E .
2
F = {(x , y , z ) ∈ R3 , x + y − z = 0} et
G = {(2a, 3a, −12a), a ∈ R}. Montrer que F ⊕ G = R3 .
Dans R5 , déterminer le rang et un supplémentaire de
V = Vect({v1 , v2 , v3 }) où
v1 = (1, 2, −1, 0, −1), v2 = (2, 1, 1, 1, 1) et v3 = (3, 2, 0, 1, 2).
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