La Programmation Linéaire : Cours, Exercices corrigés et Etude de

La Programmation Lin´eaire :
Cours, Exercices corrig´es et Etude de cas
Adil Bellabdaoui
adil.bellab[email protected]
www.decision.ma/ensias/
20 novembre 2016

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Chapitre 9
M´ethode de simplexe
9.1 S´ ERIE 15 :
Exo. 15.1 ?forme d’un programme lin´eaire
Montrez que chaque programme lin´eaire en forme standart s’´ecrit en forme ca-
nonique et inversement.
Exo. 15.2 Solutions de base admissible
1. Soit le polygone suivant, d´efini par l’ensemble des points x tels que :
x1+x2≤5
x2+x3≤4
x3≤3
x1, x2, x3≥0
La solution de base associ´ee `a la base (x1;x2;x3) est-elle admissible ?
Exo. 15.3
1. Soit le polygone suivant, d´efini par l’ensemble des points x tels que :
x+2y≤2
y≤3
x, y ≥0
La solution de base associ´ee `a la base (x1;x2) est-elle admissible ?
2. Lister toutes les solutions de base admissibles du programme lin´eaire pr´ec´edent.
Laquelle est optimale pour la fonction objectif max x1+x2? Et pour la fonction
objectif min x1+x2?
Exo. 15.4 Enum´eration de solutions de base
Soit le programme lin´eaire suivant :
Max z= 2x+3y
s.c.3x+2y≤18
4x+3y≤24
x, y ≥0
1. Ecrire ce PL sous forme standard.
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98 CHAPITRE 9. M ´ ETHODE DE SIMPLEXE
2. Enum´erer toutes les solutions de base en indiquant, pour chaque solution,
les variables qui sont dans la base, celles qui sont hors base, et si la solution
est r´ealisable ou non. On d´eterminera ´egalement, pour chaque solution de base
r´ealisable, la valeur de la fonction objectif.
3. Quelle solution optimise la fonction objectif ?
4. Tracer les contraintes et d´eterminer la r´egion des solutions r´ealisables. Indi-
quer sur le graphique o`u sont situ´ees les solutions de base.
Exo. 15.5 Solutions de base d’un PL
Soit le programme lin´eaire suivant en forme standard :
Max z= 5x1+3x2+4x3
s.c.4x1+2x2+4x3+x4= 80
2x1+2x2+3x3+x5= 50
x1+3x2+2x3+x6= 40
x1, x2, x3, x4, x5, x6≥0
La solution S = (19 ; 2 ; 0 ; 0 ; 8 ; 15) est-elle admissible ? est-ce une solution
de base ?
Exo. 15.6 ?Algorithme du simplexe pour un PL `a 2 variables
R´esoudre le programme lin´eaire suivant avec l’algorithme du simplexe :
Max z= 36x+24y
s.c.3x≤16
x+y≤27
2x≤10
x, y ≥0
A chaque it´eration, on fera entrer en base la variable candidate de plus grand
coˆut r´eduit. V´erifier ensuite graphiquement.
Exo. 15.7 Algorithme du simplexe (cas favorable)
Soit le programme lin´eaire (P) suivant :
Max z=x+2y
s.c. x −y≤1
y−x≤1
x, y ≥0
1. R´esoudre (P) `a l’aide de l’algorithme du simplexe : `a chaque it´eration, on
fera entrer en base la variable candidate de plus petit indice.
2. R´esoudre (P) `a l’aide de l’algorithme du simplexe : `a chaque it´eration, on
fera entrer en base la variable candidate de plus grand coˆut r´eduit.
3. V´erifier ensuite graphiquement.
Exo. 15.8 Algorithme du simplexe (cas favorable)
R´esoudre le programme lin´eaire suivant avec l’algorithme du simplexe :