PROBABILITÉ Conditionnement et indépendance 1/2

TERMINALE S & ES
Chapitre: PROBABILITÉ
Conditionnement et indépendance 1/2
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1. Probabilité d’un événement A sachant un événement B
Exemple
Une classe de 35 élèves comporte 19 garçons. Il y a 3 délégués garçons parmi les 4 délégués. On
interroge un élève de la classe au hasard.
a) Quelle est la probabilité que ce soit un garçon délégué ?
b) Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?
c) L’élève interrogé est un garçon, quelle est la probabilité que ce soit un délégué ?
Solution :
Soit D l’événement l’élève est délégué.
Soit G l’événement l’élève est un garçon.
Présentation 1 : à l’aide d’un tableau à double entrée
Délégué Non délégué total
garçon
fille
Total
3
16
19
1
15
16
4
31
35
a) On cherche p(D  G) où D  G = l’élève est un garçon délégué
P(D  G) =
b) On cherche p(G)
P( G) =
c) On cherche
ce qui signifie probabilité de D sachant G = l’élève est un délégué sachant déjà que c’est
garçon
=
Présentation 2 : à l’aide d’un arbre de probabilité (arbre pondéré)
Définition :
Une loi de probabilité P est définie sur l’ensemble E des issues d'une expérience aléatoire. A
et B sont deux événements et P(B)  0.
La probabilité de l’événement A sachant que B s'est réalisé, notée PB(A) est définie par
P(A B)
PB(A) =
p(B)
Conséquence : probabilité de P(A  B)
P(A B)
, on tire P(A  B) = PB(A)  P(B) avec P(B)  0.
p(B)
On a aussi P(A  B) = PA(B)  P(A) avec P(A)  0.
De PB(A) =
2. Propriétés
et
̅̅̅̅̅
3. Autres propriétés
La probabilité d’une feuille est le produit des probabilités indiquées sur les branches qui y
aboutissent.
Exemple précédent : p(D  G) =
La somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.
Exemple précédent : p(G) + p( ̅ ) = 1
Formule des probabilités totales
La probabilité d’un événement associé à plusieurs feuilles est égale à la somme des
probabilités de chacune des feuilles.
Exemple précédent : p(D) = p(G  D) + P(̅ D)
Application :
Une machine fabrique 2% de pièces défectueuses dont 97% sont éliminés par un test. Ce test
n’est pas parfait et élimine aussi 1% des pièces non défectueuses.
Quelle est la probabilité qu’une pièce soit éliminée ?
Indications : D = « la pièce est défectueuse » et T = « le test élimine la pièce »
Donner p(D), pD (T) et p ̅ (T) et construire un arbre pondéré.