1 Définitions, espaces vectoriels de référence

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Fiche de cours
K = R ou C.
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Définitions, espaces vectoriels de référence
1. Définition K = R ou C
Un élément de K est appelé scalaire.
Définition 1 Soit E un ensemble muni de deux lois + (loi d’addition) et ∗ (multiplication par un scalaire).
On dit que E est muni d’une structure d’espace vectoriel s’il vérifie les conditions suivantes:
(a)
•
•
•
•
•
∀u ∈ E, ∀v ∈ E, u + v ∈ E
∀u ∈ E, ∀v ∈ E, u + v = v + u
∀u ∈ E, ∀v ∈ E, ∀w ∈ E, (u + v) + w = u + (v + w)
∃e ∈ Eunique tel que ∀u ∈ E, u + e = e + u = u On note e = 0E .
∀u ∈ E, ∃v ∈ Eunique tel que u + v = v + u = e On note v = −u.
(b)
•
•
•
•
∀u ∈ E, ∀k ∈ K, k ∗ u ∈ E
∀u ∈ E, ∀k ∈ K, ∀k 0 ∈ K, (kk 0 ) ∗ u = k ∗ (k 0 ∗ u) et (k + k 0 ) ∗ u = k ∗ u + k 0 ∗ u
∀u ∈ E, ∀v ∈ E, ∀k ∈ K, k ∗ (u + v) = k ∗ u + k ∗ v
∀u ∈ E, 1 ∗ u = u
−
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés des vecteurs et parfois notés avec une flèche →
u.
L’élément neutre pour + est noté 0E .
2. Espaces vectoriels de référence
(a) K2 , muni de l’addition usuelle et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les couples (x1 , x2 ).
Remarque: K2 = M1,2 (K).
(b) K3 , muni de l’addition usuelle et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les triplets (x1 , x2 , x3 ).
Remarque: Kn = M1,3 (K).
(c) K2 , muni de l’addition usuelle et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les couples (x1 , x2 , . . . , xn ).
Remarque: Kn = M1,n (K).
En particulier K est un espace vectoriel.
(d) L’ensemble Mn,1 (K) des matrices à n lignes et 1 colonne, muni de l’addition des matrices et de la
multiplication par un scalaire,est 
un espace vectoriel;
x1
 x2 
 
les vecteurs sont les matrices  . .
 .. 
xn
(e) L’ensemble Mn (K) des matrices
 carrées d’ordre
a1,1 a1,2 · · ·
 a2,1 a2,2 · · ·
les vecteurs sont les matrices 

···
an,1 an,2 · · ·
(f) L’ensemble Mn,p (K) des matrices
 à
a1,1
 a2,1
les vecteurs sont les matrices 

an,1
n estun espace vectoriel;
a1,n
a2,n 
.

an,n
n lignes et p colonnes
est un espace vectoriel;

a1,2 · · · a1,p
a2,2 · · · a2,p 
.

···
an,2 · · · an,p
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(g) Si I est un intervalle de R, l’ensemble F(I, R) des applications définies sur I à valeurs dans R muni
de l’addition des fonctions et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les applications définies sur I. (Par exemple la fonction x 7→ |x| est un vecteur de
F(R, R)).
(h) L’ensemble C(I, R) des fonctions continues de I dans R muni de l’addition des fonctions et de la
multiplication par un réel est un espace vectoriel.
les vecteurs sont les applications continues définies sur I. (Par exemple la fonction x 7→ |x| est un
vecteur de C(R, R)).
(i) L’ensemble K[X] des polynômes est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les polynômes. (Par exemple X n + 2 et X + 2 sont des vecteurs de K[X] ).
(j) L’ensemble KN des suites d’éléments de K est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les suites (Par exemple (2n )n∈N et la suite (vn ) définie par v0 = 1 et ∀n ∈ N, vn+1 =
√
vn + 2 sont des vecteurs de RN ).
3. Produits d’espaces vectoriels
(a) Si E1 et E2 sont deux espaces vectoriels,
E1 × E2 = {(u, v) où u ∈ E1 , et v ∈ E2 }.
On note (u, v) + (u0 , v 0 ) = (u + u0 , v + v 0 ) et k(u, v) = (ku, kv).
E1 × E2 est un espace vectoriel.
(b) Si (Ei )i∈[[1,n]] est une famille finie d’espaces vectoriels sur K, on appelle produit des espaces Ei ,
Y
l’espace vectoriel F =
Ei = {(x1 , x2 , . . . , xn ), x1 ∈ E1 , . . . , xn ∈ En } muni des lois produits.
i∈[[1,n]]
4. Règles de calcul dans un espace vectoriel
Dans l’espace vectoriel E
unicité de l’élément neutre.
unicité de l’opposé
0.u = 0E et k.0E = 0E
∀u ∈ E, ∀k ∈ K, k ∗ u = 0E ⇒ k = 0K ou u = 0E .
∀u ∈ E, ∀k ∈ K, k(−u) = (−k)u = −ku
5. Notion fondamentale dans un espace vectoriel: la notion de combinaison linéaire
Définition 2 Soient u1 , u2 , · · · , up , p vecteurs de E,
le vecteur u est combinaison linéaire des vecteurs u1 , u2 , · · · , up si et seulement si il existe p scalaires
λ1 , λ2 , · · · , λp tels que u = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λp up .
Théorème 1 Si u1 , u2 , · · · , up sont p vecteurs de E, toute combinaison linéaire de (u1 , u2 , . . . , up ) appartient à E.
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Sous-espaces vectoriels
1. Définition, caractérisations (E, +, .) est un espace vectoriel sur K.
Définition 3 Soit F un sous-ensemble de E, F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ,
muni des mêmes opérations d’addition et de multiplication par un scalaire que E, a la structure d’espace
vectoriel.
Théorème 2 (Caractérisations) Soit F un sous-ensemble de E, F est un sous-espace vectoriel de E
si et seulement si


 F est non vide
(a)
(b)
∀u, v ∈ F, u + v ∈ F


∀u ∈ F, ∀k ∈ K, ku ∈ F
(
F est non vide
∀u, v ∈ F, ∀k ∈ K, u + kv ∈ F
Remarques
• {0E } et E sont des sous-espaces vectoriels de E.
• Un sous espace vectoriel contient toujours l’élément 0E .
• Un sous-espace vectoriel non réduit à {0E } contient une infinité d’éléments.
2. Exemples
∗ Dans K2 , F = {u = (x, y) tels que 2x + 5y = 0},
Cas général: Dans K2 , a et b étant des scalaires fixés, F = {u = (x, y) tels que ax + by = 0}, F est
un sous-espace vectoriel de K2
∗ Dans K3 ,
F = {u = (x, y, z) tels que x + πy + 3z = 0}
Cas général: Dans K3 , a, b et c étant des scalaires fixés,
F = {u = (x, y, z) tels que ax + by + cz = 0}, F est un sous-espace vectoriel de K3
∗ Dans Kn , a1 , a2 , · · · , an étant des scalaires fixés,
F = {u = (x1 , x2 , · · · , xn ) tels que a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0}, F est un sous-espace vectoriel de
Kn
∗ Dans Mp (K), l’ensemble T des matrices triangulaires supérieures est un sous-espace vectoriel de
Mp (K).
∗ Si n ∈ N, L’ensemble Kn [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n est un sous-espace vectoriel
de de K[X].
∗ F = {P ∈ Rn [X], P (4) = 0} est un sous-espace vectoriel de Rn [X]
∗ F = {P ∈ Rn [X], P (4) = 3} e n’est pas un sous-espace vectoriel de Rn [X]
∗ L’ensemble F(I, R) des applications de I dans R est un espace vectoriel sur R (addition des fonctions,
multiplication par un réel)
– l’ensemble C(I, R) des fonctions continues sur I est un sous-espace vectoriel de F(I, R)
– D(I, R) des applications dérivables est un sous-espace vectoriel de C(I, R)
– C ∞ (I, R) est un sous-espace vectoriel de C(I, R)
Exercice de cours Dans E = C ∞ (R),
on considère l’ensemble G = {f ∈ E tels que f 00 − 5f 0 + 6f = 0}.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
∗ L’ensemble RN est un espace vectoriel réel, le sous-ensemble des suites convergentes est un sous-espace
vectoriel de RN
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• le sous-ensemble des suites qui convergent vers 2 n’est pas un sous-espace vectoriel de R .
N
Exercice de cours
Soit F = {u = (un ) telles que ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un }
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de RN
Que penser de G = {u = (un ) telles que ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un + 5n}
• Question fréquemment posée
F étant un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un réel
Pour montrer que F est un espace vectoriel, il suffit de montrer que c’est un sous-espace vectoriel
d’un espace vectoriel de référence.
3. Opérations sur les sous-espaces vectoriels.
(a) Intersection
Théorème 3
L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.
L’intersection de n sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.
L’intersection d’une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel
de E.
Exemple: L’ensemble des solutions d’un système homogène de n équations à p inconnues est un
sous-espace vectoriel de Kp
4 Attention, en général, F ∪ G n’est pas un sous-espace vectoriel de E.
Définition 4 Si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de E,
On dit que F1 et F2 sont en somme directe si F1 ∩ F2 = ∅
(b) Somme
Théorème 4 Si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de E,
l’ensemble H = {u ∈ E/∃(u1 , u2 ) ∈ F1 × F1 tels que u = u1 + u2 }
• H est un sous-espace vectoriel de E.
• Si H 0 est une sous-espace vectoriel de E qui contient F1 et F2 , alors il contient H
Définition 5 H ainsi défini est noté H = F1 + F2 .
(c) Sous-espaces supplémentaires
Définition 6 Si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de E, F1 L
et F2 sont supplémentaires si
et seulement si E = F1 + F2 et F1 ∩ F2 = {0}. On note alors E = F1 F2 .
Théorème 5 Si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de E,
F1 et F2 sont supplémentaires si et seulement si
∀u ∈ E,
il existe u1 ∈ F1 , u2 ∈ F2 uniques tels que u = u1 + u2 .
L
Exemple 1: E = R3 [X], F = Vect(X, X 2 ) et G = Vect(1, X 3 ) on a E = F1 G2
Exemple 2: E = M3 (K), A désigne l’ensemble des matrices antisymétriques
et S l’ensemble des
L
matrices symétriques. Ce sont des sous-espaces vectoriels de E et E = A S.
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Familles finies de vecteurs
Une famille finie de vecteurs est constituée d’une liste ordonnée avec répétition éventuelle de vecteurs.
1. Ensemble des combinaisons linéaires d’une famille finie de vecteurs
Théorème 6 Si E est un espace vectoriel,
u1 , u2 , · · · , up étant p vecteurs de E;
l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs u1 , u2 , · · · , up est un sous-espace vectoriel de E.
Définition 7 L’ensemble G des combinaisons linéaires de u1 , u2 , . . . , up est appelé
le sous-espace vectoriel engendré par (u1 , u2 , · · · , up ),
il est noté G = Vect(u1
, u2 , · · · , up ).


Vect(u1 , u2 , · · · , up ) = α1 u1 + α2 u2 + . . . αp up , où
α1 ∈ K, α2 ∈ K, . . . , αp ∈ K

{z
}
|

aucune contrainte sur les coefficients αi





Théorème 7 si G est un sous-espace vectoriel de E contenant u1 , u2 , . . . , up ,
alors G contient Vect(u1 , u2 , · · · , up ).
Théorème 8 Si F1 = Vect(u1 , u2 , . . . , un ) et F2 = Vect(v1 , v2 , . . . , vp ) alors F1 +F2 = Vect(u1 , u2 , . . . , un , v1 , v2 , . .
Définition 8 Si F est un sous-espace vectoriel de E,
u1 , u2 , · · · , up étant p vecteurs de F ; ils constituent une famille génératrice de F
• si F = Vect(u1 , u2 , · · · , up )
• si ∀u ∈ F ,
il existe p scalaires x1 , x2 , · · · , xp tels que u = x1 u1 + x2 u2 + · · · xp up .
Remarque sur la définition d’une famille génératrice il n’y aucune contrainte sur les scalaires
α1 , α2 , . . . , αp .
Pour montrer qu’un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel, on privilégiera dans la mesure du
possible la démonstration qui consiste à montrer que c’est un Vect.
2. Indépendance linéaire
(a) Définitions
Définition 9 u1 , u2 , · · · , up étant p vecteurs de E, la famille (u1 , u2 , · · · , up ) est une famille libre
de E si et seulement si on a, λ1 , λ2 , . . . , λp désignant p scalaires, l’implication:
(λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λp up = 0 =⇒ λ1 = λ2 = · · · = λp = 0)
Définition 10 u1 , u2 , · · · , up étant p vecteurs de F , la famille (u1 , u2 , · · · , up ) est une famille liée
de F
• si et seulement si ce n’est pas une famille libre
• si et seulement si il existe p scalaires λ1 , λ2 , · · · , λp non tous nuls tels que λ1 u1 + λ2 u2 + · · · +
λp up = 0
Vocabulaire: Au lieu de ‘libres’ on trouve aussi l’expression ‘linéairement indépendants’ et au lieu de
‘liés’, on trouve ‘linéairement dépendants’
(b) Quel est l’intérêt de la notion de famille libre?
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Théorème 9 u1 , u2 , · · · , up étant p vecteurs de F , la famille (u1 , u2 , · · · , up ) est une famille libre
de F si et seulement si
!
p
p
X
X
ai ui =
bi ui =⇒ ∀i ∈ [[1, p]], ai = bi
i=1
i=1
(c) Propriétés
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Toute famille contenue dans une famille libre est libre
toute famille contenant une famille liée est liée
En particulier toute famille contenant le vecteur nul est liée.
Si une famille A est libre, toute famille obtenue par permutation des vecteurs de A est libre.
Si (u1 , u2 , . . . , up ) est une famille libre alors ∀(a1 , a2 , . . . , ap ) ∈ Kp tel que a1 a2 . . . ap 6= 0, la
famille a1 u1 , a2 u2 , . . . , ap up est libre.
vi. La famille (u) est libre si et seulement u 6= 0E
vii. Deux vecteurs forment une famille libre si et seulement si ils ne sont pas colinéaires.
viii. Théorème 10 u1 , u2 , · · · , up étant p vecteurs de F ,
la famille (u1 , u2 , · · · , up ) est une famille liée de F si et seulement l’un des vecteurs de la famille
est combinaison linéaire des autres.
(d) Exemples:
Dans un certain nombre d’exemples, on montre qu’une famille de vecteurs est libre en résolvant un
système linéaire homogène.
• Dans R4 la famille u = (1, 1, 1, 1), v = (1, −1, −1, −1), w = (0, 1, 1, 1)
• Dans M4,1 (K)
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
1
2
 
 

 
Les vecteurs X1 = 
1 , X2 = 2 , X3 = 1 , X4 = 1
4
2
1
1
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
−1
0
 
 
 

Les vecteurs X1 = 
0 , X2 =  0  , X3 = 3 , X4 = 1
0
2
0
0
• Dans Mn,1 (K)
Définition 11 Dans , la famille de matrices colonnes X0 , X1 , . . . , Xp est dite échelonnée si, en
notant ci le nombre de 0 situés sous le dernier coefficient non nul de Xi , on a c0 > c1 > c2 >
. . . > cp ou c0 < c1 < c2 < . . . < cp
Théorème 11 Une famille de matrices colonnes échelonnées est libre
• Dans l’espace des polynômes.
Définition 12 Dans R[X], la famille de polynômes P0 , P1 , . . . , Pp est dite échelonnée en degré
si deg(P0 ) < deg(P1 ) < deg(P2 ) < . . . < deg(Pp )
Théorème 12 Une famille de polynômes échelonnée en degré est libre
• dans l’espace des fonctions: Pour montrer qu’une famille de fonctions est une famille libre, on
peut
i. Se servir de points particuliers
ii. utiliser les dérivées
iii. Utiliser les limites
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Applications linéaires: généralités
E et F sont des espaces vectoriels sur K;
1. Définitions Rappel: Si f est une fonction de E dans F telle que Df = E, on dit que f est une application
de E dans F .
Définition 13 Une application de E dans F est dite linéaire si et seulement si
∀(u, v) ∈ E 2 , ∀k ∈ K, f (u + v) = f (u) + f (v) et f (ku) = kf (u)
Définitions équivalentes:
f est linéaire si et seulement si ∀(u, v) ∈ E 2 , ∀k ∈ K,
f (u + kv) = f (u) + kf (v)
2. Propriétés
• f (0E ) = 0F
• ∀u ∈ E,
f (−u) = −f (u),
• ∀α1 , α2 , · · · , αn scalaires et ∀u1 , u2 , · · · , un éléments de E, on a:
f (α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un ) = α1 f (u1 ) + α2 f (u2 ) + · · · + αn f (un )
3. Applications linéaires à connaı̂tre
(
E →E
•
est linéaire, elle est notée 0L(E) .
u 7→0E
(
E →E
•
est linéaire, elle est notée IE .
u 7→u
(
D(R, R) →F(R, R)
•
est linéaire.
f
7→f 0


 C([a, b], R) →R
Z b
•
est linéaire.

7→
f (t)dt
f
a
(
K →K
• a ∈ K fixé, l’application
est linéaire.
x 7→ax
(
Mp,1 (K) →Mn,1 (K)
• A ∈ Mn,p (K) fixée, l’application
est linéaire.
X
7→AX
Définition 14 Une appplication linéaire de E dans K s’appelle une forme linéaire.
(
Théorème 13 (a) Les seules applications linéaires de K dans K sont les applications:
K
→K
x
7→ax
où
a ∈ K fixé.
(
(b) Les seules applications linéaires de Mp,1 (K) dans Mn,1 (K) sont les applications
Mp,1 (K) →Mn,1 (K)
X
7→AX
où A ∈ Mn,p (K) est fixée.
4. Vocabulaire:
L(E, F ): l’ensemble des applications linéaires de E dans F , l’ensemble des homomorphismes de
E dans F .
L(E): l’ensemble des applications linéaires de E dans E, l’ensemble des endomorphismes de E.
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GL(E, F ): l’ensemble des applications linéaires bijectives de E dans F , l’ensemble des isomorphismes de E dans F .
GL(E): l’ensemble des applications linéaires bijectives de E dans E, l’ensemble des automorphismes de E.
5. Application linéaire et sous-espace vectoriel
Soit f ∈ L(E, F ).
Théorème 14 Si G est un sous-espace vectoriel de E, alors f (G) est un sous-espace vectoriel de F .
De plus si G = Vect(u1 , u2 , . . . , up ) alors f (G) = Vect (f (u1 ), f (u2 ), . . . , f (up )).
Définition 15 Si f est une application linéaire de E dans E, un sous-espace vectoriel G est dit stable
par f si et seulement si f (G) ⊂ G.
6. Injectivité, bijectivité d’une application
Définition 16 Soient A et B deux ensembles et f une application de A dans B
• Si tout élément y de B a au plus un antécedent par f ,
on dit que f est une application injective de A dans B
• Si tout élément y de B a au moins un antécédent par f ,
on dit que f est une application surjective de A dans B
• Si tout élément y de B a exactement un antécedent par f ,
on dit que f est une application bijective de A dans B
Théorème 15 Soit une application f de A dans B
f est injective ⇐⇒ ∀(x, x0 ) ∈ A2 (x 6= x0 =⇒ f (x) 6= f (x0 ))
⇐⇒ ∀(x, x0 ) ∈ A2
f (x) = f (x0 ) =⇒ x = x0 )
7. Noyau et Image
Définition 17 Si f est linéaire de E dans F
• Le noyau de f est l’ensemble, noté Ker(f ), défini par
Ker(f ) = {u ∈ E tels que f (u) = 0}
• L’image de f est l’ensemble, noté Im(f ), défini par
Im(f ) = {v ∈ F tels qu’il existe u ∈ E vérifiant f (u) = v}
Théorème 16 Si f est linéaire de E dans F ,
• Ker(f ) est un sous-espace vectoriel de E. et Im(f ) est un sous-espace vectoriel de F .
• f est injective si et seulement si Ker(f ) = {0}.
• f est surjective si et seulement si Im(f ) = F .
• f est bijective si et seulement si Ker(f ) = {0} et Im(f ) = F .
8. Résolution d’équations linéaires
Soit f ∈ L(E), on résout l’équation f (x) = b d’inconnue x ∈ E, on note S l’ensemble de ses solutions
• Si b ∈
/ Im(f ), S = ∅
• Si b ∈ Im(f ), il existe x0 ∈ E tel que f (x0 ) = b, S = {x0 + u, u ∈ Ker(f )}
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9. Opérations sur les applications linéaires
(a) Somme, produit par un scalaire
Théorème 17 L(E, F ) muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire est un K−espace
vectoriel.
L(E) muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire est un K−espace vectoriel.
(b) Composition
Théorème 18 E, F, G étant trois espaces vectoriels sur K,
si f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G) alors g ◦ f ∈ L(E, G)
On a également Pour toutes applications linéaires f, f1 , f2 de E dans F et g, g1 , g2 de F dans G
g ◦ (α1 f1 + α2 f2 ) = α1 g ◦ f1 + α2 g ◦ f2 et (α1 g1 + α2 g2 ) ◦ f = α1 g1 ◦ f + α2 g2 ◦ f
Théorème 19 Si f est linéaire bijective de E dans F alors f −1 est linéaire bijective de F dans E.
Un résultat à savoir démontrer parfaitement
Proposition 1 Si f et g sont deux endomorphismes de E alors
g ◦ f = 0L(E) ⇐⇒ Im(f ) ⊂ Ker(g)
10. Applications linéaires particulières
E est un espace vectoriel
(a) Homothéties
(
∗
Définition 18 Soit k ∈ K l’homothétie de rapport k est l’application f = kIE définie par
E
→E
u
7→ku
(b) Projections
L
E = F1 F2
Définition19 La projection de E sur F1 de direction F2 (parallèlement à F2 ) est l’application p
→E

E
définie par
u = u1 + u2 7→p(u) = u1
{z
}

 |
(u1 ∈F1 ,u2 ∈F2 )
Propriétés de p
• p est linéaire, Ker(p) = F2 et Im(p) = F1
• p ◦ p = p et F1 = {u ∈ E tels que p(u) = u}.
• IE − p est la projection sur F2 de direction F1 .
Définition 20 Un projecteur de E est un endomorphisme de E tel que p ◦ p = p
L
Théorème 20 Si p est un projecteur alors E = Im(p) Ker(p) et p est la projection sur Im(p) de
direction Ker(p).
(c) Symétries
L
E = F1 F2
Définition21 La symétrie par rapport à F1 de direction F2 (parallèlement à F2 ) est l’application s
→E

E
définie par
u = u1 + u2 7→s(u) = u1 − u2
{z
}

 |
(u1 ∈F1 ,u2 ∈F2 )
Propriétés de s
• s est linéaire bijective de E dans E et s = 2p − IE où p est sur F1 de direction F2 .
• s ◦ s = IE et F1 = Ker(S − IE ) et F2 = Ker(s + IE )
Définition 22 Si s ∈ L(E) telle que s ◦ s = IE , on dit que s est involutive.
Théorème 21 Si s est un endomorphisme involutif alors s est la symétrie par rapport à Ker(s − IE )
de direction Ker(s + IE ).
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