1 Définitions, espaces vectoriels de référence

Ann´ee scolaire 2014/2015 Espaces vectoriels PCSI
Espaces vectoriels
Fiche de cours
K=Rou C.
1 D´efinitions, espaces vectoriels de r´ef´erence
1. D´efinition K=Rou C
Un ´el´ement de Kest appel´e scalaire.
D´efinition 1 Soit Eun ensemble muni de deux lois +(loi d’addition) et ∗(multiplication par un scalaire).
On dit que Eest muni d’une structure d’espace vectoriel s’il v´erifie les conditions suivantes:
(a) • ∀u∈E, ∀v∈E, u +v∈E
• ∀u∈E, ∀v∈E, u +v=v+u
• ∀u∈E, ∀v∈E, ∀w∈E, (u+v) + w=u+ (v+w)
• ∃e∈Eunique tel que ∀u∈E, u +e=e+u=uOn note e= 0E.
• ∀u∈E, ∃v∈Eunique tel que u+v=v+u=eOn note v=−u.
(b) • ∀u∈E, ∀k∈K, k ∗u∈E
• ∀u∈E, ∀k∈K,∀k0∈K,(kk0)∗u=k∗(k0∗u)et (k+k0)∗u=k∗u+k0∗u
• ∀u∈E, ∀v∈E, ∀k∈K, k ∗(u+v) = k∗u+k∗v
• ∀u∈E, 1∗u=u
Les ´el´ements d’un espace vectoriel sont appel´es des vecteurs et parfois not´es avec une fl`eche −→ u.
L’´el´ement neutre pour + est not´e 0E.
2. Espaces vectoriels de r´ef´erence
(a) K2, muni de l’addition usuelle et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les couples (x1, x2).
Remarque: K2=M1,2(K).
(b) K3, muni de l’addition usuelle et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les triplets (x1, x2, x3).
Remarque: Kn=M1,3(K).
(c) K2, muni de l’addition usuelle et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les couples (x1, x2, . . . , xn).
Remarque: Kn=M1,n(K).
En particulier Kest un espace vectoriel.
(d) L’ensemble Mn,1(K) des matrices `a nlignes et 1 colonne, muni de l’addition des matrices et de la
multiplication par un scalaire, est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les matrices 
x1
x2
.
.
.
xn
.
(e) L’ensemble Mn(K) des matrices carr´ees d’ordre nest un espace vectoriel;
les vecteurs sont les matrices 
a1,1a1,2··· a1,n
a2,1a2,2··· a2,n
···
an,1an,2··· an,n
.
(f) L’ensemble Mn,p(K) des matrices `a nlignes et pcolonnes est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les matrices 
a1,1a1,2··· a1,p
a2,1a2,2··· a2,p
···
an,1an,2··· an,p
.
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(g) Si Iest un intervalle de R, l’ensemble F(I, R) des applications d´efinies sur I`a valeurs dans Rmuni
de l’addition des fonctions et de la multiplication par un r´eel est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les applications d´efinies sur I. (Par exemple la fonction x7→ |x|est un vecteur de
F(R,R)).
(h) L’ensemble C(I, R) des fonctions continues de Idans Rmuni de l’addition des fonctions et de la
multiplication par un r´eel est un espace vectoriel.
les vecteurs sont les applications continues d´efinies sur I. (Par exemple la fonction x7→ |x|est un
vecteur de C(R,R)).
(i) L’ensemble K[X] des polynˆomes est un espace vectoriel;
les vecteurs sont les polynˆomes. (Par exemple Xn+ 2 et X+ 2 sont des vecteurs de K[X] ).
(j) L’ensemble KNdes suites d’´el´ements de Kest un espace vectoriel;
les vecteurs sont les suites (Par exemple (2n)n∈Net la suite (vn) d´efinie par v0= 1 et ∀n∈N, vn+1 =
√vn+ 2 sont des vecteurs de RN).
3. Produits d’espaces vectoriels
(a) Si E1et E2sont deux espaces vectoriels,
E1×E2={(u, v) o`u u∈E1,et v∈E2}.
On note (u, v)+(u0, v0)=(u+u0, v +v0) et k(u, v)=(ku, kv).
E1×E2est un espace vectoriel.
(b) Si (Ei)i∈[[1,n]] est une famille finie d’espaces vectoriels sur K, on appelle produit des espaces Ei,
l’espace vectoriel F=Y
i∈[[1,n]]
Ei={(x1, x2, . . . , xn), x1∈E1, . . . , xn∈En}muni des lois produits.
4. R`egles de calcul dans un espace vectoriel
Dans l’espace vectoriel E
unicit´e de l’´el´ement neutre.
unicit´e de l’oppos´e
0.u = 0Eet k.0E= 0E
∀u∈E, ∀k∈K, k ∗u= 0E⇒k= 0Kou u= 0E.
∀u∈E, ∀k∈K, k(−u)=(−k)u=−ku
5. Notion fondamentale dans un espace vectoriel: la notion de combinaison lin´eaire
D´efinition 2 Soient u1, u2,··· , up,pvecteurs de E,
le vecteur uest combinaison lin´eaire des vecteurs u1, u2,··· , upsi et seulement si il existe pscalaires
λ1, λ2,··· , λptels que u=λ1u1+λ2u2+··· +λpup.
Th´eor`eme 1 Si u1, u2,··· , upsont pvecteurs de E, toute combinaison lin´eaire de (u1, u2, . . . , up)ap-
partient `a E.
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2 Sous-espaces vectoriels
1. D´efinition, caract´erisations (E, +, .) est un espace vectoriel sur K.
D´efinition 3 Soit Fun sous-ensemble de E,Fest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si F,
muni des mˆemes op´erations d’addition et de multiplication par un scalaire que E, a la structure d’espace
vectoriel.
Th´eor`eme 2 (Caract´erisations) Soit Fun sous-ensemble de E,Fest un sous-espace vectoriel de E
si et seulement si
(a) 
Fest non vide
∀u, v ∈F, u +v∈F
∀u∈F, ∀k∈K, ku ∈F
(b) (Fest non vide
∀u, v ∈F, ∀k∈K, u +kv ∈F
Remarques
• {0E}et Esont des sous-espaces vectoriels de E.
•Un sous espace vectoriel contient toujours l’´el´ement 0E.
•Un sous-espace vectoriel non r´eduit `a {0E}contient une infinit´e d’´el´ements.
2. Exemples
∗Dans K2,F={u= (x, y) tels que 2x+ 5y= 0},
Cas g´en´eral: Dans K2,aet b´etant des scalaires fix´es, F={u= (x, y) tels que ax +by = 0},Fest
un sous-espace vectoriel de K2
∗Dans K3,
F={u= (x, y, z) tels que x+πy + 3z= 0}
Cas g´en´eral: Dans K3,a,bet c´etant des scalaires fix´es,
F={u= (x, y, z) tels que ax +by +cz = 0},Fest un sous-espace vectoriel de K3
∗Dans Kn,a1,a2,···,an´etant des scalaires fix´es,
F={u= (x1, x2,··· , xn) tels que a1x1+a2x2+··· +anxn= 0},Fest un sous-espace vectoriel de
Kn
∗Dans Mp(K), l’ensemble Tdes matrices triangulaires sup´erieures est un sous-espace vectoriel de
Mp(K).
∗Si n∈N, L’ensemble Kn[X] des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a nest un sous-espace vectoriel
de de K[X].
∗F={P∈Rn[X], P (4) = 0}est un sous-espace vectoriel de Rn[X]
∗F={P∈Rn[X], P (4) = 3}e n’est pas un sous-espace vectoriel de Rn[X]
∗L’ensemble F(I, R) des applications de Idans Rest un espace vectoriel sur R(addition des fonctions,
multiplication par un r´eel)
–l’ensemble C(I, R) des fonctions continues sur Iest un sous-espace vectoriel de F(I, R)
–D(I, R) des applications d´erivables est un sous-espace vectoriel de C(I, R)
–C∞(I, R) est un sous-espace vectoriel de C(I, R)
Exercice de cours Dans E=C∞(R),
on consid`ere l’ensemble G={f∈Etels que f00 −5f0+ 6f= 0}.
Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de E.
∗L’ensemble RNest un espace vectoriel r´eel, le sous-ensemble des suites convergentes est un sous-espace
vectoriel de RN
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•le sous-ensemble des suites qui convergent vers 2 n’est pas un sous-espace vectoriel de RN.
Exercice de cours
Soit F={u= (un) telles que ∀n∈N, un+2 =un+1 +un}
Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de RN
Que penser de G={u= (un) telles que ∀n∈N, un+2 =un+1 +un+ 5n}
•Question fr´equemment pos´ee
F´etant un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un r´eel
Pour montrer que Fest un espace vectoriel, il suffit de montrer que c’est un sous-espace vectoriel
d’un espace vectoriel de r´ef´erence.
3. Op´erations sur les sous-espaces vectoriels.
(a) Intersection
Th´eor`eme 3
L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de Eest un sous-espace vectoriel de E.
L’intersection de nsous-espaces vectoriels de Eest un sous-espace vectoriel de E.
L’intersection d’une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de Eest un sous-espace vectoriel
de E.
Exemple: L’ensemble des solutions d’un syst`eme homog`ene de n´equations `a pinconnues est un
sous-espace vectoriel de Kp
4Attention, en g´en´eral, F∪Gn’est pas un sous-espace vectoriel de E.
D´efinition 4 Si F1et F2sont deux sous-espaces vectoriels de E,
On dit que F1et F2sont en somme directe si F1∩F2=∅
(b) Somme
Th´eor`eme 4 Si F1et F2sont deux sous-espaces vectoriels de E,
l’ensemble H={u∈E/∃(u1, u2)∈F1×F1tels que u=u1+u2}
•Hest un sous-espace vectoriel de E.
•Si H0est une sous-espace vectoriel de Equi contient F1et F2, alors il contient H
D´efinition 5 Hainsi d´efini est not´e H=F1+F2.
(c) Sous-espaces suppl´ementaires
D´efinition 6 Si F1et F2sont deux sous-espaces vectoriels de E,F1et F2sont suppl´ementaires si
et seulement si E=F1+F2et F1∩F2={0}. On note alors E=F1LF2.
Th´eor`eme 5 Si F1et F2sont deux sous-espaces vectoriels de E,
F1et F2sont suppl´ementaires si et seulement si
∀u∈E, il existe u1∈F1, u2∈F2uniques tels que u=u1+u2.
Exemple 1: E=R3[X], F= Vect(X, X2) et G= Vect(1, X3) on a E=F1LG2
Exemple 2: E=M3(K), Ad´esigne l’ensemble des matrices antisym´etriques et Sl’ensemble des
matrices sym´etriques. Ce sont des sous-espaces vectoriels de Eet E=ALS.
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3 Familles finies de vecteurs
Une famille finie de vecteurs est constitu´ee d’une liste ordonn´ee avec r´ep´etition ´eventuelle de vecteurs.
1. Ensemble des combinaisons lin´eaires d’une famille finie de vecteurs
Th´eor`eme 6 Si Eest un espace vectoriel,
u1, u2,··· , up´etant pvecteurs de E;
l’ensemble des combinaisons lin´eaires des vecteurs u1, u2,··· , upest un sous-espace vectoriel de E.
D´efinition 7 L’ensemble Gdes combinaisons lin´eaires de u1, u2, . . . , upest appel´e
le sous-espace vectoriel engendr´e par (u1, u2,··· , up),
il est not´e G= Vect(u1, u2,··· , up).
Vect(u1, u2,··· , up) =  α1u1+α2u2+. . . αpup,o`u α1∈K, α2∈K, . . . , αp∈K
| {z }
aucune contrainte sur les coefficients αi
Th´eor`eme 7 si Gest un sous-espace vectoriel de Econtenant u1, u2, . . . , up,
alors Gcontient Vect(u1, u2,··· , up).
Th´eor`eme 8 Si F1= Vect(u1, u2, . . . , un)et F2= Vect(v1, v2, . . . , vp)alors F1+F2= Vect(u1, u2, . . . , un, v1, v2, . . . , vp)
D´efinition 8 Si Fest un sous-espace vectoriel de E,
u1, u2,··· , up´etant pvecteurs de F; ils constituent une famille g´en´eratrice de F
•si F= Vect(u1, u2,··· , up)
•si ∀u∈F, il existe pscalaires x1, x2,··· , xptels que u=x1u1+x2u2+···xpup.
Remarque sur la d´ efinition d’une famille g´ en´ eratrice il n’y aucune contrainte sur les scalaires
α1, α2, . . . , αp.
Pour montrer qu’un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel, on privil´egiera dans la mesure du
possible la d´emonstration qui consiste `a montrer que c’est un Vect.
2. Ind´ependance lin´eaire
(a) D´efinitions
D´efinition 9 u1, u2,··· , up´etant pvecteurs de E, la famille (u1, u2,··· , up)est une famille libre
de Esi et seulement si on a, λ1, λ2, . . . , λpd´esignant pscalaires, l’implication:
(λ1u1+λ2u2+··· +λpup= 0 =⇒λ1=λ2=··· =λp= 0)
D´efinition 10 u1, u2,··· , up´etant pvecteurs de F, la famille (u1, u2,··· , up)est une famille li´ee
de F
•si et seulement si ce n’est pas une famille libre
•si et seulement si il existe pscalaires λ1, λ2,··· , λpnon tous nuls tels que λ1u1+λ2u2+··· +
λpup= 0
Vocabulaire: Au lieu de ‘libres’ on trouve aussi l’expression ‘lin´eairement ind´ependants’ et au lieu de
‘li´es’, on trouve ‘lin´eairement d´ependants’
(b) Quel est l’int´erˆet de la notion de famille libre?
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