TD 4: Topologie dans les espaces vectoriels normés. Exercice 1 soit E un espace vectoriel sur R ,N1 et N2 deux normes sur E. 1. On suppose que les deux boules fermées BN1 (0E , 1) , BN2 (0E , 1) sont égales. Montrer que ∀x ∈ E, N1 (x) = N2 (x) : indication : considérer le vecteur N11(x) x et montrer qu’il appartient à BN1 (0E , 1) 2. On suppose qu’il existe un réel λ, 0 ≤ λ ≤ 1 , tel que ∀x ∈ E, N2 (x) ≤ λN1 (x) . Montrer que BN1 (0E , 1) ⊂ BN2 (0E , 1). Montrer la réciproque 3. ici, E = R2 . Montrer que l’application N1 ((x1 , x2 )) = 2 x21 + x1 x2 + x22 définit bien une norme sur R2 et que BN1 (0E , 1) ⊂ BN2 (0E , 1) avec N2 ((x1 , x2 )) = max(|x1 | , |x2 |) .On pourra déterminer le réel λ de la question précédente. 4. Dessiner les deux boules BN1 (0E , 1) et BN2 (0E , 1). Exercice 2 Démontrer que l’application (x, y) → N (x, y) = supt∈R et dessiner la boule unité associée |x+ty| 1+t2 est une norme sur R2 3 N définie sur M Exercice 3 On considère l’ application 3 (C) par N (M) = sup1≤j≤3 i=1 |mi,j | 1 2 1 2 ) calculer N( 1 0 3 −1 1 Montrer que N définit une norme sur M3 (C) et que pour toutes matrices A, B on a N (AB) ≤ N (A)N(B) n Exercice 4 Soit E = Rn [X]. Pour P = ak X k , on pose : k=0 P 1 = n |ak |, k=0 P ∞ = max{|a0 |, . . . , |an |}, P ∗ = max{|P (t)| tq 0 ≤ t ≤ 1}. Montrer que ce sont des normes sur E, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes. (On considèrera les suites de polynômes Pn (t) = (t−1)n et Qn (t) = 1+t+t2 +. . .+tn pour lesquelles on calculera la norme dans chaque cas ) Exercice 5 Pour A ∈ M2 (R), on pose A = tr(t A.A) Montrer que c’est une norme sur M2 (R) et que : ∀ A, B ∈ M2 (R), AB ≤ A × B Plus généralement, montrer que c’est une norme dans Mn (R) Exercice 6 Soit (un )n∈N une suite de Cauchy de l’espace vectoriel normé E, et (vn )n∈N une suite quelconque de E On suppose que la suite un − vn converge vers 0. Démontrer que la suite vn est de Cauchy. lycée Dessaignes 2007-2008 Exercice 7 Soit f : C → C une fonction lipchitzienne de rapport k < 1. On considère z0 ∈ C et la suite (zn )n∈N telle que ∀n ∈ N, zn+1 = f(zn ). On rappelle que C est complet, c’est à dire que toute suite de Cauchy de C est convergente dans C. 1. Montrer que ∀n, |zn+1 − zn | ≤ k n |z1 − z0 | p−1 En déduire en remarquant que |zn+p − zn | ≤ k=1 |zn+k+1 − zn+k | , que la suite (zn )n∈N est de Cauchy. 2. Montrer qu’il existe au moins un complexe z tel que f(z) = z Exercice 8 Montrer que l’application : f → f = |f(0)| + |f ′ (0)| + N∞ (f ′′ ) est une norme sur C2 ([0, 1], C). Pour f et g fixés dans C2 ([0, 1], C) montrer que l’application Φ : t ∈ R → f + tg ∈ R est lipchitzienne. Exercice 9 E = R[X] est muni des normes N∞ (P ) = max(|an | , n ∈ N) N(P ) = sup(|P (x)| , x ∈ [−1, 1]) 1. Vérifier qu’il s’agit de normes 2. Soit (Pn = pour N 1 n X k )n∈N .Montrer que la suite Pn converge vers 0 pour N∞,mais pas n + 1 k=0 Exercice 10 Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ? 1. A = {(x, y) ∈ R2 tq xy = 1}. 2. B = {(x, y) ∈ R2 tq x2 + xy + y 2 < 1}. 3. C = {z ∈ C tq Re(z 2 ) ≤ 1}. lycée Dessaignes 2007-2008