Le présent travail, comme toute entreprise humaine, n`aurait

Le présent travail, comme toute entreprise humaine, n’aurait certainement pas pu être
mené à son terme sans la contribution – directe ou indirecte – d’autres personnes auxquelles je dois beaucoup.
Pour commencer, je tiens à remercier mes parents ainsi que mon frère pour le soutien
constant qu’ils ont su m’apporter tout au long de mon périple.
Je voudrais également exprimer ma gratitude à tous mes amis qui, par leur présence,
m’ont permis de garder la force nécessaire pour surmonter les difficiles périodes de
doute qui ont jonché cette thèse. Parmi eux, je réserve une place particulière à mes
compagnons de route : Ludovic Pillons, Youssef Barkatou, Alvaro Rittatore, Ariane Mézard et Pierre-Louis Montagard, dont je garde un agréable souvenir pour les nombreux
moments passés ensemble, que ce soit au bureau ou ailleurs...
Mon entière reconnaissance va en outre à Gérard Besson pour ses précieux conseils et
la confiance qu’il m’a accordée, sans oublier le plus important à mes yeux, à savoir ses
qualités humaines.
Yves Colin de Verdière me fait l’honneur et le plaisir de participer au jury, je lui en suis
gré.
Je remercie beaucoup Patrick Foulon et Mark Pollicott pour le travail qu’ils ont fourni
en acceptant d’être les rapporteurs de cette thèse.
D’autre part, je suis heureux que Pierre Bérard et Sylvestre Gallot aient bien voulu faire
partie du jury : la générosité du premier m’a conduit vers la recherche mathématique,
et le second a toujours su lier intérêt et bonne humeur dans une discussion.
Enfin, mes remerciements vont aux membres de l’équipe administrative de l’Institut
Fourier pour leur amabilité, et tout spécialement à Arlette Guttin-Lombard qui n’a
pas ménagé ses efforts dans la saisie de ce texte, et ce, sans manquer de conserver sa
légendaire gentillesse.
3
4
SOMMAIRE
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chapitre I. PRÉLIMINAIRES
ET NOTATIONS
. . . . . . . . . . . . . .
11
I.1. Espaces riemanniens symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . .
14
. . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Le type non-compact et la notion de rang
Système de racines . . . . . . . . .
I.2. Métriques de Finsler G-invariantes
I.3. Entropie volumique
Chapitre II. UNE
FORMULE POUR L'ENTROPIE VOLUMIQUE
. . . . . .
25
. . . . . . .
33
III.1. Mesure sur un espace de Finsler . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
III.2. Minimum de l’entropie volumique . . . . . . . . . . . . . . . .
39
III.3. Cas d’égalité et contre-exemple général . . . . . . . . . . . . . .
42
Chapitre III. CONTRE-EXEMPLE
Chapitre IV. MESURE
FINSLÉRIEN EN RANG 2
DE LIOUVILLE POUR UN ESPACE DE FINSLER
. .
45
IV.1. Structure riemannienne induite par F . . . . . . . . . . . . . . .
47
IV.2. Expression de la mesure de Liouville associée à F
. . . . . . . . . .
51
Chapitre V. LE
CAS DU RANG 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
V.1. Entropie topologique et flots d’Anosov . . . . . . . . . . . . . . .
63
V.2. Dérivée de l’entropie topologique pour les métriques de Finsler . . . . .
67
V.3. Caractères critiques du rang 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
. . . . . . . . . . . . .
76
. . . . . . . . . . . . .
76
Normalisation par le volume finslérien
Normalisation par le volume de Liouville
Perspectives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Bibliographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5
6
INTRODUCTION
L’objet de cette thèse est l’étude des entropies volumique et topologique pour les
métriques de Finsler. Au début des années 80, A. Katok et M. Gromov ont conjecturé que
sur une variété compacte M munie d’une métrique riemannienne g0 localement symétrique de courbure sectionnelle strictement négative (par exemple une variété hyperbolique réelle), celle-ci minimise l’entropie volumique (et donc aussi l’entropie topologique
d’après [Man]) parmi toutes les métriques de Riemann g sur M normalisées par la condition naturelle volg (M ) = volg0 (M ) ([Kat], [Gro 1], [Gro 2]). La première réponse à ce problème a été donnée par A. Katok lui-même en 1982 lorsqu’il montre que la conjecture est
vraie en dimension 2 avec l’entropie topologique ([Kat]). Par la suite, il a été prouvé par
A. Katok, G. Knieper, H. Weiss ([K-K-W]) et aussi, de manière différente, par M. Pollicott
([Po]) que toute métrique hyperbolique g0 sur une variété compacte est un point critique
de l’entropie topologique pour n’importe quelle perturbation riemannienne (gλ )λ2] ε,ε[
de g0 préservant le volume de la variété. Finalement, c’est en 1994 que G. Besson, G. Courtois et S. Gallot résolvent complètement la question par l’affirmative et donnent, en outre,
un important résultat de rigidité (de type Mostow) aux conséquences multiples :
T ([B-C-G 2]). — Soit M une variété différentiable compacte, munie
d’une métrique riemannienne g0 localement symétrique de courbure sectionnelle strictement négative.
Alors, pour toute métrique de Riemann g sur M telle que volg (M ) = volg0 (M ), on
a (hV désignant l’entropie volumique) :
h V (g )
h V (g 0 ) .
De plus, il y a égalité si, et seulement si :
i) g est à courbure sectionnelle constante strictement négative lorsque dim M = 2 ,
ii) g est isométrique à g0 lorsque dim M
3.
Dès lors, l’intérêt s’est porté vers l’équivalent de la conjecture de A. Katok et M. Gromov en rang supérieur à 1, pour lequel la réponse suivante a été obtenue en 1995, également par les trois auteurs précédents :
T ([B-C-G 3]). — Si (M ,g0 ) est le produit d’espaces riemanniens symétriques de courbures sectionnelles strictement négatives et différents de 2 , alors pour
H
7
tout sous-groupe discret Γ de Isom0 (M ,g0 ), co-compact et sans points fixes, et pour toute
métrique riemannienne Γ-invariante g sur M , on a :
) h V (g ) h V (g 0 ) .
Ce théorème, malgré le cas irréductible et celui de H 2 H 2 qui restent encore ouvolg (M /Γ) = volg0 (M /Γ) =
verts, laisse penser avec espoir que la solution au problème de l’entropie minimale en rang
2 devrait être semblable à celle en rang 1, du moins pour les métriques de Riemann.
Aussi, c’est cette dernière précision qui est à l’origine du présent travail. En effet, notre but
est ici de regarder si ce qui a été fait précédemment dans le cadre riemannien est encore
valable pour les métriques de Finsler, qui sont la “généralisation minimale” des métriques
de Riemann. Plus exactement, il s’agit pour nous de répondre à la conjecture suivante :
(CF) C   ’  . — Soit (M ,g0 )
un espace riemannien symétrique de type non-compact, dont on note G la composante
connexe du neutre dans Isom(M ,g0 ). Alors pour tout sous-groupe discret Γ de G , cocompact et sans points fixes, et pour toute métrique de Finsler Γ-invariante F sur M :
) hV (F ) hV (g0 ) .
volF (M /Γ) = volg0 (M /Γ) =
Les trois premiers chapitres sont entièrement consacrés à cette conjecture en rang
différent de 1. Nous y prouvons que, contrairement à la situation riemannienne avec [B2 ; c’est le théorème III.3.2.
C-G 3], (CF) est fausse, et ce, quel que soit (M ,g0 ) de rang
De plus, le contre-exemple général que nous exhibons est l’unique minimum de l’entropie
volumique dans l’ensemble des métriques de Finsler G-invariantes sur M , normalisées par
le volume du quotient M /Γ (théorème III.2.4 et proposition III.3.1 ).
Dans une deuxième partie regroupant les chapitres IV et V, on s’intéresse au cas
du rang 1 pour lequel (CF) est malheureusement beaucoup plus difficile à trancher. Néanmoins, nous y suivons le chemin (cité plus haut) qu’avaient emprunté A. Katok, G. Knieper,
H. Weiss et M. Pollicott dans le cadre riemannien à propos de l’entropie topologique. En ce
qui nous concerne, le lien entre les deux entropies est fourni par la proposition suivante,
qui généralise [Man] :
P ([Eg]). — Soit F une métrique de Finsler strictement convexe sur une
variété compacte. Alors
hV (F )
hT (flot géodésique de F )
(hT désignant l’entropie topologique), avec égalité si F est à courbure négative au sens de
P. Foulon ([Fou 1]).
On obtient alors une extension de [K-K-W] :
T V.3.4. — Soit (M ,g0 ) une variété hyperbolique réelle, compacte. Alors
pour toute perturbation de g0 à travers des métriques de Finsler strictement convexes
8
2]
(Fλ )λ
ε,ε[
telles que volFλ (M ) = volg0 (M ), on a :
d
dλ
λ=0
hT (flot géodésique de Fλ ) = 0 .
Enfin, après avoir établi au chapitre IV une formule exploitable de la mesure de
Liouville ωF associée à une métrique de Finsler F strictement convexe (corollaire IV.2.5),
nous l’utilisons pour prouver le :
j j
T V.3.6. — Soit (M ,g0 ) une surface hyperbolique réelle, compacte. Alors
pour toute perturbation de g0 à travers des métriques de Finsler strictement convexes
(Fλ )λ2] ε,ε[ telles que ωFλ (S Fλ (M )) = ωg0 (S g0 (M )), on a :
j
j
d
dλ
j j
λ=0
hT (flot géodésique de Fλ ) = 0 .
L’intérêt nouveau de ce résultat par rapport au contexte riemannien réside dans le
fait que la normalisation par le volume de Liouville des fibrés sphériques ne coïncide pas
avec celle par le volume finslérien de la variété comme on le montre en IV.2 (proposition
IV.2.6).
Pour terminer, indiquons que dans tout ce qui suit, le mot “différentiable” seul signifie “de classe C 1 ” et que toutes les variétés considérées sont de classe C 1 , connexes,
et de dimension 2.
9
10
Chapitre I
PRÉLIMINAIRES ET NOTATIONS
11
12
Dans ce chapitre, nous rappelons les définitions et propriétés de base concernant
les trois principaux ingrédients de cette thèse, à savoir les espaces riemanniens symétriques, les métriques de Finsler et l’entropie volumique.
I.1. Espaces riemanniens symétriques
Pour ce paragraphe, on pourra se référer à [Hel].
D I.1.1. — Un espace riemannien symétrique est une variété rieman-
nienne (M ,ρ) vérifiant : pour tout point x
que sx (x ) = x et Tx sx =
2 M , il existe une isométrie sx de (M ,ρ) telle
Id.
Remarque. — On montre qu’une telle symétrie sx est unique pour chaque x
2 M,
involutive, et que (M ,ρ) est nécessairement complète.
Le groupe
J des isométries d’un espace riemannien symétrique (M ,ρ) peut être
muni d’une unique structure de groupe de Lie compatible avec la topologie compacte-
J,
J qui agit transitivement et de manière C 1 sur M .
Soient x0 2 M un point-base fixé et π : G ! M la projection naturelle de G sur
g 7 ! g x0
M . Par passage au quotient, π induit un C 1 -difféomorphisme G /K ! M , où K G
g K 7 ! g x0
ouverte, et si l’on note G la composante connexe de l’élément neutre e = idM dans
alors G est un sous-groupe de Lie de
est le stabilisateur de x0 . Ce dernier est un sous-groupe de Lie compact de G et, si
désignent les algèbres de Lie de G et K respectivement, on a :
h = fX 2 g j τ X = X g ,
où τ : g ! g est la différentielle en e 2 g de σ 2 Aut(G ) défini par
déf
σ(g ) = sx0 g sx0 pour g
En posant alors
2G.
p déf
= fX 2 g j τ X = X g, on obtient :
g = k p (somme directe)
et
13
g et h
k fg
Te π( ) = 0 .
En outre, Te πp :
p!T
x0 (M )
est un isomorphisme linéaire et, si l’on note expx0 l’expo-
nentielle riemannienne en x0 pour ρ, on a :
, où exp : g ! G est l’exponentielle du groupe de Lie G.
7 ! (exp X ) x0
Enfin, notons B : g g ! R
la forme de Killing de g.
(X ,Y ) 7 ! tr(ad(X ) ad(Y ))
De la compacité de K , on déduit que la restriction de B à k k est définie négative,
et les relations de crochets [k,k] k, [p,p] k et [k,p] p entraînent d’autre part que k et p
avec Expx0 :
p !M
expx0 Te πp = Expx0
X
sont orthogonaux relativement à
B.
Le type non-compact et la notion de rang.
D I.1.2. — Un espace riemannien symétrique (M ,ρ) est de type non-
compact si, et seulement si, la restriction de
B à p p est définie positive.
Remarque. — Cette définition est indépendante du point-base x0
2 M choisi.
Pour toute la suite de ce paragraphe, donnons-nous un tel espace et x0
2 M . Avec
g ! g est de Cartan, c’est-à-dire qu’en défih j Y i déf
=
B(X ,τ Y ), on obtient un produit scalaire sur g. Celui-ci permet de
les notations précédentes, l’involution τ :
nissant X
munir G d’une unique métrique de Riemann ζG invariante par multiplication à gauche et
h j i (on notera ζK la métrique induite par ζG sur K ). De plus, h j i est
Ad(K )-invariant, d’où il existe un unique réel γ > 0 tel que π : G ! M soit une submersion riemannienne pour ζG et γρ (voir [Ch-Eb], p. 61) ; l’application Te πp : p ! Tx (M )
est alors une isométrie linéaire pour (j) et γρ(x0 ), où (j) est la restriction de h j i à
p p.
Il est clair que g est semi-simple et que la décomposition g = k p est une décom-
telle que ζG (e ) =
0
position de Cartan. Aussi, le centre Z (G ) de G est trivial (car inclus dans K ) et la finitude
de Z (G ) entraîne que K est un sous-groupe compact maximal de G. En outre, on a :
P I.1.3 (voir [Hel], p. 241–253).
a) L’application Expx0 :
simplement connexe.
p!
M est un difféomorphisme. En particulier, M est
14
p
b) En identifiant et Tx0 (M ) à l’aide de Te πp , soient P
en x0 et κ(P )
p un 2-plan tangent à M
0 la courbure sectionnelle de P . Alors κ(P ) = 0 si, et seulement si, P est
g
contenu dans une sous-algèbre abélienne de .
D I.1.4. — Un plat de (M ,ρ) est une sous-variété riemannienne, totale-
ment géodésique, isométrique à un espace euclidien et maximale pour ces propriétés.
Les plats ont la caractérisation algébrique suivante :
P I.1.5 (voir [Hel], p. 245–247). — Soit S
p
M une sous-variété conte-
nant x0 . En identifiant et Tx0 (M ) par Te πp , on a : S est un plat de (M ,ρ) si, et seulement
g
p
si, Tx0 (S ) est une sous-algèbre abélienne (de ) maximale dans . Dans ce cas :
Pour toute sous-algèbre abélienne maximale
a
Ad(k ) , et par suite
p = Ad(K )a.
a p, il existe k 2 K tel que T
Pour tout plat S 0 de (M ,ρ) contenant x0 , il existe k
suite M = K S 0 .
x 0 (S ) =
2 K tel que S = k S0 , et par
On pose alors :
D I.1.6. — La dimension commune des plats de (M ,ρ) est appelée le
rang de (M ,ρ).
Remarque. — Lorsque rang(M ,ρ) = 1, les plats sont les géodésiques et il existe
une constante c > 0 telle que la courbure sectionnelle de c ρ soit comprise entre
1 et
1
.
4
Système de racines.
a p.
Pour tout H 2 a, ad(H ) est un endomorphisme de g qui est symétrique par rapport
à h j i. Comme a est abélienne (i.e. [a,a] = f0g), il en résulte qu’on peut diagonaliser
simultanément les éléments ad(H ) 2 End(g) (H 2 a), ce qui conduit à poser pour chaque
α 2 a (dual de a) :
g déf
= fY 2 g j [H ,Y ] = α(H )Y , 8H 2 ag .
L’ensemble des racines de g relatives à a est alors défini par :
déf
Λa = fα 2 a j α 6= 0 et g 6= f0gg ;
Considérons une sous-algèbre abélienne maximale
α
α
il est fini et on a la décomposition en somme directe :
g=g 0
M
2
α Λa
15
g
α
.
2 Λa , l’entier m déf
= dim g est appelé la multiplicité de α et le sousdéf
espace H = fH 2 a j α(H ) = 0g définit l’hyperplan singulier associé à α. On appelle
S H . Si a a est une
alors chambre de Weyl de a toute composante connexe de an
Pour chaque α
α
α
α
2
α Λa
α
+
telle chambre de Weyl, on définit l’ensemble des racines positives par rapport à
Λa+
,
= α 2 Λ j α(H ) > 0, 8H 2 a
déf
a
+
:
+
α
et l’on a :
P I.1.7 (voir [Hel], p. 458). — Il existe B
i)
B est une base de a .
ii) Tout β
2 Λa peut s’écrire : β = P n
2
Z ayant même signe.
α α,
Λa
où les nα (α
α B
+
vérifiant :
2 B) sont des éléments de
On dit que B est une base de Λa .
Enfin, en définissant respectivement les centralisateur et normalisateur de
K par :
déf
fk 2 K j Ad(k )H = H , 8H 2 ag ,
déf
fk 2 K j Ad(k )a ag ,
K0 =
et
K1 =
a dans
on obtient un isomorphisme de groupes :
! Wa
a ! a ,
kK0 7 !
H 7! Ad(k )H
K 1 /K 0
a
où Wa est le groupe de Weyl de . Ce dernier désigne le groupe de toutes les réflexions de
a par rapport aux hyperplans singuliers H
α
(α
2 Λa ) et pour le produit scalaire h j i.
I.2. Métriques de Finsler G -invariantes
Brièvement parlant, une métrique de Finsler sur une variété différentiable est la
donnée d’une norme sur chaque espace tangent avec des conditions de régularité sur
la variation de cette norme. C’est en quelque sorte la plus faible généralisation d’une
métrique riemannienne, les ellipsoïdes étant remplacés sur les espaces tangents par des
boules convexes a priori quelconques. La première véritable étude de ces métriques a
été faite en 1918 par P. Finsler dans sa thèse, mais c’est B. Riemann qui, dès 1854, y fit
16
allusion (on pourra trouver un aperçu dans [Spi], Ch. IV) avant de se concentrer sur le cas
particulier qui porte son nom depuis.
D I.2.1. — Soient V un espace vectoriel réel de dimension finie et B une
partie de V . On dit que B est une boule convexe si, et seulement si, B est un voisinage
ouvert de l’origine, borné, convexe et symétrique (B =
P I.2.2 (voir [Bou], Ch. II,
B ).
x 2, no 11). —
Soient V un espace vectoriel
réel de dimension finie et ϕ l’application qui à une norme sur V associe sa boule unité
ouverte. Alors ϕ est une bijection de l’ensemble des normes sur V vers l’ensemble des
boules convexes de V dont la réciproque ϕ
kv kB
déf
f
= inf λ > 0
j v 2 λBg pour v 2 V .
1
est donnée par : ϕ
1
(B ) =
k kB , où
Ces rappels étant faits, passons à la définition d’une métrique de Finsler :
D I.2.3. — Soient M une variété différentiable et ℓ
2 N [f+1g. Notons
T (M ) le fibré tangent T (M ) de M privé de la section nulle.
On appelle métrique de Finsler de classe C ℓ sur M toute fonction continue
!R
(x ,v ) 7 ! F (x ,v )
F : T (M )
telle que :
i) F est de classe C ℓ sur T (M ),
ii) F (x , ) est une norme sur l’espace tangent Tx (M ) pour tout x
Étant donné une courbe continue σ : [0,1]
2 M.
! M de classe C 1 par morceaux, on
définit la longueur de σ relativement à la métrique de Finsler F par :
déf
Z
1
ℓF (σ) =
Si l’on pose alors pour x ,y
déf
2(M : dF (x ,y ) = inf
l’application dF : M
F (σ(t ),σ̇(t )) dt .
0
σ : [0,1] ! M chemin de classe C
ℓ (σ ) par morceaux joignant x à y
1
)
F
,
M ! R est une distance sur M , dite associée à F , induisant sur M
la même topologie que celle sous-jacente à la structure différentiable de M .
D I.2.4. — Soit H un sous-groupe du groupe Diff(M ) des difféomor-
phismes C 1 de M sur M . On dit qu’une métrique de Finsler F sur M est H -invariante si,
2 T (M ) et tout f 2 H ; on
FH l’ensemble des métriques de Finsler (continues) H -invariantes sur M .
et seulement si, F ( f (x ),Tx f v ) = F (x ,v ) pour tout (x ,v )
notera
17
Exemples.
2 N [f+1g) sur Rn nf0g
et f : Rn ! R une fonction de classe C vérifiant f (x ) > 0, pour tout x 2 Rn .
Alors la fonction F : Rn Rn ! R
est une métrique de Finsler de classe
(x ,v ) 7 ! f (x )kv k
C sur Rn .
a) Soient
k k une norme sur Rn (n 1) de classe C
ℓ
(ℓ
ℓ
ℓ
b) Soit ρ une métrique riemannienne de classe C ℓ (ℓ
2 N [f+1g) sur une variété
différentiable M .
!R
est une métrique de Finsler de classe C
1 2
(x ,v ) 7 ! (ρ(x ) (v,v ))
ℓ
Alors Fρ : T (M )
sur
/
M , dite associée à ρ.
c) Soit M une variété différentiable sur laquelle agit transitivement et de manière
C 1 un groupe de Lie G (i.e. M est un espace homogène). Soient x0
2 M et C Tx (M )
0
une boule convexe, invariante par le stabilisateur de x0 dans G.
Alors il existe une unique métrique de Finsler G-invariante F sur M , dont C est la
boule unité ouverte pour la norme F (x0 , ).
Remarque. — Les métriques de Finsler présentent des analogies certaines avec
celles de Riemann, mais il faudrait se garder de croire qu’il suffit de “paraphraser” les
concepts riemanniens pour obtenir leurs équivalents en géométrie finslérienne. Dans cette
dernière, en effet, il n’y a plus, par exemple, de notion canonique d’orthogonalité, de mesure (voir [Run]), de connexion de Levi-Civita et de courbure (voir [Ab-Pa], [Run] et [Fou 2]),
de laplacien, etc. , et de ce fait de nombreux objets classiques du cadre riemannien demandent à être redéfinis après avoir été repensés.
Structures finslériennes G -invariantes.
On se donne ici un espace riemannien symétrique (M ,ρ) de type non-compact et
x0
2 M . Rappelons qu’on note :
G la composante connexe du neutre dans le groupe des isométries de (M ,ρ) ,
K le stabilisateur de x0 dans G ,
g l’algèbre de Lie de G ,
h l’algèbre de Lie de K ,
g = k p la décomposition de Cartan associée à x ,
0
18
a p une sous-algèbre abélienne maximale ,
Wa le groupe de Weyl de a.
Nous avons alors la caractérisation suivante :
T I.2.5 ([Pla], p. 23). — Il y a bijection entre :
les boules convexes B de a, Wa -invariantes,
les boules convexes C de p, Ad(K )-invariantes,
les métriques de Finsler F sur M , G -invariantes.
Preuve.
Soient F une métrique de Finsler sur M , BF x
déf
F (x0 , ) sur Tx0 (M ) et C = (Te πp )
BF (x0 ,)
1
.
( 0, )
la boule unité ouverte de la norme
Supposons que F soit G-invariante. Alors BF (x0 ,) est K -invariante, ce qui entraîne
Te π (Ad(k )C ) = Te π(C ) pour tout k
p
2 K , c’est-à-dire Ad(k )C = C (Ad(k )C et C étant
dans ).
Réciproquement, si BF (x0 ,) est K -invariante, on a vu dans l’exemple c) précédent
que F est alors G-invariante.
Soit à présent B une boule convexe de a, Wa -invariante. Alors C déf
= Ad(K )B est
p ([Pla], p. 19) qui est évidemment Ad(K )-invariante.
déf
Inversement, si C est une boule convexe de p, Ad(K )-invariante, alors B = C \ a
est une boule convexe de a, Wa -invariante ([Pla], p. 19).
Pour F 2 F , on notera B (resp. C ) la boule convexe de a (resp. de p) qui lui
une boule convexe de
G
F
F
correspond par le théorème précédent.
2 FG . En outre, on déduit de ce théorème que
lorsque rang(M ,ρ) = dim a = 1, il existe pour F 2 FG un réel λ > 0 tel que BF = λBF ,
Remarque. — On a toujours Fρ
ρ
d’où F = λFρ ; par suite F est associée à une métrique riemannienne proportionnelle à ρ.
Il n’y a par conséquent aucun intérêt à étudier les métriques de Finsler G-invariantes en
rang 1.
P I.2.6 ([Pla], p. 25). — Soit F une métrique de Finsler G -invariante
sur M .
Pour x ,y
2 M , g 2 G et H 2 a tels que g x = x0 et g y = exp(H ) x0 , on a :
dF (x ,y ) = kH kB .
F
19
3, on considère la variété différentiable M = S 2 GL (n,R) j S = S , S définie positive, det(S ) = 1
Exemple. — Pour n
t
(ellipsoïdes dans
Rn , de volume canonique unité). Le groupe de Lie connexe G = SL(n,R)
agit transitivement et de manière C 1 sur M par :
M
G M
Le stabilisateur de x0 = I
! .
t
(g ,S ) 7 ! g S g
2 M dans G est égal à K = SO(n) qui est un sous-groupe com-
pact maximal de G. La projection naturelle de G sur M induit alors un difféomorphisme
R
de SL (n, )/SO (n) sur M . On a ici :
g = sl(n,R) = matrices réelles n n de trace nulle,
k = so(n) = matrices n n antisymétriques,
p = matrices n n symétriques de trace nulle.
Prenons pour sous-algèbre abélienne maximale a = matrices n n diagonales de
trace nulle p, et soit :
B = diag(η , . . . ,η ) 2 a j jη
η j < 1 , 8i , j = 1 , . . . , n .
C’est une boule convexe de a qui est invariante par le groupe de Weyl Wa , ce groupe étant
constitué par les permutations des coefficients diagonaux des éléments de a
(Wa = S ). Soit maintenant F la métrique de Finsler G-invariante sur M , définie par
1
n
j
i
n
B selon le théorème II.2.5.
2 G, on a alors d’après la proposition précédente ([Pla], p. 27) :
1
1
1
σ ( tg1 g1 g2 tg2 )
dF (g1 x0 ,g2 x0 ) = log
1
1
2
σ ( tg1 g1 g2 tg2 )
(log désignant le logarithme népérien), où, pour A 2 M (n,R) de spectre réel S 6= ;, on
note σ = max S et σ = min S .
Pour g1 ,g2
+
+
Par ailleurs, soit ζG la métrique riemannienne sur G, invariante par multiplication
à gauche, définie par : ζG (g ) (g X ,g Y ) = tr(X tY ) pour g
2 G et X ,Y 2 g.
Si ρ est alors l’unique métrique de Riemann sur M telle que la projection naturelle
π:G
! M soit une submersion riemannienne relativement à ζG et ρ, on vérifie que (M ,ρ)
est un espace riemannien symétrique de type non-compact et de rang n
1. De plus, la
composante connexe du neutre dans le groupe des isométries de (M ,ρ) est isomorphe à
R
g ! g associée
2 g). Enfin, à titre de comparaison avec F , on a pour
PSL (n, ) (de même algèbre de Lie que G) et l’involution de Cartan τ :
à x0 = I s’écrit τ X =
g 1 ,g 2
2G:
t
X (X
dρ = dFρ =
1
2
X
!
n
(log λi )
i =1
où λ1 , . . . ,λn sont les valeurs propres de tg1 1 g1 1 g2 tg2 .
20
2
1/2
,
I.3. Entropie volumique
Dans ce paragraphe, M désigne une variété différentiable, connexe et simplement
connexe, telle que Diff(M ) admette un sous-groupe discret, co-compact et sans points
fixes.
D I.3.1. — Soient Γ un sous-groupe discret de Diff(M ), co-compact et
sans points fixes, et F
Soient x0
F
2 FΓ (i.e. F est une métrique de Finsler Γ-invariante sur M ).
2 M et µ une mesure borélienne Γ-invariante sur M . Pour t > 0, notons
B (x0 ,t ) la boule ouverte dans M relative à dF , de centre x0 et de rayon t . Alors la limite :
1
t
!lim
+1 t
log µ(B F (x0 ,t ))
est finie positive et indépendante des choix de x0 , µ et Γ.
Elle est appelée entropie volumique de F et se note hV (F ).
Preuve.
L’indépendance de la limite par rapport à x0 et le fait qu’elle soit finie positive sont
prouvés dans [Man] et [Ro].
L’indépendance par rapport à µ est démontrée dans [Ro].
Soient Γ1 et Γ2 deux sous-groupes discrets de Diff(M ), co-compacts et sans points
fixes, et supposons que F 2 FΓ \ FΓ .
Le sous-groupe hΓ1 [ Γ2 i de Diff(M ) engendré par Γ1 [ Γ2 est également discret,
1
2
co-compact et sans points fixes, ce qui conduit au diagramme commutatif suivant dans
lequel tous les quotients sont des variétés différentiables compactes :
M /Γ1
M
h [ Γ2 i
p
M / Γ1
M /Γ2
(les flèches désignent les surjections canoniques).
h [ Γ2i, la mesure
En fixant alors une métrique de Riemann arbitraire ρ sur M / Γ1
riemannienne µ sur M associée à p (ρ) est à la fois Γ1 -invariante et Γ2 -invariante.
21
Remarques.
a) Si ρ est une métrique de Riemann Γ-invariante sur M , on note hV (Fρ ) = hV (ρ).
b) On peut généraliser cette définition de l’entropie volumique aux espaces métriques, mais dans ce cas il y a dépendance par rapport à Γ. Pour ces questions on pourra
consulter [Ro].
Nous allons rappeler deux propriétés essentielles de l’entropie volumique pour F
FΓ (Γ sous-groupe discret de Diff(M ), co-compact et sans points fixes) :
P I.3.2. — Pour tout λ
2 R , λF 2 FΓ et
+
hV (λF ) =
Preuve. — Soient x0
1
λ
hV (F ) .
2 M et µ une mesure borélienne Γ-invariante sur M .
Pour t > 0, on a B λF (x0 ,t ) = B F (x0 , λt ), d’où
1
t
2
log µ(B λF (x0 ,t )) =
ce qui permet de conclure en faisant t
1
1
λ (t /λ)
i
h
t
log µ(B F (x0 , )) ,
! +1.
λ
P I.3.3. — Soient (N , f ) un espace de Finsler et Φ : M
! N une iso-
métrie pour F et f , i.e. Φ est un difféomorphisme et
f (Φ(x ),Tx Φ v ) = F (x ,v ) pour tout (x ,v )
2 T (M ) .
Alors :
hV ( f ) = hV (F ) .
γ Φ j γ 2 Γ de Diff(N ).
Preuve. — Immédiate. Remarquons au passage que f est invariante par le sousgroupe Φ
1
Cette dernière proposition affirme que l’entropie volumique est un invariant géométrique des espaces de Finsler. La question se pose dès lors de savoir jusqu’à quel point.
En d’autres termes, la réciproque de cette proposition est-elle vraie ? Sans hypothèses sur
F et f la réponse est clairement négative (il suffit d’utiliser la proposition I.3.2).
Néanmoins, avec deux métriques de Riemann, dont l’une vérifie certaines conditions, la réponse est positive comme le montre le résultat suivant dû à G. Besson, G. Courtois et S. Gallot :
T I.3.4 ([B-C-G 2]). — Soit (M ,ρ) un espace riemannien symétrique de
type non-compact et de rang 1, avec dim M
3.
22
Soit Γ un sous-groupe discret de G , co-compact et sans points fixes.
Alors toute métrique de Riemann Γ-invariante m sur M , satisfaisant à :
hV (m) = hV (ρ)
et
volm (M /Γ) = volρ (M /Γ) (volumes riemanniens),
est isométrique à ρ.
Lorsqu’on remplace dans ce théorème de rigidité la métrique m par une métrique
de Finsler C 1 , la question reste entièrement ouverte. En revanche, si l’on passe en rang
2 et qu’on s’intéresse aux métriques de Finsler G-invariantes, nous verrons ce qu’il en
est au chapitre III.
23
24
Chapitre II
UNE FORMULE POUR L'ENTROPIE VOLUMIQUE
25
26
Nous établissons dans ce chapitre une formule simple et générale pour l’entropie volumique des métriques de Finsler G-invariantes sur les espaces riemanniens symétriques de type non-compact. Cette formule aura l’avantage, contrairement à la définition
de base donnée au chapitre précédent, d’être utilisable en pratique dans les calculs, et notamment dans ceux que nous serons amenés à faire au chapitre III.
Soient (M ,ρ) un espace riemannien symétrique de type non-compact et x0
2 M.
Désignons par (voir I.1) :
G la composante connexe du neutre dans le groupe des isométries de (M ,ρ),
K le stabilisateur de x0 dans G,
g l’algèbre de Lie de G,
h l’algèbre de Lie de K ,
g = h p la décomposition de Cartan associée à x ,
a p une sous-algèbre abélienne maximale,
a a une chambre de Weyl de a,
Λa l’ensemble des racines positives par rapport à a .
0
+
+
+
Avec ces notations, nous avons le théorème suivant :
T II.1. — Soit F une métrique de Finsler G -invariante sur M . Alors :
X
max
hV (F ) =
H
2a \BF
+
indépendamment des choix de x0
2
mα α(H )
a
(adhérence dans ),
α Λa+
2 M , a p et a a.
+
Preuve. — On utilise l’application exponentielle riemannienne en x0 ,
Expx0 :
p !M
X
7 ! exp(X ) x0
,
qui est ici un difféomorphisme.
Sachant que CF = Ad(K )BF , on a d’après la proposition I.2.6 :
8X 2 p, dF (x0 , Expx (X )) = kX kC ,
où k kC est la norme sur p associée à la boule convexe CF p.
0
F
27
F
1
Il en résulte que pour tout t > 0, (Expx0 )
B F (x0 ,t ) = t CF , où B F (x0 ,t ) désigne
la boule ouverte pour dF dans M , de centre x0 et de rayon t .
p p du produit scalaire h j i sur g, on
a ([B-C-G 1], p. 443), (la constante γ > 0 étant définie en I.1) :
X
8X 2 p, det j (Exp ) ρ (X ) = γ exp
m ν(X ) ,
j
Par ailleurs, en notant ( ) la restriction à
1/2
(
)
n/2
x0
ν
2
ν Λb+
p b p est une sous-algèbre abélienne maximale telle que X 2 b
et b est une chambre de Weyl de b telle que X 2 b̄ (adhérence dans b).
Enfin, K étant le centralisateur de a dans K , l’application
ϕ : a (K /K ) ! Ad(K )a p
où n = dim M = dim ,
+
+
0
+
+
0
(H ,kK0 )
7 ! Ad(k )H
a (K /K ) associée à la métrique riemannienne image réciproque par ϕ de l’induction à Ad(K )a du
produit scalaire (j) sur p, nous obtenons :
Z
X
+
est un difféomorphisme ([Hel], p. 402). En notant alors µ la mesure sur
0
+
n/2
volρ (B F (x0 ,t )) = t n γ
(
a \B )(K /K )
+
En effet, d’une part, pour tout k
a
male dont Ad(k )
+
exp t
0
F
mν ν(Ad(k )H ) d µ(H ,kK0 ) .
2
ν ΛAd(k )a+
2 K , Ad(k )a p est une sous-algèbre abélienne maxi-
est une chambre de Weyl, et d’autre part,
pn Ad(K )a
+
[
=
f 2 a j α(H ) = 0g) ,
Ad(K ) ( H
2
α Λa
p
p
réunion finie de sous-espaces vectoriels de , distincts de , est de volume nul pour la
mesure de Haar sur
p associée à (j).
2 K et α 2 Λa
À présent, pour k
+
a !R
, la forme linéaire να : Ad(k )
H 7 ! α(Ad(k 1 )H )
8 2 G, 8X ,Y 2 g, Ad(g )[X ,Y ] = [Ad(g )X , Ad(g )Y ] ([Hel],
p. 126)) et vérifie m = m (car Ad(k ) 2 GL (g)).
En outre, l’application Λa
! ΛAd k a étant bijective, il s’ensuit que :
α7 !ν
appartient à ΛAd(k )a+ (car g
να
α
+
X
pour tout H
2 a.
( )
+
α
mν ν (Ad(k )H ) =
2
ν ΛAd(k )a+
Par conséquent,
volρ (B F (x0 ,t )) = t n γ
n/2
X
2
mα α(H )
α Λa+
Z
(
a \B )(K /K )
+
0
F
28
X
exp t
2
α Λa+
mα α(H ) d µ(H ,kK0 ) ,
ce qui entraîne
t
1
lim
!+1 t
t
!+1
a \ B ) (K /K ) ! R P
(H ,kK ) 7 ! exp
où f : (
+
Z
log volρ (B F (x0 ,t )) = lim log
0
F
(
+
0
mα α(H )
2
a \B )(K /K )
+
f t dµ
1/t
,
0
F
.
α Λa+
a étant majorée sur B
a \ B ) (K /K ) est connexe, de µ-mesure finie > 0 (Ad(K )a \ C
étant de volume fini > 0 pour (j)), on a :
Z
Puisque f est continue, majorée (toute forme linéaire sur
bornée), et que (
+
(
Par suite
t
a \B )(K /K )
1
lim
!+1 t
+
+
0
F
F
1/t
f t dµ
t
0
sup
f
!!
+1
(a \BF )(K /K 0 )
F
F
.
+
log volρ (B F (x0 ,t )) =
sup
H
2a \BF
+
max
=
H
2a \BF
+
a
hX
h 2Xa
α Λ
mα α(H )
+
2
mα α(H )
i
i
α Λa+
(la fonction définie par la somme étant continue sur ).
Remarque II.2. — Lorsque la métrique riemannienne symétrique ρ sur M est normalisée (quitte à la multiplier par un scalaire > 0) de telle sorte que π : G
!M
7! soit une
g
g x0
submersion riemannienne pour ζG et ρ, nous avons par la formule précédente appliquée
à Fρ :
max
hV (ρ) = hV (Fρ ) =
H
2a \BFρ
+
P m e , où 8α 2 Λ , 8H 2 a,
fH 2 a j hH j H i < 1g et H0 déf
=
a
2Λa
he j H i. Le vecteur H0 étant dans a , le maximum des hH0 j H i pour
avec BFρ =
+
α α
α
α(H ) =
hH 0 j H i
+
+
α
2 a \ BF est obtenu d’après Cauchy-Schwarz pour H = kH Hkhji . Par conséquent,
hV (ρ) = kH0 khji et nous retrouvons ainsi l’expression de hV (ρ) utilisée dans [B-C-G 1],
H
+
0
ρ
0
p. 443, appendice C.
Remarque II.3. — Comme
P
2
dans la formule de hV (F ) peut être pris sur
pour la norme
k kB
F
.
a
mα α est une forme linéaire sur , le maximum
α Λa+
a \ ∂B
+
29
F,
où ∂B F est la sphère unité dans
a
Exemples.
a) (Cas irréductible). — Reprenons l’exemple vu en I.2 avec n = 3, c’est-à-dire
2 GL(3,R) j
t
M = S
S = S , S définie positive, det(S ) = 1
= SL(3,R)/SO(3) ,
et calculons hV (F ) ainsi que hV (ρ).
réelles 3 3 diagonales de trace nulle avec l’espace
a = matrices
2 R j x +y +z = 0 grâce à (x ,y,z ) 2 R 7 ! diag(x ,y,z ) 2 p,
riemannien symétrique (M ,ρ) admet, relativement à la chambre de Weyl a =
l’espace
(x ,y,z ) 2 V j x < y < z , les racines positives (voir par exemple [B-G-S], appendice 5) :
En identifiant
3
vectoriel réel V = (x ,y,z )
3
+
α1 :
!R
7 !y
!R
7 !z
!R
7 !z
V
(x ,y,z )
α2 :
V
(x ,y,z )
α3 :
V
(x ,y,z )
On a alors :
max
hV (F ) =
(x ,y ,z )
=
(puisque
2a \B
(multiplicité = 1) ,
x
(multiplicité = 1) ,
x
(multiplicité = 1) .
y
(z
x ) + (z
+
2R 2(z
1
max
x ,z
0 z x
y ) + (y
x)
x)
a \ B = (x ,y,z ) 2 V j x y z et z
+
x
1
), soit h
V (F ) =
2.
a et V fait corresY ) sur g = sl(3,R) avec la
D’autre part, l’isomorphisme linéaire précédent qui identifie
a a du produit scalaire hX j Y i = tr(X
V du produit scalaire canonique canR sur R3 . Sachant que les racines α1 ,
t
pondre la restriction à
restriction à V
3
α2 et α3 sont représentées respectivement par les vecteurs ε1 = ( 1,1,0), ε2 = ( 1,0,1)
et ε3 = (0,
1,1) via la restriction de canR3 à V
V , on a donc (remarque II.2 ci-dessus) :
p
hV (ρ) = la norme de ε1 + ε2 + ε3 pour canR3 i .e . hV (ρ) = 2 2 .
b) (Cas réductible). — Étant donné des entiers q
2 et n1 n2 nq 2,
on considère la variété différentiable
Hn =
n
M =
(x0 ,x1 , . . . ,xn )
Hn Hn
1
2 Rn 1 j x02
+
q
X
avec, pour n
2,
n
i =1
30
xi2 = 1 et x0 > 0
o
(hyperboloïde) .
SO0 (1,nq ) agit transitivement et de
par isométries pour la métrique riemannienne ρ = P1 Pq ,
où P j est la métrique de Poincaré (de courbure sectionnelle constante égale à 1) sur H n
(j = 1, . . . ,q). En outre, pour j 2 f1, . . . ,q g, soient :
v j = (1 , 0 , . . . , 0 ) 2 H n ,
Le groupe de Lie connexe G = SO0 (1,n1 )
manière C 1 sur M
j
g j = so(1,n j ) =
Kj =
n
1
0
0
A
n
0
x
t
0
x
hX j Y i j =
1
2
!
Ej
1
0
0
0
0
Y
!
t
Y
x
!
o
, x
2 Rn , Y 2 so(n j )
1
0
0
In
j
,
j x 2 Rn
j
o
j Y 2 so(n j ) = so(n j ) ,
o
,
2,
1
CC
2 M (n
.. C
.A
1
0
x
o
tr(X I1,n j Y I1,n j ) pour X ,Y
00 0
BB ...
=B
@0 0
0
j A 2 SO(n j ) = SO(n j ) ,
!
pour tout entier n
2 M (n j + 1,R) j X =
X
n
h j = Lie (K j ) =
pj =
n
j
0
Le stabilisateur de (v1 , . . . ,vq )
j +
2 g j , où I1 n =
,
!
2 M (n + 1 , R )
R
1, ).
2 M dans G est égal à K
= K1
Kq (sous-
groupe compact maximal de G) et on a ici :
g = g g ,
h = h h ,
p = p p .
Prenons pour sous-algèbre abélienne maximale a = RE RE p, et définissons :
B = (η E , . . . ,η E ) 2 a j jη j + + jη j < 1 .
C’est une boule convexe de a qui est invariante par le groupe de Weyl Wa , celui-ci étant
1
q
1
q
1
q
1
1 1
engendré par les éléments
1
q q
a !a
q
q
( j = 1, . . . , q ) .
7 ! (X 1 , . . . , X j , . . . , X q )
En identifiant a avec R par (η1 , . . . ,ηq ) 2 Rq 7 ! (η1 E1 , . . . ,ηq Eq ), l’espace riemannien
symétrique (M ,ρ) admet, relativement à la chambre de Weyl a = (R )q , les racines
(X1 , . . . ,X j , . . . ,Xq )
q
+
31
+
positives :
a : R ! R (multiplicité = n
q
(η1 , . . . ,η j , . . . ,ηq )
7 ! ηj
j
1) ( j = 1, . . . , q ) .
Si maintenant F est la métrique de Finsler G-invariante sur M définie par B selon le théorème II.2.5, on a alors (remarque II.3) :
hX
q
hV (F ) =
P
max
q
η j =1
j =1
1,...,q , η j
8 j 2f
(en effet hV (F )
n1
1)η j
(n j
i
i .e . hV (F ) = n1
1
j =1
g 0
1, ce majorant étant atteint pour (η1 , . . . ,ηq ) = (1,0, . . . ,0)).
g h j i) l’espace euclidien produit (g ,h j i ) Par ailleurs, en désignant par ( ,
1
1
(gq ,h j iq ) et par ξG la métrique de Riemann sur G, invariante par multiplication
à gauche, définie à l’aide de h j i, la projection naturelle π : G ! M est une submersion riemannienne relativement à ξG et ρ. De plus, l’identification linéaire de a avec Rq fait
correspondre la restriction à a a du produit scalaire h j i sur g avec le produit scalaire
canonique canR sur Rq . Sachant que les racines α1 , . . . ,αq sont représentées respectiveq
ment par les vecteurs ε1 = (1,0, . . . ,0), . . . ,εq = (0, . . . ,0,1) via canRq , on a donc (remarque
II.2) :
X
hV (ρ) = la norme de
v
u
uX(n
(ρ) = t
q
q
(n j
1)ε j pour canRq i .e . hV
j =1
j =1
32
j
1 )2 .
Chapitre III
CONTRE-EXEMPLE FINSLÉRIEN EN RANG 2
33
34
Cette partie est consacrée à la construction explicite, sur tout espace riemannien
symétrique (M ,ρ) de type non-compact et de rang supérieur ou égal à 2, d’une métrique
de Finsler G-invariante F1 dont l’entropie volumique est strictement inférieure à celle de ρ
et qui vérifie volF1 (M /Γ) = volρ (M /Γ) pour tout sous-groupe discret Γ de G, co-compact
et sans points fixes.
En outre, nous montrons que F1 est l’unique minimum de l’entropie volumique
parmi toutes les métriques de Finsler sur M qui sont G-invariantes et normalisées par le
volume finslérien de M . Aussi, c’est ce dernier que nous allons maintenant définir.
III.1. Mesure sur un espace de Finsler
j
Commençons par un lemme élémentaire. Soit ( ) un produit scalaire fixé sur
Rn
1). À chaque produit scalaire Φ sur R est associé un unique endomorphisme A de
Rn , symétrique et positif par rapport à (j), tel que :
8v,w 2 Rn , Φ(v,w ) = (Av j w ).
En désignant par vol j la mesure de Haar sur Rn correspondant à (j), on a :
n
(n
(
L III.1.1.
)
q
déf
det(j) (Φ) =
p
det(A ) =
vol(j) (B(j) )
j
vol(j) (BΦ )
,
où B(j) et BΦ sont les boules unité ouvertes pour ( ) et Φ respectivement.
Preuve. — Appliquer la formule du changement de variable dans une intégrale.
Ceci conduit à définir pour toute norme N sur
q
déf
det(j) (N ) =
Rn :
vol(j) (B(j) )
vol(j) (BN )
,
où BN est la boule unité ouverte pour N .
pdet (N ) vol
=
On peut ainsi associer à N une mesure sur
Rn , volN déf
=
q
det(j) (N ) vol(j) , qui vé-
R (vol
p
étant la mesure de Haar sur R correspondant à Φ et det (N ) se définissant comme avec
rifie de manière évidente volN
Φ
Φ
n
pour tout produit scalaire Φ sur
Φ
35
n
Φ
j)). Ainsi volN est intrinsèque à N et étend la notion de mesure de Haar pour les produits
scalaires sur Rn avec, entre autres, volN (BN ) = volΦ (BΦ ) = constante ne dépendant que
de n pour tout produit scalaire Φ sur Rn .
(
Posons alors la :
D III.1.2. — Soit M une variété différentiable munie d’une métrique de
q
Finsler F . On appelle mesure finslérienne associée à F la mesure volF sur M définie par :
déf
dvolF (x ) =
2 M) ,
detρ(x ) (F (x , )) dvolρ (x ) (x
où ρ est une métrique riemannienne C 0 arbitraire sur M .
Cette définition est une généralisation naturelle de la classique mesure rieman-
q
nienne sur un espace de Riemann, et c’est elle que nous utiliserons dans toute la suite du
présent chapitre. Pour compléter ce paragraphe, explicitons
L III.1.3. — Soient N1 et N2 deux normes sur
Rn nf0g.
L’application f :
detρ(x ) (F (x , )) (x
2 M ).
Rn qui sont de classe C 1 sur
Rn nf0g ! Rn nf0g est un C 1 -difféomorphisme dont le jacobien
N v
v 7! N v v
1( )
en v
2( )
2 Rn nf0g vaut :
(Jac f )(v ) =
N (v ) n
1
.
N2 (v )
Preuve.
f est clairement de classe C 1, bijective, avec f
1
:
Rn nf0g ! Rn nf0g de classe C 1 .
N w
w 7! N w w
2(
)
1(
)
On a 8v 2 R nf0g, N2 (v ) f (v ) = N1 (v )v, d’où en différentiant :
8h 2 Rn , N2 (v ) [ f 0 (v ) h] = N1 (v )h + [L(v ) h] v ,
N v 0
N2 (v ) (forme linéaire sur Rn ).
où L (v ) = N10 (v )
N v
Soient h j i le produit scalaire canonique sur Rn et (e1 , . . . ,en ) la base canonique
n
de R . En notant a = N1 (v ), λi = L (v ) ei et αi = hv j ei i pour i 2 f1, . . . ,ng, la matrice
n
1( )
2( )
de N2 (v ) f 0 (v ) par rapport à (e1 , . . . ,en ) est égale à
B + aI
R
avec B = (αi λ j )i , j =1,...,n et I la matrice unité de M (n, ).
Il en résulte que det [N2 (v ) f 0 (v )] = CB ( a ), où CB (X ) = det(B
le polynôme caractéristique de B.
36
XI)
2 R[X ] est
Or, un rapide calcul montre que B 2 = sB avec
+ λn αn
s = λ1 α1 +
= L (v ) v .
Comme N1 et N2 sont positivement homogènes de degré 1, le théorème d’Euler entraîne N10 (v ) v = N1 (v ) et N20 (v ) v = N2 (v ) ; par suite s = 0, d’où CB (X ) = ( X )n
puisque B est nilpotente (B 2 = 0). On en déduit donc que det [N2 (v ) f 0 (v )] = a n , c’est-à-
dire det( f 0 (v )) =
N1 (v )
N2 (v )
n
.
Ce résultat nous conduit à la :
P III.1.4. — Soient N1 et N2 deux normes sur
n
j) est unZ produit scalaire quelconque
Z sur R , on a :
(
B N2
ϕ(w ) dvol(j) (w ) =
Rn et ϕ 2 Cc0 (Rn ,R). Si
N (v ) N (v ) B N1
1
ϕ
nf0g
N2 (v )
n
1
v
N2 (v )
dvol(j) (v ) .
Preuve.
Supposons tout d’abord que N1 soit de classe C 1 sur Rn nf0g. D’après [Bo-Fe],
p. 36, il existe une suite (ν ) 2N de normes sur Rn , de classe C 1 (et même analytiques) sur
Rn nf0g, qui converge simplement sur Rn vers N2 et telle que 8ℓ 2 N , N2 ν . On a
ℓ ℓ
Z
alors :
8 2ZN ,
Bνℓ
ϕ(w ) dvol(j) (w )
avec ℓ
Bνℓ
ϕ(w ) dvol(j) (w ) =
ℓ
!
!+1
Z
Z
Bν
ℓ
=
B N1
nf0g
ℓ
Z
B N2
ϕ(w ) dvol(j) (w )
ϕ(w ) dvol(j) (w )
nf0g
N (v ) N (v ) ϕ
1
νℓ (v )
n
1
v
νℓ (v )
dvol(j) (v )
en appliquant le lemme précédent au changement de variable
Rn nf0g ! Rn nf0g
N1 (v )
v7 !
v=w
ν (v )
qui est un C 1 -difféomorphisme envoyant BN nf0g sur B nf0g.
Comme ϕ est bornée sur Rn et que 8ℓ 2 N , 8v 2 Rn nf0g, f :
ℓ
νℓ
1
Z
avons par le théorème de convergence dominée de Lebesgue :
B N1
N (v ) N (v ) nf0g
ϕ
1
νℓ (v )
v
1
νℓ (v )
n
dvol(j) (v )
ℓ
!
! 1
Z
+
37
1
ν ℓ (v )
N (v ) N (v ) B N1
nf0g
ϕ
1
N 2 (v )
v
1
N 2 (v )
n
1
,
N2 (v )
nous
dvol(j) (v ) ,
d’où il s’ensuit par unicité de la limite que :
Z
B N2
Z
ϕ(w ) dvol(j) (w ) =
B N1
N (v ) N (v ) nf0g
1
ϕ
N2 (v )
v
n
1
N2 (v )
dvol(j) (v ) .
Si maintenant N1 est quelconque, il suffit d’utiliser l’égalité ci-dessus pour une
suite (δ ) 2N de normes sur Rn , de classe C 1 sur Rn nf0g, qui converge simplement sur
Rn vers N1 avec 8ℓ 2 N, δ N1 , puis de faire un passage à la limite.
ℓ ℓ
ℓ
P III.1.5. — Soient M une variété différentiable de dimension n
2 et
F (resp. ρ) une métrique de Finsler (resp. de Riemann) sur M . Alors :
q
8x 2 M ,
ρ
où Sx (M )
detρ(x ) (F (x , )) =
R
ρ
S x (M )
F
nCn
n (x , u )
ρ
d σx (u )
,
Tx (M ) est la sphère unité pour ρ(x ), σx est la mesure canonique sur Sx (M )
ρ
ρ
relative à ρ(x ) et Cn est le volume euclidien canonique de la boule unité canonique dans
Rn .
Preuve. — Pour x
2 M fixé, nous avons dans Tx (M ) :
Z
volρ(x ) BF (x ,) =
) nf0x g
dvolρ(x ) (w )
pρ(x ) (v,v ) !
B F (x ,
Z
n
=
B ρ (x )
nf0x g
F (x , v )
dvolρ(x ) (v )
d’après la proposition III.1.4.
On peut alors écrire :
volρ(x ) BF (x ,)
=Z
0
=
1
n
1
Z
t
n 1
"Z
ρ
Sx (M )
ρ
F
n
Sx (M )
1
F (x ,u )
ρ
(x ,u ) d σx (u ) .
Par ailleurs, volρ(x ) Bρ(x ) = Cn , ce qui achève la preuve.
38
#
n
ρ
d σx (u )
dt
III.2. Minimum de l’entropie volumique
Position du problème.
En reprenant les notations de I.3, soient M une variété différentiable de dimen-
sion n
2, connexe et simplement connexe, et Γ un sous-groupe discret de Diff(M ), co-
compact et sans points fixes.
Le problème du minimum de l’entropie volumique avec normalisation par le volume finslérien de M consiste à rechercher, s’ils existent, les points qui minimisent la fonctionnelle
FΓ ! R
F 7 ! [hV (F )]n volF (M /Γ)
,
le volume étant calculé avec la mesure finslérienne volF sur M /Γ introduite au paragraphe
précédent (on note encore F la métrique de Finsler quotient sur M /Γ) et
FΓ étant défini
en I.3.
Comme on a vu que pour λ
2 R
+
et F
2 FΓ, hV (λF ) = 1 hV (F ), la fonctionnelle
λ
ci-dessus n’est pas affectée par les homothéties de rapport > 0 en raison de la présence du
facteur volF (M /Γ), ce qui donne un sens à l’étude de son minimum éventuel.
Remarquons qu’on pourrait très bien considérer toute autre fonctionnelle sur
FΓ ,
positivement homogène de degré nul, faisant intervenir l’entropie volumique. En particulier, il est intéressant d’utiliser une autre notion de volume finslérien que celle introduite
au III.1 ; c’est ce que nous ferons dans le prochain chapitre.
Plaçons-nous dorénavant dans le cas où M est munie d’une métrique riemannienne symétrique ρ de type non-compact. Alors, pour toute métrique de Finsler Ginvariante F sur M (i.e. F
2 FG , où G est comme toujours la composante connexe de
l’identité dans le groupe des isométries de (M ,ρ)), on a :
vρ
volρ ,
volF =
vF
où vF (resp. vρ ) est la valeur commune (par G-invariance de F et ρ) des volumes
volρ(x ) BF (x ,) (resp. volρ(x ) Bρ(x ) = Cn ) dans Tx (M ) pour x
2 M.
Si Γ est un sous-groupe discret de G, co-compact et sans points fixes, il résulte que
pour F
2 FG (donc Γ-invariante) nous avons :
n
[hV (F )]
n
[hV (F )] volF (M /Γ) =
(v
v
F
39
ρ
volρ (M /Γ)) .
2 FG , le problème du minimum
de l’entropie volumique revient ici à déterminer les points de FG qui minimisent la fonctionnelle
,
Φ : FG ! R
n
[hV (F )]
F 7 !
v
Ainsi, vρ volρ (M /Γ) étant une constante par rapport à F
F
et ceci indépendamment de Γ.
Pour cette détermination, nous allons établir la
P III.2.1. — Soit (M ,ρ) un espace riemannien symétrique de type non-
compact. Avec les notations de I.1 (rappelées au début du chapitre II), l’application
N0 :
a ! RX
H
7!
2
j
j
mα α(H )
α Λa+
est une norme sur
a qui est Wa-invariante pour tout choix de x , a p et a a.
+
0
Preuve.
La valeur absolue d’une forme linéaire étant une semi-norme et toute combinaison linéaire à coefficients 0 de semi-normes étant une semi-norme, N0 est une semi-
a
norme sur .
Soit H 2 a tel que N0(H ) = 0 ; alors 8α 2 Λa
+
, α(H ) = 0.
En désignant par (α1 , . . . ,αq ) une base de Λa telle que αi
déf
q = dim
a = rang(M ,ρ) (voir [Hel], p. 458), on obtient :
αi (H ) = 0,
2 Λa , 8i = 1, . . . ,q avec
+
8i = 1 , . . . , q ,
a
d’où H = 0 puisque (α1 , . . . ,αq ) est une base du dual de .
a
N0 est donc une norme sur .
Pour montrer la Wa -invariance de N0 , prouvons le lemme suivant :
2 Wa fixé, posons pour chaque α 2 Λa :
+1 si α > 0 sur σ a
S (α,σ) =
1 si α < 0 sur σ a
(σ a est une chambre de Weyl de a). Alors 8α 2 Λa , S (α,σ)α 2 Λ a
! Λ a est bijective.
tion Λa
α 7 ! S (α,σ)α
L III.2.2. — Pour σ
+
+
+
σ
+
σ
+
40
+
, et l’applica-
Preuve du lemme III.2.2.
Pour α 2 Λa , il existe Y 2 g, Y 6= 0, tel que α(H )Y
appliquant l’involution de Cartan τ défini en I.1,
= [ H , Y ],
8H 2 a ; d’où en
α(H )τ Y = τ [H ,Y ] = [τ H ,τ Y ] = [ H ,τ Y ] ,
c’est-à-dire
6
2 a.
2 Λa et par suite S(α,σ)α 2 Λa . En outre,
α(H )τ Y pour tout H
[H ,τ Y ] =
Comme τ Y = 0, il en résulte que
α
a , donc S(α,σ)α 2 Λ a .
Pour α,β 2 Λa telles que S(α,σ)α = S(β,σ)β, on ne peut pas avoir α et β de
signes différents sur σ a ; sinon β(H ) = α(H ), 8H 2 σ a , d’où β = α (puisque
σ a est un ouvert non vide de a et α,β sont des formes linéaires sur a), ce qui est imposS (α,σ)α > 0 sur σ
+
σ
+
+
+
+
+
sible compte tenu du fait que α et β sont de même signe (> 0) sur
S (α,β) et par suite α = β, ce qui prouve l’injectivité.
Enfin, l’application Λa ! Λ a
α7 !ασ
achève la preuve du lemme.
+
+
σ
1
a
+
. Donc S (α,σ) =
étant bijective, on a #Λσa+ = #Λa+ , ce qui
De retour à la démonstration de la proposition III.2.1, nous avons pour σ
H
2 a:
X
N0 (σ H ) =
j
j
mα α(σ H )
2
X
α Λa+
=
j
j
mα S (α,σ)α(σ H )
2
X
α Λa+
=
2 Wa et
j
j
mS (α,σ)α S (α,σ)α(σ H )
2
α Λa+
X
(α et S (α,σ)α ayant évidemment les mêmes multiplicités)
=
j j
mν ν(σ H )
2 a
car, d’après le lemme précédent, Λσa = fS (α,σ)α j α 2 Λa
ν Λσ
+
+
+
Finalement, la bijectivité de Λσa+
ν
2 Λ a
σ
+
ν
g.
! Λa et le fait que m
7 !νσ
+
ν
= mν σ pour tout
conduisent à N0 (σ H ) = N0 (H ), ce qui prouve la Wa -invariance de N0 .
Remarque III.2.3. — Pour F
2 FG , la formule de l’entropie volumique établie au
chapitre II peut aussi s’écrire à présent hV (F ) =
max [N0 (H )] , soit encore par Wa -
2 \a
H BF
invariance de N0 :
hV (F ) = max [N0 (H )] .
2
H BF
41
+
(1)
Comme max
2
H BF
P
2 a
α Λ
mα α(H ) est compris entre
2 \a
H BF
+
P
max
et max N0 (H ) = hV (F ) (ci-dessus), on a également :
2
H BF
hV (F ) = max
2
H BF
X
2
2
+
mα α(H )
= hV (F )
α Λa+
(2 )
mα α(H ) .
α Λa+
Nous pouvons énoncer enfin :
T III.2.4. — Soit (M ,ρ) un espace riemannien symétrique de type non-
compact. Avec les notations de la proposition précédente, la métrique de Finsler G invariante F0 sur M , associée à la boule unité de N0 , minimise la fonctionnelle
Φ:
FG ! R
[hV (F )]n
F 7 !
v
,
F
avec Φ(F0 ) =
1
v F0
.
Preuve. — Pour F
2 FG , on a :
vF = volρ(x0 ) (BF (x0 ,) )
= volρ(x0 ) (Te π Ad(K )BF )
! M est la projection naturelle (voir I.1 et I.2).
7 ! g x0
sup [N0 (H )] > 0, donc en appliquant les Te π Ad(k )
par définition même de BF et où π : G
Or, BF
(k
δB F
g
0
avec δ =
2
2 K ) qui sont linéaires de g dans Tx (M ),
Te π Ad(K )BF δTe π Ad(K )BF
H BF
0
Il en résulte que vF
δn vF , i.e. Φ(F0 ) = v1 0
F0
0
[hV (F )]
vF
n
.
= Φ(F ) puisque la formule
(1) de la remarque III.2.3 entraîne que δ = hV (F ) et hV (F0 ) = 1.
III.3. Cas d’égalité et contre-exemple général
FG étant positivement homogène de degré nul, toutes les
métriques de Finsler λF0 (λ 2 R ) la minimisent. Ce sont en fait les seules, comme nous
La fonctionnelle Φ sur
+
allons le voir :
42
P III.3.1. — Seules les métriques de Finsler λF0 (λ
FG ! R du théorème III.2.4.
la fonctionnelle Φ :
Preuve. — Soit F
2 FG telle que Φ(F )
p), v
F
1
δ
F0 .
δBF , supposons que BF $ δBF .
0
0
$ δ Ad(K )BF , l’inclusion étant stricte, car pour toute boule
a, on a Ad(K )B \ a = B (voir [Pla], p. 19) ; par suite (s’agissant d’ouverts de
Alors Ad(K )BF
convexe B
+
= Φ(F0 ), c’est-à-dire vF = δn vF0 avec
δ = hV (F ), et montrons que BF = δBF0 d’où l’on tirera F =
Comme on a toujours BF
2 R ) minimisent
0
< δn vF0 . Or, ceci est absurde.
Contre-exemple finslérien général en rang
2.
Nous sommes maintenant en mesure de répondre négativement à la conjecture
finslérienne de l’entropie volumique minimale sur tout espace riemannien symétrique de
type non-compact et de rang
2.
T III.3.2. — Soit (M ,ρ) un espace riemannien symétrique de type non-
compact et de rang
2. Avec les notations du théorème III.2.4, on a
hV (F1 ) < hV (ρ) et volF1 (M /Γ) = volρ (M /Γ)
pour tout sous-groupe discret Γ de G , co-compact et sans points fixes, où la métrique de
Finsler F1 sur M est définie par :
déf
F1 =
Preuve.
On a BF
1
=
vρ
v F0
1/n
v F0
vρ
BF0 , d’où vF1 =
1/n
F0 .
vρ
v F0
vF0 = vρ et par conséquent volF1 =
volρ ; donc volF1 (M /Γ) = volρ (M /Γ) pour tout sous-groupe discret Γ de G, co-compact et
sans points fixes.
D’autre part, [hV (F1 )]n = vv [hV (F0 )]n par définition de F1, d’où [hV (F1 )]n n
[hV (ρ)] puisque Φ(F0 ) Φ(ρ) d’après le théorème III.2.4.
ρ
F0
Supposons que hV (F1 ) = hV (ρ) ; alors, comme vF1 = vρ , on aurait Φ(F1 ) = Φ(ρ),
2 R ) d’après la proposition III.3.1. Ainsi F1 , donc F0, serait
riemannienne, ce qui n’est pas possible car la boule BF a n’est pas euclidienne du fait
que rang(M ,ρ) = dim a 2.
ce qui entraînerait F1 = λρ (λ
+
0
43
Remarques.
a) La condition rang(M ,ρ)
2 est essentielle pour la construction du contre-
exemple général précédent. Le cas du rang 1 est beaucoup plus délicat et nous verrons
ce qu’on peut en dire au chapitre V.
b) Comme nous l’avions annoncé dans l’introduction, il y a en rang
2 une nette
distinction entre les métriques de Riemann (voir [B-C-G 3]) et celles de Finsler pour le problème du minimum de l’entropie volumique avec normalisation par le volume finslérien
(généralisation naturelle du volume riemannien). Cette différence sera radicale s’il s’avère
— la question reste encore ouverte — que la conjecture de l’entropie volumique minimale
est soluble par l’affirmative pour les métriques de Riemann sur tout espace riemannien
symétrique de type non-compact et de rang
2 à l’instar du rang 1 (voir [B-C-G 2]).
44
Chapitre IV
MESURE DE LIOUVILLE
POUR UN ESPACE DE FINSLER
45
46
Utiliser le volume finslérien comme normalisation dans le problème du minimum de l’entropie volumique est une démarche héritée du cadre riemannien s’imposant
presque d’elle-même. Mais, nous l’avons dit, cette manière de procéder n’est pas la seule
possible. En vue du prochain chapitre, nous allons considérer ici, en effet, une autre notion
de volume attachée à une métrique de Finsler : le volume de Liouville . Après avoir décrit
explicitement ce dernier, nous montrerons qu’il est de nature différente de celle du volume
finslérien en ce qui concerne la normalisation de l’entropie. Ainsi, cette situation sera à
mettre en contraste avec le cas des métriques de Riemann.
D IV.1. — Soit M une variété différentiable de dimension n
2, mu-
nie d’une métrique de Finsler F de classe C 1 . On dit que F est strictement convexe si, et
déf 1
seulement si, le lagrangien LF =
00
2
F 2 est strictement convexe, i.e. la différentielle seconde
(LF (x , )) (v ) par rapport à v est un produit scalaire sur Tx M pour tout (x ,v )
2 TM.
Dans tout ce chapitre, nous nous donnons un tel espace finslérien (M ,F ).
Après avoir fait quelques rappels, nous allons établir certaines propriétés relatives
à LF qui nous servirons pour donner une expression de la mesure de Liouville sur le fibré
sphérique S F (M ) de F .
IV.1. Structure riemannienne induite par F
déf
!
M la projection canonique, V = Ker(T p ) le fibré vertical
au-dessus de T M , T p : T (T M ) ! T M étant l’application tangente de p, et
D : Γ(T (T M )) Γ(V ) ! Γ(V )
(X , Y ) 7 ! D X Y
On note p : T M
la connexion verticale de Cartan associée à F (voir [Ab-Pa], p. 26) (pour un fibré vectoriel E
!
B de base B, Γ(E ) est l’ensemble de ses sections C 1 ). De plus, soient
! V x v l’isomorphisme vertical en (x ,v ) 2 T M , où jx : Tx M ! T M
u 7 ! Tv j x u
w 7 ! (x ,w )
est l’inclusion canonique, et J 2 Γ(V ) le champ de Liouville défini par :
J (x ,v ) = ι x v (v ), 8(x ,v ) 2 T M .
ι(x ,v ) : Tx M
( , )
( , )
47
! V donnée par Λ(X ) déf
= DX J pour X appartenant
La fibration vectorielle Λ : T (T M )
H déf
= Ker(Λ) est un fibré horizontal au-dessus de T M , c’est-
H L V (somme directe). Il existe donc un isomorphisme horizontal Θ :
V ! H associé à H (voir [Ab-Pa], p. 9) qui permet de poser :
à Γ(T (T M )) est alors telle que
à-dire T (T M ) =
D IV.1.1. — On appelle métrique de Riemann sur T M induite par F , la
i)
S
2 T M , 8V ,W 2 V x v , 8H ,K 2 H x v ,
SF (x ,v ) (V ,W ) = (LF (x , ))00(v ) ι x1v (V ),ι x1v (W ) ,
métrique
F
8
définie par : (x ,v )
( , )
S (x ,v ) (H ,K ) = S (x ,v )
iii) S (x ,v ) (H ,V ) = 0.
ii)
F
( , )
( , )
( , )
Θ(x1,v )(H ),Θ(x1,v ) (K )
F
,
F
2 T M , l’isomorphisme vertical ι x v : Tx M ! V x v est
une isométrie linéaire pour les produits scalaires (LF (x , ))00 (v ) et SF (x ,v ) par construc
Remarque. — Pour (x ,v )
tion même de
S . Le fait que S
F
( , )
( , )
F
doive “vivre” sur T M provient de la dépendance de
(LF (x , ))00 (v ) par rapport à v, celle-ci n’existant pas pour une métrique riemannienne
sur M . Signalons aussi que la connexion verticale de Cartan D n’est pas la connexion de
Levi-Civita associée à
([Ab-Pa], p. 29).
S , car on montre que la torsion de D n’est pas identiquement nulle
F
Parallèlement à cette définition, la stricte convexité du lagrangien LF entraîne sa
régularité, c’est-à-dire que la transformation de Legendre
T LF : T M ! T M
(x ,v ) 7 ! (x ,(LF (x , ))0 (v ))
est un difféomorphisme local (T M est le fibré cotangent privé de la section nulle).
Par suite, on peut considérer la 1-forme de Liouville αF sur T M associée à LF , image
réciproque par
T LF de la restriction à T M de la 1-forme canonique α0 sur T M .
Déterminons alors le lien entre
S
F
et αF :
2 T M , Y 2 T x v (T M ) et V 2 V x v , on a :
αF (x ,v ) Y = SF (x ,v ) J (x ,v ),ι x v (T x v p Y ) ,
P IV.1.2. — Pour (x ,v )
( , )
et
d αF (x ,v ) (V ,Y ) =
( , )
( , )
S (x ,v )
F
48
( , )
V ,ι(x ,v )(T(x ,v ) p Y ) .
Preuve.
Par définition, pour q 2 Tx M et Z 2 T x q (T M ), α0 (x ,q ) Z = q (T x q p Z ),
! M est la projection canonique.
( , )
où p : T M
( , )
Il en résulte que
0
T
αF (x ,v ) Y = α0 (x ,(LF (x , )) (v )) T(x ,v ) ( LF ) Y
(car p T M
T LF = p)
0
= (LF (x , )) (v ) TT LF (x ,v ) p T(x ,v ) (T LF ) Y
0
= (LF (x , )) (v ) T(x ,v ) p Y
00
= (LF (x , )) (v ) (v,T(x ,v ) p Y ) ,
d’après le théorème d’Euler et le fait que (LF (x , ))0 (v ) est positivement homogène de
degré 1.
Soient (Ω,(x1 , . . . ,xn )) une carte locale
sur M , centrée en x, et (T Ω,(x1 , . . . ,xn ,
v1 , . . . ,vn )) la carte locale correspondante sur T M , centrée en (x ,v ). Avec les conventions
d’Einstein,
Y = ai
et
V = ci
Si Y
∂
∂x i
∂
∂v i
(x ,v ) + bi
∂
∂v i
(x ,v )
(x ,v ), où ai , bi , ci
2 R (i = 1, . . . ,n).
2 Γ(T (T M )) et V 2 Γ(V ) sont des champs de vecteurs tels que :
Y
∂
= a i ∂x
T Ω
i
+ bi
∂
et V
∂v i
0.
T Ω
∂
=c
T Ω i ∂v i
,
on a Y (x ,v ) = Y , V (x ,v ) = V et [V ,Y ]
V
fg
d αF (x ,v ) (V ,Y ) = (V αF (Y ))(x ,v )
∂ Sachant, d’après le précédent point, que αF (Γ( )) = 0 , nous avons alors :
= ai c j
∂
αF TΩ
∂v
j
∂x i
(x , v ) .
8
2 T Ω, 8i = 1, . . . ,n,
∂
∂
0
αF (y,w )
(y,w ) = (LF (y, )) (w ) T y w p (y , w )
∂x
∂x
Or, toujours d’après le premier point, (y,w )
i
( , )
0
= (LF (y, )) (w )
49
∂
∂x i
(y ) ,
i
8
∂ ∂ ∂ 00
αF (x ),
(x )
(x ,v ) = (LF (x , )) (v )
∂v
∂x
∂x
T Ω ∂x
d’où il résulte que : j = 1, . . . ,n,
∂
puisque ι(x ,v )
j
∂
∂x j
(x )
i
j
i
∂
= ∂v (x ,v ). Donc, finalement :
j
d αF (x ,v ) (V ,Y ) =
S (x ,v ) (V ,ι
(x ,v ) (T(x ,v ) p
F
Y )) .
2 SF (M ) (le fibré sphérique de F ) et complétons
le vecteur P1 = J (x ,v ) 2 V x v en une base orthonormée (P1 ,P2 , . . . ,Pn ) de V x v pour
SF (x ,v ). En posons Zi déf
= Θ x v (Pi ) 2 H x v (i = 1, . . . ,n), nous avons le :
Fixons-nous maintenant (x ,v )
déf
( , )
( , )
( , )
( , )
L IV.1.3. — (P2 , . . . ,Pn ,Z1 , . . . ,Zn ) est une base orthonormée de T(x ,v )(S F (M ))
pour
S (x ,v ).
F
Preuve. — La famille (P2 , . . . ,Pn ,Z1 , . . . ,Zn ) étant orthonormée pour
construction (Θ(x ,v ) est une isométrie linéaire pour
P dq ^ dx
F
1. Comme la 2-forme d α0 sur T M
en coordonnées locales naturelles sur T M ),il
n
i
i =1
F
S (x ,v )), il suffit de montrer qu’elle est
tangente à S F (M ) en (x ,v ), puisque dim S F (M ) = 2n
est symplectique (elle s’écrit
S (x ,v ) par
i
en est de même pour d αF sur T M , ce qui permet de définir le gradient symplectique XF
de LF par rapport à d αF :
iXF d αF =
Pour i
dLF .
2 f2, . . . ,ng, on a alors :
T x v LF Pi = d αF (x ,v ) (Pi ,XF (x ,v ))
= SF (x ,v ) Pi ,ι x v (T x v p XF (x ,v ))
( , )
( , )
( , )
d’après la proposition précédente.
Or, T(x ,v ) p XF (x ,v ) = v, car XF est une équation différentielle du second ordre sur
T M ([Be], p. 26), ce qui conduit à
T(x ,v ) LF Pi =
Sachant que S F (M ) = LF
1 1
2
S (x ,v ) (P ,P ) = 0 .
, on a donc P 2 T
F
i
i
(x ,v ) (S
2 T x v (SF (M )) pour i = 1, . . . ,n .
( , )
En notant de la même manière
F
S
F
F
(M )),
8i = 2, . . . ,n.
8 2 H xv
D’autre part, le fait d’avoir T(x ,v ) LF H = 0, H
que Zi
1
( , )
([Ab-Pa], p. 30) entraîne
et la métrique qu’elle induit sur S F (M ), ainsi
que αF et sa restriction à S (M ), nous obtenons alors :
50
P IV.1.4. — La (2n
associée à LF est une forme volume sur S
fie :
^ (d αF )n 1
(M ) dont la mesure correspondante jωF j véridéf
1)-forme de Liouville ωF =
F
jωF j = volS
F
1
(n
1)!
αF
.
2 SF (M ) et (P1 , . . . ,Pn ,Z1 , . . . ,Zn ) comme dans le lemme
précédent. En vertu de la proposition IV.1.2, on a pour i , j = 1, . . . ,n : d αF (x ,v ) (Pi ,P j ) = 0
(car P j 2 V x v ) et d αF (x ,v ) (Pi ,Z j ) = δi j . En effet, Θ : V ! H étant horizontale, on a
T x v p Θ x v = ι x1v ([Ab-Pa], p. 6).
En outre, αF (x ,v ) Pi = 0 (car Pi 2 V x v ) et
1
αF (x ,v ) Z1 = (LF (x , ))0 (v ) ι x v (P1 )
0
= (LF (x , )) (v ) v
Preuve. — Soient (x ,v )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
= 2LF (x ,v )
(LF (x , ) est positivement homogène de degré 2), i.e. αF (x ,v ) Z1 = 1.
Il s’ensuit que :
αF
^ (d αF )n
1
(x ,v ) (P2 , . . . ,Pn ,Z1 , . . . ,Zn )
=(
1)
X
n (n 1)
2
σ
=(
1)
2P (f2,...,ng)
n (n 1)
2
(
n
6
αF (x ,v ) Z1
n
d αF (x ,v ) (Pσ(i ) ,Zσ(i ) )
i =2
1)! = 0 , où
f
Y
g
P (f2, . . . ,ng)
désigne l’ensemble des permutations de 2, . . . ,n . Ceci achève la preuve.
IV.2. Expression de la mesure de Liouville associée à F
j j
Afin de pouvoir utiliser ωF , nous allons en donner une formule ne faisant plus
intervenir ni αF , ni
S
F
(qui n’aura donc été qu’un intermédiaire de calcul). Pour cela, nous
aurons besoin d’un lemme préliminaire.
Rn (n 2), on se donne une norme N , C 1 sur Rn nf0g et strictement convexe,
déf
c’est-à-dire telle que 8v 2 Rn nf0g, ϕ(v ) = ( 12 N 2 )00 (v ) soit un produit scalaire sur Rn .
On obtient ainsi une métrique riemannienne ϕ sur Rn nf0g pour laquelle on notera
n
γ 2 Λ (Rn nf0g) la forme volume associée à vol et à l’orientation dx1 ^ ^ dxn (forme
p
volume canonique sur Rn ). On a donc 8v 2 Rn nf0g, γ(v ) = dethji (ϕ(v ))dx1 ^ ^
dxn , où h j i est le produit scalaire canonique sur Rn . Enfin, désignons la boule unité
Sur
ϕ
51
ouverte et la sphère unité pour N respectivement par BN et SN (sous-variété C 1 de
et considérons θ
2 Λn
8 2 SN , 8u2, . . . ,un 2 Tv (SN ),
déf
θ(v ) (u2 , . . . ,un ) = γ(v ) (v,u2 , . . . ,un ) .
1
Rn ),
(SN ) définie par : v
Alors :
L IV.2.1.
a) θ est une forme volume sur SN ,
jj
b) θ est la mesure riemannienne de la métrique sur SN induite par ϕ,
c) Pour R > 0 et f
2 Cc0 (Rn nf0g,R) :
Z
RBN
nf0g
jj
fdγ =
Z Z
R
0
jj
f (t v )d θ (v ) t n
SN
1
dt .
Preuve.
Comme (N
2
2 SN et (u2 , . . . ,un ) une base orthonormée de Tv SN pour ϕ(v ).
)0 est positivement homogène de degré 1 et que Tv (SN ) = Ker (N 2 )0 (v ) , on
a) et b) : soient v
8 2 f2, . . . ,ng,
a: i
Par suite, (v,u2 , . . . ,un ) est une
2
00
2 0
= (N ) ( v ) u i = 0 .
2
base orthonormée de Rn pour
ϕ(v ) (v,ui ) =
1
2
1
2
(N ) (v ) (v,ui )
ϕ(v ) (sachant que
ϕ(v ) (v,v ) = N (v ) = 1), d’où :
θ(v ) (u2 , . . . ,un ) = γ(v ) (v,u2 , . . . ,un )) =
c) : soient Ψ :
en (t ,v )
1 .
R SN ! Rn nf0g et dt θ la forme volume sur R SN définie
(t , v ) 7 ! t v
+
+
2 R SN par :
+
θ)(t ,v ) ((1,0); (0,u2 ); ; (0,un )) = 1
pour tous u2 , . . . ,un 2 Tv SN tels que θ(v ) (u2 , . . . ,un ) = 1. On a alors
Ψ (γ)(t ,v ) ((1,0); (0,u2 ); ; (0,un ))
∂Ψ ∂Ψ
∂Ψ
(t ,v );
(t ,v ) u2 ; ;
(t ,v ) un
= γ(t v )
∂t
∂v
∂v
= γ(t v ) (v; t u2 ; ; t un )
n 1
=t
γ(t v ) (v,u2 , . . . ,un ) .
(dt
52
Or,
γ(t v ) =
q
dethji (ϕ(t v ))dx1
^ ^ dxn
= γ(v )
(car (N 2 )00 est positivement homogène de degré nul), donc :
Ψ (γ)(t ,v ) ((1,0); (0,u2 );
et par conséquent Ψ (γ)(t ,v ) = t n
1
j θj = dt jθj.
(dt
; (0,un )) = t n
1
,
θ)(t ,v ). Ceci entraîne le résultat puisque, par
ailleurs, dt
Revenons à présent à la variété finslérienne (M ,F ) et introduisons les notations
suivantes en supposant, pour le lemme suivant, M orientée par une forme volume λ
n
2
Λ (M ) :
λF
2
Λn (M ) est la forme volume sur M associée à la mesure finslérienne volF
(définie en III.1) et à λ. On a donc, pour x
j
2 M et (e1 , . . . ,en ) une base orthonormée
de Tx M pour un produit scalaire ( ) quelconque sur Tx M :
λF (x ) (e1 , . . . ,en ) =
vol
Cn
(
j)(BF (x ,) )
,
selon que (e1 , . . . ,en ) est directe (+) ou indirecte ( ) par rapport à λ(x ).
ϕFx (x
2 M ) est la métrique de Riemann sur Tx M définie par : 8v 2 Tx M , 8u,w 2
Tx M ,
F
00
ϕx (v ) (u ,w ) = (LF (x , )) (v ) (u ,w ) .
νF
2 Λn
1
(S F (M )) est définie en (x ,v )
déf
νF (x ,v ) =
C1
n
2 SF (M ) par
volϕF (v ) (BF (x ,) )P2
x
^ ^ Pn ,
où (P2 , . . . ,Pn ) est la base duale d’une quelconque base orthonormée (P2 , . . . ,Pn )
de
n
V x v \ T x v SF (M ) pour SF (x ,v ). On a, en effet, dim(V x v \ T x v SF (M )) =
déf
1, car V x v \ T x v S F (M ) est l’orthogonal dans V x v pour SF (x ,v ) de P1 =
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
J (x ,v ) (d’après la proposition IV.1.2 et l’égalité iX
F
définition de ν (x ,v ) est positif si
d αF =
F
1
1
(ι(x ,v ) (P1 ), . . . ,ι(x ,v ) (Pn ))
Tx M pour λ(x ), et négatif sinon.
pS : S F (M )
! M est la projection canonique.
Nous avons alors :
L IV.2.2.
νF
^ pS (λF ) = (
53
1)
( , )
n (n 1)
2
ω
F
.
dLF ). Le signe dans la
est une base directe de
2 SF (M ) et (P1 ,P2 , . . . ,Pn ,Z1 , . . . ,Zn ) comme dans la pro-
Preuve. — Soient (x ,v )
position IV.1.4.
Par choix de νF et puisque T(x ,v ) pS Pi = T(x ,v ) p Pi = 0 (i = 2, . . . ,n), on a :
^ pS (λF ))(x ,v ) (P2 , .. . ,Pn ,Z1 , . . . ,Zn )
X
1
1
ε(τ)νF (x ,v ) (P
=
(n
1)!
n!
F
(ν
f
2P
X
( 2,...,n )
τ
δ
g
τ(2) , . . . ,Pτ(n) )
F
ε(δ)λ (x ) (T(x ,v ) p Zδ(1) , . . . ,T(x ,v ) p Zδ(n) )
2P (f1,...,ng)
(ε désigne la signature).
Mais νF (x ,v ) et λF (x ) sont alternées et Zi = Θ(x ,v )(Pi ) (i = 2, . . . ,n) ; donc il reste :
F
(ν
^ pS (λF ))(x ,v ) (P2 , . . . ,Pn ,Z1 , . . . ,Zn )
1
1
F
F
= ν (x ,v ) (P2 , . . . ,Pn ) λ (x ) ι x v (P1 ), . . . ,ι x v (Pn )
( , )
= 1.
( , )
En effet, la dernière égalité provient d’une part du fait que les deux facteurs ci-dessus ont
le même signe qui dépend de la base ι(x1,v ) (P1 ), . . . ,ι(x1,v )(Pn ) de Tx M . De plus, cette base
est orthonormée pour ϕFx (v ), d’où
λF (x )
1
1
ι(x ,v ) (P1 ), . . . ,ι(x ,v ) (Pn )
vol
=
Cn
ϕFx (v ) (
=
BF (x ,) )
1
νF (x ,v ) (P1 , . . . ,Pn )
.
Finalement, la preuve de la proposition IV.1.4 permet de conclure.
La variété M étant à nouveau quelconque, ce lemme conduit à la formule d’inté-
j j
gration suivante pour la mesure de Liouville ωF :
Z toute f 2 C (S
ZP IV.2.3.1 —Z Pour
0
c
j j
f d ωF =
S F (M )
où, pour x
Cn
SxF (M )
M
F
R
(M ), ), on a :
f (x ,v ) volϕF (v ) (BF (x ,) )d σxF (v )
x
dvolF (x ) ,
2 M , σxF est la mesure riemannienne sur SxF (M ) associée à la métrique induite
par ϕFx sur SxF (M ).
Preuve.
1er cas . M est orientée par λ
Z
2 Λn (M ). D’après la formule d’intégration le long des
Z Z
fibres et le lemme IV.2.2, nous avons :
j j
f d ωF =
S F (M )
f (x ,v )d
M
SxF (M )
54
j
j
S
F
( jx ) (ν ) (v )
j j
d λF (x ) ,
! SF (M ) (x 2 M ) est l’inclusion canonique.
D’autre part, si (x ,v ) 2 S F (M ) et si (P2 , . . . ,Pn ) est une base orthonormée de V x v \
où jxS : SxF (M )
( , )
S (x ,v ), on a pour i = 2, . . . ,n :
déf
0 = S (x ,v ) (P ,P ) (avec P = J (x ,v ))
T(x ,v ) S F (M ) relativement à
F
1
F
i
1
0
= (LF (x , )) (v ) ι x v (Pi ) ,
donc ι x1v (Pi ) 2 Tv SxF (M ) = Ker (LF (x ,))0 (v ) .
1
1
F
= ϕx (v ) (v,ι(x ,v ) (Pi ))
( , )
( , )
Étant libre, ι(x1,v ) (P2 ), . . . ,ι(x1,v ) (Pn ) est une base de Tv SxF (M ) (dim SxF (M ) = n
1), et
S
F
( jx ) (ν )(v )
1
1
ι(x ,v ) (P2 ) , . . . ,ι(x ,v ) (Pn )
F
= ν (x ,v ) (P2 , . . . ,Pn )
=
=
C
1
1
Cn
n
volϕF (v ) (BF (x ,) )
x
volϕF (v ) (BF (x ,) )γFx (v )
x
1
1
ι(x ,v ) (P1 ), . . . ,ι(x ,v )(Pn )
2 Λn (Tx M ) est la forme volume sur Tx M associée à vol et à λ(x ))
1
vol v (BF x )θFx (v ) ι x1v (P1 ), . . . ,ι x1v (Pn )
=
Cn
F
n 1 F
(où θx 2 Λ
(Sx (M )) est définie à partir de γFx comme dans le lemme IV.2.1).
Ainsi, ( jxS ) (νF )(v ) = C1 vol v (BF x )θFx (v ) . Par suite, puisque jθFx j =
(point b) du lemme IV.2.1) et que jλF j = volF , la proposition est établie dans ce cas.
(où γFx
ϕFx
ϕFx ( )
( , )
ϕFx ( )
n
( , )
( , )
( , )
σxF
2e cas . M est non orientable. En utilisant une partition de l’unité sur M dont chaque
ouvert est orientable, on se ramène au 1er cas.
8
Remarque IV.2.4. — Lorsque F provient d’une métrique riemannienne g sur M ,
on a (x ,v )
2
S g (M ), ϕFx (v ) = g (x ) ; d’où volϕF (v ) (BF (x ,) ) = Cn et par suite, nous
x
retrouvons l’égalité bien connue :
Z
j j
Z Z
f d ωg =
S g (M )
M
C IV.2.5. — Pour toute f
Z
j j
Z Z
f d ωg =
S g (M )
M
g
Sx (M )
f
g
Sx (M )
f¯(x ,v )F
g
(x ,v )d σx (v )
dvolg (x ) .
2 Cc0 (SF (M ),R), on a :
n
F
g
(x ,v ) detg (x ) (ϕx (v ))d σx (v )
55
dvolg (x ) ,
où g est une métrique de Riemann arbitraire sur M et après avoir posé pour (x ,u )
déf
.
f¯(x ,u ) = f x , u
2 T M,
F (x ,u)
Preuve. — Nous avons vu en III.1 que
Cn
dvolF (x ) =
8
Par ailleurs, on a (x ,v )
volg (x ) (BF (x ,) )
2 SF (M ),
volϕF (v ) (BF (x ,) ) =
q
x
Z Z
j j
f d ωF =
S F (M )
f (x ,v )
q
detg (x ) (ϕFx (v ))d σxF (v )
SxF (M )
M
2 M) .
detg (x ) (ϕFx (v )) volg (x ) (BF (x ,) ) .
Donc, d’après la proposition précédente,
Z
dvolg (x ) (x
dvolg (x ) .
Mais, sachant que ϕFx est positivement homogène de degré nul, le point c) du lemme IV.2.1
implique
Z
f (x ,v )
q
detg (x ) (ϕFx (v ))d σxF (v )
SxF (M )
1
=
Ainsi,
Z
SxF (M )
f (x ,v )
n
q
detg (x ) (ϕFx (v ))d σxF (v ) =
puisque dvolϕF (u ) =
q
Z
q
f¯(x ,u ) detg (x ) (ϕFx (u )) dvolϕF (u ) .
x
)nf0x g
BF (x ,
1
Z
n
f¯(x ,u ) detg (x ) (ϕFx (u )) dvolg (x ) (u )
)nf0x g
B F (x ,
detg (x ) (ϕFx (u )) dvolg (x ) (u ), (u
x
2 Tx M ).
En effectuant alors le changement de variable :
! Tpx M
,
g (x ) (w,w ) déf
w7 !
w = u
F (x , w )
Tx M
on obtient (proposition III.1.4) :
Z
SxF (M )
f (x , v )
q
detg (x ) (ϕFx (v ))d σxF (v )
=
=
1
Z
Z
n
Bg (x )
g
Sx (M )
nf0x g
f¯(x ,w )
f¯(x ,w )F
n
pg (x ) (w,w ) n
F (x ,w )
F
detg (x ) (ϕFx (w )) dvolg (x ) (w )
g
(x ,w ) detg (x ) (ϕx (w ))d σx (w ) ;
d’où le résultat.
56
j j
Montrons maintenant que le lien entre la mesure de Liouville ωF et la mesure
finslérienne volF n’est pas le même selon que F est riemannienne ou non. Plus précisément, nous savons que pour toute métrique de Riemann g sur M et pour tout x
g
g
σx (Sx (M )) =
j j
2
M,
g
nCn , d’où il découle que ωg (S (M )) = nCn volg (M ) lorsque volg (M ) <
1 (remarque IV.2.4).
+
Or, ceci est faux pour une métrique de Finsler quelconque, C 1 et strictement
convexe, car :
P IV.2.6.
R2 , C 1 sur R2 nf0g, dont la sphère unité SN est représentée en coordonnées polaires dans la base canonique par une fonction rayon ρ : R ! R
θ 7 ! ρ(θ)
a) Soit N une norme sur
+
différentiable et π-périodique. En posant Ψ =
1
ρ
, on a : N est strictement convexe si, et
8 2 R , Ψ(θ) + Ψ̈(θ) > 0, et dans ce cas
seulement si, θ
Z
S1
2
N
hji
(v ) det
(ϕ(v ))d σ
hji (v ) =
Z
2π
Ψ2 (θ)
Ψ̇2 (θ) d θ ,
0
h j i est le produit scalaire canonique sur R et ϕ la métrique riemannienne sur
R2 nf0g donnée par ϕ(v ) = 12 (N 2 )00 (v ) pour v 6= 0.
b) Si 8θ 2 R , Ψ(θ) = 2 + cos2 θ, alors la métrique de Finsler F sur R2 , invariante
par translation et définie par N (i.e. F (x ,v ) = N (v ), 8x ,v 2 R2 ), est C 1 , strictement
2
où
convexe, et vérifie :
jωF j(SF (R2 /Z2)) 6= 2π volF (R2 /Z2)
(on note encore F la métrique quotient).
Preuve.
a) En désignant par (i , j ) la base canonique de
e2 (θ) =
sin θi + cos θ j pour θ
2 R , on a N
2
R2 , e1 (θ)
= cos θi + sin θ j et
2
(e1 (θ)) = Ψ (θ), d’où en dérivant une
première fois par rapport à θ :
1
2
2
0
(N ) (e1 (θ)) e2 (θ) = Ψ(θ)Ψ̇(θ) ,
( )
soit encore (homogénéité) :
1
2
2
00
(1 )
(N ) (e1 (θ)) (e1 (θ),e2 (θ)) = Ψ(θ)Ψ̇(θ) .
Par dérivation de ( ), on a ensuite :
1
2
2
00
(N ) (e1 (θ)) (e2 (θ),e2 (θ))
1
2
2
00
2
(N ) (e1 (θ)) (e1 (θ),e1 (θ)) = Ψ̇ (θ) + Ψ(θ)Ψ̈(θ)
57
i.e.
1
2
puisque
2
00
2
2
(N ) (e1 (θ)) (e2 (θ),e2 (θ)) = Ψ (θ) + Ψ̇ (θ) + Ψ(θ)Ψ̈(θ)
1
2
2
00
2
2
(N ) (e1 (θ)) (e1 (θ),e1 (θ)) = N (e1 (θ)) = Ψ (θ) .
Comme (e1 (θ),e2 (θ)) est une base orthonormée pour
(2)
(3 )
h j i, on déduit de (1), (2) et (3)
que :
dethji (ϕ(e1 (θ)) = Ψ3 (θ)(Ψ(θ) + Ψ̈(θ))
et
trhji (ϕ(e1 (θ)) = Ψ2 (θ) + Ψ̇2 (θ) + Ψ(θ)(Ψ(θ) + Ψ̈(θ)) .
Dire que N est strictement convexe signifie que les valeurs propres de la forme quadratique ϕ(e1 (θ)) relativement à
h j i sont >
0 pour tout θ
2 R. Or ici, ceci s’écrit
dethji (ϕ(e1 (θ)) > 0 et trhji (ϕ(e1 (θ))) > 0, c’est-à-dire Ψ(θ) + Ψ̈(θ) > 0.
ZPar ailleurs, on a :
S1
N
2
hji
(v ) det
(ϕ(v ))d σ
hji (v ) =
=
Z
2π
Ψ
Z
0
Z
0
2
hji(ϕ(e1 (θ))) d θ
(θ) det
2π
Ψ(θ)(Ψ(θ) + Ψ̈(θ)) d θ
2π
=
Z
2
2π
Ψ (θ) d θ +
0
Ψ(θ)Ψ̈(θ) d θ .
0
En effectuant ensuite une intégration par parties dans la deuxième intégrale et en
tenant compte de la π-périodicité de Ψ, on obtient l’égalité voulue.
b) Tout d’abord, par un rapide calcul, nous avons :
8θ 2 R, Ψ(θ) + Ψ̈(θ) = 1 + 3 sin2 θ > 0 ;
R2
(i.e. associée à h j i) ainsi que son quotient sur R /Z . Alors le corollaire IV.2.5 et la Z2-
donc F est strictement convexe. Notons can la métrique riemannienne canonique sur
2
2
invariance de can et F entraînent que
R
avec I =
jωF j(SF (R2 /Z2)) = I volcan(R2 /Z2)
2π
(Ψ2 (θ)
0
Ψ̇2 (θ)) d θ (point a) ci-dessus).
D’autre part, nous avons :
où V = volhji (BN ) =
1
2
R
R2 /Z2) = Vπ volcan (R2 /Z2) ,
volF (
2π
1
0
Ψ2 (θ)
dθ .
Tout revient donc à montrer que
6
V I = 2π2 .
58
Calcul de I .
On a 8θ 2 R ,
d’où I = 8π +
15
π,
4
Ψ2 (θ)
i.e. I =
Ψ̇2 (θ) = 4 + 5 cos4 θ ,
47
π.
4
Calcul de V .
On a
2V =
Z
2π
dθ
(2
0
c’est-à-dire (cos2 θ =
1
1+tg2 θ
1
2
V =
+ cos2
=
θ)2
+
1
(3 + 2x 2 )2
Z
1
4
π
12
1 + x2
+
1
r3
0
3
+
2
dθ
(2 + cos2 θ)2
x2
72
π
4 36
5
2
Z
1
π
2
Conclusion :
47
dx
dx
V =
π/2
0
r 38
2
soit
V I =
Z
,
puis x = tg θ)
Z
0
=
=4
5π
36
+
1
dx
3
(2 +
0
x 2 )2
,
r3
.
2
r3
6= 2π
2
2
r 3
2/ Q
2
.
Remarques.
La courbure algébrique κ(θ) de SN au point c (θ) = ρ(θ)e1 (θ) (θ 2 R) valant
κ(θ) =
Ψ3 (θ)(Ψ(θ) + Ψ̈(θ))
[Ψ2 (θ) + Ψ̇2 (θ)]
on peut réécrire :
Z
S
N
1
2
hji (v ) =
(v ) dethji (ϕ(v ))d σ
Z
0
2π
3/2
,
k
k3hjiΨ4(θ) d θ .
κ(θ) c˙(θ)
Il est à noter, bien que nous n’en ayons pas besoin ultérieurement, que nous aurions obtenu une proposition similaire en toute dimension en faisant usage des coordonnées sphériques.
59
Au terme de ce chapitre, il apparaît donc que la mesure de Liouville, qui ne présente
pas d’intérêt en géométrie riemannienne pour ce qui est de la normalisation de l’entropie
j j
(puisque, rappelons-le, ωg (S g (M )) = nCn volg (M ) pour toute métrique de Riemann g
sur M ), offre en revanche de nouvelles perspectives dans le cadre finslérien, comme nous
le verrons par la suite.
60
Chapitre V
LE CAS DU RANG 1
61
62
Ce dernier chapitre traite du problème finslérien du minimum de l’entropie topologique sur les variétés hyperboliques réelles compactes, celles-ci étant les espaces riemanniens localement symétriques de rang 1 les plus simples. Ainsi, nous cherchons ici à
donner en quelques sorte un complément à l’étude faite au chapitre III concernant le rang
2.
Dans une première étape, et tout comme avec l’entropie volumique, nous ferons
une normalisation par le volume finslérien puis, sachant que cela présente un intérêt (voir
IV.2), nous utiliserons le volume de Liouville introduit précédemment.
À l’intérieur du cadre riemannien, ces deux cas se recoupent et ont été complètement résolus par A. Katok pour les surfaces ([Kat]) et par G. Besson, G. Courtois et S. Gallot
pour les dimensions supérieures ([B-C-G 2]). En revanche, les méthodes utilisées par ces
auteurs ne s’appliquent plus aux métriques de Finsler, ce qui rend la situation délicate et
laisse encore ouvert en rang 1 le problème finslérien des minima des entropies volumique
et topologique. Néanmoins, en guise de premiers pas, nous montrons dans ce chapitre que
les métriques hyperboliques sont des points critiques de l’entropie topologique parmi les
métriques de Finsler strictement convexes et ce, que l’on normalise avec le volume finslérien (en toute dimension) ou bien avec le volume de Liouville (en dimension 2).
V.1. Entropie topologique et flots d’Anosov
Dans ce paragraphe, nous rappelons les notions nécessaires pour toute la suite.
D V.1.1. — Soient E un espace topologique métrisable, compact, et ϕ =
t
(ϕ )t
2R un flot continue sur E .
Étant donné une distance d induisant la topologie de E , on associe à chaque t > 0
la nouvelle distance dt définie par :
d (ϕs (x ),ϕs (y )) ,
8x ,y 2 E , dt (x ,y ) = 0max
st
et pour δ > 0 on note N (t ,δ) le nombre minimum de boules ouvertes de rayon δ relativement à dt qu’il faut pour recouvrir E .
L’entropie topologique du flot ϕ est alors le nombre positif (fini ou non) :
1
déf
hT (ϕ) = sup lim sup log N (t ,δ) .
t !+1 t
δ>0
63
Remarques.
a) Cette définition est indépendante du choix de d et admet plusieurs autres versions équivalentes (voir [Bo-Ru] et [Bo 1]).
En outre, elle peut se généraliser à un espace topologique compact quelconque et
à une application continue de cet espace dans lui-même (voir [Smo] et [Wal]).
D’autre part, lorsque E est une variété différentiable et ϕ un flot de classe C 1 , on
montre que hT (ϕ) est finie ([Szle]).
b) Intuitivement parlant, l’entropie topologique est une estimation de la quantité
asymptotique d’informations dont on a besoin pour connaître les trajectoires du flot ϕ
avec une certaine précision. Le lecteur intéressé par le lien entre hT (ϕ) et la théorie de
l’information pourra consulter [Ya-Ya], [Bri] et [W-S].
On déduit immédiatement :
P V.1.2.
i)
8λ 2 R , h T
(ϕλt )t
2R
= jλjh
T (ϕ)
,
ii) Si G est un autre espace topologique métrisable et compact muni d’un flot
continu Ψ = (Ψt )t 2R, et si f : E
f
ϕ
t
! G est un homéomorphisme conjuguant ϕ et Ψ (i.e.
f pour tout t 2 R), alors hT (ϕ) = hT (Ψ) (invariance dynamique de hT ).
Considérons dorénavant une variété différentiable compacte V de dimension 3.
t
=Ψ
D V.1.3. — Soit X
2 Γ(T V ) un champ de vecteurs C 1 sur V engendrant
le flot ϕ = (ϕt )t 2R. On dit que X (ou ϕ) est d’Anosov si, et seulement si, ϕ est sans points
6
8 2 V ) et si pour chaque x 2 V , il existe des sous-espaces vectoriels
non nuls
de Tx V stables par Tx ϕt pour tout t 2 R , et qui vérifient :
Tx V = RX (x ) Exs Exu (somme directe continue par rapport à x ) ;
8t 0, 8v 2 Exs , kTx ϕt v k x ce bt kv kx ;
8t 0, 8v 2 Exu , kTx ϕ t v k x ce bt kv kx ,
où k ky est la norme sur Ty V (y 2 V ) associée à une métrique riemannienne arbitraire g
sur V et c 1, b > 0 sont des constantes.
fixes (i.e. X (x ) = 0x , x
Exs
et Exu
ϕt ( )
ϕ t( )
Cette propriété ne dépend pas du choix de g (puisque V est compacte) et on notera
A(V ) l’ensemble des champs de vecteurs d’Anosov sur V . On a alors :
64
T V.1.4 ([A]).
A(V ) est un ouvert de Γ(V ),
Le flot géodésique sur le fibré sphérique d’une variété riemannienne compacte,
à courbure sectionnelle partout < 0, est d’Anosov.
Remarque. — La condition de courbure dans le deuxième point ci-dessus n’est
pas minimale, comme on pourra s’en rendre compte dans [Eb].
! A(V ) une
λ7 !X
T V.1.5 (stabilité structurelle) ([L-M-M]). — Soit ] a ,a [
perturbation C 1 (a > 0). En désignant par Hom(V ,V ) l’espace de homéomorphismes de
λ
V sur V et par ϕλ = (ϕtλ )t 2R le flot sur V engendré par Xλ (λ
et une application continue
]
2]
a ,a [), il existe ε
2 ]0 , a ]
! Hom(V ,V ) C 0 (V ,R)
λ 7 ! (θ ; u )
ε,ε[
λ
tels que :
λ
1) θ0 = idV et u0 1 ,
2) 8λ 2 ] ε,ε[, 8x 2 V , u (x ) > 0 et l’application R ! V
est de classe C 1 ,
t
t 7 ! θ (ϕ0 (x ))
3) ] ε,ε[V ! TV
est continue,
d θ (ϕt0 (x ))
(λ,x ) 7 ! θ (x ); dt t 0
4) 8λ 2 ] ε,ε[, 8x 2 V ,
λ
λ
λ
λ
=
d
dt
t =0
θλ (ϕt0 (x )) = uλ (x )Xλ (θλ (x )) .
8 2]
C V.1.6. — Avec les notations précédentes, on a : λ
8t 2 R ,
θλ (ϕt0 (x )) =
R
t
ϕλ 0
uλ (ϕs0 (x ))ds
Preuve. — En remplaçant x par ϕs0 (x ) (s
8 2 V,
ε,ε[, x
(θλ (x )) .
2 R) dans le 4e point du théorème de
stabilité structurelle, on obtient :
d
dt
t =s
ce qui montre que pour x
θλ (ϕt0 (x )) = uλ (ϕs0 (x ))Xλ (θλ (ϕs0 (x ))) ,
2
V et λ
2
]
ε,ε[ fixés, la courbe
R C! V
est sot 7 ! θ (ϕt0 (x ))
1
λ
lution de l’équation différentielle non-autonome du 1er ordre sur V : σ̇ = Zt (σ) avec
65
σ(0) = θλ (x ) pour condition initiale et où Zt
2 Γ(T V ) (t 2 R) est défini par Zt (y ) =
8y 2 V .
C
R V ! TV
est continue et la courbe R ! V R
(t ,y ) 7 ! (y,Zt (y ))
t 7 !ϕ
uλ (ϕt0 (x ))Xλ (y ),
1
Or,
t
0
uλ (ϕs0 (x ))ds
(θλ (x ))
vérifie aussi l’équation différentielle ci-dessus avec la même condition initiale ; d’où l’égaλ
lité des deux solutions.
Remarque. — Pour chaque λ
2]
ε,ε[, l’homéomorphisme θλ : V
! V envoie
ainsi toute orbite de ϕ0 sur une orbite de ϕλ et uλ indique comment il faut changer de
temps pour parcourir ces orbites à vitesses égales.
Voici à présent les deux principales conséquences de la stabilité structurelle sur
l’entropie topologique des flots d’Anosov, les hypothèses et notations étant toujours celles
du théorème V.1.5 :
C V.1.7 ([K-K-W]). — L’application ] ε,ε[
λ
!R
est continue.
7 ! hT (ϕ )
λ
Elle entraîne à son tour :
! (C 0 (M ,R))0 est contiλ7 !m
C V.1.8 ([K-K-W]). — L’application ] ε,ε[
λ
nue, où mλ est la mesure de Bowen-Margulis associée à ϕλ (i.e. l’unique mesure de probabilité ϕλ -invariante sur V telle que hT (ϕλ ) = hmλ (ϕλ ) (entropie mesurée)).
Pour terminer, rappelons un résultat indépendant de la stabilité structurelle et qui
exige la définition suivante :
D V.1.9 ([K-K-W]). — Soient Ω un espace topologique compact muni
d’une mesure de probabilité µ et ϕ = (ϕt )t 2R un flot continu sur Ω pour lequel on note
O(ϕ) P (Ω) l’ensemble des orbites. Pour δ > 0, f 2 C 0 (Ω,R) et Γ 2 O(ϕ) fermée dont
la période est T > 0, on dit que Γ est (δ, f )-uniformément répartie par rapport à µ si, et
seulement si :
où x
2 Γ est quelconque.
1 Z
T
Z
T
s
f (ϕ (x )) ds
0
Ω
Pour chaque t > 0, on désignera alors par
f d µ δ ,
ϕ (δ, f )
Pµ (t )
le nombre d’orbites fermées
de ϕ dont la période est dans ]0,t ] et qui sont (δ, f )-uniformément réparties par rapport à
µ. Aussi,
ϕ
P (t ) sera le nombre de toutes les orbites fermées de ϕ dont la période est dans
]0,t ].
66
2 A(V ) de flot ϕ =
P V.1.10 ([Bo 2] et [K-K-W]). — Étant donné X
t
(ϕ )t
2R, on a :
i)
1
t
!lim
+1 t
logϕ P (t ) = hT (ϕ) ,
ii) Pour toute mesure de probabilité µ sur V , invariante par ϕ et telle que ϕ soit µergodique :
1
(δ, f )
8
8 2
R
log ϕPµ (t )
hµ (ϕ) , δ > 0 , f
C 0 (V , ) .
t
De plus, si µ est la mesure de Bowen-Margulis associée à ϕ, alors il y a égalité (le
lim inf
t
!+1
deuxième membre valant dans ce cas hT (ϕ)).
V.2. Dérivée de l’entropie topologique
pour les métriques de Finsler
Position du problème.
Soit M une variété différentiable compacte munie d’une métrique riemannienne
g0 à courbure sectionnelle partout strictement négative. En désignant par S 0 (M ) le fibré sphérique de g0 et par
F
+
l’ensemble des métriques de Finsler C 1 et strictement
convexes sur M , on se fixe une perturbation C 1 de g0 dans
!F
λ7 !F
cation ] a ,a [
+
λ
Pour chaque λ
(a > 0) telle que F0 = Fg0 et ]
2]
F , c’est-à-dire une applia ,a [ ! C 1 (S 0 (M ),R) soit C 1 .
λ 7 ! F S M
+
λ
0(
)
a ,a [, soient alors :
ℓλ la fonction longueur associée à Fλ et s’appliquant aux chemins [0,1]
classe C 1 par morceaux,
! M de
S λ (M ) le fibré sphérique de Fλ ,
αλ
Yλ
2 Λ1 (T M ) la 1-forme de Liouville associée au lagrangien L = 12 F 2 ,
2 Γ(T (T M )) le gradient symplectique de L par rapport à d α (iY d α
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
dLλ ), dont la restriction à S λ (M ) sera notée de la même façon,
Ψλ = (Ψtλ )t 2R le flot sur S λ (M ) engendré par Y λ (flot géodésique de Fλ ).
Ceci étant, nous allons prouver dans cette section la dérivabilité en λ = 0 de l’appli-
!R
et établir une formule pour dh
(0) qui nous servira
d
déf
λ 7 ! h(λ) = hT (Ψ )
cation h : ] a ,a [
au prochain paragraphe.
λ
λ
67
On obtiendra ainsi une généralisation de l’expression de la dérivée de l’entropie
topologique donnée dans [K-K-W] pour les métriques de Riemann. Par ailleurs, notre formule sera une particularisation finslérienne d’un calcul effectué dans [Po] pour les flots
d’Anosov.
Avant de poursuivre, remarquons que pour λ
2
]
a ,a [, la variété S λ (M ) sup-
portant le flot Ψλ , dont on veut étudier l’entropie topologique h(λ), varie avec λ ; commençons donc par tout ramener sur S 0 (M ). Pour cela, considérons le difféomorphisme
! S0 (M )
et notons X 2 Γ(T S 0 (M )) l’image de Y
v
(x ,v ) 7 ! (x , p
)
g x vv
Φλ : S λ (M )
λ
λ
par Φλ . Ce der-
0( ) ( , )
nier est alors une conjugaison entre Ψλ et le flot ϕλ = (ϕtλ )t 2R sur S 0 (M ) engendré par
Xλ , d’où il s’ensuit que h(λ) = hT (ϕλ ) (proposition V.1.2).
2 A(S0 (M )) et d’après le théorème V.1.4
avec V = S 0 (M ), on peut supposer (quitte à diminuer a > 0) que 8λ 2 ] a ,a [, X 2
A(S0 (M )) , ce qui conduit à envisager la C 1 perturbation ] a,a[ ! A(S0 (M )) . La proλ7 !X
D’autre part, sachant que X0 = Y 0
λ
λ
priété de stabilité structurelle s’appliquant par conséquent, nous utiliserons, pour cette
perturbation et dans toute la suite de ce paragraphe, les notations du théorème V.1.5 dans
lequel V = S 0 (M ). Montrons maintenant la :
2]
! M jamais constants.
P V.2.1. — Soient λ
nue de lacets [0,1]
ε,ε[ et
Alors il existe une unique géodésique γ :
une courbe intégrale de Y λ
C une classe d’homotopie libre et conti-
R ! M pour F
2 Γ(T (T M ))) qui vérifie :
λ
(i.e. (γ,γ̇) :
R ! T M est
2C;
près (c 2 R , d 2 R). En outre, γ
γ(0) = γ(1), γ̇(0) = γ̇(1) et γ[0,1]
l’unicité s’entendant à composition par
est caractérisée par :
R !R
t 7 ! ct + d
j 2 C de classe C 1 par morceaux
ℓλ (γ[0,1] ) = inf ℓλ (σ) σ
.
Preuve.
Existence et minimisation de la longueur . Pour F
cile de voir qu’elle admet une géodésique fermée
C
R!
2F
+
quelconque, il est fa-
M qui est 1-périodique et telle
que sa restriction à [0,1] minimise ℓF sur . Il suffit, en effet, de calquer la démonstration
sur celle qui est faite dans [Di], p. 368, pour une métrique riemannienne puisque seules
interviennent la compacité de M et la notion de longueur.
68
Unicité. Donnons-nous γ0 , γ1 : R ! M des géodésiques fermées pour F , qui
sont 1-périodiques et telles que leurs restrictions à [0,1] soient dans C .
Il existe donc H : [0,1] R ! M continue telle que 8(s ,t ) 2 [0,1] R :
λ
H (0,1) = γ0 (t )
H (1,t ) = γ1 (t )
H (s ,t + 1) = H (s ,t ) .
Notons :
8t 2 R ,
déf
T1 = F (γ1 (0),γ̇1 (0)) = F (γ1 (t ),γ̇1 (t )), 8t 2 R ,
M
. Comme T0 > 0 et T1 > 0, on a (1
et σ1 : Rt 7 !
t
t
! γ1 T
T
déf
T0 = Fλ (γ0 (0),γ̇0 (0)) = Fλ (γ0 (t ),γ̇0 (t )),
λ
λ
R !M
s )T0 +sT1 6= 0
t 7 ! γ0
déf
pour s 2 [0,1], ce qui permet de poser Ts = 1 sT TT sT .
L’application G : [0,1] R ! M
est alors une homotopie conti
déf
t
(s ,t ) 7 ! G (s ,t ) = H s , T
nue de σ0 à σ1 vérifiant : G (s ,t + Ts ) = G (s ,t ), 8(s ,t ) 2 [0,1] R . Par ailleurs, (σ0 ,σ̇0 )
et (σ1 ,σ̇1 ) étant des courbes intégrales du flot géodésique Ψ de F (sur S (M )), Φ (σ0 ,σ̇0 ) et Φ (σ1 ,σ̇1 ) sont des courbes intégrales du flot ϕ (sur S 0 (M )) qui sont T0 et
σ0 :
0
1
(
0 1
) 0+
1
s
λ
λ
λ
λ
λ
λ
T1 -périodiques respectivement.
Définissons encore :
2 S 0 (M ) ,
déf
1
ξ1 = θ (Φ (σ1 (0),σ̇1 (0)) 2 S 0 (M ) ,
! S 0 (M )
et H1 : [0,1] R ! S 0 (M )
.
! ϕts (θs (ξ0 ))
(s ,t ) 7 ! ϕts (θs (ξ1 ))
! RR
est bijective, il existe un unique réel R0 > 0
t
r
! 0 u (ϕ0 (ξ0 ))dr
déf
1
ξ0 = θλ (Φλ (σ0 (0),σ̇0 (0))
H 0 : [0 , 1 ]
R
7
(s ,t )
Puisque l’application
tel que T0
R
=
R0
0
R
t
λ
λ
7
λ
λ
λ
λ
uλ (ϕr0 (ξ0 ))dr ; d’où il découle que :
R
T
θλ (ϕ0 0 (ξ0 )) = ϕλ0 (θλ (ξ0 ))
0
= ϕλ (θλ (ξ0 )) (T0 -périodicité)
= θλ (ξ0 ) ,
c’est-à-dire
Si, pour s
2 [0,1], on note τ0s déf
=
R
R0
0
R
ϕ0 0 (ξ0 ) = ξ0 .
us λ (ϕr0 (ξ0 )) dr > 0, on a alors :
τ0
R
ϕs λs (θs λ (ξ0 )) = θs λ (ϕ0 0 (ξ0 ))
= θs λ (ξ0 ) ,
69
λ
ce qui conduit à :
H0 (s ,t + τ0s ) = H0 (s ,t ),
8t 2 R .
De la même manière, on montre que
8t 2 R , 8s 2 [0,1],
H1 (s ,t + τ1s ) = H1 (s ,t ),
où
1 déf
avec R1 > 0 défini par T1 =
R
Z
τs =
R1
0
R1
0
us λ (ϕr0 (ξ1 )) dr > 0 ,
uλ (ϕr0 (ξ1 )) dr.
déf
! M étant la projection
canonique, J0 = π H0 est une
!
R !M
à σ0 telle que : 8(s ,t ) 2 [0,1] R ,
t 7 ! π(H0 (0,t ))
Par suite, π : S 0 (M )
homotopie continue de
J0 (s ,t + τ0s ) = J0 (s ,t ) .
H1 est une homotopie continue de R ! M
t 7 ! π(H1 (0,t ))
σ1 qui vérifie : 8(s ,t ) 2 [0,1] R ,
déf
De façon analogue, J1 = π
!
à
J1 (s ,t + τ1s ) = J1 (s ,t ) .
Considérons à présent les applications :
χ0 :
R !M
et χ1 : R ! M
;
t 7 ! π(H0 (0,τ00 t ))
t 7 ! π(H1 (0,τ11 t ))
ce sont des géodésiques fermées pour g0 qui sont 1-périodiques. En outre, I : [0,1]
8 2R,
M définie par : t
0, 1 ,
3
1,2
t ) pour s 2
I (s ,t ) = J0 (3s ,τ03s t ) pour s
I (s ,t ) = G (3s
1,T3s
1
2
3 3
et
I (s ,t ) = J1 (3
3s ,τ13
R !
3s t )
8
pour s
est une homotopie continue de χ0 à χ1 , avec : (s ,t )
2
2 , 1 ,
3
2 [0,1] R ,
I (s ,t + 1) = I (s ,t ) .
Ainsi, I[0,1][0,1] est une homotopie libre et continue de lacets joignant χ0 [0,1] à χ1 [0,1] .
Sachant que les restrictions de χ0 et χ1 à [0,1] ne sont pas dans une classe d’homotopie libre et continue de lacets [0,1]
! M contenant un point (sans quoi il en serait de
70
même pour γ0 et γ1 par l’intermédiaire de J0 et J1 ), il résulte alors de la stricte négativité de
2 R et B 2 R tels que :
χ1 (t ) = χ0 (At + B ), 8t 2 R ([Kli], p. 357) .
Par conséquent, nous avons pour tout t 2 R :
At B
t
()
ϕ0 (ξ1 ) = ϕ0
(ξ0 ) ,
la courbure sectionnelle de g0 qu’il existe A
1
τ00 (
τ1
d’où en appliquant θλ :
R
τ1 t
ϕλ 0
Or,
Z
1
uλ (ϕr0 (ξ1 ))dr
τ00 (At +B )
0
R
τ0 (At +B )
(Φλ (σ1 (0),σ̇1 (0))) = ϕλ 0
uλ (ϕr0 (ξ0 ))dr =
Z
τ00 B
0
+ )
0
uλ (ϕr0 (ξ0 ))dr
uλ (ϕr0 (ξ0 ))dr +
Z
le deuxième terme de la somme étant égal à
τ00 A
Z
τ11
τ11 t
0
0
1
τ (Av /τ1 +B )
uλ ϕ0 0
(ξ0 )
(Φλ (σ0 (0),σ̇0 (0))) .
τ00 (At +B )
τ00 B
uλ (ϕr0 (ξ0 ))dr ,
dv
(en faisant r = τ00 (Av /τ11 + B )) , soit encore, d’après ( ) ci-dessus :
Z
τ A
0
0
τ11
déf τ00 A
En posant alors C =
R ! RR
t7 ! 0
τ11 t
uλ (ϕr0 (ξ1 ))
τ11
déf
,D =
R
τ11 t
0
τ00 B
0
uλ (ϕv0 (ξ1 )) dv .
uλ (ϕr0 (ξ0 )) dr et en remarquant que la fonction
8 2R,
est surjective, on obtient : t
dr
ϕtλ (Φλ (σ1 (0),σ̇1 (0)) = ϕλC t +D (Φλ (σ0 (0),σ̇0 (0))) ,
et par suite, en projetant sur M :
c’est-à-dire : γ1
t
T1
σ1 (t ) = σ0 (C t + D ) ,
=γ
C
D
0 T0 t + T0
.
8 2R,
Finalement, t
γ1 (t ) = γ0 (ct + d )
déf
6
déf D
avec c = C TT1 = 0 et d =
0
T0
.
Remarque. — Si la perturbation de g0 avait été riemannienne, cette proposition
aurait été immédiate puisque l’argument de stricte négativité de la courbure sectionnelle
de g0 que nous avons invoqué dans la preuve aurait pu être directement utilisé avec Fλ .
71
Pour λ
2
ε,ε[, désignons par mλ (resp. ρλ ) la mesure de Bowen-Margulis sur
]
S (M ) (resp. S (M )) associée au flot d’Anosov ϕλ (resp. Ψλ ) ; on a donc (Φλ ) ρλ = mλ . De
0
λ
ce qui précède, nous déduisons alors :
C V.2.2. —
R
8λ 2 ]
ε,ε[,
h(λ) h(0)
h (0 )
F dm0
S 0 (M ) λ
Preuve. — Soient Γ
Z
1
S 0 (M )
Fλ
dmλ .
2O(Ψ0 ) fermée dont la période est T > 0, ξ 2 Γ et C la classe
!M
.
Tt
t 7 ! π(Ψ0 (ξ))
d’homotopie libre et continue de lacets à laquelle appartient σ : [0,1]
En vertu de la proposition ci-dessus, il existe une unique géodésique (à paramétrisation près) γ :
C
R ! M pour F
λ
qui est 1-périodique et telle que sa restriction à [0,1] soit
dans . Si τ est la période de γ, on a (γ(0), τ1 γ̇(0))
2S
λ
(M ) et l’orbite pour Ψλ passant
par ce point est évidemment fermée, sa période valant τ. Nous avons ainsi une application
de l’ensemble des orbites fermées pour Ψ0 dans celui des orbites fermées pour Ψλ qui, à
nouveau d’après la proposition V.2.1, est injective.
Par ailleurs, la propriété de minimisation dans la proposition précédente entraîne
que ℓλ (γ[0,1] )
ℓ (σ), c’est-à-dire
λ
τ
Z
T
Fλ (Ψs0 (ξ)) ds .
0
Notons f λ la restriction de Fλ à S 0 (M ) et donnons-nous δ > 0. Alors, lorsque Γ est (δ, f λ )uniformément répartie par rapport à ρ0 = m0 , on a :
1
T
et par suite : τ
Z
T
0
Fλ (Ψs0 (ξ)) ds
b(δ) déf
=
Z
δ+
S 0 (M )
b(δ)T .
Fλ dm0
> 0,
En définitive, on peut associer de manière injective à toute orbite fermée pour Ψ0 ,
de période T et (δ, f λ )-uniformément répartie par rapport à m0 , une orbite fermée pour Ψλ
de période
b(δ)T . Ceci s’écrit donc (définition V.1.9) :
f
Pm (T ) P (b (δ)T ) ,
ψ0 (δ, λ )
ψλ
0
d’où :
lim inf
T
1
!+1 T
(δ, f λ )
log ψ0Pm0
(T )
i.e. (proposition V.1.10)
h(0)
b(δ) T !lim1 log
+
b(δ)h(λ) .
72
ψλ
P (b (δ)T )
b (δ )T
Puisque c’est vrai pour tout δ > 0, on obtient :
h(0)
Z
h(λ)
Fλ dm0 .
S 0 (M )
De la même manière, en échangeant les rôles de λ et 0, on aboutit à :
h(λ)
h(0)
Z
Or,
F0 d ρλ .
S λ (M )
Z
F0 d ρλ =
S 0 (M )
S λ (M )
avec, pour (x ,v )
Z
2 S0 (M ), F0(Φ
1
λ
F0 (Φλ 1 (x ,v ))dmλ (x ,v )
(x ,v )) = F (1x ,v ) , ce qui achève la preuve.
λ
Remarque. — Ce corollaire est une extension finslérienne d’un point déjà utilisé
pour le cadre riemannien dans [K-K-W].
Nous pouvons en fin de compte passer à la formule de la dérivée de l’entropie topologique :
T V.2.3. — L’application h : ] a ,a [
dh
dλ
(0 ) =
h(0)
Z
λ
! R est dérivable en 0, avec :
7 ! h (λ )
∂F λ
S 0 (M )
∂λ
λ=0
dm0 .
8 2]
Preuve. — Nous avons d’après le corollaire précédent : λ
h(0)
λ
R
R
1
S 0 (M )
Fλ dm0
1
S 0 (M )
F0 dm0
h(λ) λ h(0)
Z
h (0 )
1
1
λ Fλ
F0
1
S 0 (M )
6
ε,ε[, λ = 0,
dmλ .
Lorsque λ ! 0, le premier membre de cette double inégalité tend vers :
h(0)
dλ d
λ=0
R
1
S 0 (M )
Fλ dm0
h(0)
=
Z
uniformément sur S 0 (M ) vers
8 2]
que λ
6
λ=0
1
Fλ
1
F0
δ,δ[, λ = 0, on ait sur S 0 (M ) :
h(0)
1
1
1
λ
Fλ
F0
η2
73
dm0 .
! R converge
En fixant η > 0, il existe donc δ 2 ]0,ε] tel
λ
∂F
h(0) ∂λλ
.
λ=0
∂λ
S 0 (M )
D’autre part, lorsque λ ! 0, la fonction h(0) 1
∂F λ
h (0 )
∂F λ
∂λ
λ=0
,
: S 0 (M )
d’où en intégrant par rapport à mλ :
h(0)
Z
1
1
λ Fλ
F0
1
S 0 (M )
dmλ
2
η
h (0 )
Z
∂F λ
S 0 (M )
∂λ
λ=0
dmλ .
! (C 0 (S0 (M ),R))0 est continue en 0 (conséquence V.1.8) ; par
λ7 !m
6 0,
suite, il existe β 2 ]0,δ] tel que : 8λ 2 ] β,β[, λ =
Z ∂F
Z ∂F
η
dm0 ,
dm h(0)
h (0 )
∂λ 0
2
∂λ 0
Or, l’application ] a ,a [
λ
λ
λ
λ=
S 0 (M )
λ
ci-dessus)
∂F
h (0 )
R
dm0 ∂λ 0
λ
λ=
S 0 (M )
avec en outre (premier point
η
h(0)
Z
S 0 (M )
λ=
R
1
λ
S 0 (M )
Fλ dm0
1
S 0 (M )
F0 dm0
.
Conclusion :
8λ 2 ]
η
h(0)
6
β,β[, λ = 0,
Z
∂λ ∂F λ
S 0 (M )
λ=0
dm0
h(λ) λ h(0) η
h(0)
Z
∂F λ
S 0 (M )
∂λ
λ=0
dm0 ,
d’où le résultat.
V.3. Caractères critiques du rang 1
Comme annoncé au début de ce chapitre, nous allons prouver dans le présent paragraphe que les métriques hyperboliques sont des points critiques de l’entropie topologique parmi les métriques de Finsler strictement convexes, aussi bien vis-à-vis de la mesure finslérienne que de la mesure de Liouville. Aussi, rappelons la réponse qui a été donnée au problème de l’entropie minimale dans le cadre riemannien :
T V.3.1 ([Kat], [B-C-G 2]). — Soit M une variété différentiable compacte,
munie d’une métrique riemannienne g0 localement symétrique de rang 1. Alors pour toute
métrique de Riemann g sur M telle que volg (M ) = volg0 (M ) , on a :
h V (g )
h V (g 0 ) .
En outre, il y a égalité si, et seulement si :
i) g est à courbure sectionnelle constante strictement négative lorsque dim M = 2,
ii) g est isométrique à g0 lorsque dim M
3.
74
Il est à noter que l’inégalité ci-dessus entraîne celle avec les entropies topologiques
des flots géodésiques correspondants en vertu du résultat bien connu suivant :
P V.3.2 ([Din], [Man]). — Pour g métrique riemannienne sur une va-
riété compacte :
hV (g )
hT (flot géodésique de g ) ,
avec égalité lorsque g est à courbure sectionnelle strictement négative.
Avant de poursuivre, commençons par justifier le choix des normalisations que
nous utiliserons :
n
2.
P V.3.3. — Soit M une variété différentiable compacte de dimension
Pour chaque métrique de Finsler F sur M , de classe C 1 et strictement convexe, on
note ϕF = (ϕtF )t 2R le flot géodésique de F sur S F (M ). Alors, pour tout δ > 0 :
i) [hT (ϕδF )]n volδF (M ) = [hT (ϕF )]n volF (M ) ,
j
j
j j
ii) [hT (ϕδF )]n ωδF (S δF (M )) = [hT (ϕF )]n ωF (S F (M )) , où volF et ωF désignent
respectivement la mesure finslérienne et la forme volume de Liouville associées à F .
Preuve.
! SF (M ) conjuguant les flots ϕ F et (ϕtF
(x ,v ) 7 ! (x ,δv )
Le difféomorphisme S δF (M )
/δ
δ
)t
2R, il
résulte que ceux-ci ont même entropie topologique ; donc, d’après le point i) de la proposition V.1.2, hT (ϕδF ) =
1
δ
hT (ϕF ).
D’autre part, la proposition III.1.5 fournit volδF (M ) = δn volF (M ) .
j j
Enfin, la formule établie pour ωF dans le corollaire IV.2.5 conduit à :
jω F j(S F (M )) = δn jωF j(SF (M )) .
δ
δ
Dans ce qui suit, on se donne, comme tout à l’heure, une variété compacte M de
dimension n
2 et une C 1 perturbation ] a ,a [
!F
λ7 !F
+
, mais en prenant désormais
λ
pour g0 une métrique de Riemann hyperbolique réelle (courbure sectionnelle
1). De
plus, nous garderons les notations du précédent paragraphe, en ajoutant que pour λ
]
λ
2
a ,a [ la mesure finslérienne sur M et la forme volume de Liouville sur S (M ) associées à
Fλ seront notées volλ et ωλ respectivement.
75
Normalisation par le volume finslérien.
8 2]
T V.3.4. — Si λ
a ,a [, volλ (M ) = vol0 (M ), alors :
dh
dλ
Preuve. — Pour λ
2]
Z
(0) = 0 .
a ,a [, nous avons d’après la proposition III.1.5 :
volλ (M ) =
nCn
Z
M
déf
f λ (x ) =
f λ (x )
dvol0 (x ) avec
8x 2 M ,
Fλ n (x ,v )d σxg0 (v ) ,
Sx0 (M )
d’où en dérivant en λ = 0 et en tenant compte de l’hypothèse :
0 = nCn
car f 0
Z
∂fλ
(x )
∂λ λ=0
( f 0 (x ))2
M
nCn .
Or, pour x
R
2 M,
Z
(x ) =
∂λ d jω j .
n
λ=0
∂Fλ
S 0 (M ) ∂λ λ=0
∂fλ
∂λ
M
∂fλ
donc : 0 =
i.e. 0 =
dvol0 (x )
Z
∂F λ
∂λ
Sx0 (M )
λ=0
(x ) dvol0 (x )
g
λ=0
(x ,v )d σx0 (v ) ,
0
Comme g0 est hyperbolique, on a m0 =
jω0 j
nCn volg0 (M )
(la mesure de Bowen-Margulis
du flot géodésique de g0 est égale à la mesure de Liouville normalisée associée à g0 ), et par
suite le théorème V.2.3 permet de conclure.
Remarque. — Ce résultat généralise celui obtenu dans [K-K-W] pour les métriques riemanniennes.
Normalisation par le volume de Liouville.
8 2]
Z
P V.3.5. — Si λ
dh
dλ
déf
avec δn =
(0) = δn
1 n
n2 Cn volg0 (M )
λ
λ
λ=0
S 0 (M )
detg0 (x )
h1
j j
2
i
00
2
j j
(Fλ (x , )) (v ) d ω0 (x ,v ) ,
< 0.
Z2 ]
Preuve. — Pour λ
jω j(S
∂λ ∂
j j
a ,a [, ωλ (S λ (M )) = ω0 (S 0 (M )), alors :
(M )) =
a ,a [, nous avons d’après le corollaire IV.2.5 :
S 0 (M )
Fλ n (x ,v ) detg0 (x )
76
h1
2
2
00
i
j j
(Fλ (x , )) (v ) d ω0 (x ,v ) ,
Z
Z
d’où en dérivant en λ = 0 avec la normalisation :
∂λ ∂F λ
S 0 (M )
λ=0
j j
1
d ω0 =
n
∂λ ∂
S 0 (M )
λ=0
jω 0 j
Mais, g0 étant hyperbolique, m0 =
2
8 2]
0
dh
dλ
j j
a ,a [, ωλ (S λ (M )) =
8 2]
(0) = 0 .
8 2 M,
Preuve. — Posons λ
a ,a [, x
L (x ) =
Fλ 2 (x ,v ) detg0 (x )
Z
déf
λ
Sx0 (M )
j j
1, ce qui achève la preuve
T V.3.6. — Lorsque M est une surface et si λ
jω0 j(S (M )), alors :
i
00
2
(Fλ (x , )) (v ) d ω0 (x ,v ) .
et h(0) = n
nCn volg0 (M )
grâce au théorème V.2.3.
h1
detg0 (x )
h1
2
2
i
00
g
(Fλ (x , )) (v ) d σx0 (x ) ,
et fixons-nous un ouvert de carte admissible Ω dans M , sur lequel on considère deux
2 Γ(T Ω) orthonormés pour g0 . Définissons ensuite le champ
déf
de vecteurs paramétré X : R Ω ! T Ω par X (θ,x ) = cos θX1 (x ) + sin θX2 (x ), 8(θ,x ) 2
R Ω, puis γx (λ,θ) déf
= F (x ,X (θ,x )) pour tout λ 2 ] a ,a [.
En vertu de la proposition IV.2.6.a), nous avons alors pour x 2 Ω :
champs de vecteurs X1 , X2
λ
L (x ) =
Z
2π
Z ∂
2π
2
(γx (λ,θ)) d θ
λ
0
∂θ
0
2
γx (λ,θ)
dθ .
D’où en dérivant en λ = 0 :
Z
L
∂λ ∂
λ
λ=0
2π
(x ) =
0
2γx (0,θ)
Z
2π
2
0
∂θ
L
∂λ λ
λ=0
(x ) = 2
=2
Z
Z
2π
0
λ=0
γx (0,θ)
∂
L
λ
∂λ
λ=0
∂
∂λ
(x ) = 2
λ=0
∂F λ
Sx0 (M )
Comme Ω est arbitraire, il vient :
8x 2 M ,
γx (λ,θ) d θ
∂λ ∂
∂
λ=0 ∂θ
γx (λ,θ) d θ ,
8 2R:
c’est-à-dire , puisque γx (0,θ) = 1, θ
∂
∂
∂
∂λ
∂λ
Z
Sx0 (M )
77
γx (λ,θ) d θ
g
λ=0
(x ,v ) d σx0 (v ) .
∂F λ
∂λ
g
λ=0
(x ,v ) d σx0 (v ) .
Par conséquent (corollaire IV.2.5) :
Z ∂L
jω j(S (M )) = ∂λ 0=
dλ Z ∂F
d
λ=0
λ
λ
λ
λ=0
M
=2
S 0 (M )
λ
∂λ
(x ) dvol0 (x )
λ=0
j j
d ω0 ,
ce qui entraîne (g0 étant hyperbolique) d’après le théorème V.2.3 :
0=
dh
dλ
78
(0 ) .
PERSPECTIVES
Il ne s’agit pas de donner ici une conclusion au travail qui précède — beaucoup
s’en faut —, mais plutôt de voir en celui-ci une source de nouvelles pistes à creuser dans le
domaine encore trop peu exploré de la géométrie finslérienne.
En effet, plusieurs questions surgissent naturellement et tout d’abord celles relatives à la situation en rang 1 (la plus délicate), telles que par exemple :
Que peut-on dire de l’entropie volumique après normalisation par le volume finslérien d’une part et le volume de Liouville d’autre part ? Il devrait être assez facile de montrer dans les deux cas qu’elle admet déjà un minimum global en s’inspirant de la méthode
de calibration développée dans [B-C-G 2].
Soit, sur une variété compacte M , une métrique riemannienne g0 à courbure sectionnelle strictement négative telle que, pour toutes ses perturbations à travers des métriques de Finsler strictement convexes sur M normalisées par le volume de Liouville, elle
est un point critique de l’entropie topologique. Peut-on dire que la mesure de BowenMargulis associée à g0 est égale à sa mesure de Liouville normalisée ? Et en projection sur
M ? (Cette question nous a été posée par F. Ledrappier.)
Par ailleurs, en ce qui concerne le rang
2, on peut se demander :
Quel est le minimum (s’il existe !) de l’entropie volumique dans l’ensemble de
toutes les métriques de Finsler (et pas seulement G-invariantes)?
Qu’en est-t-il de l’entropie volumique lorsqu’on normalise avec la mesure de
Liouville, celle-ci étant à définir pour une métrique finslérienne quelconque “en passant
convenablement à la limite” la mesure de Liouville associée à une métrique de Finsler C 1
et strictement convexe? (D’après une suggestion de Y. Colin de Verdière.)
Enfin, il serait intéressant de considérer le problème de l’entropie minimale dans
un cadre plus vaste que celui des métriques de Finsler, en essayant de l’appliquer à des
lagrangiens (ou hamiltoniens) assez généraux ou encore aux espaces de longueurs.
79
80
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Université de Grenoble I
Institut Fourier
UMR 5582
UFR de Mathématiques
B.P. 74
38402 ST MARTIN D’HÈRES Cedex (France)
(17 septembre 1996)
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