Un algorithme distribué d`énumération des noeuds d`un réseau et

Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Un algorithme distribué d’énumération des noeuds
d’un réseau et application au calcul des distances
entre 2 noeuds quelconques et du diamètre d’un
réseau
Yves Métivier, John Michael Robson, Akka Zemmari
LaBRI - Université de Bordeaux
AlgoTel 2016
25 Mai 2013
Yves Métivier, John Michael Robson, Akka Zemmari
ASAP & Diamètre
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Plan
1
Introduction
2
Contribution
3
Conclusion
4
Références
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Contribution
Conclusion
Références
Plan
1
Introduction
2
Contribution
3
Conclusion
4
Références
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Conclusion
Références
Le problème
Etant donné un réseau :
1
2
attribuer un numéro de 1 à n (la taille du réseau) à chaque
noeud,
utiliser cette énumération pour :
calculer (tous) les plus courts chemins,
calculer le diamètre du réseau,
autres paramètres : la maille, ...
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Modèle
Réseau de communication connexe modélisé par un graphe
G = (V , E ) :
les noeuds communiquent par passage de messages,
système synchrone : les noeuds commencent en même temps
et opèrent par rondes synchrones
anonymat : les noeuds n’ont pas des identifiants différents,
un noeud est dans un état Leader.
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Modèle
Complexité en temps :
une ronde (pour un neoud) : 1. envoyer des messages à des
voisins, 2. recevoir des messages des voisins, 3. réaliser un
calcul local,
complexité en temps : le nombre de rondes nécessaires pour
que tous les noeuds terminent.
Complexité en bits :
dans chaque ronde, chaque noeud peut envoyer/recevoir un
bit à/de chaque voisin,
complexité en bits : le nombre de rondes nécessaires pour que
tous les noeuds terminent.
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Contribution
Conclusion
Références
Etat de l’art
Temps
Almeida et al.
Holzer and Wattenhofer (PODC 2012)
Peleg
et
al.
(ICALP12)
Frischknecht et al.
(SODA 2012)
Cet article
O(D)
O(n)
Taille des messages
(nombre de bits)
O(n log n)
O(log n)
complexité en
bits
O(Dn log n)
O(n log n)
O(n)
O(log n)
O(n log n)
B
Ω(n/B)
O(1)
O(n)
O(n)
Calcul du diamètre.
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Contribution
Conclusion
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Plan
1
Introduction
2
Contribution
3
Conclusion
4
Références
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
DEA : un algorithme distribué qui attribue à chaque sommet du
graphe un nombre unique dans {1, 2, · · · , n}, et tel que :
la distance entre deux sommets ayant des numéros consécutifs
est au plus 3,
les messages échangés sont de taille O(1),
la complexité en temps est en O(n).
DEA opère en deux étapes :
1
calcul d’un arbre couvrant BFS de G , dont la racine est le
sommet Leader,
2
énumération des sommets de G selon une traversée spéciale
(Algorithme Trav ).
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Conclusion
Références
Enumération distribuée
DEA : un algorithme distribué qui attribue à chaque sommet du
graphe un nombre unique dans {1, 2, · · · , n}, et tel que :
la distance entre deux sommets ayant des numéros consécutifs
est au plus 3,
les messages échangés sont de taille O(1),
la complexité en temps est en O(n).
DEA opère en deux étapes :
1
calcul d’un arbre couvrant BFS de G , dont la racine est le
sommet Leader,
2
énumération des sommets de G selon une traversée spéciale
(Algorithme Trav ).
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Enumération distribuée
DEA : un algorithme distribué qui attribue à chaque sommet du
graphe un nombre unique dans {1, 2, · · · , n}, et tel que :
la distance entre deux sommets ayant des numéros consécutifs
est au plus 3,
les messages échangés sont de taille O(1),
la complexité en temps est en O(n).
DEA opère en deux étapes :
1
calcul d’un arbre couvrant BFS de G , dont la racine est le
sommet Leader,
2
énumération des sommets de G selon une traversée spéciale
(Algorithme Trav ).
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Enumération distribuée
DEA : un algorithme distribué qui attribue à chaque sommet du
graphe un nombre unique dans {1, 2, · · · , n}, et tel que :
la distance entre deux sommets ayant des numéros consécutifs
est au plus 3,
les messages échangés sont de taille O(1),
la complexité en temps est en O(n).
DEA opère en deux étapes :
1
calcul d’un arbre couvrant BFS de G , dont la racine est le
sommet Leader,
2
énumération des sommets de G selon une traversée spéciale
(Algorithme Trav ).
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Enumération distribuée
DEA : un algorithme distribué qui attribue à chaque sommet du
graphe un nombre unique dans {1, 2, · · · , n}, et tel que :
la distance entre deux sommets ayant des numéros consécutifs
est au plus 3,
les messages échangés sont de taille O(1),
la complexité en temps est en O(n).
DEA opère en deux étapes :
1
calcul d’un arbre couvrant BFS de G , dont la racine est le
sommet Leader,
2
énumération des sommets de G selon une traversée spéciale
(Algorithme Trav ).
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Enumération distribuée
DEA : un algorithme distribué qui attribue à chaque sommet du
graphe un nombre unique dans {1, 2, · · · , n}, et tel que :
la distance entre deux sommets ayant des numéros consécutifs
est au plus 3,
les messages échangés sont de taille O(1),
la complexité en temps est en O(n).
DEA opère en deux étapes :
1
calcul d’un arbre couvrant BFS de G , dont la racine est le
sommet Leader,
2
énumération des sommets de G selon une traversée spéciale
(Algorithme Trav ).
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Conclusion
Références
Enumération distribuée
DEA : un algorithme distribué qui attribue à chaque sommet du
graphe un nombre unique dans {1, 2, · · · , n}, et tel que :
la distance entre deux sommets ayant des numéros consécutifs
est au plus 3,
les messages échangés sont de taille O(1),
la complexité en temps est en O(n).
DEA opère en deux étapes :
1
calcul d’un arbre couvrant BFS de G , dont la racine est le
sommet Leader,
2
énumération des sommets de G selon une traversée spéciale
(Algorithme Trav ).
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Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
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Conclusion
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Enumération distribuée
Algorithme Trav :
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
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v=
v’=
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
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v=
v’=
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
v=1
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
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v=
v’=
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
v=1
v’=
v=2
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
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v=
v’=
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
v=1
v’=
v=2
v’=
v=3
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
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v=
v’=
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
v=1
v’=
v=2
v’=
v=3
v’= 4
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
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v=
v’=
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
v=1
v’=
v=2
v’=
v=3
v’= 4
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=5
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
v=
v’=
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v=
v’=
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
v=1
v’= 14
v=2
v’= 7
v=3
v’= 4
v=8
v’= 9
v = 15
v’= 28
v = 10
v’= 13
v=5
v’= 6
v = 16
v’= 17
v = 18
v’= 27
v = 11
v’= 12
v = 19
v’= 20
v = 21
v’= 26
v = 22
v’= 23
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v = 24
v’= 25
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
Lemme.
Pour tout sommet u, νu est pair ssi u se trouve à un niveau pair
et νu′ est pair ssi u se trouve à un niveau impair.
Corollaire.
Pour tout sommet u, si νu est pair (resp. impair) alors νu′ est
impair (resp. pair).
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
v=1
v’= 14
v=2
v’= 7
v=3
v’= 4
v=8
v’= 9
v = 15
v’= 28
v = 10
v’= 13
v=5
v’= 6
v = 16
v’= 17
v = 18
v’= 27
v = 11
v’= 12
v = 19
v’= 20
v = 21
v’= 26
v = 22
v’= 23
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v = 24
v’= 25
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
8
v=1
v’= 14
v=2
v’= 7
v=3
v’= 4
v=8
v’= 9
v = 15
v’= 28
v = 10
v’= 13
v=5
v’= 6
v = 16
v’= 17
v = 18
v’= 27
v = 11
v’= 12
v = 19
v’= 20
v = 21
v’= 26
v = 22
v’= 23
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v = 24
v’= 25
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
v=1
v’= 14
v=2
v’= 7
v=8
v’= 9
2
v=3
v’= 4
8
v = 15
v’= 28
v = 10
v’= 13
v=5
v’= 6
v = 16
v’= 17
v = 18
v’= 27
v = 11
v’= 12
v = 19
v’= 20
v = 21
v’= 26
v = 22
v’= 23
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v = 24
v’= 25
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
8
v=1
v’= 14
v=2
v’= 7
2
v=3 3
v’= 4
v=8
v’= 9
5
15 v = 15
v’= 28
v = 10
v’= 13
4 v=5
v’= 6
v = 16
v’= 17
6
9
7 v = 11
v’= 12
10 v = 18
v’= 27
v = 19 11
v’= 20
v = 22
12
v’= 23
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14 v = 21
v’= 26
13 v = 24
v’= 25
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Algorithme Trav :
1
8
15
2
3
5
4
6
9
7
10
14
11
12
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13
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Enumération distribuée
Lemme.
Soit G un graphe connexe. La distance, dans G , entre deux
sommets ayant des numéros consécutifs est d’au plus 3.
⇒ l’algorithme est optimal : il n’existe pas d’énumération des
noeuds telle que deux noeuds ayant des numéros consécutifs sont à
distance au plus 2.
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Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=0
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Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=0
1
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1
ASAP & Diamètre
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=1
1;2
1; 2
2 = END
1
1
1
1
1
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=2
1;2
1; 2
2
2 = END
2
1;1
1;1
1;1
1;1
1;1
1
1
1
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1
ASAP & Diamètre
1
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=3
1;2
1; 2
2 = END
1;1;2
1;1;2
1;1;2
1;1;2
1;1;2
1;1
1;1
1;1
1;1
1;1
1
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1
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=4
1;2
1; 2
2 = END
1;1;2
1;1;2
1;1;2
1;1;2
1;1;2
2
1;1;1
2
2
1;1;1
1;1;1
1;1;1
1;1;1
1;1
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ASAP & Diamètre
1;1
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=5
1;2
1; 2
2 = END
3 = OK
1;1;2
1;1;2
1;1;2
1;1;2
1;1;2
3
3
1;1;1;2
1;1;1;2
1;1;1;2
1;1;1;2
1;1;1;2
1;1;1
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1;1;1
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=6
1;2
1; 2
2 = END
3 = OK
1;1;2
1;1;2
1;1;2
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
3
3
1;1;2
1;1;2
3
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
1;1;1;2
3
1;1;1;1
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ASAP & Diamètre
2
1;1;1;1
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=7
1;2
1; 2
2 = END
3 = OK
3
1;1;2
1;1;2
1;1;2
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
3
3
1;1;2
1;1;2
3
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
1;1;1;2
3
1;1;1;1;2
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1;1;1;1;2
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=8
1;2
1; 2
2 = END
3 = OK
3
1;1;2
1;1;2
1;1;2
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
3
3
1;1;2
1;1;2
3
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
1;1;1;2
3
1;1;1;1;2
1;1;1;1;2
3
3
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t=9
1;2
1; 2
2 = END
3 = OK
3
1;1;2
1;1;2
1;1;2
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
3
3
1;1;2
1;1;2
3
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
1;1;1;2
3
3
1;1;1;1;2
1;1;1;1;2
3
3
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Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t = 10
1;2
1; 2
2 = END
3 = OK
3
1;1;2
1;1;2
1;1;2
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
3
3
1;1;2
1;1;2
3
3
1;1;1;2
3
3
1;1;1;2
1;1;1;2
3
3
1;1;1;1;2
1;1;1;1;2
3
3
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Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t = 11
1;2
1; 2
2 = END
3 = OK
3
3
1;1;2
1;1;2
1;1;2
3
1;1;1;2
3
1;1;1;2
3
3
1;1;2
1;1;2
3
3
1;1;1;2
3
3
1;1;1;2
1;1;1;2
3
3
1;1;1;1;2
1;1;1;1;2
3
3
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t = 11
1
1
1;1
1;1
1;1
1;1
1;1
1;1;1
1;1;1
1;1;1
1;1;1
1;1;1
1;1;1;1
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1;1;1;1
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
1. Algorithme DistCal : Calcul des distance du leader aux autres
sommets :
t = 11
1
1
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
4
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ASAP & Diamètre
4
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
Lemme.
DistCal permet à chaque sommet de connaı̂tre sa distance au
Leader. Sa complexité en temps et sa complexité en bits sont
O(n).
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ASAP & Diamètre
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
1
8
15
2
3
5
4
6
9
7
10
14
11
12
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13
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
0
t(v) = t(1) + 5(k−1)
35
70
5
10
20
15
25
40
30
45
65
50
55
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60
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
0
t=0
35
70
5
10
20
15
25
30
40
45
65
50
55
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ASAP & Diamètre
60
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
0
t=1
35
70
5
10
20
15
25
30
40
45
65
50
55
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ASAP & Diamètre
60
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
0
t=1
35
70
5
10
20
15
25
30
40
45
65
50
55
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ASAP & Diamètre
60
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
0
t=2
35
70
5
10
20
15
25
30
40
45
65
50
55
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60
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
0
t=3
35
70
5
10
20
15
25
30
40
45
65
50
55
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ASAP & Diamètre
60
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
0
t=4
35
70
5
10
20
15
25
30
40
45
65
50
55
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60
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
0
t=5
35
70
5
10
20
15
25
30
40
45
65
50
55
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60
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
0
t=6
35
70
5
10
20
15
25
30
40
45
65
50
55
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60
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
Propriété. Si v initialise une vague alors tout sommet w à
distance d de v la reçoit à l’instant d et (éventuellement) à
l’instant d + 1.
Lemme. Les vagues commencées par deux sommets consécutifs
n’entrent jamais en collision.
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
1
2
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
2. APSP : Calcul des plus courts chemins :
1
d(v, i) = Ti − t1 − 5(i−1)
d(v, 1) = 3 − 0 − 5(1−1) = 3
d(v, 2) = 6 − 0 − 5(2−1) = 1
2
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 1 : Calcul des plus courts chemins
Théorème
Soit G un graphe de taille n avec un sommet distingué. Il existe
un algorithme distribué synchrone calculant les plus cours chemins
en O(n) rondes et ayant une complexité en bits égale à O(n).
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 2 : Calcul du diamètre
Principe :
1
chaque sommet calcule le maximum des distances (des
sommets) de ses sous arbres au Leader; et l’envoie à son père;
2
Le Leader ”centralise” le calcul;
3
Le Leader envoie le maximum à tous les sommets de l’arbre.
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Application 2 : Calcul du diamètre
Théorème.
Soit G un graphe de taille n avec un sommet distingué. Il existe un
algorithme distribué synchrone permettant de calculer le diamètre
D de G en O(n) rondes avec une complexité en bits égale à O(n).
Chaque sommet connaı̂t la valeur de D à la fin de l’algorithme.
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Plan
1
Introduction
2
Contribution
3
Conclusion
4
Références
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Conclusion
La même énumération peut être utilisée pour :
calculer la maille du graphe,
déterminer les isthmes,
déterminer les points d’articulation.
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Plan
1
Introduction
2
Contribution
3
Conclusion
4
Références
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Introduction
Contribution
Conclusion
Références
Bibliographie
1
Y. Métivier, J. M. Robson and A. Zemmari. A distributed
enumeration algorithm and applications to all pairs shortest paths,
diameter... Inf. Comput. 247: 141-151 (2016)
2
P. S. Almeida, C. Baquero, and A. Cunha. Fast distributed
computation of distances in networks. CoRR, abs/1111.6087, 2011.
3
D. Peleg, L. Roditty, and E. Tal. Distributed algorithms for network
diameter and girth. In ICALP (2), pages 660 - 672, 2012.
4
S. Holzer and R. Wattenhofer. Optimal distributed all pairs shortest
paths and applications. In PODC, pages 355 - 364, 2012.
5
S. Frischknecht, S. Holzer and R. Wattenhofer. Networks cannot
compute their diameter in sublinear time. In SODA 2012, pages
1150-1162, 2012.
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ASAP & Diamètre
Introduction
Contribution
Conclusion
Références
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