Nombres premiers 1

Nombres premiers 1
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Nombres premiers 1
Questions de cours
On ne considère ici que des nombres entiers naturels strictement positifs.
1. Dire qu’un nombre entier naturel p est premier signifie : ...?
1 est-il un nombre premier ...?
2. Existence d’un diviseur premier :
Soit n un entier naturel, n > 2. Parmi les diviseurs de n qui sont supérieurs ou
égaux à 2, le plus petit est un nombre ...? . Soit p ce nombre.
Si n n’est pas premier, p est inférieur ou égal à ...? (en fonction de n)
3. Un test de primalité possible :
Pour prouver qu’un nombre n (n > 2) est premier, il suffit de montrer qu’il n’est
divisible par aucun nombre premier compris (au sens large) entre ...? et ...?
4. Combien existe-t-il de nombres premiers dans N ?
Exemples
1. Démontrer que 2007 n’est pas un nombre premier (sans calculatrice)
La somme des chiffres de 2007 est 2+0+0+7 = 9, divisible par 3. Donc, d’après un
critère de divisibilité par 3, 2007 est divisible par 3. Donc 2007 admet un diviseur
différent de 1 et de 2007, donc 2007 n’est pas premier.
2. Démontrer que 3(1 + 4 + 42 + 43 + · · · + 4n−1 ) = 4n − 1, en remarquant que 3 = 4 − 1.
En déduire l’ensemble des n entiers naturels non nuls non nuls tels que 4n − 1 est un
nombre premier
On remplace 3 par 4 − 1 et on développe :
(4−1)(1+4+42 +43 +· · ·+4n−1 ) = (4+42 +43 +44 +. . . 4n )−(1+4+42 +43 +. . . 4n−1 )
Tous les termes s’éliminent deux à deux sauf les termes extrêmes, d’où
3(4 + 42 + 43 + · · · + 4n−1 ) = 4n − 1
Donc 4n − 1 est toujours multiple de 3. Le seul multiple de 3 (non nul) qui soit
premier est 3 lui-même. Dans ce cas 4n − 1 = 3, soit 4n = 4. Comme 41 = 4 et que
les puissances de 4 sont strictement croissantes, le seul n solution est n = 1.
3. On admettra que les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. Avec cette liste, combien faut-il faire de divisions euclidiennes
pour vérifier que 2003 est premier ?
On
√ essaye toutes les divisions par les nombres premiers inférieurs ou égaux à
2003 ≈ 44, 75. Il y en a 14 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
p
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43
reste(2003, p) 1 2 3 1 1 1 14 8 2 2 19 5 35 25
On peut vérifier que 2003 n’est divisible par aucun de ces nombres (aucun reste
n’est nul), donc 2003 est premier, ce qu’on a montré avec 14 divisions.
4. Soit x = (2 × 3 × 5) + 1. Démontrer que x admet un diviseur premier strictement
supérieur à 5, sans calculer x
Soit p le plus petit diviseur premier de x (on sait qu’un tel diviseur existe toujours :
c’est le plus petit diviseur de x qui soit strictement supérieur à 1). Montrons que p
ne peut pas être égal à 2, ni à 3, ni à 5, par l’absurde.
Si on avait p = 2, alors on aurait x = 2 × 3 × 5 + 1 = 2k, donc 1 = 2k − 2 × 3 × 5. Or
2k et 2 × 3 × 5 sont divisibles par 2, donc 1 serait divisible par 2 (par différence),
ce qui est impossible.
Si on avait p = 3, alors comme précédemment 1 serait divisible par 3 (par
différence), ce qui est impossible.
Si on avait p = 5, alors 1 serait divisible par 5 (par différence), ce qui est impossible.
Conclusion : p est un diviseur premier de x qui est strictement supérieur à 5.
Bien sûr, ce n’est pas la méthode la plus simple : n = 31, donc p = 31. Mais cette
méthode se généralise si on remplace 2, 3, 5 par p1 , p2 , p3 , . . . , pn en appelant pk le
k-ième nombre premier. Cela permet de prouver que, pour tout n, il y a toujours
un nombre premier strictement supérieur à pn
5. ROC (propriété de cours à redémontrer) : Soit x un nombre non premier. Démontrer
qu’il existe au moins un diviseur premier p de x tel que p2 6 x
Soit d un diviseur premier quelconque de x (on sait qu’il en existe). Alors x = kd,
avec 1 < d < x puisque x n’est pas premier.
Si d2 6 x, alors on peut choisir p = d.
Sinon c’est que d2 > x, soit d2 > kd, soit d > k, soit kd > k 2 , c’est-à-dire x > k 2 .
On peut alors choisir pour p n’importe quel diviseur premier de k (puisqu’on aura
p2 6 k 2 < x).