anneaux et corps - toutes les Maths

ANNEAUX ET CORPS
Ce complément de cours prolonge le chapitre 36 ("Groupes et corps") de "Toutes les mathématiques " (TLM1).
1 Anneaux
1.1 Dé…nition
Dé…nition 1 Soit Aun ensemble muni de deux lois de composition internes notées +et . On dit que (A; +;)est un
anneau si :
(A; +)est un groupe commutatif (on note 0l’élément neutre).
La loi est associative et possède un élément neutre dans A; noté 1; di¤érent de 0.
La loi est distributive par rapport à +;à droite et à gauche, c’est-à-dire
8(a; b; c)2A3; a (b+c)=ab+acet (a+b)c=ac+bc:
Si de plus la loi est commutative, l’anneau est dit commutatif.
Exemple 2 (1)Les ensembles (Z;+;);(Q;+;);(R;+;);(C;+;)sont des anneaux commutatifs pour l’addition et
la multiplication usuelle.
(2)Soit RN;+;où RNest l’ensemble des suites réelles muni des lois +et dé…nies par : si u=(un)n2N,v=(vn)n2N
alors u+v=(un+vn)n2Net uv=(unvn)n2N. Alors RN;+;est un anneau commutatif.
(3)Soit l’ensemble F(I; R)=ff:I!Rgoù Iest un ensemble. On munit F(I; R)de f+g:x7!f(x)+g(x)et
fg:x7!f(x)g(x):Alors F(I; R)est un anneau commutatif.
(4) (R[X];+;);où R[X]est l’ensemble des polynômes à coe¢ cients réels, est un anneau commutatif.
(5) (Mn(K);+;);où Mn(K)est l’ensemble des matrices carrées à coe¢ cients dans K=Rou C;est un anneau non
commutatif.
Dé…nition 3 On dit que l’anneau (A; +;)est intègre si la loi est commutative et si pour a; b dans A, on a
ab=0=)a=0ou b=0
Exemple 4 (1) (Z;+;);(Q;+;);(R;+;);(C;+;)sont des anneaux intègres.
(2) (R[X];+;)est un anneau intègre.
(3)A=F(R;R)n’est pas un anneau intègre. En e¤et, soient f et gdé…nie par
f(x)=1si x0
0si x0et g(x)=0si x0 1si x0
Pour tout xréel, on a alors f(x)g(x) = 0; c’est-à-dire fg=0A(la fonction nulle, qui est l’élément neutre de A).
Les fonctions fet gsont appelées des diviseurs de 0:
(4)De la même manière RN;l’ensemble des suites réelles, n’est pas un anneau intègre (exercice 3)..
1.2 Sous-anneau
Dé…nition 5 Soit (A; +;)un anneau et BAune partie de A: On dit que Best un sous-anneau de Asi :
(B; +)est un sous-groupe de (A; +):
8(a; b)2B; a b2B(donc est une loi de composition interne sur B).
L’élément neutre 1de la loi de Aest dans B.
Remarque : Dans ce cas (B; +;)est alors un anneau. En pratique, pour montrer qu’un objet est un anneau, on montre
donc que c’est un sous anneau d’un anneau connu.
Exemple 6 (1)Zest un sous-anneau de (Q;+;):
(2)C(I; R), ensemble des fonctions continues sur l’intervalle IR, est un sous-anneau de (F(I; R);+;).
(3)L’ensemble des suites bornées est un sous-anneau de RN.
(4)L’ensemble des suites convergentes est un sous-anneau de RN.
(5)Z[i]=fa+ib; (a; b)2Zgest un sous-anneau de (C;+;). On l’appelle l’anneau des entiers de Gauss (exercice 2).

TLM1 Anneaux et corps 2
1.3 Calcul dans un anneau
Soit x2Aalors x0A=0Aoù 0Aest le neutre de la loi +.
Preuve. En e¤et, on a x(x+0A)=xx+x0A. Mais puisque 0Aest neutre, on a x+0A=x; ainsi x(x+0A)=
xx: On en déduit que xx+x0A=xx=)x0A=0A:
Soient aet bdans A; on note a-bà la place de a+(-b);on démontre alors que, 8(a; b; c)2A3
a(b-c)=ab-ac(-a)b= - (ab) (-a)(-b)=ab
1.3.1 Notations usuelles
Soit (A; +;)un anneau, pour a2A; on note -ale symétrique de apour la loi +et a-1le symétrique pour la loi 
lorsque aest inversible. Soit n2N, on note :
Si n=0; 0a =0Aoù 0Aest le neutre de Apour la loi +et a0=1Aou 1Aest le neutre pour la loi .
Si n > 0; na =a+ +a
| {z }
nfois
et an=aa   a
| {z }
nfois
Si n < 0; na =(-n) (-a)=(-a)+ +(-a)
| {z }
-nfois
et an=a-1-n=a-1   a-1
| {z }
-nfois
On a alors les règles usuelles
Soient (a; b)2Aet (n; p)2Z2
na +pa =(n+p)a ; n (pa)=(np)a ; na +nb =n(a+b); anap=an+p:
Pour résumer, les règles de calcul de l’algèbre sont encore licites, mais si l’anneau n’est pas commutatif, alors ab6=ba:
Pour ainversible et p2Z, alors (ap)-1=a-1p
Preuve. On le prouve pour p2Npar récurrence sur p. C’est clair si p=0ou 1. Supposons le vrai pour p1; alors
a-1p+1=a-1pa-1=(ap)-1a-1
et ap+1-1=(aap)-1=(ap)-1a-1
Puis pour p < 0; on a (ap)-1=a-1-p-1 =
-p>0 (a-p)-1-1
=a-palors que a-1p=a-1-1-p =a-p;ce qui
est bien la même chose.
1.3.2 Elements commutants
On notera pour simpli…er le produit absous la forme ab:
Dé…nition 7 Soient aet bdans A, on dit que aet bcommutent si ab =ba.
Cette notion est essentielle. Par exemple, pour le produit des matrices carrées, en général AB 6=BA. Le produit n’est
donc pas commutatif !
Proposition 8 Si aet bcommutent alors 8(i; j)2Z2; aiet bjcommutent.
Preuve. On commence par prouver que aiet bjcommutent lorsque iet jsont dans N. On dé…nit la proposition P(j)=
}abj=bja}. La proposition est vraie au rang 0car b0=e; élément neutre de Aet ae =ea =a. Supposons que P(j)soit
vrai pour j0…xé. Alors
abj+1=abjb=
HRibjab=
associativité bj(ab)=
ab=ba bj(ba)=bj+1a
Ainsi P(j+1)est vraie. On a donc montré que, si aet bcommutent, alors pour tout j2N,abj=bja. On en déduit que
bjet acommutent. On applique le résultat précédent à bjet à a, ainsi pour tout i2N,bjai=aibj.
Il reste à montrer que c’est vrai pour iet jdans Z. On montre d’abord que a-1et bcommutent. En e¤et
ab =ba =)a-1(ab)a-1=a-1(ba)a-1=)a-1aba-1=a-1baa-1=)ba-1=a-1b
car aa-1=a-1a=e, élément neutre de A
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TLM1 Anneaux et corps 3
Par symétrie des rôles on a aet b-1qui commutent. On a donc montré que aet bcommutent =)aet b-1commutent et
a-1et bcommutent. On l’applique donc à aet b-1pour avoir a-1et b-1commutent.
En…n, si i2Z,i<0et j2N, alors aibj=a-1-ibj=bja-1-i=bjaicar a-1et bcommutent.
Si i2Net j2Z,j<0, on échange les rôles de aet bpour avoir le même résultat.
Si (i; j)2Z2,i<0et j<0,aibj=a-1-ib-1-j=b-1-ja-1-i=bjaicar a-1et b-1commutent.
1.3.3 Deux formules essentielles
On notera pour simpli…er le produit absous la forme ab:
Si aet bcommutent alors pour tout n2N
(a+b)n=
n
X
k=0n
kakbn-k(formule du binôme)
an-bn=(a-b)
n-1
X
k=0
an-1-kbk=(a-b)
n-1
X
k=0
akbn-1-k=(a-b)an-1+an-2b+ +abn-2+bn-1
En particulier
a2-b2=(a-b) (a+b)a3-b3=(a-b)a2+ab +b2~
Remarque : Si aet bne commutent pas, alors (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b26=a2+2a b+b2.
Preuve. La formule du binôme se démontre par récurrence sur n. Soit P(n)= } (a+b)n=Pn
k=0n
kakbn-k}.
La propriété est vraie au rang 0, en e¤et
(a+b)0=e
0
X
k=00
kakb0-k=0 0a0b0=1ee=ecar 0 0=1
On suppose que P(n)est vraie au rang n0…xé. Alors
(a+b)n+1=(a+b)(a+b)n=(a+b)
n
X
k=0n
kakbn-k
=a
n
X
k=0n
kakbn-k+b
n
X
k=0n
kakbn-k=
n
X
k=0n
kak+1bn-k+
n
X
k=0n
kakbn+1-k
car bakbn-k=akbbn-k=akbn+1-k(aet bcommutent !).
Dans la somme
n
X
k=0n
kak+1bn-kon pose j=k+1, alors 0kn=)1jn+1et n-k=n-(j-1)=n+1-j
d’où
n
X
k=0n
kak+1bn-k=
n+1
X
j=1n
j-1ajbn+1-j=n nan+1bn+1-0+2
4
n
X
j=1n
j-1ajbn+1-j3
5
Et l’on a également (on pose j=k)
n
X
k=0n
kakbn+1-k=
n
X
j=0n
jajbn+1-j=2
4
n
X
j=1n
jajbn+1-j3
5+n
0a0bn+1-0
3

TLM1 Anneaux et corps 4
Ce qui donne
(a+b)n+1=n
nan+1bn+1-0+2
4
n
X
j=1n
j-1ajbn+1-j+
n
X
j=1n
jajbn+1-j3
5+n
0a0bn+1-0
=n
nan+1bn+1-0+2
4
n
X
j=1 n
j-1+n jajbn+1-j3
5+n
0a0bn+1-0
Mais d’après la relation de Pascal,
n
j-1+n j=n+1 j;et n n=1=n+1 n+1;n 0=1=n+1 0:
Bref, tout cela donne
(a+b)n+1=n+1
n+1an+1bn+1-0+2
4
n
X
j=1n+1
jajbn+1-j3
5+n+1
0a0bn+1-0
=
n+1
X
j=0n+1
jajbn+1-j
ce qui prouve l’hérédité et démontre la formule du binôme.
Pour la seconde relation, on a
(a-b)
n-1
X
k=0
an-1-kbk=a
n-1
X
k=0
an-1-kbk-b
n-1
X
k=0
an-1-kbk=
n-1
X
k=0
an-kbk-
n-1
X
k=0
an-1-kbk+1
car ban-1bk=an-1bbk
Dans la seconde somme on pose j=k+1, ainsi Pn-1
k=0an-1-kbk+1=Pn j=1an-jbj:Par conséquent
(a-b)
n-1
X
k=0
an-1-kbk=
n-1
X
j=0
an-jbj-
n
X
j=1
an-jbj=an-bn
En…n n-1
X
k=0
an-1-kbk=
n-1
X
j=0
ajbn-1-jen posant j=n-1-k
2 Corps
2.1 Dé…nition
Dé…nition 9 Soit (A; +;)un anneau d’éléments neutres 0et 1: On dit que Aest un corps si :
La loi est commutative.
Tous les éléments de Asauf 0sont inversibles pour la loi .
Remarque 1 : Soit x2A; alors x-1(qui désigne l’inverse pour la loi ;l’inverse pour la loi +étant noté -x) est alors
di¤érent de 0: En e¤et, si x-1=0alors 0=x0=xx-1=1.
Remarque 2 : Il revient au même de dire que (A; +;)et (A; +;)sont des groupes commutatifs tels que la multipli-
cation soit distributive sur l’addition (TLM1, page 465).
Exemple 10 (1)Ret C, munis de l’addition et de la multiplication usuelles sont des corps.
(2)R(X);l’ensemble des fractions rationnelles à coe¢ cients réels est un corps.
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TLM1 Anneaux et corps 5
2.2 Sous-corps
Dé…nition 11 Soit (K; +;)un corps et LKune partie de K; on dit que Lest un sous-corps de Ksi :
(L; +;)est un sous-anneau de (K; +;):
Tous les éléments de Lsauf 0sont inversibles pour la loi . (c’est-à-dire Lest un corps)
Exemple 12 (1)Qest un sous-corps de R.
(2)Qhp2i=a+bp2; (a; b)2Qest un sous-corps de Q.
Exercices
Exercice 1 On dé…nit l’ensemble A=Zhp2i=x2R,9(a; b)2Z,x=a+bp2:
1) Montrer que tout élément xde As’écrit de manière unique x=a+bp2avec aet bdans Z.
2) Montrer que Aest un sous anneau de (R;+;).
3) Si x=a+bp2; on dé…nit N(x)=a2-2b2:Véri…er que N(xy)=N(x)N(y):
4) Montrer que x2Aest inversible si et seulement si N(x)=1:
5) Véri…er que pour tout n2N,u=1p2n est inversible dans A.
6) Que dire de usi n2Z?.
Exercice 2 (Les entiers de Gauss). On note Z[i]=a+ib; (a; b)2C2:
1) Montrer que (Z[i];+;)est un sous anneau de (C;+;).
2) Déterminer les éléments inversibles de Z[i].
Exercice 3 On note RNl’ensemble des suites réelles. On sait (exemple ) que RN;+;est un anneau commutatif. En
utilisant les suites u=(un)n2Net v=(vn)n2Ndé…nies par un=1+(-1)net vn=1-(-1)n;véri…er que RN;+;n’est
pas intègre.
Exercice 4 On note toujours RNl’ensemble des suites réelles.
Pour u=(un)n2Net v=(vn)n2N, on pose w=uv=(wn)n2Noù wn=
n
X
k=0
ukvn-k.
1) Montrer que RN;+;est un anneau commutatif.
2) On note la suite nulle. Si uet vsont deux suites di¤érentes de ; on pose
p=min fn2N,un6=0gle premier indice pour lequel un6=0;
q=min fn2N,vn6=0g;
w=uv:
Que peut-on dire de wp+q? En déduire que RN;+;est intègre.
3) RN;+;est-il un corps ?
Exercice 5 Soit (A; +;)un anneau intègre ayant un nombre …ni d’éléments a1; a2; a3; ; an;avec a1=0(élement
neutre pour l’addition) et a2=1(élement neutre pour la multiplication). Démontrer que Aest un corps.
Solutions des exercices
Exercice 1 1) Soit x2A; supposons que xs’écrive de deux manières, x=a+bp2=a0+b0p2où (a; a0; b; b0)2Z4:
Si b6=b0;par di¤érence, on obtient p2=a-a0
b0-b2Q. Or on sait que p2 =2Q(exemple 28.14 de TLM1, page 349). ainsi
b=b0et a=a0:
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