TDR — Plan`etes et piles

TDR2 •M7/SA4
TDR — Plan`etes et piles
Ex-TDR.1 Pile [ESIM 2003]
`
Ap𝐻=−log[𝐻3𝑂+] = 0, `a la temp´erature de 298 𝐾et `a la pression atmosph´erique, les valeurs
des potentiels de r´ef´erence (potentiels standard) sont :
Couple 𝐹 𝑒3+/𝐹 𝑒2+ 𝐶𝑟2𝑂2−
7/𝐶𝑟 𝐶𝑟3+/𝐶𝑟
𝐸∘(en 𝑉) 0,77 0,31 −0,71
•On consid`ere trois solutions aqueuses :
- une solution (A) contenant des ions 𝐹 𝑒3+ et 𝐹 𝑒2+ de concentrations ´egales et qui ont pour
valeur 10−2𝑚𝑜𝑙.𝐿−1
- une solution (B) contenant des ions 𝐹 𝑒3+ de concentration ´egale `a 10−2𝑚𝑜𝑙.𝐿−1et des ions
𝐹 𝑒2+ de concentration inconnue 𝑥;
- une solution (C) acidifi´ee contenant des ions 𝐶𝑟2𝑂2−
7et 𝐶𝑟3+ de concentrations ´egales chacune
`a 10−2𝑚𝑜𝑙.𝐿−1, le p𝐻de cette solution ´etant ´egal `a z´ero.
•On prendra 𝑅𝑇
ℱ.ln 𝑋= 0,06.log 𝑋et 𝑅= 8,314 𝐽..𝑚𝑜𝑙−1.𝐾−1
1) On constitue `a l’aide de la solution (A)
et de la solution (B) la pile sch´ematis´ee ci-
dessous ; les ´electrodes sont en platine. On
n´eglige toute surtension aux ´electrodes.
Initialement, lorsque la pile ne d´ebite pas en-
core, la tension 𝑈12 =𝑉1−𝑉2mesur´ee est ´egale
`a 18 𝑚𝑉 .
1.a) D´eterminer la valeur de 𝑥pour laquelle
on peut avoir cette tension.
1.b) Pr´eciser :
- la polarit´e des ´electrodes ;
- la nature des r´eactions qui se produisent au niveau des ´electrodes (pr´eciser la position de
l’anode et de la cathode) ;
- l’´equation bilan de la r´eaction.
2) On remplace la solution (B) par la solution
(C) et le voltm`etre par une r´esistance 𝑅.
2.a) Quelle est la valeur de la tension 𝑈12 =
𝑉1−𝑉2aux bornes de la pile lorsque l’inter-
rupteur 𝐾est ouvert ?
2.b) On ferme l’interrupteur 𝐾.
´
Ecrire les r´eactions d’oxydo-r´eduction qui se
passent aux ´electrodes.
Donner l’´equation-bilan des transformations
chimiques.
2.c) Calculer la constante 𝐾∘de cette r´eaction d’oxydo-r´eduction.
2.d) D´eterminer la concentration des diff´erentes esp`eces dans la solution lorsque la pile est
« usée ». On fera certaines hypothèses que l’on pourra préciser ; en particulier, on néglige toutes
surtensions aux électrodes.

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Plan`etes / Piles 2010-2011
Ex-TDR.2 Attraction gravitationnelle [CCP TSI 2010]
On considère dans ce problème que la Terre possède une répartition de masse à symétrie sphérique,
de centre 𝑂, de masse 𝑀𝑇et de rayon 𝑅𝑇. On pourra donc considérer que le champ gravitationnel
créé par la Terre en un point 𝑀, est identique à celui créé par une masse ponctuelle 𝑀𝑇placée
en 𝑂.
Préliminaire :
1) On se place en un point 𝑀de l’espace, extérieur à la Terre et situé à une distance 𝑟du centre
de celle-ci.
On notera 𝒢la constante de gravitation universelle.
Rappeler l’expression du champ gravitationnel −→ 𝐺𝑇(𝑀)créé par la Terre en un point 𝑀de
l’espace.
On exprimera −→ 𝐺𝑇(𝑀)en fonction de 𝒢,𝑀𝑇,𝑟et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
Représenter le vecteur −→ 𝐺𝑇(𝑀)sur un schéma.
Première partie :. Satellite en mouvement autour de la Terre
On étudie le mouvement autour de la Terre d’un satellite 𝑆de masse 𝑚placé dans le champ
gravitationnel terrestre. On néglige les frottements.
Caractéristique du mouvement du satellite autour de la Terre
2) On se place dans le référentiel, considéré comme galiléen, qui a pour origine le centre de la
Terre et ses trois axes vers trois « étoiles fixes ». Quel est le nom de ce référentiel ?
Déterminer l’expression de la force −→ 𝑓à laquelle le satellite 𝑆est soumis. On exprimera −→ 𝑓en
fonction de 𝑚,𝒢,𝑀𝑇,𝑟et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
Déterminer de même l’expression de la force −→ 𝑓′à laquelle la Terre est soumise de la part du
satellite. Justifier.
3) En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que le mouvement du satellite 𝑆
est nécessairement plan.
Sachant qu’à l’instant 𝑡= 0 le satellite se trouve au point 𝑀0et a une vitesse 𝑣0, préciser le plan
dans lequel se fait le mouvement.
Dans la suite de cette partie , on se placera dans le cas d’une trajectoire
circulaire de rayon 𝑟et d’altitude ℎautour de la Terre (avec 𝑟=ℎ+𝑅𝑇)
et on utilisera les coordonnées cylindriques.
L’espace est rapporté à la base cylindrique (−→ 𝑒𝑟,−→ 𝑒𝜃,−→ 𝑒𝑧), un point quelconque de l’espace étant
repéré par ses coordonnées (𝑟, 𝜃, 𝑧).
Le plan dans lequel se fait le mouvement du satellite est le plan du repère cylindrique contenant
l’origine 𝑂du repère (le point 𝑂étant le centre de la Terre) et les vecteurs (−→ 𝑒𝑟,−→ 𝑒𝜃).
On rappelle que le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération dans la base
cylindrique (−→ 𝑒𝑟,−→ 𝑒𝜃,−→ 𝑒𝑧)sont donnés par les expression suivantes :
−−→
𝑂𝑀 =𝑟−→ 𝑒𝑟+𝑧 𝑣𝑒𝑧 −→ 𝑣= ˙𝑟−→ 𝑒𝑟+𝑟˙ 𝜃−→ 𝑒𝜃+ ˙𝑧−→ 𝑒𝑧−→ 𝑎= (¨𝑟−𝑟˙ 𝜃2)−→ 𝑒𝑟+ (2 ˙𝑟˙ 𝜃+𝑟¨ 𝜃)−→ 𝑒𝜃+ ¨𝑧−→ 𝑒𝑧
4) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que le module 𝑣de la vitesse
du satellite 𝑆est nécessairement constant au cours du mouvement et déterminer son expression
en fonction de 𝒢,𝑀𝑇et 𝑟.
Deuxième loi de Képler et conséquences
5) Déterminer l’expression de la période 𝑇du mouvement de rotation de 𝑆autour de la Terre
en fonction de 𝑣et de 𝑟puis en fonction de 𝒢,𝑀𝑇et 𝑟. En déduire la troisième loi de Képler.
6) Indiquer une méthode pour déterminer la masse de la Terre.
Donner sans justification l’ordre de grandeur de la masse de la Terre.
7) Un autre satellite 𝑆′, de masse 𝑚′, en orbite circulaire autour de la Terre a une trajectoire
de rayon 𝑟égal au rayon de la trajectoire de 𝑆. Les deux satellites tournent dans le même plan.
𝑆et 𝑆′risquent-ils de se heurter au cours de leur mouvement ? On justifiera la réponse apportée.
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Deuxième partie : Étude énergétique
La force à laquelle le satellite 𝑆est soumis dérive d’une énergie potentielle ℰ𝑝telle que ℰ𝑝peut
s’écrire sous la forme ℰ𝑝=−𝛼
𝑟avec 𝛼constante positive. On prendra par convetion une énergie
potentielle nulle à l’infini.
On ne se limitera pas dans cette partie à un mouvement circulaire, mais on
se placera dans le cas d’un mouvement quelconque du satellite 𝒮autour de
la Terre.
On notera 𝐶la constante des aires donnée par 𝐶=𝑟2˙ 𝜃.
8) Déterminer l’expression de 𝛼en fonction des données du problème.
9) Déterminer l’expression de l’énergie mécanique ℰ𝑚du satellite 𝑆en fonction de 𝑚,𝑟,˙𝑟,˙ 𝜃et
𝛼.
En déduire l’expression de l’énergie potentielle effective du satellite en fonction de 𝑚,𝐶,𝑟et 𝛼.
Donner l’allure de la représentation graphique de l’énergie potentielle effective en fonction de 𝑟.
En exploitant cette courbe, indiquer en fonction de la valeur de l’énergie mécanique le type de
trajectoire suivie par le satellite et préciser dans chaque cas s’il s’agit d’un état de diffusion ou
d’un état lié.
10) Déterminer l’énergie mécanique ℰ𝑚𝑐 associée à une trajectoire circulaire de rayon 𝑟𝑐en
fonction de 𝑟𝑐,𝑚,ℛet 𝑀𝑇.
Déterminer la première vitesse cosmique 𝑣1, vitesse du satellite sur une orbite basse de rayon 𝑅𝑇
autour de la Terre en fonction de 𝑅𝑇,𝒢et 𝑀𝑇.
Ex-TDR.3 Plan`etes [ENSTIM 2007]
Nous voulons étudier le mouvement d’une planète 𝑃, assimilée à un point matériel dans le champ
de gravitation d’une étoile de masse 𝑀𝑒de centre 𝑂, considérée comme ponctuelle et fixe. La
planète de masse 𝑀𝑝est située à une distance 𝑟=𝑂𝑃 de 𝑂. Nous considérerons un référentiel
lié à l’étoile comme un référentiel galiléen.
1) Exprimer la force exercée par l’étoile sur la planète en fonction des masses 𝑀𝑝et 𝑀𝑒,𝑟=𝑂𝑃 ,
𝒢, la constante universelle de gravitation et le vecteur unitaire −→ 𝑒𝑟=
−−→
𝑂𝑃
𝑟.
2) Justifier précisément que le mouvement est plan. Préciser ce plan. On notera (−→ 𝑒𝑟,−→ 𝑒𝜃)la base
de projection dans ce plan et −→ 𝑒𝑧, un vecteur unitaire suivant la direction du moment cinétique en
𝑂,−→ 𝐿=𝐿−→ 𝑒𝑧. Rappeler l’expression de la vitesse en coordonnées polaires. Préciser l’expression
de 𝐿en fonction de 𝑀𝑝,𝑟et d𝜃
d𝑡.
3) On suppose dans cette question que la planète décrit un mouvement circulaire de rayon 𝑅
et de période 𝑇. On notera 𝑣𝑐, le module de la vitesse pour un mouvement circulaire.
3.a) Établir l’expression de la vitesse de la planète, 𝑣𝑐en fonction de 𝑅,𝒢et 𝑀𝑒.
3.b) En déduire une relation entre 𝑅,𝑇,𝒢et 𝑀𝑒(3ème loi de Képler).
3.c) Exprimer alors la vitesse 𝑣𝑐en fonction de 𝒢,𝑇et 𝑀𝑒.
3.d) En déduire l’énergie cinétique et l’énergie mécanique en fonction de 𝒢,𝑇,𝑀𝑝et 𝑀𝑒.
4) On rappelle que l’équation polaire d’une ellipse est 𝑟(𝜃) = 𝑝
1 + 𝑒.𝑐𝑜𝑠(𝜃)où 𝑝est une distance
appelée paramètre et 𝑒, un coefficient positif sans dimension appelé l’excentricité compris entre
0 et 1. On se propose d’étudier le mouvement de la planète à l’aide du vecteur excentricité,
−→
𝑒=−𝐿
𝒢.𝑀𝑒.𝑀𝑝
.−→ 𝑣+−→ 𝑒𝜃où −→ 𝑣est la vitesse de la planète, −→ 𝑒est un vecteur orthogonal au 1/2
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grand axe de l’ellipse voir figure ci-après). Aucune connaissance sur ce vecteur n’est nécessaire
pour répondre aux questions suivantes.
4.a) Montrer que ce vecteur est constant. Il
suffira de montrer que la dérivée de ce vecteur
est nulle.
4.b) En faisant le produit scalaire −→ 𝑒 .−→ 𝑒𝜃et en
s’aidant du dessin, montrer que
𝑟(𝜃) = 𝑝
1 + 𝑒cos(𝜃)
et en déduire que le module de −→ 𝑒vaut l’excen-
tricité 𝑒de la trajectoire. Préciser 𝑝en fonction
de 𝒢,𝑀𝑒,𝑀𝑝et 𝐿.
4.c) Préciser la valeur de l’excentricité pour un mouvement circulaire.
4.d) Dans le cas d’un mouvement circulaire, préciser la valeur de 𝐿en fonction de 𝑅,𝑣𝑐et 𝑀𝑝.
Retrouver à l’aide du vecteur excentricité, l’expression de la vitesse de la planète, 𝑣𝑐en fonction
de 𝑅,𝒢et 𝑀𝑒.
Ex-TDR.4 Lune et satellite artificiel terrestres [ENSTIM 2003]
Pour cette partie, vous aurez à compléter, et à rendre avec la copie, la feuille annexe se trouvant
en fin de sujet.
La Terre possède un seul satellite naturel : la Lune. De nombreux satellites artificiels sont par
ailleurs placés en orbite autour de la Terre, dans des buts variés tels que les télécommunications,
la météorologie, la défense. . .
Cette partie se propose d’étudier quelques caractéristiques du mouvement des satellites terrestres.
On désignera par 𝑀𝑇et 𝑅𝑇respectivement la masse et le rayon de la Terre.
On donne 𝑅𝑇= 6370 𝑘𝑚 et 𝑀𝑇= 5,98.1024 𝑘𝑔.
On rappelle que la constante de gravitation universelle a pour valeur 𝒢= 6,67.10−11 𝑁.𝑚2.𝑘𝑔−2.
I. Mouvement de la Lune autour de la Terre
On précise que cette question ne nécessite aucune connaissance préalable d’astronomie.
I.1) Le centre 𝐿de la Lune décrit, de manière uniforme, autour de la Terre, une orbite circulaire
de centre 𝑇telle qu’en un jour le segment [𝑇 𝐿]balaie un angle de 0,230 radian.
I.1.a) Déterminer, en jours, la période 𝑇𝐿de ce mouvement circulaire de la Lune autour de la
Terre.
I.1.b) Sachant que le rayon 𝑅𝑇 𝐿 de l’orbite circulaire décrite par la Lune est de 3,84.105𝑘𝑚,
en déduire la valeur de la masse de la Terre (on justifiera la réponse). Le résultat est-il cohérent
avec les données ?
I.2) On sait que la Lune, dans son mouvement autour de la Terre, nous présente toujours la
même face. En déduire les caractéristiques du mouvement propre de la Lune.
I.3.a) Le schéma (I) de la feuille annexe représente les différentes phases de la Lune. On dit
que la Lune est nouvelle lorsque la face qu’elle présente à la Terre n’est pas éclairée. Identifier la
nouvelle Lune sur ce schéma, et préciser comment elle est alors vue depuis la Terre.
I.3.b) Le cycle des phases de la Lune, appelé lunaison, dure 𝑇𝑁= 29,5𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠. Pour expliquer
la différence entre cette durée, et la période du mouvement circulaire de la Lune autour de la
Terre, on doit prendre en compte le mouvement de la Terre autour du Soleil.
Sur le schéma (II) de la feuille annexe, dessiner les positions de la Lune lors des nouvelles lunes
successives à 𝑡et 𝑡+𝑇𝑁. Dessiner aussi la position de la lune à la date 𝑡+𝑇𝐿.
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Sachant que la Terre est en orbite circulaire de période 𝑇𝑇= 365 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 autour du Soleil, retrouver
la valeur de 𝑇𝑁= 29,5𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 pour la lunaison.
II. Quelques aspects de la satellisation
En l’absence de précision explicite, on négligera tout frottement dû à l’atmosphère sur le satellite.
II.1) On s’intéresse à un satellite artificiel, de masse 𝑚, en orbite circulaire de rayon 𝑅autour
de la Terre.
II.1.a) Montrer que le mouvement du satellite autour de la Terre est uniforme, et exprimer
littéralement la vitesse 𝑣0. On exprimera d’abord 𝑣0en fonction de 𝒢,𝑀𝑇et 𝑅, puis en fonction
de 𝑔0,𝑅𝑇et 𝑅, où 𝑔0désigne l’intensité du champ de pesanteur terrestre à la surface de la Terre.
II.1.b) Le satellite SPOT (Satellite sPécialisé dans l’Observation de la Terre) est en orbite
circulaire à l’altitude ℎ= 832 𝑘𝑚 au-dessus de la Terre. Calculer numériquement la vitesse 𝑣0
de SPOT sur son orbite.
II.2) La vitesse de libération 𝑣1d’un satellite est la plus petite vitesse qu’il faut lui communiquer
à la surface de la Terre pour qu’il aille à l’infini (en « se libérant » de l’attraction terrestre).
Exprimer 𝑣1en fonction de 𝒢,𝑀𝑇et 𝑅𝑇et calculer sa valeur.
II.3) Dans le cas d’une orbite circulaire du satellite autour de la Terre, montrer que l’énergie
mécanique ℰ𝑚du satellite est liée à son énergie cinétique ℰ𝑐par : ℰ𝑚=−ℰ𝑐.
Si l’on tient à présent compte de la force de frottement de l’atmosphère sur le satellite, en déduire,
en le justifiant, son effet sur la vitesse du satellite.
II.4) Pour un satellite de masse 𝑚en mou-
vement (quelconque) autour de la Terre, et
uniquement soumis à la force gravitationnelle
terrestre, l’énergie mécanique peut s’écrire de
la même façon que celle d’un point matériel
en mouvement rectiligne placé dans un poten-
tiel effectif 𝑈eff(𝑟)dont la courbe représenta-
tive est donnée sur la figure ci-contre :
ℰ𝑚=1
2𝑚d𝑟 d𝑡2
+𝑈eff(𝑟)
avec 𝑟la distance du satellite au centre de la
Terre.
Après avoir justifié que l’énergie mécanique
ℰ𝑚du satellite est une constante de son mou-
vement, préciser, pour chacune des valeurs de
ℰ𝑚(notées de (1) à(5)) représentées sur la
figure, la nature de la trajectoire du satellite
et celle de son état, lié ou de diffusion.
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