Notes de cours 1

Introduction aux isolants
topologiques
Laurent Lévy
Institut Néel, Université de Grenoble
Plan
• Cours n° 1: Structure de bandes topologiques des
solides
- Structure de bande des solides; espace fibré de la physique
quantique
- Phase, courbure de Berry et indice de Chern
- Mouvement semi-classique en présence de courbure de Berry
- Application au mouvement en champ magnétique: mouvement
semi-classique, quantification de Hall, application de la formule de
Streda. Effets magnéto-galvanométriques
Théorème TKNN: la conductance de Hall comme invariant
topologique
- Les isolants topologique a 2D - Le modèle BZH
- Observabilité de la phase de Berry: la polarisation électrique des
solides
- Les isolants topologiques 3D
• Cours n° 2: Les états de surface des isolants
topologiques
- 3D: l’inversion de bande et les états de surfaces; le modèle le plus
simple des états de surface
- L’ARPES (spectroscopie de photoémission résolue en angle)
- Exemples de structure de bandes expérimentales; Bi2Te3, HgTe. La
chiralité des états de surface (résolution en spin et dichroisme).
- Exemple de système polaire BiTeI: le rôle de l’interaction Rashba
(spin orbite)
- calcul réaliste de structure de bande: le modèle de Kane
(semiconducteur Zinc-Blende)
- Applications au tellurure de Mercure: spectre ARPES, dichroisme
circulaire et polarisation de spin
• Cours n° 3: Les propriétés de transports
- 2D: Effet Hall de spin: expériences multicontacts, le
filtrage et la détection du spin: premiers pas vers la
spintronique des isolants topologiques
- 3D: Propriétés des fermions de Dirac chiraux (différences
avec le graphene)
- L’effet de la phase de Berry et l’anti-localisation en
présence de désordre
- La quantification de Hall, le diagramme des phases de Hall
des isolants topologique
Isolants vs états de Hall quantique
Ar
Argon solide: isolant atomique
Ne
−
π
a
Etat de Hall quantique: « isolant » 2D (σxx=0) mais
B
π
0
σ xy
e2
=n
h
a
ωc
Niveaux
de Landau
−
π
qa
π
Zone de Brillouin magnétiqueqa
Théorie des bandes dans les solides

p2
H=
+ V (r )
2m
(
)
 

V r + Rn = V (r )
Théorème de Bloch
( )

 
 
iq • Rn
iq • r



ψ q , ψ q = e uq
T Rn ψ q = e
 
 

− iq • r
iq • r
H (q ) = e
He

H (q ) uqn = ε n uqn
qy
π
b
0
−
qx
π
b π
−
a
Structure de bande
Correspondance
π
a

q → {ε n (q ), un (q )}
Deux représentations
 
n 
iq • r n 
ψ q (r ) = e uq (r ) Bloch
w (r ) = ∫ d qe
n
2
 
iq • r
ukn (r ) Wannier
(

 

− iq • Ri n 
ψ (r ) = ∑ e
w r − Ri
n

q
i
)
Invariant de surface (théorème de Gauss-Bonnet)
Courbure gaussienne
κ=
1
R1 R2
R1, R2 rayons de courbure locale
Surfaces fermées: théorème de Gauss-Bonnet
g =0
2
d
∫∫ Sκ = 2π (2 − 2 g )
g =1
g, genre de la surface (entier≡nombre de trous)
S
Généralisation: indice de Chern des espaces fibrés
L’espace fibré de la physique quantique

H = γσ • B

(
)
 2

q + eA
+ U res (r )
H=
2m

q → uq

[q , H ] = 0
H uq = ε q uq
P uq = q uq
Espace des états { |uq> } (espace de Hilbert)
Espace fibré: correspondance entre
q (Zone de Brillouin, paramètres (B, Vg) )
→ Espace des états { |uq> }
Topologie: propriétés globales de
cette correspondance
Cas importants: l’espace sous-jacent (Zone de Brillouin,
paramètres (flux magnétique, charge) est périodique
La phase de Berry en physique quantique
Ambigüité de la phase en physique quantique
uq → e
iφ q
γ C = i ∫ uq duq
uq
u q 0 → e iγ C u q 0
C
Phase
de Berry

q → uq
transport
parallèle
Connection de Berry Courbure de Berry
 


A(q ) = i uq ∇ q uq

 

F = ∇ q × Aq
Comme un potentiel vecteur
uq → e
iφ q
 
  
uq , A(q ) → A(q ) + ∇φq
γ C ne dépend pas du choix de la phase
Exemple important: la phase de Berry
des spins-1/2
de |uq>

γ C = ∫∫ F • nˆdS
C
Flux de F à travers la surface C
devient l’indice de Chern
pour des surfaces fermées
La phase de Berry de deux bandes (spin-1/2)



(
)
(
)
d
q
d
q


  z
−
H (q ) = σ • d (q ) = 
 

 d + (q ) − d z (q )
 

ε ± (q ) = ± d (q )
+
q

θ  
 cos q  
 2 

  ,−
=
θ 
 eiφ sin  q  


 2 

q

θ  
 − sin  q  
 2 

  ,
=
θ 
 eiφ cos q  


 2 

Cas d’une rotation de d autour de z
(θ const),
d+
q
0




θ


= i eiφ sin  q  dφ
 2 

 

γ C = i ∫ q + d + q = − sin
C
angle solide convert
par d
2
θ
2∫
2π
0
dφ = π (1 − cos θ ) = Ω
Phase de Berry d’un spin ½ dans un champ magnétique
tournant: ruban de Moebius
Cas d’un spin dans un champ magnétique orientable
(sphère→sphère): notion d’indice de Chern
b  ˆ
H = σ •B
2
f (φ )
b
ε± = ±
2


θ  
θ  
 − sin   
 cos  
 2  ,
 2  , − = 
+ =
 iφ
 iφ  θ  
θ 
e
e
cos
sin
 





2
 2 






θ  
sin

−
  

1
 2  eˆ + i
∇+ =
θ
θ 
b sin θ
2  iφ
 e cos  
 2 

N

cos θ − 1
A+ = + ∇ + =
eˆφ
2b sin θ

θ  
 cos  
 2  eˆ

 iφ  θ   φ
 e sin   
 2 

S

1+ cos θ
A+ = + ∇ + =
eˆφ
2b sin θ
Vector potential of
a monopole of “charge” ½
1


π
π
f (φ ) = A N  , φ  − A S  , φ  = −
b


2
2
2π
1
∫0 f (φ )dφ = − b × 2πb = 2πC


 
b
B + = ∇ × A+ = −
3
2b
 
1 
∇ • B+ = − δ b
2
()
1
2π
=1
C+ =
C−

1 1
2
ˆ
•
=
−
4
= −1
B
n
dS
b
π
2
∫∫
2π 2b
Mouvement semiclassique des états de Bloch
Rappel: états de Bloch dans un potentiel périodique
 
 
 n 
3
n* 
n 
iq • r n 


Connection de Berry’s A (q ) = i ∫∫ d ruq (r )∇ q uq (r )
ψ q (r ) = e uq (r )
n
Position moyenne
[ra , rb ] = iε abc Fc (q)

r=

∇ q
i

+ Aq
 
 
F(q ) = ∇ q × A(q )
Les coordonnées ne commutent pas !



dq
dr 

= eE + e × B
La courbure de Berry a le même effet dans l’espace des q
dt
dt



dr 
dq  qu’un champ magnétique dans l’espace réel

= ∇ qε n (q ) +  × Fn
dt
dt
Dualité entre l’espace des q et l’espace réel
Effet de B et F sur le volume de l’espace des phases
e
  r b   ∇ U (r ) 
c 
b
−δa  d
 ε B (r )
 b= a  
  abc
    ∇ q ε n (q )
a
c   dt  q 

 a

δb
ε abc F (q )

 [qa , qb ]
− i
 [ra , qb ]
 
 ∇ a H (r , q ) )


 ∇ q H (r, q ) 
 a

 


H (r , q ) = ε n (q ) + U (r )
[qa , rb ]

[ra , rb ] 
Crochets de Poisson
(commutateurs)
Jacobien

b  eB
J (q ) = det  = 1 + ε abc F (q )

c
Affecte le volume à intégrer
dans l’espace des phases
Formule de Strěda
σ
in
xy
 ∂J a ∂J b  e 2
K
(compressibilité)
 = ε abc c
−
σ ab = 
∂
∂
E
E
h
π
2
a 
 b
K c h ∂n
  occupation
2
=
(
)n(q )
n
d
qJ
q
=
µ ,T = 0
2π e ∂B
de Fermi
∫∫
e2
=ν
h
ν −ν ' états de bords chiraux
Filaments de largeur lB, le long d’équipotentielles
σ
out
xy
e2
=ν '
h
Jauge de Landau

A = Bxyˆ
v y =
2
(
p + eA)
+ U (x )
H=
∂ε q
∂q
=
∂U (X q )
∂q
Xm=centre
de « guidage »
2m
ψ n (x, y ) = φn (x − X m )eiqm y
∆X = l B
2πl B
<< l B
Ly
qm =
2mπ

, X m = qml B2 , l B =
Ly
eB
Application de la formule de Strěda
Gaz d’électrons libres
e 2τ
σD = n
m
ωcτ
σ D ne
→ σ xy = σ D
≈
=
2 2
ωcτ B
1 + ωc τ
Effet Hall quantique (porteurs massiques)
1  eB

niveaux de Landau ε n =  n + 
2 m

N=g
σ xy
Φ
e
= g BS
Φ0
h
∂ρ
e2
=
=ν
∂B
h
N e2
ρ = ne = e = Bν
S
h
# de niveaux de Landau
remplis (incl. deg. de spin)
électrons sans int. sans états étendus
au niveau de Fermi: ν entier
Généralisation (FQHE)
ν=
q
q +1
,
2q + 1 2q + 1
q de niveaux de
fermions composites remplis
ρ = ne = σ xy B
K=
∂ρ
= σ xy
∂B
Application de la formule de Strěda – cont.
Généralisation a 3D
Pas d’états étendus (bulk) au niveau de Fermi
Réseau de plans 2D périodiques
(organiques, graphène)
σ ab
2
1 e2
e
n
c
=
ε abc G →
2π h
h d
2π vecteur du réseau réciproque
G=
d
Graphene, états de surface des isolants topologique
ε (q ) = cq
ε n = c 2enB
Φ
e
N=g
= g BS
Φ0
h
σ xy
∂ρ
e2
=
=ν
∂B
h
N e2
ρ = ne = e = Bν
S
h
Même résultat que pour les électrons massiques
Analyse des trajectoires a la surface de Fermi
Exemples de surfaces de Fermi


dq
dr 
=e ×B

dt
dt
 

dr
= ∇ qε n (q )

dt


dq
dr
⊥ B,
dt
dt
 

dq
.∇ qε (q ) = 0
dt
dq =
Mouvement
à énergie
constante
(reste vrai si F≠0)
e ⊥
e δε
Bdt
∇ q ε n Bdt =

 δq
 2 dqδq  2 δS
dt =
=
eB δε
eB δε
 2 ∆S
T=
eB ∆ε
Variation de l’aire ⊥ B
lorsqu’on passe de ε a ε+∆ε
Cas simple
(
)
2 2
2 2
2
2
2
ε=
qx + q y + qz =
qz +
S (ε )
2m*
2m*
2πm*
δS 2πm*
2πm*
eB
= 2 ,T =
, ωc =
δε

eB
m*
εn
ε n + δε
δS
Quantification des orbites
(
)
2 2
2 2
2
2
2
ε=
S (ε )
qz +
qx + q y + qz =
2m*
2πm*
2m*
Semiclassique
 
p
∫ • dr = (n + γ )2π

 
 
dq
dr

= e × B, (q − K ) = er × B
dt
dt
2 2
ε n (q z ) =
q z + ωc (n + γ )
2m*
q z (n ) =
2m
[(nmax − n )ωc + ∆ε ]
2

Densité d’états: a ε0
donné, sélection des
qz(n) tel que
εn(qz(n))=ε0
Pour ε0 donne, n varie de 0
a nmax
Sn =
2πeB
(n + γ )

Calcul de la densité d’états
dN 2 Lz Lx Ly
=
2π Φ 0
dε
B
dq z (n, ε )
∑
dε
n =0
nmax
2
dq (n )
m
= 2 *
dε n (q z ) =
q z (n )dq z (n ), z
 q z (n )
m*
dε
dn
m*
= 2
dε π Φ 0
3/ 2
(
2m* )
=
nmax
1
m*
→ 2
∑
π Φ 0
n = 0 q z (n )
ε
2
2
2m*ωc
ωc
ε
4π
Identique a celle d’un système
sans champ
3
Par contre elle diverge lorsque Δε→0
i.e. lorsque
1

2

1 
1  e
= n + 
2  mε
Bn 
ε n =  nmax + ωc
(
1 4 3 q3
2m )
N
3/ 2
ε
= 3 πq = 2 =
6π
6π 2  3
V 8π 3
3/ 2
Oscillations periodiques en 1/B
dn (2m )
1/ 2
ε
=
M→ deHaas-van Alphen
2 3
4π 
dε
ρxx →Shubnikov deHaas
3/ 2
Généralisation aux structures de bandes
Operateur p+eA
e 

p
−
By 


x
 
2 
Π = p + eA = 
 p + e Bx 
y
2 

[Π x , Π y ] = −ieB
Πy
Πx
→ Q,
→P
eB
eB
ω=
dH ( J )
dJ
q y
q x
,P →
Q→
eB
eB
2
J=
S
2πeB
2π 2πeB dε
= 2
T=
ω
 dS
Jauge symétrique
 1 
  − By 
A= 2 
 1 Bx 
 2

Variables canoniques conjuguées
d’un système 1D
EBSK J =
1
1

PdQ
n
=
+


2π ∫
2


Aire délimitée par la trajectoire
qans le plan Q-P
Formule très générale
Orbite dans le plan
Q-P
Singularité de la densité d’états
dn
B
=
dε πΦ 0
dq z (n, ε )
∑
dε
n =0
Orbites fermées
ou ouvertes suivant
la direction de B
nmax
Critère géométrique pour que dqz/dε→∞
ε = ε n (q z (n ))
dS
dS
δε +
δq z = 0
dε
dq z
Orbite quantifiée
2πeB 
1
(
)
ε
S , qz =
n + 
 
2
dS
dq z
= − dε
dS
dε
→0 pour les orbites extrémales
dq z
1 2πe 
1
Pour chaque surface extrémale Si
=
n
+


Bni
S i 
2
Fréquence magnétique détermine Si
Si (θ )
Forme de la surface
de Fermi
Gaz d’électrons en champ magnétique
groupe de translation magnétique
(
)
 

U r + R = U (r )
(



R = na + mb
)
 2

k + eA
+ U (r )
H=
2m


e  

e  
iR •  k + r × B 

i R× B
TR = e  2   = TR e 2 
 
 
iϕ


TaTb = e TbTa
ϕ = 2π
Maille « magnétique »



R' = nqa + mb
(

 
T f (r ) = f r + R

R
)


e  
e 

H = c  k x + Ax σ y −  k y + Ay σ x  + U (r )
 
  


 1 
A= r ×B
2

TR = e
 
iR • k
Bab
p
= 2π
Φ0
q
Cas d’un espace sous-jacent périodique
(Zone de Brillouin): notion d’indice de Chern

   Exemple/ espace sous-jacent est 2D-périodique≡tore
H (q ) = m1 + σ • d (q )
Espace des états: SU(2)≡SO(3)≡sphère
m: rayon du tore
dégénérescences
sphère autour de la dégénérescence
Indice de Chern: tore→sphère
Expression de la conductance de Hall en terme d’invariant topologique
(TKNN)
Formule de Kubo
σ xy
α v y β β vx α − α vx β β v y α
e 2
=
∑
i α ,β
(Eα − Eβ )2
Indice de bandes (NdL)

αvβ =
qa b
∂u β
1
∂Hˆ
α vx β = α
β = (Eβ − Eα ) α

∂k1
∂k1
*
u
∫ ∫ α v uβ dxdy
0 0
σ xy
∂uα
e2
β
= ∑
i α , β ∂k 2
α
σ xy
e2 1
=
h 2iπ
∂u
∂uα
β α −
β
∂k1
∂k1
(
( ))
∂u
β α
∂k 2
2

e
α
×A k •z
ˆ
∇
=
d
k
C
∫
k
h 1
ZBM
2
def:
()
 

A k = uk ∇ uk
Zone de Brillouin 2D (tore)→SU(2)≡SO(3)
Hamiltoniens de spin des systèmes 2D: indice de Chern ≡degré d’homotopie
Application inverse
au voisinage de S
 

q = S (q )
−1
≡1 si l’orientation est préservée
Signe du Jacobien
}
≡-1 si l’orientation est inversée
Degré d’homotopie est la somme de ces signes
Dégénérescences →zéros du Jacobien
L’indice de Chern (2D)≡nombre de dégénérescences
à l’intérieur du tore
Théorème de Gauss
C1=q1
CT − ∑ Ci = 0
i
C2=q2
CT = ∑ qi ∈ Z
i
Changement d’indice de Chern: sortie d’une dégénerescence du tore:
Fermeture du gap en un point de la zone de Brillouin
Changement de phase autour de la maille magnétique

2π
Tqaψ = eik1qaψ ,0 < k1 <
qa

2π
Tbψ = eik 2bψ ,0 <k 2<
b
ψ état propre commun à H et TR’
ψ k k ( x, y ) = e i ( k x + k y ) u k k ( x, y )
1
Zone de Brillouin
magnétique
2
1 2



iθ k ( r )
uk (r ) = uk (r ) e
1 2
uk1k 2 ( x + qa, y ) = e −iπpy / buk1k 2 ( x, y )
uk1k 2 ( x, y + b) = eiπpx / qa uk1k 2 ( x, y )
Contrainte topologique
α
σ xy
e2 1
=
h 2iπ
e2 1
=
h 2iπ
(
ZBM
()
 
∫ A k • d
ZBM
( ))

∫ d k ∇ × A k • zˆ
2

k
1
p=−
2π
 
∫ dl • ∇θ k
UM
La phase fait p tours
autour de la maille magnétique
Exemple: modèle BHZ de l’effet Hall de spin
Polarisation dans les solides et phase de Berry
λ
( )
 
 
ik • r λ 
ψ k , r = e uk (r )
λ
A
1



uk0 (r ) → ukλ (r ) → uα1 (r )
−
transition ferroélectrique,
λ, paramètre 0<λ<1
Calcule du dipôle electrique
w ( r ) = ∫ d ke
λ

r
3
 
ik • r
ukλ (r )
 λ  2
= ∫ d rr w (r ) = ∫ d 3 q uqλ ∇ q uqλ
π
a
π
a
2e
r λ
3
(2π )
1 ∂P
∆P = ∫
dλ =
0 ∂λ
2e
(ϕ (λ = 1) − ϕ (λ = 0)) = e ∫ dϕ = e γ
2π
πC
π
P=
3
λ
0
γ = i ∫ ψ kλ ∇ξ ψ kλ dξ
C
∆P = e
γ
+ ∆Pion
π
Reconnection des fonctions d’ondes
Pour une bande remplie: la phase θ de sa fonction d’onde
est ±1. C’est l’indice de Chern de la bande
Cas 2D
C=
∑ Cn
remplie
Z
entier
Cas 3D
C = ±1 = (− 1)
p
Z2
p: nombre de bandes P remplies sous εF
Etats d’interface des isolants topologiques
Modèle minimal pour les états de surface
fermion hélicoïdaux de Dirac


e 
e  

H = c  k x + Ax σ y −  k y + Ay σ x  + U (r )
 
  


Πx
(
ε = c k x σ x − k y σ y
)
Πy
= c( k cos θ × cos θ − k sin θ × [− sin θ ]) = c k
Cas « idéal »
HgTe : plusieurs
« branches »
(autres bandes)
Confirmation expérimentale
Le modèle BHZ se généralise a 3→4 D
( )[
 
H (k ) = b0 (k )Γ5 + ∑ bi (k )Γi , ε ± = ± b k , Γi , Γ j = ε ijk Γk
4
i =1
4


b0 (k ) =  m − c ∑ cos ki , bi = sin ki
i =1


]
Condition to get
()
 
ε± = ± b k = 0
can be fulfilled only P symmetric system:
1 parameter m is enough !
8 critical points at BZ corners (Γi)
Questions: topology of what ?
what’s special at the Γi ?
How can do I find topological numbers
A 3dimensions: invariant Z2≡signe ±1
Time reversal symmetry
Θ
T-symmetric Hamiltonian
Antiunitary op [e(iπσy) K]
spin 1/2
[Η,Θ]=0
at Γi H(Γi)=Θ H(Γi) Θ−1
consider matrix
wmn (k ) = um (− k ) Θ un (k )
antisymmetric at Γi
Z2 invariant
Simplification
Push a P band above εF,
topological phase transition
δi = ∏ξm
[H,P]=0
δi =
8
ν 0 = ∏δi
i =1
Θ2=−1
H(-k)=Θ H(k) Θ−1
uα (Γi ), Θuα (Γi )
degenerate
Kramers doublets
det (w[Γi ])
= ±1
Pf (w[Γi ])
3 more
invariant
4
να = ∏δi
i =1

 degenerate
uα (−k ) = ±uα (k ) Kramers doublets
# of odd-parity bands below Fermi level
m
Liang Fu, C. L. Kane, PRB 76 045302 (2007)