Exercice : ( 4 Points )

Classe : 3A/B
DM 02
Correction
Mathématiques
Exercice 1 : Nombres amicaux. (4 Points)
Deux nombres sont dits « amicaux » si la somme des diviseurs de l’un, hormis luimême, est égale à l’autre.
Montrer que 220 et 284 sont amicaux.
Je détermine les diviseurs de 220 et 284
220  1  220
284  1  284
220  2  110
284  2  142
220  4  55
284  4  71
220  5  44
D284  1;2;4;71;142;284
220  10  22
220  11  20
D220  1;2;4;5;10;11;20;22;44;55;110;220
1  2  4  5  10  11  20  22  44  55  110  284
1  2  4  71  142  220.
Donc 220 et 284 sont amicaux.
Exercice 2 : Nombres premiers entre eux. (6 Points)
On dit que deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont que 1 comme diviseur commun.
1. Trouver tous les diviseurs de 45.
Je détermine les diviseurs de 45 :
45  1  45
45  3  15
45  5  9
D45  1;3;5;9;15;45
2. Trouver tous les diviseurs de 28.
28  1  28
28  2  14
28  4  7
D28  1;2;4;7;14;28
3. Les nombres 28 et 45 sont-ils premiers entre eux ?
Les nombres 45 et 28 sont bien premiers entre eux car leur seul diviseur commun est 1.
4. Peut-on trouver deux nombres pairs premiers entre eux ? Justifier.
Les nombres pairs ont 2 comme diviseur commun donc ils ne peuvent pas être premiers
entre eux.
5. Peut-on trouver deux nombres impairs premiers entre eux ? Justifier.
Oui par exemple 11 et 15.
3ème
1
Exercice 3 : Démontrer un critère de divisibilité (6 Points)
« Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. »
L'objectif de cet exercice est de démontrer cette propriété. Nous allons prendre le cas d'un
nombre à quatre chiffres.
Soit abcd un nombre à quatre chiffres.
1. Compléter la décomposition suivante :
abcd  a  1000  b  100  c  10  d
2. En déduire que :
abcd  a  1000  b  100  c  10  d
abcd  999  a  1  a  99  b  1  b  9  c  1  c  d
abcd  999  a  99  b  9  c  a  b  c  d
abcd  9  (111  a  11  b  c)  a  b  c  d
3. Expliquer pourquoi 9  (111  a  11  b  c) est divisible par 3.
9  (111  a  11  b  c) est un diviseur de 3 car il est de la forme
3  3  (111  a  11  b  c)  3  k .
4. Conclure que abcd est divisible par 3 si a+b+c+d est divisible par 3.
Si a+b+c+d est divisible par 3 on peut écrire : a  b  c  d  3  k'
Donc
abcd  9  (111  a  11  b  c)  a  b  c  d
3k
3k'
abcd  3  k  3  k'
abcd  3  (k  k')
Donc abcd est divisible par 3.
Exercice 4 : Le centurion (2 Points)
Toute tentative de résolution sera prise en compte dans la notation…
Le centurion est fier de son armée. Pour le défilé à Rome, il demande à ses
soldats de se ranger par lignes de cinq, mais il reste quatre soldats. Il leur
demande alors de se ranger par lignes de six, mais il reste cinq soldats. Il leur
demande de se ranger par lignes de huit, mais il reste sept soldats.
1.
Combien cette armée comporte-t-elle de soldats sachant qu'elle compte
moins de deux-cents hommes ?
On note N le nombre de soldat pour simplifier les écritures.
 « Il demande à ses soldats de se ranger par lignes de cinq, mais il reste quatre soldats ».
Donc le reste de la division euclidienne de N par 5 vaut 4.
 « Il leur demande alors de se ranger par lignes de six, mais il reste cinq soldats ».
Donc le reste de la division euclidienne de N par 6 vaut 5.
 « Il leur demande de se ranger par lignes de huit, mais il reste sept soldats ».
Donc le reste de la division euclidienne de N par 8 vaut 7.
De plus on sait que N < 200.
Il reste à tester les nombres compris entre 1 et 200 !
On peut essayer à la main ou à l’aide d’un tableur :
3ème
2
On utilise la fonction :
MOD (nombre ; diviseur)
qui renvoie le reste de la
division de nombre par
diviseur.
On cherche le nombre pour lequel on obtient les valeurs 4, 5 et 7 :
Le nombre cherché est 119.
En effet :
119  5  23  4
119  6  19  5
119  8  14  7
Donc cette armée comporte 119 soldats.
2. Par lignes de combien de soldats ce centurion pourrait-il ranger correctement son
armée ?
Il faut pour cela trouver un diviseur de 119.
119  7  17
Les diviseurs de 119 sont 1 ;7 ;17 et 119.
Les cas 1 et 119 étant peu probables…
On pourrait ranger les soldats par lignes de 7 ou de 17.
Présentation rédaction : 2 Points
3ème
3
Autre méthode proposée par Jacinthe :
On note n le nombre de soldats.
D’après l’énoncé on a :
n  5  a  4

n  6  b  5
n  8  c  7

Qu’on peut réécrire :
n  5  a  5  1

n  6  b  6  1
n  8  c  8  1

Ou encore :
n  1  5  a  5
n  1  5  (a  1)


n  1  6  b  6
n  1  6  (b  1)
n  1  8  c  8
n  1  8  (c  1)


Ce qui signifie que n  1 est un multiple de 5, 6 et 8.
On décompose 6 et 8 :
6  23
8  222
Le plus petit multiple commun à 6 et 8 est : 2  2  2  3  24
Le plus petit commun multiple à 5, 6 et 8 est donc : 5  24  5  2  2  2  3  120
Conclusion :
n  1  120
n  120  1
n  119
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4
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