Loi Normale - RallyMaths

BTS - COURS Loi Normale
Loi Normale
10 février 2015
X. Hallosserie
lycée Blaise Pascal
Table des matières
1 Introduction : durée de vie d’un lave-vaisselle 2
2 La loi normale 2
3 Exemples de Calculs avec la loi normale 4
4 « Inverser » la loi normale 5
5 Approximation d’une loi binomiale par une loi normale 6
1

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1 Introduction : durée de vie d’un lave-vaisselle
On envisage le cas où la variable peut prendre ses valeurs (du moins théoriquement) dans un
intervalle de R, ou dans Rtout entier. Par exemple, la variable aléatoire X mesurant la durée
de vie (en années) d’un lave-vaisselle. On peut admettre, en étant optimiste, que X prend ses
valeurs dans 0 ; 20 .
La probabilité qu’un lave-vaisselle donné ait une durée de vie d’exactement 10 ans 26 jours 5
heures 8 minutes et 20 secondes est nulle. En revanche, la probabilité que ce même lave-vaisselle
ait une durée de vie comprise entre 8 et 12 ans n’est pas nulle et peut être estimée. On dit
qu’autour de 10 ans il y a une « densité de probabilité ».
La loi normale caractérisée par sa courbe en cloche permet de calculer cette probabilité.
C’est la loi à densité la plus utilisée.
ans
y
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
P (8 6X612)
Sur notre exemple X suit une loi normale de paramètres µ= 10 et σ= 1.5.
µreprésente la durée de vie moyenne d’un lave-vaisselle et σl’écart type , c’est à dire, la
mesure de la dispersion autour de cette valeur moyenne des différentes durées de vie possibles.
On note X∼N(10 ; 1.5).
La probabilité que la durée de vie soit comprise entre 8 et 12 ans est alors égale à l’aire
indiquée sous la courbe, sachant que l’aire totale est égale à 1.
De façon générale, la loi normale est le modèle mathématique de phénomènes dont les causes
sont nombreuses, indépendantes, mal connues, dont aucune n’est prépondérante et dont les effets
s’ajoutent.
C’est le cas des phénomènes atmosphériques, températures, erreurs de mesure, phénomènes
économiques et sociaux, etc.
2 La loi normale
Définition 1
Une variable aléatoire continue X à valeur dans
Rsuit une loi normale de paramètre µet σsi
sa densité de probabilité est la fonction fdéfinie
sur Rpar :
f(x) = 1
σ√2πe−
(x−µ)2
2σ2
avec σ > 0
La loi de la variable aléatoire X est notée
N(µ;σ).
x
y
µ
2http://rallymaths.free.fr/

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Exercice 1
À la calculatrice :
1. Calculer Z20
0
1
1,5×√2πe−
(x−10)2
2×1,52dx.
2. Calculer Z10
0
1
1,5×√2πe−
(x−10)2
2×1,52dx.
3. Comment interpréter ces résultats ?
MENU RUN OPTN CALC Rdx
Remarque
– La courbe est "centrée" sur la valeur moyenne µ.
– Plus σest grand et plus la courbe "s’étale" (toujours avec une aire totale sous la courbe
égale à 1).
x
y
µ
σ= 0,75
x
y
µ
σ= 1
x
y
µ
σ= 1,25
Exercice 2
Comparer les courbes à la calculatrice :
MENU GRAPH
Entrer Y1=1
1,5×√2π×e−(X −10)2
2×1,52
Entrer Y2=1
1×√2π×e−(X −10)2
2×12
Entrer Y3=1
1×√2π×e−(X −12)2
2×12
Régler la fenêtre d’affichage : SHIFT V-Windows :
Xmin : 0
Xmax : 20
Ymin : 0
Ymax : 0.5
DRAW
3http://rallymaths.free.fr/

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Propriété 1
Si X suit la loi normale N(µ;σ)et si aet bsont
deux réels tels que a6balors :
p(a6X6b) = Zb
a
1
σ√2πe−
(x−µ)2
2σ2dx
x
y
µ
P (a6X6b)
ab
Remarques
Dans la pratique, le calcul sera effectué à la calculatrice en précisant simplement les valeurs
de σ,µet les bornes de l’intervalle sur lequel on intègre (voir paragraphe suivant).
Propriété 2
Si X suit la loi normale N(µ;σ),E(X) = µet σ(X) = σ.
3 Exemples de Calculs avec la loi normale
x
y
10
P (12 6X615)
12 15
Probabilité qu’un lave-vaisselle ait une
durée de vie entre 12 et 15 ans :
MENU STAT
DIST NORM NCD
Choisir Variable et non List.
H H F1 pour Execute
x
y
10
P (X 613)
13
Probabilité qu’un lave-vaisselle ait une
durée de vie inférieure à 15 ans :
H H F1 pour Execute
4http://rallymaths.free.fr/

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x
y
10
P (X >13)
13
Probabilité qu’un lave-vaisselle ait une
durée de vie supérieure à 12 ans :
H H F1 pour Execute
Exercice 3
Une machine fabrique des résistors en grande série. La variable aléatoire X associe à chaque
résistor sa résistance en ohms.
On a admet que X∼N(100 ; 3)
On prélève un résistor au hasard. Il est conforme si sa résistance est comprise entre 94,75
et 105,25 ohms.
1. Quelle est la probabilité que le résistor soit conforme ?
2. Déterminer p(X >105).
3. Déterminer p(X 698).
4 « Inverser » la loi normale
x
y
10
P (X 6a)=0,8
a?
Durée avant laquelle un lave-vaisselle a
80% de risque de ne plus fonctionner :
MENU STAT
DIST NORM InvN
H H F1 pour Execute
x
y
10
P (X >a)=0,7
a?
Durée après laquelle un lave-vaisselle a
70% de chance de fonctionner encore :
H H F1 pour Execute
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