Loi Normale - RallyMaths

Loi Normale
10 février 2015
X. Hallosserie
lycée Blaise Pascal
1 Introduction : durée de vie d’un lave-vaisselle
2
2 La loi normale
2
3 Exemples de Calculs avec la loi normale
4
4 « Inverser » la loi normale
5
5 Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
6
BTS - COURS
Loi Normale
Table des matières
1
1
Introduction : durée de vie d’un lave-vaisselle
On envisage le cas où la variable peut prendre ses valeurs (du moins théoriquement) dans un
intervalle de R, ou dans R tout entier. Par exemple, la variable aléatoire X mesurant la durée
de vie (en années)
d’un
lave-vaisselle. On peut admettre, en étant optimiste, que X prend ses
valeurs dans 0 ; 20 .
La probabilité qu’un lave-vaisselle donné ait une durée de vie d’exactement 10 ans 26 jours 5
heures 8 minutes et 20 secondes est nulle. En revanche, la probabilité que ce même lave-vaisselle
ait une durée de vie comprise entre 8 et 12 ans n’est pas nulle et peut être estimée. On dit
qu’autour de 10 ans il y a une « densité de probabilité ».
La loi normale caractérisée par sa courbe en cloche permet de calculer cette probabilité.
C’est la loi à densité la plus utilisée.
y
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P (8 6 X 6 12)
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
ans
Sur notre exemple X suit une loi normale de paramètres µ = 10 et σ = 1.5.
µ représente la durée de vie moyenne d’un lave-vaisselle et σ l’écart type , c’est à dire, la
mesure de la dispersion autour de cette valeur moyenne des différentes durées de vie possibles.
On note X ∼ N (10 ; 1.5).
La probabilité que la durée de vie soit comprise entre 8 et 12 ans est alors égale à l’aire
indiquée sous la courbe, sachant que l’aire totale est égale à 1.
De façon générale, la loi normale est le modèle mathématique de phénomènes dont les causes
sont nombreuses, indépendantes, mal connues, dont aucune n’est prépondérante et dont les effets
s’ajoutent.
C’est le cas des phénomènes atmosphériques, températures, erreurs de mesure, phénomènes
économiques et sociaux, etc.
2
La loi normale
Définition 1
Une variable aléatoire continue X à valeur dans
R suit une loi normale de paramètre µ et σ si
sa densité de probabilité est la fonction f définie
sur R par :
y
(x−µ)2
1
f (x) = √ e− 2σ2
σ 2π
avec σ > 0
La loi de la variable aléatoire X est notée
N (µ ; σ).
2
µ
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x
Exercice 1
À la calculatrice :
Z 20
1. Calculer
0
2
(x−10)
1
−
√ e 2×1,52 dx.
1, 5 × 2π
2
Z 10
(x−10)
1
−
√ e 2×1,52 dx.
1, 5 × 2π
0
3. Comment interpréter ces résultats ?
2. Calculer
MENU RUN OPTN CALC
R
dx
Remarque
– La courbe est "centrée" sur la valeur moyenne µ.
– Plus σ est grand et plus la courbe "s’étale" (toujours avec une aire totale sous la courbe
égale à 1).
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y
y
y
µ
σ = 0, 75
x
µ
σ=1
x
µ
σ = 1, 25
Exercice 2
Comparer les courbes à la calculatrice :
MENU GRAPH
−(X − 10)2
1
2
√ × e 2 × 1, 5
Entrer Y1 =
1, 5 × 2π
−(X − 10)2
1
√ × e 2 × 12
Entrer Y2 =
1 × 2π
−(X − 12)2
1
√ × e 2 × 12
Entrer Y3 =
1 × 2π
Régler la fenêtre d’affichage : SHIFT V-Windows :
Xmin : 0
Xmax : 20
Ymin : 0
Ymax : 0.5
DRAW
3
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x
y
Propriété 1
Si X suit la loi normale N (µ ; σ) et si a et b sont
deux réels tels que a 6 b alors :
Z b
(x−µ)2
1
√ e− 2σ2 dx
p(a 6 X 6 b) =
a σ 2π
P (a 6 X 6 b)
a
µ
b
x
Remarques
Dans la pratique, le calcul sera effectué à la calculatrice en précisant simplement les valeurs
de σ, µ et les bornes de l’intervalle sur lequel on intègre (voir paragraphe suivant).
Propriété 2
Loi Normale
Si X suit la loi normale N (µ ; σ), E(X) = µ et σ(X) = σ.
3
Exemples de Calculs avec la loi normale
Probabilité qu’un lave-vaisselle ait une
durée de vie entre 12 et 15 ans :
MENU STAT
DIST NORM NCD
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y
Choisir Variable et non List.
P (12 6 X 6 15)
10 12
15
x
H H F1 pour Execute
Probabilité qu’un lave-vaisselle ait une
durée de vie inférieure à 15 ans :
y
P (X 6 13)
10
13
H H F1 pour Execute
x
4
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Probabilité qu’un lave-vaisselle ait une
durée de vie supérieure à 12 ans :
y
P (X > 13)
10
13
H H F1 pour Execute
x
Exercice 3
Une machine fabrique des résistors en grande série. La variable aléatoire X associe à chaque
résistor sa résistance en ohms.
BTS - COURS
Loi Normale
On a admet que X ∼ N (100 ; 3)
On prélève un résistor au hasard. Il est conforme si sa résistance est comprise entre 94,75
et 105,25 ohms.
1. Quelle est la probabilité que le résistor soit conforme ?
2. Déterminer p(X > 105).
3. Déterminer p(X 6 98).
4
« Inverser » la loi normale
Durée avant laquelle un lave-vaisselle a
80% de risque de ne plus fonctionner :
MENU STAT
DIST NORM InvN
y
P (X 6 a) = 0, 8
10
a?
x
H H F1 pour Execute
Durée après laquelle un lave-vaisselle a
70% de chance de fonctionner encore :
y
P (X > a) = 0, 7
a? 10
H H F1 pour Execute
x
5
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Intervalle de temps, centré sur la
moyenne, dans lequel la durée de vie
P (10 − h 6 X 6 10 + h) = 0, 6
se situer :
y
10 − h?
10 10 + h?
d’un lave-vaisselle a 60% de chance de
x
H H F1 pour Execute
Exercice 4
BTS - COURS
Loi Normale
Une machine usine des axes de rotor pour moteur électrique. On désigne par X la variable
aléatoire qui, à chaque pièce prise au hasard dans la production, d’une journée associe
sa longueur exprimée en millimètres. On suppose que X suit une loi normale de moyenne
m = 54 et d’écart type σ = 0, 2.
Pour vérifier que la machine ne s’est pas déréglée on détermine des côtes d’alerte m − h et
m + h définies par : p(m − h 6 X 6 m + h) = 0, 95. Calculer les côtes d’alerte.
5
Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
Propriété 3
Pour n suffisamment grand, on peut remplacer les probabilités associées à la loi binomiale
√
B (n ; p) par celles de la loi normale N (m ; σ), avec m = np et σ = npq.
Exercice 5
Une ligne de transmission entre un émetteur et un récepteur transporte des pages de texte,
chaque page étant représentée par 100 000 bits (caractères, informations de transmission
et de contrôle).
La probabilité qu’un bit soit erroné est estimée à 0,0001, et on admet que les erreurs sont
indépendantes les unes des autres.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d’erreurs lors de la transmission d’une page.
1.
a Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable X ?
b Quelle est la moyenne et l’écart type de X.
2. On admet que cette loi peut être approchée par une loi normale.
a Préciser les paramètres de la loi normale.
b Calculer (avec cette loi) la probabilité qu’une page comporte au plus 15 erreurs.
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