Théorie algorithmique des anneaux arithmétiques

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No d’ordre : 905 Anne´e 2002
titre de la th`ese :
TH´ EORIE ALGORITHMIQUE
DES ANNEAUX ARITHM´ ETIQUES,
DES ANNEAUX DE PR ¨ UFER
ET DES ANNEAUX DE DEDEKIND
Par
SALOU IDI MALAM Ma¨ımouna
Soutenue le lundi 15 avril 2002
Pr´esident du jury :
R. GOBLOT, Professeur `a l’Universit´e des Sciences et Technologies-Lille I.
Directeur de Th`ese :
H. LOMDARDI, H.D.R, Maˆıtre de conf´erences `a l’Universit´e de Franche-Comt´e
Rapporteurs :
V. BARUCCI, Professeure `a l’Universit´e La Sapienza-Roma I (Italie)
J. BREWER, Professeur `a Florida Atlantic University, Boca Raton (USA)
D. DUVAL, Professeure `a l’Universit´e Joseph Fourier-Grenoble I/I.M.A.G.
Examinateurs :
V. FLECKINGER, Professeur `a l’Universit´e de Franche-Comt´e
G. GRAS, Professeur `a l’Universit´e de Franche-Comt´e
C. QUITT´ E, Maˆıtre de conf´erences `a l’Universit´e de Poitiers
R. RIOBOO, Maˆıtre de conf´erences `a l’Universit´e Pierre et Marie Curie - Paris VI

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Remerciements
Je voudrais exprimer toute ma reconnaissance `a mon directeur de th`ese Henri
Lombardi pour avoir accept´e de m’encadrer. Toujours disponible, il a su me faire
confiance et me donner goˆut `a la recherche.
Ma reconnaissance va aussi `a Marie-Francoise Roy qui m’ a incit´ee `a venir en
France pour poursuivre mes ´etudes.
Mes remerciements `a mes rapporteurs V. Barrucci, J. Brewer, et D. Duval pour
s’ˆetre interess´es `a cette th`ese.
Je remercie Remi Goblot pour m’avoir fait l’honneur de pr´esider le jury.
Mes remerciements `a Georges Gras et Vincent Fleckinger pour avoir accept´e de
faire partie du jury.
Toute ma reconnaisance aussi a Claude Quitt´e pour ses remarques, ses discussions,
et le tr´es grand interˆet qu’il a port´e sur ce travail.
Je remercie Renaud Rioboo pour m’avoir aid´ee `a faire mes premiers pas en Axiom,
et pour avoir accept´e de faire partie du jury.
Je tiens particuli`erement `a remercier Lionel Ducos avec qui j’ai r´ealis´e la plupart
de mes impl´ementations en Axiom, et qui m’a beaucoup appris en programmation.
Je remercie aussi la coop´eration fran¸caise pour son soutien financier.
Mes remerciements `a L’Ambassade du Niger `a Paris, et `a La d´el´egation r´egionale
de l’Egide de Strasbourg pour leur aide et leur disponibilit´e.
Je remercie tous les menbres du Laboratoire de Math´ematiques.
Merci particuli`erement `a Catherine Pagani, Catherine Vuillemenot, Odile Henry et
Jacques Vernerey, pour leur grande disponibilit´e.
Je n’oublie pas Lise-Marie Perruche et Mariette Jobard du service de la scolarit´e
3`eme cycle.
Je remercie chaleureusement tous les th´esards du laboratoire pour leur aide, et
l’atmosph`ere conviviale qui r`egne au sein du groupe.
Et enfin je n’aurais jamais entrepris ce travail sans le soutien de toute ma famille au
Niger, plus particuli`erement de mon mari qui a support´e de longs mois d’absence
affin que je puisse finir cette th`ese. Qu’ils trouvent ici l’expression de ma profonde
gratitude.

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Table des mati`eres
Introduction 1
1 Pr´eliminaires 5
1.1 R´esolution de syst`emes lin´eaires ..................... 5
1.2 Nilpotents, non diviseurs de z´eros, idempotents ............ 7
1.3 Modules projectifs de type fini ...................... 12
1.4 Anneaux de petite dimension ...................... 13
2 Id´eaux localement principaux et id´eaux inversibles 17
2.1 Matrices de localisation principale .................... 17
Produit de deux id´eaux localement principaux ......... 19
Puissances d’un id´eal localement principal ............ 22
Intersection de deux id´eaux de type fini ............. 22
2.2 Id´eaux projectifs de type fini ...................... 22
2.3 Id´eaux inversibles ............................. 24
2.4 Les id´eaux fractionnaires ......................... 25
3 Anneaux arithm´etiques 27
3.1 Construction de la matrice de localisation principale ......... 27
3.2 Anneaux arithm´etiques fortement discrets ............... 29
3.3 Le treillis des id´eaux de type fini d’un anneau arithm´etique ..... 30
4 Anneaux de Pr¨ufer coh´erents 33
4.1 Anneaux de Pr¨ufer ............................ 33
4.2 Anneaux de Pr¨ufer coh´erents ....................... 33
4.3 Syst`emes lin´eaires et modules de pr´esentation finie .......... 34
Le cas local ............................. 34
Noyau d’une matrice ........................ 35
Sous-module de type fini d’un module libre ........... 36
Structure des modules de pr´esentation finie ........... 36
4.4 Factorisations d’id´eaux ......................... 37
Produits d’id´eaux maximaux inversibles ............. 37
Factorisations compl`etes ...................... 38
Factorisations partielles ...................... 38
5 Extensions enti`eres d’un anneau de Pr¨ufer 41
5.1 Id´eaux int´egralement clos et anneaux normaux ............ 41
5.2 Le cas int`egre ............................... 42
5.3 Le cas g´en´eral ............................... 44
5.4 Les cas coh´erent et fortement discret .................. 47
6 Anneaux de Pr¨ufer coh´erents de dimension ≤149
6.1 Factorisation et dimension 1 ....................... 49
6.2 Tout id´eal de type fini est engendr´e par 2 ´el´ements .......... 50
Le th´eor`eme un et demi ...................... 51
6.3 Pour n≥3, SLn(A) = En(A)...................... 51