Feuille d`exercices n o 6 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Institut Galil´ee Licence de Math´ematiques
Universit´e Paris 13 semestre 5
Structures alg´ebriques
Feuille d’exercices n◦6
Exercice 1. Montrer que (Q/Z,+) n’admet pas de structure d’anneau unitaire.
Exercice 2. Soient n, m ∈N>0. Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux Z/n Z→
Z/m Zsi et seulement si m|n.
Exercice 3. Soient Aun anneau, et I⊂Aun id´eal strict. On dit que Iest premier
lorsque
(∀x, y ∈A)xy ∈I⇒(x∈Iou y∈I)
Soient Aun anneau, et I⊂Aun id´eal strict. Montrer que Iest premier si et seulement si
A/I est int`egre.
Exercice 4. Soit Aun anneau.
(a) Soit Iun id´eal de A. Montrer que les id´eaux de Acontenant Isont en bijection
naturelle avec les id´eaux de A/I.
(b) Montrer qu’un id´eal propre Ide Aest maximal (i.e. tout id´eal propre Jcontenant
Ilui est ´egal) si et seulement si A/I est un corps.
(c) Soit Kun corps. Donner un exemple d’id´eal de K[X, Y ] qui soit premier mais pas
maximal.
Exercice 5. Soient Aun anneau et x∈Aun ´el´ement nilpotent. Montrer que 1 + xest
inversible.
Exercice 6. Montrer que tout sous-anneau de Qest principal.
Exercice 7. Soit Aun anneau dans lequel tout sous-groupe est un id´eal. Montrer que
A≃Z/n Zpour n∈Nconvenable.
Exercice 8. Soit Aun anneau dans lequel tout id´eal strict est premier. Montrer que A
est un corps.
Exercice 9. Soit Aun anneau tel que pour tout x∈A, il existe n∈N>1tel que xn=x.
Montrer que tout id´eal premier de Aest maximal.
Exercice 10. Soient pun nombre premier et Aun anneau de cardinal p2. Montrer que A
est commutatif.
Exercice 11. Soient Aun anneau, a∈Atel que a3=a+ 1 et I⊆Aun id´eal d’indice
<5. Montrer que I=A. Donner un contre-exemple avec un id´eal d’indice 5.
Exercice 12. Soit Aun anneau tel que x2=xpour tout x∈A. Montrer que 2A= 0, et
que Aest commutatif, et que tout id´eal premier est maximal.
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Exercice 13. Soit Aun anneau tel que x3=xpour tout x∈A. On veut montrer que A
est commutatif.
(1) Montrer que 6A={0}, que 2A+ 3A=Aet que 2A∩3A={0}. En d´eduire qu’on
peut traiter s´epar´ement les cas 2A={0}et 3A={0}.
(2) Supposons 2A={0}. Montrer que x2=xpour tout x∈A(indication : calculer
(1 + x)3). Conclure.
(3) Supposons que 3A={0}. Montrer que x2y+xyx +yx2= 0 pour tout x, y ∈A.
En d´eduire que xy =yx.
Exercice 14. Soient Bun anneau, A⊆Bun sous-anneau d’indice n, et m∈N>1un entier
premier `a n. Montrer que l’application naturelle A/mA →B/mB est un isomorphsime.
Exercice 15. Soit Kun corps et n∈N>0. Montrer que l’anneau de matrices M(n, K)
n’a pas d’id´eaux bilat`eres non triviaux.
Exercice 16. Soit Aun anneau int`egre. Montrer que Aest un corps si et seulement si
A[X] est principal.
Exercice 17. Soient aet bdeux entiers naturels. Notons det mleur pgcd et leur ppcm
respectivement. Montrer que
(Z/a Z)×(Z/b Z)∼ −→(Z/d Z)×(Z/m Z).
Exercice 18. Soit Kun corps. Montrer que le sous-anneau A=K[t2, t3] de K[t] n’est
pas factoriel.
Exercice 19. On se place dans Z[i] = {x+iy ∈C, x, y ∈Z}. C’est un sous-anneau
principal de C. Calculer les pgcd et ppcm de 10 −4iet 7 + i.
Exercice 20. Soit A=Z[i√5] = {x+iy√5∈C;x, y ∈Z}. C’est un sous-anneau unitaire
de C.
(a) Montrer que l’application
N:A\ {0} → N
x+iy√57→ x2+ 5y2
v´erifie N(ab) = N(a)N(b) quels que soient a,bdans A.
(b) Montrer que a∈Aest inversible si et seulement si N(a) = 1. En d´eduire a=±1.
(c) Montrer que les ´el´ements 2, 3, 1+ √5, 1−√5 sont irr´eductibles dans A. En d´eduire
que An’est pas factoriel.
Exercice 21. Montrer que l’anneau Z[j] est euclidien.
Exercice 22. Montrer que 2 est irr´eductible mais non premier dans Z[√13].
Exercice 23. Posons A=Z[ζ] o`u ζ2−ζ+ 5 = 0. On note Nla norme du corps de
nombres Q[ζ].
(a) Calculer N(x+yζ) pour x, y ∈Q. Quels sont les inversibles de Z[ζ] ?

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(b) Soient a, b ∈Z[ζ]\ {0}, montrer qu’il existe q, r ∈Z[ζ] tels que : (r= 0 ou
N(r)< N(b)) et (a=bq +rou 2a=bq +r).
(c) Montrer que l’id´eal 2 Z[ζ] est maximal.
(d) Montrer que Z[ζ] est principal.
Exercice 24. (Caract´erisation des anneaux euclidiens). Soit Aun anneau int`egre qui n’est
pas un corps. On d´efinit (par r´ecurrence sur n∈N) une suite parties de Apar : A0={0}
et An+1 =An∪ {x∈A, A =xA +An}pour tout n∈N. Pour x∈S
n∈N
An, on pose
φ(x) = inf{n∈N, x ∈An}.
(a) On supose que A=S
n∈N
An. Montrer que Aest euclidien pour le stathme φ.
(b) On suppose que Aest euclidien pour un stathme total ψ. Montrer que :
(i) pour tout x∈S
n∈N
An, on a φ(x)≤ψ(x) ;
(ii) A=S
n∈N
An(Indication : raisonner par l’absurde et utiliser (i)) ;
(iii) Aest euclidien pour le stathme φ,
(iv) si adivise bdans Aalors φ(a)≤φ(b) ;
(v) il existe x∈A\A×tel que la restriction `a A×∪{0}de la surjection canonique
A→A/xA soit surjective.
(c) D´eterminer φdans les cas suivants A=Zet A=k[X] (o`u kest un corps).
(d) On consid`ere l’anneau A=Z[ζ] o`u ζ2−ζ+ 5 = 0.
(i) Montrer que Aest int`egre et d´eterminer A×.
(ii) Montrer que l’´equation z2−z+ 5 = 0 n’a pas de solution ni dans Z/2Zni
dans Z/3Z.
(iii) Montrer que An’est pas euclidien (Indication : raisonner par l’absurde et
utiliser (b) (v)).