Feuille d`exercices n o 6 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Institut Galilée
Université Paris 13
Licence de Mathématiques
semestre 5
Structures algébriques
Feuille d’exercices n◦6
Exercice 1. Montrer que (Q / Z, +) n’admet pas de structure d’anneau unitaire.
Exercice 2. Soient n, m ∈ N>0 . Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux Z /n Z →
Z /m Z si et seulement si m|n.
Exercice 3. Soient A un anneau, et I ⊂ A un idéal strict. On dit que I est premier
lorsque
(∀x, y ∈ A) xy ∈ I ⇒ (x ∈ I ou y ∈ I)
Soient A un anneau, et I ⊂ A un idéal strict. Montrer que I est premier si et seulement si
A/I est intègre.
Exercice 4. Soit A un anneau.
(a) Soit I un idéal de A. Montrer que les idéaux de A contenant I sont en bijection
naturelle avec les idéaux de A/I.
(b) Montrer qu’un idéal propre I de A est maximal (i.e. tout idéal propre J contenant
I lui est égal) si et seulement si A/I est un corps.
(c) Soit K un corps. Donner un exemple d’idéal de K[X, Y ] qui soit premier mais pas
maximal.
Exercice 5. Soient A un anneau et x ∈ A un élément nilpotent. Montrer que 1 + x est
inversible.
Exercice 6. Montrer que tout sous-anneau de Q est principal.
Exercice 7. Soit A un anneau dans lequel tout sous-groupe est un idéal. Montrer que
A ≃ Z /n Z pour n ∈ N convenable.
Exercice 8. Soit A un anneau dans lequel tout idéal strict est premier. Montrer que A
est un corps.
Exercice 9. Soit A un anneau tel que pour tout x ∈ A, il existe n ∈ N>1 tel que xn = x.
Montrer que tout idéal premier de A est maximal.
Exercice 10. Soient p un nombre premier et A un anneau de cardinal p2 . Montrer que A
est commutatif.
Exercice 11. Soient A un anneau, a ∈ A tel que a3 = a + 1 et I ⊆ A un idéal d’indice
< 5. Montrer que I = A. Donner un contre-exemple avec un idéal d’indice 5.
Exercice 12. Soit A un anneau tel que x2 = x pour tout x ∈ A. Montrer que 2A = 0, et
que A est commutatif, et que tout idéal premier est maximal.
1
2
Exercice 13. Soit A un anneau tel que x3 = x pour tout x ∈ A. On veut montrer que A
est commutatif.
(1) Montrer que 6A = {0}, que 2A + 3A = A et que 2A ∩ 3A = {0}. En déduire qu’on
peut traiter séparément les cas 2A = {0} et 3A = {0}.
(2) Supposons 2A = {0}. Montrer que x2 = x pour tout x ∈ A (indication : calculer
(1 + x)3 ). Conclure.
(3) Supposons que 3A = {0}. Montrer que x2 y + xyx + yx2 = 0 pour tout x, y ∈ A.
En déduire que xy = yx.
Exercice 14. Soient B un anneau, A ⊆ B un sous-anneau d’indice n, et m ∈ N>1 un entier
premier à n. Montrer que l’application naturelle A/mA → B/mB est un isomorphsime.
Exercice 15. Soit K un corps et n ∈ N>0 . Montrer que l’anneau de matrices M(n, K)
n’a pas d’idéaux bilatères non triviaux.
Exercice 16. Soit A un anneau intègre. Montrer que A est un corps si et seulement si
A[X] est principal.
Exercice 17. Soient a et b deux entiers naturels. Notons d et m leur pgcd et leur ppcm
respectivement. Montrer que
∼
(Z /a Z) × (Z /b Z) −→(Z /d Z) × (Z /m Z).
Exercice 18. Soit K un corps. Montrer que le sous-anneau A = K[t2 , t3 ] de K[t] n’est
pas factoriel.
Exercice 19. On se place dans Z[i] = {x + iy ∈ C, x, y ∈ Z}. C’est un sous-anneau
principal de C. Calculer les pgcd et ppcm de 10 − 4i et 7 + i.
√
√
Exercice 20. Soit A = Z[i 5] = {x+iy 5 ∈ C; x, y ∈ Z}. C’est un sous-anneau unitaire
de C.
(a) Montrer que l’application
N : A \ {0} → N
√
x + iy 5 7→ x2 + 5y 2
vérifie N(ab) = N(a)N(b) quels que soient a, b dans A.
(b) Montrer que a ∈ A est inversible si
si N(a) = 1. En déduire a = ±1.
√ et seulement
√
(c) Montrer que les éléments 2, 3, 1 + 5, 1 − 5 sont irréductibles dans A. En déduire
que A n’est pas factoriel.
Exercice 21. Montrer que l’anneau Z[j] est euclidien.
√
Exercice 22. Montrer que 2 est irréductible mais non premier dans Z[ 13].
Exercice 23. Posons A = Z[ζ] où ζ 2 − ζ + 5 = 0. On note N la norme du corps de
nombres Q[ζ].
(a) Calculer N(x + yζ) pour x, y ∈ Q. Quels sont les inversibles de Z[ζ] ?
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(b) Soient a, b ∈ Z[ζ] \ {0}, montrer qu’il existe q, r ∈ Z[ζ] tels que : (r = 0 ou
N(r) < N(b)) et (a = bq + r ou 2a = bq + r).
(c) Montrer que l’idéal 2 Z[ζ] est maximal.
(d) Montrer que Z[ζ] est principal.
Exercice 24. (Caractérisation des anneaux euclidiens). Soit A un anneau intègre qui n’est
pas un corps. On définit (par récurrence sur n ∈ N) une suite parties de A S
par : A0 = {0}
et An+1 = An ∪ {x ∈ A, A = xA + An } pour tout n ∈ N. Pour x ∈
An , on pose
n∈N
φ(x) = inf{n ∈ N, x ∈ An }.
S
(a) On supose que A =
An . Montrer que A est euclidien pour le stathme φ.
n∈N
(b) On suppose que A est
S euclidien pour un stathme total ψ. Montrer que :
An , on a φ(x) ≤ ψ(x) ;
(i) pour tout x ∈
n∈N
S
(ii) A =
An (Indication : raisonner par l’absurde et utiliser (i)) ;
n∈N
(iii) A est euclidien pour le stathme φ,
(iv) si a divise b dans A alors φ(a) ≤ φ(b) ;
(v) il existe x ∈ A \ A× tel que la restriction à A× ∪ {0} de la surjection canonique
A → A/xA soit surjective.
(c) Déterminer φ dans les cas suivants A = Z et A = k[X] (où k est un corps).
(d) On considère l’anneau A = Z[ζ] où ζ 2 − ζ + 5 = 0.
(i) Montrer que A est intègre et déterminer A× .
(ii) Montrer que l’équation z 2 − z + 5 = 0 n’a pas de solution ni dans Z /2 Z ni
dans Z /3 Z.
(iii) Montrer que A n’est pas euclidien (Indication : raisonner par l’absurde et
utiliser (b) (v)).