Feuille exercice variable aleatoire 1

Feuille exercice : Probabilités
Exercice 1 :
Cinq garçons et trois filles participent écrivent leur nom sur un bout de papier et l’insère dans une urne.
On extrait, successivement et avec remise, deux bouts de papier de l’urne.
On considère que les deux tirages sont indépendants.
1. A chaque tirage, on regarde si le papier tiré désigne un garçon ou une fille. Construire l’arbre pondéré lié à
cette expérience.
2. Soit X la variable aléatoire associant à une issue de ce tirage le nombre de filles sélectionnées.
a. Déterminer la loi de probabilité de X .
b. Calculer son espérance mathématique de E(X)
Exercice 2 :
Une fabrique de chocolats construit dans l’année des boîtes de chocolats dont 50 % avec du chocolat au lait, 30 % de
chocolat noirs et 20 % de chocolat blanc. 70 % des boîtes présentent des chocolats nature alors que les autres boîtes
contiennent des chocolats sont fourrés de caramel. Ces proportions sont indépendantes du chocolat utilisé pour
confectionner la boite.
On considère les évènements :
L : “le chocolat au lait est utilisé” ;
N : “le chocolat noir est utilisé” ;
B : “le chocolat blanc est utilisé” ;
Na : “les chocolats sont natures” ;
C : “les chocolats sont fourrés au caramel” ;
Tous les résultats seront donnés sous forme décimale.
1. Dresser l’arbre pondéré associé à cette situation.
2. On choisit en sortie d’usine, au hasard, une boite produite.
Déterminer les probabilités des évènements suivants :
a. “la boite contient des chocolats noir et nature”
b. “la boite contient des chocolats noir ou nature”
3. L’entreprise fixe les prix des boîtes de la manière suivante : le prix de base d’une boîte de chocolat est de
9€ ; si le chocolat utilisé est le chocolat noir alors le prix est majoré de 4€ ; si le chocolat utilisé est le chocolat blanc
alors le prix est majoré de 2€ ; si les chocolats sont fourrés au caramel, le prix de la boîte augmente de 2€.
La variable aléatoire X associe à la boîte produit par l’usine son prix de ventre.
a. Dresser le tableau représentant la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X.
b. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X. Interpréter.
Exercice 3 : Similaire à l’exercice 2
Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles. Le client
peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture.
Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 10 achètent une barquette de fruits à confiture. Quelque soit
le type de barquette achetée, le client choisi à 50 % des cas la myrtille pour fruit, 30 % des framboises dans les autres
cas, c’est la groseille qui est choisie.
On notera :
C l’évènement : “le client achète une barquette de fruits à confiture” ;
F l’évènement : “le client demande des framboises” ;
G l’évènement : “le client demande des groseilles” ;
M l’évènement : “le client demande des myrtilles” ;
On suppose que le fruit choisi ne dépend pas du type de barquette acheté et que chaque client n’achète qu’une
barquette.
1. Faire l’arbre pondéré représentant la situation.
2. Déterminer la probabilité de ̅̅̅
C ∩ 𝐹.
3. Le producteur fixe les prix de ses barquettes de la manière suivante : Le prix de base d’une barquette de
fruits à confiture est vendue 5 euros et celui d’une barquette de fruits à déguster est 3 euros ; si la barquette choisie
contient des framboises, il ajoute 1 euro au prix de la barquette ; Si la barquette choisie contient des myrtilles, il
ajoute 2 euros au prix de la barquette ; Si la barquette choisie contient des groseilles, le prix de base reste inchangé.
On note X la variable aléatoire associant à chaque client le prix de la barquette achetée.
a. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
b. Dresser le tableau représentant la loi de probabilité de X .
c. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X. Interpréter.
Exercice 4 :
Exercice 5 :
Une partie de loterie consiste à lâcher une bille dans un appareil qui comporte six portes de sortie, numérotées de 1
à 6.
La probabilité que la bille sorte pas la porte 1 est la même que celle de la porte 6.
Par rapport à la porte 1, la bille sort cinq fois plus souvent par la porte 2 et cinq fois plus souvent par la porte 5. Les
portes 3 et 4 ont la même probabilité et elle est 2 fois plus importante que celle de la porte 5.
La règle du jeu est la suivante :
- Un joueur mise 2 €.
- Il reçoit 12 € si la bille franchit les portes 1 ou 6.
- Il reçoit 2 € si la bille franchit les portes 3 ou 4.
- Les portes 2 et 5 ne rapportent rien.
Soit X la variable aléatoire associée au gain algébrique d'un joueur au cours d'une partie.
1.
2.
3.
4.
5.
1
Montrer que la probabilité que la bille sorte par la porte 1 est de 32.
Quelles sont les valeurs possibles de X ?
Déterminer la loi de probabilité de X.
Calcul l'espérance mathématique de X. Interpréter le résultat en langage usuel.
Le jeu est-il équitable ? Expliquer.
Exercice 6 : Plus difficile
Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite.
Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 fonctionnant
correctement. On note :
• D l’évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ; • R l’évènement : « l’unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ».
Si nécessaire, les résultats seront arrondis à 10−4 près.
1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2.
a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.
b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas défectueux, ou
qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux. Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.
3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.
4. Trois contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être
commercialisé.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où un lecteur MP3 a été accepté à l’issue de ces trois contrôles.
a. Faire un arbre représentant la situation.
b. Donner la loi de probabilité de X.
c. Quelle est la probabilité qu’un lecteur soit accepté au moins deux fois lors des trois contrôles ?
5. Un lecteur MP3 est : • commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les trois contrôles successifs
• détruit s’il est rejeté au moins deux fois ;
• commercialisé sans le logo sinon. Le coût de fabrication d’un lecteur MP3 s’élève à 50 €
Son prix de vente est de 120 € pour un lecteur avec logo et 60 € pour un lecteur sans logo. On désigne par G la
variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros réalisé par l’entreprise.
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
b. Calculer à près l’espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.