Exercice 5 :
Une partie de loterie consiste à lâcher une bille dans un appareil qui comporte six portes de sortie, numérotées de 1
à 6.
La probabilité que la bille sorte pas la porte 1 est la même que celle de la porte 6.
Par rapport à la porte 1, la bille sort cinq fois plus souvent par la porte 2 et cinq fois plus souvent par la porte 5. Les
portes 3 et 4 ont la même probabilité et elle est 2 fois plus importante que celle de la porte 5.
La règle du jeu est la suivante :
- Un joueur mise 2 €.
- Il reçoit 12 € si la bille franchit les portes 1 ou 6.
- Il reçoit 2 € si la bille franchit les portes 3 ou 4.
- Les portes 2 et 5 ne rapportent rien.
Soit X la variable aléatoire associée au gain algébrique d'un joueur au cours d'une partie.
1. Montrer que la probabilité que la bille sorte par la porte 1 est de
.
2. Quelles sont les valeurs possibles de X ?
3. Déterminer la loi de probabilité de X.
4. Calcul l'espérance mathématique de X. Interpréter le résultat en langage usuel.
5. Le jeu est-il équitable ? Expliquer.
Exercice 6 : Plus difficile
Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite.
Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 fonctionnant
correctement. On note :
• D l’évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ; • R l’évènement : « l’unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ».
Si nécessaire, les résultats seront arrondis à près.
1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2. a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.
b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas défectueux, ou
qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux. Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.
3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.
4. Trois contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être
commercialisé.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où un lecteur MP3 a été accepté à l’issue de ces trois contrôles.
a. Faire un arbre représentant la situation.
b. Donner la loi de probabilité de X.
c. Quelle est la probabilité qu’un lecteur soit accepté au moins deux fois lors des trois contrôles ?
5. Un lecteur MP3 est : • commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les trois contrôles successifs
• détruit s’il est rejeté au moins deux fois ;
• commercialisé sans le logo sinon. Le coût de fabrication d’un lecteur MP3 s’élève à 50 €
Son prix de vente est de 120 € pour un lecteur avec logo et 60 € pour un lecteur sans logo. On désigne par G la
variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros réalisé par l’entreprise.
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
b. Calculer à près l’espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.