Sujet spécialité - Lycée de l`Essouriau

Lycée L’Essouriau Session 2013
BACCALAUREAT GENERAL
Session 2013
MATHEMATIQUES
Série S
Enseignement de spécialité
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,
même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7.
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EXERCICE 1 (5 points )
Commun à tous les candidats
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O,−→ ı , −→ .
1. Étude d’une fonction f
On considère la fonction fdéfinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[par : f(x) = ln x
x.
On note f′la fonction dérivée de la fonction fsur l’intervalle ]0 ; +∞[.
On note Cfla courbe représentative de la fonction fdans le repère O,−→ ı , −→ . La courbe Cfest
représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).
(a) Déterminer les limites de la fonction fen 0et en +∞.
(b) Calculer la dérivée f′de la fonction f.
(c) En déduire les variations de la fonction f.
2. Étude d’une fonction g
On considère la fonction gdéfinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[par : g(x) = (ln x)2
x.
On note Cgla courbe représentative de la fonction gdans le repère O,−→ ı , −→ .
(a) Déterminer la limite de gen 0, puis en +∞.
Après l’avoir justifiée, on utilisera la relation :(ln x)2
x= 4 ln √x
√x2
.
(b) Calculer la dérivée g′de la fonction g.
(c) Dresser le tableau de variation de la fonction g.
3. Étude des courbes Cfet Cg
(a) Démontrer que les courbes Cfet Cgpossèdent deux points communs dont on précisera les coordon-
nées.
(b) Étudier la position relative des courbes Cfet Cg.
(c) Tracer la courbe Cgsur le graphique de l’annexe (à rendre avec la copie).
(d) Existe-t-il une tangente à la courbe Cfpassant par l’origine du repère ?
EXERCICE 2 (5 points )
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A : on considère l’algorithme suivant :
Les variables sont les réels c,pet les entiers naturels ket n.
Entrée
Saisir le nombre entier naturel n>2.
Traitement
Affecter à cla valeur 0
Affecter à pla valeur 1
Pour kallant de 1 à n−1
Affecter à cla valeur 0,8c+ 0,4p
Affecter à pla valeur 0,2c+ 0,6p
Fin pour
Sortie
Afficher cet p
Quel est l’affichage en sortie lorsque n= 3 ?
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Partie B :
On s’intéresse à un joueur de rugby qui, lorsqu’il reçoit le ballon au cours d’un match, a deux possibilités : soit
il tape un coup de pied (événement C), soit il fait une passe (événement P).
Pour tout entier naturel nnon nul, on désigne par :
•cnla probabilité qu’il tape un coup de pied au n-ième ballon touché.
•pnla probabilité qu’il fasse une passe au n-ième ballon touché.
•Unla matrice (cnpn)traduisant l’état probabiliste au n-ième ballon touché.
On admet que, pour tout entier nnon nul : cn+1 = 0,8cn+ 0,4pn
pn+1 = 0,2cn+ 0,6pn
Dans cet exercice, tous les calculs matriciels pouvant être faits à la calculatrice ne sont pas à détailler sur
la copie. Seul le résultat sera donné.
1. Donner la matrice de transition Massociée à ce processus aléatoire telle que, pour tout entier nnon
nul, on ait Un+1 =UnM.
2. On suppose dans cette question que le joueur effectue une passe au premier ballon qu’il touche.
(a) Vérifier que U3= (0,56 0,44)
(b) Proposer une modification de l’algorithme de la partie Aafin qu’il affiche en sortie, pour un entier
nsupérieur ou égal à deux, les valeurs des probabilités cnet pn.
3. Existe-t-il un état initial U1tel que U2= (0,2 0,8) ?
4. On suppose que U1= (0 1)
On note P la matrice carrée d’ordre 2 : P=1−1
1 2 
(a) Donner, sans justifier, l’expression de Unen fonction de U1,Met n. (pour n>1).
(b) Donner P−1, et vérifier que P−1MP est une matrice diagonale Dque vous préciserez.
(c) Montrer que, pour n>1,Un=U1P Dn−1P−1
(d) Calculer U1P, puis Dn−1P−1. (→on pourra poser, pour simplifier l’écriture θn= 0,4n)
(e) En déduire que, pour n>1:pn=1
3+2 3×2 5n−1.
(f) Déterminer la limite de la suite (pn). Comment peut-on l’interpréter concrètement ?
5. La limite de la suite (pn)dépend-elle de la valeur de p1?
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EXERCICE 3 (5 points )
Commun à tous les candidats
Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à un contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite.
Ce contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5 % des lecteurs MP3 fonctionnant correctement.
On note :
•Dl’évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ;
•Rl’évènement : « le contrôle rejette le lecteur MP3 ».
1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2. (a) Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.
(b) On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas dé-
fectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux. Calculer la probabilité qu’il y ait une
erreur de contrôle.
3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.
4. Calculer la probabilité qu’un lecteur soit défectueux sachant qu’il est rejeté.
5. A la fin de la chaîne de production, quatre contrôleurs font le même contrôle, indépendamment les uns
des autres pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé.
Un lecteur MP3 est :
•commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les quatre contrôles successifs,
•détruit s’il est rejeté au moins deux fois,
•commercialisé sans le logo sinon.
(a) Soit Xle nombre de succès obtenus sur ces quatre contrôles successifs.
i. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X?
ii. Montrer que la probabilité qu’un lecteur soit détruit est égale à 0,0581 à10−4près.
iii. Calculer la probabilité qu’un lecteur soit commercialisé avec le logo de l’entreprise.
(b) Le coût de fabrication d’un lecteur MP3 s’élève à 50 e.
Son prix de vente est de 120 epour un lecteur avec logo et 60 epour un lecteur sans logo.
On désigne par Gla variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe legain algébrique
en euros (éventuellement négatif) réalisé par l’entreprise.
i. Recopier et compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de G.
gi−50 10 70
p(G=gi)
ii. Calculer à 10−2près l’espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.
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EXERCICE 4 (5 points )
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.
Dans le plan complexe rapporte au repère orthonormal direct O,−→ u , −→ v, on appelle Ale point d’affixe 1et
Cle cercle de centre Aet de rayon 1.
La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4 cm pour unité graphique.
Partie A
On considère l’équation (E) : z2−2z+2 = 0, où zest un nombre complexe. On appelle z1et z2les solutions
de (E).
1. Résoudre l’équation (E)dans l’ensemble des nombres complexes C.
2. On appelle M1et M2les points d’affixes respectives z1et z2dans le repère O,−→ u , −→ v.
Montrer que M1et M2appartiennent au cercle C.
Partie B
On considère l’application fdu plan complexe qui a tout point Md’affixe zdistinct de Aassocie le point M′
d’affixe z′définie par z′=2z−1
2z−2.
1. Placer le point Aet tracer le cercle Csur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
2. Montrer que pour tout complexe zdistinct de 1 on a (z′−1)(z−1) = 1
2.
3. Montrer que pour tout point Mdistinct de Aon a :
•AM ×AM′=1
2
•M′6=A
•−→
u , −−−→ AM+−→
u , −−−→ AM′= 0 + 2kπ, où kest un entier relatif.
4. On considère le point Pd’affixe zP= 1 + eiπ
4. Construire le point P.
5. En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P′, image de Ppar f, et réaliser cette
construction.
6. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même infructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
Soit un point Mappartenant à la droite Dd’équation x=3
4. Soit M′son image par f.
(a) Montrer que le point M′appartient au cercle C′de centre Ode rayon 1.
(b) Tout point de C′a-t-il un antécédent par f?
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