Sujet spécialité - Lycée de l`Essouriau

Lycée L’Essouriau
Session 2013
BACCALAUREAT GENERAL
Session 2013
MATHEMATIQUES
Série S
Enseignement de spécialité
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,
même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7.
1
EXERCICE 1 (5 points )
Commun à tous les candidats
→
− →
−
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  .
1. Étude d’une fonction f
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
ln x
.
x
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
→
− →
−
On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le repère O, ı ,  . La courbe Cf est
représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).
(a) Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.
(b) Calculer la dérivée f ′ de la fonction f .
(c) En déduire les variations de la fonction f .
2. Étude d’une fonction g
(ln x)2
.
g(x) =
x
−
→ →
−
On note Cg la courbe représentative de la fonction g dans le repère O, ı ,  .
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
(a) Déterminer la limite de g en 0, puis en +∞.
√ 2
(ln x)2
ln x
√
Après l’avoir justifiée, on utilisera la relation :
=4
.
x
x
(b) Calculer la dérivée g′ de la fonction g.
(c) Dresser le tableau de variation de la fonction g.
3. Étude des courbes Cf et Cg
(a) Démontrer que les courbes Cf et Cg possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées.
(b) Étudier la position relative des courbes Cf et Cg .
(c) Tracer la courbe Cg sur le graphique de l’annexe (à rendre avec la copie).
(d) Existe-t-il une tangente à la courbe Cf passant par l’origine du repère ?
EXERCICE 2 (5 points )
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A : on considère l’algorithme suivant :
Les variables sont les réels c, p et les entiers naturels k et n.
Entrée
Saisir le nombre entier naturel n > 2.
Traitement
Affecter à c la valeur 0
Affecter à p la valeur 1
Pour k allant de 1 à n − 1
Affecter à c la valeur 0, 8c + 0, 4p
Affecter à p la valeur 0, 2c + 0, 6p
Fin pour
Sortie
Afficher c et p
Quel est l’affichage en sortie lorsque n = 3 ?
2
Partie B :
On s’intéresse à un joueur de rugby qui, lorsqu’il reçoit le ballon au cours d’un match, a deux possibilités : soit
il tape un coup de pied (événement C), soit il fait une passe (événement P).
Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par :
• cn la probabilité qu’il tape un coup de pied au n-ième ballon touché.
• pn la probabilité qu’il fasse une passe au n-ième ballon touché.
• Un la matrice (cn pn ) traduisant l’état probabiliste au n-ième ballon touché.
cn+1 = 0, 8cn + 0, 4pn
On admet que, pour tout entier n non nul :
pn+1 = 0, 2cn + 0, 6pn
Dans cet exercice, tous les calculs matriciels pouvant être faits à la calculatrice ne sont pas à détailler sur
la copie. Seul le résultat sera donné.
1. Donner la matrice de transition M associée à ce processus aléatoire telle que, pour tout entier n non
nul, on ait Un+1 = Un M .
2. On suppose dans cette question que le joueur effectue une passe au premier ballon qu’il touche.
(a) Vérifier que U3 = (0, 56 0, 44)
(b) Proposer une modification de l’algorithme de la partie A afin qu’il affiche en sortie, pour un entier
n supérieur ou égal à deux, les valeurs des probabilités cn et pn .
3. Existe-t-il un état initial U1 tel que U2 = (0, 2 0, 8) ?
4. On suppose que
U1 = (0 1)
On note P la matrice carrée d’ordre 2 :
P =
1 −1
1 2
(a) Donner, sans justifier, l’expression de Un en fonction de U1 , M et n. (pour n > 1 ).
(b) Donner P −1 , et vérifier que P −1 M P est une matrice diagonale D que vous préciserez.
(c) Montrer que, pour n > 1,
Un = U1 P D n−1 P −1
(d) Calculer U1 P , puis D n−1 P −1 . (→ on pourra poser, pour simplifier l’écriture θn = 0, 4n )
n−1
1 2
2
(e) En déduire que, pour n > 1 : pn = + ×
.
3 3
5
(f) Déterminer la limite de la suite (pn ). Comment peut-on l’interpréter concrètement ?
5. La limite de la suite (pn ) dépend-elle de la valeur de p1 ?
3
EXERCICE 3 (5 points )
Commun à tous les candidats
Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à un contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite.
Ce contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5 % des lecteurs MP3 fonctionnant correctement.
On note :
• D l’évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ;
• R l’évènement : « le contrôle rejette le lecteur MP3 ».
1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2.
(a) Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.
(b) On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux. Calculer la probabilité qu’il y ait une
erreur de contrôle.
3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.
4. Calculer la probabilité qu’un lecteur soit défectueux sachant qu’il est rejeté.
5. A la fin de la chaîne de production, quatre contrôleurs font le même contrôle, indépendamment les uns
des autres pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé.
Un lecteur MP3 est :
• commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les quatre contrôles successifs,
• détruit s’il est rejeté au moins deux fois,
• commercialisé sans le logo sinon.
(a) Soit X le nombre de succès obtenus sur ces quatre contrôles successifs.
i. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
ii. Montrer que la probabilité qu’un lecteur soit détruit est égale à 0, 0581 à 10−4 près.
iii. Calculer la probabilité qu’un lecteur soit commercialisé avec le logo de l’entreprise.
(b) Le coût de fabrication d’un lecteur MP3 s’élève à 50 e.
Son prix de vente est de 120 e pour un lecteur avec logo et 60 e pour un lecteur sans logo.
On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique
en euros (éventuellement négatif) réalisé par l’entreprise.
i. Recopier et compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de G.
gi
p(G = gi )
−50
10
70
ii. Calculer à 10−2 près l’espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.
4
EXERCICE 4 (5 points )
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.
−
→ −
→
Dans le plan complexe rapporte au repère orthonormal direct O, u , v , on appelle A le point d’affixe 1 et
C le cercle de centre A et de rayon 1.
La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4 cm pour unité graphique.
Partie A
On considère l’équation
de (E).
(E) : z 2 −2z +2 = 0, où z est un nombre complexe. On appelle z1 et z2 les solutions
1. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes C.
→
− →
−
2. On appelle M1 et M2 les points d’affixes respectives z1 et z2 dans le repère O, u , v .
Montrer que M1 et M2 appartiennent au cercle C .
Partie B
On considère l’application f du plan complexe qui a tout point M d’affixe z distinct de A associe le point M ′
2z − 1
d’affixe z ′ définie par z ′ =
.
2z − 2
1. Placer le point A et tracer le cercle C sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
1
2. Montrer que pour tout complexe z distinct de 1 on a (z ′ − 1)(z − 1) = .
2
3. Montrer que pour tout point M distinct de A on a :
1
• AM × AM ′ =
2
′ 6= A
• M
−
→ −−−→ −
→ −−−→
• u , AM + u , AM ′ = 0 + 2kπ, où k est un entier relatif.
π
4. On considère le point P d’affixe zP = 1 + ei 4 . Construire le point P .
5. En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P ′ , image de P par f , et réaliser cette
construction.
6. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même infructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
3
Soit un point M appartenant à la droite D d’équation x = . Soit M ′ son image par f .
4
(a) Montrer que le point M ′ appartient au cercle C ′ de centre O de rayon 1.
(b) Tout point de C ′ a-t-il un antécédent par f ?
5
Annexe 1 (exercice 1)
0,6
0,5
0,4
0,3
Cf
0,2
0,1
O
5
10
−0,1
−0,2
−0,3
−0,4
6
15
20