Thème : Arithmétique

Thème : Arithmétique
L'exercice
On appelle diviseur propre d'un entier naturel non nul n, tout diviseur de n qui soit positif et distinct
de n. Tout entier naturel non nul égal à la somme de ses diviseurs propres est dit nombre parfait.
Exemple : 6 est un nombre parfait car il est égal à la somme de ses diviseurs propres soit 1, 2 et 3.
1. Établir la liste des diviseurs de 28 et 496 et montrer que ce sont deux nombres parfaits.
2. Vérifier que 28 et 496 sont de la forme 2 n 2 n1−1 avec n∈ℕ ∖ {0} premier.
3. Démontrer que pour tout n∈ℕ ∖ {0} , si 2 n1−1 est premier alors 2 n 2 n1−1 est
parfait.
4. Illustrer par un exemple le fait que si 2 n1−1 n'est pas premier alors 2 n 2 n1−1 n'est
pas parfait.
Extrait du BO de terminale scientifique spécialité présentant l'arithmétique.
Le travail à exposer devant le jury
1- Indiquer les compétences, les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l'exercice.
2- Rédiger la réponse à la question 3.
3- Proposer plusieurs exercices sur le thème « Arithmétique ».
Introduction
L'exercice qui m'ait proposé porte sur le thème de l'arithmétique. Ce thème est abordé très
tôt dans la scolarité, dès la primaire, où les élèves apprennent à manier les nombres naturels et les
fractions (positives), à effectuer diverses opérations dessus et découvrent quelques propriétés dessus
(par exemple : un critère de divisibilité par 5).
Puis au collège, ils voient entre autres la notion de nombres relatifs, en troisième les notions de
diviseurs communs à deux entiers, de PGCD et l'algorithme d'Euclide (l'un des premiers algorithme
qu'ils découvrent), qui entraine la définition de deux entier premiers entre eux et de fractions
irréductibles.
En terminale scientifique spécialité, ils élargissent leur vision de la division euclidienne, de la
divisibilité et du PGCD à l'ensemble des entiers relatifs. Ils découvrent le PPCM, les congruences, et
divers propriétés liées aux nombres premiers telle l'unicité de la décomposition en produit de facteurs
premiers.
L'arithmétique est très usitée de nos jours dans le milieu informatique, plus précisément la
cryptographie. Elle sert également dans la vie courante à formuler des problèmes ouverts avec une
grande facilité de mots et notation.
L'exercice qui m'est proposé s'adresse à des élèves de terminale scientifique spécialité, il
aborde une notion que les élèves ne connaissent pas : celle de nombres parfaits.
Un nombre est dit parfait s'il est égal à la somme de diviseurs propres ( diviseurs positifs et
différents du nombre étudié). Cet exercice parle des nombres d'Euclide, c'est-à-dire de la forme
2 n 2 n1−1 . Remarquons que la question 4 est la réciproque par contraposée du résultat de la
question 3.
Pour commencer, je parlerais d'abord des savoirs, compétences et méthodes mis en jeu dans
cet exercice, puis de je rédigerai la réponse à la question 3 de l'exercice, enfin je présenterai trois
exercices portant sur le thème arithmétique.
Savoirs, compétences et méthodes mis en jeu dans l'exercice
Les savoirs :
u 0 et
-Somme des n premiers des termes d'une suite géométrique de premier terme
de raison a :
n
1−a n1
∑ u 0×a =u 0 1−a .
i=0
i
-Notions de nombres premiers.
-Notion de diviseurs.
-Unicité de la décomposition d'un nombre N en produit de facteurs premiers :
1
k
N = p1 ×...× p k
où les
p i sont des nombres premiers deux à deux distincts, les i ∈ℕ* et
k ∈ℕ* .


Il y a 11×…×k 1 diviseurs de N. Ils sont de la forme p 1 ×...× pk avec
i ∈ℕ .
1
k
Les compétences :
-Établir la liste des diviseurs premiers d'un entier N.
Méthode :
-Décomposer N en produit de facteurs premiers.
-Utiliser les 11×…×k 1 combinaisons possibles des
tous les diviseurs de N.
-Démontrer une implication.
Méthode :
-Raisonnement direct ou par contraposée.
- Fournir un contre exemple.
-Reconnaître une décomposition en produits de facteurs premiers.
Méthode :
-Regarder les diviseurs du nombres.
i pour obtenir
Rédaction de la question 3
∀ n∈ℕ* , si 2 n1−1 est premier ⇒ 2n 2n1−1 est parfait
Si 2 n1−1 est premier alors la décomposition du nombre N égal à 2 n 2 n1−1 en produit de
facteurs premiers est 2 n 2 n1−1 .
D'où ses diviseurs positifs :1, 2,..., 2 n , 2 n1 −1 , 2 2n 1 −1 ,..., 2 n 2 n1−1 .
Hormis 2 n 2 n1−1 , ce sont les diviseurs propres de N.
Montrons :
Soit S, la somme des diviseurs propres de N.
S=12...2 n2 n1−12 2n1−1...2n−1  2n1−1
n
n−1
S=∑ 2i2 n1−1 ∑ 2i
i =0
i=0
n1
1−2
1−2n
2n1−1
1−2
1−2
n1
n1
S=2 −1 2 −12 n−1
S=12n−12 n1−1=2 n 2 n1−1= N
S=
Donc on a :
∀ n∈ℕ* , si 2 n1−1 est premier ⇒2 n 2 n1−1 est parfait
Exercices
Présentation des exercices
Extrait du BO : « L'arithmétique est [...]un domaine au matériau élémentaire et accessible conduisant à
des raisonnements intéressants et formateurs ». Les exercices qui suivent illustrent bien ce propos, vu
que divers raisonnements sont mis en œuvre pour les résoudre. Chaque exercice traite une notion
différente vu en terminale scientifique spécialité et nécessite une grande autonomie de l'élève dans
leur résolution.
Exercice 1
( Décomposition en produit de facteurs premiers ; raisonnement par analyse-synthèse)
Soit n, un nombre entier naturel, dont l'écriture décimale nécessite trois chiffres.
En l'additionnant aux deux entiers qui l’encadrent, on obtient un carré parfait.
Et en l’additionnant aux quatre entiers qui l’encadrent, on obtient un cube parfait.
Déterminer n.
Résolution :
- n=n 2 n1 n0 avec n 2≠0
Traduisons l'énoncé, on a :
- ∃ x ∈ℕ: n−1nn1=3n=x 2
- ∃ y∈ℕ* :n−2 n−1nn1 n2=5n= y 3
Décomposons x et y en produit de facteurs premiers :
x= x 1 ×...× xk


- y= y 1 ×...× y l
On a donc :
k
1
l
⇒ x 2= x 21  ×...× x 2k 
⇒ y 3= y 31  ×...× y 3l 
1
k
1
l
- n=n 2 n1 n0
2
⇒ -3|x car 3 est premier
⇒ -5|y car 5 est premier
- 3n=x
- 5n= y 3
Donc n est de la forme
De plus,
1
3n=x 2
3
5n= y
⇒
⇒
2i1
n=3 q où PGCD(3, q) = 1
3j2
n=5 q ' où PGCD(5, q') = 1
n=32i1×53j2 q ' ' où PGCD3, q ' ' =PGCD5, q ' ' =1.
⇒ 3j+2 est pair. Pour j = 1, on a 551000 donc j=0.
⇒ 2i +1 est un multiple de 3. Pour i = 2, on a 351000 donc 0i2 donc i =1
Et tous les autres nombres premiers composant n sont des multiples de 6, sachant que n est composé
au minimum de 33×5 2=675 En prenant 2, le plus petit facteur premier possible, on remarque que
2×675=13501000 , donc il n'y a pas d'autres facteurs premiers entrant dans la décomposition de
n. Donc n = 675
Vérifions pour finir que n vérifie bien les trois propriétés initiales :
-n possède bien trois digits.
- 3n=34 ×52=32×52=452 .
- 5n=33×53 =3×53=153 .
Exercice 2
(Congruence, divisibilité ; raisonnement par disjonction des cas, raisonnement par l'absurde)
1) En examinant les différentes valeurs de x 3 modulo 9 suivant les valeurs de l'entier x, démontrer les
trois équivalences suivantes :
3
x ≡0 [9]⇔ x≡0 [3]
x 3≡1 [9]⇔ x≡1 [3]
3
x ≡−1 [9]⇔ x≡−1 [3]
2) En déduire que, pour tout x, y, z relatifs, si 9 divise x 3 y 3 z 3 , alors 3 divise l'un au moins des
entiers x, y ou z. La réciproque est-elle vraie??
3) Application
Un enfant dispose de 36 cubes identiques en bois que nous appellerons cubes unités. Il les dispose de
manière à construire trois cubes côte à côte. Tous les cubes unités sont utilisés. A l'aide des questions
précédentes, déterminer le nombre de cubes unités dans chacun des trois cubes formés.
Résolution :
1) Tout entier relatif est congru modulo 9 à un unique entier de l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
x [ 9]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
0
1
4
0
7
7
0
4
1
3
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
x [9]
x [9]
D'où
3
x ≡0 [9]⇔ x≡0 [9] ou x≡3 [9] ou x≡6 [9]⇔ x≡0 [3]
x 3≡1 [9]⇔ x≡1 [9] ou x≡4 [9] ou x≡7 [9]⇔ x≡1 [3]
3
x ≡−1 [9]⇔ x≡2 [9] ou x≡5 [9] ou x≡8 [9]⇔ x≡−1 [3]
On a ainsi démontrer les équivalences demandées.
2) Soit
 x , y , z ∈ℤ3 tel que 9 | x 3 y 3z 3 .
Raisonnons par l'absurde : supposons que 3 ne divise aucun de ces 3 entiers. Alors
congrus à 1 ou -1 modulo 9. Par disjonction des cas, on a :
x 3 y 3 z 3≡±3 [9] ou x 3 y 3 z 3≡±1 [9]
x 3 , y 3 et z 3 sont
Donc 9 ne divise pas x 3 y 3 z 3 . Il y a donc contradiction. Donc 3 divise au moins l'un des trois
entiers.
La réciproque est fausse. Montrons ceci à l'aide d'un contre-exemple.
Prenons x = 3 et y = z = 2, on a bien 3 | x , mais 9 ne divise pas x 3 y 3 z 3=2788=43.
3) Les cubes construits contiennent un nombre entier non nul de cubes unités.
Soit n∈ℕ , désignant la longueur d'un côté composé de de n cubes unités. On a donc besoin de n 3
cubes unités pour construire un cube.
Soient x, y et z les mesures du coté de chacun des 3 cubes construis. On a donc  x , y , z ∈ℕ*3 .
De plus tous les cubes ont été utilisé donc on a l'équation :
3
3
3
3
3
x  y  z =36=9×4 ⇒9 | x  y z
donc 3 divise au moins un des trois entiers.
3
Supposons que 3| x .
On a aussi  x , y , z ∈ℕ*3 ⇒ x 3, y 3, z 3 ∈]0,36]3 , or
Donc x=3 . On a :
3
4 36 ⇒ x , y , z ∈{1,2,3} .
y 3z 3 =36−33=9=2 313
On a y = 1 et z = 2 ou y = 2 et z = 1.
Donc les entiers x, y et z sont les entiers 1, 2 et 3 ( dans un ordre quelconque) et 132333=36.
Conclusion : l'enfant a construit 3 cubes formés respectivement de 27, 8 et 1 cubes unités.
Exercice 3
(PGCD, PPCM ; Raisonnement par analyse-synthèse, raisonnement par disjonction des cas)
1) x et y étant deux entiers naturels non nul dont le PGCD vaut 1, montrer que x + y et x . y sont l'u
pair, l'autre impair.
2)Déterminer les diviseurs positifs de 180 et les ranger dans l'ordre croissant.
3)Déterminer les entiers naturels non nul x et y vérifiant :
-x + y = 180
-m = d²
où m est le PPCM de x et y, et d leur PGCD.
Résolution :
1)On a PGCD(x,y) = 1. On a donc deux cas possibles :
x× y est pair et x y est impaire.
-soit x et y sont de parités différentes ⇒
x× y est impair et x y est paire.
-soit x et y sont tous deux impairs ⇒
(En cas de problème, poser x= 2k et y=2k'+1 ou x=2k+1 et y=2k'+1 et on calcule la somme et le produit).
Donc x y et x× y ne sont pas de même parité.
2)
2
2
180=2 ×3 ×5, les diviseurs positifes de 180 sont :
1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180.
3) Soit
 x , y ∈ℕ*2 tel que :
-
x y =180
- m=d 2
On a xm et ym donc x y 2 m ⇒1802 m⇔ d 2 =m90 ⇒ d 10.
On retient d ≥10 .
Soit  x ' , y ' ∈ℕ* 2 tel que x=dx ' et y=dy '
x ' y ' =d .
⇒
d 2=m=PPCM  x , y =PPCM dx ' , dy ' =dPPCM  x ' , y ' =dx ' y '
D'où : x y =dx 'dy '=d  x '  y ' =x ' y '  x ' y '=180
On suppose x y ⇔ x ' y ' .
On a donc : 2x ' 3=x 2×2x x ' y '  x '  y '  y 2×2y =2 y ' 3 ⇔ x ' 390 y ' 3 .
3
or  90≈4,5 ⇒1 x '5 y ' .
De plus, 180= x ' y '  x '  y '  y ' 1 y '  y ' 2 or  180≈13,4⇒ y ' 13
Résumons
On a : - 1x '4
- 5 y ' 13
- x ' y ' 10
d'où : 10 x ' y ' 52 et 6 x '  y ' 17
On a aussi x ' y '  x '  y ' =180 et PGCD  x ' , y ' =1 donc x ' y ' | 180
avec l'un pair, et l'autre impair (cf. question 1)
On a donc, à l'aide de la seconde question : x '  y ' = 6 ou 9 ou 10 ou 12 ou 15.
Par disjonction des cas, en prenant chaque valeur et en trouvant
-
x ' y ' =6 et
x ' y ' =30 de même parité donc impossible.
x ' y '=
et
 x '  y ' | 180
180
, on a :
x' y'
x ' y ' =20=1×22×5 ; comme 1 x ' y '8 on a x '=4 et y ' =5 d'où :
d =20, x=dx '=80 et y=dy '=100
- x ' y ' =9 et
- x ' y ' =10 et x ' y ' =18 de même parité donc impossible.
- x ' y ' =12 et x ' y '=15=3×5 comme 1 x '  y ' 11 donc
or x ' y ' ≠12 donc impossible.
-
 x ' , y ' =3,5
2
x ' y ' =12=1×2 ×3 ; comme 1 x '  y ' 14 , on a :
-soit x '=1 et y ' =12
|
-soit x '=2 et y ' =6
| or x ' y ' ≠15
-soit x '=3 et y ' =4
|
x ' y ' =15 et
Donc impossible.
D'où le seul couple solution possible avec
couple solution (100, 80).
x '  y ' est (80, 100). Par symétrie, on a également le
x=80 et y=100 alors x y =180 , PGCD  x , y=20×PGCD 4,5=20 et
PPCM 80,100=20×PPCM 4,5=20×4×5=202 =PPGD80,1002 .
Vérification : si
Donc (80,100) convient. Par symétrie, le couple (100,80) aussi.
Donc l'ensemble des couples d'entiers cherchés est : {(80,100), (100,80)}.