Thème : Arithmétique
L'exercice
On appelle diviseur propre d'un entier naturel non nul n, tout diviseur de n qui soit positif et distinct
de n. Tout entier naturel non nul égal à la somme de ses diviseurs propres est dit nombre parfait.
Exemple : 6 est un nombre parfait car il est égal à la somme de ses diviseurs propres soit 1, 2 et 3.
1. Établir la liste des diviseurs de 28 et 496 et montrer que ce sont deux nombres parfaits.
2. Vérifier que 28 et 496 sont de la forme
avec
premier.
3. Démontrer que pour tout
, si
est premier alors
est
parfait.
4. Illustrer par un exemple le fait que si
n'est pas premier alors
n'est
pas parfait.
Extrait du BO de terminale scientifique spécialité présentant l'arithmétique.
Le travail à exposer devant le jury
1- Indiquer les compétences, les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l'exercice.
2- Rédiger la réponse à la question 3.
3- Proposer plusieurs exercices sur le thème « Arithmétique ».
Introduction
L'exercice qui m'ait proposé porte sur le thème de l'arithmétique. Ce thème est abordé très
tôt dans la scolarité, dès la primaire, où les élèves apprennent à manier les nombres naturels et les
fractions (positives), à effectuer diverses opérations dessus et découvrent quelques propriétés dessus
(par exemple : un critère de divisibilité par 5).
Puis au collège, ils voient entre autres la notion de nombres relatifs, en troisième les notions de
diviseurs communs à deux entiers, de PGCD et l'algorithme d'Euclide (l'un des premiers algorithme
qu'ils découvrent), qui entraine la définition de deux entier premiers entre eux et de fractions
irréductibles.
En terminale scientifique spécialité, ils élargissent leur vision de la division euclidienne, de la
divisibilité et du PGCD à l'ensemble des entiers relatifs. Ils découvrent le PPCM, les congruences, et
divers propriétés liées aux nombres premiers telle l'unicité de la décomposition en produit de facteurs
premiers.
L'arithmétique est très usitée de nos jours dans le milieu informatique, plus précisément la
cryptographie. Elle sert également dans la vie courante à formuler des problèmes ouverts avec une
grande facilité de mots et notation.
L'exercice qui m'est proposé s'adresse à des élèves de terminale scientifique spécialité, il
aborde une notion que les élèves ne connaissent pas : celle de nombres parfaits.
Un nombre est dit parfait s'il est égal à la somme de diviseurs propres ( diviseurs positifs et
différents du nombre étudié). Cet exercice parle des nombres d'Euclide, c'est-à-dire de la forme
.
Remarquons que la question 4 est la réciproque par contraposée du résultat de la
question 3.
Pour commencer, je parlerais d'abord des savoirs, compétences et méthodes mis en jeu dans
cet exercice, puis de je rédigerai la réponse à la question 3 de l'exercice, enfin je présenterai trois
exercices portant sur le thème arithmétique.