Mécanique du point (II) – Électricité - Université de Cergy

Université de Cergy-Pontoise
Licence L1 – MPI
Année 2013-14
2ème semestre
L1S2 - MPI
Mécanique du point (II) – Électricité
Énoncés des travaux dirigés
voir :
http://www3.u-cergy.fr/trambly/L1S2MecaElec/
TD 1 : Cinématique de rotation
I) Le repère polaire
1) Soit le vecteur. OA Faire un schéma faisant apparaître les cordonnées du point A par
rapport à l’origine situé en O dans les repères cartésien et polaire ainsi que les vecteurs de
base correspondants. Indiquer les composantes du vecteur OA dans les deux bases

On peut interpréter le vecteur OA comme le vecteur position r (t ) d’un point matériel à
l’instant t. Si à l’instant t + dt le point matériel se trouve au point B, indiqué par le vecteur

OB r (t dt ) , dessiner les vecteurs des deux bases en B. Quelle différence majeure
observez-vous entre les deux bases ?
2) ) Exprimer en cordonnées polaires: le vecteur r , sa variation élémentaire dr, la vitesse v,
et l’accélération a.
3) Un point matériel effectue un mouvement dans le plan de telle sorte que ses cordonnées
dans le repère cartésien sont x R cos( t ) et y R sin( t ) où R et sont constantes et t
est le temps.
a) Quelle courbe détermine le mouvement du corps ? Obtenez l’équation de la trajectoire.
b) Quel est le sens physique de la constante ?
c) Obtenez les composantes cartésiennes de la vitesse du point.
Représentez-la schématiquement sur la trajectoire.
d) Idem pour l’accélération.
e) Répétez les points précédents dans le repère polaire.
4) L’orbite de la Terre, même si elle est elliptique, peut être considérée en première
approximation comme un cercle. En considérant la Terre comme un point matériel,
calculez sa vitesse angulaire de rotation autour du Soleil et sa vitesse linéaire moyenne.
Quelle est l’accélération centripète de la Terre dans ce mouvement ?
5)
a) Un point matériel est supposé se déplacer sur une spirale d’équation
b exp
t
,
où et b sont des constantes positives. Représenter cette spirale
b) Retrouver l’expression générale de la vitesse et de l’accélération en coordonnées
polaires.
c) Déterminer l’expression des vecteur vitesse et accélération ainsi que leurs normes
dans ce cas. On supposera que
Cte .
t , avec
d) Déterminer l’angle que font entre eux les vecteurs vitesse et accélération. Schéma
avec base polaire et intrinsèque.
e) Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire.
6) Un mobile, supposé ponctuel, décrit la courbe plane d’équation :
cos
où 0
0
est une longueur.
a) Allure de la trajectoire ?
b) On choisi l’origine des temps au point où = 0, on suppose que la vitesse angulaire
= cte. Exprimer la vitesse linéaire de la vitesse. (norme, composantes radiales et
orthoradiales
c) De même exprimer l’accélération à l’instant t.
I) Le produit vectoriel
1) a) Calculer la norme de C = A B et représenter le vecteur produit vectoriel dans les deux
cas représentés ci-dessous.
b) Définir un référentiel cartésien et obtenir les composantes de C dans les deux cas.
30°
A=4
B=6
B=5
A=2
°
2) a) En utilisant la définition du produit vectoriel de deux vecteurs, calculer les produits
vectoriels des vecteurs de base du repère cartésien, et cylindrique.
b) En utilisant la propriété distributive du produit vectoriel par rapport à l’addition
montrer que si A = ax i + ay j + aZ k et B = bx i + by j + bZ k, alors
C = A B = ( ay bz- az by) I + ( az bx-ax bz) j + ( ax by- ay bx) k
3) Propriétés géométriques de la direction :
En utilisant les composantes cartésiennes des vecteurs,
a) Vérifiez que si A et B sont parallèles alors A B = 0
b) En partant des composantes cartésiennes des vecteurs, montrez que si A et B ne sont
pas parallèles alors A B est orthogonal au plan (A, B).
4) Propriétés géométriques de la norme :
En partant des composantes cartésiennes des vecteurs
a) Montrez que ||A B|| = ||A|| ||B|| sin
b) En déduire que ||A B|| n’est autre que la surface du parallélogramme défini par A et B
5) Le vecteur vitesse angulaire :
Comment faut-il définir le vecteur vitesse angulaire
pour que l’on puisse écrire
v=
r, où r désigne le vecteur position d’un point P qui tourne à vitesse angulaire
autour d’un axe tel que l’origine O est situé sur l’axe de rotation. La position du point
O sur l’axe de rotation est-elle importante ?
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2009/10
TD 1b : Révision sur les nombres Complexes
Ex 1. Forme polaire des nombres complexes et répresentation vectorielle
Exprimer en forme polaire
√
1. z = 2 + 2 3i
2. z = −3i
Ex 2. Theorème de De Moivre
Si z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) et z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) Montrer que:
1. z1 z2 = r1 r2 cos(θ1 + θ2 ) + i[sin(θ1 + θ2 )]
Exprimer ce résultat en utilisant la formule de Euler
2. z1 /z2 = r1 /r2 cos(θ1 − θ2 ) + i[sin(θ1 − θ2 )]
Exprimer ce résultat en utilisant la formule de Euler
3. Prouver par induction le theorème de De Moivre:
(cos θ + i sin θ) ∗ ∗n = cos nθ + i sin nθ où n est un entier positif
Exprimer ce résultat en utilisant la formule de Euler
Ex 3. Montrer que:
1. cos θ = (exp iθ + exp −iθ)/2
2. sin θ = (exp iθ − exp −iθ)/2i
Ex 4. Donner une interprétation géométrique du nombre complexe z exp(iα) où α est un nombre réel.
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2011/12
TD 2 : Moment cinétique, moment d’une force, système
de points matériels
Ex 1. a) Deux masse m1 et m2 sont accrochées à une tige de masse négligeable de longueur
l. La tige est attachée O par un fil (figure a). Déterminer la position de O pour que
la tige soit à l’équilibre.
b) Même question pour une tige coudée de longueur l + d (figure b).
c) Deux enfants ont à partager un (gros) bonbon en forme de cane (figure c). L’un
propose de l’attacher par une ficelle, jusqu’à trouver son équilibre (la partie rectiligne
étant horizontale) et de couper à cet endroit.
Quel morceau choisiriez-vous ?
l
m1
l
m1
O
O
m2
figure a
d
m2
figure b
figure c
−−→
→
Ex 2. Pour une particule ponctuelle de masse m, de vecteur position −
r = OM et de quantité
−
→
→
de mouvement −
p , subissant une force F , à quelle(s) condition(s) a-t-on:
−
→ → −
−→ −
→
−
→ −
−
→
→
→
(i) LO = −
r ∧→
p = 0 ?
(ii) MO ( F ) = −
r ∧F = 0 ?
Ex 3. Une particule ponctuelle de masse m parcourt une droite verticale d’équation cartésienne
−
→
dLO
−
→
−
→
x = x0 à la vitesse v = v(t) uy . Calculez
. On suppose que v(t) = a t, avec a une
dt
constante. Trouvez alors la force subie par la particule.
Ex 4. Lesquels des mouvements dont l’allure est représentée ci-dessous ne peuvent pas s’effectuer
sous l’effet d’une unique force centrale de centre O (discussion qualitative uniquement) ?
NB: Une force centrale est dirigée en direction radiale et depend seulement de la distance
au centre de forces
O
O
O
O
O
Ex 5. Une masse ponctuelle m peut se déplacer sans frottement sur un plan horizontal percé
d’un petit trou, en O. Cette masse est attachée par une corde, sans masse et inextensible
de longueur l, à une autre masse M > m pendant librement sous le plan.
A t = 0, m est à la distance r0 de O et possède une vitesse de norme v0 , orthogonale à
−
→
r0 . On laisse ce système évoluer librement.
Déterminez la vitesse angulaire ω en fonction de la distance r de m à O.
Comment doit-on choisir M, pour que m ait un mouvement circulaire ?
Ex 6. Une masse ponctuelle m peut se déplacer sans frottement sur un plan horizontal, elle
est attachée à un ressort, de raideur k et de longueur à vide l0 , lui-même fixé à l’origine
O du plan.
A t = 0, m est au point A, à la distance rA = l0 + ∆l de O, et possède une vitesse de
norme vA , orthogonale à −
r→
A . On laisse ce système évoluer librement.
Quelle(s) grandeur(s) se conserve(nt) lors de ce mouvement ?
Si m passe par un point B tel que OB = l0 , calculez les vitesses possibles, −
v→
B , de m en
B. A quelle condition m passe-t-elle par un tel point ?
Ex 7. Une barre de longueur L et de masse M peut tourner autour de son centre de symétrie
O. Deux masses m sont fixées sur la barre, à une distance H0 de part et d’autre du point
O. Le système est horizontal et les frottements négligés. On lance l’ensemble avec une
vitesse angulaire initiale θ̇i . Les deux masses se déplacent et la vitesse angulaire devient
θ̇i /2. Déterminer la nouvelle distance H des masses au centre O.
Ex 8. Deux particules de même masse m se déplaçant avec des vitesses de même module dans
les directions indiquées sur la figure I, entrent en interaction dans la région notée R. Une
fois sorties de la région d’interaction une des particules se déplace comme indiqué sur la
figure II.
a) Analysez quelles grandeurs physiques sont conservées pendant le mouvement et obtenez
toutes les informations qualitatives sur le mouvement.
b) Quelle est la vitesse des particules une fois l’interaction finie? Trouver leur trajectoire.
c) Comparez le module de la vitesse v? avec celui à l’instant initial v0 . Discutez les cas
où a > b ; a = b et a < b.
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2009/10
TD 3 : Interaction gravitationnelle
On rappelle : constante universelle de la gravitation G = 6.67 10−11 U SI, masse de la terre
MT = 5.97 1024 kg, rayon de la terre RT = 6.37 103 km.
Ex 1. On peut considérer que la Terre et Mars décrivent des orbites approximativement circulaires. Le rayon de celle décrite par la Terre étant de R0 = 1.5 1011 m et sachant que
Mars met 687 jours pour parcourir son orbite, calculer le rayon de son orbite.
Ex 2. Obtenir l’expression du poids d’un corps près de la Terre à partir de l’expression générale
de la loi de la gravitation. Donner l’expression de l’accélération de la pesanteur en fonction
des paramètres terrestres. Sera-t-elle constante en tout point de la surface de la Terre ?
Ex 3. On met on orbite un satellite artificiel géostationnaire (fixe par rapport à la Terre).
a) Montrer que la trajectoire du satellite est dans le plan équatorial et que son orbite
est circulaire.
b) Calculer le rayon de son orbite et sa vitesse.
Ex 4. Quelle est la vitesse nécessaire dans un tir à la verticale pour qu’un corps arrive à la
hauteur maximale de 600 km ?
Ex 5. On considère un satellite artificiel de masse m
a) Calculer la vitesse de libération du satellite.
b) Le satellite est placé sur une orbite circulaire de rayon r0 . Calculer la vitesse du
satellite et sa période de révolution. Calculer l’énergie mécanique, E0 , de ce satellite.
En un point de sa trajectoire, on communique un excédent de vitesse au satellite.
→
La nouvelle vitesse −
v1 est tangente à l’orbite circulaire.
c) Montrer que la nouvelle trajectoire est contenue dans un plan que l’on déterminera
et calculer la nouvelle valeur de l’énergie mécanique E1 .
d) Discuter les différents mouvements du satellite suivant le signe de E1 . Calculer en
particulier la distance minimum rmin du satellite dans les deux cas. A quelle(s)
condition(s) le satellite sera-t-il perdu ?
Ex 6. Exercice complémentaire
Montrer que la nature elliptique de l’orbite d’une planète soumise à une unique force
centrale (direction radiale et dépendant seulement de la distance au centre des forces),
implique que cette attraction est newtonnienne.
p
, où
N.B. : l’équation de l’ellipse en coordonnées polaires peut s’écrire : r =
1 + e cos θ
p > 0 et e < 1 (excentricité).
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2009/10
TD 4: Changement de référentiel
→
Ex 1. Comment une personne se déplaçant horizontalement à la vitesse −
v doit-elle incliner
son parapluie pour se protéger au mieux de la pluie qui tombe verticalement à la vitesse
−
→
u ?
Ex 2. Vous prenez un ascenseur votre valise à la main. La valise vous paraı̂t-elle plus lourde,
moins lourde ou aussi lourde lorsque : (i) l’ascenseur démarre en descendant ?
(ii) l’ascenseur monte à vitesse constante ?
(iii) l’ascenseur démarre en montant ?
Ex 3. Un objet ponctuel de masse m est suspendu verticalement à un fil inextensible, de masse
nulle et de longueur l. L’extrémité du fil est fixée au plafond d’une voiture qui se déplace
en ligne droite. Calculer l’angle α du fil avec la verticale en fonction de l’accélération de
la voiture.
Ex 4. Un manège de fête foraine est constitué d’un énorme cylindre vertical qui tourne autour
de son axe. Les passagers pénètrent à l’intérieur et s’installent contre la paroi du cylindre.
Le cylindre est mis en rotation de plus en plus vite. Quand la vitesse de rotation est
suffisamment grande le plancher est retiré et les passagers restent collés contre la paroi
du cylindre.
a) Pourquoi les passagers restent-ils collés contre la paroi ? Que ressent un passager qui
essaie de décoller un bras ?
b) Soit µ le coefficient de frottement des passagers sur la paroi du cylindre. Quelle est
la vitesse de rotation minimale à partir de laquelle on peut retirer le plancher ? Que
se passe-t-il si la vitesse de rotation est inférieure à cette vitesse minimale ?
Ex 5. Une masse m, supposée ponctuelle, peut glisser sans frottement le long d’une tige horizontale (voir figure). A l’instant initial m est à la distance ρ0 de O et sa vitesse est
nulle. La tige a un mouvement de rotation à vitesse angulaire ω constante autour de l’axe
vertical (Oz) du référentiel (Oxyz) supposé galiléen.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement. Vérifier que ρ(t) = Aeαt + Be−αt est
solution de cette équation. Quelles sont les valeurs des constantes α, A et B ?
ω
g
O
ρ
Figure 2
m
Ex 6. Montrer que l’on tire avantage de la rotation de la terre à lancer les satellites artificiels
le plus près de l’équateur et vers l’est. On supposera que la terre est une sphère (même
figure Ex. 7).
Ex 7. En supposant que la terre est une sphère, montrer que le poids apparent d’un objet fixe
par rapport à la surface de la terre dépend de sa latitude λ.
→
→
Déterminer l’angle en le vecteur −
g apparent, noté −
g ∗ , et la verticale.
y (nord)
z
ω
(verticale)
x (est)
A
O
λ
équateur
méridien
Figure 3
Ex 8. Force de Coriolis : Déviation vers l’est d’un objet en chute libre
On abandonne sans vitesse initiale un objet ponctuel, de masse m, à l’altitude h = 100 m
de la surface de la terre (à la latitude λ). La terre, supposée sphérique, est en rotation à
vitesse angulaire constante ω.
a) Dans le repère (Axyz) lié à la surface de la terre, quelles sont les forces qui s’exercent
sur l’objet ? Dans quelle direction l’objet est-il dévié par rapport à la verticale ?
b) A l’équateur (λ = 0 ◦ ), calculer cette déviation lorsque l’objet arrive sur le sol.
Ex 9. Usure des rails
Un train de masse m = 2 tonnes avance vers le nord, le long d’un méridien, à la vitesse
de 100 km.h−1 , dans une règion de latitude λ = 45o de l’hémisphère nord.
Exprimer la valeur et la direction de la force latérale exercée sur les rails.
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2009/10
TD 5 : Mouvement Oscilatoire
Questions
a) Supposez qu’on dispose un bloc de masse inconnue et un ressort de constante elastique aussi
inconnue. Comment peut-on predire la période d’oscilation du système masse+ressort ?
b) Peut-on avoir un oscillateur qui soit non-harmonique même pour des amplitudes d’oscillation
arbitrairement petites ?
c) En utilisant un raisonnement qualitatif pouvez vous prédire si un pendule qui oscille avec
une grande amplitude aura une période supérieure ou inférieure à celle correspondant aux
oscillations de petite amplitude ? (Pensez à des cas extrèmes)
d) Pourquoi croyez vous que dans les machines soumises à vibration on intègre souvent un
dispositif amortisseur ?
e) Sous quelles conditions la courbe de resonance d’un oscillateur aura un pic plus prononcé
et plus étroit ?
f ) La masse se déplace avec vitesse angulaire constante, dans un cercle de rayon R situé dans
un plan comme le montre la figure. Indiquer dans quels points du mouvement ella aura le
meme deplacement que la particule oscillante correspondante.
Idem pour le module de la vitesse et de l’accélération.
Exercises
Ex 1. Un bloc de masse m1 = 4 kg accrochée à un ressort vertical,produit un étirement de
16cm à partir de sa longueur au repos. On retire le bloc, on met le ressort en position
horizontal sur une surface sans frottement avec une extremité accrochée à un mur. On
accroche l’autre extremité à une masse m2 = 0.5 kg du Si l’on met ce nouvel système en
mouvement, quelle sera la période d’oscillation ?
Ex 2. Deux particules sont en mouvement harmonique simple sur la même direction. Elles
ont la même amplitude et la même fréquence. Elles se croissent lorsqu’elles se déplacent
en sens opposé chaque fois que leur étirement est égale à la moitié de l’amplitude. Quelle
est leur différence de phase ?
Ex 3. Deux ressorts sont connectés comme le montre la figure.
Une masse m est accrochée à l’extremité libre, en négligeant les frottements montrer que
la fréquence d’oscillation de la masse m est:
1
f=
2π
s
k1 k2
m(k1 + k2 )
Ex 4. Deux ressorts sont connectés comme le montre la figure.
En négligeant les frottements montrer que la fréquence d’oscillation de la masse m est:
f=
1q
(k1 + k2 )/m
2π
Ex 5. Un bloc de masse M est suspendu d’un ressort de constante k. On effectue un tir vertical,
au départ du sol juste en dessous du bloc, d’un projectile de masse m avec une vitesse
initiale de norme v0 . Le projectile reste incrusté dans le bloc après le choc. On supposera
M ≫ m.
a) Calculer l’amplitude du mouvement oscillatoire résultant
b) Quelle fraction de l’énergie cinétique initiale du projectile reste emmagasinée dans le
système projectile+masse+ressort ?
Dans ce processus l’énergie est-elle conservée? Expliquez.
Ex 6. Un pendule simple de longueur l = 1 m effectue 100 oscillations complètes en 204 sec
dans un certain lieu. Que vaut l’accélération de la pesanteur dans ce lieu ?
Ex 7. Une masse ponctuelle m se déplace sans frottement à l’intérieur d’une coquille sphérique
de rayon R. Montrer que le mouvement de la masse pour des petits écarts à l’équilibre
est harmonique simple.
Ex 8. Une masse de m = 2 kg oscille attachée à un ressort de constante k = 400 N/m avec
une amplitude initiale AO = 3 cm.
a) Calculer la période et l’énergie initiale totale.
En supposant que l’amortissement est faible :
b) Exprimer la puissance moyenne sur une période en termes de l’énergie.
c) Calculer la constante d’amortissement b, sachant que le systeme perd 1% de son énergie
par période.
Ex 9. Un oscillateur est soumis à une force externe F = F0 sin(ωt). On se placera dans la
situation du regime permanente dans le cas d’amortissement faible. En supposant que
ω < ω0 , montrer que la puissance introduite par la force externe est :
P=
F02 ω
sin 2ωt
2m(ω02 − ω 2 )
Ex 10. Une masse m est posée sur un plan horizontal sans frottement. Elle est soumise à une
unique force horizontale de direction constante et d’intensité F (t) = F0 sin(ωt).
a) Calculer l’accéleration, la vitesse et la position de m en fonction du temps, sachant
que à t = 0 la masse était au repos en x = 0.
b) Quelle est l’amplitude de ce mouvement oscillatoire ?
c) Si maintenant on attache la masse m à un ressort de constante k quel est le mouvement
résultant si la masse est toujours soumise à la même force externe F (t) ?
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2009/10
TD 6 : Électricité - I
Ex 1. Champ électrique
Deux charges ponctuelles q1 et q2 se trouvent à une distance d l’une de l’autre, q1 étant
située à l’origine des coordonnées et q2 sur l’axe positif (Ox). Pour les valeurs q1 = 10−6 C,
q2 = 3 × 10−6 C et d = 10 cm, calculer et représenter graphiquement le champ électrique
−
→
E en tout point x de l’axe (Ox) du à ces deux charges. On considéra que E est positif
si la direction du champ est vers la droite et négatif dans le cas contraire.
Ex 2. Potentiel électrique
Une charge ponctuelle a pour valeur q = 1, 16 µC et se trouve à l’origine d’un axe Ox.
Soient un point A d’abcisse xA = 2.06 m et un point B d’abcisse xB = −1, 17 m. Calculer
la différence de potentiel VA − VB . Refaire le calcul lorsque B se trouve sur l’axe (Oy)
avec yB = 1, 17 m.
Ex 3. Condensateur
Un condensateur de capacité C = 26, 0 µF est vide initiallement. Une batterie fournit
une différence de potentiel 125 V aux bornes de ce condensateur pendant un temps très
long, quelle est la charge passée dans le condensateur ?
Ex 4. Résistance électrique
Une pièce en fer a pour dimensions 1, 2 cm ×1, 2 cm×15 cm. La résistivité du fer est
ρ = 9, 68 × 10−8 Ω.m. Calculer la résistance électrique entre deux faces carrées de cette
pièce. Calculer ensuite la résistance électrique entre deux faces rectangulaires de cette
pièce.
Ex 5. Courant électrique
Un courant de 4.82 A passe dans une résistance de 12, 4 Ω pendant 4, 60 min. Quelle est la
charge électrique et combien d’électrons sont passés dans une section da cette résistance
pendant ce temps? Charge de l’électron e = 1, 6 × 10−19 C.
Ex 6. Charge de condensateur
Une résistance R = 6, 2 Ω et un condensateur C = 2, 4 µF (initialement déchargé) sont
reliés en série à une batterie de 12 V. Quelle est la constante de temps τ de ce circuit ?
A quel moment la différence de potentiel aux bornes du condensateur est égale à 5, 6 V ?
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TD 7 : Électricité - II
Ex 1. Un circuit est fait de cinq résistances reliées à une batterie de 12 V (voir fig. 1). Trouver
la différence de potentiel aux bornes de la résistance de 5 Ω.
Ex 2. Dans la figure 2, on donne R1 = 112 Ω, R2 = 42 Ω, R3 = 61, 6 Ω, R4 = 75, 0 Ω et
E = 6, 22 V. Trouver la résistance équivalente de ce circuit. Calculer ensuite le courant
dans chaque résistance.
Ex 3. Trouver la résistance équivalente du système de résistances de la figure 3
a) entre les bornes F et H,
b) entre les bornes F et G.
Ex 4. Calculer le courant à travers l’ampèremètre dans le circuit suivant (fig. 4). On supposera
que l’ampèremètre a une résistance interne nulle.
Ex 5. Dans le circuit suivant (fig. 5) on donne R1 = 1.20 Ω, R2 = 2, 3 Ω, E1 = 2, 0 V, E2 = 3.8
V et E3 = 5, 0 V.
a) Calculer le courant à travers chaque f.é.m.,
b) Calculer la différence de potentiel entre les points A et B: VB − VA .
Ex 6. Soit le circuit de la figure 6 avec R0 = 0, et R1 = R2 = R. Si les bornes A et B sont
reliées par une résistance r, montrer que le courant dans cette résistance est
i=
E(Rs − Rx )
(R + 2r)(Rs + Rx ) + 2Rs Rx
R1
6Ω
4Ω
12 Ω
R4
R2
E
R3
5 Ω
3Ω
Ω
fig. 2
12 V
fig. 1
F
R
R
G
R
R
E
R
A
R
R
R
R
H
fig. 4
fig. 3
A
R1
R1
A
R
R1
R2
2
E3
E1
E2
R1
R1
B
R
Rs
fig. 5
B
R
E
0
fig. 6
x