Mécanique du point (II) – Électricité - Université de Cergy

Université de Cergy-Pontoise Année 2013-14
Licence L1 – MPI 2ème semestre
L1S2 - MPI
Mécanique du point (II) – Électricité
Énoncés des travaux dirigés
voir :
http://www3.u-cergy.fr/trambly/L1S2MecaElec/

TD 1 : Cinématique de rotation
I) Le repère polaire
1) Soit le vecteur.
OA
Faire un schéma faisant apparaître les cordonnées du point A par
rapport à l’origine situé en O dans les repères cartésien et polaire ainsi que les vecteurs de
base correspondants. Indiquer les composantes du vecteur
OA
dans les deux bases
On peut interpréter le vecteur
OA
comme le vecteur position
)(tr
d’un point matériel à
l’instant t. Si à l’instant t + dt le point matériel se trouve au point B, indiqué par le vecteur
)( dttrOB 
, dessiner les vecteurs des deux bases en B. Quelle différence majeure
observez-vous entre les deux bases ?
2) ) Exprimer en cordonnées polaires: le vecteur r , sa variation élémentaire dr, la vitesse v,
et l’accélération a.
3) Un point matériel effectue un mouvement dans le plan de telle sorte que ses cordonnées
dans le repère cartésien sont
)cos( tRx
et
)sin( tRy
où R et sont constantes et t
est le temps.
a) Quelle courbe détermine le mouvement du corps ? Obtenez l’équation de la trajectoire.
b) Quel est le sens physique de la constante ?
c) Obtenez les composantes cartésiennes de la vitesse du point.
Représentez-la schématiquement sur la trajectoire.
d) Idem pour l’accélération.
e) Répétez les points précédents dans le repère polaire.
4) L’orbite de la Terre, même si elle est elliptique, peut être considérée en première
approximation comme un cercle. En considérant la Terre comme un point matériel,
calculez sa vitesse angulaire de rotation autour du Soleil et sa vitesse linéaire moyenne.
Quelle est l’accélération centripète de la Terre dans ce mouvement ?
5) a) Un point matériel est supposé se déplacer sur une spirale d’équation
t
bexp
,
où et
b
sont des constantes positives. Représenter cette spirale
b) Retrouver l’expression générale de la vitesse et de l’accélération en coordonnées
polaires.
c) Déterminer l’expression des vecteur vitesse et accélération ainsi que leurs normes
dans ce cas. On supposera que
t
, avec
Cte
.
d) Déterminer l’angle que font entre eux les vecteurs vitesse et accélération. Schéma
avec base polaire et intrinsèque.

e) Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire.
6) Un mobile, supposé ponctuel, décrit la courbe plane d’équation : 0cos où 0
est une longueur.
a) Allure de la trajectoire ?
b) On choisi l’origine des temps au point où = 0, on suppose que la vitesse angulaire
= cte. Exprimer la vitesse linéaire de la vitesse. (norme, composantes radiales et
orthoradiales
c) De même exprimer l’accélération à l’instant t.
I) Le produit vectoriel
1) a) Calculer la norme de C = A B et représenter le vecteur produit vectoriel dans les deux
cas représentés ci-dessous.
b) Définir un référentiel cartésien et obtenir les composantes de C dans les deux cas.
2) a) En utilisant la définition du produit vectoriel de deux vecteurs, calculer les produits
vectoriels des vecteurs de base du repère cartésien, et cylindrique.
b) En utilisant la propriété distributive du produit vectoriel par rapport à l’addition
montrer que si A = ax i + ay j + aZ k et B = bx i + by j + bZ k, alors
C = A B = ( ay bz- az by) I + ( az bx-ax bz) j + ( ax by- ay bx) k
3) Propriétés géométriques de la direction :
En utilisant les composantes cartésiennes des vecteurs,
a) Vérifiez que si A et B sont parallèles alors A B = 0
b) En partant des composantes cartésiennes des vecteurs, montrez que si A et B ne sont
pas parallèles alors A B est orthogonal au plan (A, B).
4) Propriétés géométriques de la norme :
En partant des composantes cartésiennes des vecteurs
a) Montrez que ||A B|| = ||A|| ||B|| sin
b) En déduire que ||A B|| n’est autre que la surface du parallélogramme défini par A et B
5) Le vecteur vitesse angulaire :
Comment faut-il définir le vecteur vitesse angulaire pour que l’on puisse écrire
v = r, où r désigne le vecteur position d’un point P qui tourne à vitesse angulaire
autour d’un axe tel que l’origine O est situé sur l’axe de rotation. La position du point
O sur l’axe de rotation est-elle importante ?
30°
A=4
B=5
°
A=2
B=6

Universit´e de Cergy-Pontoise
S2-MPI Physique 2009/10
TD 1b : R´evision sur les nombres Complexes
Ex 1. Forme polaire des nombres complexes et r´epresentation vectorielle
Exprimer en forme polaire
1. z= 2 + 2√3i
2. z=−3i
Ex 2. Theor`eme de De Moivre
Si z1=r1(cos θ1+isin θ1) et z2=r2(cos θ2+isin θ2) Montrer que:
1. z1z2=r1r2cos(θ1+θ2) + i[sin(θ1+θ2)]
Exprimer ce r´esultat en utilisant la formule de Euler
2. z1/z2=r1/r2cos(θ1−θ2) + i[sin(θ1−θ2)]
Exprimer ce r´esultat en utilisant la formule de Euler
3. Prouver par induction le theor`eme de De Moivre:
(cos θ+isin θ)∗ ∗n= cos nθ +isin nθ o`u n est un entier positif
Exprimer ce r´esultat en utilisant la formule de Euler
Ex 3. Montrer que:
1. cos θ= (exp iθ + exp −iθ)/2
2. sin θ= (exp iθ −exp −iθ)/2i
Ex 4. Donner une interpr´etation g´eom´etrique du nombre complexe zexp(iα) o`u αest un nom-
bre r´eel.

Universit´e de Cergy-Pontoise
S2-MPI Physique 2011/12
TD 2 : Moment cin´etique, moment d’une force, syst`eme
de points mat´eriels
Ex 1. a) Deux masse m1et m2sont accroch´ees `a une tige de masse n´egligeable de longueur
l. La tige est attach´ee O par un fil (figure a). D´eterminer la position de O pour que
la tige soit `a l’´equilibre.
b) Mˆeme question pour une tige coud´ee de longueur l+d(figure b).
c) Deux enfants ont `a partager un (gros) bonbon en forme de cane (figure c). L’un
propose de l’attacher par une ficelle, jusqu’`a trouver son ´equilibre (la partie rectiligne
´etant horizontale) et de couper `a cet endroit.
Quel morceau choisiriez-vous ?
O1 2
mm
l
O1
m
m2
ld
figure a figure b figure c
Ex 2. Pour une particule ponctuelle de masse m, de vecteur position −→ r=−−→ OM et de quantit´e
de mouvement −→ p, subissant une force −→ F, `a quelle(s) condition(s) a-t-on:
(i)−→ LO=−→ r∧−→ p=−→ 0 ? (ii)−→ MO(−→ F) = −→ r∧−→ F=−→ 0 ?
Ex 3. Une particule ponctuelle de masse mparcourt une droite verticale d’´equation cart´esienne
x=x0`a la vitesse −→ v=v(t)−→ uy. Calculez d−→
LO
dt . On suppose que v(t) = a t, avec aune
constante. Trouvez alors la force subie par la particule.
Ex 4. Lesquels des mouvements dont l’allure est repr´esent´ee ci-dessous ne peuvent pas s’effectuer
sous l’effet d’une unique force centrale de centre O(discussion qualitative uniquement) ?
NB: Une force centrale est dirig´ee en direction radiale et depend seulement de la distance
au centre de forces
O
O
O
OO