Traitement des images 1

Traitement des images 1
ENSIM 4A SPMI
Année 2016/2017
http://perso.univ-lemans.fr/~smontres/ENSIM/TOI2/toi2_1617_RGB.pdf
1
Plan du cours
Perception des images, grandeurs
photométriques
Signaux bidimensionnels
Filtrage des images
2
1
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Spectre electromagnétique I
La lumière: une source de lumière se décompose comme une
somme d’ondes monochromatiques de différentes longueurs λ . On
parle alors de spectre de la lumière
c
f
c = 300000 km / s
λ=
3
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Spectre électromagnétique II
spectre visible
spectre complet
4
2
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Système visuel humain I
Lorsque notre regard fixe un objet, les rayons lumineux réfléchis par cet objet se
focalisent sur une zone particulière de la rétine, la fovea qui est située au centre de la
macula, région jaunâtre proche du centre de la rétine, mais légèrement décalée par
rapport à l’axe optique de l’œil. La fovea correspond à la zone d’acuité maximale de
l’œil.
5
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Système visuel humain II
La fonction optique de l’oeil est de focaliser un stimulus de couleur sur sa
partie photosensible, la rétine.
– La cornée est une membrane transparente et résistante située sur la face
avant de l’oeil.
– L’iris est une membrane colorée qui fonctionne comme un diaphragme
en contrôlant la quantité de lumière qui pénètre dans l’oeil. Son ouverture
centrale est la pupille.
– Le cristallin est une lentille biconvexe molle qui permet de focaliser le
stimulus grâce à sa capacité à modifier sa courbure.
– Le corps vitré est un liquide continuellement sécrété et absorbé, dont le
rôle est d’assurer la structure autonome de l’œil.
La rétine contient deux types de cellules photosensibles : les cônes et les
bâtonnets.
Les bâtonnets permettent la vision nocturne (vision scotopique) tandis que
les cônes permettent la vision diurne (vision photopique).
6
3
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Système visuel humain III
La rétine possède 4 à 7 millions de
cônes pour 110 à 125 millions de
bâtonnets.
La fovea se distingue par une
concentration maximale de cônes
pour une très faible concentration en
bâtonnets. Il existe même une zone
au centre de la fovea dans laquelle il
n’y a que des cônes, la foveola.
7
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Système visuel humain IV
Expérience de Mariotte (1620-1684): Mise en évidence de la
tache aveugle
8
4
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Système visuel humain V
Les cônes et les bâtonnets ont deux fonctions différentes:
•Bâtonnets: sensibles aux formes, fonctionne même avec une
faible luminosité (vision scotopique)
•Cônes: sensibles aux couleurs et aux détails, ils ne
fonctionnent qu’a la lumière du jour (vision photopique)
L’acuité visuelle est le fait des cônes. Une vision précise
des détails n’est possible que si l’œil les fixe-> formation de
l’image au centre de la fovéa (densité maximale de cônes)
9
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Système visuel humain VI
Pouvoir séparateur de l’œil: environ 1’
α
d
D
tg (α ) =
d
D
Exemple: avec D = 1m, α = 1’
on a d = 0.3 mm
10
5
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Système visuel humain VII
Sensibilité relative des différentes λ du spectre visible sur la
rétine
Vλ
maximum d ’efficacité à 555 nm (dans le
vert)
1
forme gaussienne : tend vers des valeurs
très basses aux 2 extrémités du spectre
0,5
0
400
C’est le spectre d ’action de la lumière
sur la rétine ou spectre d ’absorption de
la lumière par la rétine
500
600
700
λ
11
Perception des images,
grandeurs photométriques
F flux lumineux: c’ est l’énergie lumineuse
rayonnée par une source de lumière par unité de
temps:
Débit de lumiè
lumière
12
6
Perception des images,
grandeurs photométriques
ds
F=
S
∫∫
E ds
s
13
Perception des images,
grandeurs photométriques
• E :Eclairement. Cest le flux lumineux reçu par
unité surface
• Unité: Le lux lx
• F: Puissance totale de la lumière reçue par une
surface
• Unité: Le lumen lm
• 1 lux = l lumen/m²
14
7
Perception des images,
grandeurs photométriques
• plein soleil jusqu'à 100 000 lux
• près d'une fenêtre par temps couvert : 1000 à 3000 lux
• pleine lune dans un ciel clair : 0,25 lux
• salle de séjour 150 lux
• salle de classe 400 lux
15
Perception des images,
grandeurs photométriques
Intensité lumineuse d’une source: I définie pour une
source de lumière ponctuelle dans une direction donnée,
C’est le flux lumineux par unité d’angle solide
Unité: le candela cd
1 Candela = 1 lumen / stéradian
Source
ponctuelle
I=
dΦ
dΩ
dΩ
16
8
Perception des images,
grandeurs photométriques
Angle solide
α
Ω = 2π (1 − cos(α ))
A un angle au sommet (2α
α)
de 360° correspond un angle
solide de 4π
π stéradian
17
Perception des images,
grandeurs photométriques
Luminance L d’une source: L définie l’intensité lumineuse d’une
source de lumière non ponctuelle. C’est l’intensité lumineuse par unité
de surface perpendiculaire à la direction d’émission
Unité: le nit
L=
1 nit = 1 Candela / m²
dI
dS . cos(ϑ )
Ordres de grandeurs:
θ
Ampoule de 100W -> 3x106 nits
Ciel couvert
dS
-> 2x104 nits
Tube cathodique -> 1x108 nits
18
9
Perception des images,
grandeurs photométriques
Efficacité lumineuse K : définie le
rapport entre le flux lumineux F et le flux
de puissance rayonnée Φ
K=
F
Φ
Unité: lumen/Watt
K, F et Φ
sont des grandeurs
globales qui prennent en
compte la totalité du spectre
visible
∞
∞
∫
∫
F = F (λ )dλ = K λ Φ (λ ) dλ
0
Lien entre la densité d’efficacité
lumineuse Kλ et la sensibilité relative
de l’œil Vλ
0
K λ = 620 Vλ
19
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Système visuel humain VIII
Courbes d’efficacités lumineuses:
Vision diurne ou photopique : L > 10 nits
Vision nocturne ou scotopique : L < 10-3 nits
Vλ
1
0,5
400
510
555
600
700
λ (nm)
20
10
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Photographie quantitative I
Energie du flux lumineux à travers une surface: elle se conserve
Flux incident Fi
Flux réfléchi Fr
Flux absorbé Fa
Fi = Fa + Ft + Fr
Flux transmis
Ft
21
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Photographie quantitative II
On déduit des indices précédents des quantités normalisées
rapporté au flux incident. On obtient de cette façon les facteurs
d’absorption, de réflexion et de transmission α,β et ρ:
α =
Fa
Fi
ρ =
Fr
Fi
τ =
Ft
Fi
α + ρ + τ = 1
22
11
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Photographie quantitative III
Α partir de ρ et τ on définit des grandeurs logarithmique appelées densités
optiques permettant l’analyse d’image reproduit par des matériels
photographique.
dτ = log 10(1 / τ )
d ρ = log 10(1 / ρ )
dρ et dτ sont respectivement les densités optiques par réflexion et par
transparence
23
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Photographie quantitative IV
Moyennant quelques traitements chimiques, l’exposition d’un film à la lumière
provoque une couche de grains microscopique dont la concentration est
contrôlée par l’exposition ε
L’exposition ε est proportionnelle à l’éclairement et au temps d’exposition du
film, ε = E T
La densité optique est reliée à l’exposition. C’est la courbe de Hurter-Driffield
dmax
dτ = γ log 10(ε )
dτ
γ est le contraste
γ
log10(ε)
d0
24
12
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Perception des luminances I
La luminance apparente d’un détail d’une image (différent de la luminance
physique) dépend de l’adaptation locale et globale du système visuel.
Adaptation locale rapide: permet de faire apparaître clairement les détails d’une
image
Adaptation globale: plus lente, elle couvre une gamme très large d’éclairement:
0.00003 lux à 100000 lux.
Effet de contraste simultané: la luminance apparente d’une zone dépent de sa
luminance effective et de celle de son voisinage
Quel carré gris
parait le plus
clair ?
25
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Perception des luminances II
Distinction à effectuer entre luminance effective et luminance apparente
Luminance
effective L
Objectif
Luminance
apparente B
Subjectif
Echelon liminaire de luminance: Plus petite différence de
luminance perceptible ∆L
26
13
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Perception des luminances III
Phénomène de Mach: l’œil accentue les discontinuités au
changements brusques de contraste
27
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Perception des luminances IV
Loi de Weber-Fechner: ∆L/L = CW
Relation B, L:
B = k1 log (L) + k2
(relation approximative logarithmique de la perception des
luminances)
Cw = 0.01
28
14
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Différentes représentation des Images
Les images monochromes ou niveaux de gris, quand elle peuvent être
représentées par une fonction f(x,y) qui traduit une certaine grandeur (intensité
lumineuse par exemple) du point (x,y).
Un cas particulier correspond aux images binaires pour lesquelles 2 valeurs
seulement sont permises
Les images trichromes (ou images couleur)
une couleur quelconque peut être synthétisée par l’utilisation de 3 couleurs de
base. Une image couleur est en pratique trichrome et est représentée par 3
fonctions
Les images multi-spectrales : généralisation du cas précédent, conduisant à n
tableaux de nombres.
29
Perception des images,
grandeurs photométriques
• Représentation d’une
image bitmap
12 pixels
Pixel
19 pixels
La couleur de chaque pixel est codée par x bits :
1 bit : 2 couleurs (noir & blanc)
4 bits : 16 couleurs
8 bits : 256 couleurs ou niveaux de gris
16 bits : 65536 couleurs
24 bits : 16777216 couleurs (« vraies couleurs »)
32 bits : 4 294 967 296 couleurs
30
15
Signaux bidimensionnels
Signal numérique bidimensionnel: Fonction réelle où
complexe de deux variables entières indépendantes.
Etendue: Domaine de variation des variables entières
définissant l’image.
 x ( k1,l1 ) x ( k1,l2)..... x ( k1,lL ) 
 x ( k 2,l1)


x ( k ,l ) =  M
 M

 x ( k K ,l1)



31
Signaux bidimensionnels
Le plan des pixels
l
k
32
16
Signaux bidimensionnels
Impulsion unité bidimensionnelle
1 si k = l = 0
δ (k , l ) = 
 0 ailleurs
l
k
33
Signaux bidimensionnels
Exemple 1
x(k , l ) = δ ( k , l ) + δ (k − 1, l ) + δ ( k − 1, l − 1) + δ (k , l − 1)
l
k
34
17
Signaux bidimensionnels
Echelon bidimensionnel
1 si k ≥ 0 et l ≥ 0
U (k , l ) = 
0 ailleurs

k
l
35
Signaux bidimensionnels
Exemple 2: Quadrant inférieur gauche
1 si k ≤ 0 et l ≤ 0
U ( − k ,− l ) = 
0 ailleurs

l
k
36
18
Signaux bidimensionnels
Echelon bidimensionnel
1 si k ≥ 0 et l ≥ 0
U (k , l ) = 
0 ailleurs

l
k
37
Signaux bidimensionnels
Porte bidimensionnelle
1 si 0 ≥ k ≥ K − 1

rect K , L ( k , l ) =  et si 0 ≥ l ≥ L − 1

0 ailleurs
l
L
0
K
k
38
19
Signaux bidimensionnels
Exemple 3
rect
K ,L
( k − 1, l − 1)
l
L
0
1
K
k
39
Signaux bidimensionnels
Porte en fonction de l’échelon:
rect K , L (k , l ) = U (k , l ) − U (k , l − 1) − U (k − 1, l ) + U ( k − 1, l − 1)
40
20
Signaux bidimensionnels
Demi-plan l positif:
dplp(k , l ) = U (k , l ) + U (− k − 1, l )
41
Signaux bidimensionnels
Exemple 3: sinusoide bidimensionnelle
x(k , l ) = sin(2π (k + l ) / λ )
42
21
Signaux bidimensionnels
Définition: signal séparable
x(k , l ) = x1 (k ) x2 (l )
Exemples:
rect K , L (k , l ) = rect K (k )rect L (l )
U (k , l ) = U (k )U (l )
δ (k , l ) = δ (k )δ (l )
43
Signaux bidimensionnels
Transformée de Fourier bidimensionnelle (cas continue):
+∞ +∞
F (u , v) =
∫ ∫ f ( x , y )e
− 2πj ( xu + yv )
dxdy
−∞ −∞
TF 2d usuelles:
δ ( x, y )
δ ( x − x0 , y − y 0 )
⇔
1
⇔
exp(−2πj ( x0u + y0 v)
exp(−π ( x 2 + y 2 ))
⇔
exp(−π (u 2 + v 2 ))
rect ( x, y )
⇔
sinc(u ) sinc(v)
44
22
Signaux bidimensionnels
Quelques propriétés de le TF2D:
f ( ± x, ± y )
f1 ( x) f 2 ( y )
⇔
⇔
F ( ±u ,± v )
F1 (u ) F2 (v)
f * ( x, y )
⇔
F (−u ,−v)
f ( x − x0 , y − y0 )
⇔
f ( x, y ) ∗ ∗h( x, y )
⇔
e − 2πj ( x0u + y0v ) F (u , v)
F (u, v) H (u , v)
45
Signaux bidimensionnels
Transformée de Fourier bidimensionnelle (cas discret):
X ( f , g) =
∑∑ x(k , l )e
k
−2πj ( fk + gl )
l
Conditions d’existence:
∑∑ x(k , l ) < +∞
k
l
46
23
Signaux bidimensionnels
Propriétés:
X ( f + 1, g + 1) = X ( f , g )
Périodicité dans les deux dimensions
La transformée de Fourier d’un signal
bidimensionnel discret est entièrement déterminée par
ses valeurs prise sur un plan de surface unité dans le
plan f,g: c’est sa période principale
−
1
1
1
1
≤ f ≤
et − ≤ g ≤
2
2
2
2
47
Signaux bidimensionnels
Différents choix pour la période principale:
g
g
f
f
Transformée de Fourier bidimensionnelle inverse:
1
2
x( f , g ) =
1
2
∫ ∫ X ( f , g )e
2 π j ( fk + gl )
dfdg
1
1
−
−
2
2
48
24
Signaux bidimensionnels
X ( f , g)
X ( f , g)
X ( f , g)
2
f et g représentent des
fréquences spatiales
arg( X ( f , g ))
49
Signaux bidimensionnels
Exemple 1: impulsion unité bidimensionnelle
X d ( f , g) =
∑∑ d (k , l )e
k
−2πj ( fk + gl )
l
X d ( f , g ) = 1 f ,g
50
25
Signaux bidimensionnels
Exemple 2: porte bidimensionnelle centrée
K
L
,l + )
2
2
x(k , l ) = rect K , L (k +
X
p
( f ,g) =
∑∑e
k
− 2 π j ( fk + gl )
l
51
Signaux bidimensionnels
X p ( f , g) =
sin(πfK ) sin(πgL )
.
sin(πf ) sin(πg )
X p ( f , g)
52
26
Signaux bidimensionnels
53
Signaux bidimensionnels
Exemple 3: sinusoide bidimensionnelle
x(k , l ) = sin(2π (k + l ) / λ )
X ( f , g) =
∑∑ sin(2π (k + l ) / λ )e
k
−2πj ( fk + gl )
l
54
27
Signaux bidimensionnels
55
Signaux bidimensionnels
Exemple 4: sinusoide bidimensionnelle
x(k , l ) = sin(2π l / λ )
X ( f , g) =
∑∑ sin(2π l / λ )e
k
−2πj ( fk + gl )
l
56
28
Signaux bidimensionnels
x( k , l ) = sin(2π l / λ ) avec λ = 30
57
Signaux bidimensionnels
x (k , l ) = sin( 2π (k + l ) / λ ) avec λ = 30
58
29
Signaux bidimensionnels
x (k , l ) = sin( 2π l / λ ) avec λ = 15
59
Signaux bidimensionnels
x (k , l ) = sin( 2π k / λ ) avec λ = 30
60
30
Signaux bidimensionnels
x(k , l ) = sin(2π (−k + l ) / λ ) avec λ = 15
61
Signaux bidimensionnels
x (k , l ) = sin( 2π k / λ ) sin( 2π l / λ avec λ = 30
62
31
Filtrage des images
Définition: système numérique bidimensionnel:
C’est un opérateur mettant en correspondance
deux ensembles de signaux
y ( k , l ) = S [ x ( k , l )]
Transformation d’une
image
Définition: systèmes linéaires invariants par
translation dans le plan:
y (k , l ) =
∑∑ x(m, n) g (k − m, l − n)
m
n
Convolution
bidimensionnelle
y ( k , l ) = x (k , l ) * *g (k , l )
Notation:
63
Filtrage des images
Stabilité d’un système numérique bidimensionnel,
∑ ∑
k
g ( k , l ) < +∞
l
Dans le domaine fréquentiel:
Y ( f , g ) = X ( f , g )G ( f , g )
G est la réponse fréquentielle
bidimensionnelle
64
32
Filtrage des images
Equation aux différences bidimensionnelle,
R1
C1
∑∑ a
r ,c y ( k
− r , l − c) =
r =0 c =0
R2 C2
∑∑ b
r ', c ' x ( k
− r ' , l − c' )
r '=0 c '=0
C’est une représentation d’un système linéaire
invariant par translation, F
F
x(k,l)
y(k,l)
F est un filtre numérique bidimensionnel
65
Filtrage des images
Cas d’un filtre à réponse impulsionnelle finie,
y (k , l ) =
M − 1 n −1
∑ ∑ x (m , n) g (k − m , l − n)
m =0 n=0
La réponse impulsionnelle g(k,l) est alors
restreinte à une matrice de dimensions (M,N)
Exemple avec:
M=N=3
 g (−1,−1) g ( −1,0) g (−1,1)
 g (0,−1) g (0,0) g (0,1) 


 g (1,−1)
g (1,0)
g (1,1) 
66
33
Filtrage des images
67
Filtrage des images
Mécanisme de la convolution 2d
0
1
0
1
0
11 01
1
2
0
2
3
-1
1
0
1
0
1
11 0
00
1
0
0
3
0
1
1
0
1
11 00
1
0
0
1
0
-1
0
0
1
1
3
0
2
4
-1
0
1
1
0
2
2
1
4
1
2
-1
0
2
3
-1
1
RECOMMENCER
68
34
Filtrage des images
1
2
0
2
3
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
3
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3
0
2
4
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
2
2
1
4
0
0
0
0
0
0
0
1
2
-1
0
0
0
0
0
0
0
2
3
-1
1
y(k,l)
x(k,l)
69
Filtrage des images
y (0,0) = 0 × 0 + 1× 0 + 0 × 0 + 1× 0 + 1× 1 + 2 × 0 + 0 × 0 + 1× 1 + 0 × 0
0
1
0
1
1
02
0
2
3
-1
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
11
00
0
3
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3
0
2
4
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
2
2
1
4
0
0
0
0
0
0
0
1
2
-1
0
0
0
0
0
0
0
2
x(k,l)
3
-1
1
y(k,l)
70
35
Filtrage des images
Exemple:
Filtre g
a**g
Image a
0
1
0
1
2
3
5
8
11
0
1
1
4
5
6
12 19 23
0
1
0
7
8
9
11 20
23
71
Filtrage des images
Exemple 1:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
1/9
Filtre moyenneur
72
36
Filtrage des images
Exemple 2:
1
1
1
1
-8 1
1
1
Filtre passe haut
1
73
Filtrage des images
Exemple 3:
0
-1 0
-1
4
-1
0
-1
0
x
1/9
Filtre laplacien
74
37
Filtrage des images
Exemple 4:
-1 -1 -1
0
0
0
Filtre différentiateur
1
1
1
horizontal
75
Filtrage des images
Exemple 5:
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
Filtre différentiateur
vertical
76
38
Filtrage des images
Exemple 6:
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x 1/9
77
Filtrage des images
Exemple 4: dans l’espace de Fourier
Image
D’origine
Image
filtrée
78
39
Exercice
Montrer que le filtre h suivant est séparable,
1 0 −1
1 0 −1
1 0 −1
Vous déterminez pour cela deux filtre 1d h1 et h2 tels que :
h = (h 2T ).h1
Soit maintenant la matrice a, signal 2d telle que :
1 2 3
a= 4 5 6
7 8 9
Calculez, a**h, puis (a*h1)*(h2T) , conclusion ?
79
40