Dérivabilité (deuxième partie seulement) 3 Théorème de

Lycée Berthollet PCSI2 2016-17
Programme de colle de la semaine du 6 au 10 février 2017
Note : je remets dans ce programme les théorèmes de Rolle et des accroissements finis en raison
de leur importance et de leur nouveauté.
Dérivabilité (deuxième partie seulement)
3 Théorème de Rolle et accroissements finis
I Théorème de Rolle
Théorème 1 (Théorème de Rolle) Soit f une fonction continue sur un segment [a,b](a <b) et
dérivable sur ]a,b[.
Si f (a) = f(b), alors il existe un c ∈]a,b[tel que f 0(c) = 0.
II Égalité des accroissements finis
Le théorème suivant est le résultat fondamental de ce chapitre :
Théorème 2 (Égalité des accroissements finis) Soit f une fonction continue sur un segment
[a,b](a <b) et dérivable sur ]a,b[.
∃c∈]a,b[,f(b)−f(a)
b−a=f0(c)
Égalité de moyenne : si fest continue sur [a,b], alors il existe c∈]a,b[tel que f(c) =
1
b−aRb
af.
III Limite de la dérivée
Une conséquence de l’égalité des accroissements finis est le classique
Théorème 3 (Théorème de la limite de la dérivée) Soient I un intervalle et a ∈I. Soit f une
fonction continue sur I, dérivable sur I \{a}et telle que lim
x−→af0(x) = `∈R.
Alors lim
x−→aTaf(x) = `et cela implique que
— Si `∈R, alors f est dérivable en a, f 0(a) = `et f 0est continue en a.
— Si `6∈ R, alors f n’est pas dérivable en a et le graphe de f admet une tangente verticale
en (a,f(a)).
IV Inégalité des accroissements finis
Théorème 4 (Inégalité des accroissements finis) Si f est une fonction dérivable telle que |f0|
est majorée par k, alors la fonction f est k-lipschitzienne.

V Application aux suites récurrentes
Proposition 5 (Convergence) Soit f une fonction contractante sur un intervalle I (i.e. k-lipschitzienne
avec k <1) telle que f (I)⊂I et que f admette un point fixe λ∈I. Alors
— Ce point fixe est unique.
— Toute suite définie par uo∈I et (∀n∈N,un+1=f(un)) et bien définie pour tout n ∈N
et converge vers λ.
—∀n∈N,|un−λ|≤kn|u0−λ|
Compléments, pour information
On dit qu’un intervalle est fermé s’il contient toutes ses extrémités finies. On admet les
résultats suivants :
Théorème 6 (Complétude) Si f est contractante sur un intervalle fermé I et f (I)⊂I, alors il
existe un point fixe de f dans I.
Théorème 7 (Point fixe attractif) Soit f une fonction définie sur un intervalle I, possédant un
point fixe λintérieur à I, dérivable en λet telle que |f0(λ)|<1.
Alors il existe α>0et k ∈[0,1[tels que ]λ−α,λ+α[⊂I, et
∀x∈]λ−α,λ+α[,|f(x)−λ|≤k|x−λ|
Si une suite est définie par uo∈]λ−α,λ+α[et (∀n∈N,un+1=f(un)), alors elle est bien
définie pour tout n ∈Net vérifie
∀n∈N,|un−λ|≤kn|u0−λ|
donc en particulier limun=λ.
On dit que le point fixe λest attractif.
4 Variations et extremas
Théorème 8 Il est primordial ici que I soit un intervalle. On a alors les caractérisations sui-
vantes pour f dérivable sur I :
— f est constante ⇐⇒ ∀x∈I,f0(x) = 0
— f est croissante ⇐⇒ ∀x∈I,f0(x)≥0
— f est décroissante ⇐⇒ ∀x∈I,f0(x)≤0
Pour la stricte monotonie, ce ne sont plus des équivalences :
—∀x∈I,f0(x)>0=⇒f est strictement croissante
—∀x∈I,f0(x)<0=⇒f est strictement décroissante
Définition 9 Pour a∈I, on dit que
—f admet un maximum (resp. minimum)(global) en assi f(a) = max(f(I)) (resp. f(b) =
min(f(I))).
—f admet un maximum (resp. minimum)local en ass’il existe ε>0 tel que f|I∩]a−ε,a+ε[
admette un maximum (resp. minimum).
—fadmet un extremum en assi elle admet un maximum ou un minimum en a.
2

— Un extremum en aest strict ssi la valeur f(a)n’est atteinte qu’en a.
Théorème 10 (CN d’extremum local) Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f admet un extremum local en un point intérieur a de I (i.e. a n’est pas une extrémité de
I) et f est dérivable en a, alors f0(a) = 0.
Définition 11 Un tel point annulant la dérivée de fest appelé point critique de f.
Théorème 12 (CS d’extremum local) Soit f de classe C2sur un intervalle I (i.e. deux fois
dérivable sur I et de dérivée seconde continue) et a ∈I.
Si a est un point critique de f et f 00(a)<0(resp. f 00(a)>0) alors f admet un maximum
(resp. minimum) local strict en a.
5 Fonctions de classe Ck
Définition 13 Pour k∈N, on dit que fest de classe Cksur Issi elle est kfois dérivable sur I
et sa dérivée k-ième est continue sur I.
On dit que fest de classe C∞ssi elle est indéfiniment dérivable sur I.
Théorème 14 (Opérations sur les fonctions de classe Ck)
— Toute CL de fonctions f et g de classe Cksur I est de classe Cksur I et pour λ,µ∈Ret
p∈[[0,k]], on a
(λf+µg)(p)=λf(p)+µg(p)
— Un produit de deux fonctions f et g de classe Cksur I est de classe Cksur I et pour
p∈[[0,k]], on a la formule de Leibniz :
(f g)(p)=
p
X
i=0 p
i!f(p−i)g(i)
— Si une fonction f de classe Cksur I ne s’annule pas sur I, alors 1
fest de classe Cksur I.
Théorème 15 (Composition de fonctions de classe Ck)
Si f est de classe Cksur I, g est de classe Cksur J et f (I)⊂J, alors g ◦f est de classe Ck
sur I.
Théorème 16 (Réciproque d’une fonction de classe Ck)
Si f est de classe Cksur I pour un k ≥1et f 0ne s’annule pas sur I, alors f −1existe et est
de classe Cksur f (I).
Théorème 17 (Prolongement de classe Ck)
Si f est de classe Cksur I \(a)et si f (p)admet une limite finie en a pour tout p ∈[[0,k]],
alors f admet un unique prolongement de classe Cksur I.
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6 Fonctions complexes
Soit f:I−→ C.
La définition de la dérivabilité de fen a∈Iest identique à celle du cas réel : fest dérivable
ssi le taux d’accroissement admet une limite complexe en a.
Proposition 18 f est dérivable en a ssi Re(f)et Im(f)le sont et dans ce cas
f0(a) = (Re(f))0(a) + i(Im(f))0(a)
Les théorèmes d’opérations sur les fonctions dérivables fonctionnent encore. En composant
à droite par une fonction réelle dérivable, on conserve la dérivabilité. En composant à gauche
par l’exponentielle complexe, on conserve la dérivabilité.
Attention, il n’y a pas d’égalité des accroissements finis dans le cas complexe. Cependant
l’inégalité demeure :
Théorème 19 (Inégalité des accroissements finis) Si f est dérivable sur I et |f0|est majorée
par k ∈R+, alors f est k-lipschitzienne.
Calcul matriciel
—Ensembles de matrices : Définition d’une matrice à nlignes et pcolonnes à coefficients
dans K, de l’ensemble Mn,p(K)qui n’est qu’une autre notation pour K[[1,n]]×[[1,p]].
—Combinaisons linéaires : CL de 2 matrices, puis de kmatrices (k≥1), ce qui défi-
nit en particulier la multiplication par un scalaire et la somme de kmatrices. On a
0·A=0Mn,p(K)et 1·A=A. L’addition ainsi définie sur Mn,p(K)est associative, commu-
tative, admet la matrice nulle comme élément neutre et toute matrice admet une matrice
opposée. On a de plus les deux propriétés de distributivité mixte.
—Produit de matrices : Définition en commençant par le produit de Apar une matrice co-
lonne, puis en passant au cas général. “Bilinéarité du produit” : (λA)B=A(λB) = λ(AB),
(A+B)C=AC +BC et A(B+C) = AB +AC. “Associativité” du produit matriciel.
—Matrices carrées : Définition, notation Mn(K)(n≥1) pour l’espace vectoriel des ma-
trices carrées, matrice identité notée In.Mn(K)est stable par produit matriciel et admet
Inpour élément neutre. Le produit n’est pas commutatif et admet des “diviseurs de 0”
dès que n≥2. Formule du binôme et de Bernoulli pour deux matrices qui commutent.
Matrices diagonales et triangulaires, stabilité de ces notions par somme et produit.
—Opérations élémentaires et calcul matriciel : définition des matrices de dilatations, des
matrices de transvections et des matrices de transpositions (toutes ces matrices sont
appelées des matrices élémentaires). Opérations élémentaires sur les lignes par multi-
plication à gauche par ces matrices. Inverses des matrices élémentaires. Pour la descrip-
tion des matrices élémentaires et les preuves, introduction des matrices carrées Ei,j=
(δ(k,l),(i,j))k,ldont un seul coefficient est non nul et effet du produit à gauche par Ei,j. Tra-
duction matricielle de l’algorithme du pivot. Conséquence : toute matrice s’écrit A=ER
avec Eproduit de matrices élémentaires et Réchelonnée réduite par lignes et de plus R
est unique. La matrice Eest l’inverse de la matrice produit des matrices élémentaires
“codant” les opérations élémentaires du pivot. Brève analogie des opérations élémen-
taires sur les colonnes qui s’obtiennent par multiplication à droite par des matrices élé-
mentaires. Notion de matrices équivalentes par opérations élémentaires sur les colonnes,
de matrice échelonnée et échelonnée réduite par colonnes.
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—Matrices carrées inversibles Définition de l’inversibilité (existence de A−1telle que
AA−1=A−1A=In, on verra lors du lien avec les applications linéaires que l’inversibilité
à gauche ou à droite suffit). “Groupe” linéaire GLn(K)des matrices carrées inversibles
(la notion générale de groupe reste hors-programme). Inverse d’un produit. Théorème
“du programme” : Pour une matrice carrée Ade taille n, sont équivalentes les propriétés
suivantes :
—Aest inversible ;
—Aest équivalente par lignes à In;
— Le système AX =0 admet comme unique solution 0 ;
— Pour toute matrice colonne B, le système AX =Badmet une unique solution ;
— Pour toute matrice colonne B, le système AX =Badmet au moins une solution.
Conséquence : toute matrice inversible est produit de matrices élémentaires. Calcul de
l’inverse soit sous forme de système, soit sous forme de matrices augmentées : l’algo-
rithme du pivot donne [A|In]∼
L[In|A−1]. Inversibilité et formule pour les matrices carrée
de taille 2.
—Transposition : transposée d’une matrice (ai j)(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] :(aji)(i,j)∈[[1,p]]×[[1,n]] (c’est
aussi (ai j)(j,i)∈[[1,p]]×[[1,n]]). La transposition est linéaire. Transposée d’un produit. Cas
des matrices carrées : si une matrice est inversible, alors sa transposée aussi et l’inverse
de la transposée est la transposée de l’inverse. Matrices symétriques et antisymétriques.
Toute matrice carrée s’écrit de manière unique comme somme d’une matrice symétrique
et d’une matrice antisymétrique.
Analyse asymptotique
On considère les suites et les fonctions à valeurs dans K(Rou C). Pour les relations de
comparaison, on suppose toujours que les suites ne s’annulent pas à partir d’un certain rang
et que les fonctions ne s’annulent pas dans un voisinage suffisament petit du point considéré,
hormis au point considéré. Les définitions des relations de comparaison s’expriment alors
simplement en considérant le quotient des deux objets qu’on compare.
—Relations de comparaison pour les suites : définition de la domination, la négligeabilité,
l’équivalence. Relations de comparaison entre les suites (lnβ(n)),(nα)et exp(γn). Dif-
férentes propriétés des relations de comparaison : transitivité et “transitivités mixtes”,
un∼vn⇐⇒ un−vn=o(vn), sommes et produits, éventuellement mixtes, de “petits
o” et “grands o”, passage à l’inverse d’un “petit o”, d’un “grand o”. Produit, quotient et
puissance d’équivalents. Les résultats correspondants pour la somme et la composition
d’équivalents sont faux. Préservation du signe à partir d’un certain rang et de la limite
par équivalence.
—Relations de comparaison pour les fonctions : les élèves ont été chargés de vérifier que
le paragraphe précédent se traduit directement en résultats pour les fonctions, en rem-
plaçant “suite” par “fonction”, “+∞” par “a” et “à partir d’un certain rang “ par “au voi-
sinage de a”. Exemples et croissances comparées des fonctions logarithme, puissances
et exponentielle en +∞et logarithme et puissances en 0+.
Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles. Les démonstrations exigibles sont sur
la page suivante.
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