Lycée Berthollet PCSI2 2016-17 Programme de colle de la semaine du 6 au 10 février 2017 Note : je remets dans ce programme les théorèmes de Rolle et des accroissements finis en raison de leur importance et de leur nouveauté. Dérivabilité (deuxième partie seulement) 3 I Théorème de Rolle et accroissements finis Théorème de Rolle Théorème 1 (Théorème de Rolle) Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] (a < b) et dérivable sur ]a, b[. Si f (a) = f (b), alors il existe un c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. II Égalité des accroissements finis Le théorème suivant est le résultat fondamental de ce chapitre : Théorème 2 (Égalité des accroissements finis) Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] (a < b) et dérivable sur ]a, b[. ∃ c ∈]a, b[, f (b) − f (a) = f 0 (c) b−a Égalité de moyenne : si f est continue sur [a, b], alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (c) = f. 1 Rb b−a a III Limite de la dérivée Une conséquence de l’égalité des accroissements finis est le classique Théorème 3 (Théorème de la limite de la dérivée) Soient I un intervalle et a ∈ I. Soit f une fonction continue sur I, dérivable sur I \ {a} et telle que lim f 0 (x) = ` ∈ R. x −→ a Alors lim Ta f (x) = ` et cela implique que x −→ a — Si ` ∈ R, alors f est dérivable en a, f 0 (a) = ` et f 0 est continue en a. — Si ` 6∈ R, alors f n’est pas dérivable en a et le graphe de f admet une tangente verticale en (a, f (a)). IV Inégalité des accroissements finis Théorème 4 (Inégalité des accroissements finis) Si f est une fonction dérivable telle que | f 0 | est majorée par k, alors la fonction f est k-lipschitzienne. V Application aux suites récurrentes Proposition 5 (Convergence) Soit f une fonction contractante sur un intervalle I (i.e. k-lipschitzienne avec k < 1) telle que f (I) ⊂ I et que f admette un point fixe λ ∈ I. Alors — Ce point fixe est unique. — Toute suite définie par uo ∈ I et (∀n ∈ N, un+1 = f (un )) et bien définie pour tout n ∈ N et converge vers λ. — ∀n ∈ N, |un − λ| ≤ kn |u0 − λ| Compléments, pour information On dit qu’un intervalle est fermé s’il contient toutes ses extrémités finies. On admet les résultats suivants : Théorème 6 (Complétude) Si f est contractante sur un intervalle fermé I et f (I) ⊂ I, alors il existe un point fixe de f dans I. Théorème 7 (Point fixe attractif) Soit f une fonction définie sur un intervalle I, possédant un point fixe λ intérieur à I, dérivable en λ et telle que | f 0 (λ)| < 1. Alors il existe α > 0 et k ∈ [0, 1[ tels que ]λ − α, λ + α[⊂ I, et ∀x ∈]λ − α, λ + α[, | f (x) − λ| ≤ k |x − λ| Si une suite est définie par uo ∈]λ − α, λ + α[ et (∀n ∈ N, un+1 = f (un )), alors elle est bien définie pour tout n ∈ N et vérifie ∀n ∈ N, |un − λ| ≤ kn |u0 − λ| donc en particulier lim un = λ. On dit que le point fixe λ est attractif. 4 Variations et extremas Théorème 8 Il est primordial ici que I soit un intervalle. On a alors les caractérisations sui- vantes pour f dérivable sur I : — f est constante ⇐⇒ ∀x ∈ I, f 0 (x) = 0 — f est croissante ⇐⇒ ∀x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0 — f est décroissante ⇐⇒ ∀x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0 Pour la stricte monotonie, ce ne sont plus des équivalences : — ∀x ∈ I, f 0 (x) > 0 =⇒ f est strictement croissante — ∀x ∈ I, f 0 (x) < 0 =⇒ f est strictement décroissante Définition 9 Pour a ∈ I, on dit que — f admet un maximum (resp. minimum) (global) en a ssi f (a) = max( f (I)) (resp. f (b) = min( f (I))). — f admet un maximum (resp. minimum) local en a ss’il existe ε > 0 tel que f |I∩]a−ε,a+ε[ admette un maximum (resp. minimum). — f admet un extremum en a ssi elle admet un maximum ou un minimum en a. 2 — Un extremum en a est strict ssi la valeur f (a) n’est atteinte qu’en a. Théorème 10 (CN d’extremum local) Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f admet un extremum local en un point intérieur a de I (i.e. a n’est pas une extrémité de I) et f est dérivable en a, alors f 0 (a) = 0. Définition 11 Un tel point annulant la dérivée de f est appelé point critique de f . Théorème 12 (CS d’extremum local) Soit f de classe C 2 sur un intervalle I (i.e. deux fois dérivable sur I et de dérivée seconde continue) et a ∈ I. Si a est un point critique de f et f 00 (a) < 0 (resp. f 00 (a) > 0) alors f admet un maximum (resp. minimum) local strict en a. 5 Fonctions de classe C k Définition 13 Pour k ∈ N, on dit que f est de classe C k sur I ssi elle est k fois dérivable sur I et sa dérivée k-ième est continue sur I. On dit que f est de classe C ∞ ssi elle est indéfiniment dérivable sur I. Théorème 14 (Opérations sur les fonctions de classe C k ) — Toute CL de fonctions f et g de classe C k sur I est de classe C k sur I et pour λ, µ ∈ R et p ∈ [[0, k]], on a (λ f + µg)(p) = λ f (p) + µg(p) — Un produit de deux fonctions f et g de classe C k sur I est de classe C k sur I et pour p ∈ [[0, k]], on a la formule de Leibniz : (p) ( f g) = p X i=0 ! p (p−i) (i) f g i — Si une fonction f de classe C k sur I ne s’annule pas sur I, alors 1 f est de classe C k sur I. Théorème 15 (Composition de fonctions de classe C k ) Si f est de classe C k sur I, g est de classe C k sur J et f (I) ⊂ J, alors g ◦ f est de classe C k sur I. Théorème 16 (Réciproque d’une fonction de classe C k ) Si f est de classe C k sur I pour un k ≥ 1 et f 0 ne s’annule pas sur I, alors f −1 existe et est de classe C k sur f (I). Théorème 17 (Prolongement de classe C k ) Si f est de classe C k sur I \ (a) et si f (p) admet une limite finie en a pour tout p ∈ [[0, k]], alors f admet un unique prolongement de classe C k sur I. 3 6 Fonctions complexes Soit f : I −→ C. La définition de la dérivabilité de f en a ∈ I est identique à celle du cas réel : f est dérivable ssi le taux d’accroissement admet une limite complexe en a. Proposition 18 f est dérivable en a ssi Re ( f ) et Im ( f ) le sont et dans ce cas f 0 (a) = (Re ( f ))0 (a) + i(Im ( f ))0 (a) Les théorèmes d’opérations sur les fonctions dérivables fonctionnent encore. En composant à droite par une fonction réelle dérivable, on conserve la dérivabilité. En composant à gauche par l’exponentielle complexe, on conserve la dérivabilité. Attention, il n’y a pas d’égalité des accroissements finis dans le cas complexe. Cependant l’inégalité demeure : Théorème 19 (Inégalité des accroissements finis) Si f est dérivable sur I et | f 0 | est majorée par k ∈ R+ , alors f est k-lipschitzienne. Calcul matriciel — Ensembles de matrices : Définition d’une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K, de l’ensemble Mn,p (K) qui n’est qu’une autre notation pour K[[1,n]]×[[1,p]] . — Combinaisons linéaires : CL de 2 matrices, puis de k matrices (k ≥ 1), ce qui définit en particulier la multiplication par un scalaire et la somme de k matrices. On a 0 · A = 0Mn,p (K) et 1 · A = A. L’addition ainsi définie sur Mn,p (K) est associative, commutative, admet la matrice nulle comme élément neutre et toute matrice admet une matrice opposée. On a de plus les deux propriétés de distributivité mixte. — Produit de matrices : Définition en commençant par le produit de A par une matrice colonne, puis en passant au cas général. “Bilinéarité du produit” : (λA)B = A(λB) = λ(AB), (A + B)C = AC + BC et A(B +C) = AB + AC. “Associativité” du produit matriciel. — Matrices carrées : Définition, notation Mn (K) (n ≥ 1) pour l’espace vectoriel des matrices carrées, matrice identité notée In . Mn (K) est stable par produit matriciel et admet In pour élément neutre. Le produit n’est pas commutatif et admet des “diviseurs de 0” dès que n ≥ 2. Formule du binôme et de Bernoulli pour deux matrices qui commutent. Matrices diagonales et triangulaires, stabilité de ces notions par somme et produit. — Opérations élémentaires et calcul matriciel : définition des matrices de dilatations, des matrices de transvections et des matrices de transpositions (toutes ces matrices sont appelées des matrices élémentaires). Opérations élémentaires sur les lignes par multiplication à gauche par ces matrices. Inverses des matrices élémentaires. Pour la description des matrices élémentaires et les preuves, introduction des matrices carrées Ei, j = (δ(k,l),(i, j) )k,l dont un seul coefficient est non nul et effet du produit à gauche par Ei, j . Traduction matricielle de l’algorithme du pivot. Conséquence : toute matrice s’écrit A = ER avec E produit de matrices élémentaires et R échelonnée réduite par lignes et de plus R est unique. La matrice E est l’inverse de la matrice produit des matrices élémentaires “codant” les opérations élémentaires du pivot. Brève analogie des opérations élémentaires sur les colonnes qui s’obtiennent par multiplication à droite par des matrices élémentaires. Notion de matrices équivalentes par opérations élémentaires sur les colonnes, de matrice échelonnée et échelonnée réduite par colonnes. 4 — Matrices carrées inversibles Définition de l’inversibilité (existence de A−1 telle que AA−1 = A−1 A = In , on verra lors du lien avec les applications linéaires que l’inversibilité à gauche ou à droite suffit). “Groupe” linéaire GLn (K) des matrices carrées inversibles (la notion générale de groupe reste hors-programme). Inverse d’un produit. Théorème “du programme” : Pour une matrice carrée A de taille n, sont équivalentes les propriétés suivantes : — A est inversible ; — A est équivalente par lignes à In ; — Le système AX = 0 admet comme unique solution 0 ; — Pour toute matrice colonne B, le système AX = B admet une unique solution ; — Pour toute matrice colonne B, le système AX = B admet au moins une solution. Conséquence : toute matrice inversible est produit de matrices élémentaires. Calcul de l’inverse soit sous forme de système, soit sous forme de matrices augmentées : l’algorithme du pivot donne [A|In ] ∼[In |A−1 ]. Inversibilité et formule pour les matrices carrée L de taille 2. — Transposition : transposée d’une matrice (ai j )(i, j)∈[[1,n]]×[[1,p]] : (a ji )(i, j)∈[[1,p]]×[[1,n]] (c’est aussi (ai j )( j,i)∈[[1,p]]×[[1,n]] ). La transposition est linéaire. Transposée d’un produit. Cas des matrices carrées : si une matrice est inversible, alors sa transposée aussi et l’inverse de la transposée est la transposée de l’inverse. Matrices symétriques et antisymétriques. Toute matrice carrée s’écrit de manière unique comme somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique. Analyse asymptotique On considère les suites et les fonctions à valeurs dans K (R ou C). Pour les relations de comparaison, on suppose toujours que les suites ne s’annulent pas à partir d’un certain rang et que les fonctions ne s’annulent pas dans un voisinage suffisament petit du point considéré, hormis au point considéré. Les définitions des relations de comparaison s’expriment alors simplement en considérant le quotient des deux objets qu’on compare. — Relations de comparaison pour les suites : définition de la domination, la négligeabilité, l’équivalence. Relations de comparaison entre les suites (lnβ (n)), (nα ) et exp(γn). Différentes propriétés des relations de comparaison : transitivité et “transitivités mixtes”, un ∼ vn ⇐⇒ un − vn = o(vn ), sommes et produits, éventuellement mixtes, de “petits o” et “grands o”, passage à l’inverse d’un “petit o”, d’un “grand o”. Produit, quotient et puissance d’équivalents. Les résultats correspondants pour la somme et la composition d’équivalents sont faux. Préservation du signe à partir d’un certain rang et de la limite par équivalence. — Relations de comparaison pour les fonctions : les élèves ont été chargés de vérifier que le paragraphe précédent se traduit directement en résultats pour les fonctions, en remplaçant “suite” par “fonction”, “+∞” par “a” et “à partir d’un certain rang “ par “au voisinage de a”. Exemples et croissances comparées des fonctions logarithme, puissances et exponentielle en +∞ et logarithme et puissances en 0+ . Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles. Les démonstrations exigibles sont sur la page suivante. 5 Démonstrations de cours exigibles — Pour une fonction dérivable sur I, caractérisation de la constance et la monotonie large en termes de dérivée ; — Associativité du produit matriciel ; — Toute matrice carrée s’écrit de manière unique comme somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique ; — Pour α, β strictement positifs, xα = o(eβx ). x−→+∞ 6