Derni`ere mise `a jour : 29 novembre 2015 `a 12:37

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Table des mati`eres
1 La divisibilit´e 5
1.1 Historique............................................... 5
1.2 D´efinition des nombres naturels et entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Utilisationdel’induction....................................... 10
1.4 Leth´eor`emedubinˆome ....................................... 13
1.5 Ladivisibilit´e............................................. 15
1.6 Ladivisioneuclidienne........................................ 15
1.7 Leplusgrandcommundiviseur................................... 17
1.8 Lepluspetitcommunmultiple ................................... 21
1.9 Lesnombrespremiers ........................................ 23
1.10 La crible d’´ Eratosth`ene ....................................... 25
1.11Exercices ............................................... 26
2 Les modulos 29
2.1 Lesnombresmodulos ........................................ 29
2.2 Les th´eor`emes de Fermat, Euler et Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 L’´equation ax =benmodulo .................................... 37
2.4 Leth´eor`emeduresteChinois .................................... 40
2.5 Les polynˆomes irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 LacryptographieRSA........................................ 44
2.7 Exercices ............................................... 49
3 Les fonctions arithm´etiques 51
3.1 Introduction aux fonctions arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Les fonctions multiplicatives et le produit de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 La fonction τ(n) ........................................... 56
3.4 La fonction σ(n) ........................................... 57
3.5 Les fonctions ω(n) et µ(n)...................................... 60
3.6 La fonction φ(n) ........................................... 61
3.7 La fonction π(n) ........................................... 64
3.8 Lesnombresparfaits......................................... 65
3.9 Exercices ............................................... 69
4 Les ´equations diophantiennes 71
4.1 Introduction.............................................. 71
4.2 Les´equationslin´eaires ........................................ 72
4.3 L’´equationpythagoricienne ..................................... 74
4.4 La m´ethode de descente infinie de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 Legrandth´eor`emedeFermat.................................... 78
4.6 Le th´eor`eme des deux carr´es de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3

4.7 Leprobl`emedeWaring ....................................... 84
4.8 Exercices ............................................... 86
5 La r´eciprocit´e quadratique 87
5.1 Lesr´esidusquadratiques....................................... 87
5.2 LesymboledeLegendre ....................................... 88
5.3 Lecrit`ered’Euler........................................... 89
5.4 Lesloiscompl´ementaires....................................... 91
5.5 La loi de r´eciprocit´e quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.6 Exercices ............................................... 99
Appendice 1 : Petit th´eor`eme de Fermat version alg´ebrique 101
Appendice 2 : Petit th´eor`eme de Fermat version combinatoire 105
Appendice 3 : Diff´erence finie 107
Bibliographie 109
Index 111
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Chapitre 1
La divisibilit´e
1.1 Historique
L’origine des math´ematiques est tr`es ancienne. Elle pr´ec`ede de plusieurs mill´enaires l’invention de l’´ecriture.
En effet, l’un des plus anciens artefacts connus attestant de l’utilisation des math´ematiques est le baton
d’Ishango, retrouv´e dans ce qui est aujourd’hui l’est du Congo, et qui est dat´e d’environ 35000 ans. Il s’agit
d’un simple baton muni de trois rang´es de traits, et qui semble avoir ´et´e utilis´e pour compter.
Originalement, les math´ematiques ´etaient principalement concentr´es autour de deux disciplines : L’arith-
m´etique et la g´eom´etrie. L’arithm´etique ´etant l’´etude des nombres, et la g´eom´etrie l’´etude des figures. Au
d´ebut, l’arithm´etique ´etait un simple outil comptable pour tenir un inventaire, faire un recensement, etc.
L’´evolution de l’arithm´etique est ce qui deviendra plus tard la th´eorie des nombres. Il s’agit de l’´etude des
propri´et´es des nombres naturels, ou plus g´en´eralement des entiers.
On retrouve des traces de th´eorie des nombres d`es l’´epoque babylonienne. En effet, des tablettes d’argile
retrouv´e nous montrent une liste de solutions enti`eres `a l’´equation Pythagoricienne (x2+y2=z2). ` A noter
que le th´eor`eme de Pythagore ´etait connu de l’´epoque des babyloniens, et ce bien avant la naissance de
Pythagore.
`
A l’´epoque de Pythagore (environ 580 B.C. `a 495 B.C.), l’arithm´etique se transforme et devient une
science des nombres proprement parl´e avec un cˆot´e mystique important. On lui attribue souvent la citation
suivante :
Tout est nombres 
Pythagore
La vie de Pythagore reste encore aujourd’hui tr`es peu connue. La plupart de ce qui est connu sur Pythagore
fait plutˆot r´ef´erence `a son ´ecole, et les textes qui lui sont attribu´es sont en fait apocryphes. Les pythagoriciens
(5e si`ecle avant J.-C.) associaient `a chaque nombre une signification mystique. Le nombre 1 ´etait divin, 2
repr´esentait le f´eminin, 3 le masculin, 5 le mariage (2+3=5), puis le nombre 6 ´etait associ´e `a la perfection car il
est la somme de ses diviseur (1+2+3=6). Un nombre ayant cette propri´et´e fut ensuite appell´e nombre parfait
dans les livres d’Euclide. C’est probablement ce cˆot´e mystique des nombres qui amena les pythagoriciens `a
les ´etudier plus un d´etail.
Vient ensuite Euclide (Environ 300 B.C.) qui fera une axiomatisation compl`ete des math´ematiques de son
´epoque. Les d´emonstrations math´ematiques deviennent de plus en plus importantes. Il ´ecrit un ensemble de
13 volumes (Les ´el´ements d’Euclide) qui contient encore aujourd’hui l’essentiel de la g´eom´etrie ´el´ementaire,
mais aussi de l’arithm´etique. Ainsi, on retrouvera dans le cours MATH-2501 plusieurs r´esultats portant
son nom, par exemple le lemme d’Euclide, l’algorithme d’Euclide qui sert `a calculer le PGCD, ou bien un
th´eor`eme sur l’infinitude des nombres premiers.
On peut ensuite noter le math´ematicien Diophante d’Alexandrie (3e si`ecle) qui s’int´eressa entre autres
aux solutions enti`eres de plusieurs ´equations alg´ebriques. Il publia lui aussi une s´erie de 13 volumes (Les
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