Synthèse polynômes d`interpolation, équations linéaires

Synthèse polynômes d’interpolation, équations linéaires
3 janvier 2014
1 Théorème noyau-image
1.1 Théorème
Soient Eet Fdes Kespaces vectoriels et u∈L(E,F). Alors uréalise un isomorphisme
de tout supplémentaire de ker(u) sur Im(u).ä
1.2 Corollaires
1. Deux supplémentaires d’un sous-espace vectoriel sont isomorphes ä
(En effet , si Het H0sont des supplémentaires d’un sous-espace vectoriel Gde E,
alors la projection psur H0de direction Gréalise un isomorphisme de H(qui est
supplémentaire de ker(p)=G) sur Im(p)=H0).
2. Théorème du rang Si Eest de dimension finie, u∈L(E,F), alors ker(u) et Im(u)
sont de dimension finie, et :
dim(E)=dim(Im(u)) +dim(ker(u))
.
2 Interpolation de Lagrange
2.1 Théorème
Soit Pun polynôme non constant à coefficients dans K, de degré n. Alors :
K[X]=Kn−1[X]⊕K[X]P
.ä(RQ :Ceci est simplement la traduction de la division euclidienne d’un polynôme
quelconque par P)
2.2 Théorème d’interpolation en nvaleurs
Soit n∈N∗et néléments 2 à 2 distincts a1,· · · ,ande KL’application ude K[X] dans
Kn:P7→ (P(a1),· · · ,P(an) est linéaire. Son noyau est K[X]Qoù Q=
n
Y
k=1
(X−ak).
L’application induite par uréalise un isomorphisme de Kn−1[X] sur l’image de u,
qui est Kn.ä
2.3 Polynôme d’interpolation
Théorème :Pour toute suite (a1,· · · ,an) d’éléments deux à deux distincts de K, et
toute suite (b1,· · · ,bn) d’éléments de K, il existe un unique polynôme P∈Kn−1[X]
tel que :
∀k∈[|1,|]P(ak)=bk
. De plus
P=
n
X
i=1
biQi
, où :
∀i∈[|1,n|]Qi=Qj∈[|1,n|]j6=i(X−aj)
Qj∈[|1,n|]j6=i(ai−aj)
Pest appelé le polynôme d’interpolation de Lagrange aux points (ai,bi).
Les Qisont aussi appelés polynômes d’interpolation de Lagrange. On a la propriété
importante :
∀(i,k)∈[|1,n|]2Qi(xk)=δi,k
où δest le symbole de Kronecker. ä
1

3 Équation linéaire (révision 1° année)
3.1 Définition
On appelle équation linéaire toute équation de la forme u(x)=b, d’inconnue
x∈E,Eet Fétant deux Kespaces vectoriels,u∈L(E,F) et b∈Ffixé.
L’équation est dite homogène lorsque b=0F
Dans le cas général, l’équation (H)u(x)=0Fest appelée équation homogène as-
sociée à l’équation u(x)=b
3.2 Exemples
(a) Le système d’équations :
a1,1x1+ · · · + a1,pxp=b1
.
.
.
ai,1x1+ · · · + ai,pxp=bi
.
.
.
an,1x1+ · · · + an,pxp=bn
d’inconnues scalaires x1,· · · ,xp, les ai,jet biétant des scalaires fixés. Ce sys-
tème s’écrit u(x)=boù
u∈L(Kp,Kn):(x1,· · · ,xp)7→ (y1,· · · ,yn) avec yi=
p
X
j=1
ai,jxj
x=(x1,· · · ,xp)∈Kp(inconnue), et b=(b1,· · · ,bn)∈Kn
Le système homogène associé est :
a1,1x1+ · · · + a1,pxp=0
.
.
.
ai,1x1+ · · · + ai,pxp=0
.
.
.
an,1x1+ · · · + an,pxp=0
x1=x2= ·· · = xp=0 est toujours solution de ce système.
(b) L’équation matricielle AX =B, avec A∈Mn,p(K), B∈Mn,1(K) d’inconnue :
X∈Mp,1(K)
C’est la traduction matricielle du système précédent. L’équation homogène
associée est :AX =0n,1
(c) L’équation différentielle linéaire du premier ordre a(x)y0+b(x)y=c(x), où
a,b,csont des fonctions réelles continues de I⊂Rdans Ket l’inconnue y
est une fonction dérivable de Idans K. Ici, E=D(I,K) (ensemble des appli-
cations dérivables de Idans K,F=A(I,K) et u∈L(E,F) est l’application :
y7→ u(y) où u(y) : ½I→K
x7→ a(x)y0(x)+b(x)y(x)
L’équation homogène associée est :a(x)y0(x)+b(x)y(x)=0
(d) L’équation différentielle linéaire du second ordre a(x)y"+b(x)y0+c(x)y=
d(x)où a,b,c,dsont des fonctions réelles continues de I⊂Rdans Ket
l’inconnue yest une fonction 2 fois dérivable dérivable de Idans K. Ici,
E=D(2)(I,K) (ensemble des applications deux fois dérivables de Idans
K,F=A(I,K) et u∈L(E,F) est l’application : y7→ u(y) où u(y) :
½I→K
x7→ a(x)y"(x)+b(x)y0(x)+c(x)y(x)
L’équation homogène associée est :a(x)y"(x)+b(x)y0(x)+c(x)y(x)=0
3.3 Propriétés de l’équation linéaire
3.3.1 Équation homogène
(a) L’ensemble des solutions de l’équation homogène (H)u(x)=0Fest le noyau
de u.
(b) C’est un sous-espace vectoriel de E. En particulier, il contient 0E, est stable par
addition et loi externe.
(c) L’ensemble des solutions de Hest réduit à {0E} si et seulement si uest injec-
tive.
(d) Lorsque Eest de dimension finie, il est de dimension dimE−rg(u).
3.3.2 Équation linéaire générale u(x)=b
(a) L’équation possède une solution si et seulement si b∈Im(u) (on dit alors que
le système est compatible).
(b) Si le système est compatible, l’ensemble des solutions est
b0+ker(u)={b0+x,x∈ker(u)}
(Autrement dit, la solution générale s’obtient en ajoutant à une solution parti-
culière l’ensemble des solutions de l’équation homogène)
L’ensemble des solutions de l’équation générale est donc soit vide, soit un
sous-espace affine de E
(c) Principe de superposition des solutions Supposons que xi∈Esoit une
solution de l’équation linéaire u(x)=bi, avec i∈ |1, q|] et bi∈F, et que
λ1,· · · ,λqsoient des scalaires. Alors,
q
X
i=1
λixiest solution de l’équation :u(x)=
2

Pq
i=1λibi.ä
(Cela provient simplement de la linéarité de u).
(d) Remarque : en dehors des principes généraux, chaque type d’équation linéaire
a ses méthodes spécifiques de résolution. Pour les systèmes d’équations li-
néaires, on peut utiliser la méthode du pivot, ou les déterminants. Pour les
équations différentielles linéaires, on peut, après avoir trouvé une solution de
l’équation homogène, utiliser la méthode de la variation de la constante, ainsi
que les raccordements de solutions.
3