Synthèse polynômes d`interpolation, équations linéaires

Synthèse polynômes d’interpolation, équations linéaires
3 janvier 2014
1 Théorème noyau-image
2.2 Théorème d’interpolation en n valeurs
1.1 Théorème
Soit n ∈ N∗ et n éléments 2 à 2 distincts a 1 , · · · , a n de K L’application u de K[X ] dans
n
Y
Kn : P 7→ (P (a 1 ), · · · , P (a n ) est linéaire. Son noyau est K[X ]Q où Q =
(X − a k ).
Soient E et F des K espaces vectoriels et u ∈ L (E , F ). Alors u réalise un isomorphisme
de tout supplémentaire de ker(u) sur Im(u).ä
k=1
L’application induite par u réalise un isomorphisme de K n−1 [X ] sur l’image de u,
qui est Kn .ä
1.2 Corollaires
1. Deux supplémentaires d’un sous-espace vectoriel sont isomorphes ä
(En effet , si H et H 0 sont des supplémentaires d’un sous-espace vectoriel G de E ,
alors la projection p sur H 0 de direction G réalise un isomorphisme de H (qui est
supplémentaire de ker(p) = G) sur Im(p) = H 0 ).
2.3 Polynôme d’interpolation
Théorème :Pour toute suite (a 1 , · · · , a n ) d’éléments deux à deux distincts de K, et
toute suite (b 1 , · · · , b n ) d’éléments de K, il existe un unique polynôme P ∈ Kn−1 [X ]
tel que :
2. Théorème du rang Si E est de dimension finie, u ∈ L (E , F ), alors ker(u) et Im(u)
sont de dimension finie, et :
∀k ∈ [|1, |] P (a k ) = b k
dim(E ) = dim(Im(u)) + dim(ker(u))
. De plus
.
P=
n
X
bi Q i
i =1
, où :
2 Interpolation de Lagrange
Q
∀i ∈ [|1, n|] Q i = Q
2.1 Théorème
j ∈[|1,n|] j 6=i (X
− aj )
j ∈[|1,n|] j 6=i (a i
− aj )
P est appelé le polynôme d’interpolation de Lagrange aux points (a i , b i ).
Les Q i sont aussi appelés polynômes d’interpolation de Lagrange. On a la propriété
importante :
Soit P un polynôme non constant à coefficients dans K, de degré n. Alors :
K[X ] = Kn−1 [X ] ⊕ K[X ]P
∀(i , k) ∈ [|1, n|]2Q i (x k ) = δi ,k
.ä (RQ :Ceci est simplement la traduction de la division euclidienne d’un polynôme
quelconque par P )
où δ est le symbole de Kronecker. ä
1
I → K
x 7→ a(x)y 0 (x) + b(x)y(x)
L’équation homogène associée est :a(x)y 0 (x) + b(x)y(x) = 0
½
3 Équation linéaire (révision 1° année)
y 7→ u(y) où u(y) :
3.1 Définition
(d) L’équation différentielle linéaire du second ordre a(x)y" + b(x)y 0 + c(x)y =
d (x)où a, b, c, d sont des fonctions réelles continues de I ⊂ R dans K et
l’inconnue y est une fonction 2 fois dérivable dérivable de I dans K. Ici,
E = D (2) (I , K) (ensemble des applications deux fois dérivables de I dans
K, F = A (I , K) et u ∈ L (E , F ) est l’application : y 7→ u(y) où u(y) :
½
I → K
x 7→ a(x)y"(x) + b(x)y 0 (x) + c(x)y(x)
L’équation homogène associée est :a(x)y"(x) + b(x)y 0 (x) + c(x)y(x) = 0
On appelle équation linéaire toute équation de la forme u(x) = b, d’inconnue
x ∈ E , E et F étant deux K espaces vectoriels,u ∈ L (E , F ) et b ∈ F fixé.
L’équation est dite homogène lorsque b = 0F
Dans le cas général, l’équation (H ) u(x) = 0F est appelée équation homogène associée à l’équation u(x) = b
3.2 Exemples









a 1,1 x 1 + · · · + a 1,p x p = b 1
..
.
a i ,1 x 1 + · · · + a i ,p x p
= bi
(a) Le système d’équations :


.


..




a n,1 x 1 + · · · + a n,p x p = b n
d’inconnues scalaires x 1 , · · · , x p , les a i , j et b i étant des scalaires fixés. Ce système s’écrit u(x) = b où
u ∈ L (Kp , Kn ) : (x 1 , · · · , x p ) 7→ (y 1 , · · · , y n ) avec y i =
p
X
3.3 Propriétés de l’équation linéaire
3.3.1 Équation homogène
(a) L’ensemble des solutions de l’équation homogène (H )u(x) = 0F est le noyau
de u.
(b) C’est un sous-espace vectoriel de E . En particulier, il contient 0E , est stable par
addition et loi externe.
(c) L’ensemble des solutions de H est réduit à {0E } si et seulement si u est injective.
ai , j x j
j =1
p
(d) Lorsque E est de dimension finie, il est de dimension dim E − rg(u).
n
x = (x 1 , · · · , x p ) ∈ K (inconnue), et b = (b 1 , · · · , b n ) ∈ K

 a 1,1 x 1 + · · · + a 1,p x p



..



 .
a i ,1 x 1 + · · · + a i ,p x p
Le système homogène associé est :


.

 .

.



a n,1 x 1 + · · · + a n,p x p
x 1 = x 2 = · · · = x p = 0 est toujours solution de ce système.
=0
3.3.2 Équation linéaire générale u(x) = b
(a) L’équation possède une solution si et seulement si b ∈ Im(u) (on dit alors que
le système est compatible).
=0
(b) Si le système est compatible, l’ensemble des solutions est
=0
b 0 + ker(u) = {b 0 + x, x ∈ ker(u)}
(b) L’équation matricielle AX = B , avec A ∈ Mn,p (K), B ∈ Mn,1 (K) d’inconnue :
X ∈ Mp,1 (K)
C’est la traduction matricielle du système précédent. L’équation homogène
associée est :AX = 0n,1
(Autrement dit, la solution générale s’obtient en ajoutant à une solution particulière l’ensemble des solutions de l’équation homogène)
L’ensemble des solutions de l’équation générale est donc soit vide, soit un
sous-espace affine de E
(c) L’équation différentielle linéaire du premier ordre a(x)y 0 + b(x)y = c(x), où
a, b, c sont des fonctions réelles continues de I ⊂ R dans K et l’inconnue y
est une fonction dérivable de I dans K. Ici, E = D(I , K) (ensemble des applications dérivables de I dans K, F = A (I , K) et u ∈ L (E , F ) est l’application :
(c) Principe de superposition des solutions Supposons que x i ∈ E soit une
solution de l’équation linéaire u(x) = b i , avec i ∈ |1, q|] et b i ∈ F , et que
q
X
λ1 , · · · , λq soient des scalaires. Alors,
λi x i est solution de l’équation :u(x) =
i =1
2
Pq
λ b .ä
i =1 i i
(Cela provient simplement de la linéarité de u).
(d) Remarque : en dehors des principes généraux, chaque type d’équation linéaire
a ses méthodes spécifiques de résolution. Pour les systèmes d’équations linéaires, on peut utiliser la méthode du pivot, ou les déterminants. Pour les
équations différentielles linéaires, on peut, après avoir trouvé une solution de
l’équation homogène, utiliser la méthode de la variation de la constante, ainsi
que les raccordements de solutions.
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