Développement: Théorème d`Erdös-Ginzburg-Ziv

Développement: Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv
Adrien Fontaine
1er juillet 2014
Ce développement consiste en la preuve du théorème d’Erdös-Ginzbur-Ziv. On commence par
rappeler le théorème de Chevalley-Warning, qui est un outil essentiel de la démonstration. On
peut en trouver une preuve au début du Cours d’arithmétique de Jean-Pierre Serre.
Théorème 1 (Chevalley-Warning)
Soit qune puissance d’un nombre premier p(q=pd). Soient f1, ..., frFq[X1, ..., Xn], vérifiant
la condition r
X
i=1
deg(fi)< n
Alors, en notant V={xFn
q/f1(x) = ... =fq(x)=0}, l’ensemble des zéros communs aux
polynômes f1, ..., fr, on a :
|V| ≡ 0[p]
Venons en maintenant au théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv.
Théorème 2 (Erdös-Ginzburg-Ziv)
Soit nN, et a1, ..., a2n1des entiers. Alors, il existe des indices i1, ..., in∈ {1, ..., 2n1}tels
que
ai1+...ain0[n]
Démonstration : Notons EGZ l’ensemble des entiers nNvérifiant le théorème d’Erdös-Ginzburg-
Ziv. Plus précisément,
EGZ ={nN,a1, ..., a2n1N,il exite des indices i1, ..., in∈ {1, ..., 2n1}/ai1+...+ain0[n]}
Bien évidemment, le but est de montrer que EGZ =N.
Pour cela, on va procéder en deux étapes. On va d’abord montrer que EGZ contient tous les
nombres premiers, puis que EGZ est stable par multiplication, ce qui permettra de conclure.
1. EGZ contient tous les nombres premiers :
Soit ppremier et a1, ..., a2p1des entiers. On travaille dans Fpet on considère les deux
polynômes
f1=
2p1
X
i=1
aiXp1
iet f2=
2p1
X
i=1
Xp1
i
Alors, comme deg(f1)+deg(f2)2p2<2p1(le nombre de variables), on peut appliquer
le théorème de Chevalley-Warning. En conservant les notations du théorème, on a donc,
p| |V|
1
2
Or, (0, ..., 0) Vdonc |V| ≥ 2.
Donc, il existe (x1, ...x2p1)Vnon nul, tel que
f1(x1, ..., x2p1) = f2(x1, ..., x2p1)=0
Or, xp1= 1 dans Fp, si et seulement si, xest non nul dans Fp. Notons alors
W={i∈ {1, ..., 2p1}/xi6= 0}
On a alors
f2(x1, ..., x2p1) = X
iW
xp1
i=|V|= 0
Or, 1≤ |W| ≤ 2p1. Donc, |W|=p.
Donc, en notant W={i1, ..., ip}, on a
f1(x1, ..., x2p1) =
n
X
k=1
aikxp1
ik=
p
X
k=1
aik= 0
c’est à dire
ai1+... +aip0[p]
2. EGZ est stable par multiplication
Soient m, n EGZ. On veut montrer que nm EGZ.
Soient donc a1, ..., a2nm1des entiers.
Prenons en 2n1. Comme nEGZ, il existe un ensemble I1d’indices, de cardinal n, tel
que I1⊂ {1, ..., 2n1}et X
iI1
ai0[n]
Considérons ensuite les entiers (ai)avec i∈ {1, ..., 2nm 1} \ I1. Prenons en 2n1. Il existe
alors I2tel que I2⊂ {1, ..., 2nm 1} \ I1,|I2|=net
X
iI2
ai0[n]
Terminons le procédé après avoir construit l’ensemble d’indices I2m1, ce qui est possible
car au bout de 2m2étapes, il reste
2nm 1(2m2).n = 2n1entiers
Pour j∈ {1, ..., 2m1}, soit cjdéfini par
X
iIj
ai=ncj
Alors, comme mEGZ, on peut finalement extraire un sous-ensemble d’indices Jtel que
X
jJ
cj0[m]
Alors, X
jJ
X
iIj
ai=nX
jJ
cj
|{z }
divisible par m
0[nm]
Donc, ces nm derniers entiers répondent au problème posé.
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