Développement: Théorème d`Erdös-Ginzburg-Ziv

Développement: Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv
Adrien Fontaine
1er juillet 2014
Ce développement consiste en la preuve du théorème d’Erdös-Ginzbur-Ziv. On commence par
rappeler le théorème de Chevalley-Warning, qui est un outil essentiel de la démonstration. On
peut en trouver une preuve au début du Cours d’arithmétique de Jean-Pierre Serre.
Théorème 1 (Chevalley-Warning)
Soit qune puissance d’un nombre premier p(q=pd). Soient f1, ..., fr∈Fq[X1, ..., Xn], vérifiant
la condition r
X
i=1
deg(fi)< n
Alors, en notant V={x∈Fn
q/f1(x) = ... =fq(x)=0}, l’ensemble des zéros communs aux
polynômes f1, ..., fr, on a :
|V| ≡ 0[p]
Venons en maintenant au théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv.
Théorème 2 (Erdös-Ginzburg-Ziv)
Soit n∈N∗, et a1, ..., a2n−1des entiers. Alors, il existe des indices i1, ..., in∈ {1, ..., 2n−1}tels
que
ai1+...ain≡0[n]
Démonstration : Notons EGZ l’ensemble des entiers n∈N∗vérifiant le théorème d’Erdös-Ginzburg-
Ziv. Plus précisément,
EGZ ={n∈N∗,∀a1, ..., a2n−1∈N,il exite des indices i1, ..., in∈ {1, ..., 2n−1}/ai1+...+ain≡0[n]}
Bien évidemment, le but est de montrer que EGZ =N∗.
Pour cela, on va procéder en deux étapes. On va d’abord montrer que EGZ contient tous les
nombres premiers, puis que EGZ est stable par multiplication, ce qui permettra de conclure.
1. EGZ contient tous les nombres premiers :
Soit ppremier et a1, ..., a2p−1des entiers. On travaille dans Fpet on considère les deux
polynômes
f1=
2p−1
X
i=1
aiXp−1
iet f2=
2p−1
X
i=1
Xp−1
i
Alors, comme deg(f1)+deg(f2)≤2p−2<2p−1(le nombre de variables), on peut appliquer
le théorème de Chevalley-Warning. En conservant les notations du théorème, on a donc,
p| |V|
1

2
Or, (0, ..., 0) ∈Vdonc |V| ≥ 2.
Donc, il existe (x1, ...x2p−1)∈Vnon nul, tel que
f1(x1, ..., x2p−1) = f2(x1, ..., x2p−1)=0
Or, xp−1= 1 dans Fp, si et seulement si, xest non nul dans Fp. Notons alors
W={i∈ {1, ..., 2p−1}/xi6= 0}
On a alors
f2(x1, ..., x2p−1) = X
i∈W
xp−1
i=|V|= 0
Or, 1≤ |W| ≤ 2p−1. Donc, |W|=p.
Donc, en notant W={i1, ..., ip}, on a
f1(x1, ..., x2p−1) =
n
X
k=1
aikxp−1
ik=
p
X
k=1
aik= 0
c’est à dire
ai1+... +aip≡0[p]
2. EGZ est stable par multiplication
Soient m, n ∈EGZ. On veut montrer que nm ∈EGZ.
Soient donc a1, ..., a2nm−1des entiers.
Prenons en 2n−1. Comme n∈EGZ, il existe un ensemble I1d’indices, de cardinal n, tel
que I1⊂ {1, ..., 2n−1}et X
i∈I1
ai≡0[n]
Considérons ensuite les entiers (ai)avec i∈ {1, ..., 2nm −1} \ I1. Prenons en 2n−1. Il existe
alors I2tel que I2⊂ {1, ..., 2nm −1} \ I1,|I2|=net
X
i∈I2
ai≡0[n]
Terminons le procédé après avoir construit l’ensemble d’indices I2m−1, ce qui est possible
car au bout de 2m−2étapes, il reste
2nm −1−(2m−2).n = 2n−1entiers
Pour j∈ {1, ..., 2m−1}, soit cjdéfini par
X
i∈Ij
ai=ncj
Alors, comme m∈EGZ, on peut finalement extraire un sous-ensemble d’indices Jtel que
X
j∈J
cj≡0[m]
Alors, X
j∈J
X
i∈Ij
ai=nX
j∈J
cj
|{z }
divisible par m
≡0[nm]
Donc, ces nm derniers entiers répondent au problème posé.