2
Or, (0, ..., 0) ∈Vdonc |V| ≥ 2.
Donc, il existe (x1, ...x2p−1)∈Vnon nul, tel que
f1(x1, ..., x2p−1) = f2(x1, ..., x2p−1)=0
Or, xp−1= 1 dans Fp, si et seulement si, xest non nul dans Fp. Notons alors
W={i∈ {1, ..., 2p−1}/xi6= 0}
On a alors
f2(x1, ..., x2p−1) = X
i∈W
xp−1
i=|V|= 0
Or, 1≤ |W| ≤ 2p−1. Donc, |W|=p.
Donc, en notant W={i1, ..., ip}, on a
f1(x1, ..., x2p−1) =
n
X
k=1
aikxp−1
ik=
p
X
k=1
aik= 0
c’est à dire
ai1+... +aip≡0[p]
2. EGZ est stable par multiplication
Soient m, n ∈EGZ. On veut montrer que nm ∈EGZ.
Soient donc a1, ..., a2nm−1des entiers.
Prenons en 2n−1. Comme n∈EGZ, il existe un ensemble I1d’indices, de cardinal n, tel
que I1⊂ {1, ..., 2n−1}et X
i∈I1
ai≡0[n]
Considérons ensuite les entiers (ai)avec i∈ {1, ..., 2nm −1} \ I1. Prenons en 2n−1. Il existe
alors I2tel que I2⊂ {1, ..., 2nm −1} \ I1,|I2|=net
X
i∈I2
ai≡0[n]
Terminons le procédé après avoir construit l’ensemble d’indices I2m−1, ce qui est possible
car au bout de 2m−2étapes, il reste
2nm −1−(2m−2).n = 2n−1entiers
Pour j∈ {1, ..., 2m−1}, soit cjdéfini par
X
i∈Ij
ai=ncj
Alors, comme m∈EGZ, on peut finalement extraire un sous-ensemble d’indices Jtel que
X
j∈J
cj≡0[m]
Alors, X
j∈J
X
i∈Ij
ai=nX
j∈J
cj
|{z }
divisible par m
≡0[nm]
Donc, ces nm derniers entiers répondent au problème posé.