Théorèmes de Chevalley-Warning et Erdös-Ginzburg

Théorèmes de Chevalley-Warning et Erdös-Ginzburg-Ziv
Références : Zavidovique, Un max de maths, p 32
Serre, Cours d’arithmétique, p 12
Bourgade, Olympiades internationales de mathématiques - 1976-2005, p 87
Soient kun corps fini à q“pnéléments et mun entier naturel non nul. On considère Aun ensemble
fini et pfaqaPAune famille de polynômes de krX1, . . . , Xmstelle que
ÿ
aPA
deg faăm.
Soit Vl’ensemble des racines communes aux polynômes fa, alors #V”0 mod ppq.
Théorème.
Pour commencer, on a besoin de démontrer le lemme suivant sur les sommes de puissances dans les corps
finis.
Soit uun entier naturel. Alors :
ÿ
xPk
xu“#´1si uě1et q´1divise u
0sinon .
Lemme.
Démonstration. Notons SpXuqla somme mise en jeu. Si uest nul, le résultat est immédiat tandis que si uest
divisible par q´1, alors
SpXuq “ 0u`ÿ
xPk˚
1“q´1“ ´1.
Enfin, si uě1et n’est pas divisible par q´1, sachant que k˚est cyclique, il existe yPk˚tel que yusoit
différent de 1. On a alors :
SpXuq “ ÿ
xPk˚
xu“ÿ
xPk˚
pyxqu“yuSpXuq.
Comme yuest distinct de 1, il s’ensuit que SpXuq “ 0.
Démonstration. Considérons le polynôme
PpX1, . . . , Xmq “ ź
aPA
p1´fq´1
apX1, . . . , Xmqq.
Remarquons dans un premier temps que Pest la fonction caractéristique de V:
‚Si xPkmvérifient fapxq “ 0pour tout aPA, alors Ppxq “ 1.
‚Si xPkmn’est pas un élément de V, il existe aPAtel que fapxqne vaille pas 0, alors par théorème de
Lagrange, fapxqq´1“1et donc Ppxq “ 0.
On en déduit alors que P”1V, donc
SpPq:“ÿ
xPkm
Ppxq ” #Vmod ppq.
Par hypothèse sur les degrés des polynômes fa, il vient que deg Pămpq´1q. On peut donc écrire
P“ÿ
|u|ămpq´1q
αuXu,
Adrien LAURENT 1 ENS Rennes - Université de Rennes 1

où les αusont des éléments de k. A partir de là :
SpPq “ ÿ
xPFm
qÿ
|u|ămpq´1q
αuxu“ÿ
|u|ămpq´1q
αuSpXuq,
avec
@uPFm
q:SpXuq “ ÿ
px1,...,xmqPFm
q
xu1
1. . . xum
mҬ
˝ÿ
x1PFq
xu1
1˛
‚. . . ¨ ˝ÿ
xmPFq
xum
m˛
‚“
m
ź
i“1
SpXuiq.
Or, si |u| ă mpq´1q, il existe iPJ1, mKtel que uiăq´1donc d’après le lemme précédent, SpXuiq “ 0ce qui
entraîne que SpPq “ 0et le résultat s’ensuit.
A présent, on utilise le théorème de Chevalley-Warning pour démontrer le théorème d’arithmétique d’Erdös-
Gizburg-Ziv.
Soit nun entier naturel non nul. Alors parmi 2n´1entiers a1, . . . , a2n´1, on peut en trouver ndont
la somme est divisible par n.
Théorème (Théorème d’Erdös-Gizburg-Ziv).
Démonstration. Notons EGZ l’ensemble des entiers naturels vérifiant la propriété énoncée dans le théorème
précédent. L’objectif est de montrer que EGZ “N.
Soit pun nombre premier. Montrons que pest élément de EGZ. Soient pour cela a1, . . . , a2p´1des entiers.
Considérons les deux polynômes de FprXssuivants :
P1pX1, . . . , X2p´1q “
2p´1
ÿ
k“1
Xp´1
k,
P2pX1, . . . , X2p´1q “
2p´1
ÿ
k“1
aiXp´1
k.
Ces deux polynômes vérifient deg P1`deg P2“2p´2ă2p´1ont p0,...,0qpour racine commune donc
d’après le théorème de Chevalley-Warning, ils possèdent une racine commune non nulle px1, . . . , x2p´1q. D’après
le théorème de Lagrange, pour tout xde Fp,xp´1“1si est seulement si xest non nul donc en notant W
l’ensemble des indices ipour lesquels xiest non nul, il vient
P1px1, . . . , x2p´1q “ ÿ
iPW
xp´1
i“ |W| “ 0.
Ainsi, |W|est un entier divisible par pvérifiant 1ď |W| ď 2p´1donc |W| “ pet on note W“ ti1, . . . , ipu.
Vient ensuite
P2px1, . . . , x2p´1q “
p
ÿ
j“1
aij“0
donc pdivise ai1`. . . `aipet le résultat est démontré.
Montrons à présent que EGZ est stable par multiplication. D’après le théorème fondamental de l’arithmé-
tique, la démonstration sera achevée. Soient donc met ndeux éléments de EGZ. Considérons a1, . . . , a2mn´1
entiers. Étant donné que nPEGZ, il existe I1Ă t1,...,2mn ´1ude cardinal ntel que
ÿ
iPI1
ai”0 mod pnq.
De même, il existe I2Ă t1,...,2mn ´1uzI1de cardinal ntel que
ÿ
iPI2
ai”0 mod pnq.
On termine ce procédé après avoir construit l’ensemble d’indices I2m´1car au bout de 2m´2étapes, il reste
2nm ´1´ p2m´2qn“2n´1entiers. Pour tout jP t1,...,2m´1u, on considère l’entier cjdéfini par
ÿ
iPIj
ai“cjn.
Adrien LAURENT 2 ENS Rennes - Université de Rennes 1

Alors comme mest un élément de EGZ, on peut considérer JĂ t1, . . . 2m´1ude cardinal mtel que
ÿ
jPJ
cj”0 mod pmq.
À partir de là :
ÿ
jPJÿ iPIj
ai“n˜ÿ
jPJ
cj¸”0 mod pmnq
ce qui termine la démonstration.
Remarques : ‚Il faut savoir que la quantité 2n´1dans le théorème d’Erdös-Gizburg-Ziv est incompressible
comme le montre l’exemple constitué de n´1 ”0” et n´1 ”1”.
‚Il existe une autre méthode plus combinatoire pour démontrer que les nombres premiers sont éléments de
EGZ. Étant donnés pun nombre premier et a1,...a2p´1des entiers, on considère pour tout JĂ t1,...,2p´1u
la somme SJ“ÿ
iPJ
xi. L’idée est alors de calculer de deux manières différentes la quantité
Σ“ÿ
JĂt1,...,2p´1u: #J“p
Sp´1
J.
Tout d’abord, Sp´1
Jest la somme de divers monômes de degré p´1faisant intervenir kfacteurs (1ďkďp´1)
que l’on peut écrire sous la forme λxai1
1. . . xaik
ik. Ce type de monôme se retrouve, avec le même coefficient,
dans le développement de SJpour ˆ2p´1´k
p´k˙ensembles Jdistincts : il suffi d’avoir pour Jun ensemble
contenant i1, . . . , ikpuis de choisir les p´kindices restants dans les 2p´1´kindices disponibles. Ainsi, après
le développement complet de Σ, tout monôme est un multiple de ˆ2p´1´k
p´k˙donc est divisible par p. L’entier
Σest donc nul dans Fp.
D’autre part, si aucun des Sjn’était divisible par p, on aurait pour tout J,Sp´1
j”1 mod ppqet σest non nul
modulo p. Ceci continue une contradiction avec le paragraphe précédent donc il existe Jde cardinal ptel que
SJ”0 mod ppq.
Adapté du travail de Paul Alphonse, Justine Velly et Joséphine Boulanger
Adrien LAURENT 3 ENS Rennes - Université de Rennes 1