Développement: Théorème d`Erdös-Ginzburg-Ziv

Développement: Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv
Adrien Fontaine
1er juillet 2014
Ce développement consiste en la preuve du théorème d’Erdös-Ginzbur-Ziv. On commence par
rappeler le théorème de Chevalley-Warning, qui est un outil essentiel de la démonstration. On
peut en trouver une preuve au début du Cours d’arithmétique de Jean-Pierre Serre.
Théorème 1 (Chevalley-Warning)
Soit q une puissance d’un nombre premier p (q = pd ). Soient f1 , ..., fr ∈ Fq [X1 , ..., Xn ], vérifiant
la condition
r
X
deg(fi ) < n
i=1
Alors, en notant V = {x ∈ Fnq /f1 (x) = ... = fq (x) = 0}, l’ensemble des zéros communs aux
polynômes f1 , ..., fr , on a :
|V | ≡ 0[p]
Venons en maintenant au théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv.
Théorème 2 (Erdös-Ginzburg-Ziv)
Soit n ∈ N∗ , et a1 , ..., a2n−1 des entiers. Alors, il existe des indices i1 , ..., in ∈ {1, ..., 2n − 1} tels
que
ai1 + ...ain ≡ 0[n]
Démonstration : Notons EGZ l’ensemble des entiers n ∈ N∗ vérifiant le théorème d’Erdös-GinzburgZiv. Plus précisément,
EGZ = {n ∈ N∗ , ∀a1 , ..., a2n−1 ∈ N, il exite des indices i1 , ..., in ∈ {1, ..., 2n−1}/ai1 +...+ain ≡ 0[n]}
Bien évidemment, le but est de montrer que EGZ = N∗ .
Pour cela, on va procéder en deux étapes. On va d’abord montrer que EGZ contient tous les
nombres premiers, puis que EGZ est stable par multiplication, ce qui permettra de conclure.
1. EGZ contient tous les nombres premiers :
Soit p premier et a1 , ..., a2p−1 des entiers. On travaille dans Fp et on considère les deux
polynômes
f1 =
2p−1
X
ai Xip−1
et f2 =
2p−1
X
Xip−1
i=1
i=1
Alors, comme deg(f1 )+deg(f2 ) ≤ 2p−2 < 2p−1 (le nombre de variables), on peut appliquer
le théorème de Chevalley-Warning. En conservant les notations du théorème, on a donc,
p | |V |
1
2
Or, (0, ..., 0) ∈ V donc |V | ≥ 2.
Donc, il existe (x1 , ...x2p−1 ) ∈ V non nul, tel que
f1 (x1 , ..., x2p−1 ) = f2 (x1 , ..., x2p−1 ) = 0
Or, xp−1 = 1 dans Fp , si et seulement si, x est non nul dans Fp . Notons alors
W = {i ∈ {1, ..., 2p − 1}/xi 6= 0}
On a alors
X p−1
f2 (x1 , ..., x2p−1 ) =
= |V | = 0
xi
i∈W
Or, 1 ≤ |W | ≤ 2p − 1. Donc, |W | = p.
Donc, en notant W = {i1 , ..., ip }, on a
n
X
f1 (x1 , ..., x2p−1 ) =
aik xp−1
ik
=
p
X
a ik = 0
k=1
k=1
c’est à dire
ai1 + ... + aip ≡ 0[p]
2. EGZ est stable par multiplication
Soient m, n ∈ EGZ. On veut montrer que nm ∈ EGZ.
Soient donc a1 , ..., a2nm−1 des entiers.
Prenons en 2n − 1. Comme n ∈ EGZ, il existe un ensemble I1 d’indices, de cardinal n, tel
que I1 ⊂ {1, ..., 2n − 1} et
X
ai ≡ 0[n]
i∈I1
Considérons ensuite les entiers (ai ) avec i ∈ {1, ..., 2nm − 1} \ I1 . Prenons en 2n − 1. Il existe
alors I2 tel que I2 ⊂ {1, ..., 2nm − 1} \ I1 , |I2 | = n et
X
ai ≡ 0[n]
i∈I2
Terminons le procédé après avoir construit l’ensemble d’indices I2m−1 , ce qui est possible
car au bout de 2m − 2 étapes, il reste
2nm − 1 − (2m − 2).n = 2n − 1 entiers
Pour j ∈ {1, ..., 2m − 1}, soit cj défini par
X
ai = ncj
i∈Ij
Alors, comme m ∈ EGZ, on peut finalement extraire un sous-ensemble d’indices J tel que
X
cj ≡ 0[m]
j∈J
Alors,
XX
j∈J i∈Ij
ai = n
X
cj
≡ 0[nm]
j∈J
| {z }
divisible par m
Donc, ces nm derniers entiers répondent au problème posé.