Les Quaternions

Chapitre 5
Les Quaternions
Sommaire
1
2
Présentations . . . . . . . . . . . . . .
Les quaternions et O+ (3; R) . . . . .
2.1
Description de O+ (3; R) . . .
2.2
Les automorphismes de H . .
Les quaternions et O+ (4; R) . . . . .
Compléments sur H . . . . . . . . . .
4.1
Les quaternions et SU(2; C) .
4.2
Le théorème de Frobenius . .
3
4
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1
6
6
10
11
13
13
14
1 Présentations
A notre connaissance, nous avons jusqu’à maintenant eu affaire qu’avec des corps commutatifs. Nous allons
dans ce chapitre, voir pour la première fois un corps non-commutatif, c’est en fait un corps que nous avons déjà
rencontré non pas en tant que corps, mais en tant que groupe à deux reprises dans le Chap. sur le groupe linéaire
1. Dans la recherche (abstraite) des groupes finis d’ordre 8, cf. Prop.1.6 p.20 loc.it.
2. Dans une réalisation matricielle où il apparaisait comme le seul
passage) avec l’ensemble des éléments divisant 4, cf. p.24 loc.it.
2-Sylow dans SL(2; F3 ), coïncidant (au
Une particularité à signaler que nous verrons dans la suite est que ce corps ressemble à certains égards au corps
des nombres complexes. Sans plus attendre commençons par présenter notre héros du jour :
Thm. 5.1 [
Existence ]
«
»
Il existe une algèbre H de dimension 4 sur R, appelée algèbre des quaternions , munie d’une base 1, i,j,k
telle que :
1
l’élément 1 est l’élément neutre pour la multiplication.
2
On a les relations suivantes :
∗ i2 = j2 = k2 = −1,
∗ ij = −ji = k,
jk = −kj = i,
ki = −ik = j. (On fait ici une permutation des lettres)
Le corps des nombres réels R est isomorphe à la sous-algèbre de H constituée des éléments de la forme a.1,
a ∈ R, avec laquelle on l’identifie. Un quaternion s’écrit alors sous la forme :
q = a + bi + cj + dk,
1
avec a, b, c, d ∈ R.
1. – Présentations –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
Preuve. Une nuance tout de même qu’il faut signaler par rapport à notre rappel sur le groupe des quaternions,
c’est qu’avec les réalisations existantes, évoquées plus haut, je ne vois comment faire (pour le moment) pour les
munir d’une structure de R-algèbre. Néanmoins nous avons des relations entre de ce qui devraient être un système
de générteurs, on pourrait alors définir abstraitement la chose, mais tout l’intérêt dans ce que nous faisons en mathématiques, c’est tout de même d’avoir la possibilité de manipuler quelque chose de concret avant de passer à
l’étape d’abstraction.
Nous allons admettre qu’il existe plusieurs manière de réaliser cette algèbre et allons seulement retenir celle
que nous allons présenter ici :
1
On va admettre qu’on peut voir H comme une sous-algèbre de Mat(n; R).
2
On va faire opérer H sur elle-même par multiplication à gauche pour voir ce qui se passe :
Í
Pour q, q 0 ∈ H, posons alors Tq (q 0 ) : = qq 0 . Il est clair que cet "opérateur" est R-linéaire, si on considère
l’expression de q sous la forme q = a + bi + cj + dk, en tenant compte maintenant des "relations" de notre
algèbre, la matrice de Tq relativement à la base 1, i,j et k sera de la forme :


a −b −c −d


Í  b a −d c 
M(q) : = 

a −b 
 c d
d −c b
a
J’ai ici fait exprès d’avoir découpé notre matrice avec ces deux lignes, on pourra noter que l’on voit ainsi
dans cette matrice, 4 petites matrices qui ressemblent étrangement aux matrices des similitudes (cf. [Per]
p.146 ou encore le Chap. sur le groupe orthogonal euclidien p.14-15).
Rappel
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Il est donc bon de rappeler que le groupe des similitudes directes dans E = R 2 , sont les matrices de la
forme suivante :
a −b
b a
avec a2 + b2 > 0 et qu’il est isomorphe à C∗ . Tandis que le groupe des isométries directes (i.e. les
rotations) est isomorphe au sous-groupe des nombres complexes de module 1.
L’élément i correspond à a = 0, b = 1, c = 0 et d = 0 (on fait la même chose pour 1, j et k), ceci nous permet
d’avoir les matrices de Ti , Tj et Tk

0 −1

 1 0
M(i) = 

(0)
et
(0)
0 −1
1 0



M(k) = 



(0)


M(j) = 
 1 0
0 −1

0 −1
(0)

−1 0 

0 1

(0)
1 0


,

−1 0
0 1
(0)





h
Rmq
Ð
Ð Cette réalisation est assez cohérente dans le sens que dans la présentation de H, on a dû se rendre compte
Ð
Ð que l’on n’avait pas affaire à une algèbre "commutative", ici elle se réalise dans un espace des matrices que
Ð
l’on sait non-commutative,. . . OUFFF.... !
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1. – Présentations –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
Nous avons entre-aperçu comment les nombres complexes se s’immisçaient dans notre algèbre, et on va voir que
cela va vient s’étendre dans les prochaines notions que l’on va définir :
Def. 5.1
Soit q ∈ H, q = a + bi + cj + dk,
Í
«
»
avec a, b, c, d ∈ R. On définit le quaternion conjugué de q comme
étant l’élément q : = a − bi − cj − dk .
La première propriété que l’on en tire de la conjugaison est la suivante :
Prop. 5.1
La conjugaison H → H, q 7→ q est un anti-automorphisme, i.e. elle vérifie les choses suivantes :
1. elle est R-linéaire,
2. q1 q2 = q2 q1 pour tout q1 , q2 ∈ H.
Preuve. On pourra vérifier cela via la représentation matricielle, en observant les relations suivantes :
M(q) = t M(q)
et
t
(AB) = t Bt A.
h
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3/17
1. – Présentations –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
Rmq
Ð Des formules utilisées dans cette preuve, il est facile de voir que l’on a :
Ð
Ð
Ð 1
La conjugaison est une involution.
Ð
Ð
Ð
Ð 2
En utilisant l’identification faite dans Thm.1.1 p.1, on considère bien R ⊂ H et on a alors
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
q ∈ R ⇔ q = q.
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Í
«
»
Ð 3
Notons P : = q = bi+cj+dk | b, c, d ∈ R , on dira que P est l’espace des quaternions purs
Ð
Ð
Ð
et on obtient
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
q ∈ P ⇔ q = −q.
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Prop. 5.2
Í
«
»
Soit q = a + bi + cj + dk ∈ H, on définit la norme de q comme étant l’expression N(q) : = qq . Alors
on a les propriétés suivantes :
(i) N(q) = N(q) = a2 + b2 + c2 + d2 ,
(ii) en particulier, N(q) ∈ R+ .
Preuve. On a
qq
=
Prop.1.1
q q = qq
Rmq.
d’après Rmq.(2) ci-dessus, on en déduit que qq ∈ R.
En tenant compte, des règles de calculs sur les générateurs imaginaires purs du Thm.1.1 p.1,
" − A2 = 1"
et
"AB = −BA" pour A, B ∈ {i,j,k}.
On arrive facilement au résultat escompté, à savoir
N(q) = a2 + b2 + c2 + d2 ,
ce qui montre aussi que N(q) ∈ R+ .
h
Puisque H est un R-espace vectoriel de dimension 4, tout élément q = a + bi + cj + dk ∈ H étant assimilé
à l’élément (a, b, c, d) ∈ R4 , on note alors que N(q) = a2 + b2 + c2 + d2 n’est rien d’autre que "la" forme
euclidienne classique, en jouant avec la formule de polarisation (cf. Chap. sur les formes sesquilinéaires p.16), sa
forme polaire est donc :
f(q1 , q2 )
=
=
=
Cours d’Amatheux
—
1”
N(q1 + q2 ) − N(q1 ) − N(q2 )
2
—
1”
(q1 + q2 )(q1 + q2 ) − q1 q1 − q2 q2
2
—
1”
(q1 q1 + q1 q2 + q2 q1 + q2 q2 ) − q1 q1 − q2 q2
2
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1. – Présentations –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
f(q1 , q2 ) =
—
1”
q1 q2 + q 2 q1
2
• On fera attention à ne pas se tromper avec l’ordre des indices, par exemple ne pas se romper avec
—
1”
q1 q2 + q1 q2 , en effet il n’y a pas de raison que q2 q1 6= q1 q2 , car on n’est pas dans un truc
2
commutatif. Pour se rappeler, on dira que la conjugaison doit se trouver en deuxième position.
• On fera également attention, que cela n’est pas du tout la même formule qui nous donne la forme
polaire pour le produit scalaire hermitien : (cf. [Gou] Exemple 4 p.230) : Sur C2 , la forme (x, y) 7→
xx − 2yy + 23 yx + 32 yx a pour forme polaire
€
Š
3
3
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) →
7 x1 x2 − 2y1 y2 + y1 x2 + x1 y2 .
2
2
Rappelons au passage la notation O(N) pour représenter l’ensemble des isométries associées à la forme
quadratique N (cf. p.2 du Cahp. sur le groupe orthoonal euclidien).
Il est alors facile de vérifier à partir de l’expression de f qu’on a les propriétés suivantes :
Cor. 5.1
1
La base 1, i, j, k est orthonormée pour la norme N.
2
La conjugaison est une symétrie orthogonal, avec E+ = R et E− = P (où E+ et E− sont les sousespaces propres de valeurs propres 1 et −1 d’une symétrie).
Alors, on obtient :
Thm. 5.2
1
L’algèbre des quaternions H est un corps non-commutatif.
2
Le centre de H est égal à R.
3
On a N(q1 q2 ) = N(q1 )N(q2 ), en particulier sa restriction (encore noté N) N : H∗ → R+ est
∗
• un morphisme de groupes,
• surjectif,
• de noyau l’ensemble des quaternions de norme 1.
Preuve. (1) En tant que forme quadratique d’une orme euclidienne, on a N(q) = 0 ⇔ q = 0, donc si q 6= 0, on
obtient
qq
N(q) = qq ⇔ 1 =
,
N(q)
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1. – Présentations –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
q
est un inverse à droite de q, en utilisant le fait que
N(q)
q
est aussi l’inverse à
N(q) = N(q) et que la conjugaison est une involution, on en déduit facilement que
N(q)
gauche de q.
cette dernière relation nous dit tout simplement que
(2) il est clair que R est contenu dans le centre de H. Inversement, si q = a + bi + cj + dk est dans le centre
alors en particulier, il doit commuter avec i,j et k, on vérifie par exemple avec i :
qi = iq
⇔
⇔
ai + bi2 + cji + dki = ai + bi2 + cij + dik
c = 0 et d = 0.
Ce qui pour être dans le centre on doit avoir q = a ∈ R.
(3) On a
N(q1 q2 ) = q1 q2 q1 q2
=
Prop.1.1
q1 q2 q2 q1 = q1 N(q2 )q1 = q1 q1 N(q2 ) = N(q1 )N(q2 )
(l’avant dernière égalité provient du fait que N(q2 ) ∈ R, il commute donc avec q1 ).
p
Enfin, si a ∈ R+ , on a N( a) = a, ce qui achève notre preuve.
h
Rmq
Ð
Ð Notons par G , le noyau de notre morphisme de groupes N : H ∗ → R+ ∗ , alors on a
Ð
Ð
Ð
Ð 1
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
€
Š
€
Š
Ð
q∈G
⇔
q−1 = q .
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð 2
En identifiant R avec R4 , on a une description sympa de G : on a un homéomorphisme entre G et la
Ð
Ð
Ð
spère S3 , en particulier G est connexe.
Ð
Ð
Ð 3
On a les équivalences suivantes :
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
€
Š
€
Š
€
Š
€
Š
Ð
Ð
q∈R
⇔
q2 ∈ R + ,
et
q∈P
⇔
q2 ∈ R − .
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
En effet,
Ð
Ð
2
+
Ð
•
Si
q
∈
R
,
q
=
q
alors
Ð
et N(q) = q ∈ R .
Ð
Ð
• Si q ∈ P, alors q = −q et N(q) = qq = −q2 , or d’après Prop.1.2(ii) p.4 on a N(q) ∈ R+ ,
Ð
Ð
Ð
on en dédui que q2 ∈ R−
Ð
Ð
• Soit q = a + b avec a ∈ R et b ∈ P, l’intérêt de voir cela c’est que a:::
et ::
b :::::::::
commutent, si bien
Ð
Ð
que
Ð
Ð
2
q2 = a
+ b2} +2ab,
Ð
| {z
Ð
∈R
Ð
Ð
Ð
donc ( q2 ∈ R ) ⇔ ( ab = 0 ) ⇔ ( a = 0 ou b = 0 ).
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2. – Les quaternions et O+ (3; R) –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
2 Les quaternions et O+ (3; R)
2.1 Description de O+ (3; R)
Nous venons de voir que H est un corps non-commutatif, en particulier H ∗ est un groupe non-commutatif ;
nous pouvons donc regarder ce que donner l’action de conjugaison de H ∗ , or tout élément p ∈ H∗ , peut toujours
s’écrire sous la forme q = N(q)g, pour un certain g ∈ G, donc pour tout x ∈ H, on obtient
qxq−1 = N(q)gxg−1 N(q)−1 = N(q)N(q)−1 gxg−1 = gxg,
l’avant dernière égalité provient du fait que N(q) ∈ R qui est le centre de H (cf. Thm.1.2(2) p.5), et g−1 = g car
g ∈ G (cf. Rmq.(1) ci-dessus).
1ère réduction :
De cette analyse, on en déduit que l’action de conjugaison de H ∗ peut se ramener exclusivement à celle des éléments de G. On allons donc poser pour q ∈ G et x ∈ H :
Í
Sq (x) : = qxq−1 = qxq
Alors Sq est une bijection qui est en plus R-linéaire, son inverse étant (Sq )−1 = Sq , c’est donc un élément
de GL(H), on obtient ainsi une application
S : G → GL(4; R).
g 7→ Sg
2ème réduction :
Nous le ferons en temps voulu, mais nous savons que le centre, R, agit de manière triviale, si bien qu’il nous suffira
dans la plupart des cas se limiter à l’étude de Sg en considérant g ∈ P ∩ G
Alors on a les propriétés suivantes :
Prop. 5.3
1
S est un morphisme de groupes, de noyau {±1}.
2
La restriction de Sq à R est triviale.
3
Sq conserve la norme, donc S est en fait un morphisme à valeurs dans O(N)
4
S : G → O(N) ' O(4; R).
g 7→ Sg
La restriction de Sq |P sur le sous-espaces des quaternions purs qui sera noté sq , nous donne donc un
élément de O(N|P ) ' O(3; R). Plus précisément, S induit un morphisme de groupes s
s: G →
g 7→
dont l’image est très précisément O+ (3; R) et
O(N|P ) ' O(3; R),
sg
de noyau {±1}.
Preuve. (1)
Sq1 q2 (x) = q1 q2 xq1 q2 = q1 q2 xq2 q1 = q1 Sq2 (x)q1 = Sq1 Sq2 (x).
Ce qui montre que l’on a bien un morphisme de groupes. Enfin, si q ∈ Ker(S), alors pour tout x ∈ H on a
Sq (x) = x
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⇔
qxq−1 = x
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⇔
qx = xq,
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2. – Les quaternions et O+ (3; R) –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
d’après Thm.1.2(2) p.5, on en déduit que q ∈ R, par conséquent Ker(S) = R ∩ G = q ∈ R | N(q) = 1 = {±1}.
(2) C’est trivial, car R est le centre de H (cf. Thm.1.2(2) p.5).
+
(3) Nous avons vu au Thm.1.2(3) p.5 que N : H∗ → R+ est un morphisme de groupes, si bien que si q ∈ G
et x ∈ H on obtient
N(Sq (x)) = N(qxq)
=
N(q)N(x)N(q) = N(x).
Thm.1.2(3)
Ceci montre que Sg conserve la norme, et comme en plus Sg est linéaire, c’est donc un élément de O(N) ' O(4; R).
(4) On vient de voir que Sg est une isométrie, de plus Sg stabilisait R, il stabilise alors l’orthogonal de ce
dernier qui n’est rien d’autre que P, l’espace des quaternions purs. D’autre part, la restriction de N à P nous donne
N|P (bi + cj + dk) = b2 + c2 + d2
mais là encore, onreconnaît que ce n’est rien d’autre que la forme quadratique euclidienne sur R 3 , donc on peut
parler de O(N|P ) et on a O(N|P ) ' O(3; R).
• Enfin, il est facile de vérifier que s est continue, car pour q = a + bi + cj + dk ∈ G, alors sq : P →
O(3; R) ,→ R9 s’exprime facilement sous la forme d’une matrice de Mat(3 × 9; R) dont les coefficients sont des
polynômes homogènes de degré 2 en a, b, c et d, donc on peut affirmer que
s : P → Mat(3, 9; R),
g 7→ sg
est bien une application continue en les variables a, b, c, et d. Or det est également continue, par conséquent
la composée det ◦s : G → {±1} est continue. Et on sait de plus que G ' S 3 est connexe, donc cette application
est constante, et comme s(1) = idP , on en déduit que l’image de det ◦s est donc {1}, par conséquent s g ∈ O+ (3; R).
• • Montrons que l’image de s remplit complètement O+ (3; R), ce dernier étant engendré par les renversements
orthogonales, mais puisqu’on est dans R3 , cela revient à considérer les axes de ces renversements. Considérons
alors une droite D de R3 . Or R3 ' P, donc on peut considérer D comme une droite de P, considérons alors p
un vecteur unitaire engendrant D, i.e. p ∈ P ∩ G . Alors sp (p) = ppp = p , ceci montre que sp fixe le point
p ∈ P, comme sp est un élément de O(3; R), par la description des isométries cf. Thm.1.4 p.17 dans le Chap.
sur le groupe orthogonal euclidien, on peut déjà affirmer que s p est une rotation d’axe D. D’autre part, puisque
p ∈ P, on a p = −p, si bien que p2 = p(−p) = −pp = −1, donc (sp )2 = sp2 = s−1 = id|P , on en déduit que
dim(E+ (sq )) = 1 et dim(E− (sq )) = 2, si on regarde la description des éléments de O+ (3; R) p.18-19 dans le
Chap. loc.cit., on en déduit que sq est le renversement d’axe D. Ceci permet d’affirmer que tous les renversements
sont atteints, on en déduit que s(G) = O+ (3; R).
Pour ce qui est du noyau de s, c’est assez trivial, c’est comme au dessus pour le noyau de S.
h
Du dernier résultat, on en déduit la description suivante de O (3; R) :
+
Thm. 5.3 [
Description de O+ (3; R) ]
Si G est le groupe des quaternions de norme 1, alors on a l’isomorphisme suivant :
'
s : G/{±1} → O+ (3; R).
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8/17
2. – Les quaternions et O+ (3; R) –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
L’isomorphisme précédent provient de la suite exacte courte :
s
1 → {1, −1} → G → O+ (3; R) → 1.
Il est alors légitime de se demander si une telle suite exacte courte ne serait pas scindé, mais elle ne l’est
pas . En effet, si cela avait été le cas on aurait alors un sous-groupe H ⊂ G tel que s serait un iso|H
F
morphisme entre H et O+ (3; R). D’autre part, on a G = H α.H où α ∈
/ H, il nous suffit de considérer
α = −1 ∈
/ H, si bien que tout élément g ∈ G, on a g ∈ H ou bien −g ∈ H. D’autre part, si g ∈ P ∩ G, on
a p2 = −1 de même on a également (−p)2 = −1 (cf. Rmq.(3) p.6, ou encore la démo. de (4) de a Prop.
précédente), que p soit dans H ou que −p soit dans H, dans les deux cas on constate alors que −1 ∈ H, ce
qui va à l’encontre du fait que −1 ∈
/ H.
Rmq
Ð
Ð Par ce résultat, on constate que Sq = sq ⊥ idR , si bien que l’on a une information plus intéressante concerÐ
Ð nant le morphisme S qui est alors à valeurs dans les isométries positives :
Ð
Ð
Ð
S : G → O+ (4; R).
Ð
Ð
g 7→ Sg
Ð
Ð
Autre façon de montrer que sq ∈ O+ (3; R) :
Nous avons vu que l’étude de la conjugaison sur H par les éléments de H ∗ pouvait se limiter à la conjugaison par
les éléments de G. On a montré dans la preuve de Prop.1.3, que pour tout q ∈ P ∩ G, alors sq est le renversement
d’axe Vect(q). Est-ce qu’on pourrait avoir la même description pour ce qui est des réflexions ? Rappelons que si
on dénote par f la forme polaire de N, alors la réflexion orthogonale de droite Vect(q) est donnée par
τq (x) = x − 2
f(q, x)
.q
f(q, q)
(cf. Rmq.(2) p.6 dans le Chap. dans le groupe orthogonal euclidien), en se basant sur la formule à la page 4
f(q1 , q2 ) = 12 (q1 q2 + q2 q1 ), on obtient
τq (x) = x − (qx + xq)q = −qxq
on a tenu compte du fait que f(q, q) = N(q) = 1, car q ∈ G, i.e. qu’on obtient
τq (x) = −qxq = qxq = −qxq = −sq (x).
Soit encore
τq = −sq
Cette identification aurait pu être attendu, en effet sq est un renversement, matriciellement −sq devient alors
une réflexion (c’est déjà une propriété que nou avons déjà rencontré dans le Chap. sur le groupe orthogonal euclidien p.8 (lorsqu’il fallait montrer que les générateurs de O+ (q) ont les renversements, pour n ¾ 3).
Revenons au fait que s : G → O(3; R) est en fait à valeur dans O+ (3; R). Pour l’établir, nous aurions pu faire
le raisonnement suivant, sans avoir recours à l’argument topologique : Supposons que pour un certain q ∈ G,
sq ∈ O− (3; R), on peut alors décomposer sq comme un produit de réflexions, or on vient de décrire ces réflexions,
on a alors sq = τp1 . . . τpr avec r impair et pi ∈ P ∩ G. Alors pour tout x ∈ P, en posant p := p1 · · · pr , on a
sq (x)
= qxq
= τp1 · · · τpr (x) = (−1)r p1 · · · pr xpr · · · p1
=
r impair
−p1 · · · pr xp1 · · · pr
= −pxp
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2. – Les quaternions et O+ (3; R) –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
Posons u := pq, on a alors
uxu = p qxq p = −x = x.
|{z}
−pxp
On constate que la conjugaison • coïncide donc avec su sur P, mais il est facile de vérifier que cela coïncident
également sur H. Or
su (xy) = uxyu = (uxu)(uyu) = su (x)su (y)
tandis que
xy = y x,
(d’après Prop.1.1(2) p.3), ce qui n’est pas possible, on voit très bien que su est un automorphisme sur H, alors que
• est un anti-automorphisme sur H, ce qui est donc impossible....et donc s q ∈ O+ (3; R).
2.2 Les automorphismes de H
Thm. 5.4
Les automorphismes de corps de H sont intérieurs, i.e. qu’ils sont de la forme S q .
Preuve.
[Puisqu’on espère avoir affaire à un automorphisme de la forme S q , ça serait la moindre des choses que de vérifier
certaines propriétés accomplies par ces derniers]
• Soit u un automorphisme de H, u conserve bien évidemment le centre, R, sa restriction à R est donc un
automorphisme de R qui n’est rien d’autre que l’identité.
• • D’autre part, d’après Rmq.1(3) p.6 : q ∈ P ⇔ q2 ∈ R− donc si q ∈ P, on a u(p)2 = u( p2 ) = q2 ∈ R− ,
|{z}
par conséquent u(q) ∈ P : De cela, on en déduit que u laisse stable P.
∈R−
• • • Si q ∈ P, on a q = −q et par conséquent N(q) = −q2 , et puisqu’on vient juste de voir que u(q)2 = q2 ,
on en déduit que N(q) = N(u(q)), i.e. que u conserve la norme. En résumé on a montré que u |P est une isométrie,
soit encore
u|P ∈ O(N|P ) = O(3; R).
Í
Or i,j,k est une base orthonormée de P, relativement à forme quadratique N, si bien que i’ : = u(i) , j’
Í
Í
: = u(j) et k’ : = u(k) est également orthonormée. Par conséquent, il existe ε = ±1 tel que i,j,k et i,j, εk soient
de même orientation et d’après le Thm.1.3 p.8, il existe q ∈ G tel que l’on ait i’ = sq (i), j’ = sq (j) et εk’ = sq (k).
Mais u et Sq sont des automorphismes de H, si bien que l’on a
u( ij ) = u(k) = k’
|{z}
k
= u(i)u(j) = i’j’,
De même
sq ( ij ) = εk’
|{z}
k
= sq (i)sq (j) = i’j’.
De ces égalités, on en déduit que ε = +1.
On a donc montré que u|P = sq = Sq |P et au premier point nous avons vu aussi que u et Sq se restraignaient
en l’identité sur le centre, si bien on en déduit que u = Sq , c’est donc un automorphisme intérieur.
h
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3. – Les quaternions et O+ (4; R) –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
3 Les quaternions et O+ (4; R)
Nous avons vu au Thm.1.3 p.8, que l’on avait un isomorphisme G/{±1} ' O+ (3; R), en gros l’isomorphisme
s’obtenait par la considération des automorphismes Sq , plus précisément par la considération de leurs restrictions
sq à P. Néanmoins, nous avions vu dans la Rmq.2.1 p.9 que Sq ∈ O+ (4; R), il n’y a pas de possibilité d’atteindre
toutes isométries positives de O+ (4; R) de cette manière ne serait-ce que d’un point de vue "dimensionnelle".
L’idée naturelle , serait de pouvoir faire en sorte que R ne soit plus figé, on imagine qu’en multipliant par la
gauche par n’importe quel élément de G cela ferait bien bouger les choses ; on peut déjà noter qu’en faisant la
multiplication, le point positif, c’est qu’elle transformera bien toute base orthonormée, en une base orthonormée :
Donc pour tout q1 , q2 ∈ G et x ∈ H, on devrait considérer l’expression q1 q2 xq2 , mais en faisant bouger q1
comme on veut dans G, la partie q1 q2 de notre expression varie comme on le veut, si bien que l’on peut remlacer
notre expression q1 q2 xq2 par la simple expression q1 xq2 , ce qui nous amène à :
Considérons alors l’application, pour q1 , q2 ∈ G et x ∈ H :
^q ,q (x) :Í
S
= q1 xq2
1
2
c’est clairement une application linéaire sur H et inversible, c’est donc un élément de GL(4; R). On obtient ainsi un
morphisme :
S^ :
Alors on obtient les propriétés suivantes :
G × G → GL(4; R)
(q1 , q2 ) 7→ S^q1 ,q2
Prop. 5.4
1
S^ est un morphisme de groupes, de noyau {(1, 1), (−1, −1)}.
2
S^q1 ,q2 conserve la norme, donc S^ est en fait un morphisme à valeurs dans O(N)
S^ :
G × G → O(N) ' O(4; R).
(q1 , q2 ) 7→ S^q1 ,q2
Plus précisément, l’image de S^ est exactement O+ (4; R).
^ ⊂ O(4; R). Le même argument que pour la Rmq.2.1
Preuve. (1) D’après notre analyse, on a effectivement Im(S)
p.9 nous permet d’affirmer qu’on est plus précisément dans O+ (4; R).
^ ⊂ G × G, alors pour tout x ∈ H, on a S^q ,q (x) =
Pour ce qui est du noyau de S^ : Si (q1 , q2 ) ∈ Ker(S)
1
2
q1 xq2 = x, en particulier pour x = 1 on obtient
q1 q2 = 1,
(3.1)
d’après Rmq.1(1) p.6 on a une caractérisation des éléments de G : ce sont les éléments pour lesquels leurs inverses
se confondent avec leurs expressions conjuguées, en particulier on a alors q 1 −1 = q1 , si bien qu’avec (3.1) on en
déduit que q2 = q1 et donc q2 = q1 . Et la condition q1 xq1 = x pour tout x ∈ H signifie que q1 doit être dans le
centre. Donc q1 ∈ R ∩ G = {±1}, i.e. q1 = q2 = ±1, si bien que l’on a
^ = {(1, 1), (−1, −1)}.
Ker(S)
(2) Pour ce qui est de la surjectivité : Considérons g ∈ O+ (4; R),
alors en tant qu’isométrie g va stabiliser l’orthogonal de la droite réelle qui contient
1, qui n’est rien d’autre que le centre, donc g stabilise P et sa restriction à P devient une isométrie sur
• Si g(1) = 1,
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3. – Les quaternions et O+ (4; R) –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
cet espace, i.e. g|P ∈ O+ (3; R), alors d’après Thm.1.3 p.8, il existe q ∈ G tel que g|P = sq et donc
g = sq ⊥ idR = Sq , i.e.
^q,q .
g=S
• Si g(1) = r, or g est une isométrie on a N(r) = N(1) = 1, donc r ∈ G et on a alors
rr 1 = 1
S^r,1 ◦ g(1) = S^r,1 (r) = |{z}
=1
d’après le cas prćédent, il existe q ∈ G tel que
^q,q
S^r,1 ◦ g = S
soit encore
^−1 ◦ S^q,q = S^r,1 ◦ S^q,q = S^rq,q ,
g=S
r,1
d’où le résultat.
h
De ce résultat, on obtient alors la description de O (4; R) :
+
Thm. 5.5 [
Description de O+ (4; R) ]
On a l’isomorphisme suivant :
'
S^ : (G × G)/{(1, 1), (−1, −1)} → O+ (4; R).
«
Nous arrivons enfin au résultat que nous nous avions mis de côté lorsque nous étudions les groupes projectifs
»
+
orthogonaux PO (n; R) , le cas n = 4 a été le seul cas où nous n’avions pas apporté de réponse concernant
la simplicité ou non de ce groupe. Nous sommes maintenant en mesure de le faire : Rapelons que PO + (4; R) =
O+ (4; R)/{idR4 , −idR4 }, c’est le quotient du groupe des isoméries positives par son centre. Puisque le morphisme
de groupes S^ est surjectif, il nous faut comprendre le éléments de (q1 , q2 ) ∈ G × G qui s’envoient sur −idR4 , i.e.
pour tout x ∈ H on ait
S^q1 ,q2 (x) = −x ⇔ q1 xq2 = −x.
Tout comme dans la preuve de Prop.1.4, pour x = 1 , on va trouver q2 = −q1 et que q1 doit être central, et
donc q1 = ±1. Les seuls couples dont l’image par S^ est −idR4 sont donc (1, −1) et (−1, 1).
Rappelons le 3ème théorème d’isomorphisme - "Soient G un groupe et N et M deux sous-groupes distingués de G
tels que M ⊂ N. Alors N/M est un sous-groupe distingué de G/M et on a l’isomorphisme suivant" :
(G/M)/(N/M) ' G/N.
Pour notre contexte : M = {(1, 1), (−1, −1)}, il nous faudrait alors considérer N = {(1, 1), (−1, −1), (1, −1), (−1, 1)}.
On obtient alors l’isomorphisme
'
(G × G)/N → PO+ (4; R).
D’autre part, on a un isomorphisme
'
ϕ : (G × G)/N → G/{1, −1} × G/{1, −1}
(q1 , q2 ) →
7
(π(q1 ), π(q2 ))
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4. – Compléments sur H –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
où π représente la projection canonique de G sur G/{1, −1}. Or d’après Thm.1.3, on a G/{1, −1} = O+ (3; R), si
bien qu’on obtient le résultat :
Thm. 5.6
On a l’isomorphisme suivant :
'
PO+ (4; R) → O+ (3; R) × O+ (3; R).
En particulier, PO+ (4; R) n’est pas
simple.
4 Compléments sur H
4.1 Les quaternions et SU(2; C)
Le corps C se plonde naturellement dans H qui devient alors un C-espace vectoriel dont la loi externe est
donnée par
C×H → H
(λ, q) 7→ qλ
[ATTENTION AU SENS, on n’est pas sur un truc commutatif, bien que l’on parle d’espace vectoriel]. A cause
des relations entre les générateurs de H (cf. Thm.1.1 p.1), on peut considérer 1 et j comme base, en effet si
q = a + bi + cj + dk ∈ H, alors
q = (a + bi) + cj + d |{z}
k = (a + bi) + cj − dji = 1.(a + bi) + j.(c − di).
−ji
Comme tout au début du Chap. nous avions pu donner une représentation matricielle de H, à l’aide des opérateurs Tq avec q ∈ H qui se matérialisait par la matrice M(q) (cf. p.2). Alors il est facile de voir que Tq est cette
fois-ci C-linéaire, nous noterons cela par Tq,C , c’est donc un élément de GL(2; C), qui dans la base 1, j nous
donne comme matrice M(q, C) : Si q = 1.λ + j.µ, on a
M̃(q) =
Si
‚
λ −µ
µ λ
Œ
.
on considère q ∈ G, alors qq = 1 ce qui se traduit par λλ + µµ = 1.
• On notera que t M(q, C) = M(q, C)−1 , cette équation nous dit tout simplement (comme pour les matrices
«
»
orthogonales) qu’on a affaire à une matrice hermitienne , i.e. qui préserve la forme quadratique hermi«
»
tienne sur C2 : z1 z1 + z2 z2 . C’est à dire que l’on a un élément du groupe unitaire U(2; C).
• Enfin, la condition det(M(q, C)) = 1, nous dit qu’on est dans le sous-groupe spécial unitaire U + (2; C), que
l’on note aussi par SU(2; C) .
De plus, toutes les matrices de SU(2; C) sont de cette forme (en effet il est facile d’obtenir cette description
matricielle des éléments de SU(2; C), on avait déjà fait cela pour les éléments de O + (2; R), cf. p.15 du Chap.
loc.cit., cela ne pose vraiment pas de problème), on obtient alors :
Thm. 5.7 [
Description de SU(2; C) ]
On a l’isomorphisme suivant :
'
T•,C : G → SU(2; C).
On obtient immédiatement :
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4. – Compléments sur H –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
Cor. 5.2
On a l’isomorphisme suivant
SU(2; C)/{±id C2 } ' O+ (3; R).
4.2 Le théorème de Frobenius
Enfin, finissons ce chapitre par un résultat tout à fait surprenant qui me rapelle au fameux théorème que nous
avions vu en maîtrise qui dit que : "une extension au plus dénombrable du corps C, n’est rien d’autre que C luimême" (cf. Chap.4 p.18 dans le cours de Heibig). Ici nous avons le résultat suivant :
Thm. 5.8 [
Frobenius ]
Tout corps K contenant R dans son centre et de dimension finie sur R est isomorphe à R, C ou H.
Commençons par supposer que K est commutatif et K 6= R :
Soit a ∈ K \ R. Puisque [K : R] < +∞ , on a une extension finie, elle est en particulier algébrique sur R, on peut
alors parler du polynôme minimal de a (qui est un polynôme irréductible), puisque a ∈
/ R on en déduit que ce
polynôme doit être de degré 2 et son discriminant est strictement négatif (cf. les éléments irréductibles de R[X]) :
Si on écrit P = X2 + bX + c ce polynôme minimal, alors on peut toujours sécrire comme
Preuve. 1
P = (X + b/2)2 −
b2
b2 − 4c
+ c = (X + b/2)2 −
= (X + b/2)2 − ∆
4
4
(4.1)
de discriminant ∆ = (b2 − 4c)/4 < 0. Mais puisque a ∈ K ce polynôme est divisible dans K[X], si bien que dans
K[X], le polynôme est scindé et on aura
P = (X − a1 )(X − a2 )
Pour arriver à une telle factorisation, dans (4.1) ∆ doit être nécessairement un carré, disons le carré de δ, le calcul
algébrique nous donne alors
P = [(X + b/2) − δ][(X + b/2) + δ].
Donc en résumé, ∆ qui est négatif admet pourtant une "racine carrée" dans K, on en déduit que −1 aussi va admettre
une "racine carrée" dans K. Par consq́uent K contient un sous-corps isomorphe à C. Mais K est aussi algébrique
sur C, qui lui est alors égal, car C est algébriquement clos.
2
Supposer que K n’est pas commutatif :
Soit a ∈ K \ R, alors R[a] est commutatif et contenu dans K donc à fortiori de dimension finie sur R et par
ce que l’on vient de voir, on en déduit que c’est isomorphe à C. Dans K, on a ainsi trouvé un sous-corps isomorphe
à C, désignons par i une racine de −1 qui soit contenue dans C.
Rmq
Ð
Ð
Ð D’après le premier point, le corps C est un corps commutatif maximal de K. En particulier, si
Ð
Ð commute avec i, alors x ∈ C.
x∈K
Soit y ∈ K \ C, alors y ne commute pas avec i, on va construire un élément qui anti-commute à i, pour cela
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4. – Compléments sur H –
Chapitre 5. – Les Quaternions –
Í
on pose z : = yi − iy , alors z n’est pas nul et vérifie
iz = i(yi − iy) = iyi − i2 y = iyi + y = iyi − yi2 = (iy − yi) i
| {z }
(4.2)
−z
(4.3)
= −zi.
Remarquons que l’on a
iz z = −z |{z}
iz = z2 i
iz2 = |{z}
4.2 −zi
−zi
ceci montre que z2 commute
avec i, d’après la Remarque
ci-dessus, on en déduit que z 2 ∈ C.
D’autre part, puisque R est dans le centre de K on en déduit que R(z) est commutatif, on peut alors parler du
degré de l’extension [R(z) : R], mais il est facile de voir que 1 et z est une R-base, si bien que l’on a [R(z) : R] = 2.
Enfin, notons que puisque z ∈
/ C, on a alors R(z) 6= C, si bien que l’on a R(z) ∩ C = R, en particulier on en déduit
que z2 ∈ R.
p
p
Remarquons que z2 = a < 0, car sinon l’équation "z2 = a" a 4 racines, z, −z, a et − a, chose qui n’est pas
possible d’après nos connaissances sur les corps "commutatifs", notamment le corps R(z). On a alors z 2 = −α
Í p
avec α > 0. Posons alors j : = z/ α , on avait z qui anti-commutait avec i, il en sera de même avec j, i.e. ij = −ji
et par définition de j, on a
j2 = z2 /α = −1.
Í
Posons enfin k : = ij . Le sous-espace de K engendré par 1, i,j et k est un sous-corps de K isomorphe à H. Notons
encore par H ce sous-corps de K et montrons qu’il y a égalité.
Í
3
Supposons que H 6= K : Considérons u ∈ K \ H, tout comme dans l’étape (2), posons v : = ui − iu , qui
Í p
anti-commute avec i et si on pose l : = v/ −v2 , on a aussi li = −il et l2 = −1.
Considérons alors l’élément jl : Il vérifie
(jl)i = j |{z}
li = − ji l
|{z}
−il
−ij
= i(jl)
ceci montre que l’élément jl commute avec i, d’après la remarque ci-dessus
on en déduit que jl ∈ C ⊂ H, et comme
p
2
j ∈ H, on en déduit que le quotient (jl)/j = l ∈ H, et puisque v = −v .l, on en déduit que l’on a aussi v ∈ H.
Í
Définissons w : = ui + iu , tel qu’on l’a défini, cette fois-ci w commute avec i et donc w ∈ C ⊂ H. Des relations
On en déduit que ui =
Cours d’Amatheux
v = ui − iu
w = ui + iu
v+w
, qui appartient donc à H et donc u ∈ H, ce qui n’est pas possible.
2
N.G.J. Pagnon
h
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Références
[Gou]
Gourdon X., Algèbre (2ème édition), les maths en tête, Ellipses, 2009.
[Per]
Perrin D. : Cours d’Algèbre, Ellipses, 1996.
16
Vocabulaire
algèbre des quaternions, H, 1
G (sous-groupe des quaternions de norme 1), 6
H (algèbre des quaternions), 1
M̃(q), 13
M(q) (matrice de l’opérateur Tq ), 2
O(N) (groupe orthogonal euclidien), 5
quaternion conjugué, q, 3
quaternion pur, P, 4
SU(2; C), 13
Tq ( ) (translation à gauche par q), 2
Tq,C , 13
17