Les Quaternions

Chapitre 5
Les Quaternions
Sommaire
1 Présentations .................................................... 1
2 Les quaternions et O+(3;R)........................................... 6
2.1 Description de O+(3;R)......................................... 6
2.2 Les automorphismes de H........................................ 10
3 Les quaternions et O+(4;R)........................................... 11
4 Compléments sur H................................................ 13
4.1 Les quaternions et SU(2;C)....................................... 13
4.2 Le théorème de Frobenius ........................................ 14
1 Présentations
A notre connaissance, nous avons jusqu’à maintenant eu affaire qu’avec des corps commutatifs. Nous allons
dans ce chapitre, voir pour la première fois un corps non-commutatif, c’est en fait un corps que nous avons déjà
rencontré non pas en tant que corps, mais en tant que groupe à deux reprises dans le Chap. sur le groupe linéaire
1. Dans la recherche (abstraite) des groupes finis d’ordre 8, cf. Prop.1.6 p.20 loc.it.
2. Dans une réalisation matricielle où il apparaisait comme le seul 2-Sylow dans SL(2;F3), coïncidant (au
passage) avec l’ensemble des éléments divisant 4, cf. p.24 loc.it.
Une particularité à signaler que nous verrons dans la suite est que ce corps ressemble à certains égards au corps
des nombres complexes. Sans plus attendre commençons par présenter notre héros du jour :
Il existe une algèbre Hde dimension 4sur R, appelée algèbre des «quaternions», munie d’une base 1, i,j,k
telle que :
1l’élément 1est l’élément neutre pour la multiplication.
2On a les relations suivantes :
∗i2=j2=k2= −1,
∗ij = −ji =k,jk = −kj =i,ki = −ik =j.(On fait ici une permutation des lettres)
Le corps des nombres réels Rest isomorphe à la sous-algèbre de Hconstituée des éléments de la forme a.1,
a∈R, avec laquelle on l’identifie. Un quaternion s’écrit alors sous la forme :
q=a+bi+cj+dk,avec a, b, c, d ∈R.
Thm. 5.1 [ Existence ]
1

1. – Présentations – Chapitre 5. – Les Quaternions –
Preuve.Une nuance tout de même qu’il faut signaler par rapport à notre rappel sur le groupe des quaternions,
c’est qu’avec les réalisations existantes, évoquées plus haut, je ne vois comment faire (pour le moment) pour les
munir d’une structure de R-algèbre. Néanmoins nous avons des relations entre de ce qui devraient être un système
de générteurs, on pourrait alors définir abstraitement la chose, mais tout l’intérêt dans ce que nous faisons en ma-
thématiques, c’est tout de même d’avoir la possibilité de manipuler quelque chose de concret avant de passer à
l’étape d’abstraction.
Nous allons admettre qu’il existe plusieurs manière de réaliser cette algèbre et allons seulement retenir celle
que nous allons présenter ici :
1On va admettre qu’on peut voir Hcomme une sous-algèbre de Mat(n;R).
2On va faire opérer Hsur elle-même par multiplication à gauche pour voir ce qui se passe :
Pour q, q0∈H, posons alors Tq(q0):Í =qq0. Il est clair que cet "opérateur" est R-linéaire, si on considère
l’expression de qsous la forme q=a+bi+cj+dk, en tenant compte maintenant des "relations" de notre
algèbre, la matrice de Tqrelativement à la base 1, i,j et ksera de la forme :
M(q):Í =
a−b−c−d
b a −d c
c d a −b
d−c b a
J’ai ici fait exprès d’avoir découpé notre matrice avec ces deux lignes, on pourra noter que l’on voit ainsi
dans cette matrice, 4petites matrices qui ressemblent étrangement aux matrices des similitudes (cf. [Per]
p.146 ou encore le Chap. sur le groupe orthogonal euclidien p.14-15).
Rappel
Rappel
Rappel
Ð
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Ð
Il est donc bon de rappeler que le groupe des similitudes directes dans E=R2, sont les matrices de la
forme suivante :
a−b
b a 
avec a2+b2> 0  et qu’il est isomorphe à C∗. Tandis que le groupe des isométries directes (i.e. les
rotations) est isomorphe au sous-groupe des nombres complexes de module 1.
L’élément icorrespond à a=0, b =1, c =0et d=0(on fait la même chose pour 1, jet k), ceci nous permet
d’avoir les matrices de Ti,Tjet Tk
M(i) = 
0−1
1 0 (0)
(0)0−1
1 0
,M(j) = 
(0)−1 0
0 1
1 0
0−1(0)
et M(k) = 
(0)0−1
−1 0
0 1
1 0 (0)
h
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
RmqRmq
Rmq
RmqRmq
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Ð
Cette réalisation est assez cohérente dans le sens que dans la présentation de H, on a dû se rendre compte
que l’on n’avait pas affaire à une algèbre "commutative", ici elle se réalise dans un espace des matrices que
l’on sait non-commutative,. . . OUFFF.... !
Cours d’Amatheux N.G.J. Pagnon 2/17

1. – Présentations – Chapitre 5. – Les Quaternions –
Nous avons entre-aperçu comment les nombres complexes se s’immisçaient dans notre algèbre, et on va voir que
cela va vient s’étendre dans les prochaines notions que l’on va définir :
Soit q∈H,q=a+bi+cj+dk,avec a, b, c, d ∈R. On définit le quaternion «conjugué»de qcomme
étant l’élément q:Í =a−bi−cj−dk.
Def. 5.1
La première propriété que l’on en tire de la conjugaison est la suivante :
La conjugaison H→H, q 7→qest un anti-automorphisme, i.e. elle vérifie les choses suivantes :
1. elle est R-linéaire,
2. q1q2=q2q1pour tout q1, q2∈H.
Prop. 5.1
Preuve.On pourra vérifier cela via la représentation matricielle, en observant les relations suivantes :
M(q) = tM(q)et t(AB) = tBtA.
h
Cours d’Amatheux N.G.J. Pagnon 3/17

1. – Présentations – Chapitre 5. – Les Quaternions –
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
Rmq
RmqRmq
Rmq
RmqRmq
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Des formules utilisées dans cette preuve, il est facile de voir que l’on a :
1La conjugaison est une involution.
2En utilisant l’identification faite dans Thm.1.1 p.1, on considère bien R⊂Het on a alors
q∈R⇔q=q.
3Notons P:Í
=q=bi+cj+dk|b, c, d ∈R, on dira que Pest l’espace des «quaternions purs»
et on obtient
q∈P⇔q= −q.
Soit q=a+bi+cj+dk∈H, on définit la «norme»de qcomme étant l’expression N(q):Í =qq .
Alors
on a les propriétés suivantes :
(i) N(q) = N(q) = a2+b2+c2+d2,
(ii) en particulier, N(q)∈R+.
Prop. 5.2
Preuve.On a
qq=
Prop.1.1 qq=
Rmq. qq
d’après Rmq.(2) ci-dessus, on en déduit que qq ∈R.
En tenant compte, des règles de calculs sur les générateurs imaginaires purs du Thm.1.1 p.1,
" − A2=1"et "AB = −BA"pour A, B ∈{i,j,k}.
On arrive facilement au résultat escompté, à savoir
N(q) = a2+b2+c2+d2,
ce qui montre aussi que N(q)∈R+.h
Puisque Hest un R-espace vectoriel de dimension 4, tout élément q=a+bi+cj+dk∈Hétant assimilé
à l’élément (a, b, c, d)∈R4, on note alors que N(q) = a2+b2+c2+d2n’est rien d’autre que "la" forme
euclidienne classique, en jouant avec la formule de polarisation (cf. Chap. sur les formes sesquilinéaires p.16), sa
forme polaire est donc :
f(q1, q2) = 1
2N(q1+q2) − N(q1) − N(q2)
=1
2(q1+q2)(q1+q2) − q1q1−q2q2
=1
2(q1q1+q1q2+q2q1+q2q2) − q1q1−q2q2
Cours d’Amatheux N.G.J. Pagnon 4/17

1. – Présentations – Chapitre 5. – Les Quaternions –
f(q1, q2) = 1
2q1q2+q2q1
•On fera attention à ne pas se tromper avec l’ordre des indices, par exemple ne pas se romper avec
1
2q1q2+q1q2, en effet il n’y a pas de raison que q2q16=q1q2, car on n’est pas dans un truc
commutatif. Pour se rappeler, on dira que la conjugaison doit se trouver en deuxième position.
•On fera également attention, que cela n’est pas du tout la même formule qui nous donne la forme
polaire pour le produit scalaire hermitien : (cf. [Gou] Exemple 4 p.230) : Sur C2, la forme (x, y)7→
xx −2yy +3
2yx +3 2yx a pour forme polaire
(x1, y1),(x2, y2)7→x1x2−2y1y2+3
2y1x2+3 2x1y2.
Rappelons au passage la notation O(N)pour représenter l’ensemble des isométries associées à la forme
quadratique N(cf. p.2 du Cahp. sur le groupe orthoonal euclidien).
Il est alors facile de vérifier à partir de l’expression de fqu’on a les propriétés suivantes :
1La base 1, i,j,kest orthonormée pour la norme N.
2La conjugaison est une symétrie orthogonal, avec E+=Ret E−= P (où E+et E−sont les sous-
espaces propres de valeurs propres 1et −1d’une symétrie).
Cor. 5.1
Alors, on obtient :
1L’algèbre des quaternions Hest un corps non-commutatif.
2Le centre de Hest égal à R.
3On a N(q1q2) = N(q1)N(q2), en particulier sa restriction (encore noté N)N:H∗→R+∗est
•un morphisme de groupes,
•surjectif,
•de noyau l’ensemble des quaternions de norme 1.
Thm. 5.2
Preuve.(1) En tant que forme quadratique d’une orme euclidienne, on a N(q) = 0⇔q=0, donc si q6=0, on
obtient
N(q) = qq ⇔1=qq
N(q),
Cours d’Amatheux N.G.J. Pagnon 5/17