Introduction `a la théorie des nombres Série 5

EPFL
Section de Mathématiques
Introduction à la théorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 22.03.2010
Série 5
√
√
√
Exercice 1. L’anneau Z[ −2]. On considère l’anneau Z[ −2] := {a + b −2 ; a, b ∈ Z}.
Cet anneau est muni d’une application :
√
N : Z[ −2] → N
appelée norme et donnée par :
√
N (a + b −2) = a2 + 2b2 .
1. Montrer que l’application norme est multiplicative, c’est-à-dire que l’on a
√
N (αβ) = N (α)N (β), pour tous α, β ∈ Z[ −2].
√
2. Montrer qu’un élément de Z[ −2] est une unité si et seulement s’il est de norme 1.
√
3. Montrer que l’anneau Z[ −2] est euclidien pour la norme, c’est-à-dire que l’application
N satisfait les deux propriétés suivantes :
√
(a) pour tous α, β ∈ Z[ −2]\{0}, N (αβ) ≥ N (β) ;
√
√
(b) pour tous α, β ∈ Z[ −2]\{0}, il existe q, r ∈ Z[ −2] tels que α = βq + r avec r = 0
ou N (r) < N (β).
√
On dit que N : Z[ −2]\{0} → N est un stathme euclidien.
√
√
4. Soit a ⊂ Z[ −2] un idéal non nul de l’anneau√Z[ −2]. Si a ∈ a est un élément non nul
de norme minimale, montrer l’égalité a = aZ[ −2].
√
Ceci montre que l’anneau Z[ −2] est principal. Il s’agit d’une propriété générale : tout
anneau euclidien est principal.
Exercice 2. Sur les quaternions. Soit F un corps de caractéristique différente de 2 et
soient a, b deux éléments de F ∗ .
On appelle anneau de quaternions (a, b) = a,b
tout F -espace vectoriel de dimension 4,
F
possédant une base {1, i, j, k} et muni d’une multiplication × définie par bilinéarité à partir
des relations :
i2 = a, j 2 = b et k = i × j = −j × i
et pour laquelle (a, b) est un anneau (non commutatif).
Une telle base est appelée base quaternionique pour l’anneau de quaternions (a, b).
Tout élément x de l’anneau (a, b) est appelé un quaternion de l’anneau (a, b). Il s’écrit comme
combinaison linéaire :
x = α + βi + γj + δk,
avec
α, β, γ, δ ∈ F.
On associe à x son quaternion conjugué, noté x̄ et défini par :
x̄ = α − (βi + γj + δk).
L’application ι : x ∈ (a, b) 7→ x̄ est appelée l’involution canonique de (a, b). On montre que
l’on peut définir une application N(a,b) : (a, b) → F , appelée norme et donnée par :
N(a,b) (x) = xx̄.
Enfin, soient (a, b) et (a0 , b0 ) deux anneaux de quaternions définis sur le corps F . On appelle
isomorphisme d’anneaux de quaternions de (a, b) dans (a0 , b0 ) toute application f : (a, b) →
(a0 , b0 ) qui est à la fois un isomorphisme de F -espaces vectoriels et un morphisme d’anneaux.
1. Soient a, b ∈ F ∗ . Montrer que l’anneau de quaternions (a, b) est bien défini à isomorphisme d’anneaux de quaternions près.
2. Soient a, b ∈ F ∗ . Montrer l’existence d’un isomorphisme d’anneaux de quaternions :
(a, b) ' (b, a).
3. Soit M2 (F ) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 2 sur F . On pose :
1 0
1 0
0 1
Id =
, I=
, J=
et K = IJ.
0 1
0 −1
1 0
Montrer que l’espace M2 (F ) est un anneau de quaternions pour la base (Id, I, J, K), puis
qu’il existe un isomorphisme d’anneaux de quaternions :
'
(1, 1) −→ M2 (F ),
induit par 1 7→ Id , i 7→ I, j 7→ J et k 7→ IJ, où {1, i, j, k} désigne une base quaternionique de l’anneau (1, 1) telle que i2 = 1, j 2 = 1 et k = ij = −ji.
4. Soient a, b ∈ F ∗ . Montrer l’existence d’un isomorphisme d’anneaux de quaternions :
(a, b) ' (u2 a, v 2 b),
pour tous u, v ∈ F ∗ .
En particulier, cela implique l’existence d’un isomorphisme d’anneaux de quaternions :
(1, w2 ) ' M2 (F ),
pour tout w ∈ F ∗ .
5. Soient a, b ∈ F ∗ . Montrer que l’anneau de quaternions (a, b) est un corps gauche si et
seulement si sa forme norme N(a,b) est anisotrope. Pour cela, on montrera qu’un quaternion x ∈ (a, b) est inversible si et seulement si N(a,b) (x) 6= 0.
6. Soient a, b ∈ F ∗ . Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :
(a) (a, b) ' M2 (F ) (isomorphisme d’anneaux de quaternions) ;
(b) l’anneau de quaternions (a, b) n’est pas un corps gauche ;
(c) la norme N(a,b) est isotrope.
Pour montrer l’implication (c) ⇒ (a), on pourra suivre les indications suivantes :
1. Montrer que l’on peut supposer a 6∈ F ∗ 2 .
2. Soit x = α + βi + γj + δk ∈ (a, b) un quaternion non nul, tel que N(a,b) (x) = 0.
En écrivant N(a,b) (x) = α2 − β 2 a − γ 2 b + δ 2 ab, montrer qu’il existe deux éléments
r, s ∈ F tels que b−1 = r2 − as2 .
3. Poser u := rj + sij et v := (1 + a)i + (1 − a)ui. Montrer que u et v satisfont les
relations :
u2 = 1, v 2 = 4a2 , uv = −vu,
et que la famille {1, u, v, uv} forme une base quaternionique de l’anneau de quaternions (a, b).
4. En déduire l’existence d’un isomorphisme d’anneaux de quaternions (a, b) ' (1, 4a2 ).
5. Conclure.
7. Application. Soit a ∈ F ∗ . Montrer qu’il existe un isomorphisme d’anneaux de quaternions entre l’anneau (a, −a) (resp. (a, 1 − a) si a 6= 1) et l’anneau de matrices M2 (F ).