Introduction `a la théorie des nombres Série 5

EPFL
Section de Math´ ematiques
Introduction `a la th´eorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 22.03.2010
S´erie 5
Exercice 1. L’anneau Z[√−2].On consid`ere l’anneau Z[√−2] := {a+b√−2 ; a, b ∈Z}.
Cet anneau est muni d’une application :
N:Z[√−2] →N
appel´ee norme et donn´ee par :
N(a+b√−2) = a2+ 2b2.
1. Montrer que l’application norme est multiplicative, c’est-`a-dire que l’on a
N(αβ) = N(α)N(β),pour tous α, β ∈Z[√−2].
2. Montrer qu’un ´el´ement de Z[√−2] est une unit´e si et seulement s’il est de norme 1.
3. Montrer que l’anneau Z[√−2] est euclidien pour la norme, c’est-`a-dire que l’application
Nsatisfait les deux propri´et´es suivantes :
(a) pour tous α, β ∈Z[√−2]\{0},N(αβ)≥N(β) ;
(b) pour tous α, β ∈Z[√−2]\{0}, il existe q, r ∈Z[√−2] tels que α=βq +ravec r= 0
ou N(r)< N(β).
On dit que N:Z[√−2]\{0} → Nest un stathme euclidien.
4. Soit a⊂Z[√−2] un id´eal non nul de l’anneau Z[√−2]. Si a∈aest un ´el´ement non nul
de norme minimale, montrer l’´egalit´e a=aZ[√−2].
Ceci montre que l’anneau Z[√−2] est principal. Il s’agit d’une propri´et´e g´en´erale : tout
anneau euclidien est principal.

Exercice 2. Sur les quaternions. Soit Fun corps de caract´eristique diff´erente de 2 et
soient a, b deux ´el´ements de F∗.
On appelle anneau de quaternions (a, b) = a,b
Ftout F-espace vectoriel de dimension 4,
poss´edant une base {1, i, j, k}et muni d’une multiplication ×d´efinie par bilin´earit´e `a partir
des relations :
i2=a, j2=bet k=i×j=−j×i
et pour laquelle (a, b) est un anneau (non commutatif).
Une telle base est appel´ee base quaternionique pour l’anneau de quaternions (a, b).
Tout ´el´ement xde l’anneau (a, b) est appel´e un quaternion de l’anneau (a, b). Il s’´ecrit comme
combinaison lin´eaire :
x=α+βi +γj +δk, avec α, β, γ, δ ∈F.
On associe `a xson quaternion conjugu´e, not´e ¯xet d´efini par :
¯x=α−(βi +γj +δk).
L’application ι:x∈(a, b)7→ ¯xest appel´ee l’involution canonique de (a, b). On montre que
l’on peut d´efinir une application N(a,b): (a, b)→F, appel´ee norme et donn´ee par :
N(a,b)(x) = x¯x.
Enfin, soient (a, b) et (a0, b0) deux anneaux de quaternions d´efinis sur le corps F. On appelle
isomorphisme d’anneaux de quaternions de (a, b) dans (a0, b0) toute application f: (a, b)→
(a0, b0) qui est `a la fois un isomorphisme de F-espaces vectoriels et un morphisme d’anneaux.
1. Soient a, b ∈F∗. Montrer que l’anneau de quaternions (a, b) est bien d´efini `a isomor-
phisme d’anneaux de quaternions pr`es.
2. Soient a, b ∈F∗. Montrer l’existence d’un isomorphisme d’anneaux de quaternions :
(a, b)'(b, a).
3. Soit M2(F) l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre 2 sur F. On pose :
Id = 1 0
0 1, I =1 0 0−1, J =0 1 1 0et K =IJ.
Montrer que l’espace M2(F) est un anneau de quaternions pour la base (Id, I, J, K), puis
qu’il existe un isomorphisme d’anneaux de quaternions :
(1,1) ' −→ M2(F),
induit par 1 7→ Id , i7→ I,j7→ Jet k7→ IJ, o`u {1, i, j, k}d´esigne une base quaternio-
nique de l’anneau (1,1) telle que i2= 1, j2= 1 et k=ij =−ji.
4. Soient a, b ∈F∗. Montrer l’existence d’un isomorphisme d’anneaux de quaternions :
(a, b)'(u2a, v2b),pour tous u, v ∈F∗.
En particulier, cela implique l’existence d’un isomorphisme d’anneaux de quaternions :
(1, w2)'M2(F),pour tout w∈F∗.
5. Soient a, b ∈F∗. Montrer que l’anneau de quaternions (a, b) est un corps gauche si et
seulement si sa forme norme N(a,b)est anisotrope. Pour cela, on montrera qu’un quater-
nion x∈(a, b) est inversible si et seulement si N(a,b)(x)6= 0.

6. Soient a, b ∈F∗. Montrer l’´equivalence des propri´et´es suivantes :
(a) (a, b)'M2(F) (isomorphisme d’anneaux de quaternions) ;
(b) l’anneau de quaternions (a, b) n’est pas un corps gauche ;
(c) la norme N(a,b)est isotrope.
Pour montrer l’implication (c)⇒(a), on pourra suivre les indications suivantes :
1. Montrer que l’on peut supposer a6∈ F∗2.
2. Soit x=α+βi +γj +δk ∈(a, b)un quaternion non nul, tel que N(a,b)(x)=0.
En ´ecrivant N(a,b)(x) = α2−β2a−γ2b+δ2ab, montrer qu’il existe deux ´el´ements
r, s ∈Ftels que b−1=r2−as2.
3. Poser u:= rj +sij et v:= (1 + a)i+ (1 −a)ui. Montrer que uet vsatisfont les
relations :
u2= 1, v2= 4a2, uv =−vu,
et que la famille {1, u, v, uv}forme une base quaternionique de l’anneau de quater-
nions (a, b).
4. En d´eduire l’existence d’un isomorphisme d’anneaux de quaternions (a, b)'(1,4a2).
5. Conclure.
7. Application. Soit a∈F∗. Montrer qu’il existe un isomorphisme d’anneaux de quater-
nions entre l’anneau (a, −a) (resp. (a, 1−a) si a6= 1) et l’anneau de matrices M2(F).