Si les coefficents de la matrice ci-dessus sont rationnels, alors on

1) Rappels sur le lien entre quaternions et rotations
On pourra consulter par exemple l'excellent livre de Géométrie de Marcel Berger
On identifie l'espace euclidien E  R 3 à l'ensemle des quaternions purs.
Soit s  a  bi  cj  dk un quaternion non nul et soit t  bi  cj  dk sa partie pure.
Alors l'application f s de E vers E, qui à un quaternion pur q associe sqs 1 , est un
élément de O  (E )
De façon plus précise, si t est non nul, f s est la rotation dont l'axe est engendré
t
b 2  c 2  d2

par t et dont l'angle  vérifie : tan  

a
a
2
(L'axe étant orienté par t pour la définition de l'angle)
Deux rotations f s et fs' sont égales si et seulement s'il existe un réel k tel que
s'  ks
La matrice de f s dans la base (i,j,k) est :
 a 2  b 2  c 2  d2

1

2(ad  bc )
a 2  b 2  c 2  d2 
2(bd  ac )

2(bc  ad)
a  b 2  c 2  d2
2(ab  cd)
2
2(ac  bd) 


2(cd  ab)

a 2  b 2  c 2  d2 
2) Matrices de rotation à coefficients rationnels
Si les coefficents de la matrice ci-dessus sont rationnels, alors on peut choisir un
vecteur directeur de l'axe, à coordonnées b,c,d rationnelles.
Alors, en observant le premier coeffcient de la matrice, on conclut que a 2 est rationnel.
Puis, en observant le coefficient en-dessous, on conclut que a est rationnel.
Quitte à multiplier par le PPCM des dénominateurs de a,b,c,d, on peut ensuite se
ramener au cas où a,b,c,d sont des entiers premiers entre eux.
3) Les quaternions de Hurwitz
On pourra consulter par exemple l'excellent livre "Théorie algébrique des nombres" de
Pierre Samuel
Les quaternions a  bi  cj  dk , où a,b,c,d sont tous les quatre entiers ou bien tous les
quatre moitiés d'entiers impairs forment un anneau intéressant, l'anneau H des
quaternions de Hurwitz, qui sert notamment à montrer que tout entier est somme de
quatre carrés d'entiers.
Dans cet anneau (non commutatif), tous les idéaux à gauche et tous les idéaux à
droite sont principaux.
4) Revenons à nos moutons
Les matrices de notre problème sont du type ci-dessus, avec a,b,c,d entiers premiers
entre eux
On vérifie facilement que  , le PGCD des neuf numérateurs et du dénominateur est
un diviseur de 4.
a) Si parmi les quatre nombres a,b,c,d, un ou trois sont impairs, alors   1
b) Si parmi les quatre nombres a,b,c,d, deux exactement sont impairs, alors   2 et
une simplification des fractions par 2 est possible.
c) Si les quatre nombres a,b,c,d, sont impairs, alors   4 et au lieu de a  bi  cj  dk ,
a b c
d
on utilisera la quaternion de Hurwitz  i  j  k
2 2 2 2
Ainsi dans les cas a) et c), le carré de norme du quaternion associé est impair.
Et dans le cas b), le carré de norme du quaternion associé est pair, non multiple de 4,
et on se ramène à un dénominateur impair après simplification par 2.
Par exemple la matrice A de l'exercice correspond au quaternion 4  i  3 j  2k , dont le
carré de norme est 30. La simplification par 2 est possible (   2 )
Ce quaternion se factorise en : (2  i  j)( 2  k ) et ces deux facteurs correspondent aux
matrices B et C que j'ai données.
Pour le cas général, b et c sont donc impairs.
Soit s le quaternion de Hurwitz associé à la matrice A.
Supposons c premier.
Soit w un quaternion de Hurwitz tel que : c  w  w
Considérons l'idéal à gauche de H, engendré par w et s.
Cet idéal est engendré par un élément u de H , qui divise s et w.
Comme c est premier ce générateur est de mêm norme que w.
s  v  u et c  u  u
s  s  b  c et v  v  b ou s  s  2  b  c et v  v  2  b
On conclut que la matrice A est le produit BC des matrices correspondant aux
quaternions v et u, avec comme dénominateur b et c.
On continue ensuite avec un facteur premier de b, etc…