t - Probas IUT BTS Cours et exercices corrigés

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Probabilités Chapitre 13 Page 1
Probabilités. Chapitre 13.
Les lois bêta et gamma.
I La fonction gamma.
1 Les factorielles.
La suite des factorielles est ainsi définie par récurrence :
0! = 1 ; (∀n∈IN) (n + 1)! = n!(n + 1).
2 La fonction gamma d’Euler. (Leonhard Euler, 1727-1783, Bâle, Suisse)
Définition :
(∀x > 0) Γ(x) =
∫
+∞ −−
0
1xt
dt.t.e .
Convergence :
a) Au voisinage de 0.
Puisque lim
t
t
e
→
−
0
= 1, l’intégrale
∫
−−
a
0
1xt
dt.t.e (a > 0) converge si, et seulement si, l’intégrale
∫
−
a
0
1x
dt.t
converge. Or
∫
−
a
0
1x
dt.t =
a
0
x
x
t
 = a
x
x
.
b) Au voisinage de + ∞ .
Puisque lim .
t
tx
e t
→+∞
−
−
21
= 0, il existe un réel b strictement positif tel que :
( ∀ t > b) 0 <
e
t
tx
−
−
21
.
< 1.
Ce réel b est tel que 0 <
∫
+∞ −−
b
1xt
dt.t.e <
∫
∞+ −
b
2t
dt.e = -2
+∞
−
b
2t
e = 2
e
b
−
2
.
3 Le lien entre la fonction gamma et les factorielles.
Γ (1) = 1 = 0! ; Γ (x + 1) = x. Γ (x).
On obtient la deuxième égalité en intégrant par parties. On déduit :
(
∀ n ∈ N) Γ (n + 1) = n!.
4 Un cas particulier. Γ
(1/2) = π .
On le vérifie par le changement de variable u = t .

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Probabilités Chapitre 13 Page 2
5 La courbe représentative.
Echelle : pour une graduation, 1 unité en abscisse, 10 unités en ordonnée.
Echelle : pour une graduation, 0,5 unité en abscisse, 0,5 unité en ordonnée.

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Probabilités Chapitre 13 Page 3
II Les lois gamma.
1 La densité de probabilité.
On a besoin de deux paramètres strictement positifs pour définir une loi gamma :
un paramètre de forme α et un paramètre d’échelle λ.
La densité de probabilité est ainsi définie :
f(x) = 0 si x ≤ 0 ; f(x) =
1
Γ( )αλ
α
.e
-λx
.x
α-1
si x > 0.
Echelle :
une graduation pour une unité en abscisse ; une graduation pour 0,2 unité en ordonnée.
Le changement de variable y = λx permet de vérifier que l’intégrale sur R
+
de cette densité de probabilité
est égale à 1.
2 La fonction génératrice des moments.
Une variable aléatoire X obéit à la loi gamma de paramètres α et λ si, et seulement si, sa fonction
génératrice des moments est ainsi définie :
M
X
(t) =
α
−λλt.
La démonstration est directe. On déduit l’espérance mathématique et la variance :
E(X) = α/λ ; V(X) = α/λ
2
.
α=0,5
α=1
α=2 α=3 α=4
λ = 1

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Probabilités Chapitre 13 Page 4
On déduit aussi le résultat suivant :
Si X
1
, X
2
, ..., X
n
sont n variables aléatoires indépendantes obéissant à des lois gamma de même paramètre
d’échelle λ et de paramètres de forme respectifs α
1
, α
2
, ..., α
n
, alors leur somme obéit à la loi gamma de
paramètre d’échelle λ et de paramètre de forme α
1
+ α
2
+ ... + α
n
.
3 Quelques cas particuliers.
a) Les distributions exponentielles.
La distribution gamma de paramètre de forme α = 1 et de paramètre d’échelle λ est
la distribution exponentielle E (λ).
b) Les distributions d’Erlang.
Si X
1
, X
2
, ..., X
n
sont n variables aléatoires, indépendantes, de même distribution exponentielle E (λ),
alors, par définition, leur somme obéit à la distribution d’Erlang de paramètres n et λ. La densité de
probabilité est :
f(x) = 0 si x ≤ 0 ; f(x) = λ
n
x
n
n
−
−
1
1( )!e
-λx
si x > 0.
c) Les distributions du Khi
2
.
Si X est une variable normale centrée réduite, alors la densité de probabilité de son carré est la fonction
nulle sur R
-
et ainsi définie sur R
+*
:
f(x).dx = p[x ≤ X
2
≤ x+dx] = 2p[
x
≤ X ≤
x
+
dx
x
2
] = x2
1
π
e
–x/2
dx.
Si X est normale centrée réduite alors X
2
obéit à la loi gamma de paramètres α = 1/2 et λ = 1/2.
Si X
1
, X
2
, ..., X
n
sont n variables aléatoires, indépendantes, de même distribution normale, centrée,
réduite, alors, par définition, la somme de leurs carrés obéit à la distribution du Khi
2
à n degrés de liberté.
On déduit : La distribution du Khi
2
à n degrés de liberté est
la distribution gamma de paramètres α = n/2 et λ = 1/2.
L’espérance mathématique est n. La variance est 2n.

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Probabilités Chapitre 13 Page 5
III La fonction bêta.
Dans ce paragraphe, α et β désignent deux réels strictement positifs.
1. Définition.
B (α, β) =
∫
−β−α
−
1
0
)1()1(
dx)x1(x .
2. Propriétés.
B (α, β) = B (β, α) = )( )()( β+αΓ
β
Γ
α
Γ
.
Démonstration.
Γ(α)Γ(β) =
∫
+∞ −α−
0
)1(x
dxxe
∫
+∞ −β−
0
)1(y
dyye =
∫∫
>
>−β−α+−
0y 0x )1()1()yx(
dxdyyxe
On effectue le changement de variables : 
+= +
=
yxt
yx x
z, c’est à dire 
−=
=t)z1(y ztx .
Le jacobien de (x, y) en fonction de (z, t) est :
t
y
z
yt
x
z
x
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
= z1t
zt −− = t. D’où le calcul :
Γ(α)Γ(β) =
∫∫
>≤< −β−α−
−
0t 1z0 )1()1(t
dt.dz.t)t)z1(()zt(e =
∫
+∞ −−β+α
0
t)1(
dtet ×
∫
−β−α
−
1
0
)1()1(
dz)z1(z = Γ(α+β).B(α, β).
IV La loi de probabilité bêta.
Dans ce paragraphe, α et β désignent deux réels strictement positifs.
1. La densité de probabilité.
a) La densité de probabilité bêta de paramètres α
αα
α et β
ββ
β.
Elle est ainsi définie :
f(x) = ),(B 1βα x
(α-1)
.(1 – x)
(β – 1)
si 0 < x < 1 ; f(x) = 0 sinon.
Remarque.
Si X obéit à la loi bêta de paramètres α et β alors 1 – X obéit à la loi bêta de paramètres β et α.
b) L’espérance mathématique.
Si X est une variable aléatoire distribuée selon la loi de probabilité bêta de paramètres α et β alors :
E(X) = β+α
α
.
En effet E(X) =
∫
−βα
−
βα
1
0
)1(
dx)x1(x
),(B 1 = ),(B ),1(B βα
β
+
α
= )1( )()1( +β+αΓ
β
Γ
+
α
Γ
)()( )( βΓαΓ
β
+
α
Γ
= β+α
α
.