1èreS - TP05: Vocabulaire des ensembles, quantificateurs.

1èreS - TP05: Vocabulaire des ensembles, quantificateurs.
1. Représentation et notations
A. Diagramme de Venn
Dans un lycée, on note E l'ensemble de tous les élèves du lycée, et S l'ensemble des élèves qui sont en filière S (1ère
ou terminale). On peut représenter ces ensembles comme ci-dessous, cela s'appelle un diagramme de Venn:
E
S
Les élèves de S font tous partie de l'ensemble E des élèves du lycée; on dit que l'ensemble S est inclus dans
l'ensemble E, et on note S ⊂ E .
L'ensemble des élèves du lycée qui ne sont pas en filière S se note S : on dit que c'est l'ensemble complémentaire
de S dans E.
Question 1 : colorier ou hachurer, sur la figure ci-dessus, l'ensemble S .
B. Ecriture sous forme de liste d'éléments
Lorsqu'il est possible de lister les éléments de l'ensemble, on écrit cette liste entre accolades. Ces accolades
signifient "ensemble". Par exemple, l'ensemble F des entiers inférieurs ou égaux à 3 est constitué des nombres 0; 1;
2; 3. On écrira: F= {0;1;2;3}. F est l'ensemble, et chacun des nombres 0; 1; 2; 3 est un élément de l'ensemble.
Question 2: Dans l'exemple précédent (celui du diagramme de Venn), quels sont les éléments de l'ensemble E?
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Quels sont les éléments de l'ensemble S ? ......................................................................................................................
Les éléments de l'ensemble d'entiers F sont séparés par des points virgule pour qu'il n'y ait pas de confusion avec la
"virgule décimale". L'élément 2 appartient à l'ensemble F. On note: 2 ∈ F. Le symbole "n'appartient pas à" se note ∉
Par exemple, 7 ∉ F.
On utilise parfois des pointillés pour signifier que l'on poursuit la liste "à l'infini"; par exemple,
ℕ = {0;1; 2;3; 4;...} .
∅ représente l'ensemble vide (sans accolades, sinon il s'agit de "l'ensemble qui contient l'ensemble vide en tant que
seul élément").
ℕ = {0;1; 2;3;...} est l'ensemble des entiers naturels; ℤ = {...; −3; −2; −1;0;1; 2;3;...} est l'ensemble des
entiers relatifs; ℚ est l'ensemble des nombres rationnels (i.e. les nombres qui peuvent éventuellement s'écrire sous
forme de fraction ayant un numérateur et un dénominateur entiers); ℝ est l'ensemble de "tous les nombres que vous
Rappels:
+
connaissez officiellement à ce jour". On note * pour signifier que "l'on ne prend pas zéro" dans l'ensemble, pour
*
-
signifier que l'on ne prend "que les positifs", et lorsque l'on ne prend "que les négatifs". Par exemple, ℝ + =]0; +∞[ .
Attention! Le symbole ⊂ (inclusion) s'utilise entre deux ensembles, tandis que le symbole ∈ s'utilise entre un
élément et un ensemble.
Question 3: Dans les expression suivantes, remplacer les pointillés par ∈;∉; ⊂ ou ⊄ .
5.....ℕ ; −5.....ℕ ; ℤ.....ℝ ; −3.....ℚ ; +∞.....ℝ ; 0.....ℚ ; −2.....ℤ ; ℕ.....ℚ ;
ℚ.....ℝ ; −5.....ℝ*− ; π .....ℝ ; ℕ.....ℤ ; ℕ.....ℝ − ; ℝ*+ .....ℤ ;
4
.....ℚ ; 0.....ℝ* ; −∞.....ℚ ; 1.....ℝ
3
2.....ℚ ; −4.....ℚ* ; 8.....ℤ − ; ℤ − .....ℝ − ; ℤ + .....ℝ*+
Question 4: Dessiner ci-dessous
dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles
ℕ; ℤ; ℚ; ℝ .
Question 5: Soit E l'ensemble des entiers compris entre -3 et 5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entiers
naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A-t-on
A
E⊂F?
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2. Intersection, réunion, "et", "ou"
A. Les conjonctions "et", "ou" en mathématiques
Dans le langage usuel,, on emploie les locutions "et", "ou".
Le mot "et" peut signifier:
- "à la fois", comme dans "cet élève est blond et porte des lunettes"
- "et puis",
uis", comme dans "l'élève ouvre son cartable et sort sa calculatrice"
Le mot "ou" peut signifier:
- "soit l'un soit l'autre, mais pas les deux", comme dans "fromage ou dessert": c'est un "ou
"ou exclusif".
exclusif
- "soit l'un, soit l'autre, soit les deux à la fois",
fois" comme dans "on cherche un traducteur anglais ou allemand" , c'est un
"ou" non exclusif.
En mathématiques,, "et" signifie "à la fois", et le "ou" n'est jamais exclusif:: ce peut être soit l'un, soit l'autre, soit les
deux.
Exemples: "6 est un nombre pair et un multiple de 3";
"0, 2, 3, 6 sont des nombres pairs ou des multiples de 3" (6 est les deux à la fois).
Question 6: Compléter les phrases suivantes soit avec "et", soit avec "ou":
1, 4, 5, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs ..... inférieurs à 10.
2, 3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3 ...... inférieurs à 10.
6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3 ...... par 2.
B. Intersection, réunion
Soient deux ensembles A et B. Les éléments qui appartiennent à A et à B
forment un nouvel ensemble (grisé sur la figure), que l'on note
inter B"): c'est l'intersection des ensembles A et B.
A ∩ B ("A
Les éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux, car en
maths le "ou" n'est pas exclusif) forment un nouvel ensemble (grisé
sur la figure), que l'on note
des ensembles A et B.
A ∪ B ("A union B"): c'est la réunion
Question 7: Dans un club sportif, plusieurs activités dont l'athlétisme et le basket sont proposées aux adhérents.
Dessiner ci-dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme et du basket.
Dessiner ci-dessous, à l'aide d'un autre diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme ou du
basket.
Question 8: Dans chacun des cas suivants, déterminer I ∩ J puis I ∪ J .
1°) I=[2;5,5] et J=]1;3]
............................................................................................................................................................................................
2°) I=[-1;+∞[ et J=]-2;3]
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Question 9: Dans chacun des cas suivants, écrire les ensembles de réels donnés sous la forme d'une réunion de
deux intervalles:
1°) L'ensemble des réels strictement supérieurs à 2 ou inférieurs ou égaux à 3.
............................................................................................................................................................................................
2°) L'ensemble des réels x tels que x > 1 ou x ≤ −2 .
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3. Pour aller plus loin : Quantificateurs: "quel que soit", "il existe"
En mathématiques, on utilise tellement souvent les locutions "quel que soit "et "il existe", que l'on a inventé des
symboles pour les représenter. Attention, comme ces symboles sont écrits "en mathématiques", ils ne peuvent pas
être utilisés au milieu d'une phrase écrite en français: ils trouvent leur place dans un phrase écrite en mathématiques.
∀ (un "A" la tête en bas), et le symbole pour "il existe" est ∃ (un "E" en miroir).
2
2
Par exemple, "quel que soit x dans ℝ , x est positif" pourra s'écrire: ∀x ∈ ℝ, x ≥ 0 ("tout en mathématiques"!).
Le symbole pour "quel que soit" est:
De même, la phrase "il existe un nombre réel pour lequel la fonction
f s'annule" pourra s'écrire: ∃x ∈ ℝ / f ( x ) = 0 .
Question 10:
1°)Ecrire "tout en mathématiques" les phrases suivantes:
a) Quel que soit le nombre rationnel x , ce nombre x appartient à l'ensemble des réels .
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b) Il existe un nombre entier naturel n tel que le carré de n soit égal à 4.
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2°) Réécrire la phrase de la question 1a) en utilisant le symbole ⊂ .
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3°) Ecrire "tout en mathématiques" : E est l'ensemble des nombres entiers pairs qui sont également divisibles par 3.
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1èreS - TP05: Vocabulaire des ensembles,
ensembles quantificateurs - CORRIGE
Question 1 : colorier ou hachurer, sur la figure ci-dessus,
ci
l'ensemble S .
E
S
Question 2: Dans l'exemple précédent (celui du diagramme de Venn), quels sont les éléments de l'ensemble E?
Ce sont tous les élèves du lycée.
Quels sont les éléments de l'ensemble S ? Les élèves qui ne sont pas en S.
Question 3: Dans les expression suivantes, remplacer les pointillés par ∈;∉; ⊂ ou ⊄ .
5 ∈ ℕ ; −5 ∉ ℕ ; ℤ ⊂ ℝ ; −3 ∈ ℚ ; +∞ ∉ ℝ ; 0∈ ℚ ; −2 ∈ ℤ ; ℕ ⊂ ℚ ;
ℚ ⊂ ℝ ; −5 ∈ ℝ*− ; π ∈ ℝ ; ℕ ⊂ ℤ ; ℕ ⊄ ℝ − ; ℝ*+ ⊄ ℤ ;
4
∈ℚ ;0
0∉
∉ ℝ* ; −∞ ∉ ℚ ; 1∈ ℝ
3
2 ∉ ℚ ; −4 ∈ ℚ* ; 8 ∉ ℤ − ; ℤ − ⊂ ℝ − ; ℤ + ⊄ ℝ*+
Question 4: Dessiner ci-dessous
dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles
ℕ; ℤ; ℚ; ℝ .
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ
Question 5: Soit E l'ensemble des entiers compris entre -3
3 et 5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entiers
entie
naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A-t-on
A
E = {-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5}
F = {nϵN / 3|n et n≤10} = {0;3;6;9}
E⊂F?
E⊄F
Question 6: Compléter les phrases suivantes soit avec "et", soit avec "ou":
1, 4, 5,, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs OU inférieurs à 10.
2, 3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3 OU inférieurs à 10.
6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3 ET par 2.
Question 7: Dans un club sportif, plusieurs activités dont l'athlétisme et le basket sont proposées aux adhérents.
Dessiner ci-dessous,
dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme et du basket.
Dessiner ci-dessous,
dessous, à l'aide d'un autre diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme
l'
ou du
basket.
Question 8: Dans chacun des cas suivants, déterminer I ∩ J puis I ∪ J .
1°) I=[2;5,5] et J=]1;3]
I ∩ J = [2;3] ; I ∪ J =]1;5, 5]
2°) I=[-1;+∞[ et J=]-2;3]
I ∩ J = [−1;3] ; I ∪ J =] − 2; +∞[
Question 9: Dans chacun des cas suivants, écrire les ensembles de réels donnés sous la forme d'une réunion de
deux intervalles:
1°) L'ensemble des réels strictement supérieurs à 2 ou inférieurs ou égaux à 3.
]2; +∞[∪] − ∞;3]
2°) L'ensemble des réels
x tels que x > 1 ou x ≤ −2 .
]1; +∞[∪] − ∞; −2]
Question 10:
1°)Ecrire "tout en mathématiques" les phrases suivantes:
a) Quel que soit le nombre rationnel x , ce nombre x appartient à l'ensemble des réels .
∀x ∈ ℚ, x ∈ ℝ
b) Il existe un nombre entier naturel
n tel que le carré de n soit égal à 4.
2
∃n ∈ ℕ / n = 4
2°) Réécrire la phrase de la question 1a) en utilisant le symbole ⊂ .
ℚ⊂ℝ
3°) Ecrire "tout en mathématiques" : E est l'ensemble des nombres entiers pairs qui sont également divisibles par 3.
E = {n ∈ ℕ / 2 | n et 3|n} = {n ∈ ℕ / 6 | n }
Remarques:
La barre / signifie "tel que", on peut aussi écrire une virgule, ou bien l'abréviation "t.q.".
La barre | signifie "divise" (c'est-à-dire que cette division "tombe pile"): 3|n, "3 divise n" signifie que n est divisible par 3
On voit dans certains ouvrages post-bac des "intervalles d'entiers" bien pratiques, notés:
{2;3; 4;5} =
2;5