1èreS - TP05: Vocabulaire des ensembles, quantificateurs.

1èreS - TP05: Vocabulaire des ensembles, quantificateurs.
1. Représentation et notations
A. Diagramme de Venn
Dans un lycée, on note E l'ensemble de tous les élèves du lycée, et S l'ensemble des élèves qui sont en filière S (1ère
ou terminale). On peut représenter ces ensembles comme ci-dessous, cela s'appelle un diagramme de Venn:
E
S
Les élèves de S font tous partie de l'ensemble E des élèves du lycée; on dit que l'ensemble S est inclus dans
l'ensemble E, et on note
S E
⊂
.
L'ensemble des élèves du lycée qui ne sont pas en filière S se note
S
: on dit que c'est l'ensemble complémentaire
de S dans E.
Question 1 : colorier ou hachurer, sur la figure ci-dessus, l'ensemble
S
.
B. Ecriture sous forme de liste d'éléments
Lorsqu'il est possible de lister les éléments de l'ensemble, on écrit cette liste entre accolades. Ces accolades
signifient "ensemble". Par exemple, l'ensemble F des entiers inférieurs ou égaux à 3 est constitué des nombres 0; 1;
2; 3. On écrira: F= {0;1;2;3}. F est l'ensemble, et chacun des nombres 0; 1; 2; 3 est un élément de l'ensemble.
Question 2: Dans l'exemple précédent (celui du diagramme de Venn), quels sont les éléments de l'ensemble E?
............................................................................................................................................................................................
Quels sont les éléments de l'ensemble
S
? ......................................................................................................................
Les éléments de l'ensemble d'entiers F sont séparés par des points virgule pour qu'il n'y ait pas de confusion avec la
"virgule décimale". L'élément 2 appartient à l'ensemble F. On note: 2
∈
F. Le symbole "n'appartient pas à" se note
∉
Par exemple, 7
∉
F.
On utilise parfois des pointillés pour signifier que l'on poursuit la liste "à l'infini"; par exemple,
{
}
0;1; 2;3; 4;...
=
ℕ
.
∅
représente l'ensemble vide (sans accolades, sinon il s'agit de "l'ensemble qui contient l'ensemble vide en tant que
seul élément").
Rappels:
{0;1;2;3;...}
=
ℕ
est l'ensemble des entiers naturels;
{...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...}
= − − −
ℤ
est l'ensemble des
entiers relatifs;
ℚ
est l'ensemble des nombres rationnels (i.e. les nombres qui peuvent éventuellement s'écrire sous
forme de fraction ayant un numérateur et un dénominateur entiers);
ℝ
est l'ensemble de "tous les nombres que vous
connaissez officiellement à ce jour". On note * pour signifier que "l'on ne prend pas zéro" dans l'ensemble,
+
pour
signifier que l'on ne prend "que les positifs", et
-
lorsque l'on ne prend "que les négatifs". Par exemple,
*
]0; [
+
= +∞
ℝ
.
Attention! Le symbole
⊂
(inclusion) s'utilise entre deux ensembles, tandis que le symbole
∈
s'utilise entre un
élément et un ensemble.
Question 3: Dans les expression suivantes, remplacer les pointillés par
; ; ou
∈ ∉ ⊂ ⊄
.
5.....
ℕ
;
5.....
−
ℕ
;
.....
ℤ ℝ
;
3.....
−
ℚ
;
.....
+∞
ℝ
;
0.....
ℚ
;
2.....
−
ℤ
;
.....
ℕ ℚ
;
4
.....
3
ℚ
;
*
0.....
ℝ
;
.....
−∞
ℚ
;
1.....
ℝ
.....
ℚ ℝ
;
*
5.....
−
−
ℝ
;
.....
π
ℝ
;
.....
ℕ ℤ
;
.....
−
ℕ ℝ
;
*
.....
+
ℝ ℤ
;
2.....
ℚ
;
*
4.....
−
ℚ
;
8.....
−
ℤ
;
.....
− −
ℤ ℝ
;
*
.....
+ +
ℤ ℝ

Question 4: Dessiner ci-
dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles
Question 5:
Soit E l'ensemble des entiers compris entre
naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A
.......................................................................................................................
.............................................................................................................................
2.
Intersection, réunion, "et", "ou"
A. Les conjonctions "et", "ou" en mathématiques
Dans le langage usuel
, on emploie les locutions "et", "ou".
Le mot "et" peut signifier:
-
"à la fois", comme dans "cet élève est blond et porte des lunettes"
- "et p
uis", comme dans "l'élève ouvre son cartable et sort sa calculatrice"
Le mot "ou" peut signifier:
-
"soit l'un soit l'autre, mais pas les deux", comme dans "fromage ou dessert": c'est un "
-
"soit l'un, soit l'autre, soit les deux à la fois"
"ou" non exclusif.
En mathématiques
, "et" signifie "à la fois", et
deux.
Exemples: "6 est un nombre pair et
un multiple de 3";
"0, 2, 3, 6 sont des nombres pairs ou
des multiples de 3" (6 est les deux à la fois).
Question 6:
Compléter les phrases suivantes soit avec "et", soit avec "ou":
1, 4, 5, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs ..... inférieurs à 10.
2,
3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3 ...... inférieurs à 10.
6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3 ...... par 2.
B. Intersection, réunion
Soient deux ensembles A et B. Les éléments qui appartiennent à A
forment un nouvel ensemble (grisé
sur la figure), que l'on note
inter B"): c'est l'intersection
des ensembles A et B.
dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles
Soit E l'ensemble des entiers compris entre
-3 et
5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entiers
naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A
-t-on E F⊂ ?
.......................................................................................................................
.....................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................
Intersection, réunion, "et", "ou"
A. Les conjonctions "et", "ou" en mathématiques
, on emploie les locutions "et", "ou".
"à la fois", comme dans "cet élève est blond et porte des lunettes"
uis", comme dans "l'élève ouvre son cartable et sort sa calculatrice"
"soit l'un soit l'autre, mais pas les deux", comme dans "fromage ou dessert": c'est un "
ou exclusif
"soit l'un, soit l'autre, soit les deux à la fois"
,
comme dans "on cherche un traducteur anglais ou allemand" , c'est un
, "et" signifie "à la fois", et
le "ou" n'est jamais exclusif
: ce peut être soit l'un, soit l'autre, soit les
un multiple de 3";
des multiples de 3" (6 est les deux à la fois).
Compléter les phrases suivantes soit avec "et", soit avec "ou":
1, 4, 5, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs ..... inférieurs à 10.
3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3 ...... inférieurs à 10.
6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3 ...... par 2.
Soient deux ensembles A et B. Les éléments qui appartiennent à A
et à B
sur la figure), que l'on note
A B∩ ("A
des ensembles A et B.
Les éléments qui appartiennent à A ou
à B (ou aux deux, car en
maths le "ou" n'est pas exclusif) forment un nouvel ensemble (grisé
sur la figure), que l'on note A B∪
("A union B"): c'est la
des ensembles A et B.
dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles
; ; ; ℕ ℤ ℚ ℝ .
5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entiers
.....................................................................
.............................................................
..
ou exclusif
".
comme dans "on cherche un traducteur anglais ou allemand" , c'est un
: ce peut être soit l'un, soit l'autre, soit les
à B (ou aux deux, car en
maths le "ou" n'est pas exclusif) forment un nouvel ensemble (grisé
("A union B"): c'est la
réunion

Question 7: Dans un club sportif, plusieurs activités dont l'athlétisme et le basket sont proposées aux adhérents.
Dessiner ci-dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme et du basket.
Dessiner ci-dessous, à l'aide d'un autre diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme ou du
basket.
Question 8: Dans chacun des cas suivants, déterminer
I J
∩
puis
I J
∪
.
1°) I=[2;5,5] et J=]1;3]
............................................................................................................................................................................................
2°) I=[-1;+ ∞ [ et J=]-2;3]
............................................................................................................................................................................................
Question 9: Dans chacun des cas suivants, écrire les ensembles de réels donnés sous la forme d'une réunion de
deux intervalles:
1°) L'ensemble des réels strictement supérieurs à 2 ou inférieurs ou égaux à 3.
............................................................................................................................................................................................
2°) L'ensemble des réels
x
tels que
1
x
>
ou
2
x
≤ −
.
............................................................................................................................................................................................
3. Pour aller plus loin : Quantificateurs: "quel que soit", "il existe"
En mathématiques, on utilise tellement souvent les locutions "quel que soit "et "il existe", que l'on a inventé des
symboles pour les représenter. Attention, comme ces symboles sont écrits "en mathématiques", ils ne peuvent pas
être utilisés au milieu d'une phrase écrite en français: ils trouvent leur place dans un phrase écrite en mathématiques.
Le symbole pour "quel que soit" est:
∀
(un "A" la tête en bas), et le symbole pour "il existe" est
∃
(un "E" en miroir).
Par exemple, "quel que soit
x
dans
ℝ
,
2
x
est positif" pourra s'écrire:
2
, 0
x x
∀ ∈ ≥
ℝ
("tout en mathématiques"!).
De même, la phrase "il existe un nombre réel pour lequel la fonction
f
s'annule" pourra s'écrire:
(
)
/ 0
x f x
∃ ∈ =
ℝ
.
Question 10:
1°)Ecrire "tout en mathématiques" les phrases suivantes:
a) Quel que soit le nombre rationnel
x
, ce nombre
x
appartient à l'ensemble des réels .
............................................................................................................................................................................................
b) Il existe un nombre entier naturel
n
tel que le carré de
n
soit égal à 4.
............................................................................................................................................................................................
2°) Réécrire la phrase de la question 1a) en utilisant le symbole
⊂
.
............................................................................................................................................................................................
3°) Ecrire "tout en mathématiques" : E est l'ensemble des nombres entiers pairs qui sont également divisibles par 3.
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

1èreS - TP05:
Vocabulaire des ensembles
Question 1 :
colorier ou hachurer, sur la figure ci
Question 2:
Dans l'exemple précédent (celui du diagramme de Venn), quels sont les éléments de l'ensemble E?
Ce sont tous les élèves du lycée.
Quels sont les éléments de l'ensemble
S
Question 3: Dans
les expression suivantes, remplacer les pointillés par
5 ∈ ℕ ; 5 − ∉ ℕ ;
⊂ℤ ℝ
; 3 − ∈ℚ ;
+∞ ∉
⊂ℚ ℝ ;
*
5
−
− ∈ ℝ ; π ∈ℝ ; ⊂
ℕ ℤ
;
Question 4: Dessiner ci-
dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles
Question 5:
Soit E l'ensemble des entiers compris entre
naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A
E = {-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5}
F = {n ϵ N / 3|n et n≤10} = {0;3;6;9}
E F⊄
Question 6:
Compléter les phrases suivantes soit avec "et", soit avec "ou":
1, 4, 5
, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs
2, 3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3
6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3
Question 7:
Dans un club sportif, plusieurs activités dont l'athlétisme et le
Dessiner ci-
dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme et du basket.
Dessiner ci-
dessous, à l'aide d'un autre diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'
basket.
Vocabulaire des ensembles
,
quantificateurs
colorier ou hachurer, sur la figure ci
-dessus, l'ensemble S .
E
S
Dans l'exemple précédent (celui du diagramme de Venn), quels sont les éléments de l'ensemble E?
S
? Les élèves qui ne sont pas en S.
les expression suivantes, remplacer les pointillés par
; ; ou
∈ ∉ ⊂ ⊄
.
+∞ ∉
ℝ ; 0∈ℚ ;
2− ∈ ℤ
; ⊂ℕ ℚ ;
4
3∈ℚ
;
0
∉
ℕ ℤ
−
⊄ℕ ℝ ;
*
+
⊄ℝ ℤ ;
2∉ℚ
;
*
4− ∈ ℚ ; 8
−
∉
ℤ
dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ
Soit E l'ensemble des entiers compris entre
-
3 et 5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entie
naturels multiples de 3 et inférieurs à 10. A
-t-on E F⊂ ?
Compléter les phrases suivantes soit avec "et", soit avec "ou":
, 8, 9, 11, 15 sont des entiers impairs
OU inférieurs à 10.
2, 3, 6, 18 sont des entiers multiples de 3
OU inférieurs à 10.
6, 12, 18 sont des entiers divisibles par 3
ET par 2.
Dans un club sportif, plusieurs activités dont l'athlétisme et le
basket sont proposées aux adhérents.
dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme et du basket.
dessous, à l'aide d'un autre diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'
quantificateurs
- CORRIGE
Dans l'exemple précédent (celui du diagramme de Venn), quels sont les éléments de l'ensemble E?
*
0
∉
ℝ ; −∞ ∉ ℚ ;
1∈ℝ
−
ℤ
;
− −
⊂ℤ ℝ ;
*
+ +
⊄ ℤ ℝ
dessous (au crayon) le diagramme de Venn correspondant aux ensembles
; ; ;ℕ ℤ ℚ ℝ .
3 et 5 (inclus). Ecrire en accolades l'ensemble F des entie
rs
basket sont proposées aux adhérents.
dessous, à l'aide d'un diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'athlétisme et du basket.
dessous, à l'aide d'un autre diagramme de Venn, l'ensemble des adhérents qui font de l'
athlétisme ou du

Question 8: Dans chacun des cas suivants, déterminer
I J
∩
puis
I J
∪
.
1°) I=[2;5,5] et J=]1;3]
[2;3]
I J
∩ =
;
]1;5,5]
I J
∪ =
2°) I=[-1;+ ∞ [ et J=]-2;3]
[ 1;3]
I J
∩ = −
;
] 2; [
I J
∪ = − +∞
Question 9: Dans chacun des cas suivants, écrire les ensembles de réels donnés sous la forme d'une réunion de
deux intervalles:
1°) L'ensemble des réels strictement supérieurs à 2 ou inférieurs ou égaux à 3.
]2; [ ] ;3]
+∞ ∪ − ∞
2°) L'ensemble des réels
x
tels que
1
x
>
ou
2
x
≤ −
.
]1; [ ] ; 2]
+∞ ∪ − ∞ −
Question 10:
1°)Ecrire "tout en mathématiques" les phrases suivantes:
a) Quel que soit le nombre rationnel
x
, ce nombre
x
appartient à l'ensemble des réels .
, x x
∀ ∈ ∈
ℚ ℝ
b) Il existe un nombre entier naturel
n
tel que le carré de
n
soit égal à 4.
2
/ 4
n n
∃ ∈ =
ℕ
2°) Réécrire la phrase de la question 1a) en utilisant le symbole
⊂
.
⊂
ℚ ℝ
3°) Ecrire "tout en mathématiques" : E est l'ensemble des nombres entiers pairs qui sont également divisibles par 3.
{
}
{
}
/ 2 | et 3|n / 6 |
E n n n n
= ∈ = ∈
ℕ ℕ
Remarques:
La barre / signifie "tel que", on peut aussi écrire une virgule, ou bien l'abréviation "t.q.".
La barre | signifie "divise" (c'est-à-dire que cette division "tombe pile"): 3|n, "3 divise n" signifie que n est divisible par 3
On voit dans certains ouvrages post-bac des "intervalles d'entiers" bien pratiques, notés:
{
}
2; 3; 4;5 2; 5
=