Notes de cours

Int´ egrales impropres et s´ eries
Tewfik Sari
L2 Math

Chapitre 1
Rappels sur l’int´ egration
1.1 Int´ egrale de Riemann des fonctions en escalier
Soit [a, b]un intervalle ferm´ e et born´ e de R. Une subdivision de [a, b]et une suite fine et strictement
croissante de points de [a, b]telle que :
a=x0< x1<··· < xn=b.
D´ efinition 1 Soit Eun espace norm´ e. Soit f: [a, b]→E. On dit que fest une fonction en escalier, s’il exitse
un subdivision σ={x0, x1,··· , xn}de [a, b], telle que fsoit constante sur chacun des intervalles ouverts
]xi, xi+1[, pour 0≤i≤n−1. Une telle subdivision est dite associ´ ee ` af.
D´ efinition 2 Soit f: [a, b]→Eune fonction en escalier. Soit σ={x0, x1,··· , xn}une subdivision associ´ ee
`
afet soit ci=f|]xi,xi+1[. On appelle int´ egrale de fsur [a, b]la somme not´ ee
Zb
a
f(x)dx =
n−1
X
i=0
(xi+1 −xi)ci.(1.1)
Exercice Montrer que l’int´ egrale d’une fonction en escalier fne d´ epend pas de la subdivision σassoci´ ee ` af
qui est utilis´ ee pour la calculer par la formule (1.1).
Proposition 1 (Propri´ et´ es de l’int´ egrale) Notons par E([a, b], E)l’ensemble des fonctions en escalier sur
[a, b].
Relation de Chasles. Pour tout f∈ E([a, b], E)et tout c∈[a, b]on a
Zb
a
f(x)dx =Zc
a
f(x)dx +Zb
c
f(x)dx.
Lin´ earit´ e. Pour tous fet gdans E([a, b], E)et tous r´ eels λet µon a
Zb
a
(λf +µg)(x)dx =λZb
a
f(x)dx +µZb
a
g(x)dx.
Croissance. Soient fet gdans E([a, b],R). Si pour tout x∈[a, b],f(x)≤g(x)alors
Zb
a
f(x)dx ≤Zb
a
g(x)dx.
Par cons´ equent, si f≥0sur [a, b]alors Rb
af(x)dx ≥0.
Majoration. Pour tout f∈ E([a, b], E)on a
Zb
a
f(x)dx
≤Zb
akf(x)kdx.
1

CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INT ´ EGRATION 2
In´ egalit´ e de Cauchy-Schwartz. Pour tous fet gdans E([a, b],R)on a
Zb
a
f(x)g(x)dx≤Zb
a|f(x)|2dx1/2Zb a|g(x)|2dx1/2
.
Exercice D´ emontrer les r´ esultats de cette proposition.
1.2 Int´ egration des fonctions continues par morceaux
Dans la section pr´ ec´ edente on a montr´ e comment int´ egrer les fonctions en escalier, qui sont des cas parti-
culiers de fonctions born´ ees. Dans cette section nous allons int´ egrer les fonctions continues par morceaux, en
les approchant par des fonctions en escalier.
D´ efinition 3 Une fonction f: [a, b]→Eest dite continue par morceaux si et seulement s’il existe une
subdivision s= (a0,··· , an)de [a, b]telle que pour tout i∈ {0,··· , n −1}la restriction f|]ai,ai+1[soit
continue et admette une limite ` a gauche en aiet une limite ` a droite en ai+1.
Th´ eor` eme 1 Soit f: [a, b]→Eune fonction continue par morceaux.
– Il existe une suite (fn)de fonctions en escaliers fn: [a, b]→Equi converge uniform´ ement vers fsur
[a, b].
– Si Eest complet, alors pour toutes les suites (fn)de fonctions en escaliers sur [a, b]convergeant uni-
form´ ement vers fsur [a, b], la suite Rb
afnconverge dans Evers une mˆ
eme limite, appel´ ee l’int´ egrale
de fsur [a, b]et not´ ee
Z[a,b]
f=Zb
a
f=Zb
a
f(t)dt = lim
n→∞ Zb
a
fn(t)dt.
Proposition 2 (Propri´ et´ es de l’int´ egrale) Notons CM([a, b], E)l’ensemble des fonctions continues par mor-
ceaux sur [a, b].
Relation de Chasles. Pour tout f∈ CM([a, b], E)et tout c∈[a, b]on a f∈ CM([a, c], E)et f∈
CM([c, b], E)et
Zb
a
f(x)dx =Zc
a
f(x)dx +Zb
c
f(x)dx.
Lin´ earit´ e de l’int´ egrale. Pour tous f, g ∈ CM([a, b], E)et tous r´ eels λet µon a λf +µg ∈ CM([a, b], E)et
Zb
a
(λf +µg)(x)dx =λZb
a
f(x)dx +µZb
a
g(x)dx.
Croissance. Pour tous f, g ∈ CM([a, b],R), si pour tout x∈[a, b],f(x)≤g(x)alors
Zb
a
f(x)dx ≤Zb
a
g(x)dx.
Par cons´ equent, si f≥0sur [a, b]alors Rb
af(x)dx ≥0.
Majoration. Pour tout f∈ CM([a, b], E)onakfk ∈ CM([a, b],R)et
Zb
a
f(x)dx
≤Zb
akf(x)kdx.
In´ egalit´ e de Cauchy-Schwartz. Pour tous f, g ∈ CM([a, b],R)onafg ∈ CM([a, b],R)et
Zb
a
f(x)g(x)dx≤Zb
a|f(x)|2dx1/2Zb a|g(x)|2dx1/2
.

CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INT ´ EGRATION 3
Exercice D´ emontrer cette proposition.
Proposition 3 Soit fcontinue sur [a, b]telle que f≥0sur [a, b]. Alors
Zb
a
f(x)dx = 0 ⇒f= 0 sur [a, b].
1.3 Sommes de Riemann
D´ efinition 4 Soit f: [a, b]→Eune fonction. Soit σ={x0, x1,··· , xn}, telle que a=x0< x1<··· <
xn=b, une subdivision de [a, b]et soit ξ={ξ0, ξ1,··· , ξn−1}, telle que ξi∈[xi, xi+1],i= 0,··· , n −1, une
suite de points. On appelle somme de Riemann de fassoci´ ee ` aσet ξla somme not´ ee
R(f, σ, ξ) =
n−1
X
i=0
(xi+1 −xi)f(ξi).
Th´ eor` eme 2 Si la fonction f: [a, b]→Eest continue par morceaux sur [a, b]alors, pour tout ε > 0il existe
δ > 0tel que pour toute subdivision σ={x0, x1,··· , xn}et toute suite de points ξ={ξ0, ξ1,··· , ξn−1}on a
xi+1 −xi< δ et xi≤ξi≤xi+1 pour 0≤i≤n−1⇒ R(f, σ, ξ)−Zb
a
f(x)dx < ε.
Exercice D´ emontrer ce th´ eor` eme.

Chapitre 2
Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
2.1 Position du probl` eme
Dans le chapitre 1 on a rappel´ e la d´ efinition de l’int´ egrale (si elle existe) d’une fonction born´ ee sur un
intervalle born´ e. Dans ce chapitre on va ´ etendre la notion d’int´ egrale (si elle existe) ` a des fonctions non born´ ees
ou des intervalles non born´ es (ou les deux). Plus pr´ ecis´ ement, on veut g´ eneraliser la notion d’int´ egrale et d´ efinir
l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee (si elle existe) ZI
f(x)dx (2.1)
o` uIest un intervalle quelconque de Ret fune fonction continue et ´ eventuellement non born´ ee sur I, ou non
d´ efinie en des points isol´ es de I. On dit que (2.1) est une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee ou int´ egrale impropre. Comme
on veut conserver l’additivit´ e de l’int´ egrale (Relation de Chasles) on d´ ecomposera TOUJOURS l’int´ egrale (2.1)
en une somme d’int´ egrales de la forme
Zb
a
f(x)dx, avec a < b ≤+∞et f: [a, b[→Rcontinue,
ou bien de la forme Zb
a
f(x)dx, avec − ∞ ≤ a < b et f:]a, b]→Rcontinue.
Par exemple on posera
Z+∞
−∞
dx
1−x2=Z−2
−∞
dx
1−x2+Z−1
−2
dx
1−x2+Z0
−1
dx
1−x2
+Z1
0
dx
1−x2+Z2
1
dx
1−x2+Z+∞
2
dx
1−x2,
ca l’int´ egrale consid´ er´ ee est “impropre” en ±∞ et en ±1. L’int´ egrale sur ]− ∞,+∞[n’aura de sens que si
chacune des six int´ egrales dont elle est la somme existe.
Comme la situation sur ]a, b]est analogue ` a celle sur [a, b[, nous allons dans la suite d´ efinir les int´ egrales
g´ en´ eralis´ ees de fsur [a, b[, avec a < b ≤+∞. On examine d’abord le cas b= +∞, puis le cas o` ub < +∞et
fest continue sur [a, b[et non born´ ee.
2.2 Int´ egrale sur un intervalle non born´ e
Soit f: [a, +∞[→Rune fonction continue. Par cons´ equent fest int´ egrable sur tout intervalle [a, x]avec
x > a, de sorte que le nombre Rx
af(t)dt est bien d´
efini.
D´ efinition 5 On dit que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee (ou impropre) R+∞
af(t)dt existe (ou converge) si limx→+∞Rx af(t)dt
exite et est finie. Dans ce cas on note
Z+∞
a
f(t)dt = lim
x→+∞Zx
a
f(t)dt.
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