Factorisation et étude de signes

Factorisation
et étude de
signes
Eric Leduc
Signe d’une
fonction
affine
Factorisation
Signe du
produit de
deux
fonctions
affines
Signe d’une
fonction ho-
mographique
Factorisation et étude de signes
Seconde
Eric Leduc
Lycée Jacquard
2014/2015

Factorisation
et étude de
signes
Eric Leduc
Signe d’une
fonction
affine
Factorisation
Signe du
produit de
deux
fonctions
affines
Signe d’une
fonction ho-
mographique
Rappel du plan
1Signe d’une fonction affine
2Factorisation
3Signe du produit de deux fonctions affines
4Signe d’une fonction homographique

Factorisation
et étude de
signes
Eric Leduc
Signe d’une
fonction
affine
Factorisation
Signe du
produit de
deux
fonctions
affines
Signe d’une
fonction ho-
mographique
Signe de ax +b
Propriété no1
Soit aet bdeux nombres réels avec a6= 0.
La fonction affine définie sur Rpar f(x)=ax +bs’annule et
change de signe une fois dans son domaine de définition pour
x= − b
a.
Si a>0, elle est négative puis
positive.
+
1
+
1
0
−+
Si a<0, elle est positive puis
négative.
+
1
+
1
0
−
+

Factorisation
et étude de
signes
Eric Leduc
Signe d’une
fonction
affine
Factorisation
Signe du
produit de
deux
fonctions
affines
Signe d’une
fonction ho-
mographique
Démonstration de la propriété no1 I
Soit fune fonction affine définie sur Rpar f(x)=ax +bavec
a6= 0.
f(x)=0 implique ax +b=0 soit ax = −bet x= − b
a.
Si a>0, la fonction fest croissante.
Pour x< − b
a,f(x)<fµ−b a¶. Or, fµ−b a¶=0
donc f(x)<0.
Pour x> − b
a,f(x)>fµ−b a¶. Or, fµ−b a¶=0
donc f(x)>0.
Donc fest négative sur ]− ∞;−b/a[puis positive
sur ]−b/a;+∞[.
Si a<0, la fonction fest décroissante.

Factorisation
et étude de
signes
Eric Leduc
Signe d’une
fonction
affine
Factorisation
Signe du
produit de
deux
fonctions
affines
Signe d’une
fonction ho-
mographique
Démonstration de la propriété no1 II
Pour x< − b
a,f(x)>fµ−b a¶. Or, fµ−b a¶=0
donc f(x)>0.
Pour x> − b
a,f(x)<fµ−b a¶. Or, fµ−b a¶=0
donc f(x)<0.
Donc fest positive sur ¸−∞ ;−b
a·puis négative
sur ¸−b
a;+∞·.