Contrôle de PROBA-STAT 2H : R. ABABOU : 25 Janvier 2002 2
Analytiquement, la procédure à suivre peut être résumée comme suit.
Utilisation de la table donnant la FdR normale FU(u) pour U gaussienne centrée réduite:
q La table donne : FU(u) = Proba(U ≤ u) pour une v.a. U de loi normale N(0,1)
q Par ailleurs X = mX + σX u pour une v.a. X gaussienne de moments (mX , σX2).
Détermination de l'intervalle à 80% de probabilité (I80%):
Proba(U ≤ +1.28) = 0.90 d'après la table
Proba(U ≥ -1.28) = 0.10 par symétrie de la loi
Proba(-1.28 ≤ U ≤ +1.28) = 0.80
è I80% = [-1.28,+1.28] pour la v.a. U centrée réduite (0,1).
Or on a : X = mX + σX u.
On obtient donc, pour la v.a. gaussienne X de moments (mX,σX2) :
è I80% = [mX -1.28 σσX , mX +1.28 σσX ]
De même, pour l'intervalle à 98% de probabilité (I98%):
è I98% = [mX -2.32 σσX , mX +2.32 σσX ]
2.
Dans le cas d'une régression linéaire Y=aX+b+ε, la question précédente revient à estimer
une bande de confiance autour de la droite de régression [cf. schéma ci-dessous].
L'écart-type (σε ) du résidu (ε) donne la largeur de la bande de confiance dans la direction
des ordonnées (Y). En notant I (YX) l'intervalle de confiance pour la regression de Y par
rapport à X, on obtient par exemple, à 80%:
è I80%(YX) = [aX+b ±± 1.28 σσεε ] (etc…)
Or : σε2 = σY2 (1 - ρ2) ⇒⇒ σε2 = (2)2 (1 - (-0.5)2) = 4×3/4 = 3 ⇒⇒ σσεε = √√3.
D'où: I80%(YX) = [aX+b ±± 1.28××√√3] ≈≈ [aX+b ±± 2.22]
De même: I98%(YX) = [aX+b ±± 2.32××√√3] ≈≈ [aX+b ±± 4.02]
Schéma : bande de confiance d'une régression linéaire.