Sur les anneaux non commutatifs. II. Anneaux

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
C LAUDE J OULAIN
Sur les anneaux non commutatifs. II. Anneaux noethériens
et artiniens à gauche
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 15, no 2 (1961-1962), exp. no 14,
p. 1-10
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14-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(algèbre et Théorie des nombres)
15e. année, 1961/62, n° -14
12
1962
raars
SUR LES ANNEAUX NON COMMUTATIFS
II. ANNEAUX NOETHÉRIENS ET ARTINIENS À GAUCHE.
par Claude JOULAIN
On
dans les deux
trouvera,
premières parties
de cet
exposée
les définitions et
exemples dl anneaux, de nodules et de demi-groupes noethériens et artiniens.
La troisième partie est consacrée à l’ étude de la structure d’un anneau premier
unitaire, artinien à gauche.
des
Cet
exposé reprend,
1. Anneaux,
nodules
dans
ses
grandes lignes,
(resp.
Si l’anneau A
chapitre
de
l’ouvrage C~~.
et demi-groupes noethériens.
DEFINITION ~.1..» Un anneau A est
bilatère), sil vérifie la condition
idéaux à gauche
un
à
de
gauche (resp. à droite,.
chaîne ascendante
(finie)
pour les
droite’ bilatères)*
est noethérien à
La condition de chaîne
dit noethérien ~
gauche
et à
droite,
ascendante (finie) exprime
il est dit noethérien.
que toute suite strictement
croissante d’idéaux
est
nécessairement finie.
Elle
a
été introduite par E. NOETHER
Cette condition de chaîne
encore
1921 (cf. [7])
ascendante, équivaut
élément maximal
maximale, signifie
à la condition
que tout ensemble d’idéaux de
finie, signifie
que tout idéal dans 1-
commutatif.
maximale,
ou
1
possède
un
possède
un
nombre
génér. ateurs.
Donnons quelques exemples d’anneaux noethériens à
1° Soit l’anneau des
coefficients dans
Y~
cas
dans cet enserible.
La condition de base
et
dans le
à la condition de base finie.
La condition
fini de
en
avec
un
polynômes
à deux variables
corps commutatif
les relations
K,
dont
gauche,
ou
noethériens.
permutables X et Y , à
les éléments permutent avec X
non
[2]).
Hc CARTAN et Se EILENBERG
(cf.
C’ est
noethérien à gauche, et
un anneau
non
à droite. Ce n’est pas
un anneau
premier.
2° Si
on
K(Y)
dans le corps
obtient
on
à
non
polynômes
considère l?anneau des
droite (cf.
3° Dans le
cas
c’ est l’anneau
d’
intégrité,
donc
commutatif,
a
corps commutatif
été
commutatif,
permutables,
1.
gauche et
exemple important d’anneau noethérien :
des polynômes à n variables permutables. Le
démontré,
on a cor.me
d’une
1890,
en
par D. HILBERT
des
polynômes
à coefficients dans
un
[4].
exemple ir.3portant d’ anneau noethé-
algèbre
de Lie de dimension finie sur
K o Cet anneau s’ obtiont de la
On considère l’anneau
non
est noethérien à
exemple 1).
rien, l’algèbre enveloppante ~.~L~
un
et à coefficients
on a un
K[X1 , ... , X ]
non
vaxiable X
premier, qui
L. LESIEUR et Ro
théorème de la base finie
4° Dans le cas
une
les relations
avec
un anneau
à
à
n
façon suivante :
variables
corps commutatif
K. (i = 1 , 2 , ... , n)
K. On impose la rela-
tion
L.. (X~
eu
est
une
~~ J
~(L)
est l’anneau
Si les formes
sinon
est
linéaire donnée
quotient obtenuo
L..(X)
sont toutes
un anneau non
nulles,
est
commutatif noethérien à
un anneau
gauche
et à
commutatif,
droite ; la
méthode originale de Hilbert peut être utilisée pour démontrer que
un anneau d’
intégrité, noethérien à gauche et à droite.
5° Tout
d’
anneaux
quotient d’un anneau noethérien à gauche, tout produit
noethériens à gauche, sont des anneaux noethériens à gauche.
anneau
est
fini
Pour les
modules,
DEFINITION
on a
la définition suivante $
1.2. - Un
à
M
gauche
noethérien s’il vérifie
est dit
la condition de chaîne ascendante pour les sous-nodules.
Un
exemple
général
assez
à
de
est fourni par la
gauche noethérien,
propriété suivante :
PROPRIETE
neau A
1.1. - Un
A-module à
de
type fini
sur un an-
noethérien à gauche, est noethérien.
On raisonne par récurrence
de j~~ .
1°
unitaire,
gauche
M
p = 1 . - Alors
=
sur
le nonbre
soit
Ax1 ;
Mn
p
un
des
(x~ ~
générateurs
sous-module de
... ~
M . Considérons
l’idéal à gauche :
Considérons
une
suite strictement croissante de sous-modules Mn ,
La suite d’ idéaux à gauche
de sous-raodules M .
I
n
est donc
finie ;
il
en
on a
est
de la suite
n
2°
Supposons
Mn
étant
par les
Si
on
a~
On a
m.
une
propriété
qu’il
une
M
vraie pour
sous-nodule de
tels
considère
foraient
rang
un
la
M,
on
Ax1
considère l’ idéel à gauche
+
+
Ax2 +
In’ constitué
...
oxiste
suite croissante de sous-modules
suito
=
croissante,
les idéaux à gauche
donc stationnaire à partir d’un certain
Mn ,
x~
Supposons k ~
et soit
Une suite strictenent croissante de sous-nodules de
M
strictement croissante de sous-nodules de
Lx~ +
+
finie, d’après l’hypothèse d’induction,
propriété
Pour
un
demi-groupe,
DEFINITION 1.3. - Un
on a
déni-groupe
Exemple. On obtient
2.
un
D
D
en
suite
telle suite est
résulte pour
est dit noethérien à
p .
1,1
gauche
(resp.
à
la condition de chaîne ascendante pour les
est noethérien à
Dans l’ensemble
une
une
la définition :
droite! bilatère), s’il vérifie
idéaux à gauche (resp. à droite,
Si le déni-groupe
la
...
définit donc
gauche
des entiers
et à
droite,
il eat dit noethérien.
ab
=
gauche (resp.
à
naturels,
on
pose
b) .
demi-groupe noethérien.
Anneaux, modules, et
demi-groupes artiniens.
DEFINITION 2.1. - Un anneau A
est dit artinien à
droite,
bilatère) s’il vérifie la condition de chaîne descendante pour les idéaux à
gauche (resp* à droite,
Un
artinien à
anneau
gauche
et à droite est dit artinien.
L’ expression d’anneau artinien a été donnée en raison des travaux de E. ARTIN
(cfo [1]) publiés en 19270 La condition de chaîne descendante exprine que toute
suite strictement décroissante d’idéaux est nécessairement finie. Elle équivaut
à la condition minimale : tout ensemble d’idéaux possède un idéal minimal dans
cet ensemble. Elle équivaut également à la condition : toute intersection infinie
d’idéaux est égale à une intersection finies
L’
Exemple. est
un agneau
est
un
à
espace
gauche
M est
des Llatrices carrées d’ ordre
n g sur un corps K
M
noethérien. En
artinien ? c’est également un anneau
vectoriel E à gauche sur K de dimension finie
de
est,
en
particulier;
un
E;
sous-espace de
,
effet,Un idéal
n
n
.
et les sous-espaces
vérifient les conditions de chaîne ascendante et de chaîne descendante. De plus~
E
de
anneau M
un anneau
premier,dans lequel le seul idéal bilatère
Ceci résulte de la
propriété suivante 3
DER WAERDEN
Le
En
propre est 11 idéal nul.
[8]).
on a :
,
,
PROPRIETE 2.1. - L’anneau
quelconque
K,
ost
un anneau
DEFINITION 2.2. - Un
dition de cha3ne
Un exemple de
M
,
t
des matrices carrées d’ordre
artinion premier,
A-module à
corps
unitaire.
..-nodule à gaucho est dit
descendante,
sur un
n ,
artinien, s’il vérifie la
con-
pour les sous-modules.
gaucho, artinien,
est fourni par la
propriété
sui-
vante s
PROPRIETE 2 oz Q .. Un
A-module à
gauche, unitaire,
de
type fini,
sur un anneau
artinien à gauche est artinicn.
La dénonstration est analogue à colle de la
DEFINITION 2.3. - Un
demi-groupe
bilatère) s’il vérifie la condition
gauche (à droite, bilatères).
Un
deui-groupe
est dit
D
propriété
1.1 dans le
ost dit artinien à gauche
de
artinien, s’il
cas
(resp.
noethérien.
à
droite
chaîne descendante pour les idéaux à
est artinien à
gauche
et à droite.
Exemple. - Dans l’ensemble
D
naturels, complétés
des entiers
on
par ~ ,
pose :
m.in( a , b)
ab =
obtient
on
Le
demi-groupe artinien
un
obtenu
demi-groupe
unité,
et
non
noethérien.
max~ a ~ b)
mais n’est pas artinien.
noethérien,
3. Structure
élément
avec
posant
en
ab ~
est
,
d’un anneau
artinien à
unitaire,
premier,
auche.
donné dans la deuxième partie (propriété 21)~ un exemple dl anneau prernier,
des matrices carrées d’ordre n sur un corps
unitaire, artinien : l’anneau
On
a
Mn
K (ou
des
encore
dimension finie
gauche, peut être
THÉORÈME. -
espace vectoriel
E
de
sur
Nous allons montrer que
nien à
endomorphismes d’un
obtenu de cette
Pour qu’un
il faut et il suffit
E
espace vectoriel
réciproquement,
x
anneau
qu’il
soit
tout
anneau
premier, unitaire,
arti-
façon.
soit
artinien à gauche,
premier, unitaire,
isomorphe à l’anneau des endomorphismes d’un
de dimension finie
sur un
n ~
K.
corps
On doit donc montrer que tout anneau premier, unitaire, artinien à gauche, est
des endomorphismes d’un espace vectoriel E ~ de
isomorphe à l’anneau
~K ~E)
dimension
Soit
finie,
A
un anneau
un
le lemne de
a E
K
V
et
toriel à droite
Si
toriel
a E
E
phisme de
K .
premier, unitaire,
comme
artinien à
A-module à
Schur,
gauche,
M
hI
et soit
gauche,
est
un
idéal
A-module simple.
un
des endomorphismes de
est donc
K .
corps
V
corps
A. Considéré
minimal de
D’après
sur un
x E
E~
sur
le corps
A , l’homothétie
sur
A
a(x) ==
posons
f :
fx(E)
0
devient alors
un
espace
vec-
endomorphisme de l’espace
vec-
K o
x
~
ax
est
K . Nous allons montrer que
sur
î~i
xa .
C’est évidemment
un
l’application
un
a ~
homomorphisme.
f
a
est
un
isomor-
1~
a
f
est
une
surjectiono
Démontrons d’abord le lemme de densité qui s’énonce:
IEMME de densité. - Soient
rement
indépendants
E ~ II existe
de
La démonstration de
sur
a ~
ce
A
K,
x1 , x2 ,
et soient
... ,
x
y1 , ... ,
y
E,
des éléments
linéai-
quelconques
tel que:
lemme utilise la relation suivante :
laquelle 0 B x, l représente l’ annulateur
représente ls annulateur de S ~ A dans E .
dans
On établit cette
des éléments de
relation (1)
en
de
dans
raisonnant par récurrence
A
sur
et
n.
0.‘ S
Ceci permet la définition de
phismede
La
relation (1)
a :
V
1~ 9 en effet,
est l’unité de
a
l’application
ax~ -~
on a
ay
donc
qui est
axl
a =
un
ay ,
automorsi
et,
A,
est
supposée
vraie pour
n .. ~ .
On a
effet?
en
Inversement,
montrons que
n-1
On considère
In - ~ ~ 0 ~. x.~ ) ;
ax,~ ^ ~ e. ~ a n~~ ~ 0 ~
est
un
automorphisme
et
de
M;
1~ ~
ce
a
E In =
ct est-à-dire vérifiant
peut définir l’application a :
on
en
pour tous les
effet,
on a
I
n
x =
n
ïyI ~ sinon,~
~
a~
on
relation ( 1) est
1
x =
n
n
qui entraînerait
(d’après l’hypothèse d’induction). Ceci est contraire à l’hypothèse
"
... , xn linéairement indépendants sur K ". On a donc
La
aurait
.
ainsi démontrée.
V
a E
In ,
0
Le lemme de densité
alors
on a
y.~
en
résulte ; ~ i ,
ax. ~ Z .~
1,2,
... ,
on
peut choisir
tel que
ai
n) .
D’di le lemme de densités
E
est de dimension finie sur
K. En
effet,
suite strictement croissante de sous-espaces,
relation ( 1)
la
x1 K + x2 K + ... + xn
pond la suite strictement décroissante d’idéaux à gauche
Une telle suite est donc
E
étant de dimension finie
endomorphisme
2°
a -~ f
de
est
E
est
bx ~
étant premier,
A
a .~
ax=
f
est
un
homothétie
a ~
fa
effet,
l’anneau
ceci entraîne
a
isomorphisme de
est
1~ ~
une
et,
par
.
x..
sur
K.
conséquente
que
surjection.
l~ ~
est
idéal bilatère premier,
En
est de dimension finie
V
COROLLAIRE 1. - Si A
un
une
est
0
il résulte du lemme de densité que tout
K~
sur
f1
qu’à la
K , corres-
bijection.
une
a
Soit
E
et
finie,
montre
=
A
est
un
COROLLAIRE 2, .» Tout
0
est
un
(a-b)
o
et,
et le théorème est établi.
sur
unitaire artinien à
gauche,
et si P
artinien à
gauche,
donc
isomorphe à
idéal. bilatère maximal de
anneau
premier, unitaire,
anneau
premier, Unitaire,
artinien à
gauche,
est artinien
et noethérien.
DEFINITION
anneau
3.1. - Un
simple.
est
idéal bilatère maximal.
unitaire, premier,
et l’ idéal
soit
b .
un anneau
P
0;
artinien à
gauche est appelé
14-10
PROPRIÉTÉ
3~ 1. ~ Tout
un anneau
bilatère est égal
au
artinien unitaire est
anneau
dans
lequel le radical
un anneau
R(J)
de Baer et
On
radical de
de Jacobson
a
McCoy d’ un idéal
(cf.
déjà
Radical). Diaprés le corollaire 1, tout idéal bilatère premier
est maximal ; de plus, tout idéal bilatère maximal est primitif, A étant unitaire. R(J) est donc une intersection
bilatères primitifs, et contient
R ~~ ~ o
donc (~(3) . D~ où
exposé n° 13 :
On démontre
Tout
et Ra
anneau
CROISOT
Io
une
forte que le corollaire 2 :
propriété plus
unitaire artinien à gauche est noethérien à gauche (cf. L. LESIEUR
[5J).0 Ce qui est faux pour les demi-groupes, comme le montre l’exem-
ple du § 20
La structure d’un
~~. Wo GOLDIE
[3]
anneau
a
montré
premier noethérien à gauche n’est
qu’un
possède un anneau de quotients
mier artinien, unitaire.
anneau
possède
un anneau
de
simple.
premier noethérien à droite et à gauche
à droite et à
L. LESIEUR et R. CROISOT ont montré
pas aussi
qu’un
gauche qui est
anneau
quotients à gauche qui est
un anneau
pre-
n
premier, noethérien
un anneau
M
à
gauche,
M .
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Zur Theorie der hyperkomplexen
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VAN DER WAERDEN (B. L.). - Algebra. Teil
1., 4te Auflage und Teil 2., 3te
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"Modernen
Auflage
Algebra". - Berlin, Springer-Verlag, 1955 (Grund
lehren der mathematischen Wissenschaften, 33 und 34).
CARTAN
and EILENBERG
-
p.