Sur des foncteurs simples

Pacific
Journal of
Mathematics
SUR DES FONCTEURS SIMPLES
Isma
¨
ıl Bourizk
Volume 215 No. 2 June 2004

PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS
Vol. 215, No. 2, 2004
SUR DES FONCTEURS SIMPLES
Isma
¨
ıl Bourizk
Let kbe a field of positive characteristic p. One considers
some categories, whose objects are given classes of finite p-
groups, and morphisms are given classes of k-virtual bisets,
i.e., linear combinations of bisets with coefficients in k. The
category of k-linear functors from such a category to the cat-
egory of k-vector spaces is abelian, and one can try to classify
and describe its simple objects, or its projective objects.
By specific subfunctors of the Burnside functor, which have
a unique simple quotient SQ,k, one will get some estimates on
the k-dimension of the evaluations of these simple functors.
These evaluations are equalities for abelian p-groups, and for
such groups Pthe result is even stronger, since it provides
some explicit k-bases for the evaluations SQ,k(P).
Introduction
Le formalisme des bi-ensembles permet de donner une description uniforme
des op´erations d’induction, de restriction, d’inflation, de d´eflation, et de
transport par isomorphisme. Cette description permet une interpr´etation
des formules classiques, comme la formule de Mackey, en termes de produits
de bi-ensembles.
Etant donn´e un anneau commutatif k, il est alors naturel de consid´erer des
cat´egories dont les objets sont certaines classes de groupes finis, et les mor-
phismes certaines classes de bi-ensembles k-virtuels, i.e., des combinaisons
lin´eaires `a coefficients dans kde bi-ensembles. La cat´egorie des foncteurs k-
lin´eaires d’une telle cat´egorie vers la cat´egorie des k-modules est ab´elienne,
et on peut essayer de classifier et d´ecrire ses objets simples ou ses objets
projectifs.
En particulier, S. Bouc a ´etudi´e la cat´egorie dont les objets sont tous les
groupes finis, et les morphismes tous les bi-ensembles virtuels, l’anneau k
´etant un corps de caract´eristique z´ero (cf. [1]). La classification des facteurs
simples du foncteur de Burnside dans ce cas fait apparaˆıtre la notion de
“b-groupes”, et les facteurs en question sont les foncteurs simples SH,k, o`u
Hest un“b-groupe”.
Plus r´ecemment, S. Bouc et J. Th´evenaz ont d´ecrit certains foncteurs
simples SP,k, o`u Pest un p-groupe fini et kest un corps de caract´eristique
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positive qdiff´erente de p, d´efinis sur la cat´egorie dont les objets sont les
p-groupes finis (cf. [2]).
Dans ce travail on essayera de compl´eter ce dernier cas, en prenant pour
kun corps de caract´eristique p. Grˆace `a des sous-foncteurs du foncteur de
Burnside, qui ont un unique quotient simple SQ,k, on obtiendra des estima-
tions de la dimension sur kdes ´evaluations de ces foncteurs simples. Dans
le cas o`u l’on se restreint aux p-groupes ab´eliens, ces estimations sont des
´egalit´es: soient Qet Pdeux p-groupes ab´eliens finis, tel que Qest d’ordre
au moins p2, alors dimkSQ,k(P) est ´egale au nombre de sous-groupes Rde
Ptels que P/R 'Q; et dimkS1,k(P) est ´egale au nombre de sous-groupes
Rde Ptels que |P/R| ≤ p. Le cas o`u Qest d’ordre p, est donc laiss´e
compl`etement ouvert.
1. Notations et rappels
•Un bi-ensemble U, est un ensemble sur lequel un groupe Gagit `a gauche
et un autre groupe Hagit `a droite, de fa¸con que
g(xh) = (gx)hpour tous g∈G, x ∈Uet h∈H.
Soit kun corps de caract´eristique ppositive, et Ckla cat´egorie dont les objets
sont les p-groupes finis et les morphismes sont les combinaisons k-lin´eaires
de bi-ensembles. Soit Fkla cat´egorie ab´elienne des foncteurs k-lin´eaires de
Ckdans la cat´egorie des k-espaces vectoriels.
Si Pest un p-groupe, soit B(P) l’anneau de Burnside de P, alors la
correspondance P7−→ k⊗ZB(P) est naturellement un objet de Fk(cf. [1],
Introduction).
Si Get Hsont deux objets de Ck, alors HomCk(H, G) est le produit
tensoriel par kdu groupe de Grothendieck de la cat´egorie des G-ensembles-
H, le produit de deux morphismes ´etant d´efini par k-lin´earit´e `a partir du
produit d’ensembles d´efini comme suit:
Soient Get Hdeux groupes finis. Si Lest un sous-groupe du produit
G×Hon notera (G×H)/L le bi-ensemble form´e des classes (g, h)Lpour
(g, h)∈G×H, consid´er´e comme G-ensemble-Hpour l’action
x·(g, h)L·y= (xg, y−1h)L.
Soit G0un autre groupe fini, Eun G-ensemble-Het Fun H-ensemble-G0,
on note E×HFl’ensemble des orbites de Hpar son action sur le produit
E×Fdonn´ee par h·(x, y) = (xh−1, hy). C’est un G-ensemble-G0: si g∈G
et g0∈G0, alors par d´efinition
g·(x, y)·g0= (gx, yg0)
o`u (x, y) d´esigne l’image de (x, y) dans E×HF.
Soit Hun sous-groupe de G, soit Nun sous-groupe normal de G. Rap-
pelons la d´efinition des bi-ensembles IndG
H, Inf G
G/N , Def G G/N et ResG
H:

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on a
IndG
H= (G×H)/{(g, g)|g∈H}
Inf G
G/N = (G×(G/N))/{(g, gN)|g∈G}
Def G
G/N = ((G/N)×G)/{(gN, g)|g∈G}
ResG
H= (H×G)/{(h, h)|h∈H}.
Soit ϕun isomorphisme d’un groupe fini Gdans un autre G0, on d´efinit le
bi-ensemble IsoG
G0par
IsoG
G0= (G0×G)/{(ϕ(g), g)|g∈G}.
La notation ne fait pas apparaˆıtre ϕ, mais cela ne cr´eera aucune confusion
en pratique.
Soient Get G0deux groupes finis et Lun sous-groupe du produit G×G0,
alors on note p1(L) (resp. p2(L)) la projection de Lsur G(resp. sur G0).
De mˆeme on note
k1(L) = {g∈G|(g, 1) ∈L}et k2(L) = {h∈G0|(1, h)∈L}.
Pour tout y´el´ement de p2(L), il existe xy´el´ement de Gtel que le couple
(xy, y) soit ´el´ement de L. Alors en associant `a yk2(L) l’´el´ement xyk1(L) on
obtient un isomorphisme, dit canonique, entre p2(L)/k2(L) et p1(L)/k1(L).
Si G00 est un autre groupe fini, et Mun sous-groupe de G0×G00, alors on
pose
L∗M={(g, g00)∈G×G00|∃g0∈G0,(g, g0)∈L, (g0, g00)∈M}.
C’est un sous-groupe de G×G00.
Rappelons la formule de Mackey relative aux bi-ensembles (cf. [1], 3.2):
soient Get Hdeux groupes finis, soit Lun sous-groupe du produit G×H
et Mun sous-groupe du produit H×K. Alors
(G×H/L)×H(H×K/M) = X
h∈p2(L)\H/p1(M)
(G×K)/(L∗(h,1) M).
Si Lest un sous-groupe du produit G×H, alors d’apr`es ([1], Lemme 3, p.
672) le bi-ensemble G×H/L se d´ecompose en un produit de morphismes
dans Ck:
G×H/L = IndG
p1(L)Inf p1(L)
p1(L)/k1(L)Isop2(L)/k2(L) p1(L)/k1(L)Def p2(L) p2(L)/k2(L)ResH
p2(L)
o`u Isop2(L)/k2(L)
p1(L)/k1(L)est relatif `a l’isomorphisme canonique entre p2(L)/k2(L) et
p1(L)/k1(L).
•Les foncteurs simples SQ,k: (cf. [1], Proposition 2).
Les objets simples de Fksont param´etr´es par des couples (Q, V ), o`u Q
est un p-groupe et Vest un kOut(Q)-module simple.