ELE111-Télétrafic

Cnam INTRODUCTION AUX TELECOMMUNICATIONS
Electronique B11 1
Chaîne de Markov - Télétrafic - Files d'attente
Version 5.0
Michel Terré
Electronique ELE111
[email protected]

Cnam INTRODUCTION AUX TELECOMMUNICATIONS
Electronique B11 2
1 Rappels de probabilité
Le dimensionnement d'un réseau de Télécommunications demande quelques calculs de probabilités élémentaires. Il
n'est pas nécessaire de développer une théorie très complète pour suivre ces calculs. Il est cependant nécessaire de
savoir calculer quelques probabilités conditionnelles et quelques moments statistiques. Ce paragraphe rappelle les
notions de probabilité nécessaires pour ce cours. Les lecteurs connaissant bien le domaine peuvent donc passer
directement au paragraphe 2.
1.1 Evénements et probabilité
Considérons le cas d'une partie de roulette à 6 coups. A chaque tentative il y a 6 sorties possibles. On définit ainsi
l'espace des résultats possibles :
{
}
654321S
=
On peut alors définir un événement comme un sous ensemble de S. Ainsi l'événement
{
}
42A
=
correspond aux
sorties 2 ou 4 de la roulette. On peut alors définir l'événement complémentaire
{
}
6531A =.
Deux événements sont dits exclusifs si ils n'ont aucun point commun. C'est à dire si la réalisation d'un des événements
rend l'autre impossible. L'événement
{
}
631B
=
est ainsi exclusif par rapport à l'événement A. De la même manière,
A et
A
sont exclusifs.
On définit la somme ou l'union de deux événements comme l'ensemble des valeurs des deux événements. Ainsi en
introduisant
{
}
321C
=
, l'événement CBD
∪
=
représente l'ensemble les valeurs
{
}
6321D
=
.
On définit l'intersection de deux événements comme l'ensemble des valeurs qui sont communes aux deux événements.
Ainsi CBE
∩
=
est constitué par l'ensemble des valeurs
{
}
31E
=
.
Une mesure de probabilité
P
ou plus simplement une probabilité est une application qui associe à chaque élément de S
un réel compris entre 0 et 1.
[
]
10SP ,:
→
et qui vérifie les propriété suivantes :
 A chaque événement A appartenant à l'ensemble S on associe sa probabilité )(AP . Cette probabilité est
positive est inférieure ou égale à 1.
1AP0
≤
≤
)(
(
)
0P
=
∅
et
(
)
1SP
=
 Pour tous les évènements A et B tels que
∅
=
∩
BA alors
(
)
(
)
(
)
BPAPBAP
+
=
∪
En déduit alors :
(
)
(
)
AP1AP −=
Pour deux évènements quelconques :
(
)
(
)
(
)
(
)
BAPBPAPBAP
∩
−
+
=
∪

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Electronique B11 3
Enfin, si l'on considère une famille d'événements exclusifs
i
A alors :
∅
=
∩
ji
AA
ceci
ji
≠
∀
et :
( )
∑
=
∪
i
ii
i
APAP
Exemple :
Pour le cas de la roulette considérée chaque valeur a une probabilité 6
1 de "sortir". La probabilité de A est 6 2
AP =)(
et la probabilité de
B
A
∪
, A et B étant exclusifs est donnée par :
( )
6
5
6
3
6
2
BAP =+=∪
Considérons maintenant des ensembles quelconques, c'est à dire pas obligatoirement exclusifs, et plaçons nous dans le
cas de deux événements
i
A et
j
B.
Dans le cas général on écrit :
)BA(P)B,A(P
jiji
∩
=
)BA(P)B(P)A(P)BA(P
jijiji
∩
−
+
=
∪
(
)
et,ou
=
∩
=
∪
1.1.1 Probabilités conditionnelles
On définit aussi les probabilités conditionnelles. C'est à dire la probabilité d'avoir un événement
i
A sachant qu'un autre
événement
j
B est vérifié.
Cette probabilité conditionnelle s'écrit )(
ji
BAP , et elle s'obtient au moyen de l'équation :
)(
),(
)(
j
ji
ji
BP
BAP
BAP =
On peut écrire l'équation dans l'autre sens, on obtient alors :
)(
),(
)(
i
ji
ij
AP
BAP
ABP =
Exemple :
En reprenant les cas de la roulette évoquée précédemment, il vient :
3
2
6
3
6
2
BCP ==)(

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1.1.2 Indépendance
L'indépendance statistique de deux événements signifie que la probabilité d'un des deux événements n'est pas influencée
par la réalisation ou non réalisation de l'autre événement. Dans le cas de deux événements indépendants
i
A et
j
B , on a
donc :
)()(
iji
APBAP =
On en déduit alors au moyen des probabilités conditionnelles :
)()(),(
jiji
BPAPBAP
=
1.2 Variable Aléatoire, densité et fonction de répartition
1.2.1 Variable aléatoire
Si l'on considère un espace S et un élément Ss
∈
, on peut définir une fonction )(sX dont le domaine est S et qui est à
valeurs réelles. La fonction )(sX est appelée une variable aléatoire.
Exemple :
Considérons une partie de pile ou face. L'espace S contient deux points P(ile) et F(ace).
{
}
FPS
=
On peut alors définir une fonction )(sX de la manière suivante :
=− =
=)(
)(
)( Fs1
Ps1
sX
Les exemples présentés jusqu'alors ont toujours considéré un ensemble S comportant un nombre fini de valeurs. On
parle alors de variables aléatoires discrètes. Cependant l'ensemble S peut très bien être constitué de valeurs continues.
On parle alors, pour )(sX , de variable aléatoire continue.
1.2.2 Fonction de répartition
On considère alors des événements du type
{
}
xX
≤
, expression dans laquelle
x
est une valeur réelle entre
[
]
+∞
−∞
.
La probabilité de cet événement s'écrit alors :
)()( xXPxF
≤
=
On parle aussi de fonction de répartition pour la fonction )(xF
1.2.3 Densité de probabilité
On définit la densité de probabilité )(xp de la variable aléatoire X comme la dérivée de la fonction de répartition )(xF
par rapport à x.
dx
xdF
xp )( )( =
[
]
+∞
−∞
∈
x
ou encore
∫
∞−
=
x
duupxF )()(
[
]
+∞
−∞
∈
x
Lorsque l'on est confronté au problème d'estimer la probabilité pour qu'une variable aléatoire X soit comprise dans un
intervalle
(
)
21
xx , avec
12
xx
>
, on considère les deux événements suivants :

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{
}
2
xX
≤
et
{
}
1
xX
≤
On peut alors décomposer l'événement
{
}
2
xX
≤
en deux événement exclusifs
{
}
1
xX
≤
et
{
}
21
xXx
≤
<
On a alors l'équation de probabilité suivante :
(
)
(
)
(
)
2112
xXxPxXPxXP
≤
<
+
≤
=
≤
D'où :
(
)
(
)
(
)
2112
xXxPxFxF
≤
<
+
=
(
)
(
)
(
)
1221
xFxFxXxP
−
=
≤
<
( )
∫
=≤<
2
1
x
x
21
dxxpxXxP )(
1.3 Moments statistiques
Si l'on considère une variable aléatoire de densité de probabilité )(xp , on définit la moyenne ou l'espérance de X de la
manière suivante :
( )
∫
+∞
∞−
== dxxxpmXE
X
)(
On définit la variance de X par :
( )
∫
+∞
∞−
−=−=σ= dxxpmxmXEXVar
2
X
2
X
2
X
)()()(
En développant l'expression précédente, on montre que
(
)
2
X
22
X
mXE −=σ
On démontre facilement les propriétés suivantes :
Soit
i
X un ensemble de variables aléatoires, alors :
( )
∑∑
=
i
i
i
i
XEXE
En introduisant un coefficient scalaire
α
, on a :
(
)
(
)
ii
XEXE
α
=
α
(
)
(
)
i
2
i
XVarXVar α=α
Dans le cas de variables aléatoire
i
X indépendantes :
( )
∑∑ =
i
i
i
i
XVarXVar
1.4 Quelque lois usuelles
1.4.1 Variable aléatoire uniforme
Une variable aléatoire uniformément répartie entre
[
]
a0
+
est une variable aléatoire continue à valeurs dans
[
]
a0
+
dont la densité de probabilité est de la forme :